复合函数求解析式
高中数学-求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的六种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可.例1 已知f （xx 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 11-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三、待定系数法例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.x ≥0， x ＜0. 四、消去法例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x1去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可. 解：∵ f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x1（x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32－3x （x ≠0）. 五、特殊值法例5 设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ， 有f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），得到f （x ）函数解析式，只有令x = y.解： 令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1） 得f （0）= f （x ）－ x （2x －x+1），整理得 f （x ）= x 2+x+1.六、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.例6 已知是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2，求f （x ）函数解析式.解：∵y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴y=f （x ）的图象关于原点对称. 当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），因此当x<0时，y=2)1(+x －1= x 2 +2x.故 f （x ）=⎩⎨⎧+-xx x x 2222 评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.。
求函数解析式的三种常用方法
求函数的解析式问题的难度一般不大，主要考查函数的定义域、表示形式、图象、性质等.求函数解析式的方法有很多种，如数形结合法、赋值法、配凑法、换元法、待定系数法等.本文主要谈一谈求函数解析式的三种常用方法：配凑法、换元法、待定系数法.一、配凑法配凑法主要适用于求复合函数的解析式.若已知f ()g ()x 的表达式，可通过配凑，将其转化为g ()x 的倍数、平方式、立方式，再将g ()x 作为自变量，用x 代替，即可得到f ()x 的解析式.在配凑时，要先从高次项开始配凑，接着配凑低次项、常数项.例1.若函数f ()x +1=x 2-2x ，则f ()x 的解析式为______.分析：仔细观察可发现，x +1和x 2-2x 之间存在一定的联系：x 2-2x =()x +12-4()x +1+3，可运用配凑法，将f ()x +1用x +1表示出来，再将x +1用x 替换.解：f ()x +1=x 2-2x =()x +12-4()x +1+3，故函数的解析式为f ()x =x 2-4x +3.运用配凑法解题，需通过观察找出f ()g ()x 的表达式与g ()x 之间的联系，以便配凑出g ()x 的倍数、平方式、立方式.二、待定系数法待定系数法是解答代数问题的重要方法.在解题时，需先引入待定系数，根据函数的类型，设出函数的解析式，然后结合已知条件建立关于待定系数的方程或者方程组，进而求得待定系数，便可确定函数的解析式.例2.已知函数f ()x 为反比例函数，且经过点()1,2，则函数f ()x 的解析式为______.分析：首先根据f ()x 为反比例函数，引入待定系数，设出f ()x 的解析式，然后将已知点的坐标代入设出的解析式中，求得待定系数的值，即可解题.解：因为f ()x 为反比例函数，所以设f ()x =kx()k ≠0，因为f ()x 经过点()1,2，将其代入f ()x =kx中，可得k =2，所以函数的解析式为f ()x =2x.运用待定系数法求函数的解析式，需熟练掌握一些基本函数的表达式，如二次函数的一般式为f ()x =ax 2+bx +c 、顶点式为f ()x =a ()x -h 2+k 、对数函数的表达式为y =log a x 、指数函数的表达式为y =a x，根据已知信息求得待定系数即可.三、换元法换元法主要适用于求表达式较为复杂或者复合函数的解析式.在解题时，需引入一个或者几个新的变量，将代数式用新的变量替换，把已知关系式转化为关于新变量的式子，从而简化代数式，求得函数的解析式.在运用换元法解题的过程中，要注意确保自变量及其取值范围的等价性.例3.已知f ()sin x =sin 2x +2sin x ，则函数f ()x 的解析式为______.解：因为f ()sin x =sin 2x +2sin x ，可令t =sin x ，因为sin x ∈[]-1,1，所以t ∈[]-1,1，所以f ()t =t 2+2t ，t ∈[]-1,1.所以函数f ()x 的解析式为f ()x =x 2+2x ，x ∈[]-1,1.若已知f ()g ()x 的表达式，求f ()x 的解析式，可先使用配凑法求解.当解题受阻时，再考虑运用换元法.令t =g ()x ，并求得x =g -1()t ，得到关于t 的表达式，便可解题.相比较而言，待定系数法和配凑法较为简单，换元法的运算量较大.在求函数的解析式时，同学们一定要仔细审题，明确已知关系式是否为复合函数、函数的类型是否已知、已知关系式与f ()x 之间的联系，然后选择与之相应的方法求解.（作者单位：江苏省启东中学）考点透视36。
