轮换对称性
对称式与轮换对称式 部分完善
竞赛专题-------对称式与轮换对称式1． 基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x = ，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。
高中定义：如果对n 元多项式),,,(21n x x x f 的变数字母的下标集｛1,2,…,n ｝施行任意一个置换后，),,,(21n x x x f 都不改变，那么就称),,,(21n x x x f 为一个n 元对称多项式. 例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。
如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。
由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x = ，，，，，，。
例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。
轮换对称性
轮换对称性（轮换对称性）一般指积分轮换对称性一、定义积分轮换对称性是指坐标的轮换对称性，简单的说就是将坐标轴重新命名，如果积分区间的函数表达不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变。
积分轮换对称性主要分为二重积分、三重积分、第一型曲线积分、第二型曲线积分等。
二、积分轮换对称性特点及规律：(1) 对于曲面积分，积分曲面为u(x,y,z)=0，如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0，即u(y,z,x)=0，也就是积分曲面的方程没有变，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,x,z后，u(y,x,z)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成z,x,y后，u(z,x,y)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(z,x,y)dS ，同样可以进行多种其它的变换。
(2) 对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可，比如：如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz,∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx, ∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy。
(3) 将(1)中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)= 0，那么在这个曲线上的积分∫f(x,y)ds=∫f(y,x)ds；实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)=0，则意味着积分曲线关于直线y=x对称。
积分轮换对称性
积分轮换对称性坐标的轮换对称性，简单的说就是将坐标轴重新命名，如果积分区间的函数表达不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变。
特点及规律(1) 对于曲面积分，积分曲面为u(x,y,z)=0，如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0，即u(y,z,x)=0，也就是积分曲面的方程没有变，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,x,z后，u(y,x,z)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成z,x,y后，u(z,x,y)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(z,x,y)dS ，同样可以进行多种其它的变换。
(2) 对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可，比如：如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz,∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx,∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy。
(3) 将(1)中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)= 0，那么在这个曲线上的积分∫∫f(x,y)ds=∫∫f(y,x)ds；实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)=0，则意味着积分曲线关于直线y=x对称。
第二类和（2）总结相同。
(4) 二重积分和三重积分都和(1)的解释类似，也是看积分域函数将x,y,z更换顺序后，相当于将坐标轴重新命名，积分区间没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变。
三重积分的对称性总结
三重积分的对称性总结三重积分是多元函数积分的一种，它在数学和物理领域中有着广泛的应用。
