函数的极值和最值。知识梳理
函数的极值和最值知识梳理
函数的极值和最值考纲要求】1. 掌握函数极值的定义。
2. 了解函数的极值点的必要条件和充分条件.3. 会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4. 会求给定闭区间上函数的最值。
知识网络】【考点梳理】要点一、函数的极值函数的极值的定义一般地，设函数 f (x) 在点x x0 及其附近有定义，( 1)若对于 x 0附近的所有点，都有 f (x) f (x0)，则 f(x0)是函数 f (x)的一个极大值，记作 y极大值f (x0) ；(2)若对 x0附近的所有点，都有 f(x) f(x0) ，则 f(x0)是函数 f(x) 的一个极小值，记作y极小值f(x0).极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.要点诠释：求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数 f (x) ；③求方程 f (x) 0 的根；④检查f '(x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x) 在这个根处取得极小值.( 最好通过列表法)要点二、函数的最值1. 函数的最大值与最小值定理若函数y f (x)在闭区间 [a,b] 上连续，则 f(x)在[a,b] 上必有最大值和最小值；在开区间 (a, b)内连1 续的函数 f (x) 不一定有最大值与最小值.如f(x)(x 0).x 要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
2. 通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数y f (x)在闭区间 [a,b] 有定义，在开区间(a, b)内有导数，则求函数y f ( x)在[a,b] 上的最大值和最小值的步骤如下：(1)求函数 f(x)在(a,b) 内的导数 f (x)；(2)求方程 f (x) 0在 (a, b)内的根；(3)求在 (a,b) 内使 f (x) 0的所有点的函数值和 f (x)在闭区间端点处的函数值 f (a)， f(b)；( 4)比较上面所求的值，其中最大者为函数y f(x)在闭区间 [a,b] 上的最大值，最小者为函数y f ( x)在闭区间 [a,b] 上的最小值.【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题【高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题一】例 1.已知函数f (x) mx3 3x 2 3x,m R.若函数f (x)在x 1处取得极值，试求m 的值，并求f (x) 在点M (1, f (1)) 处的切线方程；【解析】f '(x) 3mx2 6x 3,m R.因为f(x)在x 1处取得极值所以f '( 1) 3m 6 3 0所以m 3。
《导数与函数的极值、最值》 知识清单
《导数与函数的极值、最值》知识清单一、导数的概念导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
对于函数 y ＝ f(x)，其在点 x ＝ x₀处的导数定义为：f'（x₀) ＝ limₕ→₀ f(x₀＋ h) f(x₀) ／ h导数的几何意义是函数曲线在该点处的切线斜率。
如果导数存在，则函数在该点处可导。
二、函数的极值1、极值的定义函数在某区间内的极大值和极小值统称为极值。
极大值是指在该区间内比其附近的函数值都大的函数值；极小值则是指在该区间内比其附近的函数值都小的函数值。
2、极值点的判别方法（1）导数为零的点：若函数 f(x) 在点 x₀处可导，且 f'（x₀) ＝ 0，则 x₀可能是极值点。
（2）导数不存在的点：函数在某些点处导数不存在，但也可能是极值点。
3、第一导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀的某个邻域内可导，且 f'（x₀) ＝ 0。
（1）如果当 x ＜ x₀时，f'（x) ＞ 0；当 x ＞ x₀时，f'（x) ＜ 0，则 f(x) 在 x₀处取得极大值。
（2）如果当 x ＜ x₀时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ x₀时，f'（x) ＞ 0，则 f(x) 在 x₀处取得极小值。
4、第二导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀处具有二阶导数，且 f'（x₀) ＝ 0，f'＇（x₀) ≠ 0。
（1）若 f'＇（x₀) ＜ 0，则函数 f(x) 在 x₀处取得极大值。
（2）若 f'＇（x₀) ＞ 0，则函数 f(x) 在 x₀处取得极小值。
三、函数的最值1、最值的定义函数在某个区间内的最大值和最小值分别称为函数在该区间内的最值。
2、求最值的步骤（1）求函数在给定区间内的导数。
（2）找出导数为零的点和导数不存在的点。
（3）计算这些点以及区间端点处的函数值。
（4）比较这些函数值，最大的即为最大值，最小的即为最小值。
函数的极值与最大值最小值
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
函数的极值和最值
函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，可以帮助我们研究函数的特性和解决实际问题。
本文将介绍函数的极值和最值的定义、求解方法以及应用。
一、函数的极值函数的极值即函数在某个区间内的最大值或最小值。
极值分为两种情况：局部极值和全局极值。
1. 局部极值局部极值是指函数在某个开区间内的最值。
设函数f(x)在点x=a处连续，如果在a的某个邻域内，对于任意的x，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在该邻域内的局部最小值（或局部最大值）。
其中，f(a)是该局部极值的函数值，a是极值点。
2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域上的最值。
设函数f(x)在[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在[a, b]上的全局最小值（或全局最大值）。
其中，f(a)是该全局极值的函数值，a是极值点。
二、函数极值的求解方法根据函数的极值定义，我们可以通过以下方法求解函数的极值：1. 导数法导数法是一种常用的求解函数极值的方法。
首先，我们计算函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数为零或不存在的点。
这些点就是可能的极值点。
接下来，对每个可能的极值点进行二阶导数检查，确认是否为极值。
当二阶导数大于0时，该点为局部最小值；当二阶导数小于0时，该点为局部最大值。
2. 区间法区间法适用于离散函数或无法通过导数法求解的情况。
首先，我们将定义域分为若干个区间，并计算每个区间的函数值。
然后，通过比较函数值得出极值。
例如，当函数值最大时，该点为局部最大值；当函数值最小时，该点为局部最小值。
三、函数极值的应用函数的极值在数学和实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个典型的应用场景：1. 优化问题函数的极值在优化问题中起到重要作用。
例如，在生产过程中，我们希望找到产量最大或成本最低的方式，这就需要求解函数的最值。
2. 经济学经济学中的需求、供给、收益等问题通常涉及函数的极值。
函数的极值与最值
函数的极值与最值函数的极值与最值是数学中一个重要的概念，它帮助我们了解函数在特定区间内的最大值和最小值，对于解决实际问题和优化函数的性能具有重要意义。
在本文中，我们将探讨函数的极值和最值的概念、求解方法以及其在实际问题中的应用。
1. 函数的极值与最值概述函数的极值指的是函数在某个区间内取到的最大值或最小值。
极大值是指函数在该点的函数值大于或等于该点邻近的其他点的函数值，而极小值则是指函数在该点的函数值小于或等于该点邻近的其他点的函数值。
函数的最大值和最小值则是函数在整个定义域内取到的最大和最小的函数值。
2. 求解函数的极值与最值为了求解函数的极值与最值，我们可以采用以下方法：2.1 导数法对于可导的函数，我们可以通过求导来找到函数的极值。
首先，我们计算函数的导数，然后求解导数为零的点，即可得到函数的极值点。
通过求二阶导数，我们可以进一步判断该点是极大值还是极小值。
2.2 边界法如果函数在一个闭区间上连续，我们可以通过计算该区间的边界点和函数在这些点上的函数值，来找到函数的最值。
比较边界点上的函数值，即可得出函数的最大值和最小值。
3. 函数极值与最值的应用函数的极值与最值在实际问题中有广泛的应用。
以下是几个例子：3.1 经济学在经济学中，函数的极值与最值可以用来优化生产效益、成本最小化和利润最大化的问题。
例如，一个公司可以通过求解该公司的生产函数的最大值，来确定最优的生产量和工人数量。
3.2 物理学在物理学中，函数的极值与最值可以用于研究运动的轨迹、优化物体的能量和速度等问题。
通过求解物体的加速度函数或能量函数的极值，可以找到物体在特定条件下的最优运动轨迹。
3.3 工程学在工程学中，函数的极值与最值可以用于设计和优化工程系统。
例如，通过求解某个系统的效率函数的最大值，可以找到系统的最佳工作点，从而提高工程系统的性能和效益。
总结：函数的极值与最值是数学中的重要概念，它们帮助我们优化函数和解决实际问题。
利用导数求函数的极值、最值知识点讲解+例题讲解(含解析)
利用导数求函数的极值、最值一、知识梳理1.函数的极值与导数形如山峰形如山谷2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习考点一利用导数解决函数的极值问题角度1根据函数图象判断函数极值【例1－1】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值. 答案 D规律方法 由图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点：(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性.两者结合可得极值点.角度2 已知函数求极值【例1－2】 (2019·天津和平区模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0).当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a >0时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，故函数在x ＝1a 处有极大值.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点， 当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a .规律方法 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的一般步骤：(1)先求函数y ＝f (x )的定义域，再求其导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查导数f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.角度3 已知函数的极(最)值求参数的取值 【例1－3】 (2019·泰安检测)已知函数f (x )＝ln x . (1)求f (x )图象的过点P (0，－1)的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx ＋mx 存在两个极值点x 1，x 2，求m 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x .