数学模型

3.2数学模型的建立
3.2.1建立数学模型的过程 一个模型要真实反映客观实际，必须经过 实践-抽象-实践的多次反复。建立一个能够付 诸实用的数学模型要经历的步骤如图3-2所示. 对照图3-2所示的建立数学模型步骤,对各阶 段的实施内容可以大致说明如下:
模型 应用
1. 数据的搜集和初步分析：
观测数据组Ⅱ
2． Excel的分析工具库
Microsoft Excel 提供了一组数据分析工具，称为 “分析工具库”，该工具库包括了一系列统计和误差 分析函数，相应的结果将显示在输出表格中，或同时 产生图表。 要使用分析工具库进行数学模型的验证和误差分析， 必须对所提供的分析函数定义和在统计、误差分析中 的作用有相应的了解。 一些 Excel分析工具函数的定义如表3-2所示。只需 要适当地使用这些函数就能够取得误差分析的信息， 使模型得以验证。
3 数学模型概述 3.1 数学模型的定义和分类 3.2数学模型的建立 3.2.1建立数学模型的过程 3.2.2 对模型的基本要求 3.2.3 数学模型的验证和误差分析 3.3 Excel 在建立数学模型的应用 3.3.1 污水处理的线性回归分析 3.3.2 结构分析和曲线拟合 3.3.3 用Excel进行参数估计
2 1 0
0
2
4
6
图3-3 归纳法数学模型的不唯一性和局限性举例
3.估计模型的参数
在灰箱、黑箱模型的建立过程中，都需要进行模型 参数的估计工作。待定参数可能是一个或多个，其数 量取决于模型的结构。待定参数的确定方法一般有最 小二乘法、经验公式法、优化法等。但需要认识到， 灰箱模型结构的合理性是其进行参数估计的先决条件 。而无论采用何种方法进行参数估计，都是建立在观 测数据或实验结果的基础上。
验模型的方法又叫归纳法。
经验模型不具有唯一性，可被多种不同类型
的函数描述。因此由归纳法建立起的经验模
型在使用时必须注意其导出过程中的取值范 围,不可任意进行扩展。
.86 x y4 2.4 733 (1 xe 0 0 .433 ) x2
例3-1 在x<4，由归纳法建立的两函数为： 试绘制其函数图形，并分析其扩展性。 解：绘制的函数图形如图 3-3所示。在x<4时 y 的数 5 y 4 .4 (1 e 0 .86x ) 值相当接近，因此在这个区间，它们都可能被用作某 4 事物的经验模型，但一旦外推到 x>5 的情况下，两函 3 数的取值相差很远，说明它们不具有扩展性。 y 2.733x 0 .433x 2
表3-1
划分依据 变量与时间关系
数学模型的分类
模型类型 稳态模型 动态模型
变量间关系 变量性质 参量性质 模型用途
线性模型 确定性模型 集中参数模型
非线性模型 随机性模型 分布参数模型
模拟模型(评价)，管理模型(优化)
数学模型具有下列特征： 高度的抽象性。通过数学模型能够将形象思维转 化为抽象思维，从而可以突破实际系统的约束，运用 已有的数学研究成果对研究对象进行深入的研究。 经济性。用数学模型研究不需要过多的专用设备 和工具，可以节省大量的设备运行和维护费用，用数 学模型可以大大加快研究工作的进度，缩短研究周期 ， 数学模型具有局限性，在简化和抽象过程中必然 造成某些失真。所谓”模型就是模型,而不是原型”, 即是指该性质。
1 ( X j x )(Y j y ) COV ( X ,Y ) n R x . y ( X j x ) 2 (Y j y ) 2
（3-7）
式中ux和uy分别为观测值和计算值的平均值。R 是处在 -1和 1之间的数。其绝对值的数值越大， 表示两者的相关关系越好。相对误差的定义是
抽象模型
模型
具体模型
图3.1 模型的形式
满足模型条件的数学表达式和算法叫做数学模型. 环境影响评价中的数学模型是应用数学语言和方法 来描述环境污染过程中的物理、化学、生物化学、生 物生态以及社会等方面的内在规律和相互关系的数学 方程。 它是建立在对环境系统进行反复的观察研究，通过 实验或现场监测取得了大量的有关信息和数据，进而 对所研究的系统行为动态、过程本质和变化规律有了 较深刻认识的基础上，经过简化和数学演绎而得出的 一些数学表达式，这些表达式描述了环境系统中各变 量及其参数间的关系。
