初一数学竞赛培训资料“设而不求”列方程组解应用题
七年级数学竞赛 第8讲 设而不求
第8讲设而不求知能概述：字母示数是代数的一个重要特征，是由算术跨越到代数的桥梁，是数学发展史上的一个飞跃。
字母示数具有简明性、一般性，在求代数式的值、形成公式、解应用题等方面有广泛的应用。
为了沟通数量间的关系，或将有些不明朗的关系表示出来，我们需要设元，而所设的字母不能或不需要求出，这就是设而不求的基本涵义。
问题解决：例1．一个摩托车手在前13旅程中速度是40千米/时，在后23旅程中速度是50千米/时，则在他的全程中平均速度为。
解题思路：平均速度=总路程总时间，题设中并未给出总路程，需设出总路程。
(江苏省竞賽题)例2．下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）。
A．1627384950 B．2345678910 C．3579111300 D．4692581470(江苏省竞赛题)解题思路：设自然数从a+1开始，这100个连续自然数的和为(a+1)+(a+2) +…+(a+100)=100a+5050，从揭示和的特征入手。
例3．在一次数学竞赛中，组委会决定用NS公司赞助的款购买一批奖品，若以1台NS计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品。
问这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少?(湖北省黄冈市竞赛题)解题思路：设每台计算器x元，每本《数学竞赛讲座》书y元，利用赞助款不变，寻找x，y的关系。
例4．将若干个自然数按某种规律排列，若前8个数依次是1，3，6，10，15，21，28，36，则第50个数是多少?(世界数学团体锦标賽试题)解题思路：设已知的数依次是a1，a2，a3，a4，…，a50，…，这若干个自然数排列的规律是什么?怎样求出a50?例5．如图，已知四边形 ABCD 各边的中点E ，F ，M ，N 的连线EM ，FN 交于O ，分四边形ABCD 的面积三块为6，8，10，求第四块的面积。
初一数学竞赛培训资料(13)“设而不求”列方程(组)解应用题
初一数学竞赛培训资料（13）:“设而不求”列方程（组）解应用题初一( )班姓名: 学号：_ 对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外,还需要增设一些“设而不求"的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。
1、甲乙丙三人进行100米跑，当甲到达终点时，乙离终点还有10米，丙离终点还有20米，那么当乙到达终点时，丙离终点还有11错误!米.2、某人在公路上行走,往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人.如果人与汽车均为匀速运动,那么汽车站每隔几分发一班车？（4。
8）（参数）3、甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑自行车从甲、乙两地同时出发，相向而行。
已知每辆电车都每隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王都每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车。
已知电车行驶全程是56分钟，那么小张与小王相遇时行驶了多少分钟？（60）3、整片牧场上的草长得一样密，一样地快.已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就得60天.如果要在96天把牧场的草吃完，那么有20头牛.4、有一满池水，池底有泉水总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机6天可抽干水池;若用21部A型抽水机8天也可抽干水池。
设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永远抽不干，则至多只用12 部A型抽水机抽水。
5、几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍,开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问共有多少名学生?（20）6、水池装有一个排水管和若干个每小时注水量相同的注水管,注水管注水时，排水管同时排水。
若用12个注水管注水，8小时可注满水池；若用9个注水管注水,24小时可注满水池。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第七讲 列方程(组)解应用题
第七讲列方程（组）解应用题趣题引路】两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带24桶汽油，每桶汽油可以使一辆车前进60 km，两车都必须返回出发地点，但可以不同时返回，两车均可以借对方的油，为了使一辆车尽可能地远离出发点，另一辆车应该在离出发点___________k m的地方返回．解析要使甲车尽量走远，应使两车分别时甲车装满24桶汽油，而乙车留下供两车返回时所用的油．设从开始出发到分别，甲、乙车各用了x桶油，则乙车应留下2x桶油，并借给甲车x油，使甲车装满24桶油，依据题意，列方程x＋x＋2x＝24.解得x＝6.60×6＝360（km）.所以，乙车应在离出发点360 km处返回．点评解应用题关健在于挖掘题目中隐含的等量关系，用来列代数式或建立方程.知识延伸】例1甲、乙两人分别从A、B两地同时相向匀速前进，第一次相遇在距A点700m处，然后继续前进，甲到B地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距B点400m处，求A、B两地间的距离是多少米？解析设A、B两地间的距离是x m，第一次相遇甲走了700 m，第一次相遇后到第二次相遇甲走了（x －700）＋400＝(x－300) m，因为甲、乙两人速度不变，甲、乙两人第一次相遇共走了x m，第一次相遇后到第二次相遇两人共走了2x m，所用时间是第一次相遇所用时间的2倍，所以早甲第一相遇后到第二次相遇所走路程应为第一次相遇所走路程的2倍，即x－300＝2×700.解得x＝1700 m.所以，A、B两地间的路程是1700 m．点评弄清以下问题是解题的关键：（1）甲、乙两人从开始到相遇所用时间有什这关系？（2）所走路程之和是多少？（3）第一次相遇后到第二次相遇，甲、乙两人所走路程之和是多少？(4)所用时间是第一次相遇时间的几倍？例2有甲、乙两种酒精溶液，甲种溶液的浓度为95%，乙种溶液的浓度为80%，要想得到浓度为85%的溶液270 g，应从甲、乙两种酒精溶液中各取多少克？解析设95%的酒精取x g，80%的酒精取y g则有27095%80%27085%x yx y+=⎧⎨+=⨯⎩，解得90180xy=⎧⎨=⎩，即95%的酒精取90 g，80%的酒精取180 g.另解：已知x＋y＝270，只需求出x：y即可快速求出x、y．一般要求出x：y,需要有一个关于x、y的齐次方程.②式中有常数项，只要想法消掉常数项即可.把270用x+y代入，则有95%x+80%y=85%（x+y）.整理得，85%80%95%85% xy-=-观察发现，x与y的比只与三种溶液的浓度有关.为了方便记忆，我们建立如下模型：95% 85% －80% x……（95%的溶液质量）则有85%80%95%85% xy-=-.80% 95% －85% y……（80%的溶液质量）一般的，浓度为a%的溶液xkg，浓度为b%的溶液ykg，配制成浓度为c%的溶液，其中a%>c%>b%，则可建立以下模型：a% c% －b% xc%.b% a % －c % y点评:实际上不光浓度问题存在这样一种隐含的规律，只要是隐含c=ab型基本等量关系的问题都具有此规律.例3某人以4km/h的速度步行由甲地到乙地，然后又以6km/h的速度从乙地返回甲地，那么，此人往返一次的平均速度是km/h.解析速度相当于溶液的浓度，时间相当于溶液的质量。
新课标七年级数学竞赛培训第十一讲 列方程解应用题——设元的技巧
第十一讲 列方程解应用题——设元的技巧应用题联系生活实际，反映实际生活中的数量关系，列方程解应用题是从具体问题中抽象归纳出所需要的数量关系，根据数量间的关系，依照题意合理选择未知数、找出隐含的等量关系，列方程进行求解．恰当地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，设什么为元，需要根据具体问题的条件来确定．对未知元的选择，有时可将要求的量设为未知元(即问什么设什么)，称此为直接设元；有时需要将要求的量以外的其他量设为未知元(即所设的不是所求的，则更易找出符合题意的数量关系)，称此为间接设元；有些应用题中隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解，因此需把这些未知的常量设为参数，以便建立等量关系，称此为辅助设元．【例1】 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积为 ． (济南市中考题)思路点拨 要求长方形的面积需求出务正方形的边长，为便于求出长方形长与宽，故不宜直接设元，由于6个正方形边长有一定的依存关系，所以，可以从间接设某个正方形边长入手．注： 列方程解应用题又一关键是：找寻能够表示应用题全部意义的相等关系，找寻相等关系的基本方法有：(1)运用基本公式找寻相等关系； (2)从关键词中找寻基本关系；(3)运用不变量找寻相等关系；(4)对一种“量”，从不同的角度进行表述(即计算两次)，得到相等关系．【例2】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行( )．A ．0.5小时B ．1小时C ． 1.,2小时D ．1.5小时 (2001年武汉市选拔赛试题)思路点拨 要求从乙港返回甲港所需的时间，需求甲、乙两港的距离及顺水速度，考虑增设辅助未知数．