设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.把点P (0，－1)代入切线方程，得ln x 0＝0，∴x 0＝1. ∴过点P (0，－1)的切线方程为y ＝x －1. (2)因为g (x )＝f (x )－mx ＋m x ＝ln x －mx ＋mx (x >0)， 所以g ′(x )＝1x －m －m x 2＝x －mx 2－mx 2＝－mx 2－x ＋m x 2，令h (x )＝mx 2－x ＋m ，要使g (x )存在两个极值点x 1，x 2，则方程mx 2－x ＋m ＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2.故只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h (0)>0，12m >0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <0即可，解得0<m <12.规律方法 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A.－1B.－2e －3C.5e －3D.1解析 f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]·e x －1，则f ′(－2)＝[4－2(a ＋2)＋a －1]·e －3＝0⇒a ＝－1， 则f (x )＝(x 2－x －1)·e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)·e x －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1， 当x <－2或x >1时，f ′(x )>0， 当－2<x <1时，f ′(x )<0，所以x ＝1是函数f (x )的极小值点， 则f (x )极小值为f (1)＝－1. 答案 A(2)(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . ①若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； ②若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围. 解 ①因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .f ′(1)＝(1－a )e. 由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.②f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值.若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.考点二 利用导数求函数的最值【例2】 (2019·广东五校联考)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 解 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞.①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不合题意.②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0<x <－1a；令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1a <x ≤e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1a ，e 上为减函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a .令－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－2，即a ＝－e 2.∵－e 2<－1e ，∴a ＝－e 2为所求.故实数a 的值为－e 2.规律方法 1.利用导数求函数f (x )在[a ，b ]上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【训练2】 (2019·合肥质检)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)∵f (x )＝e x ·cos x －x ，∴f (0)＝1， f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0，∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)， 即y ＝1.(2)f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )， 则g ′(x )＝－2e xsin x ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立， 且仅在x ＝0处等号成立， ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.考点三 利用导数求解最优化问题【例3】 (2018·衡水中学质检)在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升). (1)求y 关于v 的函数关系式；(2)若c ≤v ≤15(c >0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少.解 (1)由题意，下潜用时60v (单位时间)，用氧量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1×60v ＝3v 250＋60v (升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时60v 2＝120v (单位时间)，用氧量为120v ×1.5＝180v (升)，因此总用氧量y ＝3v 250＋240v ＋9(v >0).(2)y ′＝6v 50－240v 2＝3（v 3－2 000）25v 2，令y ′＝0得v ＝1032，当0<v <1032时，y ′<0，函数单调递减； 当v >1032时，y ′>0，函数单调递增.若c <1032 ，函数在(c ，1032)上单调递减，在(1032，15)上单调递增，∴当v ＝1032时，总用氧量最少. 若c ≥1032，则y 在[c ，15]上单调递增， ∴当v ＝c 时，这时总用氧量最少.规律方法 1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.三、课后练习1.(2019·郑州质检)若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数.已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( ) A.2折函数 B.3折函数 C.4折函数D.5折函数解析 f ′(x )＝(x ＋2)e x －(x ＋2)(3x ＋2)＝(x ＋2)(e x －3x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x ＝3x ＋2. 易知x ＝－2是f (x )的一个极值点，又e x ＝3x ＋2，结合函数图象，y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点.又e －2≠3(－2)＋2＝－4.∴函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数. 答案 C2.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是________.解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x ，所以由f ′(x )＝0解得x ＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，323.(2019·杭州质检)传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm 且以每秒1 cm 等速率缩短，而长度以每秒20 cm 等速率增长.已知神针的底面半径只能从12 cm 缩到4 cm ，且知在这段变形过程中，当底面半径为10 cm 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________ cm. 解析 设神针原来的长度为a cm ，t 秒时神针的体积为V (t ) cm 3， 则V (t )＝π(12－t )2·(a ＋20t )，其中0≤t ≤8， 所以V ′(t )＝[－2(12－t )(a ＋20t )＋(12－t )2·20]π.因为当底面半径为10 cm 时其体积最大，所以10＝12－t ，解得t ＝2，此时V ′(2)＝0，解得a ＝60，所以V (t )＝π(12－t )2·(60＋20t )，其中0≤t ≤8.V ′(t )＝60π(12－t )(2－t )，当t ∈(0，2)时，V ′(t )>0，当t ∈(2，8)时，V ′(t )<0，从而V (t )在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单调递减，V (0)＝8 640π，V (8)＝3 520π，所以当t ＝8时，V (t )有最小值3 520π，此时金箍棒的底面半径为4 cm.答案 44.设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0). (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围. 解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞). 所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x . 又a >0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减.∴函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.②当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意.③当a >12时，0<12a <1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。
函数的极值与最值——知识梳理
\g
( - x ) +g
(x)
=
2x+1 +
2x +1
sin
x
2 -1+
1+ 2x
- sin
x
-1 =
0
思思老师
\g(-x) = -g(x)
\ g ( x) 为奇函数，函数图像关于原点对称.
\函数 g ( x) 在区间 [-k, k ](k > 0) 上的最大值记为 a,(a>0),则函数 g ( x) 在区间 [-k, k ](k > 0) 上的最小
f (2) 4
4 16
类型五：函数、导数、不等式知识在最值方面的综合应用
例 5. （ 2016 全 国 新 课 标 Ⅱ ） ( Ⅰ ) 讨 论 函 数 f (x) = x - 2 ex 的 单 调 性 ， 并 证 明 当 x > 0 时 ， x+2
(x - 2)ex + x + 2 > 0 ；
(Ⅱ)证明：当
f
(x)
=1+
2x+1 2x +1
+ sin
x
在区间 [-k, k ]( k
>
0)
上的值域为 [m, n]
，则
m+n=
.
