立体几何空间角
高中数学精品课件：空间角
图7-46-8
与平面ABCD所成的角,由已知得∠MBA=45°,则MA=MB,此时O为AB的中点.
连接OC,由∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2DC,得四边形AOCD为矩形,所以
OC⊥AB,所以CO⊥平面MAB,又MA⊂平面MAB,所以OC⊥MA.
图7-46-8
[总结反思] (1)求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到 二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角,作二面角的平面角最常用的方法是 利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理). (2)对于建立空间直角坐标系比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出 两个平面的法向量,并转化为求两个法向量的夹角来完成.
.
题组二 常错题 ◆索引:二面角取值范围出错;线面角范围出错;不能正确构建线面垂直及斜线 段在底面上的射影.
6.在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为
(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为
.
7.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为 45° .
图7-46-8
图7-46-8
方法二:二面角D-MA-C的大小即为二面角B-MA-D的大小与二面角B-MA-C大
小的差,由(1)可知二面角B-MA-D的大小为90°,
所以二面角D-MA-C的正弦值即为二面角B-MA-C的余弦值.
过M作MO⊥AB于O(图略),因为平面MAB⊥平面ABCD,平面 MAB∩平面ABCD=AB,所以MO⊥平面ABCD,∠MBO即为MB
A
证明:连接AC(图略),由题知△ACD为等边三角形,因为M为AD的中点,所以 CM⊥AD,又AD∥BC,所以CM⊥BC,因为平面ABCD⊥平面PBC,且平面 ABCD∩平面PBC=BC,CM⊂平面ABCD,所以CM⊥平面PBC,故CM⊥PB.
立体几何第六讲：空间中的角
第六讲：空间中的角（二）二面角 一，知识点 1，基本概念1）半平面：当两个平面相交时，我们往往只画起一部分，就像一本翻开的书，我们把其中一部分叫做半平面。
2）二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。
即分别在两个半平面内做交线的垂线，两条射线所成的角为二面角的平面角。
2，范围：],0[π特别：重合为0，共面为π，即相当于把一张纸折叠后的两种极限情况。
3，步骤：一找，二证，三计算4，用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： ①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。
二，典型例题与解读求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事.1 定义法即在二面角的棱上找一点（特殊点），在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！用定义法时，要认真观察图形的特性。
例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。
jA B CDP H2、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。
3、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例3 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。
立体几何空间角
30° C1
A1
●
D C
B1
A
B
在求线面角时，当点的射影位置不易确定 时，可用等体积法直接求垂线长. 预测3：在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC， DB⊥平面ABC，AC=BC=2AE,M是AB的中点． (1)求证:CM ⊥EM; (2)求CM与平面CDE所成的角.
2015年的考试大纲里没有提及空间角
高考中，立体几何板块一般出4道题：两道选择题、 一道填空题、一道大题。在大题中，一般是由证明和计 算（面积、体积、距离）组成。在选择题中可能有一个 题考查空间角的求法。
空间角
异面直线所成角
图 形 定 义 范 围 要 在空间任取一点o， 斜线与它在平面 分别作a，b的平行 内的射影所成的 线，从而形成的的 锐角。 锐（直）角
D1 A1 B1 C1
D A B
C
例 4: 正 方 体 ABCD—A1B1C1D1 中 , 则二面角A-BD-A1的正切值为
解:连结AC,交BD于O,连结OA1
易知,BD⊥OA,BD⊥AA1
AD1C1Fra bibliotekA1B1 D
C
O
B
OA和AA1是平面AOA1内两条相交直线 ∴BD⊥平面AOA1
∴BD⊥OA1
∴∠AOA1是二面角A-BD-A1的平面角.
