固体物理-布洛赫定理
什么是电子的布洛赫定理和能带结构
什么是电子的布洛赫定理和能带结构？电子的布洛赫定理和能带结构是固体物理学中关于电子在周期性势场中行为的两个重要概念。
下面我将详细解释布洛赫定理和能带结构，并介绍它们的物理背景和应用。
1. 布洛赫定理：布洛赫定理是指在周期性势场中，电子的波函数可以表示为平面波和周期性函数的乘积。
这意味着电子的波函数在周期性势场中是周期性的，具有特定的周期性结构。
布洛赫定理是基于周期性势场的周期性性质而提出的。
在周期性势场中，电子受到周期性的势能影响，因此它们的波函数应该具有相应的周期性特征。
布洛赫定理的提出使得我们能够更好地理解和描述电子在晶体中的行为。
2. 能带结构：能带结构是指固体中电子能量的分布情况。
在固体中，电子的能量是量子化的，只能存在于特定的能级。
能带结构描述了这些能级在动量空间中的分布情况，即电子能量与动量之间的关系。
能带结构的形成是由于布洛赫定理的存在。
根据布洛赫定理，电子的波函数具有周期性，因此它们在动量空间中的分布也是周期性的。
这种周期性分布导致了能级的整体分布，形成了一系列相互重叠的能带。
能带结构可以分为导带和禁带两种。
导带是指电子能量较高的能带，其中存在大量的可移动电子。
禁带是指电子能量较低的能带，其中几乎没有电子存在。
在固体中，导带和禁带之间的能量差异被称为禁带宽度。
能带结构对固体的导电性和光学性质具有重要影响。
导带中存在大量可移动电子，因此固体具有较好的导电性。
禁带中几乎没有电子存在，因此固体具有绝缘性或半导体性质。
禁带宽度的大小决定了导电性和光学性质的特性。
总结起来，布洛赫定理和能带结构是固体物理学中关于电子在周期性势场中行为的重要概念。
布洛赫定理描述了电子波函数的周期性特征，能带结构描述了电子能量在动量空间中的分布情况。
能带结构对固体的导电性和光学性质具有重要影响，它们在材料科学和电子学等领域具有广泛的应用。
固体物理学：4-1 布洛赫定理
一. 布洛赫定理
一个在周期场中运动的电子的波函数应具 有哪些基本特点？
在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch）和 布里渊（Brillouin）等人就致力于研究周期场 中电子的运动问题。他们的工作为晶体中电子 的能带理论奠定了基础。
布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。
4 根据周期性边界条件求本征值 周期性边界条件
对于 对于 对于
—— 整数
—— 引入矢量 满足
—— 倒格子基矢
平移算符的本征值
5 Bloch 定理的证明 平移算符的本征值
将
作用于电子波函数
电子的波函数 满足布洛赫定理
—— 布洛赫定理 —— 布洛赫函数 —— 晶格周期性函数
三、 平移算符本征值的物理意义
注：由于德布洛意关系
P h
，即
P
k
，
所以 k 空间也称为动量空间。
kx
2
L
nx
(nx 0,1,2,)
上式告诉我们，沿 k 空间的每个坐标轴方向，
电子的相邻两个状态点之间的距离都是 因此，k 空间中每个状态点所占的体积为
2
L
2 L
图 3 表示二维 k 空间每个点所占的面积是
ky
2
。
3
1、一维情况的布洛赫定理
在一维情形下，周期场中运动的电子能量E(k)
和波函数 k ( x) 必须满足定态薛定谔方程
2 2m
d2 dx 2
V ( x)
k(x) E(k)k(x)
(1)
k -------表示电子状态的角波数 V( x ) ----周期性的势能函数，它满足
V( x ) = V( x + n a ) a ---- 晶格常数 n -----任意整数
固体物理 04-01布洛赫定理
大
学
Solid State Physics
固
体
物
理
—— 布洛赫定理
为一矢量 —— 当平移晶格矢量
—— 波函数只增加了位相因子 电子的波函数
—— 布洛赫函数
西
南 晶格周期性函数
科 技 大 学
—— 晶格周期性函数
Solid State Physics
固 体 物
理 布洛赫定理的证明
—— 引入平移算符 证明平移算符与哈密顿算符对易 两者具有相同的本征函数
二十年代初期，在用量子力学研究金属