复合函数
复合函数一、复合函数的定义：设y 是z 的函数y =f (z )，而z 又是x 的函数z =φ(x )，设X 表示φ(x )的定义域或其中的一部分，如果对于在X 上取值时所对应的值，函数y =f (z )均有定义，则y 成为x 的函数，记为y = f [φ(x )]。
这个函数叫做由y = f (z )及z =φ(x )复合而成的复合函数，它的定义域为X ，z 叫做中间变量，f 称为外层函数，φ称为内层函数。
要求掌握把复合函数分解为几个简单函数的方法，例如是由和两个函数复合而成的。
二、复合函数的解析式：例1：已知二次函数()x f 满足()569132+-=+x x x f ，求()x f 。
分析：本题可采用待定系数法求解，但待定系数法不是求模型函数的解析式的唯一定势，解答这类问题要具体情况具体分析。
本题用换元和“凑型”的办法解决。
解法一 设13+=x t ,则31-=t x 。
把13+=x t 、31-=t x 分别代入569)13(2+-=+x x x f 的左边和右边得()53163192+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t f ，即()842+-=t t t f ，∴ ()()R x x x x f ∈+-=842 。
解法二 由已知，569)13(2+-=+x x x f ∴()()()813x 413x 13x f 2++-+=+，把13x +视为一个整体，有()()R x x x x f ∈+-=842.例2 已知()0x x 1x x 1x f 22>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f 。
分析 由22x 1x x 1x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求()x f 的对应法则，可设t =+x 1x ，则22221t x x =++，即21222-=+t xx ，问题很容易得到解决。
随后的问题是()x f 的定义域是什么？例3、设f(x)满足()3x x 12f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+，求f(x)分析：在已知的关系式中含有f(x)和f(x 1)，求出f(x),需要消去f(x1),所以需从已知的关系中再产生一个关于f(x)和f(x1)的关系式,然后联立解出f(x),这里只要以x 1代替x ,便可得关于f(x)和f(x 1)的又一等式.三、复合函数的定义域：⒈已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域例4、函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)=f(x+21)- f(x-21)的定义域是（ ）(A)[0,2] (B)[23,21-] (C)[25,21] (D)[23,21]例5、已知函数f(x)的定义域是(]0,1,求g(x)=f(x+a)·f(x-a)⎪⎭⎫⎝⎛≤<-0a 21的定义域.⒉已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域例6、若函数f(x+1)的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛-,221，则f(x 2)的定义域是＿＿＿＿＿例7、函数f(x+1)的定义域为[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是( )(A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡250,(B)[-1,4](C)[-5,5](D)[-3,7]⒊由符合函数的定义域，求字母参数的取值.例8、函数96k x k x y 2+-=的定义域为R ，则k 的取值范围是＿＿＿＿＿.例9、已知函数()2bx ax x f 2++=的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21，求a+b 的值.四、复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下: ⒈复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上的单调性：引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.若函数)(x g u =在区间[]b a ,上是单调函数,函数)(u f y =在[])(),(b g a g 或[])(),(a g b g 上也是单调函数,那么复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上是即)(x g u =,)(u f y =增减性相同时, [])(x g f y =为增函数,)(x g u =,)(u f y =增减性相反时, [])(x g f y =为减函数.例10 求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3)解：(方法1)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3.