在进行三重积分的计算时，我们经常会遇到对称性的问题。
对称性在数学中起着非常重要的作用，它可以帮助我们简化计算过程，提高计算效率。
因此，对于三重积分的对称性，我们需要进行总结和归纳，以便在实际问题中更好地应用。
首先，我们来看三重积分的轮换对称性。
对于三元函数f(x, y, z)，如果它在变量x、y、z之间是对称的，即f(x, y, z) = f(y, z, x) = f(z, x, y)，那么在计算三重积分时，我们可以利用轮换对称性来简化计算。
例如，当我们计算∫∫∫f(x, y,z)dxdydz时，可以先对x进行积分，然后对y和z进行轮换积分的顺序，这样可以减少计算的复杂度。
其次，三重积分的球面对称性也是非常重要的。
当我们在三维空间中进行积分时，如果函数f(x, y, z)在球面上是对称的，即f(x, y, z) = f(-x, -y, -z)，那么我们可以利用球面对称性来简化计算。
在球面坐标系下，球面对称性可以帮助我们将积分区域进行简化，从而减少计算的复杂度。
另外，三重积分的柱面对称性也是我们需要考虑的问题。
当函数f(x, y, z)在柱面上是对称的，即f(x, y, z) = f(x, -y, -z)，我们可以利用柱面对称性来简化计算。
在柱面坐标系下，柱面对称性可以帮助我们将积分区域进行简化，从而减少计算的复杂度。
总的来说，三重积分的对称性是我们在实际计算中需要重点考虑的问题。
通过对对称性的总结和归纳，我们可以更好地应用对称性来简化计算，提高计算效率。
在实际问题中，我们需要根据具体的情况来判断何种对称性可以应用，从而更好地解决问题。
综上所述，三重积分的对称性是一个非常重要的问题，它在实际计算中起着至关重要的作用。
通过对对称性的总结和归纳，我们可以更好地应用对称性来简化计算，提高计算效率。
希望本文对读者能有所帮助，谢谢！。
轮换对称性在高等数学中的应用
轮换对称性在高等数学中的应用
高等数学中的轮换对称性是指数学定义及应用中，将一组元素按某种方式把元素放在不同
的位置，实现不同位置特征相同，性质不变的状态。
也称为循环置换，是指将一组需要重
新排列的元素，按照一定的规律将元素重新排列，使得元素在新排列中得到不同表示，但
至少存在一种循环变换使得原来的表示被重新恢复。
在低维数学中，轮换对称性用于建立坐标的投影变换或平面图形的旋转，并定义一类元素
恒关系，用于描述单位距离的规律；在高维数学中，利用轮换对称性也能产生元素对称性，这些对称性可以用于描述和分析几何图形中的对称性。
典型的例子是普林斯顿正六边形，
这种图形称为循环燕尾正多边形，通常称之为正六尔夫正多边形。
相应的，就正六尔夫正
多边形的高维对称性，可以很容易地依据此对称性，定义一空间几何图形或结构的优美对称。
高维数学中的轮换对称性也可用于证明一些数学定理，如始于十八世纪的法国数学家洛德（Lodde）在证明鬼斯（Girard）定理时就利用了这一原理；通常来说，利用轮换对称性
在证明折叠定理上也可以获得非常有效的结果。
此外，轮换对称性也可以被用于概率论，
比如用它来分析一个等概率试验确定事件概率。
综上所述，轮换对称性是高等数学中的一个重要概念，可以应用于低维数学中的投影变换
和平面几何形状，也可以应用于高等数学中的几何设计，证明数学定理和概率论。
它与数
学结构和模型的建立及应用息息相关，对于数学的研究尤其是几何学的研究，轮换对称性
都占有重要的地位，在各类数学分析和解释中都扮演着重要的角色。
三重积分轮换对称条件
三重积分轮换对称条件在数学的世界里，三重积分就像是一个神秘的宝藏，等待着我们去发掘。
想象一下，你在一个丰盛的自助餐里，各种美食应有尽有，三重积分就像是把这些美味佳肴一一盛到盘子里，吃得不亦乐乎。
咱们得搞明白三重积分是什么。
它可不仅仅是简单的加法哦。
它就像在三维空间中，咱们要对一个区域内的每一点进行积分。
听起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢来。
说到这里，咱们就得提到轮换对称条件了。
哎呀，名字听起来就很高级，对吧？其实呢，简单来说，就是不管你怎么调换积分的顺序，最后的结果都是一样的。
这就像是你把一碗汤里的一根面条先夹出来，再把一根青菜放进去，最后喝的还是那碗香喷喷的汤。
无论你怎么捣鼓，味道都不会变。
这个条件在计算上可是非常有用的，可以让我们在复杂的计算中省下不少麻烦。
想象一下，咱们要计算一个球体的体积，哇，脑子里都开始打结了。
但是，有了轮换对称条件，咱们可以选择最简单的方式来计算，比如先对z 积分，再对y，最后对x。
这个过程就像在做一件很复杂的手工艺品，先把简单的部分做好，最后拼接在一起，就成了一件美丽的作品。
看吧，数学也是有点艺术感的呢。
再来说说这个条件在实际生活中的应用。
比如说，咱们在做一些科学实验时，需要计算某种物质的浓度分布。
如果不懂得这个轮换对称条件，可能就得花很多时间在计算上，真是让人心烦。
可如果明白了这个条件，咱们就能省下大把的时间，去喝杯咖啡，甚至去看看电影，何乐而不为呢？哎，这可是生活的智慧呀，能够把复杂的事情简化，这才是人类的终极追求。
很多人可能觉得三重积分离自己很远，其实不然，生活中到处都在运用呢。
比如说，设计一个游泳池的水流，或者是分析空气在房间里的流动，这些都是三重积分在发光发热。
想想看，游泳池里水波荡漾的样子，背后可都是数学在支撑哦。
就像是一个隐形的魔法师，默默在操控一切。
如何掌握这个轮换对称条件呢？记住几个基本的公式和概念，平时多练习，感觉就会越来越熟悉。
就像学骑自行车，开始的时候总是摔跤，但多练习几次，哎呀，风一样的自由。
重积分中轮换对称性的应用
0
∫ ∫
e
f ( x)
1
1
dx e
0
- f ( y)
d y ≥ 1.
