立体几何中的最值问题
立体几何中的截面(解析版)
专题13 立体几何中的截面 【基本知识】 1.截面定义:在立体几何中,截面是指用一个平面去截一个几何体(包括圆柱,圆锥,球,棱柱,棱锥、长方体,正方体等等),得到的平面图形,叫截面。其次,我们要清楚立体图形的截面方式,总共有三种,分别为横截、竖截、斜截。最后,我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。 2、正六面体的基本斜截面: 3、圆柱体的基本截面:正六面体斜截面是不会出现以下几种图形:直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。 【基本技能】
技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题; 技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题; 技能3.猜想法求最值问题:要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征,“动中找静”:如正三角形、正六边形、正三棱锥等; 技能4.建立函数模型求最值问题:①设元②建立二次函数模型③求最值。 例1 一个正方体内接于一个球,过这个球的球心作一平面,则截面图形不可能 ... 是() 分析考虑过球心的平面在转动过中,平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形,故选D。 例2 如图,在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜程度的不同,有下列四个命题: ①水的部分始终呈棱柱状; ②水面EFGH的面积不改变; ③棱A1D1始终与水面EFGH平行; ④当容器倾斜到如图5(2)时,BE·BF是定值; 其中正确的命题序号是______________ A C B D
分析 当长方体容器绕BC 边转动时,盛水部分的几何体始终满足棱柱定义,故①正确;在转动过程中EH//FG ,但EH 与FG 的距离EF 在变,所以水面EFGH 的面积在改变,故②错误;在转动过程中,始终有BC//FG//A 1D 1,所以A 1D 1//面EFGH ,③正确;当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5(2),因为 BC BF BE V ??= 2 1 水是定值,又BC 是定值,所以BE ·BF 是定值,即④正确。所以正确的序号为①③④. 例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1,在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小孔E 、F 、G ,若此容器可以任意放置,则该容器可装水的最大容积是( ) A . 21 B .87 C .12 11 D .4847 分析 本题很容易认为当水面是过E 、F 、G 三点的截面时容器可装水的容积最大图(1),最大值为 8 7 12121211=???- =V 立方单位,这是一种错误的解法,错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够,其实,当水平面调整为图(2)△EB 1C 时容器的容积最大,最大容积为1211 112121311=????-=V , 故选C 。 例4 正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3,O 是P 在底面上的射影,6, PO Q =是 AC 上的一点,过Q 且与, PA BD 都平行的截面为五边形EFGHL ,求该截面面积的最大值. C 1 A B C D A 1 D 1 B 1 E G F 图(1) C 1 A B C D A 1 D 1 B 1 E G F 图(2)
高考数学玩转压轴题专题4.4立体几何中最值问题
专题4.4 立体几何中最值问题 一.方法综述 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目,而几何问题中的最值与范围类问题,既可以考查学生的空间想象能力,又考查运用运动变化观点处理问题的能力,因此,将是有中等难度的考题.此类问题,可以充分考查图形推理与代数推理,同时往往也需要将问题进行等价转化,比如求一些最值时,向平面几何问题转化,这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练.立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考:一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解;二是根据几何体的结构特征,变动态为静态,直观判断在什么情况下取得最值;三是将几何体平面化,如利用展开图,在平面几何图中直观求解。 二.解题策略 类型一距离最值问题 AB=,若线段DE上存在点P 【例1】如图,矩形ADFE,矩形CDFG,正方形ABCD两两垂直,且2 ⊥,则边CG长度的最小值为() 使得GP BP A. 4 B. 43 C. D. 23 【答案】D
又22002B G a (,,),(,,),所以2,2,,,2,.2 2ax ax BP x GP x a ???? =--=-- ? ?????u u u r u u u r () 24022ax ax PB PG x x a ?? =-++-= ??? u u u n r u u u r .显然0x ≠且2x ≠.所以22 1642a x x =--. 因为()0,2x ∈,所以(]2 20,1x x -∈.所以当221x x -=, 2a 取得最小值12.所以a 的最小值为23. 故选D. 【指点迷津】利用图形的特点,建立空间直角坐标系,设CG 长度为a 及点P 的坐标,求BP GP u u u r u u u r 与的坐标, 根据两向量垂直,数量积为0,得到函数关系式22 16 42a x x = --,利用函数求其最值。 举一反三 1、如图,在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E 、F 分别是棱BC ,CC 1的中点,P 是侧面BCC 1B 1内一点,若A 1P ∥平面AEF ,则线段A 1P 长度的取值范围是_____。 【答案】 3254 2?? ??