由u ＞0, ∵u=x 2－4x+3，∴x 2－4x+3>0 解得原复合函数的定义域为x ＜1或x ＞3.当x ∈(－∞，1)时，u=x 2－4x+3为减函数，而y=log 4u 为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x ∈(3，±∞)时，u=x 2－4x+3为增函数y=log 4u 为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间. (方法2)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＜2 (u 减)解得x ＜1.所以x ∈(－∞，1)时，函数u 单调递减.由于y=log 4u 在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x －2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间. u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＞2 (u 增)解得x ＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间. 例11 求下列复合函数的单调区间：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2x 2x 31log y 解: 设 u 31logy =,u=2x －x 2.由 u ＞0u=2x －x2解得原复合函数的定义域为0＜x ＜2. 由于u y 31log=在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x －x2的单调性正好相反. 易知u=2x －x 2=－(x －1)2+1在x ≤1时单调增.由 0＜x ＜2 （复合函数定义域） x ≤1，(u 增)解得0＜x ≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间. 又u=－(x －1)2+1在x ≥1时单调减，由 x ＜2， (复合函数定义域) x ≥1， (u 减)解得0≤x ＜2,所以[0，1]是原复合函数的单调增区间. 例12 求y=2x 6x 7--的单调区间.解: 设y=,u=7－6x －x 2,由u ≥0,u=7－6x －x 2解得原复合函数的定义域为－7≤x ≤1.因为y=在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.易知u=-x 2-6x+7=-(x+3)2+16在x ≤-3时单调增加。
复合函数解析式的求法
复合函数解析式的求法复合函数解析式是指在一个函数中，另一个函数作为其中的一个变量。
求解复合函数解析式的方法有多种，下面将详细介绍。
一、复合函数解析式的基本概念复合函数是指两个或多个函数通过运算符连接起来，形成一个新的函数。
例如，设函数f(x)和g(x)分别为sinx和cosx，则复合函数h(x)=f(g(x))=sin(cos(x))。
二、求解复合函数解析式的方法1.分解法分解法是将复合函数分解为若干个简单的单一函数，然后再根据各自的解析式进行求解。
例如，求h(x)=sin(cos(x))的解析式，可以分解为：h(x)=sin[cos(x)]=sin[sin(x)]。
2.替换法替换法是将复合函数中的某个变量用另一个变量替换，使得问题变得简单。
例如，求h(x)=cos(2x)的解析式，可以替换为：h(x)=cos(2x)=cos[2(x+π/2)]。
3.反函数法反函数法是将复合函数看作是原函数的反函数，然后求出原函数的解析式。
例如，求h(x)=ln(e^x)的解析式，可以看作是求e^x=ln(x)的反函数，得到h(x)=x。
4.洛必达法则洛必达法则是对复合函数求导的一种方法。
当复合函数的导数存在极限时，可以利用洛必达法则求解。
例如，求h(x)=(sinx)"的解析式，可以利用洛必达法则得到：h(x)=cosx。
三、实例分析求复合函数h(x)=sin(2x)的解析式。
解：利用分解法，可以将h(x)分解为h(x)=sin[2(x+π/4)]。
然后利用替换法，得到h(x)=sin[2(x+π/4)]=sin[2(x+π/4)]。
最后，利用反函数法，得到h(x)=2x。
四、注意事项1.在求解复合函数解析式时，要注意判断函数的连续性和可导性。
2.根据不同的函数形式，选择合适的求解方法。
3.在求解过程中，要注意单位的统一。
通过以上介绍，相信大家对复合函数解析式的求法有了更深入的了解。
复合函数解析式的求法
复合函数解析式的求法摘要：一、复合函数解析式的概念二、求解复合函数解析式的基本方法1.代换法2.反函数法3.隐函数法4.参数方程法三、求解复合函数解析式的应用1.实际问题中的应用2.数学理论中的应用四、结论正文：复合函数解析式是数学中一个重要的概念，它涉及到函数的复合问题。
求解复合函数解析式是解决复合函数问题的关键。
本文将详细介绍求解复合函数解析式的基本方法及其应用。
首先，我们需要了解什么是复合函数解析式。
复合函数解析式是指，给定两个函数f(x) 和g(x)，求解一个新函数h(x)，使得h(x) = f(g(x))。
这里，f(x) 和g(x) 被称为内函数，h(x) 被称为外函数。
求解复合函数解析式的基本方法有以下几种：1.代换法：这是求解复合函数解析式最基本的方法。
首先，我们根据内函数g(x) 的解析式求出它的值域，然后用这个值域去替换外函数h(x) 中的自变量x，从而得到h(x) 的解析式。
2.反函数法：如果内函数g(x) 和外函数h(x) 互为反函数，那么我们可以直接利用反函数的性质，求出h(x) 的解析式。