空间角的概念及求法
教材地位分析
立体几何板块主要有两大类型（1）判断、推理型
（2）有关的几何量的计算，其中包括空间角、空间距离、
面积、体积的计算。
空间角及其求法是立体几何的重要组成部分，是立 体几何板块的一个重点，也是难点。
高考地位分析
立体几何中用传统法求空间角
-立体几何中的传统法求空间角知识点：一．异面直线所成角：平移法二．线面角1.定义法：此法中最难的是找到平面的垂线.1.）求证面垂线，2）.图形中是否有面面垂直的结构，找到交线，作交线的垂线即可。
2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA三．求二面角的方法1、直接用定义找，暂不做任何辅助线；2、三垂线法找二面角的平面角.例一：如图, 在正方体错误！未找到引用源。
中, 错误！未找到D1C1引用源。
、错误！未找到引用源。
分别是错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
的中点, 则异面直线错误！未A1B1N找到引用源。
与错误！未找到引用源。
所成的角的大小是______90______. D CM考向二线面角AB 例二、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD，BC=1，PC=2 3 ，PD=CD=2.（I ）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II ）证明平面PDC⊥平面ABCD；（III ）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。
练习：如图，在三棱锥P ABC 中，PA 底面A B, C P A, AB 6 0A B,C， BC A点D，E分别在棱PB, PC 上，且DE // BC（Ⅰ）求证：BC 平面PAC ；（Ⅱ）当D 为P B 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值；（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC ，∴PA⊥BC.又BCA 90 ，∴AC ⊥BC.∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴1DE BC ，2又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点 E.∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，∵PA⊥底面ABC ，∴PA⊥AB ，又PA=A B，∴△ABP 为等腰直角三角形，∴1AD AB ，2∴在Rt△ABC 中，ABC 60 ，∴1BC AB.2∴在Rt△ADE 中，sin DAE DE BC2 AD 2AD 4，考向三：二面角问题在图中做出下面例题中二面角例三：.定义法（2011 广东理18）如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为 1 的棱形，且∠DAB=60 ，P A PD 2 ,PB=2,E,F 分别是BC,PC 的中点．（1）证明：AD 平面DEF;（2）求二面角P-AD-B 的余弦值．法一：（1）证明：取AD 中点G，连接PG，BG，BD。
立体几何综合复习——空间角(完整版)
立体几何专题复习-----空间角的求法（一）异面直线所成的角：定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上理解说明：（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。
（2）异面直线所成的角的范围：]2,0(π（3）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． （4）求异面直线所成的角的方法：法1：通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求(5).向量法： CDAB CD AB →→=.cos θ（二）直线和平面所成的角1．线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角2、记作：θ；3、范围：[0，2π]； 当一条直线垂直于平面时，所成的角θ＝2π，即直线与平面垂直；1.二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角lαβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 （3）二面角的平面角的特点：1）角的顶点在棱上 ；2）角的两边分别在两个面内 ；3）角的边都要垂直于二面角的棱。
2、作二面角的平面角的常用方法：①、点P 在棱上——作垂直于棱的直线（如图1） ；②、点P 在一个半平面——三垂线定理法；（如图2） ③、点P 在二面角内——垂面法。
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。
E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。
求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。
思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。
转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。
（图1）解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β，则：112222221121cos 14132(4)22EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114解法二：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。
则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。
空间几何的立体角计算
空间几何的立体角计算在空间几何中，立体角是指球心所在的立体角。
它是一个以球心为顶点，包含在球面上的一个锐角空间图形。
计算立体角的方法有很多种，下面将介绍几种常见的计算方法。
一、球体的立体角计算对于球体而言，可以通过球的半径和球心与球面上两点之间的弧长计算立体角。
假设球心为O，球面上两点为A和B，对应的单位法向量为a和b。
则球体的立体角可以用以下公式表示：Ω = acos(a·b)其中，·表示向量的点积运算，acos表示反余弦函数。
上述公式表示了向量a和向量b的夹角。
二、多面体的立体角计算对于多面体，可以将其分解为若干个共有顶点的面组成的角。
然后根据面的法向量来计算每个面对应的立体角，并将其相加得到总的立体角。