【例3】某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的32，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的53；零售票每张16元，共售出零售票数的—半，如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平? (北京市东城区中考题)思路点拨 票款与票数、票价有关，既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数．【例4】 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率．(全国初中联赛试题)思路点拨 因售出价=进货价×(1+利润率)，故还需设出进货价，利用售出价不变，辅助建立方程．【例5】 有一片牧场，草每天都在匀速地生长(即草每天增长的量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问：(1) 如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草? (2) 要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛?(全国通讯赛试题)思路点拨 需要考虑草每天的增长量、每头牛每天的吃草量及牧场原有的草量之间的关系，故需增设一些辅助未知数，便于把这些关系表示出来．注： 应用数学知识和方法解决实际问题是学习数学的重要目的之一．而列方程解应用题对初一同学来说是一个困难所在，学习列方程解应用题应注重两个方面：(1)促使综合型思维向分析型思维的转轨．从各个侧面分析列方程的来龙去脉，突破小学形成的固有的综合思维模式(从已知出发列综合算式求未知数，形成分析思维模式． (2)善于把应用题中的生活语言转换成数学语言．应留心生活，多看报刊杂志电视，注意生活常识的积累．有些应用题，它所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些表知敷辅助建立方程，辅助表知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求”．学力训练1．一个6位数abcde 2的3倍等于9abcde，则这个6位数等于 ． 2．有人问一位老师：他教的班有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位学生正在操场踢足球．”则这个“特长班”共有学生 人．3．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时，从乙地到甲地逆流行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需 小时． ( “希望杯”邀请赛试题)4．某种产品是由A 种原料x 千克、B 种原料y 千克混合而成，其中A 种原料每千克50元，B 种原料每千克40元，后来调价，A 种原料价格上涨l0％，B 种原料价格减少15％，经核算产品价格可保持不变，则y x :的值是( )． A ．32 B ．65 C ．56 D ．3455 5．从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是( )．A ．5千克B ．6千克C ．7千克D ．8千克6．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么，4月份这位用户应交煤气费( )．A ．60元B ．66元C ．75元D ．78元 (全国初中数学联赛试题)7．某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价为510元，本季度销售了m 件．为进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低生产成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4％，销售量将提高lo ％，要使销售利润(销售利润＝销售价一成本价)保持不变，该产品每件的成本价应降低多少元? (陕西省中考题)8．如图，几块大小不等的正方形纸片A 、B 、……,I ，无重叠地铺满了一块长方形．已知正方形纸片E 的边长为7，求其余务正方形的边长． 9．某人购买钢笔和圆珠笔各若干支，钢笔的价格是圆珠笔价格的2倍，付款时，发现所买两种笔的数量颠倒了，因此，比计划支出增加了50%，则此人原计划购买钢笔与圆珠笔数量的比为 ．10．电影胶片绕在盘上，空盘的盘心直径为60毫米．现有厚度为0.15毫米的胶片，它紧绕在盘上共有600圈，那么这盘胶片的总长度约为 米(π≈3.14)． (江苏省竞赛题)11．为使某项工程提前20天完成任务，需将原定工作效率提高25％，则原计划完成这项工程需要 天．12．完成某项工程，甲、乙合做要2天，乙、丙合做要4天，丙、甲合做要2.4天，则甲单独完成此项工程需要的天数是( )． A ．2.8 B ．3 C ．6 D ． 12 13．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 立方米的，按每立方米m 元水费收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m ，则该职工这个月实际用水为( )立方米． A ．13 B ．14 C ．18 D ．26 (广西省中考题)14．某种商品若按标价的八折出售，可获利20％，若按原标价出售，可获利( )． A ．25％ B ．40％ C ．50％ D ．66.7％15．某水库共有6个相同的泄洪闸，在无上游洪水注入的情况下，打开一个水闸泄洪使水库水位以a 米／时匀速下降．某汛期上游的洪水在未开泄洪闸的情况下使水库水位以b 米／时匀速上升，当水库水位超警戒线^米时开始泄洪．(1)如果打开n个水闸泄洪x小时，写出表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式；(2)经考察测算，如果只打开一个泄洪闸，则需30个小时水位才能降至警戒线；如果同时打开两个泄洪闸，则需10个小时水位才能降至警戒线．问该水库能否在3个小时内使水位降至警戒线?(连云港市中考题)16．一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次船运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨．问：(1)乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍?(2)现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元?(按每运1吨运费20元计算)(天津市中考题)17．某同学想用5个边长不等的正方形，拼成如图所示的正方形，请问该同学的想法能实现吗?如果能实现，试求这5个正方形的边长；如果不能，请说明理由．( “希望杯”邀请赛试题)18．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量(即单位时间里流人池中的水量相同)不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完? (江苏省竞赛题)参考答案。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第七讲列方程(组)解应用题
第七讲列方程（组）解应用题趣题引路】两辆汽车从同一地点同时岀发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带24桶汽汕，每桶汽油可以使一 辆车前进60 km,两车都必须返回岀发地点，但可以不同时返回，两车均可以借对方的油，为了使一辆车 尽可能地远离出发点，另一辆车应该在离岀发点 _______________________ k /“的地方返回.解析要使甲车尽量走远，应使两车分别时甲车装满24桶汽油，而乙车留下供两车返回时所用的油.设 从开始出发到分别，甲、乙车各用了 x 桶油，则乙车应留下2x 桶油，并借给甲车x 油，使甲车装满24桶 油，依据题意，列方程x+x+2x=24.解得x=6.60x6=360 （km ）.所以，乙车应在藹出发点360 km 处返回.点评 解应用题关健在于挖掘题目中隐含的等量关系，用来列代数式或建立方程.知识延伸】例1甲、乙两人分别从A 、B 两地同时相向匀速前进.第一次相遇在距A 点700〃?处，然后继续前进，甲 到B 地，乙到A 地后都立即返回，第二次相遇在距B 点40（加处，求A 、B 两地间的距离是多少米？ 解析 设A 、B 两地间的距离是x m,第一次相遇甲走了 700 m,第一次相遇后到第二次相遇甲走了 （x -700） +400=（^-300） m,因为甲、乙两人速度不变，甲、乙两人第一次相遇共走了 xm,第一次相遇后 到第二次相遇两人共走了 2A -m,所用时间是第一次相遇所用时间的2倍，所以早甲第一相遇后到第二次相 遇所走路程应为第一次相遇所走路程的2倍，即x-300=2x700.解得 x=1700 m.所以，A 、B 两地间的路程是1700 in.点评弄淸以下问题是解题的关键：（1）甲、乙两人从开始到相遇所用时间有什这关系？ （2）所走路程之和是多少？ （3）第一次相遇后到 第二次相遇，甲、乙两人所走路程之和是多少？（4）所用时间是第一次相遇时间的几倍？ 例2有甲、乙两种酒精溶液，甲种溶液的浓度为95%,乙种溶液的浓度为80%,要想得到浓度为85%的 溶液270g,应从甲、乙两种洒精溶液中各取多少克？解析 设95%的酒精取xg, 80%的酒精取y gx + y = 270A >95% + y80% = 270x85% 即95%的酒精取90 g, 80%的酒精取180 g.另解：已知x+〉=270,只需求岀x ： y 即可快速求岀x 、y. 一般要求岀x ： y,需要有一个关于x 、y 的齐次 方程•②式中有常数项，只要想法消掉常数项即可•把270用x+y 代入，则有95%x+80%y=85% (x+y)・观察发现，x 与y 的比只与三种溶液的浓度有关. 为了方便记忆，我们建立如下模型：x = 90整理得，-= y 85%-80% 95% - 85%95% 85% -80% 80% 95% -85% x……（95%的溶液质量）y……（80%的溶液质量）则有亠叱空、y 95%-85%一般的，浓度为能的溶液.Mg ，浓度为础的溶液$如配制成浓度为码的溶液，其中a%>c%>h%,则可 建立以下模型："% c% —b% x/• / \b%u % —c % y 点评:实际上不光浓度问题存在这样一种隐含的规律，只要是隐含c=ah 型基本等量关系的问题都具有 此规律. 例3 某人以4km/h 的速度步行由甲地到乙地，然后又以6km/h 的速度从乙地返回甲地，那么，此 人往返一次的平均速度是 _______________ km/h.解析速度相当于溶液的浓度，时间相当于溶液的质量。
