二元二次方程组解法ppt课件
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七年级数学下册7.1二元二次方程组和它的解课件2华东师大版
04 练习与巩固
基础练习题
1、求方程 组的解集
2x + y = 5
2、求方程 组的整数解
3x + 2y = 10
x-y=2
x + 3y = 16
提升练习题
1、解方程组
01
02
3x - 4y = 10
x + 2y = -5
03
04
2、求方程组的正整数解
2x + y = 6
05
06
x + 2y = 5
综合练习题
1、解方程组
2x - y = 3
x+y=3
x + 2y = -1
2、求方程组的非负整数解
x - y = -1
05 总结与回顾
本节课的重点回顾
二元二次方程组的定义
01
由两个未知数和两个或两个以上的方程组成的方程组。
二元二次方程组的解法
02
通过消元法或代入法求解。
二元二次方程组的解的性质
数学中的二元二次方程组问题
几何问题
在平面几何或立体几何中，求解 某些图形的面积、体积或解决与 图形相关的最值问题，往往需要
使用二元二次方程组。
代数问题
在解决某些复杂的代数问题时，如 因式分解、解方程等，可能需要使 用到二元二次方程组。
解析几何问题
在解析几何中，研究平面曲线的性 质和特征时，经常需要用到二元二 次方程组。
对于方程组$begin{cases}x^{2} + y^{2} = 1 x + y = 1 end{cases}$，我 们可以将第一个方程变形为$y^{2} = 1 - x^{2}$，然后将这个结果代入第二个 方程，得到一个关于x的一元一次方程， 求解这个一元一次方程得到x的值，最后 代入得到y的值。
21.5 二元二次方程和方程组 课件(12张ppt)
仅含有两个未知数 含有未知数的项的最高次数是2 整式方程
二元二次方程
关于x、y的二元二次方程的一般形式是：
ax2 bxy cy2 dx ey f 0
条件：
二次项
一次项 常数项
a、b、c、d、e、f都是常数
a、b、c中至少有一个不为零
当b=0时，a与d不全为0、c与e不全为0
说 一 说： 下列关于x,y方程中，哪些是二元二次方程？是二 元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项.
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想一想：
下列方程组中，哪些是二元二次方程组？
1、 3y 2
√
x2 xy x 2
xy x 20
2、 xy y 18 √
3、 x2 5 y √
3x y 1
3y2 x 1
4、
×
x 3y 5
思考与归纳 已知下列四对数值：
x
y
3 ;
2
x
y
2 ;
3
x
使该方程组有一个解是
x 2
y
1
3、判断下列二元二次方程解的情况
⑴ x2 y2 4y 0
x2 ( y 2)2 4 有无数个解
⑵ x2 y 2 4x 6 y 13 0
(x 2)2 ( y 3)2 0
只有一个解xy
2 3
⑶ x2 y 2 2x 4 y 10 0
21.5 二元二次方程和方程组
思考1： 如图，有一个大正方形，是由四个全等的直角三角 形与中间的小正方形拼成的.如果大正方形的面积是13， 小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长 分别是多少？
设较短的直角边为x，较长的直角边为y.
y
y x 1
可列出方程组：
二元二次方程
关于x、y的二元二次方程的一般形式是：
ax2 bxy cy2 dx ey f 0
条件：
二次项
一次项 常数项
a、b、c、d、e、f都是常数
a、b、c中至少有一个不为零
当b=0时，a与d不全为0、c与e不全为0
说 一 说： 下列关于x,y方程中，哪些是二元二次方程？是二 元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项.