3.隐函数法：如果内函数g(x) 和外函数h(x) 之间存在隐函数关系，那么我们可以通过求解这个隐函数关系，得到h(x) 的解析式。
4.参数方程法：如果内函数g(x) 和外函数h(x) 之间存在参数方程关系，那么我们可以通过求解这个参数方程，得到h(x) 的解析式。
在实际问题中，求解复合函数解析式可以帮助我们更好地理解复杂问题的内在关系，从而更好地解决问题。
在数学理论中，求解复合函数解析式也是解决许多数学问题的关键。
总的来说，求解复合函数解析式是数学中的一个重要问题，它涉及到函数的复合、反函数、隐函数等许多重要的数学概念。
求函数解析式的七种方法
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法：在已知函数的解析式结构时，用待定系数法。
例1 已知)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+xx 2)(2-=∴x x f )2(≥x三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
复合函数解析式的求法
复合函数解析式的求法摘要：一、复合函数解析式的求法简介1.定义与概念2.求解方法二、代换法求解复合函数解析式1.代换法的原理2.具体求解步骤3.示例三、待定系数法求解复合函数解析式1.待定系数法的原理2.具体求解步骤3.示例四、常见问题与注意事项1.问题解析2.注意事项正文：复合函数解析式的求法是数学中的一个重要内容。
复合函数是指由多个函数嵌套而成的函数，解析式则是指将复合函数用公式表示出来的过程。
求解复合函数解析式的方法有多种，常见的有代换法和待定系数法。
代换法是求解复合函数解析式的一种基本方法。
其原理是根据已知函数的性质，通过变量替换将复合函数中的内部函数求解出来，再代入外部函数中求解解析式。
具体求解步骤包括：确定变量替换关系，求解内部函数，代入外部函数求解解析式。
例如，已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x^2-2x+3，求解复合函数f(g(x))的解析式。
我们可以先令u=g(x)，即u=x^2-2x+3，然后将u代入f(u)中，得到f(g(x))=f(u)=2u+1=2(x^2-2x+3)+1=2x^2-4x+7。
待定系数法是另一种求解复合函数解析式的方法。
其原理是假设复合函数解析式为F(x)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n，然后通过已知条件求解待定系数，确定解析式。
具体求解步骤包括：确定解析式的一般形式，列方程求解待定系数。
例如，已知函数f(x)=x^2+2x+1，g(x)=2x-1，求解复合函数f(g(x))的解析式。
我们可以假设f(g(x))=ax^3+bx^2+cx+d，然后通过代入已知函数求解待定系数，得到解析式为f(g(x))=x^3+x^2+x-1。
在求解复合函数解析式时，需要注意一些常见问题。
例如，在代换法中，替换关系可能不唯一，需要根据题目条件选择合适的替换关系；在待定系数法中，需要根据题目条件选择合适的一般形式。
同时，求解过程中需要灵活运用代数运算和函数性质，以简化求解过程。
复合函数
复合函数一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.形象的称u=g(x)为内函数，y=f(u)为外函数。
1、复合函数的解析式求解：已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。
例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f例2．已知 求；2、复合函数的定义域（也叫做抽象函数定义域）1).已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2).已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3).已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域 例2已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 例3. 函数 y=(x+1)f 定义域是[-2,3]，则=(2x-1)y f 的定义域是（ ） 例4 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域． 四、复合函数单调性问题：（1）．复合函数单调性的判断：复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为：“同增异减”.（2）、复合函数))y=的单调性判断步骤：fg(x(1、确定函数的定义域；将复合函数分解：)(xgu=。
复合函数解析式的求法
复合函数解析式的求法摘要：一、复合函数解析式的概念1.复合函数的定义2.复合函数解析式的求解意义二、求解复合函数解析式的方法1.代换法2.消元法3.因式分解法4.三角函数法三、实际应用案例1.案例一2.案例二3.案例三正文：复合函数解析式的求法是数学中的一个重要知识点，理解并掌握这个知识点对于解决更复杂的数学问题有着至关重要的作用。
复合函数解析式，简单来说，就是将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
例如，设f(x) 和g(x) 是两个函数，若g(x) 的输出是f(x) 的输入，则我们可以说f(x) 和g(x) 构成一个复合函数。
求解复合函数解析式，就是要求出这个复合函数的具体表达式。
在实际求解过程中，我们可以采用以下几种方法：1.代换法：假设已知函数f(x) 和g(x) 的解析式，我们可以通过代换法求解复合函数的解析式。