初中数学竞赛：列方程解应用题(含例题练习及答案)
初中数学竞赛：列方程解应用题在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。
然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论，不允许未知数参加计算，这样，对于较复杂的应用题，使用算术方法常常比较困难。
而用列方程的方法，未知数与已知数同样都是运算的对象，通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系，即列出方程（或方程组），使问题得以解决。
所以对于应用题，列方程的方法往往比算术解法易于思考，易于求解。
列方程解应用题的一般步骤是：审题，设未知数，找出相等关系，列方程，解方程，检验作答。
其中列方程是关键的一步，其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来，而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析，有些相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析。
一、列简易方程解应用题分析：欲求这个六位数，只要求出五位数x abcde =就可以了。
按题意，这个六位数的3倍等于1abcde 。
解：设五位数x abcde =，则六位数abcde 1x +=510，六位数1101+=x abcde ， 从而有3（105+x ）=10x+1，x ＝42857。
答：这个六位数为142857。
说明：这一解法的关键有两点： ⑴抓住相等关系：六位数abcde 1的3倍等于六位数1abcde ；⑵设未知数x ：将六位数abcde 1与六位数1abcde 用含x 的数学式子表示出来，这里根据题目的特点，采用“整体”设元的方法很有特色。
（1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系；（2）是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。
因此，要提高列方程解应用题的能力，就应在这两方面下功夫。
例2有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。
问：队伍有多长？分析：这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。
七年级王牌竞赛 第七讲 列方程(组)解应用题
第七讲 列方程（组）解应用题【趣题引路】两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带24桶汽油，每桶汽油可以使一辆车前进60 km ，两车都必须返回出发地点，但可以不同时返回，两车均可以借对方的油，为了使一辆车尽可能地远离出发点，另一辆车应该在离出发点___________k m 的地方返回．解析 要使甲车尽量走远，应使两车分别时甲车装满24桶汽油，而乙车留下供两车返回时所用的油．设从开始出发到分别，甲、乙车各用了x 桶油，则乙车应留下2x 桶油，并借给甲车x 油，使甲车装满24桶油，依据题意，列方程x ＋x ＋2x ＝24.解得x ＝6.60×6＝360（km ）.所以，乙车应在离出发点360 km 处返回．点评 解应用题关健在于挖掘题目中隐含的等量关系，用来列代数式或建立方程.【知识延伸】例1 甲、乙两人分别从A 、B 两地同时相向匀速前进，第一次相遇在距A 点700m 处，然后继续前进，甲到B 地，乙到A 地后都立即返回，第二次相遇在距B 点400m 处，求A 、B 两地间的距离是多少米？解析 设A 、B 两地间的距离是x m ，第一次相遇甲走了700 m ，第一次相遇后到第二次相遇甲走了（x －700）＋400＝(x －300) m ，因为甲、乙两人速度不变，甲、乙两人第一次相遇共走了x m ，第一次相遇后到第二次相遇两人共走了2x m ，所用时间是第一次相遇所用时间的2倍，所以早甲第一相遇后到第二次相遇所走路程应为第一次相遇所走路程的2倍，即x －300＝2×700.解得x ＝1700 m.所以，A 、B 两地间的路程是1700 m ．点评 弄清以下问题是解题的关键：（1）甲、乙两人从开始到相遇所用时间有什这关系？（2）所走路程之和是多少？（3）第一次相遇后到第二次相遇，甲、乙两人所走路程之和是多少？(4)所用时间是第一次相遇时间的几倍？例2 有甲、乙两种酒精溶液，甲种溶液的浓度为95%，乙种溶液的浓度为80%，要想得到浓度为85%的溶液270 g ，应从甲、乙两种酒精溶液中各取多少克？解析 设95%的酒精取x g ，80%的酒精取y g则有27095%80%27085%x y x y +=⎧⎨+=⨯⎩，解得90180x y =⎧⎨=⎩， 即95%的酒精取90 g ，80%的酒精取180 g.另解：已知x ＋y ＝270，只需求出x ：y 即可快速求出x 、y ．一般要求出x ：y ,需要有一个关于x 、y 的齐次 方程.②式中有常数项，只要想法消掉常数项即可.把270用x +y 代入，则有95%x +80%y =85%（x +y ）. 整理得，85%80%95%85%x y -=- 观察发现，x 与y 的比只与三种溶液的浓度有关.为了方便记忆，我们建立如下模型：95% 85% －80% x ……（95%的溶液质量） 85% 则有85%80%95%85%x y -=-. 80% 95% －85% y ……（80%的溶液质量）一般的，浓度为a%的溶液xkg，浓度为b%的溶液ykg，配制成浓度为c%的溶液，其中a%>c%>b%，则可建立以下模型：a% c% －b% xc%.b% a % －c % y点评:实际上不光浓度问题存在这样一种隐含的规律，只要是隐含c=ab型基本等量关系的问题都具有此规律.例3某人以4km/h的速度步行由甲地到乙地，然后又以6km/h的速度从乙地返回甲地，那么，此人往返一次的平均速度是km/h.解析速度相当于溶液的浓度，时间相当于溶液的质量。
七年级数学竞赛培训不等式组的应用
新课标七年级数学竞赛培训第16讲：不等式（组）的应用一、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分）1．（3分）给出四个自然数a，b、c、d，其中每三个数之和分别是180、197、208、222，则a，b、c、d中最大的数是_________．2．（3分）若方程只有负数根，则a的取值范围是_________．3．（3分）若方程组的解是正数，则m的取值范围是_________．4．（3分）某化工厂2001年12月在制定2002年某种化肥的生产计划时，收集了如下信息：（1）生产该种化肥的工人数不能超过200人；（2）每个工人全年工作时数不得多于2100个；（3）预计2002年该化肥至少可售销80000袋；（4）每生产一袋该化肥需要工时4个；（5）每袋该化肥需要原料20千克；（6）现库存原料800吨，本月还需用200吨，2002年可以补充1200吨．根据上述数据，确定2002年该种化肥的生产袋数的范围是_________．5．大、中、小三个正整数，大数与中数之和等于2003，中数减小数之差等于1000，那么这三个正整数的和为6．（3分）已知a+b+c=0，a＞b＞c，则的取值范围是_________．7．（3分）适合方程的正整数x的值是_________．8．（3分）设x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7为自然数，且x1＜x2＜x3＜…x6＜x7，又x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=159，则x1+x2+x3的最大值是_________．9．（3分）正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲，乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过_________分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．二、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）10．（3分）甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是11．（3分）设，，则P、Q的大小关系是（）12．（3分）（2002•南京）某出租车收费标准是：起步价6元（即行驶距离不超过3千米需付6元车费），超过3千米后，每增加1千米加收1.4元（不足1千米按1千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地支付车费17.2元，设此人从甲地到乙地经过的路程为x千米，则x13．