的电导理论的过程中发展起来的。
西 南 科 技 大 学
Solid State Physics
固
体
物
理
Felix Bloch，1905.10 – 1983.9
博士论文《金属的传导理论》
发展核磁精密测量的新方法及其有 关的发现，与爱德华·珀塞尔（ Edward Mills Purcell, 1912-1997） 分享 1952年诺贝尔物理学奖
Solid State Physics
固 体
物 平移算符本征值的物理意义
理
1)
—— 原胞之间电子波 函数相位的变化
2) 平移算符本征值量子数
西
南 —— 简约波矢，对应于平移动操作本征值的量子数
科
技 —— 不同的简约波矢，原胞之间的相位差不同
大 学
Solid State Physics
固
体
物
理
—— 布洛赫定理
？
b）晶体中电子的平均自由程为什么会远大于
西
南 原子的间距？
科
技 大
……
学
Solid State Physics
布洛赫定理
这个单电子方程是整个能带论研究的出发点。 求解这个运动方程，讨论其解的物理意义， 确定晶体中电子的运动规律是本章的主题。
从以上讨论中，可以看到能带论是在三个近似下完成的：
(1) Born-Oppenheimer 绝热近似： (2) Hatree-Fock 平均场近似（单电子近似） (3) 周期场近似 (Periodic potential approximation)： 每个电子都在完全相同的严格周期性势场中运动，因此每个电子的运动
3 2 3 2
布洛赫和布里渊阐明了在周期场中运动的电子的基本特征,为能带理论的建立
奠定了基础. 近自由电子模型: 自由电子 + 微扰→ 能带 , 根据禁带宽度的大小 (金属, 绝缘体, 半导体)
What determines if the crystal will be a metal, an insulator, or a semiconductor ?
Omar： 固体物理学基础 5章 方俊鑫、陆栋《固体物理学》5.6-10节和6章 Blakemor Solid State Physics 3章 Kittel 7章各节， 9.3节 李正中《固体理论》7章 冯端、金国钧《凝聚态物理学》12章
Ashcroft: Solid State Physics 8-11章
Nuclei disappear – empty background
Real crystal – potential variation with the periodicity of the crystal
Attractive potential around each nucleus.
假定在体积 V=L3 中有 N 个带正电荷 Ze 的离子实，相应地有 NZ 个价电子，
孙会元固体物理基础第三章能带论课件31布洛赫定理及能带
所以,线性叠加后的平面波是布洛赫波函数,可 以描述晶体电子.
说明： 在第一章描述的自由电子情形,由于波函数：
1 ik•r k (r) e i ( r ) k ( r ) k k V
所以,对自由电子情形,动量算符有确定的本 征值,代表电子的动量。 但是,对于布洛赫电子,由 于布洛赫波函数：
注：周期性边条件去掉了表面对平移对称性 的破坏，使有限大的晶体具有了完全的平移对称 性，也是数学处理上最简便的边条件
将布洛赫定理用于周期性边条件：
( r ) ( r N a ) e
k k i i
i k • r N a i i k
u ( r N a ) i i
mn m n
i ( R ) ( R R ) () R () R ( R ) e 将 代入 中得： mn m n nn e来自i( R R ) m n
ee
m
i( Ri ) () R m n
两边取对数得：
( R RRR ) ( )( )
i kr
i k r i ( r ) k ( r ) i e u ( r ) () r e ur () k k k k k
所以,布洛赫波函数不再是动量算符的本征函 数, k 不再代表布洛赫电子的动量。
一般把 k 称为晶体动量(crystal momentum),而把 k 理 解为标志电子在具有平移对称性的周期场中不同状态 的量子数,其取值由边界条件来确定.