具体步骤是，先将g(x) 的解析式代入f(x) 中，然后解出新的解析式。
2.消元法：当复合函数的解析式中含有难以直接解出的变量时，我们可以采用消元法。
具体步骤是，将含有难以解出变量的项消去，从而简化解析式。
3.因式分解法：当复合函数的解析式中含有可以因式分解的项时，我们可以采用因式分解法。
具体步骤是，将可以因式分解的项分解出来，然后将其余部分合并，得到新的解析式。
4.三角函数法：当复合函数的解析式中含有三角函数时，我们可以采用三角函数法。
具体步骤是，利用三角函数的性质和公式，将三角函数相关的项化简，从而得到新的解析式。
在实际应用中，我们可以通过这些方法求解各种复杂的复合函数解析式。
例如，在求解某种物理现象的数学模型时，我们可能需要求解一个包含多个函数的复合函数解析式。
这时，我们可以根据具体情况选择合适的方法，从而得到解析式，进一步帮助我们理解并分析该物理现象。
复合函数
复合函数的定义域一、复合函数的概念如果y是u的函数，而u是x的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y关于x的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，根据复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。
二、求复合函数的定义域：（1）若f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,则f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x的范围，即为f [g ( x )]的定义域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。
答案：[-1/2 ，0 ]例2、已知f ( x )的定义域为（0，1），求f ( x 2)的定义域。
答案：[-1 ，1]（2）若f [ g ( x ) ]的定义域为（m , n）则由m < x < n 确定出g ( x )的范围即为f ( x )的定义域。
例3、已知函数f ( 2x + 1 )的定义域为（0，1），求f ( x ) 的定义域。
答案：[ 1 ，3]（3）由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
例4、已知f ( x + 1 )的定义域为[-2 ，3],求f ( 2x 2 - 2 ) 的定义域。
复合函数
复合函数一、复合函数定义域及解析式例1 设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ． 例2 已知x x x f 2)12(2-=+，求)122(+f例3 ①已知 ,1)(2+=x x f 求)1(-x f ；②已知 1)1()1(2++=-x x f ，求)(x f ．例4 ⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域；⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．例5 ①已知xx x f 1)1(+=- ，求)(x f ； ②已知221)1(x x x x f +=-，求)1(+x f ． 例6 ①已知)(x f 是一次函数，满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求)(x f ； ②已知x xf x f 4)1(2)(3=+，求)(x f ． 二、复合函数单调性及其值域①初等函数复合求单调区间与值域例1 已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，求其单调区间及值域。
（1）.求函数)(x f =2215.0x x -+的单调区间及值域（2）.求函数523421+⋅+=-x x y 的单调区间和值域.例2 求)(x f =2-4-5x x 的单调区间及值域（1）求函数f(x)=212x -的单调区间及值域例3求函数)45(log )(22x x x f --=的单调区间及值域（1） 求211221(log )log 52y x x =-+在区间[2,4]上的最大值和最小值（2）求函数2log =y 2x ·4log 2x ])81[(,∈x 的最大值和最小值. ②含参数的复合函数单调性与值域问题例4 已知函数)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）试讨论其单调性。
求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的六种常用方法函数解析式是用数学语言描述数学函数的一种方法。
它可以方便地表示函数的定义域、值域、性质等，并且能够通过函数图像和方程表达式等形式直观地展现函数的特征。
下面将介绍六种常用的方法来求函数的解析式。
1.常函数法：常函数法是求解常函数的一种简单方法。
常函数表示所有的输入值都对应着相同的输出值。
常函数的解析式通常形如"f(x)=c"，其中c是常数。
常函数的定义域和值域都是全体实数值。
例如，函数f(x)=3就是一个常函数，它的输出始终为32.幂函数法：幂函数是一种具有形如y=x^a的解析式的函数。
幂函数法是通过给定了函数的一些特定点来推导出整个函数的解析式。
常见的幂函数包括正幂函数、负幂函数和倒数函数。
例如，给定函数f(x)通过点（1,2）和（2,4），我们可以通过观察得出f(x)=2^x。
3.分段函数法：分段函数是一种具有不同解析式在不同区间上的函数。
分段函数法是通过将函数的定义域按照不同的区间划分，然后在每个区间上分别确定函数的解析式来得到函数的解析式。