∫ ∫ dy, 则 A = e dx e e e d x d y, D ∶ 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 ∫ ∫ dy = κ 根据轮换对称性知 : A = κ e e dx dy = e e d x d y, 即 κ 1 1 A = e e dx dy + e e dx dy = dx dy +e e κ 2 κ 2 κe e
3
关键词 轮换对称性 ; 重积分 ; 定积分 中图分类号 O172. 2
文 [ 1 ] 研究了重积分证明定积分不等式的问题 , 实际是利用了轮换对称性 . 本文在此基础上不 仅给出了证明定积分不等式的新例子 , 也给出了轮换对称性在简化计算方面的应用 .
11 证明定积分不等式
例 1
[2 ]
设函数 f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 上连续 , 证明
a b b a a b b a a D D D D D D
设 f ( x ) 在 [ a, b ] 上连续 , 且 f ( x ) > 0, 证明 b b 1 2 f ( x ) dx ・ dx ≥ ( b - a )
dx dy
于是
a
∫
b
f ( x) dx・
a
∫ f ( x)
b
1
dx = A ≥
D
24
高等数学研究 2006 年 3 月
a
∫
b
f ( x ) g ( x ) dx ・ f ( y ) g ( y ) dy =
a
∫
a
b
aபைடு நூலகம்
轮换对称性在解题中的应用
*
[定义 1 ]
设对任意的点 P 1 ( x1, x2, +xn- 1, xn ) I 8 < R , P 2 ( x2, x3, +xn, x1 ) I 8 < R , , ,
n
n
n
P n (xn, x 1, + xn- 1 ) I 8 < R 成立, 则称区域 8 关于变量 x 1, x2, +xn 具有轮换对称性。 2 2 2 2 例如: 球形域 8: x + y + z [ R 关于 x, y, z 具有轮换对称性 1 [ 定义 2 ] 设函数 F ( x1, x2, +xn- 1, xn ) S F (x 2, x3, +xn, x1 ) S , S F (xn, x1, +xn- 1 ), 则称函数 F (x1, x2, + xn- 1, xn ) 关于变量 x 1, x2, +xn 具有轮换对称性 . 例如: u = x + y + z 关于 x, y, z 具有轮换对称性 1
2 2 2
QQ 计算 m ( x + y ) dM
0[ x[ 1 0[ y[ 1 1
k
2
f ( x) f( y) dx dy = 2 0 dx x f (x )f ( y) dy, 即
1
1 1 0
1
1
1
1
dx x f ( x) f (y ) dy .
0
f (x ) dx Q A 1 2
k
k
k
1
0 , 当 f ( x, y) = - f ( y, x) 2 . 设积分区域 8 关于 x, y, z 具有轮换对称性, 则有 f (x, y , z) dM= f ( y, z, x) dM= f ( z , x, y ) dM= 1 [ f (x, y , z) + f ( y, z, x) + f ( z , x, y ) ] dM 3 8 8 8 8
轮换对称性
轮换对称性
轮换对称性是密码学中的一条重要原则，它定义了加密和解密过程中的算法应具有的性能特征。
简单的来说，轮换对称性指的是经过一个特定的轮数加密后的明文，可以通过相同的算法和轮数被正确解密，因此被广泛用于网络传输等安全领域的非对称性加密技术中。
在密码学研究中，轮换对称性主要是指对称加密（symmetric encryption）即具有轮换对称性特性的加密算法，它要求使用相同的密钥进行加密和解密，人们可以使用它来提高网络数据传输的安全性。
常见的对称加密算法有AES加密算法和DES加密算法，它们通过成组电子代码（group electronic code）来对输入的数据进行相应的加密操作，使得输出的数据很难被解密还原。
现在所有的加密软件和硬件都需要经过轮换对称性的测试，以确保网络数据等信息的传输安全。
在测试中，加密软件必须满足一定的规范，例如加密软件需要实现使攻击者无法有效推算出明文密文对；加密软件还必须满足一定合理性测试，它既要求特定的强度，又要求软件的运行速度要满足特定的要求。
轮换对称性是网络安全保护的重要因素，它指引我们做出合理的安全策略，提高我们的网络安全性，充分保护我们的数据和私密信息免受黑客的攻击，保证网络信息传输的安全性。
无论是个人用户还是企业用户，都需要重视和使用轮换对称性加密算法，保护网络安全，提高网络数据传输的安全性。
轮换对称式的证明_高中数学_概述说明以及解释
轮换对称式的证明高中数学概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本文将重点介绍轮换对称式的证明方法和在高中数学中的应用。
轮换对称式是一种在数学中常见的模式，它具有特殊的性质和定义。
通过探索其证明方法以及应用领域，我们可以提高对数学概念和问题的理解能力，并且能够更好地解决相关问题。
1.2 文章结构本文分为四个主要部分进行论述。
第一部分为引言，主要从整体上概述文章内容，并介绍了本文的目的。
第二部分将详细介绍轮换对称式的定义和性质，并探讨其证明方法及具体案例分析。
第三部分将重点阐述轮换对称式在高中数学中的应用，包括几何、代数和概率统计等方面。