（3分）（2002•重庆）韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少3辆车，若全部安排乘A队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未满；若全部安排B队的车，每辆车4人，车15．（3分）小林拟将1，2，…，n这n个数输入电脑，求平均数．当他认为输入完毕时，电脑显示只输入了（n﹣1）个数，平均数为35，假设这（n﹣1）个数输入无误，则漏输入的≤a≤≤a≤三、解答题（共13小题，满分102分）17．已知a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7是彼此互不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数a1的最大值．18．（8分）（2003•广州）现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车相每节费用为8000元．（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？（3）在上述方案中，哪个方案运费最省最少运费为多少元？19．（8分）某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币要多于2分的硬币，请你据此设计兑换方案．20．（8分）某校为了奖励获奖的学生，买了若干本课外读物，如果每人送3本，还余8本；如果前面第人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本．设该校买了m本课外读物，有x名学生获奖，试解：（1）用含x的代数式表示m；（2）求出获奖人数及所买课外读物的本数．21．（8分）（2002•黑龙江）为了迎接2002年世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则及奖励方案如下表12场）时，A队共积分19分．（1）请通过计算，判断A队胜、平、负各几场；（2）若每赛一场，每名参赛队员均得出场费500元，设A队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．22．（8分）例题6：商业大厦购进某种商品1000件，销售价定为购进价的125%．现计划节日期间按原定销售价让利10%，售出至多100件商品，而在销售淡季按原定销售价的60%大甩卖，为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季外要按原定价销售至少多少件商品？23．（8分）货轮上卸下若干只箱子，其总重量为10t，每只箱子的重量不超过1t，为保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重3t的汽车？24．（8分）（2002•浙江）为了能有效地使用电力资源，宁波市电业局从2002年1月起进行居民峰谷用电试点，每天8：00至22：00用电每千瓦时0.5 6元（“峰电”价），22：00至次日8：00每千瓦时0.28元（“谷电”价），而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.53元．（1）一居民家庭在某月使用“峰谷”电后，付电费95.2元，经测算比不使用“峰谷”电节约10.8元，问该家庭当月使用“峰电”和“谷电”各多少千瓦时？（2）当“峰电”用量不超过每月总用电量的百分之几时，使用“峰谷”电合算（精确到1%）．25．（8分）（2009•天水）为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B 两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如右表：经预算，该企业购买（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）26．（8分）（2003•南通）某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售，现（1）若乙、丙两家公司的包装、装卸及运输的费用总和恰是甲公司的2倍，求A，B两市间的距离；（精确到个位）（2）如果A，B两市的距离为s（km），且这批水果在包装、装卸以及运输过程中的损耗为300元/小时，那么，要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？27．（8分）今有浓度为5%，8%，9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克，60克，47克，现要配制浓度为7%的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？28．（8分）某企业有员工300人生产A种产品，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数）．为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的B种产品．根据评估，调配后继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m万元．（1）调配后企业生产A种产品的年利润为_________万元，生产B种产品的年利润为_________万元（用含rn的代数式表示）．若设调配后企业全年的总利润为y万元，则y 关于x的关系式为_________；（2）若要求调配后企业生产A种产品的年利润不少于调配前企业年利润的五分之四，生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有哪几种调配方案？请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大（必要时运算过程可保留3个有效数字）．（3）企业决定将（2）中的年最大总利润（m=2）继续投资开发新产品，现有六种产品可供品？请你写出两种投资方案．29．（8分）一玩具工厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位．生产一个小熊要使用15个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫要使用10个工时、5个单位的原料，售价为45元．在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊、小猫的个数，可以使小熊和小猫的总售价尽可能高．请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2200元？。
全国初中数学竞赛辅导(初1)第09讲 “设而不求”的未知数
第九讲“设而不求”的未知数让我们先看一道简单的数学题．三角形的面积．解设这个三角形的斜边长度为，因为斜边上的中线长是，所以斜边长．再设两条直角边的长度是，，面积是，那么．④把②，③代入④式得，在这个题目中，只要求出未知数的值，而我们却设了三个未知数：，，，并且在解题过程中，我们也根本没求，的值．但是由于增设了，后，给我们利用等量关系列方程及方程组求的值，带来了很大的便利，像这种未知数(如，)就是本讲所要介绍的“设而不求”的未知数．所谓“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解决问题增设的一些参数，它能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用．例若求的值．分析已知条件是以连比的形式出现时，往往引进一个比例参数来表示这个连比．解令则有()， ()， ()，所以()()()，所以．说明本例中所设的，就是“设而不求”的未知数．例已知，，都是的倍数，＞＞，且，试求解不妨设，，，由题意可知，，，都是整数．因为＞＞，所以＞＞．又因为，所以，，①所以＞＞，所以．②将①，②代入所求的代数式得说明本题中，，均是“设而不求”的未知数．＞，并且设分子：，①分母：．②其中，为自然数．由①得，将之代入②得()，即，所以()．由于是质数，且＞，所以＝，所以·．故最小为．例甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为，，和，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？解设四个人的年龄分别记为，，，，根据题意有由上述四式可知比较⑤，⑥，⑦，⑧知，最大，最小，所以⑤⑧得所以，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为．说明此题不必求出，，，的值，只须比较一下，找出最大者与最小者是谁，作差即可求解．例设有个数，，…，，它们的值只能是，，三个数中的一个，如果记试用和表示解设在，，…，这几个数中取值为的有个，取值为的有个，取值为的有个，则，≤≤，≤≤，≤≤，由此得，．所以()()．说明本题借助于，，找到了与，的关系表达式．整除．根据一个数能被整除的特征有αβ(为自然数)，即αβ(为自然数)．又由于≤α≤，≤β≤，则有≤αβ≤，从而有αβ或αβ．①同理，按照一个数被整除的特征有αβ或αβ．②①与②相结合，并考虑≤α≤，≤β≤，故只有α，β．所以原自然数为．例我手中的卡片上写有一个三位数，并且个位数不为零，现将个位与百位数字对调，取两数的差(大数减小数)，将所得差的三位数与此差的个位、百位数字对调后的三位数相加，最后的和是多少？××(××)××××()×()．因是三位数，所以≤≤，≤≤．所以≤≤．差对调后为＇()××()，所以＇()×()()××()．故所求为．说明本例中，，作为参数被引进，但运算最终又被消去了，而无须求出它们的值．这正是“设而不求”的未知数的典型例子．在列方程解应用题中，更是经常用到增设参数的方法，下面再举几个例题．例从两个重量分别为千克()和千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？