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想一想：
下列方程组中，哪些是二元二次方程组？
1、 3y 2
√
x2 xy x 2
xy x 20
2、 xy y 18 √
3、 x2 5 y √
3x y 1
3y2 x 1
4、
×
x 3y 5
思考与归纳 已知下列四对数值：
x
y
3 ;
2
x
y
2 ;
3
x
使该方程组有一个解是
x 2
y
1
3、判断下列二元二次方程解的情况
⑴ x2 y2 4y 0
x2 ( y 2)2 4 有无数个解
⑵ x2 y 2 4x 6 y 13 0
(x 2)2 ( y 3)2 0
只有一个解xy
2 3
⑶ x2 y 2 2x 4 y 10 0
21.5 二元二次方程和方程组
思考1： 如图，有一个大正方形，是由四个全等的直角三角 形与中间的小正方形拼成的.如果大正方形的面积是13， 小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长 分别是多少？
设较短的直角边为x，较长的直角边为y.
y
y x 1
可列出方程组：
二元二次方程组的解法(第2课时)(课件)八年级数学下册(沪教版)
分别解这4个方程组，得原方程组的解是
x1 2,
x2
5 2
,
解：将方程①变形为 (x y)2 9.
y1 1;
y2
1; 2
两边开平方，得 x y 3 或 x y 3.
方程②左边分解因式，可变形为
(x y 1)(x y 2) 0. 得 x y 1 0 或 x y 2 0.
x3 1, y3 2;
x4
1, 2
y4
5 2
.
即 x ∴y原方1 或程组x 的y解是2. 5
1
原方程组x化1 为24,个二元x2一次2方, 程组x3： 1, x4 2 ,
y1 1;
y2
1; 2
y3 2;
y4
5. 2
课堂小结:
解二元二次方程组的基本思想是“消元”、“降次”. 代 入“消元”,因式分解“降次”. 由一个二元一次方程和一 个二元二次方程组成的方程组,一般采用代入消元法解. 由 两个都是二元二次方程(其中至少有一个可采用因式分解 法转化为两个二元一次方程)组成的方程组,采用因式分解 法解.
x
y
. 2
分别解这四个方程组，得原方程组的解是
x1 y1
3 2
1 2
;
x2
y2
1 2
3 2
;
x3 y3
3 ;
1
x4 y4
3 .
1
适时小结
二元二次方程 二元二次方程
两个方程组
二元一次方程 二元二次方程
四个方程组
二元一次方程 二元一次方程
解二元二次方程组的基本思路是
“消元”、“降次”.
y1
1 2
10 ;
10
x2
二元二次方程组的解法PPT教学课件
y
2
10 2
x2+y2=5 x-y=0
x2+y 2=5 x-3y =0
3 2
32
x3 2 x4 2
y
3
2 2
y
4
2 2
小结
一般步骤： 1、把能分解的方程转化为两个
二元一次方程； 2、把这两个二元一次方程分别与另一个方
程组成两个由一个二元一次方程和一个二 元二次方程组成的方程组； 3、解这两个方程组，得原方程组的解。
然后用__代__入__消__元____法来解。
(4)方
程组
x x
2 2
y2 20 6xy 9 y 2
可转化为 16
x2+y2=20
x2+y2=20
方程组____x-_3_y=_4_____ 和方程组__x-_3_y_=_-4______
然后用__代__入__消__元__法来解。
尝试题一
x2
2x
A.1/3
B. 3 C.1/2
3
D.
3 1
3
➢ 课前热身
8.(2004·西宁市)若分式 x2 2x 的3 值为0，则x＝
x1
-3。
9. (2004年·呼和浩特)已知 x 1 , xy 1
2 3
则
x2y xy2
x2 y2 =
1/4 .
