2.2.1向量加法运算及其几何意义
课件5：2.2.1 向量加法运算及其几何意义
题型三 向量加法的应用
例 3 某人在静水中游泳，速度为 4 3千米/小时，他在水流速度为 4 千米/小时 的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速 度大小为多少？ 解：如图，设此人游泳的速度为O→B，水流的速度为O→A， 以O→A，O→B为邻边作▱OACB，则此人的实际速度为O→A＋O→B＝O→C. 由勾股定理知|O→C|＝8，且在 Rt△ACO 中，∠COA＝60°， 故此人沿与河岸成 60°的夹角 顺着水流的方向前进，速度大小为 8 千米/小时．
依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600( km)． 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°. 所以|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2＝ 8002＋8002＝800 2(km)． 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东 35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km， 方向为北偏东 80°.
变式训练 3 在某地抗震救灾中，一架飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km 到达 B 地接到受伤人员，然后又从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km 送往 C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位地按北偏东 35°的方向飞行 800 km， 从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km. 则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|； 两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C.
答案：0
题型一 已知向量作和向量
[课堂探究]
例 1 如图，已知三个向量 a、b、c，试用三角形法则和平行四边形法则分别 作向量 a＋b＋c.
解：利用三角形法则作 a＋b＋c，如图①所示，作O→A＝a，以 A 为起点， 作A→B＝b，再以 B 为起点，作B→C＝c， 则O→C＝O→B＋B→C＝O→A＋A→B＋B→C＝a＋b＋c. 利用平行四边形法则作 a＋b＋c，如图②所示，作O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c， 以O→A、O→B为邻边作▱OADB，则O→D＝a＋b，再以O→D、O→C为邻边作▱ODEC， 则O→E＝O→D＋O→C＝a＋b＋c.
2.2.1 向量加法运算及其几何意义2.2.2 向量减法运算及其几何意义
(
)
点评：封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量．
跟踪训练 1．已知下列各式： → → → → → → → ＋BO＋OM ①AB＋BC＋CA；② AB＋MB → → → → → → → → ③OA＋OC＋BO＋CO；④AB＋CA＋BD＋DC
(
)
其中结果为0的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
→ ；③ → ；④0. 解析：①0；② AB BA
驶，同时河水的流速为v2，船的实际航行的速度的大小为4
km/h，方向与水流间的夹角是60°，求v1和v2.
→ 解析： 表示水流速度，AD 表示 AB 渡船速度，→ 表示船的实际速度． AC
AB⊥AD，在Rt△ABC中，AB＝ 4×cos 60°＝2，
→
AD＝4×sin 60°＝2 3 .
∴v1＝2 3 km/h，v2＝2 km/h.
它们的异同．
解析：我们学过实数间的运算、集合间的运算、函数 间的运算，今天又学到了向量间的运算．对于两个向量， 通过三角形法则或平行四边形法则，有唯一的和向量与之 对应．一般的，对于两个对象，通过一个法则都有唯一确
定的对象与之对应，这就是运算．运算可以帮助我们解决
很多的问题．
自测自评 1．下列等式正确的个数是( C ) ①a＋0＝a ②b＋a＝a＋b ＝0 ⑤a＋(－b)＝a－b A．2 B．3 ③－(－a)＝a ④a＋(－a) C．4 D．5
就是向量的和．这 种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则， 如图：
特殊情况：
4．运算律
(1)向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)向量加法的结合律：__________________. 练习1：三角形法则、平行四边形法则是否对所有向 量a，b求和都适用？ 三角形法则适合所有向量，平行四边形法则对于两个 向量共线时不适用．
教学设计4：2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2.2.1 向量加法运算及其几何意义三维目标1．知识与技能(1)掌握向量的加法运算，并理解其几何意义．(2)会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力．2．过程与方法通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法．3．情感、态度与价值观(1)通过对向量的加法运算的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到特殊的认识事物规律，培养探索精神与创新意识．(2)通过本节的学习，学会用数学的方式解决问题、认识世界，进而领会数学的价值，不断提高自己的文化修养．重点、难点重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．难点：理解向量加法的定义．教学建议首先从数及数的运算谈起，有了数只能进行计数，只有引入了运算，数的威力才得以充分展现．类比数的运算，向量也能够进行运算．运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥．实际上，引入一个新的量后，考察它的运算及运算律，是数学研究中的基本问题．数学中，教师应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算．1．教学中，应以熟悉的位移的合成和力的合成为背景，引导学生进行实验，使学生形成感知：“既有大小，又有方向的量可以相加，并且可以依据“三角形法则”来进行”．在此基础上，给出向量加法的定义．2．向量加法运算主要是向量加法的三角形法则和平行四边形法则．教科书从几何角度具体给出了通过三角形法则或平行四边形法则作两个向量和的方法．教学中要注意向量加法的三角形法则和平行四边形法则所对应的物理模型．另外，使学生体会两种加法法则在本质上是一致的．对任意向量与零向量相加，教科书中给出了规定．3．为了让学生认识数的加法与向量加法的区别及联系，可引导学生探究有关向量加法中模的大小关系加强理解，只不过两个数的和是一个数，两个向量的和仍是一个向量．4．引导学生类比数的运算律，通过画图验证向量加法的交换律与结合律． 