八年级初二数学第二学期平行四边形单元提高题检测

八年级初二数学第二学期平行四边形单元提高题检测

一、解答题

1．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．

（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；

（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；

（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由．

2．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ． （1）操作发现：

①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个 三角形；

②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为 ．

（2）深入探究：

在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23．

①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；

②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．

3．如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ．

（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；

（2）若∠DEF =90°，DE =8，EF =6，当AF 为 时，四边形BCEF 是菱形．

4．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．

（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________．

（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明；

（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：

①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．

②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．

5．如图，在Rt ABC ∆中，90,40,60B AC cm A ∠=︒=∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4/cm 秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2/cm 秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点,D E 运动的时间是t 秒（010t <≤）.过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接,DE EF .

（1）试问四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；

（2）当t 为何值时，90FDE ∠=︒？请说明理由.

6．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于F ，交AD 于H .

()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；

()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说明理由；

()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.

7．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．

（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______． （2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．

（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．

（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．

8．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠． （1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；

（2）求证：CP AE =；

（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．

9．在正方形中，连接，为射线上的一个动点（与点不重合），连接，的垂直平分线交线段于点，连接，. 提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点的两个特殊位置：

①当点与点重合时，如图1所示，____________ ②当

时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：

__________；（填“变化”或“不变化”） （2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）