立体几何中的最值与动态问题
2 5 立体几何中的最值问题 立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系,与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在 试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。 一、运用变量的相对性求最值 例1. 在正四棱锥S-ABCD 中,SO⊥平面ABCD 于O,SO=2,底面边长为,点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动,则P、Q 两点的最短距离为() A. B. 5 5 C. 2 D. 1 解析:如图1,由于点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动,先让点P 在BD 上固定,Q 在SC 上移动,当 OQ 最小时,PQ 最小。过O 作OQ⊥SC,在Rt△SOC 中,OQ = 中。又P 在BD 上运动,且当P 运动 5 到点O 时,PQ 最小,等于OQ 的长为,也就是异面直线BD 和SC 的公垂线段的长。故选B。 5 图 1 二、定性分析法求最值 例2. 已知平面α//平面β,AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。AB⊥CD,AB=3,直线AB 与平面α成30°角,则线段CD 的长的最小值为。 解析:如图2,过点B 作平面α的垂线,垂足为O,连结AO,则∠BAO=30°。过B 作BE//CD 交平面α 于E,则BE=CD。连结AE,因为AB⊥CD,故AB⊥BE。则在Rt△ABE 中,BE=AB·tan∠BAE≥AB·tan ∠BAO=3·tan30°= 。故CD ≥ 3 。 2 5 2 5 2 5 3
图 2 三、展成平面求最值 例3. 如图3-1,四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形,且AB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c。平面α分别截棱AB、BC、CD、DA 于点P、Q、R、S,则四边形PQRS 的周长的最小值是() A. 2a B. 2b C. 2c D. a+b+c 图3-1 解析:如图3-2,将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形,且AB=CD,AC=BD, AD=BC,所以,A 与A’、D 与D’在四面体中是同一点,且AD // BC // A' D' ,AB // CD' ,A、C、A’共 线,D、B、D’共线,AA'=DD' = 2BD 。又四边形PQRS 在展开图中变为折线S’PQRS,S’与S 在四面体中是同一点。因而当P、Q、R 在S’S 上时,S ' P +PQ +QR +RS 最小,也就是四边形PQRS 周长最小。又S ' A =SA',所以最小值L =SS '=DD' = 2BD = 2b 。故选B。 图3-2 四、利用向量求最值 例4. 在棱长为1 的正方体ABCD-EFGH 中,P 是AF 上的动点,则GP+PB 的最小值为。 解析:以A 为坐标原点,分别以AB、AD、AE 所在直线为x,y,z 轴,建立如图 4 所示的空间直角坐标 →→ 系,则B(1,0,0),G(1,1,1)。根据题意设P(x,0,x),则BP=(x-1,0,x),GP=(x-1,-1,x-1),那么
高中数学复习提升专题05 立体几何中最值问题(第三篇)(原卷版)
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第三篇 立体几何 专题05 立体几何中最值问题 类型 对应典例 利用侧面展开图求最值 典例1 利用目标函数求最值 典例2 利用基本不等式求最值 典例3 【典例1】【河南省非凡吉创联盟2020届调研】 如图,AB 是圆柱的直径,PA 是圆柱的母线,3AB =,33PA =,点C 是圆柱底面圆周上的点. (1)求三棱锥P ABC -体积的最大值; (2)若1AC =,D 是线段PB 上靠近点P 的三等分点,点E 是线段PA 上的动点,求CE ED +的最小值. 【典例2】【江西省新余市第四中学2020届月考】 已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =∠BAD =2 π,AB=BC=2AD=4,E 、F 分别是AB 、CD 上的点,EF ∥BC ,AE =x ,G 是BC 的中点.沿EF 将梯形ABCD 翻折,使平面AEFD ⊥平面EBCF . (1)若以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为()f x ,求()f x 的最大值; (2)当 ()f x 取得最大值时,求二面角D -BF -C 的余弦值. 【典例3】【北京市昌平区2020届模拟】
如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,H 分别是棱A 1B 1,D 1C 1上的点(点E 与B 1不重合),且EH ∥A 1D 1. 过EH 的平面与棱BB 1,CC 1相交,交点分别为F ,G . (I )证明:AD ∥平面EFGH ; (II ) 设AB=2AA 1="2" a .在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机选取一点.记该点取自几何体A 1ABFE -D 1DCGH 内的概率为p ,当点E ,F 分别在棱A 1B 1上运动且满足EF=a 时,求p 的最小值. 【针对训练】 1. 【广东省佛山市第一中学2020届月考】 如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ,E F 、分别为AB BC 、上的点,且AE BF x ==. (1)当x 为何值时,三棱锥1B BEF -的体积最大? (2)求异面直线1A E 与1B F 所成的角的取值范围. 2.【安徽省安庆市2020届模拟】 如图,△ABC 内接于圆O ,AB 是圆O 的直径,四边形DCBE 为平行四边形,DC ⊥平面ABC ,2,3AB EB == (1)求证:DE ⊥平面ADC ; (2)设AC x =,(x)V 表示三棱锥B ACE -的体积,求函数(x)V 的解析式及最大值.