比如，假设有一个四面体，顶点分别为A、B、C和D，面分别为ABC、ACD、ADB和BDC。
其中，每个面都可以计算对应的立体角。
假设面ABC与面ACD的夹角为α，面ABC与面ADB的夹角为β，面ABC与面BDC的夹角为γ，则四面体的立体角Ω可以用以下公式表示：Ω = α + β + γ而计算每个面对应的立体角，可以使用球体的立体角计算方法进行计算。
三、棱锥的立体角计算对于棱锥而言，可以通过棱锥的顶角和侧面法向量计算立体角。
假设棱锥的顶点为O，底面上一点为A，底面上的两条棱为OB和OC，顶角为∠BOC，底面上的法向量为n，则棱锥的立体角可以用以下公式表示：Ω = 2π - ∠BOC其中，∠BOC可以通过向量OB和向量OC的点积计算得到。
四、扇形的立体角计算对于扇形而言，可以通过确定扇形对应的圆锥的顶角和底面法向量计算立体角。
圆锥的底面是扇形的圆心O、半径r和夹角θ所在的圆。
假设圆锥的顶点为O，扇形上的两点为A和B，顶角为α，则扇形的立体角可以用以下公式表示：Ω = α - sinα其中，α可以通过扇形的半径r和夹角θ计算得到：α = rθ。
以上是几种常见的空间几何中立体角的计算方法，可以根据不同的几何形状选择合适的方法进行计算。
空间几何的立体角
空间几何的立体角立体角是空间几何中重要的概念，用于描述三维物体之间的角度关系。
参考欧几里得几何学中平面角的定义，立体角也是通过两个平面之间的交叉线来确定的。
本文将介绍立体角的概念、计算方法以及其在实际生活和科学研究中的应用。
一、概念在空间几何中，我们可以定义立体角为两个不共面的射线所夹的角度。
具体地说，我们可以通过从一个射线上选取一点，然后与该射线相交的另一射线还可以由无数种不同位置的点来确定。
这样，我们就可以得到不同的立体角。
根据这个定义，可以得出以下结论：1. 两个相对的直角是等于360度的立体角；2. 两个形成平面角的直线和两个形成立体角的直线具有相同的夹角。
二、计算方法为了计算立体角，我们可以使用多种方法，以下是其中两种常用的方法：1. 体积法：通过计算立体角所包围的体积来确定其大小。
具体地说，我们可以在两个不共面的射线之间构造一个四面体，然后计算该四面体的体积。
该体积就是所求立体角的大小。
这种方法需要对几何体的体积计算有一定的理解和掌握。
2. 广义平面角法：理解和应用平面角的概念和计算方法，可以将其推广到立体角的计算中。
通过选取两个不共面的射线上的点，可以构成一个平面角。
将这个平面角的两条边替换为另外两个射线，就可以得到一个立体角。
通过计算这个立体角对应平面角的大小，即可确定立体角的度数。
这种方法更加直观，易于理解和计算。
三、应用立体角在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是其中的几个例子：1. 光学：在光学领域中，研究光的传播和反射是非常重要的。
当光线从一种介质进入另一种介质时，会发生折射现象。
折射角的大小与入射角和介质的折射率有关。
通过计算折射角对应的立体角，可以进一步研究光的传播和折射规律。
2. 建筑设计：在建筑设计中，立体角可以用来描述建筑物之间的角度关系。
例如，在城市规划中，我们可以通过计算不同建筑物之间的立体角来优化建筑物的布局，以获得更好的采光和通风效果。
3. 数学研究：立体角作为空间几何的重要概念，被广泛应用于数学研究中。
立体几何空间角 专题
PCDBA立体几何空间角 专题空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
异面直线所成的角的范围：090θ<≤（一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。
CE BD==PE==∴由余弦定理得222c o s 26PC CE PE PCE PC CE +-∠==-⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC 中点。
求异面直线1AB 与1BC A 1C 1【答案】125直线与平面所成角的范围：090θ≤≤方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上，的角的大小。
【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。
AB BC CA ==，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。
不妨设2PA =，则1,4OD OP AB===CD OC ∴===在RtOCP ∆中，tan 13OP OCP OC∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。
如何求解立体几何形的平面角和空间角
如何求解立体几何形的平面角和空间角在立体几何的学习中，求解平面角和空间角是十分重要的一部分。
平面角是指在平面上的角，而空间角则是在三维空间中的角。
它们的求解方法有一些区别，下面将详细介绍如何求解这两种角。
一、求解平面角平面角是指在平面上的两条射线之间的夹角。
常见的平面角有直角、锐角和钝角。
1. 直角的求解直角是指夹角为90°的角。
求解直角的方法很简单，只需使用直角尺或直角工具即可。
2. 锐角和钝角的求解锐角是夹角小于90°的角，而钝角则是夹角大于90°的角。
求解锐角和钝角的方法一般有以下几种：（1）使用量角器量角器是一种测量角度的工具，通过将量角器的一边对齐于一条射线上，然后读取量角器上的刻度，即可知道夹角的大小。
（2）使用三角函数三角函数是角的函数，其中最常用的是正弦函数、余弦函数和正切函数。
通过查表或使用计算器，可根据已知角度的三角函数值来求解夹角的大小。
二、求解空间角空间角是指在三维空间中的两条直线或两条直线与平面之间的夹角。
常见的空间角有直线角和向量角。
1. 直线角的求解直线角是指两条直线之间的夹角。
求解直线角的方法一般有以下几种：（1）使用三角函数与求解平面角类似，可以使用三角函数来求解直线角。
通过已知直线的方向向量，可以计算出它们之间的夹角。
（2）使用向量运算向量运算是求解直线角的常用方法之一。
通过计算两条直线的方向向量的点积或叉积，可以求得它们之间的夹角。
2. 向量角的求解向量角是指两个非零向量之间的夹角。
求解向量角的方法一般有以下几种：（1）使用向量的点积和模长通过求解两个向量的点积和它们的模长，可以利用三角函数来求解向量角的大小。
（2）使用向量的夹角公式向量的夹角公式是求解向量角的一种常用方法。
根据向量的定义和性质，可以得到夹角的公式，并通过计算得出夹角的大小。
总结起来，求解立体几何形的平面角和空间角需要运用几何知识、三角函数以及向量运算等方法。
通过合理选用这些方法，我们可以准确计算出所需的角度值，从而更好地理解和解决立体几何问题。
课件2：8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离
【规律方法】
1.平面法向量的求法
若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,
然后用待定系数法求解,一般步骤如下:
设平面的法向量为n=(x,y,z).