分析由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已知，为列方程创造条件．解法设所切下的合金的重量为千克，重千克的合金的含铜百分数为，重千克的合金的含铜百分数为(≠)，于是有整理得()()．因为≠，所以≠，因此，即所切下的合金重千克．解法设从重千克的合金上切下的千克中含铜千克，从重千克的合金上切下的千克中含铜千克(≠)，则这两个合金含整理得 ()()．因为≠，所以≠，因此，即所切下的合金重千克．说明在解含参数的方程时，一般情况下可以把参数消去，转化成只含有待求未知数的一般方程，也就是说应用题的解答与参数的数值无关．例某队伍长米()，在行进中排尾的一个战士因事赶到排头，然后立即返回，当这个战士回到排尾时，全队已前进米，如果队伍和这个战士行进的速度都不改变，求这个战士走过的路程．解法设这个战士走过的路程为米，所需要的时间为小时()，消去参数得解之得解法设这个战士的行进速度为米小时，队伍行进的速度为因此所以这个战士所走距离为说明在同一个问题中，由于考虑问题的角度不同，所以增设的参数也会有所不同(如上例中的两种解法)．练习九字)，又是的倍数，且被除余，那么等于多少？．五个人要完成某项工作，如果甲、乙、丙三人同时工作需小时；时；乙、丙、戊同时工作，需用小时，问五个人同时工作需用多少小时完成？．公共汽车每隔分钟()发车一次，小红在大街上行走，发辆公共汽车，如果公共汽车与小红行进的速度都是匀速的，则为多少？个人整理，仅供交流学习----------------------------- ----------------------------- ----------------------------- -----------------------------。
初一奥赛培训17：二元一次不定方程的解法(1)
初一奥赛培训17：二元一次不定方程的解法一、解答题（共15小题，满分150分）1、小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？2、求不定方程x﹣y=2的正整数解．3、求证：如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①，有一组整数解x0，y0，则此方程的一切整数解可以表示为，其中t=0，±1，±2，±3，…．4、求11x+15y=7的整数解．5、求方程6x+22y=90的非负整数解．6、求方程7x+19y=213的所有正整数解．7、求方程37x+107y=25的整数解．8、某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？9、求方程9x+24y﹣5z=1000的整数解．10、今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？11、求下列不定方程的整数解：（1）72x+157y=1；（2）9x+21y=144；（3）103x﹣91y=5．12、求下列不定方程的正整数解：（1）3x﹣5y=19；（2）12x+5y=125．13、求下列不定方程的整数解：（1）5x+8y+19z=50；（2）39x﹣24y+9z=78．14、求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解．15、求不定方程组的正整数解．答案与评分标准初一奥赛培训17：二元一次不定方程的解法一、解答题（共15小题，满分150分）1、小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？考点：二元一次方程的应用。
分析：通过理解题意，我们可以知道本题中存在一个等量关系，即钱数和买橡皮铅笔花去的数目是相等的，根据这一等量关系，可以列出方程求解作答．解答：解：设小张买了x块橡皮，y支铅笔，则根据题意得方程：3x+11y=50．这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．因为铅笔每支1角（1分），所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．若y=0，则x=，不是整数，不合题意；若y=1，则x=13，是整数，符合题意；若y=2，则x=，不是整数，不合题意；若y=3，则x=，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意．所以，这个方程有两组正整数解，即或；答：5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．故答案为：2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．点评：本题解题的关键在于，找到题目中所给的等量关系，再根据这一等量关系，列出方程求解作答，另外应特别注意，实际问题实际分析．2、求不定方程x﹣y=2的正整数解．考点：解二元一次方程。
【七年级奥数】第13讲 “设而不求”（例题练习）
第13讲“设而不求”——例题一、第13讲“设而不求”（例题部分）1.一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个粗细相同的进水管.打开4个进水管时，需要5小时注满水池.打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池.现在要在2小时内将水池注满，至少要打开多少个进水管?【答案】解：设每个进水管1小时的注水量为a，排水管1小时的排水量为b,设2小时注满水池需要打开x个进水管，则由题意，得这方程组只有两个方程，却有三个未知数.在一般情况下是不能确定这三个未知数的值的.但由方程组的特点，我们可以求出x的值，而不用具体求出辅助未知数a、b的值.由①得4a-6=6b-3b，即a=b. ③将③代入②，得2(ax-a)一15(2a-a)，2ax=17a.所以x=8.5.水管当然不能有半个，所以至少要打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满.答：至少需打开9个进水管.【解析】【分析】本题若只设一个未知数x，等量关系就不太明显,因此，我们又设了辅助未知数a与b，从而列出了含有三个未知数、两个方程的方程组.再根据这个方程组本身的特点，在不求a与b的情况下，求得x的值.2.小强上山时的速度为3千米／时.到达山顶后，沿原路下山，下山时的速度为5千米／时.求小强在整个过程中的平均速度.【答案】解：设小强上山时的路程为s千米，则上山所用的时间为小时.下山的路程也是s千米，下山所用时间时.因此，在整个过程中，总的路程为2s，总的时间为了+，根据平均速度的计算公式；得=答：小强在整个过程中的平均速度为千米／时.【解析】【分析】不可粗心地认为平均速度为=4(千米／时).这种错误是由于对平均速度的概念不太清楚.我们知道，平均速度=总路程÷总时问，而题设中并未给出这个总路程：因此我们引入了辅助未知数s.在列出算式后，我们发现s并不用求，它在计算过程中自然消去了.3.小明和小亮同时出发，从甲地往乙地.小明走完全程的一半时，小亮才走了l6千米.小亮走完全程的一半时，小明已走了25千米.小明走完全程时，小亮未走完的路程还有多少千米?【答案】解：设半程长为s千米，小明的速度为每小时x千米，小亮的速度为每小时y千米.由于在相同时问里走过的距离与速度成正比，所以由①、②得即由s≥0，得s=20.2×(20-16)=8.答:小亮未走完的路程还有8千米.【解析】【分析】设半程长为s千米，小明的速度为每小时x千米，小亮的速度为每小时y千米.由于在相同时问里走过的距离与速度成正比，根据题意列出方程，从而得出半程s值，再由题意求得答案.4.A、B、C、D、E五个人做一项工作．若A、B、C、D四人一起做，8天可完工．若B、C、D、E 四人一起做，6天可完工.若A、E两人一起做，12天可完工．若A一个人单独做，多少天才能完工? 【答案】解：设总工作量为1，A、B、C、D、E每人每天完成的工作量分别为a、b、c、d、e．根据题意得①-②得a-e=-④③十④得2a=a=所以，A一人单独做，需=48（天）才能完工.答：A一人单独做，需48天才能完工．【解析】【分析】设总工作量为1，A、B、C、D、E每人每天完成的工作量分别为a、b、c、d、e．根据工作效率=工作总量÷工作时间，结合题意列出方程，解之可求得A的工作效率，再由工作时间=工作总量÷工作效率求得答案.5.如图，在一个梯形内有两块面积分别为10和12的三角形．已知梯形的上底长是下底长的，求图中阴影部分的面积．【答案】解：设这个梯形的上底长为2a，下底长为3a．梯形的高是面积为10、12的两个三角形的高的和，即为梯形的面积为：所以，阴影部分面积为45-10-12=23.【解析】【分析】根据题意设这个梯形的上底长为2a，下底长为3a；再由题中给出的两个三角形的面积以及三角形面积公式可求得梯形的高为，根据梯形面积=（上底+下底）×高，由此求得梯形面积，阴影部分面积=梯形面积-两个三角形面积即可求得.6.一个十位数字为0的三位数，恰好等于数字和的67倍.交换个位与百位数字后得到一个新的三位数．新的数是数字和的m倍，求m的值．【答案】解：设原三位数的百位数字为x，个位数字为y．由题意，得①+②得由x+y>0，得67+m=101，m=34．答:m的值为34．【解析】【分析】设原三位数的百位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程，再两个方程相加，由x+y>0得67+m=101，解之即可得m值.7.设a1，a2，…，a1999,a2000都是正数，M=(a1+a2+…+a1999)(a2+a3+…+a2000)，N=(a1+a2+…+a2000)(a2+a3+…+a1999)．试比较M与N的大小．【答案】解：设x=a2+a3+…+a1999，则M=(a1+x)(x+a2000)=x2+(a1+a2000)x+a1a2000，N=(a1+x+a2000)x=x2+(a1+a2000)x．所以，M-N=a1a2000．由于以a1>0，a2000>0，故a1a2000>0，即M-N>0，亦即M>N．答:M>N．【解析】【分析】分析本题粗看之下，与“设而不求”好像没有什么关系．但仔细观察本题的特点，发现不管M和N的哪一个因式，都有a2+a3+…+a1999．若用乘法展开，则项数太多，难以比较大小．而令a2+a3+…+a1999=x，则问题可迎刃而解。