【答案】4
【解析】记 g ( x)
=
f
(x)-2 =
2x+1 + sin x -1
2x +1
\
g
(-x)
=
2- x+1 2-x +1
+
sin
(-x)
-1
2 = 1+ 2x - sin x -1
函数的极值和最值
函数的极值和最值在微积分中，函数的极值和最值是常见的概念。
极值指的是函数在某一区间内取得的最大值或最小值，而最值则是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
一、极值的定义对于一个函数f(x)，如果存在某个数a使得在a的邻域内的任意x，都有f(x)≤f(a)或者f(x)≥f(a)，那么称函数f(x)在点a处有极大值或极小值。
极大值和极小值统称为极值。
二、求解极值的方法为了求解函数的极值，我们需要采用求导的方法。
具体步骤如下：1. 对函数f(x)求导，得到f'(x)。
2. 找出f'(x)的零点，即解方程f'(x)=0。
3. 将零点代入f''(x)，判断它们的正负性。
- 如果f''(x)>0，则在该点处取得极小值。
- 如果f''(x)<0，则在该点处取得极大值。
- 如果f''(x)=0，则无法判断，需要进行其他方法的检验。
三、最值的定义函数的最大值和最小值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
最大值用符号"max"表示，最小值用符号"min"表示。
四、求解最值的方法求解函数的最值需要考虑函数的定义域，并结合求导和极值的方法。
1. 函数定义域的判断- 如果函数是一个有限闭区间上的连续函数，则最值必然存在。
- 如果函数的定义域是整个实数集，则最值可能不存在。
2. 求解最值的步骤- 首先，对函数f(x)求导，得到f'(x)。
- 然后，找出f'(x)的零点。
- 接着，将零点和函数的端点代入f(x)，求出这些点对应的函数值。
- 最后，比较这些函数值，找出最大值和最小值。
需要注意的是，在求解最值时，还需要考虑函数的边界特性和特殊点，如间断点、开区间端点以及无界区间的端点等。
总结：函数的极值和最值是微积分中的重要概念，通过对函数的导数、零点和二阶导数的分析，可以求解函数的极值和最值。
函数的极值与最值知识点
函数的极值与最值知识点函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
在函数中，经常会遇到极值与最值的问题。
本文将介绍与函数的极值与最值相关的知识点。
一、函数的极值函数的极值指的是在函数曲线上存在的最高点或最低点。
根据函数的定义域和值域，可以分为两种极值：最大值和最小值。
1. 定义域与值域在讨论函数的极值之前，首先需要明确函数的定义域和值域。
定义域是指函数的自变量的取值范围，而值域则是函数的因变量的取值范围。
2. 局部极值对于实数域上的函数，如果在某个区间内存在一个点，使得这个点左右两侧的函数值都比它小（或都比它大），那么这个点就是函数在该区间内的局部最小值（或最大值）。
3. 单调性与极值单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
如果函数在某个区间内单调递增，那么在这个区间内，函数的最小值一定在区间的起点上；如果函数在某个区间内单调递减，那么在这个区间内，函数的最大值一定在区间的终点上。
二、函数的最值函数的最值指的是函数在定义域内可能取得的最大值或最小值。
1. 最大值与最小值对于连续函数，在有限闭区间上一定存在最大值和最小值。
根据最值的性质，最大值是函数图像上的“最高点”，最小值是函数图像上的“最低点”。
2. 最值的求解方法为了找到函数的最值，可以使用以下方法：（1）导数法：通过求函数的导数，找到导数为零的点，并且通过二阶导数的符号判断这些点是极值点还是驻点。
（2）边界法：当函数定义域为闭区间时，极值可能出现在端点上。
三、综合例题为了更好的理解函数的极值与最值，下面给出一个综合例题：例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求其在定义域[-2,2]上的最大值和最小值。
解答：首先，将函数f(x)对x求导，得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
令f'(x) = 0，解得x = 1/3。
然后，计算f''(1/3) = 4，由于f''(1/3)大于0，所以x = 1/3是函数f(x)的一个局部最小值点。
函数的极值与最值知识点总结
函数的极值与最值知识点总结函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。
本文将对函数的极值和最值进行详细总结。
1. 函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
在函数图像上就是曲线的顶点或谷底。
1.1 极大值和极小值函数在区间内取得最大值的点称为极大值点，函数在区间内取得最小值的点称为极小值点。
极大值点和极小值点合称为极值点。
1.2 极值的必要条件函数的极值一定是函数的驻点（即函数的导数为0）或者是函数定义域的端点，这是极值的必要条件。
1.3 极值判定的充分条件若函数在某点的导数由正变负，则该点是函数的极大值点；若函数在某点的导数由负变正，则该点是函数的极小值点。
这是极值判定的充分条件。
2. 函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
2.1 最大值和最小值函数在定义域内取得的最大值称为最大值，函数在定义域内取得的最小值称为最小值。
2.2 最值的存在性当函数在闭区间上连续时，函数一定存在最大值和最小值。
但是当函数在开区间上连续时，函数不一定存在最大值和最小值。
2.3 最值的求解方法求函数的最值主要通过导数的方法进行。
首先求出函数的导数，然后求出导数的零点，即函数的极值点。
从这些极值点中选取函数值最大的点，即为函数的最大值；选取函数值最小的点，即为函数的最小值。
3. 案例分析接下来通过一个具体的案例来说明函数的极值和最值的求解过程。
3.1 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值。
首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。
当 x = 0 时，f''(0) = 0，无法判断极值情况；当 x = 2 时，f''(2) = 6 > 0，说明 x = 2 是极小值点。
计算 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = -4，可知函数的极小值为 -4。
函数的极值与最大值最小值
(
)
3
(
检查
x
f
¢
0
)
(
)
2
(
的根
求驻点，即方程
=
¢
x
f
);
(
)
1
(
x
f
¢
求导数
.
)
4
(
求极值
例1
求函数 的极值.
解
得驻点
在
的左右两侧附近，
因此 不是极值.
在
点左侧，当 时，
2.9 函数的极值与最大值最小值
讨论蛋白质含量随积温变化的情况.
解 单位土地面积上黑麦草的蛋白质含量的比例为 此函数导数的计算比较复杂，作近似计算 §2.9 函数的极值与最大值最小值
取
令
得w = 683，是最大值点，
此时收获得到的蛋白质数量最多；
令
得w =493，是增长曲线的拐点，
此时是蛋白质数量增加最快的阶段.
只有一个驻点，而最大值一定存在，此驻点就是最大值点，
即当产量为300件时，总利润最大，为25000元.
L(300)=25000，
§2.9 函数的极值与最大值最小值
例6
河北沧州地区种植黑麦草作为饲料，单位土地面积上黑麦草的干物质积累量m是积温w的函数，
而随着植物的生长，干物质中的蛋白质含量 的比例逐渐下降，经验公式为
极值,
定理1
（必要条件）
证明略. (费马引理)
导数等于零的点称为函数的驻点.
§2.9 函数的极值与最大值最小值
例如，
注
① 可导函数的极值点一定是驻点，但反过来驻点不一定是极值点；
② 导数不存在的点也可能是极值点.