(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
(2)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组
的距离为 | BO |＝| AB || cos〈AB，n〉| ＝
| AB n | |n|
.
3. (1)常用方法:利用向量求异面直线所成角、线面角、二面角及空间距 离的方法. (2)数学思想:转化与化归、数形结合、函数与方程.
考点1 向量法求异面直线所成的角
【典例1】(1)(2015·上饶模拟)如图所示,已知三棱
考点3 向量法计算与应用二面角的大小 知·考情
利用空间向量计算与应用二面角大小,是高考考查空间角的一个 热点考向,常与线线、线面、面面位置关系等知识综合以解答题第(2) 或(3)问的形式出现.
明·角度 命题角度1:计算二面角的大小 【典例3】(2014·山东高考)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形, ∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点. (1)求证:C1M∥平面A1ADD1. (2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1= 3,求平面C1D1M和平面ABCD所成 的角(锐角)的余弦值.
22
所以 AD 0, 3,0 ,AE (0, 3 , 1),AC (m, 3,0). 22
设平面ADE的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则n1 AD 0,n1 AE 0, 解得一个n1=(1,0,0). 同理设平面ACE的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 n2 AC 0,n2 AE 0, 解得一个 n2 ( 3，m, 3m).
立体几何专题空间角
立体几何专题：空间角一、异面直线所成的角基础知识1.定义：2.范围：3.方法： 平移法、问量法、（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。
（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式b a =><=,cos cos θ求出来方法1：利用向量计算。
选取一组基向量，分别算出 ⋅代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量),,(111z y x = ),,(222z y x =222222212121212121c o s z y x z y x z z y y x x ++++++=∴θ二、直线和平面所成的角基础知识1.定义：2.平面所成角范围是 。
3. 求法： 几何法 向量法（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要滶的角，解三角形求出此角。
（2）向量法：设直线a 与平面α所成角为θ，直线a 的方向向量与面α的法向量分别是,, 则><m 的余角或其补角的余角即为a 与α所成的角θ，m =><=cos sin θ三、平面与平面所成的角 基础知识1.定义：二面角:由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角平面角：过棱上同一点分别位于二面角的两个面内，且与棱同时垂直的两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的取值范围是 .注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。
在书写时不要写成”∠AOB 为所求二面角”，而应写成”∠AOB 为二面角βα--l 的平面角”。
2.求法：几何法 向量法 公式法（1）几何法：作出二面角的平面角，再解三角形求解。