初中竞赛数学27.不定方程、方程组(含答案)
27.不定方程、方程组知识纵横不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),•其特点是解往往有无穷多个,不能惟一确定.对于不定方程(组),我们往往限定只求整数解,甚至只求正整数解,•加上条件限制后,解就可确定.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)•常常转化为二元一次不定方程问题加以解决,与之相关的性质有:设a 、b 、c 、d 为整数,则不定方程ax+by=c 有如下两个重要命题: (1)若(a,b)=d,且d c,则不定方程ax+by=c 没有整数解;(2)若x 0,y 0是方程ax+by=c 且(a,b)=1的一组整数解(称特解),则00x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩(t 为整数)是方程的全部整数解(称通解).解不定方程(组),没有现成的模式、固定的方法可循，•需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。
例题求解【例１】正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6,则m 的最大值为________. (2000年新加坡数学竞赛题)思路点拨 把m 用含n 的代数式表示,并分离其整数部分(简称分离整系数法),再结合整除知识,求出m 的最大值. 解:75 提示:m=968n n --=9+668n -,n=9时,m 最大值为75. 【例2】如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔4千米设一个速度限制标志,而且从千米处开始,每隔9千米设一个测速照相机标志,则刚好在19•千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( ).A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米(2003年河南省竞赛题) 思路点拨 设置限速标志、照相机标志千米数分别表示为3+4x 、10+9y(x,y•为自然数),问题转化为求不定方程3+4x=10+9y的正整数解.解:选C 提示:x=794y+=2y+1+34y+,4│y+3,135xy=⎧⎨=⎩为所求的解.【例3】(1)求方程15x+52y=6的所有整数解.(2)求方程x+y=x2-xy+y2的整数解. (莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程11156x y z++=正整数解. (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨对于(1)通过观察或辗转相除法,先求出特解.对于(2)易想到完全平方公式,从配方入手;对于(2)易知x,y,z都大于1,不妨设1<x≤y≤z,则1x≥1y≥1z,•将复杂的三元不定方程转化为一元不等式,通过解不等式对某个未知数的取值作出估计,逐步缩小其取值范围,求出其结果.解:(1)观察易得一个特解x=42,y=-12,原方程所有整数解为42521215x ty t=-⎧⎨=-+⎩(t为整数).解法2:x=-4y+6815y+,令6815y+=t1,得y=2t1-168t+,令168t+=t,得t=8t-6,化简得42521215(x ty t t=-⎧⎨=-+⎩为整数)(2)原方程化为(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2=2,由此得方程的解为(0,0),(2,2),(1,0),(0,1),(2,1),(1,2)(3)提示: 1x<1x+1y+1z≤3x,即1x<56≤3x,由此得x=2或3,当x=2时, 1x<1y+1z=56-12=13≤1y+1y=2y，即1y<13≤2y,由此得y=4或5或6,同理当x=3时,y=3或4,由此可得当1≤x≤y≤z时,(x,y,z)共有(2,4),(4,2,12),(4,12,2),•(12,2,4),(12,4,2),(2,6,6),(6,2,6),(6,6,2),(3,3,6),(3,6,3),(6,3,3),(3,4,4),(4,4,3),(4,3,4)【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终盒内都剩一粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子?(2002年重庆市竞赛题)思路点拨 无论怎样取,盒子里的棋子数不变,恰当设未知数,•把问题转化为求不定方程的正整数解.解:提示:设盒子里共有x 粒棋子,则x 被2、3、4、6的最小公倍数12除时,余数为1,即x=12a+1(a 为自然数),又x=11b(b 为自然数),得12a+1=11b,b=12111a + =a+111a +,11│a+1• 因0<x ≤200,故0<12a+1≤200,得0<a<16712,a=10,所以x=12×10+1=•121,•即盒子里共有121粒棋子.【例5】中国百鸡问题:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何? (出自中国数学家张丘建的著作《算经》)思路点拨 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为x,y,z,则有100531003x y z zx y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩通过消元,将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解.解:消去方程组中的z,得7x+4y=100,显然,(0,25)是方程的一个特解,•所以方程的通解为4257x ty t=-⎧⎨=+⎩(t 为整数),于是有t=100-x-y=100+4t-(25+7t)=75-3t,由x,y,z ≥0且t•为整数得4025707530t t t -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩,t=0,-1,-2,-3,将t 的值代入通解,得四组解 (x,y,z)=(0,25,75),(4,18,78) (8,11,81),(12,4,84)【例6】甲组同学每人有28个核桃,乙组同学每人有30个核桃,•丙组同学每人有31个核桃,三组的核桃总数是365个,问三个小组共有多少名同学?(2001年海峡两岸友谊赛试题)思路点拨 设甲组同学a 人,乙组学生b 人,丙组学生c 人,由题意得28a+30b+31c=365,怎样解三元一次不定方程?运用放缩法,从求出a+b+c 的取值范围入手.解:设甲组、乙组、丙组分别有学生a 人、b 人、c 人,则28a+30b+31c=365 因28(a+b+c)<28a+30b+31c=365,得a+b+c<36528<13.04 所以a+b+c ≤13因31(a+b+c)>28a+30b+31c=365,得(a+b+c)>36531>11.7 所以a+b+c ≥12因此,a+b+c=12或13当a+b+c=13时,得2b+3c=1,此方程无正整数解.故a+b+c≠13,a+b+c=12学力训练一、基础夯实1.已知x,y,z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则x+2y+3z=_______.(2002年山东省竞赛题)2.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),那么22222223657x y zx y z++++的值为________.3.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张,每种邮票至少买一张,共有______种不同的买法.4.购买512345则55.希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个,其总价值为330元,•这三种球的价格分别是足球每个60元,篮球每个30元,排球每个10个,•那么其中排球有________个. (2003年温州市中考题)6.方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有( ).A.1组B.2组C.4组D.无数组7.三元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( ).A.20001999个B.19992000个C.2001000个D.2001999个 (第11届“希望杯”邀请赛试题)8.以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式,a、b、c、d、e、f各代表一个数(不一定相同),则a+b+c+d+e+f=( ).abcdef× 4efabcdA.27B.24C.30D.无法确定 (“五羊杯”邀请赛试题)9.求下列方程的整数解: (1)11x+5y=7; (2)4x+y=3xy.10.在车站开始检票时,有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.•检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站,设旅客按固定的速度增加,•检票口检票的速度也是固定的,若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;•如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以便后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口? (2001年广州市中考题)11.下面是同学们玩过的“锤子、剪子、•布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”。