R xy
COV ( X , Y ) x . y
定义式
1 X X n
R xy COV ( X , Y ) x . y
函数 (2-1) (2-2) (2-3) (2-4) (2-5) (2-6) AVEDE V CORR EL COVA R DEVS Q STDEV VAR
说明
一组数据点到其平 均值的绝对偏差的 平均值 两组数据集合的相 关系数
(2)灰箱模型
即半机理模型。在应用质量平衡法建立环境数
学模型的过程中,几乎每个模型都包含一个或多个待 定参数,这些待定参数一般无法由过程机理来确定。 通常采用经验系数来定量说明。经验系数的确定则 要借助于以往的观测数据或实验结果。
(3)黑箱模型
即输入-输出模型。需要大量的输入,输出数据 以获得经验模型。它们可在日常例行观察中 积累,也可由专门实验获得。根据对系统输入 输出数据的观测,在数理统计基础上建立起经
可控变量又称操纵变量，是指模型中能够控制 其大小和变化方向的变量。一个模型中应有一个或多 个可控变量，否则这个模型将不能付诸实用。
3.2.3 数学模型的验证和误差分析
在经过确定结构形式和参数估值等一系列工作，建 立的数学模型在投入应用之前，还要进行模型验证。 验证所用的数据对于参数估值来说，应该是独立的 。一个模型是否满足使用要求，以模型自算结果和实 际观测数据之间的吻合程度来判断。
简化模型的方法可从两方面进行：
通过抓主要矛盾，提出简化问题的一些 假设，这是物理和化学意义上的简化；
根据数量级关系进行取舍，这是数学意 义上的简化。
3. 建立数学模型的依据要充分
依据充分的含义指的是模型在理论推导上要严谨 ，并且要有可靠的实测数据来检验。
4.管理模型(优化)中要有可控变量
建立什么模型，都必须满足下述基本要求。
1.模型要有足够的精确度
精确度是指模型的计算结果和实际测量数值的吻合程 度。 精确度不仅与研究对象有关，而且与它所处的时间， 状态及其它条件有关。 对于模型精确度的具体规定，要视模型应用的主客 观条件而定。 通常在人工控制条件下的各种模拟试验及由此建立 的模型可以达到较高的精度，而对于自然系统和复合系统 的模拟及由此建立的模型，不能期望具有较高的精度。精 确度通常用误差表示。
3 数学模型概述
数学模型应用于科学技术的每一个领域，是一切 科学技术部门的重要工具和手段，也是环境系统分析 的基础。应用环境系统工程方法解决环境污染控制问 题时，一个重要的技术过程就是将所研究的环境系统 行为抽象为数学模型，这是进行定量研究工作的基础 。
3.1 数学模型的定义和分类
系统的模型化是系统分析的基础，为了做好模型 化工作，需要给模型一个确切的定义。如果一个事 物 M 与另一个事物 S 之间，满足两个条件： 1. M 中包含有一些元素(分量)，每个元素(分量) 分别对应和代表 S 中的一个元素(分量)； 2. M 中的上述分量之间应存在一定的关系，这种 关系可以用于与 S 的分量间关系进行类比。
如果调整参数并不能使模型的精度有所 改进，则要考虑模型结构的调整，并重 新进行参数的估计和模型验证。 经验证明合格的模型，可以在一定范围 内应用。 在应用过程中，要根据实际系统返回的 信息对模型不断地修正和完善。
3.2.2 对模型的基本要求
建立数学模型所需的信息通常来自两个方面:
对系统的结构和性质的认识和理解---演 绎法。 这类模型只有唯一解。 系统的输入和输出观测数据--归纳法。 经验模型可有多组解。
我们则将事物 M 称为事物 S 的模型。从形式 上看，模型可分成抽象模型和具体模型。
图3-1 列出了抽象模型和具体模型的一些例子。
数学模型:方程式,函数,逻辑式 图象模型:流程图,方向图,框图； 计算机程序:计算程序,模拟程序