立体几何中的最值问题答案
立体几何中的最值问题 一、线段长度最短或截面周长最小问题 例1. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,各棱长均为2,M 为AA 1中点,N 为BC 的中点,则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是多少?并求之. 解析: (1)从侧面到N ,如图1,沿棱柱的侧棱AA 1剪开,并展开,则MN =22AN AM +=22)12(1++=10 (2)从底面到N 点,沿棱柱的AC 、BC 剪开、展开,如图2. 则MN =??-+120cos 222AN AM AN AM =2 1 312)3(122???++= 34+ ∵34+<10 ∴min MN =34+. 例2.如图,正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动,若CM=BN=a ).20(< 解析:(1)作MP ∥AB 交BC 于点P ,NQ ∥AB 交BE 于点Q ,连接PQ ,依题意可得MP ∥NQ ,且MP=NQ ,即MNQP 是平行四边形。∴MN=PQ,由已知,CM=BN=a,CB=AB=BE=1, ∴2==BF AC , 21,21a BQ a CP = =, 即2 a BQ CP ==, ∴= +-==22)1(BQ CP PQ MN )20(2 1 )22()2 ( )2 1(222<<+- =+- a a a a (2)由(1)知: 2 2 22= = MN a 时,当,的中点时,分别移动到即BF AC N M ,, 2 2的长最小,最小值为 MN (3)取MN 的中点G ,连接AG 、BG ,∵AM=AN,BM=BN ,∴AG ⊥MN,BG ⊥MN , ∴∠AGB 即为二面角α的平面角。又 4 6 ==BG AG ,所以由余弦定理有 314 6 4621 )46 ()46( cos 22-=? ?-+= α。故所求二面角)3 1 arccos(-=α。 例3. 如图,边长均为a 的正方形ABCD 、ABEF 所在的平面所成的角为)2 0(π θθ<<。点M 在AC 上,点N 在BF 上,若AM=FN ,(1)求 证:MN//面BCE ; (2)求证:MN ⊥AB; A 立体几何最值问题 姓名 立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系,与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。 一、运用变量的相对性求最值 例1. 在正四棱锥S-ABCD 中,SO ⊥平面ABCD 于O ,SO=2,底面边长为2,点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动,则P 、Q 两点的最短距离为( ) A. 5 5 B. 5 5 2 C. 2 D. 1 二、定性分析法求最值 例2. 已知平面α//平面β,AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。AB ⊥CD ,AB=3,直线AB 与平面α成30°角,则线段CD 的长的最小值为______。 三、展成平面求最值 例 3. 如图3-1,四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形,且AB=CD=a ,AC=BD=b ,AD=BC=c 。平面α分别截棱AB 、BC 、CD 、DA 于点P 、Q 、R 、S ,则四边形PQRS 的周长的最小值是( ) A. 2a B. 2b C. 2c D. a+b+c 图3-1 四、利用向量求最值 例4. 在棱长为1的正方体ABCD-EFGH 中,P 是AF 上的动点,则GP+PB 的 最小值为_______。立体几何中的最值