函数的极值与最值
函数的极值与最值函数是数学中非常重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在数学中，我们经常会遇到寻找函数的极值和最值的问题。
本文将介绍函数的极值和最值的概念、求取方法以及相关的应用。
一、函数的极值和最值概念函数的极值指的是函数在特定区间内取得的最大值和最小值。
极大值是函数在该区间内取得的最大值，而极小值则是函数在该区间内取得的最小值。
极大值和极小值统称为极值。
而最大值和最小值则是函数在整个定义域内的最大值和最小值。
二、求取函数极值的方法有多种方法可以求取函数的极值，下面介绍常用的两种方法：导数法和二阶导数法。
1. 导数法导数法是一种基于函数导数的方法，它通过求取函数的导数来判断函数在某一点的递增或递减性，从而确定极值的存在和位置。
具体步骤如下：（1）求取函数的导数；（2）求取导数为零的点，即导数为零的点可能是函数的极值点；（3）求取导数为零点的二阶导数，并判断二阶导数的正负性；（4）根据二阶导数的正负性来确定函数在该点处的极值。
2. 二阶导数法二阶导数法是基于函数的二阶导数来判断函数极值的存在和位置。
通过求取函数的二阶导数，我们可以确定函数的凹凸性，并进而确定极值的存在和位置。
具体步骤如下：（1）求取函数的二阶导数；（2）求取二阶导数为零的点，即二阶导数为零的点可能是函数的极值点；（3）根据二阶导数的正负性来确定函数在该点处的极值。
三、函数极值与最值的应用函数的极值和最值在数学中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：1. 最优化问题最优化问题是函数极值与最值的常见应用之一。
在实际问题中，我们常需要寻找一个函数的最大值或最小值，以满足特定的条件。
例如，生产厂家为了最大化利润，需要确定产量的最优值，这就是一个最优化问题。
2. 经济学应用函数的极值和最值在经济学中也有广泛的应用。
例如，生产函数和效用函数都需要求取最大值或最小值来确定最佳生产方案或消费方案。
3. 物理学应用在物理学中，函数的极值和最值也有很多应用。
第四节 函数的极值与最值(知识梳理)
第四节函数的极值与最值复习目标学法指导了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间;理解极大值、极小值的概念,能利用单调性探究极值与导数间的关系.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);掌握求函数在闭区间上的最大值、最小值的一般方法(其中多项式函数不超过三次). 1.熟练掌握极值、最值的概念是求极值、最值的基础.2.求函数极值时,尽可能列出自变量x变化时,导数f′(x)与函数f(x)的变化情况表,这样求解直观、不易出错.一、函数的极值与导数1.函数极小值的概念(1)函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小;(2)f′(a)=0;(3)在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0;则点x=a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.2.函数极大值的概念(1)函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大;(2)f′(b)=0;(3)在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0;则点x=b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值;极小值点与极大值点统称为极值点,极小值与极大值统称为极值.二、函数的最值与导数求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1)求y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.1.概念理解(1)极值是一个局部性概念,反映的是函数在某个点附近的大小情况,并不意味它在函数的整个定义域内最大或最小;最值是一个整体性的概念,函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得出的.(2)函数的极值点一定出现在区间内部,区间的端点不能成为极值点;连续函数在某一个闭区间上的最值必在极值点或区间端点处取得.(3)函数的极值个数不确定,而函数在某一闭区间上,最大值和最小值是唯一的.2.与极值、最值有关的结论(1)可导函数极值点处的导数值为0(变号零点),而导数值为0的点不一定是极值点;(2)若函数f(x)有多个极值点,则极大值点和极小值点是交替出现的; (3)函数的极大值与极小值无确定大小关系; (4)极值点是函数单调增区间与单调减区间的分界点;(5)若函数f(x)在定义域内只有一个极值点,则极值点是函数的最值点;(6)三次函数有两个极值点的充要条件是其导函数有两个零点; (7)奇(偶)函数在x=x 0处取得极大值或最大值f(x 0),则在x=-x 0处取得极小值或最小值-f(x 0)(相同的极大值或最大值).1.函数y=2x-21x 的极大值为( A )(A)-1 (B)-2 (C)-3 (D)1 2.设函数f(x)=xe x ,则( D ) (A)x=1为f(x)的极大值点 (B)x=1为f(x)的极小值点 (C)x=-1为f(x)的极大值点 (D)x=-1为f(x)的极小值点解析:f ′(x)=e x +xe x =(1+x)e x ,令f ′(x)=0,解得x=-1,且当x<-1时,f ′(x)<0;当x>-1时,f ′(x)>0;函数f(x)=xe x 在x=-1处取得极小值,即x=-1是f(x)的极小值点.故选D.3.(2018·安徽六安月考)已知函数f(x)=-13x 3+bx 2+cx+bc 在x=1处有极值-43,则b 等于( A )(A)-1 (B)1 (C)1或-1 (D)-1或3解析:f ′(x)=-x 2+2bx+c,若f(x)在x=1处有极值-43,故()()1120,141,33'⎧=-++=⎪⎨=-+++=-⎪⎩f b c f b c bc 解得b=-1且c=3,符合题意;或b=1且c=-1, 此时f ′(x)=-x 2+2bx+c=-(x-1)2≤0,f(x)=-13x 3+bx 2+cx+bc 单调递减,f(x)在x=1处不存在极值,故b=1且c=-1,不合题意,所以b=-1.故选A.4.如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:①函数y=f(x)在区间(-3,-12)内单调递增; ②函数y=f(x)在区间(-12,3)内单调递减; ③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; ④当x=2时,函数y=f(x)有极小值; ⑤当x=-12时,函数y=f(x)有极大值. 则上述判断中正确的是( D ) (A)①② (B)②③ (C)③④⑤ (D)③解析:对于①,函数y=f(x)在区间(-3,-12)内有增有减,故①不正确; 对于②,函数y=f(x)在区间(-12,3)有增有减,故②不正确;对于③,函数y=f(x)当x∈(4,5)时,恒有f′(x)>0,故③正确;对于④,当x=2时,函数y=f(x)有极大值,故④不正确;时,f′(x)≠0,故⑤不正确.故选D.对于⑤,当x=-125.(2019·镇海中学高三模拟考试)已知函数f(x)=xln x-x+2a,若函数y=f(x)与y=f(f(x))有相同的值域,则a的取值范围是( A ) ,1] (B) (-∞,1](A)(12(C) [1,3) (D) [1,+∞)2解析:令g(x)=xln x-x,则g′(x)=ln x,g(1)=-1,由g(x)的单调性可知,g(x)≥-1,所以f(x)≥2a-1,所以要使f(x)与f(f(x))的值域相同,则只需0<2a-1≤1,<a≤1,故选A.解得12考点一利用导数求函数的极值x2-(a+1)x+a(1+ln x).[例1] 设a>0,函数f(x)=12(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.,解:(1)由已知,得x>0,f′(x)=x-(a+1)+axy=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为1,a=1,所以f′(2)=1,即2-(a+1)+2所以a=0,此时f(2)=2-2=0,故所求的切线方程为y=x-2.(2)f ′(x)=x-(a+1)+a x=()21x a x ax-++=()()1x x a x--. ①当0<a<1时,若x ∈(0,a),f ′(x)>0,函数f(x)单调递增; 若x ∈(a,1),f ′(x)<0,函数f(x)单调递减; 若x ∈(1,+∞),f ′(x)>0,函数f(x)单调递增. 此时x=a 是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=-12a 2+aln a, 极小值是f(1)=- 12. ②当a=1时,f ′(x)=()21x x->0,所以函数f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增, 此时f(x)没有极值点,故无极值.③当a>1时,若x ∈(0,1),f ′(x)>0,函数f(x)单调递增; 若x ∈(1,a),f ′(x)<0,函数f(x)单调递减; 若x ∈(a,+∞),f ′(x)>0,函数f(x)单调递增. 此时x=1是f(x)的极大值点,x=a 是f(x)的极小值点, 函数f(x)的极大值是f(1)=-12, 极小值是f(a)=-12a 2+aln a. 综上,当0<a<1时,f(x)的极大值是-12a 2+aln a, 极小值是-12; 当a=1时,f(x)没有极值;当a>1时,f(x)的极大值是-12,极小值是-12a 2+aln a.运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤(1)先求函数的定义域,再求函数y=f(x)的导数f′(x);(2)求方程f′(x)=0的根;(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.如果左右符号相同,则此根处不是极值点.提醒:若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.1.设函数f(x)=(x3-1)2,下列结论中正确的是( C )(A)x=1是函数f(x)的极小值点,x=0是极大值点(B)x=1及x=0均是f(x)的极大值点(C)x=1是函数f(x)的极小值点,函数f(x)无极大值(D)函数f(x)无极值解析:f′(x)=2(x3-1)·3x2=6x2(x-1)(x2+x+1);x2+x+1=(x+12)2+34>0,令f′(x)=0得x1=0,x2=1;即f′(0)=0,f′(1)=0,x<0时,f′(x)<0;0<x<1时,f′(x)<0;x>1时,f′(x)>0.