知识1 向量加法的定义及其运算法则 问题导思分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F 1＝3 000 N ，F 2＝2 000 N ，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．1．从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？ 【答案】 后面的一次位移叫前面两次位移的合位移，四边形OACB 的对角线OC →表示的力是OA →与OB →表示力的合力．体现了向量的加法运算． 2．上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？ 【答案】 三角形法则和平行四边形法则． 1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，如图.对于零向量与任一向量a ，规定0＋a ＝a ＋0＝a . 2．向量求和的法则则对角线上的向量AC →＝a ＋b向量加法的运算律 问题导思实数的运算律有哪些？向量的加法是否也有相似的运算律？ 【答案】 交换律和结合律、有.课堂探究类型1 向量的加法运算 例1 化简下列各式： (1)MB →＋AC →＋BM →； (2)P A →＋PB →＋AO →＋OP →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.解：(1)MB →＋AC →＋BM →＝(MB →＋BM →)＋AC →＝0＋AC →＝AC →. (2)P A →＋PB →＋AO →＋OP →＝(P A →＋AO →)＋(OP →＋PB →)＝PO →＋OB →＝PB →. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝0. 规律方法1．进行向量的加法运算时常常用到向量平移，还要运用运算律来调整顺序． 2．当运算结果为零向量时，不要写成数字0，因为向量的和仍为向量． 变式训练 化简下列各式：(1)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →； (2)OA →＋OC →＋BO →＋CO →.解：(1)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＝AB →. (2)OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝BO →＋OC →＋CO →＋OA →＝BA →. 类型2 利用向量证明几何问题例2 如图所示，已知E 、F 分别是▱ABCD 的边DC 、AB 的中点，求证：四边形AECF 是平行四边形．思路探究 要证四边形AECF 为平行四边形，只需证AE →＝FC →. 解：在▱ABCD 中，AD →＝BC →，又由E 、F 分别是DC 、AB 的中点，得DE →＝FB →. 所以AE →＝AD →＋DE →＝FB →＋BC →＝FC →， 又A 、E 、C 、F 四点不共线， 故四边形AECF 是平行四边形． 规律方法1．用向量证明几何问题的一般步骤： (1)把几何问题中的边转化成相应的向量；(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系； (3)还原成几何问题．2．要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在直线平行或重合且长度相等． 变式训练已知：如图，四边形ABCD 中，AO ＝OC ，DO ＝OB .求证：四边形ABCD 为平行四边形． 证明：∵AO ＝OC ，DO ＝OB ， ∴AO →＝OC →，DO →＝OB →. ∴DO →＋OC →＝OB →＋AO →， ∴DC →＝AB →.即DC ∥AB 且|DC →|＝|AB →|， ∴四边形ABCD 为平行四边形. 类型3 向量加法的实际应用例3 如图所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解：设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|； 两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°， 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°. 规律方法向量加法的实际问题的解题步骤如下：(1)用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量； (2)利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和； (3)利用直角三角形知识解决问题．变式训练 为了调运急需物资，如图所示，一艘船从长江南岸A 点出发，以5 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水的速度方向间的夹角表示)． 解：(1)如图所示，AD →表示船速，AB →表示水速．易知AD ⊥AB ，以AD ，AB 为邻边作矩形ABCD ， 则AC →表示船实际航行的速度．(2)在Rt △ABC 中，|AB →|＝5，|BC →|＝53， 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝52＋532＝100＝10.因为tan ∠CAB ＝|BC →||AB →|＝3，所以∠CAB ＝60°.因此，船实际航行的速度大小为10 km/h ，方向与江水的速度方向间的夹角为60°. 课堂小结1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行． 当堂检测1．已知向量a ∥b ，且|a |＞|b |＞0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．不确定【解析】 如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；如果它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同． 【答案】 A2．下列等式错误的是( ) A.a ＋0＝0＋a ＝a B.AB →＋BC →＋AC →＝0 C.AB →＋BA →＝0D.CA →＋AC →＝MN →＋NP →＋PM →【解析】 AB →＋BC →＋AC →＝AC →＋AC →＝2AC →≠0，故B 错． 【答案】 B3．在四边形ABCD 中，AB →＋AD →＝AC →，则四边形ABCD 是( ) A ．梯形 B ．矩形 C ．正方形D ．平行四边形【解析】 AB →＋AD →＝AC →符合平行四边形法则，所以四边形ABCD 是平行四边形． 【答案】 D4．化简：(1)CD →＋BC →＋AB →； (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FG →.解：(1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FG → ＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋FG → ＝AC →＋CF →＋FG →＝AF →＋FG →＝AG →.。
课件4：2.2.1 向量加法运算及其几何意义
所以 tan∠ACB＝4123＝ 33， 即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°. 所以 AD ＝8 3，∠BAD＝120°.