最后一部分为结论与总结，对全文进行回顾并指出可能存在的不足之处，同时展望未来研究方向或提出进一步讨论和思考的问题。
1.3 目的本文旨在帮助读者深入理解轮换对称式这一重要概念，并掌握相关证明方法和应用技巧。
通过详细说明、举例分析和实际应用，希望能够提高读者对数学概念的把握能力，并培养解决实际问题的数学思维和能力。
相信通过阅读本文，读者将对高中数学领域中的轮换对称式有更为全面深入的了解。
2. 轮换对称式的证明：2.1 轮换对称式的定义和性质:轮换对称式是指形如$f(x_1,x_2,...,x_n)=f(x_2,x_3,...,x_n,x_1)$的函数或表达式。
其中，$x_1, x_2, ..., x_n$是一组变量。
这种函数或表达式在变量间进行周期性的轮换，并且不会改变其值。
具体来说，一个轮换对称式是通过将变量按照某种顺序进行循环置换得到的。
例如$f(x,y,z)=xyz+yzx+zxy$就是一个轮换对称式，因为通过将$x,y,z$按照顺序进行循环置换可以得到相同的表达式。
轮换对称性在数学中具有重要的性质和应用。
首先，它可以简化复杂的计算过程，减少重复或冗余计算。
此外，在代数推导和证明中，轮换对称性可以帮助我们发现等价关系、共同特征以及隐藏规律。
因此，了解和掌握轮换对称式的证明方法对于解决高中数学问题非常有帮助。
重积分中轮换对称性的应用
重积分中轮换对称性的应用重积分中轮换对称性的应用是数学中非常重要的一种方法，它可以大大简化计算过程，帮助解决很多不易求解的问题。
本文将介绍轮换对称性的概念以及它在重积分中的应用，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
一、轮换对称性的概念轮换对称性是指一个几何形体在经过若干个旋转操作之后仍然能够重合自身的性质。
例如，一个正方形有四个旋转对称轴，分别是自身中心点和每条边的中点，因此经过90°、180°、270°三次旋转后，形状仍然与最初一样。
这就是轮换对称性的体现。
在数学中，轮换对称性通常用群的概念表示。
群指的是一种代数结构，其中包含一个集合和一种二元运算，在满足一些公理的基础上，能够形成一些基本的性质和规律。
具体而言，群需要满足封闭性、结合律、单位元、逆元、交换律等条件。
对于轮换对称性而言，它的群是旋转群。
旋转群的定义是由所有在平面或空间中旋转一定角度的运动构成的群，它是一种对称性群。
旋转群可以分为有限群和无限群两种，其中有限群的元素数是有限的，可以表示为一个置换群；无限群的元素数是无限的，通常需要用连续的一种参数来表示。
轮换对称性在重积分中的应用可以从两个方面来考虑：一是对被积函数的函数值进行轮换，二是对积分区域进行轮换。
下面将分别介绍这两个方面的具体方法和应用场景。
1.对被积函数的函数值进行轮换对于一个具有轮换对称性的函数，我们可以利用旋转群对其函数值进行轮换，从而简化积分计算。
例如，对于在极坐标系下具有旋转对称性的函数f(r,θ)，我们可以将θ进行轮换，即将θ换成θ+2π/N，其中N是旋转对称性的级数，然后将整个函数对θ进行平均，得到的结果即为所求函数的极角平均值。
这种方法通常适用于对轮换对称性较高的函数进行积分计算，可以将计算复杂度大大降低，并且可以避免误差的累积。
例如，对于一个具有八重旋转对称性的立方体，我们可以将函数值进行轮换，然后对八个不同的面进行积分，由于不同面之间没有关联，因此每一面的积分都可以独立计算，计算结果相加即可得到最终的积分值。
坐标的轮换对称性
坐标的轮换对称性，简单的说就是将坐标轴重新命名，如果积分区间的函数表达(式)不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变。
(1) 对于曲面积分，积分曲面为u(x,y,z)=0，如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x 后，u(y,z,x)仍等于0，即u(y,z,x)=0，也就是积分曲面的方程没有变，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,x,z后，u(y,x,z)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成z,x,y后，u(z,x,y)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(z,x,y)dS ，同样可以进行多种其它的变换。
(2) 对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可。
比如:如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz,∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx, ∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy.(3) 将1中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)= 0，那么在这个曲线上的积分∫∫f(x,y)ds=∫∫f(y,x)ds；实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)=0，则意味着积分曲线关于直线y=x对称。
第二类和（2）总结相同。