h
则上式化为
1 iG R h(r n) u ( r R ) a ( k G ) e n h k V h 1 1 iG G hr i hR n a ( k G ) e e u (r) h k V h i k r () r e u () r k k
布洛赫定理
2 2 2m U r r E r
其中，U(r) = U(r +Rl)为周期性势场， Rl=l1a1+l2a2+l3a3为格矢， 方程的解应具有下列形式：
k r eikruk r
—— Bloch函数 （Bloch wave function）
2 2 2m U r r E r 其中： U (r Rn ) U (r )
这个方程是整个能带论研究的出发点。 求解这个运动方程，讨论其解的物理意义， 确定晶体中电子的运动规律是本章的主题。
从以上讨论中，可以看到能带论是在三个近似下完成的：
当我开始思考这个问题时，感觉到问题的关键 是解释电子将如何“偷偷地潜行”于金属中的所有 离子之间。……. 经过简明而直观的傅立叶分析， 令我高兴地发现，这种不同于自由电子平面波的波 仅仅借助于一种周期性调制就可以获得。
——F Bloch 一. Bloch定理 • 能带理论的基础 • 针对周期性结构
的解可以表示为： k (r) f (r)uk (r) 其中 uk (r Rn ) uk (r ) 势场的周期性也使与电子相关的所有可测量，包括电子几率
(r)
2
也必定是周期性的，这就给未知函数 f ( r ) 附加了下述
条件： 对于所有
f ( r Rn ) f ( r )
2
2
• 描写晶体（周期性势场）中的单电子运动 考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静 止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外 其他电子的平均势场和原子实的势场中运动。按照周期 场近似，电子所感受到的势场具有周期性。这样的模型 称为周期场模型。
简述布洛赫定理的内容
简述布洛赫定理的内容
布洛赫定理是固体物理学中的一项重要定理，它描述了晶体中电子的行为。
该定理是由瑞士物理学家费米和德国物理学家布洛赫在1929年分别提出的。
一、晶体结构和周期性势场
晶体是由原子或分子按照一定规律排列而成的固体。
晶格是指构成晶体的原子或分子在空间中排列成的有序周期性结构。
周期性势场是指在空间中呈现出周期性变化的势场。
二、电子在周期性势场中的运动
当电子遇到一个周期性势场时，它会受到一个平稳而有规律的力，这个力会使电子做简谐振动。
在这种情况下，电子行为类似于弹簧振动器。
三、布洛赫定理和能带结构
布洛赫定理描述了晶格对电子运动的影响。
它指出，在一个周期性势场中，电子波函数可以表示为平面波与一个具有与晶格相同周期的函
数之积。
这个函数被称为布洛赫函数。
通过布洛赫函数，我们可以推导出能带结构。
能带结构描述了材料中
电子的能量和动量之间的关系。
在能带结构中，能量被分成了不同的
区域，每个区域被称为一个能带。
在一个能带内，电子具有相似的能
量和动量。
四、布洛赫定理的应用
布洛赫定理在固体物理学中有着广泛的应用。
它可以用来研究半导体、金属和绝缘体等材料中电子行为的特性。
在半导体领域，布洛赫定理
可以用来解释p-n结和场效应晶体管等器件的工作原理。
总之，布洛赫定理是固体物理学中非常重要的一项定理。
它描述了晶
格对电子运动的影响，并推导出了能带结构。
通过这个定理，我们可
以更好地理解材料中电子行为的特性，并将其应用于实际设备设计中。
布洛赫定理知识点
布洛赫定理知识点布洛赫定理是固体物理学中的一个重要概念，它描述了晶体中电子的行为和能量分布。
通过理解和掌握布洛赫定理，可以深入了解固体物理学的许多基本原理和现象。
本文将主要介绍布洛赫定理的概念、应用以及相关知识点。
一、布洛赫定理的概念布洛赫定理是由瑞士物理学家布洛赫（Bloch）于1928年提出的。
它是描述周期性势场中粒子（如电子）行为的一种数学模型。
根据布洛赫定理，晶体中的物理特性可以由一个周期函数和平面波函数的乘积来描述。
具体而言，布洛赫定理给出了如下形式的波函数表示：ψ(r) = u(r)* exp(ik•r)其中，ψ(r)表示晶体中的波函数，u(r)是一个周期函数，k是布拉格波矢，r是晶格中的位置矢量。
根据布洛赫定理，晶体中的波函数具有周期性，即在晶体中的任意位置矢量r上，波函数的模长和相位都具有相同的周期性。
这种周期性使得我们能够用一个有限大小的晶胞作为模型来描述整个晶体的物理特性。
二、布洛赫定理的应用布洛赫定理在固体物理学中有广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用。
1. 能带理论布洛赫定理为解释固体中能带结构提供了重要工具。
能带结构是指能量与波矢之间的关系。
根据布洛赫定理，电子的波函数可以表示为周期函数和平面波函数的乘积，从而可以得到电子的能量本征值和能带结构。
2. 色散关系布洛赫定理可以用来描述晶体中的电子色散关系。
色散关系是能量与波矢之间的关系，描述了晶体中电子的传输性质。
布洛赫定理给出了电子波函数的表示形式，可以通过对波函数进行求解，得到电子能量与波矢的关系。
3. 赝势方法布洛赫定理在赝势方法中也有重要应用。
赝势方法是一种计算固体物理性质的近似方法，通过引入赝势将全电子问题简化为少电子问题。
布洛赫定理提供了计算周期势场中电子行为的数学模型，使得赝势方法在实际计算中得到了广泛应用。
三、布洛赫定理的相关知识点除了上述介绍的应用外，布洛赫定理还涉及一些其他重要的知识点。
1. 布洛赫矢量布洛赫矢量是用来描述布洛赫定理中波函数的平移对称性的参数。
固体物理(2011) - 第4章 能带论 1 布洛赫定理与布洛赫波
2 波动方程 [ V ( r )] E 2m 晶格周期性势场 V (r ) V (r Rn )
2
两个具体近似方案
• QED！
1. 近自由电子近似：晶体势场的周期起伏比较弱，周期势能可 以看成是对自由电子平面波情况的微扰。
周期方形波怎么构成？ —— F. T.