相似模型:(实物放大缩小) 建筑模型，风洞实验模型 模拟模型:电模拟模型
X i Yi Xi
ei
（3-8）
如果有 n 组观测值与相应的计算值，可以计算得到 n 个相对误差值。将这 n 个误差值从小至大排列，可以求得 小于某一误差值的误差的出现频率，以及累积频率为10％、 50％和90％的误差。通过分析这三个误差的数值，可以确定 模型的精确度。这种表达方法的缺点是在上、下区界(10％、 90％)附近的统计分布很差，因此通常采用中值误差(累积频 率为50％)作为衡量模型精确度的度量。可以确定，中值误 差与统计学上的概率误差是一致的，中值误差的数值既可以 从误差分布的累积曲线(图 2-4)上求出，也可以按下式计算。
4.模型的检验和修正
结构形式和参数数值确定之后，数学模型就
已具雏形，但还不能付诸应用。只有经过检验 和验证的模型才能在一定范围内应用。 输入新的(独立)观察数据,并根据输出数据 和模型计算系统估计值之间的误差来检验和修 正模型。若计算误差满足预定的要求，则建立 模型的工作告一段落。若计算误差超过了预定 的界限，则可通过修正参数的数值来调整计算 结果；
数学模型的验证和误差分析的方法：
1． 图形表示法
模型验证的最简单的方法是将观测数据和模型的 计算值共同点绘在直角坐标图上。根据给定的误差要 求，在模型计算值的上下画出一个区域， 如果模型计算值和观测值很接近，则所有的观测 点都应该落在计算值的误差区域内。 用图形表示模型的验证结果非常直观，但由于不 能用数值来表示，其结果不便于相互比较。
每对偏差乘积的平 均值 返回偏差平方和 估计样本的标准偏 差 估计样本的方差
1 COV ( X , Y ) ( X j x )(Y j y ) n
DEVSQ ( X X )
STDEV n X
2
2
( X ) 2
n(n 1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
VAR
n X 2 ( X ) 2 n(n 1)
2. 模型要简单适用
模型既要具备一定的精确度，又要力求简单实用。
精确度和模型的复杂程度往往成正比，但随着模 型的复杂程度的增加，模型的求解趋于困难，要求的 代价亦增加。说明两个基本要求存在着一定的矛盾， 需根据问题性质协调解决。
有时为了简化模型以便于求解，只能降低对模型 精度的要求。另一方面，无论怎样精确的模型也存在 着如何从原型进行简化的问题。
3．相关系数和相对误差 相关系数 R，反映了两个数据集合之间的线 性相关程度。在模型的验证和误差分析中模型 计算值和观测值就可以看成是这样的两个数据 集合。如果X(X1, X2, X3…) 和 Y( Y1, Y 2, Y3…) 分别表示一组观测值和计算值，相关系数计算 :
表3-2 一些Excel统计分析函数的定义
2.模型的结构选择
(1)白箱模型
根据对系统的结构和性质的了解 ,以客观事物变化 遵循的物理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的 模型是机理模型 。这种建立模型的方法叫演绎法 。 机理模型具有唯一性。建立机理模型最主要的方法 是质量平衡法 , 在预知污染物质反应的方式和速度时 , 用来预测物质流的方向和通量。虽然使用演绎法建立 白箱模型并不需要经过图 3.2所列的建立数学模型步骤 ，但事实上完全的白箱模型是很少遇到，很难获得的 。
参数 估计
观测数据 组Ⅰ
模型结 构选择
参数 估计
检验与 验证
模型 应用
观测数据组Ⅱ
图3-2 建立数学模型的步骤
数据是建立模型的基础，在数据搜集时要求尽可能的 充分、准确。在获得一定数据量以后，应尽早进行数 据的初步分析，努力发现规律性或不确定性，以便及 时调整数据搜集的策略，为数学模型的建立打下良好 的基础。 数据分析的主要方法有: 时间序列图绘制，反映空间关系的曲线图形绘制或列 表，反映变量关系的曲线图形绘制或列表；从中考察 和分析系统中各元素的时空变化规律，和元素间关系 变化规律。