(4) 二重积分和三重积分都和(1)的解释类似，也是看积分域函数将x,y,z更换顺序后，相当于将坐标轴重新命名，积分取间没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变。
第一类曲线积分轮换对称性
第一类曲线积分轮换对称性
一类曲线积分轮换对称性是指当一个函数与其积分的轮换对称，即是括号的形式的定积分的轮换对称。
这种轮换对称性通常用来计算积分。
举个例子来说，让我们来讨论一类曲线积分轮换对称性。
假设有一个原函数f(x)，它的积分为F(x)，我们可以使用括号的形式进行定积分，即：
F(x)=∫x[f(x)]dπ
当我们将f(x)变换为g(x)，它的积分为G(x)时：
G(x)=∫x[g(x)]dπ
因此，可以得出一类曲线积分轮换对称性。
一类曲线积分轮换对称性有时也被称为反转积分。
它的用途是可以帮助科学家和技术人员快速、准确地计算不同的积分。
例如，它可以用于快速求解两个函数的不变积分。
一类曲线积分轮换对称性在计算数学和物理方面也有重要的应用。
它可以帮助人们解决很多看似复杂的问题，可以快速准确地确定，如果物理过程或物理原理以其积分形式表达。
总而言之，一类曲线积分轮换对称性是一个实用的概念，它可以用于计算定积分和变量积分。
它不仅在数学计算中有广泛的应用，而且在理解物理原理和物理过程方面也有重要的意义。
轮换对称在多元函数微积分学中的应用
轮换对称在多元函数微积分学中的应用摘要：在学习重积分时，利用轮换对称是一种计算简便且效率很高的方法，本文对轮换对称性在多元函数微积分学中用法进行探索、追溯和总结。
关键字：轮换对称应用1.轮换对称的概念如果一个元代数式如果将字母以代替代替代替代替后表达式不发生改变，即，那么称这个代数为元轮换对称式，简称轮换式，例如显然是轮换对称式。
1.轮换对称的雏形在《高等数学》讲解旋转曲面的内容，例如，旋转抛物面是由坐标面上直线绕轴旋转而来。
我们来观察这张二次曲面方程形式，自变量形式是完全相同的，我认为这是轮换对称的雏形。
1.应用接下来我们通过例题，将轮换对称性在多元函数微积分学中的简化运算和应用进行简单举例说明。
3.1求偏导数例 1 设，求解由于而函数关于变量具有轮换对称性，则由于同理可得本题在求偏导数时，利用两个自变量的轮换对称性，将变量进行替换，运算量减半。
3.2 求极值多元函数求条件极值时，当表达式达到轮换对称性时，函数取相应的极值。
例2 将12分成三个正整数之和，使得为最大。
解令拉格朗日函数即则分别求四个一阶偏导数：解得唯一驻点故最大值为本题中采用了求条件极值一贯的思路，未展示求到驻点的过程。
不过只有上述部分，观察轮换对称性足够了。
很多学生开始认为变量是具有轮换对称性，其实大家观察四个一阶导数会发现，“三胞胎”应该是，因此结果才是6,4,2的关系，而不是4,4,4。
这里留下这样一个问题仅供思考，为什么满足轮换对称的不是呢。
3.3 简化重积分和曲线曲面积分运算在重积分和曲线曲面积分中，轮换对称性的用法比较简单。
我们以二重积分为例：若积分区域关于具有轮换对称性，则例3 计算二重积分其中解由于是双胞胎，因此例4 求其中是圆周解所求被积函数中只有项，而轮换对称是三胞胎存在的，因此例 5 计算 ,其中是由抛物面和球面所围成的空间闭区域。
解 ,其中是关于的奇函数，且关于面对称,是关于的奇函数，且关于面对称,同理注意：该处具有轮换对称性的变量只有两个,而不是三个变量。
对称式和轮换对称式的因式分解
在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.对称式的因式分解在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.例7分解因式x4+(x+y)4+y4分析这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.解∵x4+y4=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0.因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).证明设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,若f(a)=0,则f(x)=f(x)-f(a)=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),∴(x-a)|f(x),对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.现在我们用因式定理来解例8.解这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0,故a-b和a-c 是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a).例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).分析这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).。
重积分的对称性与轮换对称性
Dxy
1
3 xdx
1-（ x 1-x-y） dy=1
0
0
8
•xd其 y中 d z是 由 抛 物
面 zx2y2和 球 面 x2y2z22所 围 成 的 空 间 闭 区 域 .