布洛赫定理的证明 —— 引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易 两者具有相同的本征函数
—— 利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后给出 电子波函数的形式
—— 势场的周期性反映了晶格的平移对称性
晶格平移任意格矢 势场不变
—— 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符
T1 , T 2 , T 3
ik a 1
, 2 e
ik a 2
, 3 e
ik a 3
作用于电子波函数
e
ik ( m1a1 m2a2 m3a3 )
(r )
ik R m (r Rm ) e (r )
—— 布洛赫定理
ik r 电子的波函数 ( r ) e u k ( r )
固体物理
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
So lid S ta te Phy si cs
1 布洛赫定理与布洛赫波 2 近自由电子近似方法 3 紧束缚近似方法 4 其他方法 5 能带电子的态密度 6 布洛赫电子的准经典运动 7 布洛赫电子在恒定电场中的 准经典运动 8 布洛赫电子在恒定磁场中的 准经典运动 9 能带论的局限性
把一个多粒子（电子、离子实）体系问题简化为一 个多电子体系问题。
单光子问题
第二步简化——单电子近似：认为每一个电子都是处于相
§4-2 布洛赫(Bloch)定理 固体物理 教学课件
（k ,x）＝u（k，x）eikx 其中
u（k，x）＝u（k ,x+na） 晶体中的电子波又称为Bloch波。
讨论：
1．电子出现的几率具有正晶格的周期性。
∣（k ,x）∣2＝∣u（k，x）∣2 ∣（k ,x＋na）∣2=∣u（k ,x+na）∣2 ∵ u（k，x）= u（k ,x+na）
G n
令G‘n－Gn=Gn’’,则
＝C (KG n '')ei(K G n '')x (k,x) G ''n
因为求和也是遍取所有允许的倒格矢
即相差任意倒格矢的状态等价。
由薛定谔方程
ˆ H
(k,r)=E(k)(k,r)
(kGn' ,x) 与 (k,x) 等价
^
^
H (k ,r ) ＝ H (k G h ,r ) ＝ E (k G h )(k ,r )
∴∣（k ,x）∣2=∣（k ,x＋na）∣2
3．函数（k ,x）本身并不具有正 晶格的周期性。
（k ,x＋na）＝u（k，x+na）eik(x+na) = u（k，x+na）eikx× eikna = u（k，x）eikx× eikna = （k ,x）eikna 而一般情况下 ∵ k不是倒格矢 eikna≠1
G n
=u(K,x+na)
∵Gh·Rn＝2m， 一维情况Rn=na, Ghna=2m
eiGnna 1
u （ K ， x )＝ C (K G n)e iG n x e iG n na
G n
＝ C (K G n)e iG n(x n)a u (K ,x n)a
G n
布洛赫定理及它的指导意义
JISHOU UNIVERSITY《固体物理》期末考核报告布洛赫定理及它的指导意义布洛赫波因其提出者美籍瑞士裔物理学家菲利克斯·布洛赫（Felix Bloch ）而得名。
布洛赫波由一个平面波和一个周期函数u （r ）（布洛赫波包）相乘得到。
其中u （r ）与势场具有相同周期性。
布洛赫波的具体形式为：式中k 为波矢。
上式表达的波函数称为布洛赫函数。
当势场具有晶格周期性时，其中的粒子所满足的波动方程的解ψ存在性质：这一结论称为布洛赫定理（Bloch's theorem ），其中为晶格周期矢量。
可以看出，具有上式性质的波函数可以写成布洛赫函数的形式。
平面波波矢k（又称“布洛赫波矢”，它与约化普朗克常数的乘积即为粒子的晶体动量）表征不同原胞间电子波函数的位相变化，其大小只在一个倒易点阵矢量之内才与波函数满足一一对应关系，所以通常只考虑第一布里渊区内的波矢。
对一个给定的波矢和势场分布，电子运动的薛定谔方程具有一系列解，称为电子的能带，常用波函数的下标n以区别。
这些能带的能量在k的各个单值区分界处存在有限大小的空隙，称为能隙。
在第一布里渊区中所有能量本征态的集合构成了电子的能带结构。
在单电子近似的框架内，周期性势场中电子运动的宏观性质都可以根据能带结构及相应的波函数计算出。
上述结果的一个推论为：在确定的完整晶体结构中，布洛赫波矢k是一个守恒量（以倒易点阵矢量为模），即电子波的群速度为守恒量。
