2018年普通高等学校春季招生考试数学试卷及答案解析

2018年普通高等学校春季招生考试数学试卷及答案解析

一. 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。

1．函数2log (2)y x =+的定义域是 2．方程28x =的解是 3．抛物线28y x =的准线方程是 4．函数2sin y x =的最小正周期是

5．已知向量(1 )a k =，，(9 6)b k =-，。若//a b ，则实数 k =

6．函数4sin 3cos y x x =+的最大值是 7．复数23i +（i 是虚数单位）的模是

8．在ABC ∆中，角 A B C 、

、所对边长分别为 a b c 、、，若 5 8 60a b B ===，，，则b=

9．在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为

10．从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中

男女同学都有的概率为 （结果用数值表示）。

11．若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和

n =S 。

12．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2236=23⨯，所以36的所有正

约

数之和为

2

2

2

2

(133)(2

+++

+

⨯

+（参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为

D 1 C 1

B 1

A 1

D C A

B

二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分。

13．展开式为ad-bc 的行列式是（ ）

（A ）

a b d c

(B)

a

c

b d

(C)

a d b

c

(D)

b a d

c

14．设-1()f x

为函数()f x = ） (A) 1(2)2f -= (B) 1(2)4f -= (C) 1(4)2f -= (D) 1(4)4f -= 15．直线2310x y -+=的一个方向向量是（ ）

(A) (2 3)-，

(B) (2 3)， (C) (3 2)-， (D) (3 2)， 16．函数1

2

()f x x -

=的大致图像是（ ）

17．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ）

(A) 11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b -<-

18．若复数12 z z 、满足21

z z =，则12 z z 、在复数平面上对应的点12 Z Z 、（ ）

(A) 关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称 (C) 关于原点对称 (D)关于直线y x =对称 19． 10(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）

（A ）45x （B ）290x （C ） 3120x （D ）4252x

20．既是偶函数又在区间(0 )π，

上单调递减的函数是（ ）

（A ）sin y x = （B ）cos y x = （C ）sin 2y x = （D ）cos 2y x = 21．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ） （A ）1:2 （B ）1:4 （C ）1:8 （D ）1:16 22．设全集U R =，下列集合运算结果为R 的是（ ） （A ）u Z

N ð （B ）u N N ð （C ）()u u ∅痧 （D ）{0}u ð

23．已知 a b c R ∈、、，“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴

上方”的（ ）

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件

24．已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2

MN AN NB λ=⋅，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）

（A ）圆 （B ） 椭圆 （C ） 抛物线 （D ）双曲线

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

25．（本题满分7分）

如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，16AA =，异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为

6

π

，求该三棱柱的体积。

26．（本题满分7分）

如图，某校有一块形如直角三角形ABC 的空地，其中B ∠为直角，AB 长40米，BC 长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。

B 1

A 1

C 1

A

C

B

27．（本题满分8分）

已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-+，数列{}n b 满足2n a n b =，求

12lim n n b b b →∞

++

+（）。

28．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分。

已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，，短轴的两个端点分别为12 B B 、 （1）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程;

（2）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点，且11F P FQ ⊥，求直线l 的方程。

A

B C