第10章 稳恒磁场

第十章 稳恒磁场

问题

10-1 你能说出一些有关电流元d I l 激发磁场d B 与电荷元d q 激发电场d E 有何异同吗？

解 电流元激发的磁场与电荷元激发的电场是两个基元场. 由毕奥—萨伐尔定律定律得电流元d I l 激发的磁场为 0r

2

d d 4I r

μ⨯=πl e B

由电荷元电场强度公式得电荷元d q 激发的电场为2

0d d 4q

r ε=

πE

相同点： 这两个场的大小都与场点到“元”（电流元、电荷元）的距离平方成反比； 这两个场都是矢量场，满足叠加原理.

相异点： 电荷元产生的电场呈球对称，其方向与r 的方向相同或相反；电流元产生的磁场不具有球对称性，其方向垂直于d l 与r 组成的平面，遵从右手螺旋法则. 另外，d E 的大小与电荷元的电量d q 成正比，而d B 的大小不仅与d I l 的大小成正比，还与其方向有关.

10-2 在球面上铅直和水平的两个圆中通以相等的电流，电流流向如图所示.问球心O 处磁感强度的方向是怎样?

解 由右手螺旋法则可知，铅直的圆中电流在O 处

产生的磁场方向垂直于铅直面向里；水平圆中电流在O 处产生的磁场方向垂直于水平面向下；并且这两个圆产

生的磁感应强度大小相等。所以球心处总的磁感应强度

斜向里，与竖直向上方向的夹角为135.

10-3 电流分布如图所示,图中有三个环路1、2和3. 磁感强度沿其中每一个环路的线积分各为多少？

解 由安培环路定理0

i i

d l

I μ⋅=∑⎰B l 可知

环路1 1

01d l I μ⋅=⎰B l 环路2 2

02d l I μ⋅=⎰B l 环路3

()3

012d 2l I I μ⋅=-⎰

B l

O

I

I

10-4 “无限长”载流直导线的磁感强度02I

B d

μ=

π可从毕奥-萨伐尔定律求

得.你能否用安培环路定律来求得呢? 如果可以,需要作哪些假设条件呢?

解 “无限长”载流直导线周围的磁场分布呈轴对称，距离导线相等处的场点磁感强度大小相等. 取以直导线为中轴线、半径为d 的同心圆为积分路径，积分方向与直导线中电流方向遵从右手螺旋定则. 由安培环路定律可得

2l

d B d I μ=π=⎰B l ⋅

02I

B d

μ=

π

在此解法中需要场点距直导线的距离d 为有限.

10-5 如图所示,在一个圆形电流的平面内取一个同心的圆形闭合回路,并使这两个圆同轴,且互相平行.由于此闭合回路内不包含电流,所以把安培环路定理用于上述闭合回路可得

d 0l

⋅=⎰B l

由此结果能否说在闭合回路上各点的磁感强度为零?

解 不能，

d 0l

⋅=⎰B l 不仅与磁感强度的大小

有关，还与磁感强度与积分路径的夹角θ有关. 当

90θ=时，d 0l

⋅=⎰B l 也成立.

10-6 如图所示,设在水平面内有许多根长直载流导线彼此紧挨着排成一行,每根导线中的电流相同. 你能求出邻近平面中部A 、B 两点的磁感强度吗？A 、B 两点附近的磁场可看作均匀磁场吗？

解 由于导线数目甚多，且电流分布均匀，相当于一个无限大带电平面. 由对称性

可知，在平面中部附近各点的磁感强度大小相等. 设各导线中的电流为I ，单位长度的导线数目为n . 如图所示，取长为L 的矩形

回路abcd ，回路内所包含的电流为nIL ，且使ab 、cd 边与磁场平行，bc 、da 边与磁场垂直，所以由安培环路定律可知

0d d d l

ab

cd

nIL μ=+=⎰⎰

⎰B l B l B l ⋅⋅⋅

01

2

B nI μ=

可见当导线电流、导线分布密度一定时，在平面中部附近的场强可以视为均匀磁场.

O I

10-7 如果一个电子在通过空间某一区域时，电子运动的路径不发生偏转，我们能否说这个区域没有磁场？

解 由洛仑兹力e =-⨯F v B 可知，电子进入磁场是否受力偏转与电子进入磁场时的速度方向有关，若电子进入磁场时初始速度方向与磁场方向平行，即

sin 00vB ⨯==v B

此时虽然磁感强度不为零，但电子运动路径不会发生偏转.

10-8 方程q =⨯F v B 中的三个矢量，哪些矢量始终是正交的？哪些矢量之间可以有任意角度？

解 由右手螺旋法则可知 q =⨯F v B 中 ，力F 与粒子速度v ，F 与磁感强度B 始终正交，v 与B 可以有任意角度.

10-9 气泡室是借助于小气泡显示在室内通过的

带电粒子径迹的装置，如图是气泡室中所摄照片的描绘图，磁感强度B 的方向垂直平面向外，在照片的点P 处有两条曲线，试判断哪一条径迹是电子形成的？哪一条是正电子形成的？

解 由q =⨯F v B 可知向右偏离的径迹是正电子

形成的, 向左下偏离的径迹是电子形成的.

10-10 在磁场中，若穿过某一闭合曲面的磁通量为零，那么，穿过另一非闭合曲面的磁通量是否也为零呢？

解 不一定. 磁场为有旋无源场，由磁场中的高斯定理可知，穿过任一闭合曲面的磁通量必为零，即d 0S

Φ=

⋅=⎰B S ；而穿过一非闭和曲面的磁通量不一定为

零，例如处于均匀磁场中的半球面S ，磁感强度的方向与半球面中轴线平行，则穿过此半球面的磁通量为2d 2S

R B Φ=⋅=π⎰

B S .

10-11 安培定律d d I =⨯F l B 中的三个矢量，哪两个矢量始终是哪些矢量始终是正交的？哪些矢量之间可以有任意角度？

解 由右手螺旋法则可知d d I =⨯F l B 中, 安培力d F 与d I l 、安培力d F 与磁感强度B 始终是正交的, d I l 与B 之间可以有任意角度.

10-12 如图，把一载流线圈放入一永久磁铁的磁场中，在磁场的作用下线圈将发生转动.（1）图（a ）中的线圈怎样转动？（2）图（b ）中的线圈由上往下看是