例如，函数f(x)=，x，在x<0时取值为-x，在x≥0时取值为x，这就是一个分段函数。
4.复合函数法：复合函数是通过使用一个函数的输出结果作为另一个函数的输入来得到的函数。
复合函数法是通过将两个或多个函数的定义域和值域相互组合，然后确定新函数的解析式来求解函数的解析式。
例如，给定函数f(x)=x+1和g(x)=2x，我们可以求得f(g(x))=2x+15.反函数法：反函数是指一个函数的自变量和因变量对换后得到的新函数。
反函数法是通过将一个函数的自变量和因变量交换位置，然后求解得到函数的解析式。
例如，给定函数f(x)=2x，我们通过交换x和y的位置，可以求得反函数f^(-1)(x)=x/26.曲线拟合法：曲线拟合法是通过已知函数的一些点来找到一个与这些点最接近的函数的解析式。
它可以应用于实验数据分析和模型建立等领域。
复合函数求解析式解题技巧
复合函数求解析式解题技巧求解复合函数的解析式是高中数学中的一种重要技巧，也是解决相关问题的常用方法之一。
对于给定的两个函数，可以通过复合运算得到一个新的函数，它是两个函数的组合，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
本文将介绍复合函数求解析式的一般方法和一些常用的技巧。
一、复合函数的定义和表示复合函数是指由两个已知的函数f(x)和g(x)组成的一个新函数h(x)，它的定义如下：h(x) = f(g(x))其中，f(x)表示函数f关于自变量x的解析式，g(x)表示函数g关于自变量x的解析式，h(x)表示函数h关于自变量x的解析式。
二、复合函数求解析式的一般方法要求解复合函数的解析式，可以按照以下步骤进行。
1. 将复合函数的解析式表示出来，即h(x) = f(g(x))。
2. 将复合函数的自变量替换成中间变量，即设y = g(x)。
3. 将中间变量y代入函数f的解析式，得到h(x) = f(y)。
4. 将中间变量y的解析式替换成g(x)的解析式，得到h(x) = f(g(x))。
需要注意的是，求解复合函数的解析式时，需要注意两个函数之间的定义域和值域是否相容。
即函数g的值域必须是函数f的定义域的子集，否则无法进行复合运算。
三、常用的复合函数求解析式的技巧在实际的题目中，常常需要利用复合函数求解析式解决问题。
以下是一些常用的技巧和方法。
1. 复合函数的相反运算有时候需要求解复合函数的相反运算，即已知h(x)，要求g(x)。
可以通过以下步骤进行求解。
将复合函数的解析式表示出来，即h(x) = f(g(x))。
将复合函数的自变量和因变量互换位置，得到g(x) = f ⁻¹(h(x))，其中f⁻¹表示函数f的反函数。
需要注意的是，函数f必须是可逆的，即函数f必须是单调且一一对应的。
2. 复合函数的化简运算有时候需要求解复合函数的结果，可以通过化简运算来简化问题。
例如，已知f(x) = 2x + 3和g(x) = x²，求h(x) = f(g(x))的解析式。
复合函数解析式的几种求法
复合函数解析式的几种求法复合函数解析式的几种求法题型一 已 知 函 数 y =f （ x ）的 解 析 式，求 函 数 y =f ［ g （ x ）］的解析式 解法：将函数将函数 y = f （ x ）中的全部中的全部 x 都用都用 g （ x ）来代换，即可得到复合函数即可得到复合函数 y = f ［ g （ x ）］的解析式］的解析式例 1 若 f （x ）= 3x+ 1，g （x ）= x2，则，则 f ｛f ［g （x ）］｝= 解：f ｛f ［ g （ x ）］｝= f ［3g （ x ）+ 1］= 3［3g （ x ）+ 1］+ 1 =9g （ x ）+ 4 = 9x 2+ 4. 题型二 已 知 函 数 y =f ［ g （ x ）］的解析式，求函数 y =f （ x ）的解析式 . 解法：令解法：令 t = g （ x ），由此解出，由此解出 x = h （ t ），求出以，求出以 t 为自变量的函数为自变量的函数 y = f （ t ）的解析式 .因为y = f （ t ）和）和 y = f （ x ）为同一函数，所以将函数）为同一函数，所以将函数 y = f （ t ）中的全部）中的全部 t 都换成都换成 x ，即可得到函数可得到函数 y =f （ x ）的解析式）的解析式例 2 若 f （3x + 1）= 6x +4，则，则，则 f （ x ）= 解：令解：令 t = 3x + 1，则，则 x =(t- 1)/3 ， ∴ f （ t ）= 6 × (t- 1)/3 + 4 (t- 1)/3 + 4 =2t+ 2. ∴ f （ x ）= 2x + 2. 题型三 已 知 函 数 y =f ［ g （ x ）］的解析式，求函数 y =f ［ h （ x ）］的解析式 解法：利用题型二，由函数解法：利用题型二，由函数 y = f ［ g （ x ）］的解析式，可求出函数］的解析式，可求出函数 y = f （ x ）的解析式，再利用题型一，由函数再利用题型一，由函数 y = f （ x ）的解析式，可求出函数）的解析式，可求出函数 y = f ［ h （ x ）］的解析式］的解析式 . 例 3 若 f （2x - 1）= 4x 2 + 1，则，则，则 f （ x + 1）= 解：令解：令 t = 2x - 1，则，则 x =（t+ 1）/2， ∴ f （ t ）= 4 ×［（t+ 1）/2］2 + 1 =（ t+ 1）2+ 1，∴ f （ x ）=（ x + 1）2 + 1，∴ f （x + 1）=［（x + 1）+ 1］2 + 1 = x2 + 4x + 5. 题型四 利用待定系数法求函数的解析式例 4 若 f （ x ）为一次函数，f （2x+ 3）+ f （- x ）=x+ 2，则，则 f （ x ）= 解：令解：令 f （x ）= ax+ b， 则 f （2x+ 3）= a （2x+ 3）+ b= 2ax + 3a + b ，f （- x ）= - ax + b. 