10.化简：(
x
1
1
1
1 x
2
)
3x x1
1 3(x 1)
x3 y3
4 2
x4 y4
4 2
尝试题二
解下列方程组：
解：由①得
(1)x 2 3x
3xy 2 2 2xy
21.6二元二次方程及方程组解法(二)
① ②
① + ②×3 得 x2 + 2x – 35 = 0
‹# ›
拓
展3
求两个未知数的和与积
x y 25 xy 12
2 2
① ②
②×2 + ① 得 x + y = ±7 原方程组可化为
x y 7 x y 7 , xy 12 xy 12
如果二元二次方程组中有一个方程可以变形为两个 一次方程的形式，那么解这个方程组的问题可以转化 为解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成 的两个方程组，像这样解二元二次方程组的方法叫做 因式分解法
‹# ›
转化举例
2 2 x xy 2 y 2 x 2 xy 2 y 2 2 x 2 xy 2 y 2 2 , 2 2 x 3y 0 x 4 y 0 x 7 xy 12 y 0
②×2 - ①×3
得 4x + 9y – 6 = 0
原方程组可化为
2 x 2 4 xy 2 x y 2 0 4 x 9 y 6 0
‹# ›
拓
展2
消去一个未知数得到一元方程
2 2 x 15 xy 3 y 2 x 9 y 98 0 2 5 xy y 3 y 21 0
其中有一个方程可以分解成一次方程
2 2 x 2 xy 3 y 0 2 2 x 4 xy 4 y 1
x 2 y 1 x 2 y 1 , x 3y 0 x y 0 x 2 y 1 x 2 y 1 , x 3y 0 x y 0
拓
展5
简单的二元二次方程二-PPT文档资料
12.9 简单的二元 二次方程（二）
1．复习提问
（1）我们所学习的二元二次方程组有哪几种类型？ （2）解二元二次方程组的基本思想是什么？ （3）解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程 组的基本方法是什么？其主要步骤是什么？
x y 1 0 （4）解方程组： 2 2 x 4 y 8 （5）把下列各式分解因式：
解：由 （2）得
2 2 ( x y ) 4 0 y 4 0 即x ，或 x y 4 0.
因此，原方程组可转化为两个方程组
2 2 2 2 x 4 y 20 , x 4 y 20 , x y 4 0 . x y 4 0 .
①x 2 xy y 1 5 xy 6 y ；② x
2 2
2 2
2 ( x y ) 3 ( x 2 ) 2. ；③
2．例题讲解
例1 解方程组
2 2 x y 20 2 2 x 5 xy 6 y 0
( 1 ) ( 2 )
x 5 xy 6 y 并且可以分解为 ( ， x 2 y )( x 3 y ) 因此方程（2）可转化为 ( x 2 y )( x 3 y ) 0 3 y0 ， 2 y0 或x ，即 x 从而可分别
例2 解方程组
2 2 x 4 y 20 2 2 x 2 x y y 0
( 1 ) ( 2 )
分析：这个方程组也是由两个二元二次方程组成的方程组，通过认 真的观察与分析可以 发现方程（2）的左边是一个完全平方式，而右边是完全平方米， 因 此 将 右 边 16 移 到 左 边 后 可 利 用 平 方 差 公 式 进 行 分 解 ， 2 2 ( x y ) 4 ( x y 4 )( x y 4 ) x y 4 0，从而可仿例1 ，即 或 的解法进行 .0 x y 4
1．复习提问
（1）我们所学习的二元二次方程组有哪几种类型？ （2）解二元二次方程组的基本思想是什么？ （3）解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程 组的基本方法是什么？其主要步骤是什么？
x y 1 0 （4）解方程组： 2 2 x 4 y 8 （5）把下列各式分解因式：
解：由 （2）得
2 2 ( x y ) 4 0 y 4 0 即x ，或 x y 4 0.
因此，原方程组可转化为两个方程组
2 2 2 2 x 4 y 20 , x 4 y 20 , x y 4 0 . x y 4 0 .
