1.3 利用定义证明函数极限存在性

4x
4x
x 1
取G= 1 即可.
例3、若 lim f ( x) A, a 0,则 lim f ( x2 ) A.
xa
x a
证：要证明极限成立，只需要证明对于
0,存在 0,当0 x a 时，有 f x2 A
由已知得 对于 0, 存在 0,当0 x a 时，有 f x A
2
2
2 1 x x0 x x0 2
取
例2、 lim
x
x2
x
x
1 2
证：要证明极限成立，只需要证明对于
0,
存在G
0,当x
G时，有
x2
x
x
1 2
x2
x
x
1 2
x
1
x2 x x 2
通分得
x x2 x
2
x2
x
x
1 1 4x x
x2 2x 1 x x 1 x
x2 a x a x a
1
不妨假设
0 x a 1
x a x a 2 a x a 2 a 12 a
代入（1）式 解得
1 2 a x a
x a 12 a
取
min
1,
即可.
12 a
三、利用定义证明函数极限存在性
例1、lim cos x cos x0
x x0
证：要证明极限成立，只需要证明对于
0, 存在 0,当0 x x0 时，有 cos x cos x0 cos x cos x0
和差化积得
2sin x x0 sin x x0
2
2
2 sin x x0 sin xwk.baidu.com x0