即船航行的速度为 8 3 km/h，方向与水流方向所成角为 120°.
答பைடு நூலகம்：D
2.设 E 是平行四边形 ABCD 外一点，如图所示，化简下 列各式： (1)D→E＋E→A＝___D_→_A___； (2)B→E＋A→B＋E→A＝___0___； (3)D→E＋C→B＋E→C＝____D→_B___； (4)B→A＋D→B＋E→C＋A→E＝____D→_C___.
3.如图所示，在四边形 ABCD 中，A→C＝A→B＋A→D， 试判断四边形的形状．
跟踪训练 3 某人在静止的水中的游泳速度为 2 3 km/h，如果 他以这个速度径直游向河对岸，已知水流的速度为 2 km/h，那么 他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？ 解：设此人在静水中的游泳速度为O→A，水流的速 度为O→B，以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB， 如图所示，则此人的实际速度为O→C＝O→A＋O→B. 根据勾股定理知|O→C|2＝|O→A|2＋|O→B|2＝12＋4＝16， ∴|O→C|＝4. 又在 Rt△OBC 中，cos∠BOC＝||OO→→CB||＝24＝12. 所以此人沿与河岸夹角为 60°方向前进，速度大小为 4 km/h.
(2)D→B＋C→D＋B→C＝B→C＋C→D＋D→B ＝(B→C＋C→D)＋D→B ＝B→D＋D→B ＝0.
(3)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A ＝A→C＋C→D＋D→F＋F→A ＝A→D＋D→F＋F→A＝A→F＋F→A ＝0. 小结 解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意 各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序．
2.2.1向量加法运算及其几何意义
2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义【目标导学】重点：向量的加法运算（三角形法则、平行四边形法则）【自主预习】1.若C 是线段AB 中点，则AC BC →→+=（ ） A. AB B. BA C. 0 D. 不同于以上答案2. 设→a ，→b 为非零向量，若||||||→→→→+=+b a b a ，则→a 的方向与→b 的方向必是 .3. 设→a 表示“向东走3km ”，→b 表示“向北偏东o 30走3km ”，则→→+b a 表示 __________. 【课标基础】1.在四边形ABCD 中，下列各式中正确的是( )A. →→→→+=+DC AD BC ABB. →→→+=DA CD ACC. →→=BA ABD. →→→=+DC AC AD2. 下列各向量中，不表示零向量的一个式子是( )A.→→=BA ABB. →→→++CA BC ABC. 和任意向量都平行的向量aD. b a +(其中b a 、不共线)3. 若O 是ABC ∆内一点，满足→→→→=++O OC OB OA ，则O 是ABC ∆的（ ）A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心4.点D 、E 、F 分别是三角形ABC 的三边AB 、AC 、BC 的中点，则_______AF BE CD ++=5. 正六边形ABCDEF 中→→=a AB ，→→=b FA ，则=→EC .（用→a 与→b 表示）6.向量a 、b 满足8||=a ，12||=b ，则||b a +的最大值和最小值分别是 __________.7. 河水中水流自西向东速度为每小时20公里，小船自南岸沿正北方向行驶速度每小时【能力拓展】8. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.9. 已知OABCDE 是正六边形，→→=a OA ，→→=b OE ，试用→a ，→b 表示→OB ，→OC ，→OD .10. 已知任意四边形ABCD ，E 为AD 中点，F 为BC 中点.求证：2EF AB DC →→→=+.OE AA BC。
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
三角形法则
首尾相接连端点
平行四边形法则
起点相同连对角
注：两个向量的和仍是向量
思考
考察下列各图， a b 与 a b 的大小关系如何？ a b 与 a b 的大小关系如何？
C
a b b
B
a＋b
A
b b
a
a
a＋b
a＋b
ab ab
A
B
C
B
C
AC a b
A
AC a b
思考：AB BC ？
C
a b AB BC
AC
ab
A
a
b
B
AB BC AC
练习：
1、 AB BD 3、 BC CA
AD
BA
2、 BA AC BC
0 4、 OD DO OO
探究：数的加法有运算律，那么向量的加法呢？是否也有运算律呢？ 在向量运算加法的平行四边形法则中， 结合三角形法则，你会得到什么结论呢？
由于大陆和台湾没有直航， 因此王先生春节回老家探亲， 乘飞机要先从台北到香港， 再从香港到上海，则飞机的位移是多少?