①x 2 xy y 1 5 xy 6 y ；② x
2 2
2 2
2 ( x y ) 3 ( x 2 ) 2. ；③
2．例题讲解
例1 解方程组
2 2 x y 20 2 2 x 5 xy 6 y 0
( 1 ) ( 2 )
x 5 xy 6 y 并且可以分解为 ( ， x 2 y )( x 3 y ) 因此方程（2）可转化为 ( x 2 y )( x 3 y ) 0 3 y0 ， 2 y0 或x ，即 x 从而可分别
例2 解方程组
2 2 x 4 y 20 2 2 x 2 x y y 0
( 1 ) ( 2 )
分析：这个方程组也是由两个二元二次方程组成的方程组，通过认 真的观察与分析可以 发现方程（2）的左边是一个完全平方式，而右边是完全平方米， 因 此 将 右 边 16 移 到 左 边 后 可 利 用 平 方 差 公 式 进 行 分 解 ， 2 2 ( x y ) 4 ( x y 4 )( x y 4 ) x y 4 0，从而可仿例1 ，即 或 的解法进行 .0 x y 4
沪教版(上海)数学八年级第二学期21.6二元二次方程组解法(2)课件
,
x 5y 0 x 3y 0
达标练习
【A组】2、解下列方程组：
课堂小结
二元二次方程 二元二次方程
两个方程组
二元一次方程 二元二次方程
四个方程组
二元一次方程 二元一次方程
(x 3y)(x 3y) 0. 得 x 3y 0 或 x 3y 0.
方程②也可以分解因式. 方程②可变形为:
(x y)2 4.
方程②两边开平方，得：
x y 2 或 x y 2.
实践体验
得 x 3y 0 或 x 3y 0.
x2 9 y2 0,
①
x2 2xy y2 4. ②
y2, 2ຫໍສະໝຸດ xyy22
x x
2 2
y y
0 , 3
xx22yy03,
x x
3y 2y
0 , 3
x 3y 0 x 2y 3
x y 5 0 x y 5 0 x y 2 0 x y 2 0
x4y 5
,
x
4
y
5
,
x4y 5
,
x
4
y
5
x2 y2 25 x2 y2 25
（Ⅰ）x1
x 3 3y21, 0. x27 xy y2
x23.或（73Ⅱ）21,
x y 0. x2 x3xy1,y2
3x.4
1,
y1
1 7
21;
y2
1 7
21;
y3 1;
y4 1.
实践体验
x2 9 y2 0,
①
x2 2xy y2 4. ②
方程①的左边可以分解因式. 方程①可变形为:
可变形为 (x 3y)(x y) 0.
解方程组（Ⅰ），得
【最新】七年级数学下册7.1二元二次方程组和它的解课件1华东师大版 课件
5x+3y=34
【最新】七年级数学下册7.1二元 二次方程组和它的解课件1华东师
大版 课件
把具有相同未知数的两个二元 一次方程合在一起，就组成一
个二元一次方程组。
例如
x-y=2 和
x+1=2(y-1)
x+2y=7 3y+1=2
都是二元一次方程组。
做一做
（1）x=6 ,y=2适合方程x+y=8吗？x=5,y=3； x=4,y=4呢？
【最新】七年级数学下册7.1二元 二次方程组和它的解课件1华东师
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例１.(1)若3xm+1+5y2-n =3是一个二元一次方程，
则m=____０___，n=______１__．
(２)下列各组数中，A，B 是方程x-3y=2的解，
B，D
是方程2x-y=9的解。
x=-1 Ａ
y=-1
B x=5 C x=3
明
二次方程组和它的解课件1华东师
大版 课件
议一议 x+y=8
5x+3y=34
思考一:上述方程有什么特点? 思考二:它与你学过的一元一次方程比较
有什么区别? 思考三:你能给它取名吗? x2+ 2y = 3
思考四:请同学们用自己的语言归纳什么 叫二元一次方程，好吗？
含有两个未知数,并且未知数的 项的次数都是 1,像这样的方程叫做 二元一次方程。
y=1
y=2
x=2 D
y=-5
(３)方程组
x-3y=2 的解是上面方程组,并根据问题的实际意义
找出问题的解. 已知钢笔每支5元,圆珠笔每支2元,小明用16元钱买
了这两种笔共5支,试求小明买钢笔和圆珠笔各多少 支?
