立体几何空间角
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、
1.定义
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分 别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做 二面角的平面角。
? AOB＝AOB
O
A
等角定理：如果一个角的两边和另
l
B
一个角的两边分别平行，并且方向相 二同面，角那的么平这面两角个必角须相满等足。：
O
B （1）角的顶点在棱上。
A
（2）角的两边分别在两个面内。
（3）角的边都要垂直于二面角的棱。
返回
方法提炼1 求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。 常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作 出符合要求的平行线。
返回
方法提炼1 求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作
平行线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的 性质等作出符合要求的平行线。
空间角及 专
题讲 座
其求法
（1）教材地位分析
立体几何板块主要有两大类型 （1）判断、推理型 （2）有关的 几何量的计算，其中包括空间角、空间距离、体积的计算。
空间角及其求法是是立体几何包括的重要组成部分，是立体几何 板块的一个重点，也是难点。
（2） 高考地位分析
在历届高考中，空间角及其求法是每年必考的内容，与距离的计算、线 面位置关系论证形成新的热点，该部分的分值约6-16分，属于中等难度。
百度文库
D ⊥BP于M，显然AM ⊥面PBC，从而有AM
⊥PC，同法可得AN ⊥PC，再由AM与AN相
交与A得PC ⊥面AMN。设面AMN交PC于Q，
则 M为QN二面角B-PC-D的平面角；再利
C
用三面角公式可解。
跳转
例2. 在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面ABCD，设
PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。
线线角，用平移，妙选顶点， 线面角，作射影，二足相连。 二面角，求法多，空间余弦， 用定义，三垂线，射影垂面。 熟化归，解三角，算准结果， 作证求，三环节，环环相扣。
求解的基本思路为：
空间 技 巧
平面
问题 问题 “移”、“补” 、“换”
老本 师专 、题 朋到 友此 ，结 请束 批， 评各 、位 指领 正导
“一作”
2.证明所作的角符合定义 <定性>
“二证”
3.构造三角形并求出所要求角<定量> “三算”
简言之，空间角的求解步骤为： “一作” “二证” “三算”
例1. 如图棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC1上的内
分点，满足 AP CQ 2
.
PB QC1
（1）求证：A1P⊥平面AQD；
（2）求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值.
KEY:
6
针对训练2 如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底
面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求2二面角P-AB-C
的正切值。
KEY: 2 2
P P
A.
D
O
E
A
E
B
l
O
C
O
撤消
针对训练3 如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α, PB⊥β,且PA=5，
斜线与它在平面 内的射影所成的 锐角。
从一条直线引出的两 个半平面所组成的图 形叫做二面角。
表示 异面直线a，b所成角 线a与平面 所成角 l （面－棱－面）
范围
（0 , ]
2
[0 , ]
2
[ 0 ， ]
要点 找适当点、作平行线 找射影、二足相连 用什么度量？
1.作出所求的空间角 <定位>
PB=8，AB=7，求这二面角的度数。
P
KEY 120º
βB
ιO
Aα
针对训练4 在直角坐标系中，设A （－2 , 3 ）、B（3 ，－2 ），沿x轴把
直角坐标平面折成大小为的二面角后，AB 4 2，则 的值为
。
y
y
A
A
x
o
B
x
o
B
本专题主要复习空间角（包括异面直线所成角、直线与平 面所成角、二面角）的定义、求法，可总结为：
解析3 利用三垂线求解
P
E
把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱
PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B
互补，转化为求二面角E-PC-D。
易证面PEDA ⊥PDC，过E作EF ⊥ PD于F，显
然PF ⊥面PDC，在面PCE内，过E作EG ⊥PC于G， A
G
连接GF，由三垂线得GF⊥ PC 即角EGF为二面角E-P
ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。
解析1 定义法
P
过D作DE ⊥PC于E，过E作EF ⊥PC于F，
连接FD，由二面角的平面角的定义可知 SQP
是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-
PC-D的大小只需解△DEF即可。
P QN
解析2
B
A F
E
D
C
M A
B
垂面法 易证面PAB⊥面PBC，过A作AM
解析
（1）易证，略 （2）如何作出线面角
过Q作QR平行AD，交BB1与R，连 接AR，易知面ADQR即为面AQD 由（1）知A1P ⊥面AQD，设
A1P交AR与S，连接SQ即可。
D1 A1
D
S
C1 B1 Q R
C
由以上的作法可知 SQP即为所求角。
A
只需解△QSP即可。
PB
方法提炼
例2. 在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面
解析5
利用空间余弦定理求解
P
复习
在面PDC内，分别过D、B作DE ⊥PC于 E，BF ⊥PC于F，连接EF即可。
利用平面知识求BF、EF、DE的长度， 再利用空间余弦定理求出 即可。
A
F
D
E
B
C
方法提炼
针对训练1 已知二面角－ l － ，A为面内一点，A到 的
距离为 2 ，到l 的距离为4。求二面角 － l － 的大小。
理解空间角的概念、会求空间角的大小。
立体几何高考分 析
高考中，立体几何板块往往有4个题目：2个选择题，一个填空题 和1个大题。在大题中，一般是论证题和空间角（距离）计算组成。 在选择题中有时有一个题考查空间角的求法。
异面直线所成角
图
直线与平面所成角
二面角
形
定 义
在空间任取一点o，分别 作a，b的平行线，从而 形成的的锐（直）角
方法提炼2 求直线和平面所成角要领 “找射影，二足相
F D
C-D的平面角，只需解△EFG即可。
P
EGF
E
解析4
B
C
射影面积法 由解析3的分析过程知，△PFC为△
PEC在面PDC上的射影，由射影面积公式得sin
F
＝ 5 ，余下的问题比较容易解决！
10
A
D
跳转
B
C
例3. 在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面 ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。