上海
上海 台北 香港
b
c
台北
a
香港
C
1.位移 AB BC AC
2.力的合成
A B F1
F1 F2 F
F2
F
数的加法启示我们，从 运算的角度看， 可以认为AC是 AB与BC的和 F可以认为是F1与F2的和， 即位移、力的合成可以 看做是向量的加法。
A
B
CAB 60 .
答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º 。
2.2.1向量加法运算及其几何意义
J
F
E D B
C
AB BC CD DE
0 JK KA ?
A
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。 C
船的实际航行的速度的大小为4km/h,方向
与水流间的夹角是60 ，求v1和v2.
o
向量加 法
探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的 航向应该如何?在白纸上作图探究.
D C
5
A
2
B
向量加 法
只有坚定不移，才能驶向成功彼岸！
向量加 法
(1)向量的相反向量的意义; (2)向量减法运算几何意义;
问题：除了零向量，有没有不能用平行四 边形法则求和向量的情况？
a
特例：共线向量
a
b
A B C
b
B C A
AC a b
方向相同
AC a b
方向相反
课堂练习
教材P84页练习1. 1、（1）
ab
a
ab
b a b
b
（2）
ab
（3）
a
b
b
（4 ） a b
a
b b
向量加 法
课堂练习
二、向量加法的运算法则:
B
a
ba ab a
b
C
D
D
b
A
( a b) c
课件7：2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2．在△ABC 中，必有A→B＋C→A＋B→C等于( )
A．0
B．0
C．任一向量
D．与三角形形状有关
【解析】A→B＋C→A＋B→C＝A→B＋B→C＋C→A＝A→C＋C→A＝0.
故选 B．
【答案】B
3．化简(A→B＋M→B)＋(B→O＋B→C)＋O→M＝______. 【解析】(A→B＋M→B)＋(B→O＋B→C)＋O→M＝(A→B＋B→C)＋ (B→O＋O→M)＋M→B＝A→C，故答案为A→C. 【答案】A→C
2．运算律 (1)a＋b＝b＋a； (2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
自主演练 1．如下图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论错误的 是( )
A．A→B＝D→C C．B→A＋B→C＝A→C
B．A→D＋A→B＝A→C D．A→D＋C→B＝0
【解析】∵B→A＋B→C＝B→D，∴C 中的结论错误．故选 C． 【答案】C
A．F→E
B．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ→C
C．D→C
D．F→C
【解析】F→A＋A→B＋2B→O＋E→D＝F→E＋E→D＝F→D＝A→C.
【答案】B
3．若 O 是△ABC 内的一点，且O→A＋O→B＋O→C＝0，则
O 是△ABC 的( )
A．垂心
B．重心
C．内心
D．外心
【解析】O→A＋O→B＋O→C＝0，∵O→A＋O→B是以O→A，O→B为 邻边作平行四边形的对角线且过 AB 的中点，设为 D， 则O→A＋O→B＝2O→D，∴2O→D＋O→C＝0.∵D 为 AB 的中点， 同理 E，F 为 AC，BC 中点，∴满足条件的点 O 为△ABC 三边中线交点，故为重心． 【答案】B
(2)课本中对向量加法是釆用三角形法则来定义的，这种 定义，对两个向量共线时同样适用，但是当两向量共线 时，平行四边形法则就不适用了．但在处理某些问题时， 平行四边形法则有它一定的优越性，因此向量加法的三 角形法则和平行四边形法则都应熟练掌握．
(完整)2.2.1向量加法运算及其几何意义
22 52 = 29 5.4
因为 tanCAB 5 ,
2
CAB 68o
A
B
船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向
与水的流速间的夹角为68°
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
小结 1.向量加法的三角形法则
(要点：首尾相连首尾连) 2.向量加法的平行四边形法则
A
B
上述分析表明，位移的合成可看作 是向量的加法。
2、力的合成
F1 + F2 = F
F1
F2
F
数的加法启发我们,从运算的角度看,AC可 以认为是AB与BC的和,F可以认为是F1与 F2的和,即位移,
力的合成可看作向量的加法.