初中数学竞赛列方程解应用题(含答案)
初中数学竞赛列方程解应用题(含答案)在小学数学中，我们研究了应用题的算术解法和常见的典型应用题。
然而，算术解法往往只能从已知条件出发推出结论，不允许未知数参与计算。
因此，对于较复杂的应用题，使用算术方法可能会比较困难。
相比之下，列方程的方法更为灵活，因为未知数和已知数都是运算对象，通过找出“未知”和“已知”之间的相等关系，即列出方程（或方程组），可以解决问题。
因此，对于应用题，列方程的方法往往比算术解法更易于思考和求解。
列方程解应用题的一般步骤是：审题、设未知数、找出相等关系、列方程、解方程和检验作答。
其中，列方程是关键的一步，其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来。
要建立这种相等关系，必须对题目进行细致分析，有些相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析。
下面举两个例子来说明如何列方程解应用题。
第一个例子是：求一个六位数，这个六位数满足：如果把它乘以10再加1，得到的结果是3的倍数；如果把它乘以3再加1，得到的结果是10的倍数。
我们可以设这个六位数为x，那么根据题意，可以列出两个方程式：10x+1=3y 和 3x+1=10z。
解这两个方程，可以得到x=.因此，这个六位数为.第二个例子是：有一支队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一名通讯员，他因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头，并立即返回排尾，共用了10分50秒。
问：队伍有多长？这是一道“追及又相遇”的问题。
我们可以设通讯员从末尾到排头用了x秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒。
根据题意，可以列出方程式：2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。
解这个方程，可以得到x=500.因此，队伍长为（2.6-1.4）×500=600米。
即8-a = (8+a)/2，解得a=2千米/时。
暴雨时水流速度变为原来的2倍，即4千米/时。
设顺水行驶的时间为t，则逆水行驶的时间为2t。
根据行程公式，有xt/(8+2) + xt/(8-2) = 9。
七年级数学秋季竞赛第26讲 方程应用题综合(设而不求,实际问题等)
方程应用题综合姓名：日期：设而不求：有些应用题，我们需设出几个未知数，再根据题目中的等量关系将几个未知数之间的关系表示出来，从而求出要求的量.（设而不求也是辅助设元的一种）生活实际问题：应用题联系生活实际，解决我们身边的问题【典型例题】设而不求例1、有一片牧场，草每天都在均匀地生长（即草每天的增长量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的，问：（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？例2、A、B、C三个微型机器人围绕一个圆形轨道高速运动，它们顺时针同时同地地出发后，A在2秒钟时追上B，2.5秒钟时追上C，当C追上B时，C和B的运动路程的比是3︰2.问第1分钟时，A围绕这个圆形轨道运动了多少圈？生活实际问题例3、某地区的民用电，按白天时段和晚间时段规定了不同的单价，某户8月份白天时段用电量比晚间时段用电量多50%，9月份白天时段用电量比晚间时段用电量少60%，结果9月份的用电量虽比8月份的用电量多20%，但9月份的电费却比8月份的电费少10%.求该地区晚间时段民用电的单价比白天时段的单价低的百分数.例4、据了解，火车票价按“总里程数实际乘车里程数全程参考价⨯”的方法来确定．已知A 站至站总里程数为1500千米，全程参考价为180元．下表是沿途各站至站的里程数：例如，要确定从B 站至E 站火车票价，其票价为8736.8715004021130180≈=-⨯(元)．(1) 求A 站至F 站的火车票价(结果精确到1元)；(2) 旅客王大妈乘火车去女儿家，上车过两站后拿着火车票问乘务员：我快到站了吗？乘务员看到王大妈手中票价是66元，马上说下一站就到了．请问王大妈是在哪一站下车的？（要求写出解答过程）．【练习与拓展】1、2007年8月中旬，某市受台风的影响后，部分街道路面积水比较严重。
为了改善这 一状况，市政公司决定将一总长为1200m 的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工。
12设而不求
《数学思维与能力训练》辅导讲义姓名辅导时间设而不求【知识拓展】1、“设而不求”，就是在列方程(组) 解应用题时，除了应设的未知数外，增加一些辅助未知数，其目的不是要具体的求出它的值，而是以此作为桥梁，沟通数量之间的关系，为列方程(组) 解应用问题创造条件。
2、“设而不求”，是数学解题中的一个重要方法。
它对于解决数量关系比较复杂或者已知条件较少的综合题十分有效，这种方法应用的关键是如何选择辅助未知数。
【夯实基础】［例题1］甲、乙二人在一圆形跑道上跑步，甲用40 秒就能跑完一圈，乙反向跑每15 秒和甲相遇一次，求乙跑完一圈需要多少时间？〖小试牛刀〗1、某船逆水航行，船员不小心将一木桶掉入水中，当发现时时间已过5分钟，现掉转船头去追赶木桶，问过多久才能追上？2、某队伍长1998米，在行进中排尾的一个战士因事赶到排头，然后立即返回，当这个战士到排尾时，全队已前进1998米，如果队伍和这个战士的速度不变，求这个战士走过的路程。
3、一个人从甲地步行去乙地，第一天行若干公里，第二天起每一天都比前一天多走同样的路程，这样用10天可以到达乙地，如果每天都以第一天的速度步行，则用15天可以到达乙地，如果每天都以第1种走法的最后一天的速度步行，甲几天可以到达乙地？［例题2］小强上山时的速度为3 千米／小时，到达山顶后，沿原路下山，下山时的速度为 5 千米／小时，求小强在整个过程中的平均速度。
1、小江上山时每小时走4 千米，到达山顶后即沿原路下山，每小时走6 千米，求小江在整个过程中的平均速度？2、某船顺水航行每小时行10 千米，逆水航行每小时行6 千米，则该船在往返过程中的平均速度是多少？［例题3］若x y za b b c c a==---，求x + y + z 的值已知多项式ax 5 + bx 3 + cx + 3，当x = 3时，值为48，当x = – 3时，这个多项式的值是多少？［例题4］甲、乙、丙、丁四个人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29、23、21、17，这四个人中最大年龄与最小年龄的差是多少？［例题5］若干克4 %的盐水蒸发去一些水份后变成了浓度为10 %盐水，再加进300克4 %的盐水，混合后变成6.4 %的盐水，问最初有4 %盐水多少克？。
用“设而不求”解应用题的技巧
把方 程 组 按 整 体 “ ＋ Ｙ＋ ２ 、 Ｘ ＋ Ｘ ”“
３ 整理 ， ” 得
Ｉ Ｘ＋Ｙ＋２ ＋２ Ｘ＋３ ＝３ １ （ ） （ ） （ ｙ） ． ５ １ 设 第 一 盒 的 白色 棋 子 有 Ｘ颗 ， 黑
解
ｌＸ＋Ｙ ） （ （ ＋２ ＋３ Ｘ＋３ ） ．０ （ ） ｙ ＝４ ２ ２
用 “ 而 不 求 ＂ 应 用 题 的 技 巧 设 解
（ 重庆 市 合 川 太 和 中学 ４ １ ５ ） 陈开 龙 ０ ５ ５
有 的应 用 题 ， 其 是 竞 赛 中 的 某 些 应 尤 用 题 ， 常 要 适 当 多 设 一 些 未 知 数 才 便 于 常
列 方 程 组 求 解 ． 中 ， 设 的 未 知 数 在 解 其 多
参考 ．
例 ２ 有 甲、 、 三种货物 ， 购 甲 ３ 乙 丙 若 件 、 ７件 、 １件 ， 需 ３ １ 乙 丙 共 ．５元 ； 购 甲 若
整 体 代 入
一
、
４件 、 １ 乙 ０件 、 １件 ， 需 ４ ２ 丙 共 ． ０元 ．现 购甲 、 、 各 一 件 ， 需 多 少 元？ （９５ 乙 丙 共 １８ 年 全 国 初 中数 学 联 赛 题 ）
３（ １ Ｙ＋ ｚ）＝４ ５， ６
（） １ （） ３
２ ｘ ＋６ ｙ＋５ ｚ＝ １ ０ （ ） ２ ４ ３ １３ ２
故 Ｙ＋ ｚ＝１ ． ５
将 Ｙ＋ｚ＝１ ５整 体 代 人 （ ） ３，
得 Ｍ ＝ １ ０． ５
由 意 ． １ ＝４ 题 得 ＋６ ６ ｛ ｂ ｆ
（ ２ ）
答 ： ． 略 四 、 体 相 除 整
题 意 得
ｆａ ：ｂ 。 三
（ １ ） 、 ‘
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初一数学竞赛培训资料（13）：“设而不求”列方程（组）解应用题初一（）班姓名：学号：_ 对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外，还需要增设一些“设而不求”的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。
1、甲乙丙三人进行100米跑，当甲到达终点时，乙离终点还有10米，丙离终点还有20米，那么当乙到达终点时，丙离终点还有1119米。
2、某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人。
如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？（4.8）（参数）3、甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑自行车从甲、乙两地同时出发，相向而行。