换言之，在完整晶体中，电子运动可以不被格点散射地传播（所以该模型又称为近自由电子近似），晶态导体的电阻仅仅来自那些破坏了势场周期性的晶体缺陷。
从薛定谔方程出发可以证明，哈密顿算符（Hamiltonian）与平移算符（translation）的作用次序满足交换律，所以周期势场中粒子的本征波函数总是可以写成布洛赫函数的形式。
更广义地说，本征函数满足的算符作用对称关系是群论中表示理论的一个特例。
布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体的导电性时首次提出的，但其数学基础在历史上却曾由乔治·威廉·希尔（George William Hill，1877年），加斯东·弗洛凯（Gaston Floquet，1883年）和亚历山大·李雅普诺夫（Alexander Lyapunov，1892年）等独立地提出。
布洛赫定理
电子数量增加时能级扩展成能带
2
例如Na，核外电子结构为：1s22s22p63s1。 当N个Na原子相互靠近形成一个固体时，形成能带，为1s带， 2s带，2p带，3s带，3p带。 内层电子受到外来影响小，3s带受到外来影响最大。 Na的3s电子是价电子，所以3s带也叫价带。由于钠原子只有 1个3s电子，所以在Na固体的3s价带上，只有一半的能级被电 子所占据。 自然，这些3s带里被电子占据的能级应该是能量较低的能级， 而能量较高的能级很少有电子占据。 Na的3p带也叫导带，由于Na的3p能级没有电子，所以Na固 体的3p带也没有电子，是空带。 如果受到外来能量的激发，3s带的电子可能跃迁到3p带上去。 在3s带和3p带之间有一段能量区域是永远不可能有电子的， 这个能量区域叫禁带，也称带隙。
任意晶格矢量。
7
一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理
第一步简化 —— 绝热近似：离子实质量比电子大，离子 运动速度慢，讨论电子问题，认为离子是固定在瞬时位置上 第二步简化 —— 利用哈特里一福克自治场方法，多电子 问题简化为单电子问题，每个电子是在固定的离子势场以及 其它电子的平均场中运动 第三步简化 —— 所有离子势场和其它电子的平均场是周 期性势场
21
布洛赫
1905年10月23日出生于瑞士的苏黎世，上完中学后， 他本来想当一名工程师，于是就直接进入苏黎世的联邦 工业大学。一年后，决定转学物理，通过薛定谔、德拜 等教授的课程，他逐渐熟悉了量子力学。后来他到德国 莱比锡大学跟海森堡继续研究。1928年获得博士学位。 以晶体中电子的量子力学和金属导电理论方面的内容做 论文。1933年到美国。1934年起在斯坦福大学任教。 1939年加入了美国国籍。1952年获得诺贝尔奖。1954年 曾担任过欧洲核子研究中心的第一任主任，回到斯坦福 大学后，曾经研究过超导电性和低温下的其它现象。 1983年9月10日逝世于慕尼黑，享年78岁。
布洛赫定理布洛赫动量和相位的关系
布洛赫定理布洛赫动量和相位的关系文档下载说明Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document 布洛赫定理布洛赫动量和相位的关系can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!布洛赫定理是固体物理学中的一个基本概念，它描述了晶体中电子的波函数形式。
这个概念是由瑞士物理学家费里·布洛赫在1928年提出的，他的研究对于理解固体中电子的行为和性质有着深远的影响。
在量子力学中，波函数描述了粒子的状态，而布洛赫定理则给出了在周期性势场中的波函数形式。
这个定理的核心思想是，当一个电子在晶体中运动时，其波函数具有类似于平面波的形式，但受到晶格周期性势场的影响而发生周期性变化。
固体物理：4_1 布洛赫定理
4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
单电子所处周期性势场图示
V(r )
a
r
能带理论是一种绝热近似下的单电子近似理论。
东北师范大学物理学院
4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
(1)绝热近似 (2)单电子近似 (3)周期场近似
晶体系统多电子问题就简化为周期场中的单电子问题。 晶体电子态就可以用单电子在不同的周期场中运动的状 态来描述.