故x=1是函数f(x)的极小值点,函数f(x)无极大值.故选C.2.已知函数f(x)=1ln xx.(1)若函数f(x)在区间(a,a+12)上存在极值,求正实数a的取值范围;(2)若当x ≥1时,不等式f(x)≥1+k x 恒成立,求实数k 的取值范围. 解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f ′(x)=211ln --x x =-2ln x x. 令f ′(x)=0,得x=1.当x ∈(0,1)时,f ′(x)>0,f(x)在(0,1)上单调递增; 当x ∈(1,+∞)时,f ′(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减. 所以x=1为f(x)的极大值点,无极小值点, 所以a<1<a+12, 故12<a<1,即正实数a 的取值范围为(12,1). (2)当x ≥1时,k ≤()()11ln ++x x x 恒成立, 令g(x)=()()11ln ++x x x则g ′(x)=()()211+ln 111ln ⎛⎫++-++ ⎪⎝⎭x x x x x x=2ln -x x x .令h(x)=x-ln x,则h ′(x)=1-1x ≥0, 所以h(x)≥h(1)=1,所以g ′(x)>0, 所以g(x)为[1,+∞)上的增函数, 所以g(x)≥g(1)=2,故k ≤2. 故实数k 的取值范围为(-∞,2]. 考点二 利用导数求函数的最值[例2] 设函数f(x)=ae x (x+1)(其中e=2.718 28…),g(x)=x 2+bx+2,已知它们图象在x=0处有相同的切线. (1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[t,t+1](t>-3)上的最小值. 解:(1)f′(x)=ae x(x+2),g′(x)=2x+b,由题意,两函数图象在x=0处有相同的切线, 又因为f′(0)=2a,g′(0)=b,所以2a=b,f(0)=a=g(0)=2,所以a=2,b=4,所以f(x)=2e x(x+1),g(x)=x2+4x+2.(2)由(1)得f′(x)=2e x(x+2).当x>-2时,则f′(x)>0,所以f(x)在(-2,+∞)上单调递增,当x<-2时,则f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,因为t>-3,所以t+1>-2,①当-3<t<-2时,f(x)在[t,-2]上单调递减, 在[-2,t+1]上单调递增,所以f(x)min=f(-2)=-2e-2.②当t≥-2时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,所以f(x)min=f(t)=2e t(t+1).综上,当-3<t<-2时,f(x)min=-2e-2;当t≥-2时,f(x)min=2e t(t+1).求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,可判断函数在[a,b]上的单调性,若函数在[a,b]上单调递增或单调递减,则f(a),f(b)一个为最大值,一个为最小值.若函数在[a,b]上不单调,一般先求[a,b]上f(x)的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的即为最大值,最小的即为最小值.函数y=2x3-12x在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别为( A ) 2(B)54,-12222解析:y′=6x222令y′=0,则22)当x=-1时22当x=3时,y=18,故选A.考点三由函数的极值或最值求参数(范围)[例3] (1)函数f(x)=ln x-12ax2+x有极值且极值大于0,则a的取值范围是( )(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0,2) (D)(3,4)(2)已知函数f(x)=e2x-e-2x-cx(c∈R),若f(x)有极值,求c的取值范围.(1)解析:f′(x)= 1x -ax+1=21ax xx-++(x>0),当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值. 当a>0时,对于t=-ax2+x+1.因为Δ=1+4a>0,x1·x2=-1a<0,所以f ′(x)=0有且仅有一正根x 0=1142a a++,且f(x)在x 0处取极大值.要使极大值大于0,即f(x 0)>0. 因为-a 20x +x 0+1=0,所以a 20x =x 0+1,f(x 0)=ln x 0-12a 20x +x 0=ln x 0+02x -12,令g(x)=ln x+2x -12,(x>0)g(x)在(0,+∞)上单调递增且g(1)=0, 所以x>1.所以x 0>1, 所以1142a a++>1,解得0<a<2.故选C.(2)解:f ′(x)=2e 2x +2e -2x -c, 而2e 2x +2e -2x ≥2222e 2e x x-⋅=4,当x=0时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当c<4时,对任意x ∈R,f ′(x)=2e 2x +2e -2x -c>0,此时f(x)无极值; 当c=4时,对任意x ≠0,f ′(x)=2e 2x +2e -2x -4>0,此时f(x)无极值; 当c>4时,令e 2x=t,注意到方程2t+2t-c=0有两根t 1,2=2164c c ±->0,即f ′(x)=0有两个根x 1=12ln t 1,x 2=12ln t 2. 当x 1<x<x 2时,f ′(x)<0,f(x)单调递减; 又当x>x 2时,f ′(x)>0,f(x)单调递增, 从而f(x)在x=x 2处取得极小值.综上,若f(x)有极值,则c 的取值范围为(4,+∞).(1)可导函数的极值点与其导函数的零点之间的关系是导函数的变号零点是函数的极值点,而不变号零点不是函数的极值点.(2)已知函数的极值、最值求参数,利用待定系数法列方程(组)求解.已知函数f(x)=x 2-2ax+1在区间[2,3]上最小值为1.函数g(x)=()33x xf -k ·3x .(1)求a 的值;(2)若存在x 0使得g(x)在x ∈[-1,1]上为负数,求实数k 的取值范围. 解:(1)f(x)=(x-a)2+1-a 2,当a<2时,f(x)min =f(2)=5-4a=1,解得a=1; 当2≤a ≤3时,f(x)min =f(a)=1-a 2=1, 解得a=0,不符合题意;当a>3时,f(x)min =f(3)=10-6a=1, 解得a=32,不符合题意. 综上,a=1.(2)由已知可得g(x)=(1-k)3x +13x-2,根据题意,存在x 0使得g(x)<0, 所以不等式(1-k)3x +13x-2<0,可化为1+(13x)2-2·13x<k,令t=13x,则 k>t 2-2t+1.因 x ∈[-1,1],故 t ∈[13,3]. 故k>t 2-2t+1在t ∈[13,3]上有解. 记h(t)=t 2-2t+1=(t-1)2,t ∈[13,3], 故h(t)min =h(1)=0,所以k 的取值范围是(0,+∞).利用导数研究函数的极值(点)问题[例题] (2019·天津卷)设函数f(x)=ln x-a(x-1)e x ,其中a ∈R. (1)若a ≤0,讨论f(x)的单调性; (2)若0<a<1e,①证明f(x)恰有两个零点;②设x 0为f(x)的极值点,x 1为f(x)的零点,且x 1>x 0,证明3x 0-x 1>2. (1)解:由已知,f(x)的定义域为(0,+∞), 且f ′(x)=1x-[ae x+a(x-1)ex]=21e -xax x.因此当a ≤0时,1-ax 2e x >0,从而f ′(x)>0, 所以f(x)在(0,+∞)内单调递增.(2)证明:①由(1)知,f ′(x)=21e -xax x.令g(x)=1-ax 2e x ,由0<a<1e ,可知g(x)在(0,+∞)内单调递减. 又g(1)=1-ae>0,且g(ln 1a )=1-a(ln 1a )2·1a =1-(ln 1a)2<0, 故g(x)=0在(0,+∞)内有唯一解, 从而f ′(x)=0在(0,+∞)内有唯一解, 不妨设为x 0,则1<x 0<ln 1a, 当x ∈(0,x 0)时,f ′(x)=()g x x >()0g x x =0,所以f(x)在(0,x 0)内单调递增;当x ∈(x 0,+∞)时,f ′(x)=()g x x <()0g x x =0,所以f(x)在(x 0,+∞)内单调递减, 因此x 0是f(x)的唯一极值点. 令h(x)=ln x-x+1, 则当x>1时,h ′(x)=1x-1<0,故h(x)在(1,+∞)内单调递减, 从而当x>1时,h(x)<h(1)=0, 所以ln x<x-1,从而f(ln 1a )=ln(ln 1a )-a(ln 1a-1)1ln e a=ln(ln 1a )-ln 1a +1=h(ln 1a)<0. 又因为f(x 0)>f(1)=0,所以f(x)在(x 0,+∞)内有唯一零点. 又f(x)在(0,x 0)内有唯一零点1, 从而f(x)在(0,+∞)内恰有两个零点.②由题意,()()010,0,'⎧=⎪⎨=⎪⎩f x f x 即()012011e 1,ln 1e⎧=⎪⎨=-⎪⎩x x ax x a x从而ln x 1=10121e--x x x x ,即10e-x x =2011ln 1-x x x .因为当x>1时,ln x<x-1, 又x 1>x 0>1, 故10e-x x <()201111--x x x =20x ,两边取对数,得ln 10e-x x <ln 20x ,于是x 1-x 0<2ln x 0<2(x 0-1), 整理得3x 0-x 1>2.[规范训练] (2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=(2+x+ax 2)ln(1+x)-2x. (1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0; (2)若x=0是f(x)的极大值点,求a. (1)证明:当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f ′(x)=ln(1+x)-1x x+. 设函数g(x)=f ′(x)=ln(1+x)-1x x+, 则g ′(x)=()21xx +.