向量加法的三角u形r 法uur则
rr
已知向量 a , b,求作向量a + b
(要点：两向量起点重合组成 平行四边形两邻边) 3.向量r 加法r 满足r 交换r 律及结合律
a+ b= b+ a rr r r rr (a + b) + c = a + (b + c)
作业 活页 作业
补充练习
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(1)试用向量表示江水速度、船速以及 船实际航行的速度(保留两个有效数字)
解:(1)
船实际航行速度
D
C
船速 A
B
水速
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用
与江水速度间的夹角表示,精确到度).
uuur uuur
课件10： 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
【方法归纳】 解读向量加法在平面几何中的应用 平面几何中的向量问题有两种： (1)以平面几何为背景的向量计算、证明问题; (2)利用向量运算证明平面几何问题，这是向量的主要应用． 解题的关键是应用法则即加法的几何意义，对相关向量合理转化．
【方法归纳】 此类问题应根据三角形法则或平行四边形法则，观察是否 具备应用法则的条件，若不具备，应改变条件，以便使用法则求解．
互动探究
1.在本例条件下，求(1)O→A＋C→D；(2)A→E＋A→B. 解：(1)由图知，C→D＝O→E，而 OAFE 为平行四边形，
∴O→A＋C→D＝O→A＋O→E＝O→F. (2)由于 ABDE 为平行四边形， ∴A→E＋A→B＝A→D.
题型二 向量加法在平面几何中的应用
例 2 (本题满分 9 分)已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 且A→O＝O→C，D→O＝O→B. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
【证明】 ∵A→B＝A→O＋O→B，D→C＝D→O＋O→C，3 分
又A→O＝O→C，D→O＝O→B，
2.向量加法的运算法则 (1)三角形法则 已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作A→B＝a，B→C＝b，则向量__A_→_C___ 叫做 a 与 b 的和(或和向量)，记作_____a_＋__b____，即 a＋b＝A→B＋B→C＝_____A→_C______． 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 规定：零向量与任一向量 a 的和都有 a＋0＝_0___＋__a__＝a.
失误防范 1. 化简向量表达式，要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、 终点字母排列顺序，特别注意勿将 0 写成 0. 2.注意区分向量与线段的写法与符号． A→B表示向量，AB 表示线段，ຫໍສະໝຸດ 者勿混淆．题型探究
2.2.1___向量加法运算及其几何意义
课后探究
作业
（一）必做题
（二）选做题
课时作业（十二）
向量加法结合律用平行四边形法则
的证明
法则求其和向量？
a b
a
+b
a
b
思考5：
F1 G
E
O
C
它们之 间有什 么关系
F为F1与 F2的合力
G
E
O F1
A
F2 F
G
E
O
F F2
B
C
思考6：人在河中游泳，人的游速为 那么人在水中的实际速度 OC 与 何？
OA 水流速为 OB ，
OA 、OB 之间的关系如
B
O
A
C
OC=OA+OB
思考7：上述求两个向量和的方法，称为向量加法的平 行四边形法则.对于下列两个向量a ，b，如何用平行四
C
B
5 因为 tan CAB , 2 由计算器得CAB 68.
A
答:船实际行驶速度的大小为5.4km/h,方向与水流速度 间的夹角约为68°.
当堂检测
１.化简
(1) AB CD BC ________ AD
MN (2) MA BN AC CB ________
b
a + b 当且仅当a , b同向时取等号； a - b 当且仅当 a , b 反向时取等号.
思考5：实数的加法运算满足交换律，即对任意 a,b∈R， 都有 a b b a, 那么向量的加法也满足交换律吗？如何检 验？
B
b O a+b
a
C b
a
A
思考6：实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
③A→B＋A→D＋C→D＝________； ④A→C＋B→A＋D→A＝________. [思路探索] 首先观察各向量字母的排列顺序，再进行恰当的组 合，利用向量加法法则运算求解． 解 (1)C→D＋B→C＋A→B＝(A→B＋B→C)＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝(A→B＋B→C)＋(C→D＋D→F)＋FA ＝A→C＋C→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
(3)①A→D＋A→B＝A→C，
②C→D＋A→C＋D→O＝C→O＋A→C＝A→O，
③A→B＋A→D＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D，
④A→C＋B→A＋D→A＝D→C＋B→A＝0.