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把具有相同未知数的两个二元 一次方程合在一起，就组成一
个二元一次方程组。
例如
x-y=2 和
x+1=2(y-1)
x+2y=7 3y+1=2
都是二元一次方程组。
做一做
（1）x=6 ,y=2适合方程x+y=8吗？x=5,y=3； x=4,y=4呢？
【最新】七年级数学下册7.1二元 二次方程组和它的解课件1华东师
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例１.(1)若3xm+1+5y2-n =3是一个二元一次方程，
则m=____０___，n=______１__．
(２)下列各组数中，A，B 是方程x-3y=2的解，
B，D
是方程2x-y=9的解。
x=-1 Ａ
y=-1
B x=5 C x=3
明
二次方程组和它的解课件1华东师
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议一议 x+y=8
5x+3y=34
思考一:上述方程有什么特点? 思考二:它与你学过的一元一次方程比较
有什么区别? 思考三:你能给它取名吗? x2+ 2y = 3
思考四:请同学们用自己的语言归纳什么 叫二元一次方程，好吗？
含有两个未知数,并且未知数的 项的次数都是 1,像这样的方程叫做 二元一次方程。
y=1
y=2
x=2 D
y=-5
(３)方程组
x-3y=2 的解是上面方程组,并根据问题的实际意义
找出问题的解. 已知钢笔每支5元,圆珠笔每支2元,小明用16元钱买
了这两种笔共5支,试求小明买钢笔和圆珠笔各多少 支?
二元二次方程的解法
x2+y2=20 x-2y=0
x2+y2=20 x-3y=0
解这两个方程组，得原方程 组的解为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1
3
2
x
2
3
2
y1 2 y2 2
x3 y3
4 2
x4 y4
4 2
尝试题二
解下列方程组：
解：由①得
(1)x 2 3x
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 架台设湾第一条电报线，成为中国自 办电报的开端。
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制 。
(2)发展水：上1飞918机年，北洋政府在交通部下设“
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
代入消元基法本思
2.把下列各式因式分解
(1)x2-3xy+2y2 =(x-2y)(x(2)4x2-4xy+4y2y-)25 =(2x-y+5)(2x-y-5)
(3)(x+y)2-3(x+y)-4 =(x+y• (4) 4x2-9y2 =(2x-3y4)()2(xx++y3+y1) )
沪教版(上海)八年级下册数学 21.5：二元二次方程和方程组(共18张ppt)
学校组织全体师生到学校放映厅看戏， 如果每排只坐17名学生，则有5名同学没 有位置坐，如果每排坐23名学生，则放 映厅里空5排位置没有人坐，求去看戏的 师生总人数和放映厅的座位排数.
复习引新：
放映厅原有座位500个，每排座位数一样多， 管理人员对放映厅进行了改造，每排减少了2 个座位，并减少了5排，改造后的剧场座位数 恰好与学校师生总人数相同，问：剧场原有座 位的排数是多少？每排有多少个座位？
2、并非所有的二元二次方程组都能解出，我 们只学两类二元二次方程组的解法。
3、有些二元二次方程组，虽然不属于第一类、 第二类二元二次方程组，但经过转化，仍可用 第一类或第二类二元二次方程组的解法。
归纳概念：
仅含有两个未知数，各方程都是 整式方程，并且含有未知数的项的 最高次数是2，这样的方程组叫做 二元二次方程组.