（2）向量法：①分别求出α和β的法向量,，则二面角βα--l 的大小为><m 或π—>< 用此法须知：〈1〉需建空间直角坐标系，定准相应点的坐标〈2〉通常容易找到一个面的法向量，只需通过二次垂直，求另一个平面的法向量 〈3〉当βα--l 为锐角时=θ>< （><为锐角）或π—><（><为钝角）②在平面α内⎪⎩⎪⎨⎧∈⊥EFA 在平面β内，BD ⊥EF ，且B ∈EF 分别求出,，则><AC 即为二面角βα--EF 的大小（3）公式法：（特殊的方法）①设二面角βα--l 的大小为,θ,,,,l CD l AB CD AB ⊥⊥⊂⊂βα令,,,d BD n CD m AB ===则（不常用，因为受到限制太多）注意：与DC 所成的角一定与二面角的平面角大小相等，但不一定是异面直线BA 和CD 所成角的大小。
高中数学立体几何中的空间角解析
高中数学立体几何中的空间角解析立体几何是高中数学中的重要内容之一，其中空间角是立体几何中的一个重要概念。
本文将以具体的题目为例，详细介绍空间角的定义、性质和解题技巧，帮助高中学生更好地理解和应用空间角。
一、空间角的定义和性质空间角是指由两条射线在同一平面内围成的角，也可以理解为由两条射线在三维空间中围成的角。
具体来说，设有两条射线OA和OB，它们在同一平面内，那么角AOB就是由这两条射线所围成的空间角。
空间角的度量单位与平面角相同，可以用度（°）或弧度（rad）来表示。
在解题中，我们通常使用度来度量空间角。
空间角具有以下性质：1. 两条射线的方向不同，所围成的空间角大小在0°到180°之间；2. 如果两条射线的方向相同，所围成的空间角大小为0°；3. 如果两条射线的反向延长线相交，所围成的空间角大小为180°。
二、空间角的解题技巧1. 利用空间角的定义和性质进行解题在解题过程中，我们可以根据空间角的定义和性质来推导出一些结论，从而解决问题。
例如，如果题目给出了两条射线的夹角，我们可以利用空间角的定义直接得出答案；如果题目给出了两条射线的方向，我们可以根据空间角的性质判断空间角的大小。
举例：已知射线OA与射线OB的夹角为60°，射线OC与射线OB的夹角为120°，求射线OA与射线OC的夹角。
解析：根据空间角的定义，射线OA与射线OC的夹角等于射线OA与射线OB的夹角加上射线OB与射线OC的夹角。
即所求角度为60°+120°=180°。
根据空间角的性质，当两条射线的反向延长线相交时，所围成的空间角大小为180°。
因此，射线OA与射线OC的夹角为180°。
2. 利用平面角的知识解决空间角问题在解决空间角问题时，我们还可以利用平面角的知识进行推导和计算。
由于空间角是由两条射线在同一平面内围成的角，所以可以将空间角转化为平面角进行计算。
2025届高考数学一轮复习讲义立体几何与空间向量之 空间角和空间距离
形，则在正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中，异面直线 AK 和 LM 所成的角的大小为
(
D )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
[解析] 根据题意还原正四棱柱的直观图，如图所示，取 AA 1的中点 G ，连接 KG ，
则有 KG ∥ LM ，所以∠ AKG 或其补角为异面直线 AK 和 LM 所成的角.由题知 AG ＝
A 1 C 1＝5， BC 1＝4 2 ，所以 cos
52 ＋52 −(4 2）2
9
1
∠ BA 1 C 1＝
＝ ＜ ，所以60°＜
2×5×5
25
2
∠ BA 1 C 1＜90°，则过点 D 1作直线 l ，与直线 A 1 B ， AC 所成的角均为60°，即过一
点作直线，使之与同一平面上夹角大于60°的锐角的两边所在直线所成的角均成
2 z －1＝0的交线，试写出直线 l 的一个方向向量 (2，2，1)
的余弦值为
65
9
.
，直线 l 与平面α所成角
[解析] 由平面α的方程为 x ＋2 y －2 z ＋1＝0，可得平面α的一个法向量为 n ＝(1，
⑫ [0， ] ，二面角的
2
n1，n2＞｜.
范围是⑬
[0，π] .
易错警示
1. 线面角θ与向量夹角＜ a ， n ＞的关系
π
2
π
2
如图1(1)，θ＝＜ a ， n ＞－ ；如图1(2)，θ＝ －＜ a ， n ＞.
图1
2. 二面角θ与两平面法向量夹角＜ n 1， n 2＞的关系
图2(2)(4)中θ＝π－＜ n 1， n 2＞；图2(1)(3)中θ＝＜ n 1， n 2＞.