答案
→ (1)AD
(2)0
(3)①A→C
②A→O
③A→D
④0
[规律方法] (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各 向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0 写成0. (2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量 是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
类型一 向量的加法运算 【例 1】 化简或计算：(1)C→D＋B→C＋A→B＝________. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝________.
(3)在平行四边形 ABCD 中(如图)，对角线 AC、BD 交于点 O. 则①A→D＋A→B＝________； ②C→D＋A→C＋D→O＝________；
类型二 利用向量证明几何问题 【例 2】 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线及反向延长线上，取点 F、E，使 BE＝DF(如图)．用向量的方法证明：四边 形 AECF 也是平行四边形．
[思路探索] 本题主要考查利用向量方法证明几何问题，只需证明 一组对边对应的向量相等即可．
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
a
c a b
ab
b
bc
c
abc
结 合 律 : ( a b ) c a (b c )
2013-1-10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 12
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
向量加法的运算律 交换律：
14
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
练一练
１.化简
AD (1) AB CD BC ________
(2) MA BN AC CB ________ MN
(3) AB BD CA DC ________ 0
２.根据图示填空
E
g
e
(1) a b ( 2)c d
2013-1-10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 5
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
两种特例(两向量平行)
a b a
b
首
尾 首
尾
尾
首 尾
A
B
a b AC
C
B
首
a b AC
C
A
方向相同
2013-1-10
2013-1-10
3
A
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
B
17
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课堂练习 <<教材>> P.84 书面作业 <<教材>> P.91 习题2.2 A组1.2.3 练习1.2.3.4
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
9
展
是共线向量时, a b 又如何 思 当向量a, b 考 ？ 作出来?
(1) 同向
(2)反向
a
a
b
A B C B C
b
A
AC = a + b
规定：a + 0 = 0 + a = a
10
AC = a + b
展
判断 | a + 小
b | 与 | a | + | b | 的大
1、不共线
a
b
o·
a
5
阅读教材P81-83
思（10分钟）
议（5分钟）
1、什么是向量加法的三角形法则？运用的关 键是什么？ 2、什么是向量加法的平行四边形法则？运用 的关键是什么？ 3、两向量共线时以上方法是否适用？ 4、判断各种情况下 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小？ 5、向量的加法是否满足交换律与结合律? 6、阅读教材例 2，体会解决向量相关实际问 题的思路、步骤？
2.2 平面向量的线性运算
第1课时 向量加法运算及其几何意义
1
导
引入问题：
数可进行加法运算：1＋2＝3 ． 那么向量的加法是怎样定义的？长 度是1 的向量与长度是2的向量相加
是否一定是长度为3的向量呢？
2
导 由于大陆和台湾没有直航，因此2006年春节探亲，乘飞机要 先从台北到香港，再从香港到上海，则飞机的位移是多少? 上海
8
评
反思:应用三角形法则、平行四边形法则作向量和时需注 意的问题: ①三角形法则可以推广到 n 个向量求和,作图时要求 “首尾相连”.即 n 个首尾相连的向量的和对应的向量是 第一个向量的起点指向第 n 个向量的终点的向量. ②平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图 时要求两个向量的起点重合. ③当两个向量不共线时,两个法则实质上是一致的,三 角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半 , 在多个向量的加法中,利用三角形法则更为简便.
2.2.1向量加法运算及其几何意义
复习回顾
向量的概念:
向量的表示方法： 零向量、单位向量概念：
平行向量定义：
相等向量定义： 共线向量与平行向量关系：
2.2.1 向量加法运算 及其几何意义
两个实数可以相加，从而给数赋 予了新的内涵.如果向量仅停留在概念 的层面上，那是没有多大意义的. 问题：两个向量可以运算吗？可 以相加吗？
1、位移
解:(1) D
船实际航行速度
C
船速 A
B水速
在Rt△ABC中, AB =2, BC =5 D 2 2 AC AB BC
C
22 52 = 29 5.4
船实际航行速度大小约为5.4km/h.
A
B
小结
1.向量加法的三角形法则 (要点：两向量首尾连接)
C
AB BC AC ?