能带近似计算方法
迄今为止，我们还未得到 E k 的具体形式。
要求能量本征值，必须解薛定谔方程：
2
2m
晶体势场
V2r 也V 必r须 n具k r体 给E出n k，这nk 是r 非常困
难 的的 晶事 体情势。V 常r常，以再简利化用的量模子型力势学来中代微替扰真理实论
来解决。
如何简化?
能带理论建立基础
u(r ) u(r R)
or
k (r R) eik R k (r ) 用这种波函数描述的电子叫布洛赫电子
东北师范大学物理学院
4 – 1 布洛赫定理
布洛赫定理
第四章 能带理论
晶格具有平移对称性的单电子哈密顿
H
2
2
V
(r )
的本征函数
(r)可表2m示为
(r )
e
ikr
u(r )
其中
u(r )
东北师范大学物理学院
4 – 1 布洛赫定理
第四章 能带理论
能带理论建立基础
(1)绝热近似 (2)单电子近似 (3)周期场近似
周期场近似：由于晶格的周期性结构，可以合理的假设
所有点子及离子产生的场均具有晶格周期性。
V r V r Rn
布洛赫定理的内容
布洛赫定理的内容
布洛赫定理是固体物理学中的一个重要定理，描述了周期势场中电子波函数的特性。
具体内容如下：
1. 布洛赫定理指出，在周期势场中，电子的波函数具有形式为
ψ(r) = u(r)exp(ik·r)的解，其中u(r)是一个与周期势场具体形
式相关的函数，exp(ik·r)是一个平面波因子，k是电子的晶格动量。
2. 布洛赫定理说明了电子波函数在周期势场中的行为具有周期性，即ψ(r + R) = ψ(r)，其中R是晶格常数。
3. 根据布洛赫定理，电子波函数可以用一个波矢k来标记，称
之为布洛赫矢量。
每个布洛赫矢量对应一个能量本征态，称为布洛赫能带。
4. 布洛赫定理还指出，对于周期势场中的电子，其能量本征态
具有沿晶格方向传播的特性。
这意味着，电子在周期势场中的行为可以用一系列具有不同波矢k的平面波叠加来描述，每个平面波对应不同的能量本征态。
5. 布洛赫定理基于周期势场的周期性，可以有效地描述晶体中
的电子行为，例如能带结构、导电性等。
该定理为固体物理学提供了一个重要的理论框架，对于理解和研究晶体中电子行为具有重要意义。
固体物理第5章5.1布洛赫定理
b2 2π j
b
b
倒格仍为矩形。
a2 bj
a1 ai
a
2π
b
2π
a
j
i
第一区
第二区
例4：画出面心立方第一布里渊区。设面心立方晶格常量为a。
解：面心立方正格基矢：
a1
a
2
a
3
a 2
a 2
a 2
jk ik i j
Ω a1 (a2 a3 )
1 a3 4
ak
a1
aj
倒格基矢:
b1
(a1) eia l１为整数
N1k1 a1 2l1
取
k1
l1 N1
b1
满足上式，得到
(a1 )
i
e
l1 N1
b1a1
同理可以得到
k2
l2 N2
b2
k3
l3 N3
b3
(a2
)
i
e
l2 N2
b2 a2
(a3 )
i
el3 Βιβλιοθήκη 3b3 a3令k
l1 N1
b1
l1 N2
b2
l1 N3
b3
由 (Rn ) [(a1)]n1 [(a2 )]n2 [(a3)]n3 (Rn ) eikRn
[Tˆ , Hˆ ] 0
由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数 (r)
是
Hˆ 的本征函数，那么 (r)
也一定是算符
Tˆ
(
Rn
)
的本征函数。
Tˆ(Rn ) 对应的本征值的特点是什么？
由 Tˆ(Rn ) (r) (r Rn ) (Rn ) (r)
本征值λ（Rn）必须满足等式
固体物理电子教案51布洛赫定理-PPT课件
ˆ (3) T
ik R (R n) e
n
ˆ 设 T ( R ) 对应的本征值为 ( R ) ，则有 n n ˆ T ( R ) ( r ) ( r R ) ( R ) ( r ) n n n
n n n 1 2 3 ˆ ˆ ˆ T ( a )T ( a )T ( a ) 1 2 3
根据上式可得到
N 1 ˆ T N a ( r ) ( a )( r ) ( r N a ) ( r ) 1 1 1 1 1
(a1) e
l i2π 2 N 2
N 1 ( a ) 1 1
l i2π 1 N 1
u r u r R n k k
( a ) 、 ( a ) 、 ( a ) ? 1 2 3