(xyz)2
x 2 y 2 z 2 2 (x y z)x
其 中 x y 是 y 关 于 z y 的 奇 函 数 ,
且 关 于 z面 o 对 称 x , (x yy)d z v0 ,
积分区域D关于坐标区域内任意直线对称
的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在定积分的计算中，若遇到对称区间，则有下面非常简洁的结论：
的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在定积分的计算中，若遇到对称区间，则有下面非常简洁的结论：
解：因为积分曲面D关于x，y，z具有轮换对称性，所以
被积函数
x' (uvtan)cos
uav 1a2
y' (uvtan)sinvsec
auv
1a2
解：由于积分区域D关于直线x=1对称，
当f(x)在区间上为连续的奇函数时,
积分区域D关于坐标区域内任意直线对称
这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分．
积分区域D关于坐标区域内任意直线对称
其次，将坐标系x'o'y'沿逆时针方向旋转，旋转角为 (tan =a)使x'轴与直线y=ax+b重合．得新坐标系uo'v 解：由于积分区域D关于直线x=1对称， 解：由于积分区域D关于直线x=1对称， 其中D是平面x=0，y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧 当f(x)在区间上为连续的奇函数时,
对称式和轮换对称式的性质及其应用
- ( b - c) a4 - ( c ( a - b) ( b 2 = k ( a + b2 + c2 ) +
4 4 a) b - ( a - b) c c) ( c - a)
故
a b c + + + b+ c+ d c+ d+ a d+ a+ b d a+ b+ c
2
2
2
2
p ( ab + bc + ca) .
c3 d3 + = 49 B - 68 . d+ a+ b a+ b+ c
2. 5 解对称方程组
解对称方程组时 , 可以通过对称替换把原 方程组化简 . 例 8 求方程组 数解 .
故
1
xy + 2 z
+
1
yz + 2 x
+
1
zx + 2 y
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4
中 等 数 学
=
1
( x - 2) ( y - 2) ( y - 2) ( z - 2) ( z - 2) ( x - 2) z- 2+ x- 2+ y- 2 = ( x - 2) ( y - 2) ( z - 2 ) x+y+z- 6 = xyz - 2 ( xy + yz + zx ) + 4 ( x + y + z) - 8
轮换对称性
轮换对称性.txt爱空空情空空，自己流浪在街中；人空空钱空空，单身苦命在打工；事空空业空空，想来想去就发疯；碗空空盆空空，生活所迫不轻松。
总之，四大皆空！【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。
【关键词】积分；轮换对称性；奇对称；偶对称在积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。
这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴（或坐标面）的对称性和积分区域的轮换对称性。
设Dn为一积分区域，所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时，有Pi(xi, xi+1, …, xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。
在一元函数积分学中，我们有下面所熟悉结论：若f(x)在闭区间［-a,a］上连续，则有∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x)2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x)利用这一性质，可以简化较复杂的定积分的计算。
对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。
下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。
1 对称性在重积分计算中的应用对称性在计算二重积分 Df(x,y)dσ方面的应用。
结论1 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于y轴（或x轴）对称，则有① Df(x,y)dσ=0, f(x)为关于x（或y）的奇函数② Df(x,y)dσ=2 D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x（或y）的偶函数。
其中D1为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称区域之一。