由f （2x+3）+ f （- x ）= 3x+ 2知，（2ax+3a+ b ）+（- ax+b ）= 3x + 2， 即 ax + 3a + 2b = 3x + 2.显然，a = 3，解得，解得，解得 3a + 2b = 2 , b = -7/2. ∴ f （ x ）= 3x -7/2. 题型五 利用解方程组求函数的解析式 . 例 5 若f(x)+2f(-x)=x 2-x,求f(x)解析式解析式解：f(-x)+2f(x)=x 2+x (1) f( x)+2f(-x)=x 2-x (2) 2*(1)式-（2）式整理得：）式整理得：3f(x)=x 2+3x 所以f(x)=(x 2+3x)/3 例例6 6 （（2009安徽卷理）已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是( ) A.21y x =-B.y x =C.32y x =-D.23y x =-+。
复合函数定义域解析式的求法
复合函数的定义域和函数解析式的求法一、复合函数的定义域1、复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如:2()35,()1f x xg x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+2、复合函数的定义域求法例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域； 解：由题意得 35x -<≤3325x ∴-<-≤137x -<≤ 1733x ∴-<≤所以函数(32)f x -的定义域为17,33⎛⎤-⎥⎝⎦.练1.已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。
解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或即23-<≤-x 或10≤<x故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3 --例2. 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域 解:由题意得23x ∴-≤≤639x ∴-≤≤242311x ∴-≤+≤ 所以函数()f x 的定义域为：[]4,11-例3. 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。
解 由)1(+x f 的定义域为)32[，-得32<≤-x ，故411<+≤-x即得()x f 定义域为)41[，-，从而得到421<-≤-x ，所以61<≤x故得函数()2-x f 的定义域为[)6,1 例4. 已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且>+b a ,求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域解: ⎩⎨⎧+≤≤+-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤mb x m a mb x m a b m x a bm x a ，m a m a m +<-∴>,0mb m b +<-，又mb ma +<-要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需mb m a -≤+，即20a b m-≤<，这时函数()x h 的定义域为],[m b m a -+ 3、总结解题模板1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
高中数学-求函数解析式的六种常用方法
高中数学-求函数解析式的六种常用方法求函数解析式是高中数学中的重要内容之一，常用的方法有六种。
下面分别介绍这六种方法。
一、换元法如果已知复合函数$f[g(x)]$的解析式，要求原函数$f(x)$的解析式，可以令$g(x)=t$，求$f(t)$的解析式，再把$t$换为$x$即可。
例如，已知$f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$，要求$f(x)$的解析式。
设$g(x)=\frac{1}{x}$，则$x=\frac{1}{g(x)}$，代入$f(x)$得$f(g(x))=\frac{g(x)^2+11g(x)+1}{g(x)+1}$，再令$t=g(x)$，则$f(t)=\frac{t^2+11t+1}{t+1}$，最后把$t$换为$x$，得到$f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$。
二、配凑法如果已知$f(x+1)=x+2x^2$，要求$f(x)$的解析式，可以使用配凑法。
首先，把$x+1$视为自变量$x$，则有$f(x)=x^2-1$，但要注意函数的定义域的变化，即$x+1\geq 1$，即$x\geq 0$。
三、待定系数法如果已知函数类型，可以使用待定系数法求函数的解析式。
例如，已知二次函数$f(x)$满足$f(0)=0$，$f(x+1)=f(x)+2x+8$，要求$f(x)$的解析式。
设$f(x)=ax^2+bx+c$，代入已知条件得到$c=0$，$a+b=8$，$2a+b=0$，解得$a=1$，$b=7$，$c=0$，所以$f(x)=x^2+7x$。
四、消去法如果已知$f(x)+2f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$，要求$f(x)$的解析式，可以使用消去法。