A B
向量加法的三角形法则
a
A
b
B
C
2、力的合成
G
F1
E
O
C
F为F1与 F 2的合力 它们之 间有什 么关系
G
E
O F1 A F F2 B
F2
F C
G
E
O
通过这个物理现象，我们给出向量加法的另一个法则：平行四边形法则
向量加法的平行四边形法则
b a
o
B
A
C
问题：向量加法的三角形法则与平行四边形法则 的区别与联系？
g (4)c+d+e=______
f a
c b
B
例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常 通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长 江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东 2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船 实际航行的速度(保留两个有效数字)
2.2.1向量加法运算及其几何意义
作法:（1）在平面内任取一点O
(2 )作
A
O A = a ,O B = b
o·
B
( 3 )作 O C = a + b
C
起点相同，连对角
向量加法的运算律
交换律 a + b = b + a 结合律 (a + b) + c = a + (b + c ) 规定：
a+ 0 = 0+ a = a
根据图示填空:
b
b
A
B
C
B
C
A
AC = a + b
AC = a + b
a＋b与a和b 同向
a与b 为相反向量
a＋b与长度大的向量同向
a b 0
解： (1) 原式 MB BM AC
0 AC AC
( 2 ) 原式 PA A O OP PB
PB
( 3 ) 原式 AB BC CD DF FA 0
当向量a , b是共线向量时, a + b 又如何 作出来?
(1)同向
a
(2)反向
a
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
由于大陆和台湾没有直航，因此王先生春节回老 家探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到 上海，则飞机的位移是多少?
上海
b
上海 台北 香港
a
c
台北
香港
1.位移
AB BC AC
2.力的合成
C
A
F1 B
F1 F2 F
F2
F
从运算的角度看,可以认பைடு நூலகம் AC 是 AB与BC的和; F可以认为是 F1与F2 的和,即位移、力的合成可以 看作向量的加法.
2.2.1向量加法运算及其几何意义2
结论：
a b ab a b
二、向量加法的运算法则:
B
a
ba ab a
b
C
D
D
b
A
(a b) c
a (b c) b c
c
A
a
ab
C
交换律: a b b a
B
b
结合律: (a b) c a (b c)
D
解：
A
B
（1）如图所示， AD表示船速， AB表示水速， 以AD、AB为邻边作 ABCD, 则 AC表示 船实际航行的速度.
例3.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。
三角形法则
(><) O
(><) O
平行四边形法则
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
向量：既有方向又有大小的量。
复习回顾：
平行向量：方向相同或相反的向量。 相等向量：方向相同并且长度相等的向量 2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反
映的？什么叫零向量和单位向量？ 向量的大小：有向线段的长度。 向量的方向：有向线段的方向。 零向量：长度为零的向量叫零向量；单位向量： 长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。
首尾相连，首尾连
o
B
这种作法叫做向量加 法 的 三 角 形 法 则
还有没有其他的做法？
向量加法的平行四边形法则
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
方向与水流速度间的夹角 60o .
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
小结 1.向量加法的三角形法则
(要点：两向量首尾连接)
2.向量加法的平行四边形法则 (要点：两向量起点重合组成 平行四边形两邻边)
3.向量加法满足交换律及结合律 ab ba
(a b) c a (b c)
FO
C
A
B
例2: 求向量 AB+DF+CD+BC+FA之和.
解 :∵ AB+DF +CD+BC+FA
= AB+BC+CD+DF+FA
= AC+CD+DF+FA= AD+DF +FA
= AF +FA = 0
∴AB+DF+CD+BC+FA = 0
巩固练习:
１.化简 (1)AB CD BC __A_D_____
eD d
(3)a+b+d=__f____ g f c
C
(4)c+d+e=__g____ A
a
b
B
例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮 渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出 发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶, 同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际 航行的速度(保留两个有效数字) (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江 水速度间的夹角表示,精确到度).
2、力的合成
F1 + F2 = F
F1
F2
F
数的加法启发我们,从运算的角度看,AC可 以认为是AB与BC的和,F可以认为是F1与 F2的和,即位移,
力的合成可看作向量的加法.
向量加法的三角形法则
已知向量 a , b,求作向量a b
b a
o
作法（1）在平面内任取一点O
(2)作 OA a , AB b
判断下列命题是否正确,若不正确,请简 述理由.
(1)两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同.
(2) 若m = n,n = k,则m = k;
(3)若非零向量 a与b 共线,则 a b
(4)四边形ABCD是平行四边形,则必有 AB = DC
(5)向量 a与b 平行,则 a与b 的方向相同或相反
(6)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
(3)作OB a b
A
位移的合成可以看
这作种向作量法加 叫法 三做角向形量
B 加法法则的的三物角理形模法型则
还有没有其他的做法？
向量加法的平行四边形法则
b a
o
B
作法（1）在平面内任取一点O
(2)作 OA a ,OB b
(3)作 OC a b
A
C
这力 量种的 加作合 法法成 的叫可平以行做看四向作边量向形加 法的法平则行的四物理边模形型法则
(1)试用向量表示江水速度、船速以及 船实际航行的速度(保留两个有效数字)
解:(1)
船实际航行速度
D
C
船速 A
B
水速
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用 与江水速度间的夹角表示,精确到度).