结论2 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于原点成中心对称，则有：① Df(x,y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x,y)，即f(x,y)关于原点成奇对称；② Df(x,y)dσ=2 D1f(x,y)dσ=2 D2f(x,y)dσ,f(-x,-y)=f(x,y)，即f(x,y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称，且D1+D2=0。
轮换对称性的条件
轮换对称性的条件
什么是轮换对称性？轮换对称性是指通过将一系列物体中的每个物
体的位置轮换到另一个位置，但在形状，大小和方向不变的前提下实
现对称性的一种方法。
它是几何学家和美术家为了增加图案的美感而
采取的一种手段。
轮换对称性的条件非常重要，可以帮助获得非常优美的效果。
那么，
轮换对称性的条件有哪些呢？
一、平移：平移要求所有物体或图形都沿着确定的方向移动一个固定
的距离，而不会改变它们的形状，大小，位置或方向。
此外，平移还
要求任何未移动的物体或图形也应保持不变。
二、旋转：旋转要求物体或图形在中心点旋转一定的角度，而不改变
其位置，大小，形状或方向。
三、镜像对称：镜像对称要求物体或图形位于一个零中心对称的位置，这一点非常重要，因为如果不是这样，结果将不会对称。
四、组合：在组合方面，轮换对称性要求任何给定的物体或图形必须
在组合后保持位置，大小，形状和方向不变。
总之，轮换对称性的条件是由平移，旋转，镜像对称和组合组成的，
它能够在不改变原有外形的情况下，使不同的物体或图形联系在一起，
形成完整的轮换图案。
希望这个图案能给你带来满意的结果，让你的空间装饰更加美观！。
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轮换对称性.txt爱空空情空空，自己流浪在街中；人空空钱空空，单身苦命在打工；事空空业空空，想来想去就发疯；碗空空盆空空，生活所迫不轻松。
总之，四大皆空！【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。
【关键词】积分；轮换对称性；奇对称；偶对称
在积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。
这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴（或坐标面）的对称性和积分区域的轮换对称性。
设Dn为一积分区域，所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时，有Pi(xi, xi+1, …, xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。
在一元函数积分学中，我们有下面所熟悉结论：
若f(x)在闭区间［-a,a］上连续，则有
∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x)
2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x)
利用这一性质，可以简化较复杂的定积分的计算。
对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。
下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。
1 对称性在重积分计算中的应用
对称性在计算二重积分 Df(x,y)dσ方面的应用。
结论1 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于y轴（或x轴）对称，则有
① Df(x,y)dσ=0, f(x)为关于x（或y）的奇函数
② Df(x,y)dσ=2 D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x（或y）的偶函数。
其中D1为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称区域之一。
结论2 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于原点成中心对称，则有：
① Df(x,y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x,y)，即f(x,y)关于原点成奇对称；
② Df(x,y)dσ=2 D1f(x,y)dσ=2 D2f(x,y)dσ,f(-x,-y)=f(x,y)，即f(x,y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称，且D1+D2=0。
结论3 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于直线L对称，则有：
① Df(x,y)dσ=0,f(x,y)关于直线L奇对称；
② Df(x,y)dσ=2 D1f(x,y)dσ,f(x,y) 关于偶对称。
其中D1为区域D被直线L所分割的两个对称区域之一。
说明：若对D内关于直线L对称的任意两点P、Q，都有f(P)=-f(Q),(f(P)=f(Q))，则称f(x,y)关于直线L奇（偶）对称。