当-1<x<0时,g ′(x)<0;当x>0时,g ′(x)>0, 故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0, 当且仅当x=0时,g(x)=0,从而f ′(x)≥0,当且仅当x=0时,f ′(x)=0. 所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增. 又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0; 当x>0时,f(x)>0. (2)解:①若a ≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0), 这与x=0是f(x)的极大值点矛盾. ②若a<0,设函数h(x)=()22f x x ax ++=ln(1+x)-222x x ax++.由于当|x|<min{1,1||a }时,2+x+ax 2>0,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点, 当且仅当x=0是h(x)的极大值点.h ′(x)=11x +-()()()222222122x ax x ax x ax ++-+++=()()()2222246112x a x ax a x axx ++++++.若6a+1>0,则当0<x<-614a a+,且|x|<min{1,1||a }时,h ′(x)>0,故x=0不是h(x)的极大值点.若6a+1<0,则a 2x 2+4ax+6a+1=0存在根x 1<0, 故当x ∈(x 1,0),且|x|<min{1,1||a }时,h ′(x)<0,所以x=0不是h(x)的极大值点. 若6a+1=0,则h ′(x)=()()()322241612x x x x x -+--,则当x ∈(-1,0)时,h ′(x)>0;当x ∈(0,1)时,h ′(x)<0. 所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点. 综上,a=-16.类型一 极值或极值点的应用1.若函数f(x)=x 3-2cx 2+x 有极值点,则实数c 的取值范围为( C ) 3∞) 3∞)(C)(-∞,-32]∪[32,+∞)(D)(-∞,-32)∪(32,+∞)解析:若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则f′(x)=3x2-4cx+1=0有根,故Δ=(-4c)2-12≥0,从而c≥32或c≤-32.故选C.2.已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则21x+22x等于( C )(A)23(B)43(C)83(D)163解析:由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0),x1,x2是函数f(x)的极值点,因此1+b+c=0,8+4b+2c=0,解得b=-3,c=2,所以f(x)=x3-3x2+2x,所以f′(x)=3x2-6x+2,x1,x2是方程f′(x)=3x2-6x+2=0的两根,因此x1+x2=2,x1·x2=23,所以21x+22x=(x1+x2)2-2x1·x2=4-43=83,故选C.3.已知函数f(x)=13x3+ax2-2x在区间(1,+∞)上有极小值无极大值,则实数a的取值范围为( A )(A)a<12(B)a>12(C)a≤12(D)a≥12解析:因为函数f(x)=13x3+ax2-2x,所以f ′(x)=x 2+2ax-2,因为函数f(x)=13x 3+ax 2-2x 在区间(1,+∞)上有极小值无极大值,所以f ′(x)=x 2+2ax-2=0在区间(1,+∞)上有1个实根,(-∞,1]上有1个根.2480,(1)210,⎧∆=+>⎪⎨'=-<⎪⎩a f a 解得a<12.故选A.类型二 求最值或范围 4.已知奇函数f(x)=()e 1,0,,0,xx xh x x ⎧->⎪⎨⎪<⎩则函数h(x)的最大值为 .解析:先求出x>0时,f(x)= e xx-1的最小值.当x>0时,f ′(x)=()2e 1x x x -,所以x ∈(0,1)时,f ′(x)<0,函数单调递减,x ∈(1,+∞)时,f ′(x)>0,函数单调递增,所以x=1时,函数取得极小值即最小值,为e-1,所以由已知条件得h(x)的最大值为1-e. 答案:1-e5.函数f(x)=xln x+ax 2(a ≠0)存在唯一极值点. (1)求a 的取值范围;(2)证明:函数y=f[f(x)]与y=f(x)的值域相同. (1)解:f ′(x)=ln x+1+2ax,f ″(x)=1x +2a, 当a>0时,f ″(x)>0,故f ′(x)在(0,+∞)上单调递增, 又x →0时,f ′(x)<0,f ′(1)=2a+1>0, 故f ′(x)=0在(0,+∞)内有唯一实根, 即f(x)在(0,+∞)内有唯一极值点;当a<0时,由f″(x)>0得0<x<-12a,故f′(x)在(0,-12a )上单增,在(-12a,+∞)上单减,若f′(-12a)≤0,则f′(x)≤0恒成立,此时f(x)无极值点,若f′(-12a)>0,又x→0时f′(x)<0,x→+∞时,f′(x)<0,此时f(x)有两个极值点;综上,a>0.(2)证明:由(1)知,a>0,设f′(x0)=0即ln x0+1+2ax0=0, 则f(x)在(0,x0)上单减,在(x0,+∞)上单增,所以f(x)的值域为[f(x0),+∞),要使y=f[f(x)]与y=f(x)的值域相同,只需f(x0)≤x0,即x0ln x0+a2x≤x0,即ln x0+ax0≤1,又ax0=-12(ln x0+1),故12ln x0-12≤1即x0≤e3,故只需证x0≤e3,又f′(x)单增, 所以要证x0≤e3,即证f′(e3)≥0, 而f′(e3)=3+1+2ae3>0,故得证.。
函数的极值与最值
函数的极值与最值在数学中，函数的极值与最值是我们经常会遇到的概念。
它们在解决实际问题，优化算法等方面发挥着重要的作用。
本文将介绍函数的极值与最值的定义、求解方法以及其在实际问题中的应用。
一、极值的定义与求解方法极值是函数在特定区间内取得的最大值或最小值。
根据定义，当函数在某个点的左右两侧函数值发生变化时，这个点就被称为极值点。
函数的最大值与最小值就是所有极值点中的最大值与最小值。
求解函数的极值可以通过以下几种方法：1. 导数法导数法是求解函数极值最常用的方法之一。
首先，我们需要计算函数的导数，然后找出导数为零的点，即驻点。
接下来，通过二阶导数的符号判断驻点是极大值还是极小值。
2. 边界法当函数在一个闭区间内连续且可导时，我们只需要计算函数在区间的端点以及在内部导数为零的点，然后比较这些函数值，即可找到函数的最大值与最小值。
3. Lagrange乘数法Lagrange乘数法主要用于求解带有约束条件的极值问题。
通过构造Lagrange函数并求解其偏导数为零的方程，我们可以获得函数在约束条件下的极值点。
二、最值的定义与求解方法最值是函数在定义域内的最大值或最小值。
与极值不同的是，最值并不要求函数在某个点处取得。
求解函数的最值可以通过以下几种方法：1. 根据函数性质有些函数具有明显的性质，比如函数的图像是凸函数或凹函数，这时我们可以直接判断函数的最值在哪个区间内取得。
2. 数值法数值法是一种较为直接的方法。
我们可以通过在定义域内取一系列点的函数值，然后比较这些函数值找出最大值与最小值。
3. 优化算法优化算法可以用来求解函数的最值问题。
例如，梯度下降法、遗传算法、模拟退火算法等可以被应用于求解实际问题中的最优解。
三、函数极值与最值的应用函数的极值与最值在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些具体例子：1. 生产优化问题在生产过程中，我们希望能够最大化产量或最小化成本。
通过建立相应的数学模型，并利用函数的极值与最值概念，可以确定生产因素的最佳配置，从而实现生产效益的最大化。
函数最值和极值的知识点
函数最值和极值的知识点函数是数学中非常重要的概念，它可以描述数值之间的关系。
在实际应用中，我们经常会遇到需要找到函数的最值和极值的问题。
本文将以“step by step thinking”的方式，逐步介绍函数最值和极值的知识点。
1.函数和定义域首先，我们需要明确函数的概念。
函数是一个从一个集合（称为定义域）到另一个集合（称为值域）的映射关系。
通常用符号f(x)表示函数，其中x是定义域中的元素，f(x)是对应的值域中的元素。
2.极值的概念在函数中，极值是指函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
极大值是函数在该点附近的值都小于等于该点的值，而极小值是函数在该点附近的值都大于等于该点的值。
3.局部极值和全局极值函数的局部极值是指在某个特定的定义域范围内，函数取得的最大值或最小值。
而全局极值是指在整个定义域上，函数取得的最大值或最小值。
4.寻找极值的方法为了找到函数的极值，我们可以使用以下方法：a.导数法：通过求函数的导数，找到导数为0的点，即函数的极值点。
具体步骤如下：–求函数f(x)的导数f’(x)；–解方程f’(x) = 0，求出导数为0的点；–对导数f’(x)的符号进行判断，确定各个导数为0的点是极大值还是极小值；–比较函数在导数为0的点以及边界点上的值，找到函数的最大值和最小值。
b.集合法：将函数的定义域分成若干个小区间，在每个区间中比较函数的值，找到最大值和最小值。
5.函数最值和极值的应用函数最值和极值的概念在数学和实际应用中都有广泛的应用。
在数学中，它可以用于证明数学定理和解决数学问题。
在实际应用中，函数的最值和极值可以用于优化问题的求解，例如寻找最佳投资组合、最大利润等。
总结起来，函数最值和极值是数学中重要的知识点。
通过求函数的导数或将定义域分成若干个区间，我们可以找到函数的最大值和最小值。
这个概念在数学和实际应用中都具有重要的意义，它可以帮助我们解决各种问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解函数最值和极值的知识点。
函数的极值与最值
函数的极值与最值函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的关系，并在数学建模和问题求解中扮演重要角色。
函数的极值和最值是在特定区间内，函数取得的最大值和最小值。
本文将介绍函数的极值与最值的概念，并探讨如何求解函数的极值和最值。
一、函数的极值与最值概念在某个区间内，如果函数的值在该区间的其它点上都小于（或大于）该点的函数值，那么该点被称为函数的极值点。
函数的最大值和最小值就是函数在整个定义域内的极值。
对于实数域上的函数f(x)，如果存在一个实数c，使得在区间[a,b]内的任意一点x，都有f(x)≥f(c)，则称f(c)为函数f(x)在区间[a,b]上的最大值；如果对于区间[a,b]内的任意一点x，都有f(x)≤f(c)，则称f(c)为函数f(x)在区间[a,b]上的最小值。