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现， 也是历年来高考命题者的热点， 几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0° < 90°、0°< < 90°、0° < 180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正 余弦定理）和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体 ABCD A i BiGD i 中，已知AB 4 , AD 3, AA 2。
E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB FB 1。
求直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，uuu uuu把EC i 与FD i 所成角看作向量 EC 与FD 的夹角，用向量法求 解。
思路二：平移线段C i E 让C i 与D i 重合。
转化为平面角，放到 三角形中，用几何法求解。
（图I ）uuu uju umr解法一：以A 为原点，ABAD'AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的•••直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值为 --- I4解法二： 延长 BA 至点 E i ,使 AE i =I ，连结 E i F 、DE i 、D i E i 、DF , 有D i C i //E i E , D i C i =E i E ,则四边形 D i E i EC i 是平行四边形。
则 E i D i //EC i 于是/ E i D i F 为直线EC i 与FD i 所成的角。
在 Rt △ BE i F 中， E i F -J E i F 2 BF 2「5 2 i 2 「‘莎。
立体几何中空间角的求法
立体几何中空间角的求法立体几何是高中数学的核心内容之一，在高考中占有很大的比重。
考查的知识点、题型等相对稳定，但对学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力要求较高，而且在2010年高考立体几何试题对转化与化归思想、数形结合思想、割补思想等数学思想的考查也体现的淋漓尽致，而高考对立体几何中空间角的考查一直是热点内容，更成为必考内容，空间角是立体几何中一个重要概念，它是空间图形的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故在历届高考试题中频繁出现，求解方法也多种多样，本文就是空间角常用的方法--传统法与空间向量法。
一、异面直线所成的角θ∈[ 0°，90°]（1）传统方法：平移转化法或补形法，使之成为两相交直线所成的角，放入三角形中利用余弦定理计算，若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求。
（2）空间向量法：设异面直线ab与cd所成的角为θ，则cos θ = cos〈，〉参考例题：例1，如图在四棱锥o-abcd中，底面abcd是边长为1的菱形，∠abc= ，oa⊥面abcd，oa=2，m为oa的中点，则异面直线ab与md所成角的大小为（）a. b. c. d. π解析：（法1）∵cd∥ab ∴∠mdc为异面直线ab与md所成的角（或其补角）在△abc中，ab=1，∠abc= ，bc=1 ，∴ac2=2-又oa⊥面abcd ∴rt△amc中，am2=1，∴mc2=3-又cd=1 md=∴在△mdc中，cos∠mdc= = ∴∠mdc=（法2）作ap⊥cd于p，分别以ab、ap、ao所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系。
则a（0，0，0）， b（1，0，0）， d（- ，，0），o（0，0，2）， m（0，0，1）设ab与md所成的角为θ，又 =（1，0，0） =（ - ，，-1）∴cosθ= = ∴θ=二、直线与平面所成的角θ∈[ 0°，90°]（1）传统方法：先找到（或作出）过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的角，然后放入直角三角形中求解。
第2讲 立体几何中的空间角问题
(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.
解 方法一 如图(2)，过点O作OH⊥BD，交直线BD于点H，连接CH.
由ABC－DEF为三棱台，得DF∥CO，
所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角.
由BC⊥平面BDO，得OH⊥BC，又BC∩BD＝B，
故OH⊥平面DBC，
所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角.
(2)(2021·温州模拟)如图，点M，N分别是正四面体ABCD的棱AB，CD上 的点，设BM＝x，直线MN与直线BC所成的角为θ，则 A.当ND＝2CN时，θ随着x的增大而增大 B.当ND＝2CN时，θ随着x的增大而减小 C.当CN＝2ND时，θ随着x的增大而减小
√D.当CN＝2ND时，θ随着x的增大而增大
又∵AA1∥B1B，∴BB1⊥BM. 又BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BMC， ∴BB1⊥平面BMC， 又CM⊂平面BMC，∴BB1⊥CM.
(2)求直线BM与平面CB1M所成角的正弦值.
解 方法一 作BG⊥MB1于点G，连接CG. 由(1)知BC⊥平面AA1B1B，得到BC⊥MB1， 又BC∩BG＝B，BC，BG⊂平面BCG，
MN＝ x2－3x＋7，
所以在△MNE 中，cos θ＝2
4－x x2－3x＋7
＝12 1＋x2－9－3x5＋x 7(x∈[0,3])，
令 f(x)＝x2－9－3x5＋x 7，
则 f′(x)＝5xx22－－31x8＋x－782<0，
所以f(x)在定义域内单调递减，即x增大，f(x)减小，即cos θ减小，从而θ 增大，故D正确，C错误.