在Rt△ABC中, AB =2, BC =5 D
C
2
2
AC AB BC
22 52 = 29 5.4
A
BC
AB BC AC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则
两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
CA
B
AB BC AC
思考3：如图，某人从点A到点B，再从点B 改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向
量表示？由此可得什么结论？
C
AB BC AC
A
B
上述分析表明，位移的合成可看作 是向量的加法。
解:如图,设用向量 AC 表示船向垂直于对岸的速
度,用向量 AB 表示水流 的速度
C
D
A
B
以AC,AB为邻边作平行四边形,则 AD 就是船
实际行驶的速度
在Rt△ABD中, AB = 2, BD = 2 3
∵AD = AB+BD
∴ AD = 4
C
D
∴tan∠DAB = 3
∴∠DAB = 60o
A
B
答:船实际行驶速度的大小为4km/h,
作业
课本84页 课本91页
习题（做书上） 2、3作业本2.2.1
因为 tanCAB 29 ,
2 CAB 70
A
B
船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向
与水的流速间的夹角为70°
补充练习
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量
（1）OA OC (2) BC FE (3)OA FE
解：（1）OA OC OB;
E
D
（2）BC FE AD; （3）OA FE 0.
(2) MA BN AC CB _M__N_____
(3)AB BD CA DC ___0_____
２.根据图示填空
Ee D
gf
d
cALeabharlann bCaB(1)a b c (2)c d f (3)a b d f (4)c d e g
例3:如图，一艘船从 A点出发以 2 3km /h的速 度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h 的速度向东流求船实际行驶速度的大小与方向
上海
上海 台北
香港
1、位移 AB BC AC
c
b
香港
台北
a
C
A B
G
它们之 间有什 么关系 G F为F1与 F2的合力 G
F1
E
O
C
E
F2
O
F1 A
F
E FC
O
F2 B
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，
则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
小
1、不共线
b
a
o· a
ab
A
b
B
|a b|< |a| |b|
判断 | a b | 与 | a | | b | 的大小
2、 共线
(1)向同
a
b
ab
(2)反向
a
b
ab
|a b| |a| |b|
| a b | | ab | | ab |
数的加法满足交换律与结合律,即对任意 a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)
还有没有其他的做法？
已知向量a,b,分别用向量加法的三角形
法则与向量加法的平行四边形法则作
出a+b
a b
当向量a, b是共线向量时,a b又如何
作出来? (1) 同向
(2)反向
a
b
a
b
A
B
C
B
CA
AC a b
AC a b
规定：a 0 0 a a
判断 | a b | 与 | a | | b | 的大
两个实数可以相加，从而给数赋予 了新的内涵.如果向量仅停留在概念的 层面上，那是没有多大意义的.我们希 望两个向量也能相加，拓展向量的数 学意义，提升向量的理论价值，这就
需要建立相关的原理和法则.
由于大陆和台湾没有直航，因此2006年 春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从 香港到上海，则飞机的位移是多少?
零向量：长度为零的向量叫零向量；单位向量： 长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。
练习 ①平行向量是否一定方向相同？ ②不相等的向量是否一定不平行？ ③与零向量相等的向量必定是什么向量？ ④与任意向量都平行的向量是什么向量？ ⑤若两个向量在同一直线上，则这两个向 量一定是什么向量？ ⑥两个非零向量相等的充要条件是什么？ ⑦共线向量一定在同一直线上吗？
任意向量a,b的加法是否也满足交换律与 结合律?
D
D
a
C a+b+c
c
b a+b
b
A
b+ac+b
C
A
a
B
a
b
B
ab ba
是否成立？
(a b) c a (b c)
根据图示填空:
(1)a+d=__D__A________ (2)c+b=__C__B________
D
d O
a
C
c
b
A
B
根据图示填空:
(1)a+b=___c_____ (2)c+d=___f_____ E
2.2.1向量加法运算 及其几何意义
复习回顾：
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
向量：既有方向又有大小的量。
平行向量：方向相同或相反的向量。 相等向量：方向相同并且长度相等的向量
2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反
映的？什么叫零向量和单位向量？
向量的大小：有向线段的长度。 向量的方向：有向线段的方向。