二、求解函数的极值与最值为了求解函数的极值和最值，我们可以采用以下方法：1. 导数法函数极值点必须满足导数为0或者不存在导数的条件。
通过求函数的导数，我们可以找到导数为零的点，然后判断这些点是否为函数的极值点。
当导数从正数变为负数时，函数的最大值出现；当导数从负数变为正数时，函数的最小值出现。
2. 端点法对于定义在有界闭区间上的函数，其最大值和最小值可能出现在区间的两个端点上。
因此，在求解函数的最大值和最小值时，我们需要检查区间的两个端点是否为候选点，并与导数法的结果进行比较。
3. 二次函数法对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c（其中a ≠ 0），其极值点为顶点，可以通过求解一元二次方程来确定顶点的横坐标，再将横坐标代入函数中求得纵坐标。
4. 函数图像法通过函数的图像，我们可以直观地看出函数的极值和最值。
在计算机图像绘制软件中，可以绘制函数的图像，然后从图像中读取函数的极值和最值。
三、应用举例下面通过几个具体的例子来说明如何求解函数的极值与最值。
例1：求解函数f(x) = x^2在区间[-2, 2]上的极值和最值。
高中数学知识点总结导数的应用之函数的极值与最值
高中数学知识点总结导数的应用之函数的极值与最值高中数学知识点总结：导数的应用之函数的极值与最值在高中数学中，导数是一个重要的概念和工具，它被广泛应用于各个数学领域。
其中的一个应用就是求解函数的极值与最值。
本文将针对这一知识点进行总结和讨论。
I. 导数和极值函数的极值指的是函数在某个区间上的最大值或最小值。
在求解极值问题时，我们可以利用导数的性质来进行分析和计算。
下面是一些常见的求解函数极值的方法：1. 极值的必要条件若函数f(x)在x=a处取得极值，那么导数f'(a)存在，且f'(a)=0，或者导数不存在（函数在该点有间断点或者不可导）。
2. 极值的充分条件若函数f(x)在x=a点的左右两侧导数符号相反，即f'(a-)和f'(a+)异号，那么f(x)在x=a处取得极值。
- 若f'(a-)>0且f'(a+)<0，那么极值为极大值；- 若f'(a-)<0且f'(a+)>0，那么极值为极小值。
3. 临界点和拐点临界点是指导数为零或不存在的点，对于一元函数来说，临界点多对应于函数的极值点。
拐点是指在函数图像上出现凹凸性突变的点，即曲线的凸度方向改变的点。
II. 求解函数的极值步骤在应用导数求解函数极值时，一般需要按照以下步骤进行：1. 求取函数f(x)的导数f'(x)。
2. 解方程f'(x)=0，求得导数为零的临界点。
3. 利用极值的充分条件，对临界点进行分析判断。
4. 若需要，进一步计算临界点处的函数值和边界点处的函数值进行比较。
5. 得到函数的极值。
III. 求解函数的最值函数的最大值和最小值称为最值，求解最值问题需要考虑函数的定义域和导数的变化情况。
下面是一些常见的求解函数最值的方法：1. 函数在开区间内求最值若函数f(x)在开区间(a, b)内进行求最大值，我们需要进行以下步骤：- 求取函数f(x)的导数f'(x)。
函数的极值与最值
函数的极值与最值函数是数学中重要的概念之一，它描述了自变量和因变量之间的关系。
在数学中，我们经常研究函数的极值与最值，以帮助我们了解函数的特性和性质。
本文将从定义、求解方法以及实际应用等方面探讨函数的极值与最值。
一、函数的极值与最值定义在数学中，给定一个函数f(x)，其定义域为D，如果存在一个实数a使得在a的某个邻域内，对于所有x∈D，都有f(x)≤f(a)（或者f(x)≥f(a)），则称f(a)是函数f(x)在D上的一个极大值（或者极小值）。
相应地，称a是函数f(x)的极值点。
特别地，如果函数f(x)在D上的所有极值中存在一个最大值或最小值，则称此极值为函数f(x)在D上的最大值或最小值。
二、求解函数的极值与最值的方法要求解函数的极值与最值，我们需要运用微积分知识中的导数和极值点的概念。
1. 导数和极值点函数在某点的导数表示了函数在该点的变化率。
在函数的导数存在的点上，函数可能存在极值点。
当导数为零或不存在时，可能是函数的极值点。
2. 求解方法为了找到函数的极值点，我们可以执行以下步骤：- 求解函数的导数；- 找出导数为零或不存在的点，即可能的极值点；- 通过二阶导数或其他方法验证这些点确实是极值点；- 比较这些点的函数值，找出最大值或最小值。
三、实际应用函数的极值与最值在数学和实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些示例：1. 经济学中的利润最大化在经济学中，一个公司的利润函数通常依赖于售价和销量等因素。
通过求解该函数的最大值，可以确定最大利润对应的售价和销量。
2. 物理学中的最速下降问题在物理学中，有些问题需要找到某个量的最小值以满足特定约束条件。
例如，光在介质中传播时，路径的折射率变化最小，我们可以利用函数的最小值来确定光的路径。
3. 优化问题函数的极值与最值在优化问题中有着广泛应用。
例如，在工程设计中，我们希望找到设计问题的最优解，如最小耗能、最小成本、最大效益等。
四、总结函数的极值与最值是数学中一个重要且实用的概念。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的极值和最值【考纲要求】1.掌握函数极值的定义。
2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。
【知识网络】【考点梳理】要点一、函数的极值 函数的极值的定义一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连函数的极值和最值函数在闭区间上的最大值和最小值函数的极值函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1()(0)f x x x=>. 要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
2.通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题【高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题一】例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程；【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。
又(1)3,'(1)12f f ==所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三：【变式1】设a 为实数，函数()22,xf x e x a x =-+∈R ．(1)求()f x 的单调区间与极值；(2)求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+．【解析】（1）由()22,xf x e x a x =-+∈R 知()2,xf x e x '=-∈R ．令()0f x '=，得ln 2x =．于是当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：x (,ln 2)-∞ln 2(ln 2,)+∞()f x ' － 0+ ()f x单调递减2(1ln 2)a -+单调递增故()f x 的单调递减区间是(,ln 2)-∞，单调递增区间是(ln 2,)+∞，()ln 2f x x =在处取得极小值，极小值为ln 2(ln 2)2ln 222(1ln 2).f e a a =-+=-+(2)证明：设2()21xg x e x ax =-+-，x ∈R 于是()22xg x e x a '=-+，x ∈R由(1)知当ln 21a >-时，()g x '最小值为(ln 2)2(1ln 2)0.g a '=-+> 于是对任意x ∈R ，都有()0g x '>，所以()g x 在R 内单调递增． 于是当ln 21a >-时，对任意(0,)x ∈+∞，都有()(0)g x g >． 而(0)0g =，从而对任意(0,),()0x g x ∈+∞>． 即2210xe x ax -+->，故221xe x ax >-+．【变式2】函数()f x 的定义域为区间（a ，b ），导函数'()f x 在（a ，b ）内的图如图所示，则函数()f x 在（a ，b ）内的极小值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】由极小值的定义，只有点B 是函数()f x 的极小值点，故选A 。
类型二：利用导数解决函数的最值问题【高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题三】例2.已知函数2()(),xf x x mx m e =-+其中m R ∈。
（1）若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；（2）当0m <时，求函数()f x 的单调区间；并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。
【解析】（1）因为函数()f x 存在零点，则20x mx m -+=有实根，240m m ∆=-≥，即04m m ≤≥或（2）当0m <时，函数定义域为R22()(2)()(2)(2)x xx xf x x m e x mx m e x x mx e x x m e '=-+-+=+-=+-由()0f x '=，则02x x m ==-或 由()0f x '>，则02x x m ><-或 由()0f x '<，则20m x -<< 列表如下： x(,2)m -∞-2m -(2,0)m -(0,)+∞'()f x + 0 - 0 + ()f x增极大值减极小值增所以()f x 在(,2)m -∞-，(0,)+∞上单调增，在(2,0)m -上单调减。
