二次函数中考压轴题四边形的存在性问题解析

二次函数中考精品压轴题（四边形与存在性问题）解析精选

【例1】综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+2x+3与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．

（1）求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标；

（2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A ．P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．

【答案】解：（1）当y=0时，﹣x 2+2x+3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3。

∵点A 在点B 的左侧，∴A ．B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。

当x=0时，y=3。∴C 点的坐标为（0，3）。

设直线AC 的解析式为y=k 1x+b 1（k 1≠0），则

111

b =3k +b =0⎧⎨-⎩，解得11k =3b =3⎧⎨⎩。 ∴直线AC 的解析式为y=3x+3。

∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点D 的坐标为（1，4）。

（2）抛物线上有三个这样的点Q 。如图，

①当点Q 在Q 1位置时，Q 1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q 1

的坐标为（2，3）；

②当点Q 在点Q 2位置时，点Q 2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可

得点Q 2坐标为（1+7，﹣3）；

③当点Q 在Q 3位置时，点Q 3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析

式可得，点Q 3的坐标为（1﹣7，﹣3）。 综上可得满足题意的点Q 有三个，分别为：Q 1（2，3），Q 2（1+7，﹣3），Q 3（1﹣7，﹣3）。

（3）点B 作BB′⊥AC 于点F ，使B′F=BF ，则B′为点B 关于直线AC 的对称点．连接B′D 交直线AC 与点M ，则点M 为所求。

过点B′作B′E ⊥x 轴于点E 。

∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2。

∴Rt △AOC ∽Rt △AFB 。∴CO CA =BF AB

。 由A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，

∴AC=10，AB=4。

∴

310=BF ，解得610BF=。∴BB′=2BF=1210， 由∠1=∠2可得Rt △AOC ∽Rt △B′EB ，∴AO CO CA ==B E BE BB ''。 ∴1310==B E BE 1210'。∴B′E=125，BE=365。∴OE=BE ﹣OB=365﹣3=215

． ∴B′点的坐标为（﹣215，125

）。 设直线B′D 的解析式为y=k 2x+b 2（k 2≠0），则

2222k +b =42112k +b =55⎧⎪⎨-⎪⎩，解得224k =1348b =13⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

。 ∴直线B'D 的解析式为：448y=x+1313

。 联立B'D 与AC 的直线解析式可得：

y 3x 3448y=x+1313=+⎧⎪⎨⎪⎩，解得9x=35132y=35

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩。 ∴M 点的坐标为（91323535

，）。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形三边关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解二元一次方程组。

【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，由抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点可求得A．B两点的坐标，同样，由由抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C可求得C点的坐标。用待定系数法，可求得直线AC的解析式。由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4可求得顶点D的坐标。

（2）由于点P 在x轴上运动，故由平行四边形对边平行的性质求得点Q的坐标。

（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则根据轴对称和三角形三边关系，知点M为所求。

因此，由勾股定理求得AC=10，AB=4。由Rt△AOC∽Rt△AFB求得

610

BF=

5

，从而得

到BB′=2BF=1210

5

。由Rt△AOC∽Rt△B′EB得到B′E=

12

5

，BE=

36

5

，OE=BE﹣OB=

36

5

﹣3=

21

5

，从

而得到点B′的坐标。用待定系数法求出线B′D的解析式，与直线AC的解析式即可求得点M的坐标。【例2】.如果一条抛物线()

2

y=ax+bx+c a0

≠与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）“抛物线三角形”一定是三角形；

（2）若抛物线2

y=x+bx(b>0)

-的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；

（3）如图，△OAB是抛物线2

y=x+b'x(b'>0)

-的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）等腰。

（2）∵抛物线2

y=x+bx(b>0)

-的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，

∴该抛物线的顶点

2

b b

24

⎛⎫

⎪

⎝⎭

，满足

2

b b

=

24

（b＞0）。

∴b=2。

（3）存在。

如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，

则四边形ABCD为平行四边形。