所以在△FNM中， cos θ＝2 x25－－3xx＋7＝21
1＋x21－8－3x7＋x 7(x∈[0,3])，
高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法
高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法立体几何是数学中的一个分支，其重点研究的是三维空间中点、线、面和体之间的关系。
在立体几何中，空间角和空间距离是非常关键的概念。
本文将详细探讨高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法。
一、空间角的概念与计算方法1. 空间角的概念空间角指的是由两个非共面向量所张成的角度，在立体几何中具有重要的意义。
空间角的大小是依据两个向量的夹角计算得来的。
2. 空间角的计算方法在计算空间角时，我们首先需要求出两个向量的点积。
设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则它们的点积为a*b=a1b1+a2b2+a3b3。
接下来，我们可以利用余弦定理来计算角度，即cosθ=(a*b)/(|a||b|)，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长，θ表示向量a和向量b之间的夹角。
二、空间距离的概念与计算方法1. 空间距离的概念空间距离指的是三维空间中两个点之间的距离，也是立体几何中经常涉及到的一个概念。
2. 空间距离的计算方法我们可以借助勾股定理来计算空间距离。
设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，它们之间的距离为d，则d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。
三、空间角和空间距离的应用空间角和空间距离在立体几何中的应用非常广泛，例如在计算棱台的侧面积、计算四面体内切圆半径、求解圆锥截面面积等问题中，我们都需要用到空间角和空间距离的知识。
比如，在计算棱台的侧面积时，我们需要首先求出两条棱所在的平面之间的空间角，然后根据棱长和计算出的角度，就可以快速计算出棱台的侧面积。
在计算四面体内切圆半径时，我们需要先计算出四面体各面的法线向量，然后根据法线向量计算面上的角度，最后用勾股定理求出四面体内切圆的半径。
在求解圆锥截面面积时，我们需要用到空间角和空间距离的知识，以找出圆锥截面的边界和计算截面的面积。
立体几何之空间角
立体几何之空间角一、基本知识回顾空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
） 异面直线所成角 1.022.π⎧⎛⎤ ⎪⎥⎝⎦⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩范围：，平移相交（找平行线替换）求法：向量法⎥⎦⎤⎝⎛20π，） 直线与平面所成角 1.π⎧⎡⎤⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩范围0，2定义2.求法向量法⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π nm nm⋅⋅=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α⊂a 若n m //则α⊥a） 二面角[]1.0.2.π⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩范围：定义法（即垂面法）作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法θcos S S =' ☎S 为原斜面面积 S '为射影面积 θ为斜面与射影所成锐二面角的平面角✆当θ为锐角时，nm nm⋅⋅=arccos θ当θ为锐角时，nm nm ⋅⋅-=arccos πθ二、例题讲解在正三棱柱111ABC A B C -中，若1,AB 求1AB 与B C 1所成的角的大小。
解：法一：如图一所示，设O 为C B 1、B C 1的交点，D AC 为的中点，则所求角是DOB ∠。
设1,BB a AB ==则，于是在DOB ∆中，122211,,21,,2OB BC BD OD AB BD OB OD =======+ 即90,DOB ∠=︒∴ ︒=∠90DOB法二：取11A B 的中点O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系,xyz O -AB 21的长度单位，则由1AB =有((())((111111110,,,0,1,0,0,2,,,220,A B B C AB C B AB C B AB C B-∴==⋅=-=∴⊥如图二所示，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是一直角梯形，90,//,,2B A D A D B C A BB C a A D a ∠=︒===且PA ABCD ⊥底面，PD 与底面成30︒角。
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线线角，用平移，妙选顶点， 线面角，作射影，二足相连。 二面角，求法多，空间余弦， 用定义，三垂线，射影垂面。 熟化归，解三角，算准结果， 作证求，三环节，环环相扣。
求解的基本思路为：
空间 技 巧
平面
问题 问题 “移”、“补” 、“换”
老本 师专 、题 朋到 友此 ，结 请束 批， 评各 、位 指领 正导
解析3 利用三垂线求解
P
E
把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱
PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B
互补，转化为求二面角E-PC-D。
易证面PEDA ⊥PDC，过E作EF ⊥ PD于F，显
然PF ⊥面PDC，在面PCE内，过E作EG ⊥PC于G， A
G
连接GF，由三垂线得GF⊥ PC 即角EGF为二面角E-P
解析5
利用空间余弦定理求解
P
复习
在面PDC内，分别过D、B作DE ⊥PC于 E，BF ⊥PC于F，连接EF即可。
利用平面知识求BF、EF、DE的长度， 再利用空间余弦定理求出 即可。
A
F
D
E
B
C
方法提炼
针对训练1 已知二面角－ l － ，A为面内一点，A到 的
距离为 2 ，到l 的距离为4。求二面角 － l － 的大小。
解析
（1）易证，略 （2）如何作出线面角
过Q作QR平行AD，交BB1与R，连 接AR，易知面ADQR即为面AQD 由（1）知A1P ⊥面AQD，设
A1P交AR与S，连接SQ即可。
D1 A1
D
S
C1 B1 Q R
C
由以上的作法可知 SQP即为所求角。
A
只需解△QSP即可。
PB
方法提炼
例2. 在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面
“一作”
2.证明所作的角符合定义 <定性>
“二证”
3.构造三角形并求出所要求角<定量> “三算”
简言之，空间角的求解步骤为： “一作” “二证” “三算”
例1. 如图棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC1上的内
分点，满足 AP CQ 2
.