已知每辆电车都每隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王都每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车。
已知电车行驶全程是56分钟，那么小张与小王相遇时行驶了多少分钟？（60）3、整片牧场上的草长得一样密，一样地快。
已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就得60天。
如果要在96天把牧场的草吃完，那么有20头牛。
4、有一满池水，池底有泉水总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机6天可抽干水池；若用21部A型抽水机8天也可抽干水池。
设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永远抽不干，则至多只用12 部A型抽水机抽水。
5、几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问共有多少名学生？（20）6、水池装有一个排水管和若干个每小时注水量相同的注水管，注水管注水时，排水管同时排水。
若用12个注水管注水，8小时可注满水池；若用9个注水管注水，24小时可注满水池。
现在用8个注水管注水，那么需要多少小时可注满水池？（72）7、打开A 、B 、C 每一个阀门，水就以各自不变的速度注入水槽.当所有三个阀门都打开时，注满水槽需1小时；只打开A 、C 两个阀门，需要1.5小时；如果只打开B 、C 两个阀门，需要2小时，若只打开A 、B 两个阀门时，注满水槽需几小时？（65）8、用5辆大车和4辆小车一次能运24吨货物；用10辆大车和2辆小车一次能运21吨货物，那么用1辆大车和1辆小车一次能运多少吨货物？方程组9、已知苹果1千克，雪梨0.5千克，蜜桃2千克共计6元；又知苹果2千克，雪梨1千克，蜜桃1千克共计4元．今要买苹果2千克，雪梨1千克，蜜桃2.5千克，应付多少钱？ 【8元】10、某工厂生产A 、B 、C 三种产品，它们的平价分别是11元、7元和2元．若把产品A 的件数与产品B 的件数互换，则产值增加28000元；若把产品B 的件数与产品C 的件数互换，则产值减少30000元．如果把产品A 的件数与产品C 的件数互换，则产值是增加还是减少？增加或减少了多少元？ 【增加9000元】11、某校毕业生共分9个班，每班人数相等，已知一班的男生比二、三两个班的女生总数多1，四、五、六三个班的女生总数比七、八、九三个班的男生总数多1，那么该校毕业生中男女生人数的比是多少？5：413、某商店出售A 、B 、C 三种商品，一月份C 商品的销售金额占商店销售总额的60％，预计二月份A 和B 商品的销售金额减少5％，要使二月份商店总销售金额比一月份的总销售金额增长10％，那么必须使C 商品的销售金额比一月份增长百分之几？【20％】14、三辆摩托车A ，B ，C 都从甲地到乙地，按原定速度A 车比B 车早到9分钟，三辆同时从甲地出发，10分钟后遇到下雨道路泥泞，A 车速度下降五分之二，B 车速度下降四分之一，C 车速度下降三分之一，结果三车同时到达乙地，那么C 车原定行驶全程要 多少分钟。
（50）（参数）15、摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C 市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说：“再走从C 市到这里路程的一半就到达目的地了”。
问A 、B 两市相距多少千米。
60016、某书店对顾客的优惠是：购买同一种100本以上按书价90%收款，某学校购买甲、乙两种书，其中乙种书的本数是甲种书的五分之三，甲种书获得优惠，乙种书得不到优惠，乙种书每本定价1.5元，甲种书所付的总钱数是乙种书的2倍。
问甲种书原来的书价每本是多少元？217、一游泳者沿河逆游而上，于A处将携带的物品（可漂浮）遗失，在继续游20分钟后发现物品遗失，即刻返回顺游，在距处2千米的B处追到物品，问这河的水流速度是多少？（3千米/小时）参数18、已知A、B两个港口相距300千米，若甲船顺水自A驶向B，乙船同时自B逆水驶向A，两船在C处相遇。
若乙船顺水自A驶向B，甲船同时自B逆水驶向A，两船在D处相遇，已知C、D相距30千米，甲船速度为27千米/小时，则乙船速度为多少千米/小时？（33或22111，参数，分式方程）19、汽车从甲地到乙地，先上坡后下坡共用3小时，当汽车从乙地返回甲地，上坡速度和下坡速度都不变，要用3.5小时。
如果此车从乙地返回甲地时，用上坡速度驶完全程，则需要4小时。
问当汽车以下坡速度驶完从乙地返回甲地的全程，需要多少小时？2.5某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的。
一个入口每分钟可以进入10个游客。
如果开放4个入口20分钟就没有人排队，现在开放6个入口，那么开门后多少分钟就没有人排队？20某火车站的检票口，在检票开始前已有一些人排队。
检票开始后每分钟有10分前来排队检票，一个检票口每分钟能让25人检票进站，如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队；如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队？3例10某工厂有九个车间，每个车间原有一样多的成品，每个车间每天能生产一样多的成品，而每个检验员检验的速度也一样快，A组8个检验员在两天之间将两个车间的所有成品（所有成品指原有的和后来生产的成品）检验完毕后，再去检验另两个车间的所有成品，又用了三天检验完毕，在此五天内，B组的检验员也检验完毕余下的五个车间的所有成品，问B组有几个检验员？解设每个车间原有成品x个，每天每个车间能生产y个成品；则一个车间生产两天的所有成品为（x+2y）个，一个车间生产5天的所有成品为(x+5y)个，由于A组的8个检验员每天的检验速度相等，可得解得：x=4y一个检验员一天的检验速度为：则有又因为B组所检验的是5个车间，这5个车间生产5天的所有成品为5(x+5y)个，而这5(x+5y)个成立要B组的人检验5天，所以B组的人一天能检验(x+5y)个.因为所有检验员的检验速度都相等，所以，(x+5y)个成品所需的检验员为：（人）.答：B组有12个检验员.例11 从两个重量分别为12千克(kg)和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？解法1设所切下的合金的重量为x千克，重12千克的合金的含铜百分数为p，重8千克的合金的含铜百分数为q(p≠q)，于是有：整理得5(q-p)x=24(q-p)．因为p≠q，所以q-p≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．解法2 设从重12千克的合金上切下的x 千克中含铜m 千克，从重8千克的合金上切下的x 千克中含铜n 千克(m ≠n)，则这两个合金含铜的百分数分别为m x 和n x,于是有整理得 5x(n-m)=24(n-m)．因为m ≠n ，所以n-m ≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．例12 某队伍长1998米(m)，在行进中排尾的一个战士因事赶到排头，然后立即返回，当这个战士回到排尾时，全队已前进1998米，如果队伍和这个战士行进的速度都不改变，求这个战士走过的路程．解法1 设这个战士走过的路程为s 米，所需要的时间为t 小时(h)，消去参数t 得解之得解法2 设这个战士的行进速度为V1米/小时，队伍行进的速度为因此所以这个战士所走距离为甲、乙两车早上7时20分分别从A和B两城出发，相向而行，10时40分两车相遇，此时甲车走的路程是乙车所走路程的4 5．(1) 求甲、乙两车相遇前平均每小时行驶了全部路程的几分之几？(2) 相遇后，两车继续按原速度前进，乙车途中遇雾，行车速度降为原来速度的35，甲车按原速度走完全部路程的1415时遇雨，行车速度降为原来速度的56，结果乙车到达A城和甲车到达B城的时间相同，试问乙车在什么时间遇雾？【215、16；10时56分】3、某公共汽车线路中间有10个站。
车有快车及慢车两种，快车的车速是慢车车速的1.2倍。
慢车每站都停，快车则只停靠中间1个站。
每站停留时间都是3分钟。
当某次慢车发出40分钟后，快车从同一始发站开出，两车恰好同时到达终点。
问：快车从起点到终点共需用多少时间？共需65+3=68（分）。
练习题：1、甲乙丙三人进行100米跑，当甲到达终点时，乙离终点还有10米，丙离终点还有20米，那么当乙到达终点时，丙离终点还有米。
2、甲乙两人同时从图书馆走向教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度都相同，那么（）（A）甲先到达教室（B）乙先到达教室（C）两人同时到达教室（D）不能确定3、整片牧场上的草长得一样密，一样地快。
已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就得60天。
如果要在96天内把牧场的草吃完，那么有头牛。
4、有一满池水，池底有泉水总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机6天可抽干水池；若用21部A型抽水机8天也可抽干水池。
设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永远抽不干，则至多只用部A型抽水机抽水。
5、几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问共有多少名学生？6、水池装有一个排水管和若干个每小时注水量相同的注水管，注水管注水时，排水管同时排水。
若用12个注水管注水，8小时可注满水池；若用9个注水管注水，24小时可注满水池。
现在用8个注水管注水，那么需要多少小时可注满水池？。