又知当2x m <-→-∞且时，()0f x >；0x >→+∞且时，()0f x >； 而(0)0f m =<，所以()f x 存在最小值(0)f m =. 举一反三：【变式】已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值; (2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值. 【解析】(1)由()1c ，为公共切点可得:2()1(0)f x ax a =+>,则()2f x ax '=,12k a =,3()g x x bx =+,则2()=3g x x b '+,23k b =+,∴23a b =+①又(1)1f a =+,(1)1g b =+,∴11a b +=+,即a b =,代入①式可得:33a b =⎧⎨=⎩.(2)24a b =,∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++,令()0h x '=,解得:12a x =-,26ax =-;0a >,∴26a a-<-,∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增,在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减,在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增①若12a--≤,即02a <≤时,最大值为2(1)4a h a -=-;②若126a a -<-<-,即26a <<时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时,即6a ≥时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 综上所述:当(]02a ∈，时,最大值为2(1)4a h a =-;当()2,a ∈+∞时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.例3（2016 东城区模拟）已知函数2()ln f x x a x =-，a ∈R ． (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 在区间[1,)+∞上的最小值；(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若2()()h x x f x =-，求证：当21e x <<时，恒有4()4()h x x h x +<-成立．【解析】（Ⅰ）由2()ln f x x a x =-，定义域为(0,)+∞，得'()2a f x x x=-． 因为函数2()ln f x x a x =-在1x =处取得极值，所以'(1)20af x x=-=，即20a -=，解得2a =． 经检验，满足题意，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得2'2()2a x af x x x x-=-=，定义域为(0,)+∞．当0a ≤时，有'()0f x >，()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，最小值为(1)1f =；当02a <≤，由'()0f x =得2ax =，且012a<≤． 当(0,)2a x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，当(,)2ax ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增， 所以在区间上单调递增，最小值为；当2a >时，12a>， 当(1,)2ax ∈时，'()0f x <，单调递减，当(,)2ax ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增， 所以函数()f x 在2a x =取得最小值()ln 2222a a a a f =-． 综上当2a ≤时，()f x 在区间上的最小值为； 当2a >时，()f x 在区间上的最小值为ln 222a a a-． （Ⅲ）由2()()h x x f x =-得()2ln h x x =． 当21x e <<时，0ln 2x <<，0()4h x <<， 欲证4()4()h x x h x +<-，只需证[4()]4()x h x h x -<+，即证44()1x h x x ->+，即22ln 1x x x ->+． 设22(x)ln 1x x x ϕ-=-+，则2'2212(1)(22)(1)(x)(1)(1)x x x x x x x ϕ+---=-=++．当21x e <<时，'(x)0ϕ>，所以(x)ϕ在区间2(1,e )上单调递增．所以当21x e <<时，(x)(1)0ϕϕ>=，即22ln 01x x x -->+， 故4()4()h x x h x +<-．举一反三：【变式1】设函数22()log (1)log (1)(01),f x x x x x x =+--<<求)(x f 的最小值; 【解析】函数f （x ）的定义域为（0，1）22'()(log )'[(1)log (1)]'f x x x x x =+-- 222211log log (1)log log (1)ln 2ln 2x x x x =--+-=-- 令1'()02f x x ==得 当102x <<时，'()0f x <, ∴()f x 在区间1(0,)2是减函数； 当112x <<时，'()0f x >, ∴()f x 在区间1(,1)2是增函数. ∴()f x 在12x =时取得最小值且最小值为1()12f =-.【变式2】(2015 江苏高考) 已知函数32()(,)f x x ax b a b R =++∈. (1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c -a (实数c 是a 与无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是33(3)(1)()22-∞-+∞，，，，求c 的值.【解析】(1)f ′(x )＝3x 2+2ax ，令f ′(x )＝0，解得12203ax x ==，． 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2＞0，(x≠0)，所以函数f (x )在(-∞，+∞)上单调递增；当a ＞0时，2(0)3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，时，f ′(x )＞0，203a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，f ′(x ) ＜0，所以函数f (x )在23a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，，(0，+∞)上单调递增，在203a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减； 当a ＜0时，2(0)3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，时，2()003a f x x ⎛⎫'>∈- ⎪⎝⎭，，时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(-∞，0)，23a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在203a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减．(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f (0)＝b ，324327a f ab ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数f(x)有三个零点等价于324(0)0327a f f b a b ⎛⎫⎛⎫⋅-=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 从而304027a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或304027a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩．又b ＝c -a ，所以当a ＞0时，34027a a c -+>或当a ＜0时，34027a a c -+<． 设34()27g a a a c =-+，因为函数f (x )有三个零点时， a 的取值范围恰好是33(3)122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 则在(-∞，-3)上g (a )＜0，且在33122⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，上g (a ) ＞0均恒成立，从而g (-3)＝c -1≤0，且3102g c ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭，因此c ＝1． 此时，322()1(1)[(1)1]f x x ax a x x a x a =++-=++-+-，因函数有三个零点，则2(1)10x a x a +-+-=有两个异于-1的不等实根， 所以22(1)4(1)230a a a a =---=+->△，且2(1)(1)10a a ---+-≠，解得33(3)122a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，． 综上c ＝1．类型三：导数在研究实际问题中最值问题的应用例4.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c >千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r ． 【解析】(1)设容器的容积为V ，由题意知2343V r l r ππ=+，又803V π=， 故322248044203333V r l r r r r r ππ-⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭． 由于2l r ≥，因此02r <≤．所以建造费用2224202342343y rl r c r r r c r ππππ⎛⎫=⨯+=⨯-⨯+ ⎪⎝⎭， 因此21604(2)y c r rππ=-+，02r <≤． (2)由(1)得3221608(2)208(2)2c y c r r r r c πππ-⎛⎫'=--=- ⎪-⎝⎭，02r <<． 由于3c >，所以20c ->， 当32002r c -=-时，r =m =，则m ＞0， 所以2228(2)()()c y r m r rm m rπ-'=-++． ①当02m <<即92c >时，当r m =时，0y '=； 当(0,)r m ∈时，0y '<； 当(,2)r m ∈时，0y '>，所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点． ②当2m ≥即932c <≤时，当(0,2)r ∈时，0y '<函数单调递减， 所以r=2是函数y 的最小值点， 综上所述，当932c <≤时，建造费用最小时2r =， 当92c >时，建造费用最小时r =。