PB QC1
（1）求证：A1P⊥平面AQD；
（2）求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值.
PB=8，AB=7，求这二面角的度数。
P
KEY 120º
βB
ιO
Aα
针对训练4 在直角坐标系中，设A （－2 , 3 ）、B（3 ，－2 ），沿x轴把
直角坐标平面折成大小为的二面角后，AB 4 2，则 的值为
。
y
y
A
A
x
o
B
x
o
B
本专题主要复习空间角（包括异面直线所成角、直线与平 面所成角、二面角）的定义、求法，可总结为：
F D
C-D的平面角，只需解△EFG即可。
P
EGF
E
解析4
B
C
射影面积法 由解析3的分析过程知，△PFC为△
PEC在面PDC上的射影，由射影面积公式得sin
F
＝ 5 ，余下的问题比较容易解决！
10
A
D
跳转
B
C
例3. 在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面 ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。
KEY:
6
针对训练2 如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底
面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求2二面角P-AB-C
的正切值。
KEY: 2 2
P P
A.
D
O
E
A
E
B
l
O
C
O
撤消
针对训练3 如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α, PB⊥β,且PA=5，
D ⊥BP于M，显然AM ⊥面PBC，从而有AM
⊥PC，同法可得AN ⊥PC，再由AM与AN相
交与A得PC ⊥面AMN。设面AMN交PC于Q，
则 M为QN二面角B-PC-D的平面角；再利
C
用三面角公式可解。
跳转
例2. 在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面ABCD，设
PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。
ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。
解析1 定义法
P
过D作DE ⊥PC于E，过E作EF ⊥PC于F，
连接FD，由二面角的平面角的定义可知 SQP
是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-
PC-D的大小只需解△DEF即可。
P QN
解析2
B
A F
E
D
C
M A
B
垂面法 易证面PAB⊥面PBC，过A作AM
（3）角的边都要垂直于二面角的棱。
返回
方法提炼1 求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。 常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作 出符合要求的平行线。
返回
方法提炼1 求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作
平行线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的 性质等作出符合要求的平行线。
方法提炼2 求直线和平面所成角要领 “找射影，二足相
斜线与它在平面 内的射影所成的 锐角。
从一条直线引出的两 个半平面所组成的图 形叫做二面角。
表示 异面直线a，b所成角 线a与平面 所成角 l （面－棱－面）
范围
（0 , ]
2
[0 , ]
2
[ 0 ， ]
要点 找适当点、作平行线 找射影、二足相连 用什么度量？
1.作出所求的空间角 <定位>
空间角及 专
题讲 座
其求法
（1）教材地位分析
立体几何板块主要有两大类型 （1）判断、推理型 （2）有关的 几何量的计算，其中包括空间角、空间距离、体积的计算。
空间角及其求法是是立体几何包括的重要组成部分，是立体几何 板块的一个重点，也是难点。
（2） 高考地位分析
在历届高考中，空间角及其求法是每年必考的内容，与距离的计算、线 面位置关系论证形成新的热点，该部分的分值约6-16分，属于中等难度。
理解空间角的概念、会求空间角的大小。
立体几何高考分 析
高考中，立体几何板块往往有4个题目：2个选择题，一个填空题 和1个大题。在大题中，一般是论证题和空间角（距离）计算组成。 在选择题中有时有一个题考查空间角的求法。
异面直线所成角
图
直线与平面所成角
二面角
形
定 义
在空间任取一点o，分别 作a，b的平行线，从而 形成的的锐（直）角
、
1.定义
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分 别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做 二面角的平面角。
? AOB＝ALeabharlann BOA等角定理：如果一个角的两边和另
l
B
一个角的两边分别平行，并且方向相 二同面，角那的么平这面两角个必角须相满等足。：
O
B （1）角的顶点在棱上。
A
（2）角的两边分别在两个面内。