1.定义
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分 别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做 二面角的平面角。
? AOB＝AOB
O
A
等角定理：如果一个角的两边和另
l
B
一个角的两边分别平行，并且方向相 二同面，角那的么平这面两角个必角须相满等足。：
O
B （1）角的顶点在棱上。
A
（2）角的两边分别在两个面内。
（3）角的边都要垂直于二面角的棱。
返回
方法提炼1 求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。 常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作 出符合要求的平行线。
返回
方法提炼1 求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作
平行线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的 性质等作出符合要求的平行线。
空间角及 专
题讲 座
其求法
（1）教材地位分析
立体几何板块主要有两大类型 （1）判断、推理型 （2）有关的 几何量的计算，其中包括空间角、空间距离、体积的计算。
空间角及其求法是是立体几何包括的重要组成部分，是立体几何 板块的一个重点，也是难点。
（2） 高考地位分析
在历届高考中，空间角及其求法是每年必考的内容，与距离的计算、线 面位置关系论证形成新的热点，该部分的分值约6-16分，属于中等难度。
百度文库
D ⊥BP于M，显然AM ⊥面PBC，从而有AM
⊥PC，同法可得AN ⊥PC，再由AM与AN相
交与A得PC ⊥面AMN。设面AMN交PC于Q，
则 M为QN二面角B-PC-D的平面角；再利
C
用三面角公式可解。
跳转
例2. 在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面ABCD，设
PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。
线线角，用平移，妙选顶点， 线面角，作射影，二足相连。 二面角，求法多，空间余弦， 用定义，三垂线，射影垂面。 熟化归，解三角，算准结果， 作证求，三环节，环环相扣。
求解的基本思路为：
空间 技 巧
平面
问题 问题 “移”、“补” 、“换”
老本 师专 、题 朋到 友此 ，结 请束 批， 评各 、位 指领 正导
“一作”
2.证明所作的角符合定义 <定性>
“二证”
3.构造三角形并求出所要求角<定量> “三算”
简言之，空间角的求解步骤为： “一作” “二证” “三算”
例1. 如图棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC1上的内
分点，满足 AP CQ 2
.
PB QC1
（1）求证：A1P⊥平面AQD；
（2）求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值.
KEY:
6
针对训练2 如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底
面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求2二面角P-AB-C
的正切值。
KEY: 2 2
P P
A.
D
O
E
A
E
B
l
O
C
O
撤消
针对训练3 如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α, PB⊥β,且PA=5，
斜线与它在平面 内的射影所成的 锐角。
从一条直线引出的两 个半平面所组成的图 形叫做二面角。
表示 异面直线a，b所成角 线a与平面 所成角 l （面－棱－面）
范围
（0 , ]
2
[0 , ]
2
[ 0 ， ]
要点 找适当点、作平行线 找射影、二足相连 用什么度量？
1.作出所求的空间角 <定位>
PB=8，AB=7，求这二面角的度数。
P
KEY 120º
βB
ιO
Aα
针对训练4 在直角坐标系中，设A （－2 , 3 ）、B（3 ，－2 ），沿x轴把
直角坐标平面折成大小为的二面角后，AB 4 2，则 的值为
。
y
y
A
A
x
o
B
x
o
B
本专题主要复习空间角（包括异面直线所成角、直线与平 面所成角、二面角）的定义、求法，可总结为：
解析3 利用三垂线求解
P
E
把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱
PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B
互补，转化为求二面角E-PC-D。
易证面PEDA ⊥PDC，过E作EF ⊥ PD于F，显
然PF ⊥面PDC，在面PCE内，过E作EG ⊥PC于G， A
G
连接GF，由三垂线得GF⊥ PC 即角EGF为二面角E-P
ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。
解析1 定义法
P
过D作DE ⊥PC于E，过E作EF ⊥PC于F，
连接FD，由二面角的平面角的定义可知 SQP
是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-
PC-D的大小只需解△DEF即可。
P QN
解析2
B
A F
E
D
C
M A
B
垂面法 易证面PAB⊥面PBC，过A作AM
解析
（1）易证，略 （2）如何作出线面角
过Q作QR平行AD，交BB1与R，连 接AR，易知面ADQR即为面AQD 由（1）知A1P ⊥面AQD，设
A1P交AR与S，连接SQ即可。
D1 A1
D
S
C1 B1 Q R
C
由以上的作法可知 SQP即为所求角。
A
只需解△QSP即可。
PB
方法提炼
例2. 在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面
解析5
利用空间余弦定理求解
P
复习
在面PDC内，分别过D、B作DE ⊥PC于 E，BF ⊥PC于F，连接EF即可。
利用平面知识求BF、EF、DE的长度， 再利用空间余弦定理求出 即可。
A
F
D
E
B
C
方法提炼
针对训练1 已知二面角－ l － ，A为面内一点，A到 的
距离为 2 ，到l 的距离为4。求二面角 － l － 的大小。
理解空间角的概念、会求空间角的大小。
立体几何高考分 析
高考中，立体几何板块往往有4个题目：2个选择题，一个填空题 和1个大题。在大题中，一般是论证题和空间角（距离）计算组成。 在选择题中有时有一个题考查空间角的求法。
异面直线所成角
图
直线与平面所成角
二面角
形
定 义
在空间任取一点o，分别 作a，b的平行线，从而 形成的的锐（直）角
方法提炼2 求直线和平面所成角要领 “找射影，二足相
F D
C-D的平面角，只需解△EFG即可。
P
EGF
E
解析4
B
C
射影面积法 由解析3的分析过程知，△PFC为△
PEC在面PDC上的射影，由射影面积公式得sin
F
＝ 5 ，余下的问题比较容易解决！
10
A
D
跳转
B
C
例3. 在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面 ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。