在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调 幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。 3.证明布洛赫定理
(1)引入平移对称算符 T(R n)
设晶体在 a 、 a 、 a 方向各有 N 、 N 、 N 个原 , 1 2 3 1 2 3
由周期性边界条件 ( r ) ( r N 1 a 1 ) ( r ) ( r N a 2 2) ( r ) ( r N 3 a 3 )
同理可得： (a 2) e
,
(a3 ) e
i 2π
l3 N3
ˆ 这样 T(Rn ) 的本征值取下列形式
n l nl nl i2 π(11 2 2 3 3) N N N 1 2 3 ( R ) e n
布洛赫矢量
布洛赫矢量布洛赫矢量是固体物理学中的一个重要概念，它在描述晶体中的电子结构和光学性质等方面起着至关重要的作用。
本文将从以下几个方面对布洛赫矢量进行详细介绍。
一、布洛赫定理布洛赫定理是固体物理学中的一个基本定理，它揭示了晶体中电子波函数的周期性特征。
具体来说，布洛赫定理指出，在晶格势场下，电子波函数可以表示为一个平面波和一个周期函数的乘积形式，即：ψ(k,r)=e^(ik·r)u(k,r)其中，k被称为倒格矢（reciprocal lattice vector），r是空间坐标，u(k,r)是一个与晶格周期相同的函数。
这个式子就是布洛赫定理。
二、布洛赫矢量的定义在布洛赫定理中，k被称为倒格矢。
而与之对应的，则是一个被称为布洛赫矢量（Bloch vector）的量。
具体来说，布洛赫矢量定义为：k=G+m·b其中，G是任意一个倒格矢，m是任意整数，b被称为倒格子基矢。
可以看出，布洛赫矢量是由倒格矢和倒格子基矢的线性组合得到的。
三、布洛赫矢量的物理意义布洛赫矢量在固体物理学中有着重要的物理意义。
具体来说，它描述了晶体中电子波函数的性质和能带结构等方面。
首先，布洛赫矢量决定了电子波函数的相位。
在晶格势场下，电子波函数可以表示为一个平面波和一个周期函数的乘积形式。
而这个平面波部分正是由布洛赫矢量所决定的。
其次，布洛赫矢量还决定了能带结构。
在固体中，能带是指一系列允许态和禁止态所组成的能级带。
而这些能带又可以分为导带和价带两类。
导带是指电子可以自由运动并参与导电过程的能级带，而价带则是指电子不能自由运动并且处于束缚状态下的能级带。
在这个过程中，布洛赫矢量起着至关重要的作用。
具体来说，在固体中存在很多不同的原子位置，每个原子位置上的电子都会对能带结构产生影响。
而这些影响可以通过布洛赫矢量来描述。
因此，布洛赫矢量成为了描述能带结构的重要工具。
四、布洛赫矢量的应用布洛赫矢量在固体物理学中有着广泛的应用。
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—— 将电子的波函数代入薛定谔方程，确定展开式的系数所 满足的久期方程，求解久期方程得到能量本征值
电子波函数的计算
—— 根据每个本征值确定电子波函数展开式中的系数，得到 具体的波函数
§4.1 布洛赫定理
布洛赫定理 —— 势场 V (r ) 具有晶格周期性时，电子的
波函数满足薛定谔方程
b3 bj
2ij
平移算符的本征值 1 eika1 , 2 eika2 , 3 eika3
将
作用于电子波函数
e (r ) ik (m1a1m2a2 m3a3 )
(r
Rm
)
eik Rm
(r
)
—— 布洛赫定理
电子的波函数
(r )
eikr uk
(r )
—— 布洛赫函数
—— 晶格周期性函数
满足布洛赫定理
平移算符本征值的物理意义
Байду номын сангаас
1） 1 eika1 , 2 eika2 , 3 eika3
2）平移算符本征值量子数 k
—— 原胞之间电子波
函数位相的变化
—— 简约波矢，不同的简约波矢，原胞之间的位相差不同
3）简约波矢改变一个倒格子矢量 Gn n1b1 n2b2 n3b3
平移算符的本征值
为了使简约波矢 的取值和平移算符的本征值一一对应， 将简约波矢的取值限制第一布里渊区
bj 2
kj
bj 2
简约波矢
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
简约波矢的取值
第一布里渊区体积
—— 在
简约波矢
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