特别地，若区域D关于直线y=x对称，则当点(x,y)∈D时，有(y,x)∈D，这时积分区域D关于x、y具有轮换对称性。
这时我们有：
Df(x,y)dσ=12 D［f(x,y)+f(y,x)］dσ
若f(x,y)=-f(y,x)，即f(x,y)关于直线y=x奇对称，则 Df(x,y)dσ=0;
若f(x,y)=f(y,x)，即f(x,y)关于直线y=x偶对称，则 Df(x,y)dσ=2 D1f(x,y)dσ。
计算三重积分 Ωf(x,y,z)dν时，也有类似的结论。
若积分区域Ω关于面xoy面（或yoz面或zox面）对称，记Ω1为区域Ω被坐标面所分割的两个对称区域之一。
则有：
① Ωf(x,y,z)dν=0,f(x,y,z)为关于z（或x或y）的奇函数；
② Ωf(x,y,z)dν=2 Ω1f(x,y,z)dν,f(x,y,z)为关于z（或x或y）的偶函数。
若积分区域Ω关于x,y,z具有轮换对称性，即当(x,y,z)∈Ω时，(y,z,x),(z,x,y)∈Ω，这时有 Ωf(x,y,z)dν= Ωf(y,z,x)dν= Ωf(z,x,y)dν
=13 Ω［f(x,y,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)］dν
2 对称性在曲线积分计算中的应用
2.1 对称性在第一类曲线积分计算中的应用
结论1 若积分曲线L关于x轴（或y轴）对称，记L1为曲线L被坐标轴所分割的两个对称区域之一，则有：
①∫Lf(x,y)ds=0,f(x,y)为关于y（或x）的奇函数；
②∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,f(x,y)为关于y（或x）的偶函数。
结论2 若积分曲线L关于直线y=x对称，则当点(x,y)∈L时，有(y,x)∈L，即L关于x,y具有轮换对称性，这时有：
∫Lf(x,y)ds=∫Lf(y,x)ds=12∫L［f(x,y)+f(y,x)］ds
若f(x,y)=-f(y,x)，即f(x,y)关于直线y=x奇对称，则∫Lf(x,y)ds=0；
若f(x,y)=(y,x)，即f(x,y)关于直线y=x偶对称，则∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(y,x)ds。
其中L1为曲线L被直线y=x所分割的两个对称区域之一。
2.2 对称性在第二类曲线积分计算中的应用
设有曲线积分I=∫L P(x,y)dx，其中L为光滑的有向曲线弧，如果L关于某条直线（包括坐标轴）对称，这时利用对称性计算上述曲线积分时，不仅要考虑P(x,y)的大小和符号，还要考虑投影元素dx的符号。
当积分方向和坐标轴正向之夹角小于π2时，投影元素为正，否则为负。
一般地，我们有：
结论若积分曲线L关于某直线对称，记L1为曲线L被这条直线所分割的两个对称区域之一，则有：
①∫Lf(x,y)ds=0,P(x,y)dx在对称点上取相反的符号；
②∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,P(x,y)dx 在对称点上取相同的符号。
对于积分∫L Q(x,y)dy也有类似地结论。
上述结论都可推广到空间曲线的情形。
3 对称性在曲面积分计算中的应用
3.1 对称性在第一类曲面积分计算中的应用
结论1 若积分曲 面关于某平面（或某点）对称，记 1为曲面 被某平面（或某点）所分割的两个对称曲面之一，则有：
① f(x,y,z)dS=0,在对称点上f(x,y,z)取相反的符号；
② f(x,y,z)dS=2 1f(x,y,z)dS,在对称点上f(x,y,z)取相同的符号。
结论2 若积分曲面 关于x,y,z具有轮换对称性，则有：
f(x,y,z)dS= f(y,z,x)dS= f(z,x,y)dS
=13 ［f(x,y,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)］dS
3.2 对称性在第二类曲面积分计算中的应用
利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号。
现以曲面积分
f(x,y,z)dxdy为例来讨论。
当曲面指定侧上动点的法线方向与z轴正向成锐角时，面积元素dS在xoy面上的投影dxdy为正；成钝角时为负。
一般地，我们有：
结论若积分曲面 可分成对称的两部分 1、 2（ = 1+ 2），在对称点上|f|的值相等，则有
① f(x,y,z)dxdy=0,在对称点上fdxdy取相反的符号；
② f(x,y,z)dxdy=2 f(x,y,z)dxdy,在对称点上fdxdy的符号相同。
对于积分 f(x,y,z)dydz, f(x,y,z)dzdx也有类似的结论。
总之，应用对称性计算积分时应注意以下几点：
①必须兼顾被积函数和积分区域两个方面，只有当两个方面都具有某种对称性时才能利用。
如果只有积分区域具有某种对称性，这时根据具体情况，我们可以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性，再考虑利用上述结论。
②对第二类曲线积分和第二类曲面积分，在利用对称性时，尚需考虑积分路线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号，需慎重。
③有些问题利用轮换对称性可得到简便的解答。