把已知中的$f(\frac{1}{x})$用$f(x)$表示出来，得到$2f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$，再把$x$换成$\frac{1}{x}$，得到$2f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{1}{x-1}$，解得$f(x)=-\frac{x}{3(x-1)}$。
复合函数解析式的求法
复合函数解析式的求法摘要：1.复合函数的定义与概念2.求解复合函数解析式的方法3.实例分析正文：1.复合函数的定义与概念复合函数是指由两个或多个函数通过一定的运算组合而成的新函数。
在复合函数中，最外层的函数称为外函数，内部函数称为内函数。
复合函数的定义可以用如下形式表示：f(g(x))，其中f(x) 和g(x) 分别为两个函数，x 为自变量。
2.求解复合函数解析式的方法求解复合函数解析式的主要方法有以下两种：(1) 直接法：通过直接求导的方式，将内函数的导数和外函数的导数相乘，得到复合函数的导数。
具体步骤如下：1) 求内函数的导数：设内函数为g(x)，则g"(x) 为内函数的导数。
2) 求外函数的导数：设外函数为f(x)，则f"(x) 为外函数的导数。
3) 计算乘积：将内函数的导数和外函数的导数相乘，得到复合函数的导数，即f"(g(x)) * g"(x)。
(2) 链式法则：当复合函数的形式为f(g(x)) 时，可以使用链式法则求解复合函数的导数。
具体步骤如下：1) 将复合函数表示为外函数和内函数的组合：f(g(x))。
2) 对内函数g(x) 求导：设g"(x) 为内函数的导数。
3) 将内函数的导数带入外函数的导数公式：f"(g(x)) * g"(x)。
3.实例分析假设我们要求解复合函数f(g(x)) = (3x^2 + 2x + 1)"，其中g(x) = 3x^2 + 2x + 1。
根据链式法则，我们可以先求解内函数g(x) 的导数g"(x)，即g"(x) = 6x + 2。
然后，将g"(x) 带入外函数f(x) 的导数公式f"(x) = 6，得到f"(g(x)) = 6。
最后，将f"(g(x)) 和g"(x) 相乘，得到复合函数的导数：6 * (6x + 2) = 36x + 12。
复合函数解析式的求法
复合函数解析式的求法在数学中，复合函数是指两个或多个函数按照一定的方式进行组合形成的新函数。
求解复合函数的解析式是在数学问题中经常遇到的一个问题，本文将介绍求解复合函数解析式的方法和步骤。
什么是复合函数复合函数是由两个或多个函数按照一定的规则组合而成的新函数。
设有两个函数 f(x) 和 g(x)，则它们的复合函数可以表示为：(f o g)(x) = f(g(x))其中，(f o g)(x) 表示函数 f 和 g 的复合函数，也可以记作 f(g(x))。
复合函数的求解方法要求解复合函数的解析式，一般可以按照以下的步骤进行：步骤一：确定两个函数首先，我们需要确定两个函数f(x) 和g(x)。
这两个函数可以是任意的数学函数，如线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
步骤二：将 g(x) 代入 f(x)接下来，我们要将 g(x) 代入 f(x) 的表达式中，即将 g(x) 替换 f(x) 中的 x。
这样可以得到一个新的函数，即复合函数 (f o g)(x)。
步骤三：化简复合函数根据具体的函数形式，我们可以对复合函数进行化简，以求得更简洁的解析式。
这包括合并同类项、化简分式、变换指数形式等。
常用的化简方法有代数运算和函数性质的运用。
步骤四：求解复合函数最后，我们得到了复合函数的解析式，可以将输入值代入复合函数中，计算出相应的输出值。
举例说明为了更好地理解复合函数的求解方法，我们举一个具体的例子来说明。
假设有两个函数 f(x) = 2x + 1 和 g(x) = x^2。
我们要求解复合函数 (f o g)(x)。
首先，将 g(x) 代入 f(x) 的表达式中，得到 (f o g)(x) = 2(g(x)) + 1。
然后，将g(x) 替换为 x^2，得到 (f o g)(x) = 2(x^2) + 1。
接下来，我们对复合函数进行化简。
根据乘法分配律，可以将复合函数化简为(f o g)(x) = 2x^2 + 1。
复合函数解析式的求法
复合函数解析式的求法摘要：一、复合函数解析式的求法简介1.复合函数的定义2.求解复合函数解析式的意义二、求解复合函数解析式的基本方法1.代换法2.链式法则3.反函数法4.隐函数法5.参数方程法三、实例解析1.代换法求解复合函数解析式2.链式法则求解复合函数解析式3.反函数法求解复合函数解析式4.隐函数法求解复合函数解析式5.参数方程法求解复合函数解析式四、总结与拓展1.复合函数解析式求解方法的优劣比较2.复合函数解析式求解在实际问题中的应用3.复合函数解析式求解的未来发展趋势正文：复合函数解析式的求法是高等数学中的一个重要内容，它涉及到函数的复合、解析式的转换等问题。
复合函数解析式的求解有助于我们更好地理解函数之间的关系，为解决实际问题提供有力的工具。
求解复合函数解析式的方法有很多，如代换法、链式法则、反函数法、隐函数法、参数方程法等。
这些方法各有优缺点，适用于不同的情况。
例如，代换法适用于较为简单的复合函数；链式法则适用于求解高阶导数；反函数法适用于求解隐函数的解析式；隐函数法则适用于求解隐函数的解析式；参数方程法适用于求解参数方程。
在实际求解过程中，我们需要根据函数的具体形式，灵活选择合适的方法。
以下通过几个实例来详细说明这些方法的求解过程：（此处省略实例解析部分，具体实例解析将按照提纲要求，详细描述各种方法的求解过程和应用）总之，复合函数解析式的求法是高等数学中的重要内容，掌握各种求解方法有助于我们更好地理解函数之间的关系，为解决实际问题提供有力的工具。
在实际求解过程中，我们需要根据函数的具体形式，灵活选择合适的方法。