空间中第一布里渊区均匀分布的点
每个代表点的体积
第二步简化 —— 利用哈特里一福克自治场方法，多电子 问题简化为单电子问题，每个电子是在固定的离子势场以及 其它电子的平均场中运动
第三步简化 —— 所有离子势场和其它电子的平均场是 周期性势场
三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理
能量本征值的计算 —— 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，晶体电子态
理想晶体 —— 晶格具有周期性，等效势场V(r)具有周期性
晶体中的电子在晶格周期性的等效势场中运动
波动方程 [ 2 2 V (r)] E
2m
晶格周期性势场
V (r ) V (r Rn )
一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理
第一步简化 —— 绝热近似：离子实质量比电子大，离子 运动速度慢，讨论电子问题，认为离子是固定在瞬时位置上
能带理论是单电子近似的理论 —— 把每个电子的运动看成是 独立的在一个等效势场中的运动
单电子近似 —— 最早用于研究多电子原子__ 哈特里－福克 自洽场方法
能带理论的出发点 —— 固体中的电子不再束缚于个别的原子， 而是在整个固体内运动 ___ 共有化电子
共有化电子的运动状态 —— 假定原子实处在其平衡位置， 把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰
布洛赫定理的证明
—— 引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易， 两者具有相同的本征函数
—— 利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后 给出电子波函数的形式
—— 势场的周期性反映了晶格的平移对称性
晶格平移任意矢量
势场不变
—— 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符
T1, T2 , T3
平移任意晶格矢量
H E T1 1 , T2 2 , T3 3
平移算符的本征值
引入周期性边界条件
三个方向
上的原胞数目 总的原胞数
对于 对于 对于
—— 整数
2 i l1
1 e N1
2 i l2
2 e N2
2 i l3
3 e N3
——
引入矢量
k
l1 N1
b1
—— 倒格子基矢
l2 N2
b2
满足
l3
N3 ai
第四章 能带理论
能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础 能带理论 —— 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
—— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距
—— 能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体 技术的发展
—— 随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的普遍性 规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算
状态密度 Vc
(2 )3
简约布里渊区的波矢数目
(2 )3
N
(2 )3
N
[
2
2
V
(r)]
(r )
E
(r )
2m
—— 方程的解具有以下性质
(r
Rn
)
eik Rn
(r )
—— 布洛赫定理
为一矢量 —— 当平移晶格矢量
—— 波函数只增加了位相因子
根据布洛赫定理
电子的波函数 晶格周期性函数
(r )
eikr uk
(r )
—— 布洛赫函数
uk (r R) uk (r )
对应的平移算符
T
(
Rm
)
T m1 1
(a1
)T2m2
(a2
)T3m3
(a3
)
平移算符 的性质 作用于任意函数 平移算符作用于周期性势场
——
各平移算符之间对易
对于任意函数
TT T T
平移算符和哈密顿量对易 对于任意函数
和
微分结果一样
T H HT
—— T和H存在对易关系，选取H的本征函数，使它同时 成为各平移算符的本征函数