反馈练习：
2、下列方程组中，哪些是二元二次
方程组？
x y 7 (1)xy 12
xy x 8 (2)xy y 7
x 5 y (3)3x y 2
(4)3y2 x 1 x 3y 5
(x-2)2+(y-3)2=0
只有一个解
（3）x2+y2-2x+4y+10=0 无解
(x-1)2+(y+2)2= -5
与二元一次方程不同，二元二次方程的解 可能有无数组解、只有一组解、或无解。
二元二次方程组的一般形式是：
其中一个方程的二次项系数不 全为零，另一个方程未知数的系数 不全为零。
二元二次方程组有如下两种类型：
3、已知下列四对数值：
x 3 x 2 x 2 x 3
y
; 2
y
3
;
y
; 3
复习引新：
放映厅原有座位500个，每排座位数一样多， 管理人员对放映厅进行了改造，每排减少了2 个座位，并减少了5排，改造后的剧场座位数 恰好与学校师生总人数相同，问：剧场原有座 位的排数是多少？每排有多少个座位？
2、并非所有的二元二次方程组都能解出，我 们只学两类二元二次方程组的解法。
3、有些二元二次方程组，虽然不属于第一类、 第二类二元二次方程组，但经过转化，仍可用 第一类或第二类二元二次方程组的解法。
归纳概念：
仅含有两个未知数，各方程都是 整式方程，并且含有未知数的项的 最高次数是2，这样的方程组叫做 二元二次方程组.
反馈练习：
2、下列方程组中，哪些是二元二次
方程组？
x y 7 (1)xy 12
xy x 8 (2)xy y 7
x 5 y (3)3x y 2
(4)3y2 x 1 x 3y 5
(x-2)2+(y-3)2=0
只有一个解
（3）x2+y2-2x+4y+10=0 无解
(x-1)2+(y+2)2= -5
与二元一次方程不同，二元二次方程的解 可能有无数组解、只有一组解、或无解。
二元二次方程组的一般形式是：
其中一个方程的二次项系数不 全为零，另一个方程未知数的系数 不全为零。
二元二次方程组有如下两种类型：
3、已知下列四对数值：
x 3 x 2 x 2 x 3
y
; 2
y
3
;
y
; 3
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1、其中有一个方程可以分解成一次方程
x 2
x2
xy 2 y2 7xy 12
y2
2
0
x2 xy 2 y2 x 3y 0
2 x2 xy 2 y2 , x 4y 0
2
2、两个方程都可以分解成一次方程
x2 2xy 3y2 0
x2
4xy
4y2
1
x 2y 1 x 2y 1 x 3y 0, x y 0
x 2y 1 x 2y 1 x 3y 0 , x y 0 4
新课讲解
3、两个方程都不含一次项
x2 2xy 3y2 9 ①
4
x2
5xy
6y2
30
②
②×3 - ①×10 得 2x2 + 5xy – 12y2 = 0
原方程组可化为
x2 2xy 3y2 9 x 4y 0
由二个二元二次方程 组成的方程组
1
1、二元二次方程组有哪几种类型？
二、一型和二、二型
2、解二元二次方程组的基本思想是什么？
消元和降次
3、解由一个二元一次方程和一个二元二次方程
组成的方程组的方法有哪些？
代入消元法和利用一元二次方程的根
与系数的关系解对称性方程组
2
新课引入
例1、解方程组
x x
2 2
x2 15xy 3y2 2x 9 y 98 0 ①
5xy
y2
3y
21
0
②
① + ②×3 得 x2 + 2x – 35 = 0
7
新课讲解
6、可以求得两个未知数的和与积
x2 y2 25
①Байду номын сангаас
xy 12
②
②×2 + ① 得 x + y = ±7
原方程组可化为
x y 7 x y 7 xy 12 , xy 12
y2 20 5xy 6 y2
0
① ②
解：由②得 (x – 2y)(x – 3y) = 0 ③
原方程组可化为
x2 y2 20 x2 y2 20
x 2y 0 x 3y 0
原方程组的解为
x1 y1
4 ,
2
x2 y2
4 ,
2
x3
y3
3
2 2
,
x4
y4
3 3
2 2
新课讲解
3、七种不同类型的方程组解法
10
• 学习永远是件快乐而有 趣的事！
• 方程（组）及其变换的 魅力将把你引入一个奇 妙的境界！
11
轻轻的, 我走了, 正如我轻轻的来, 我轻轻地点击鼠标,
12
x2 2xy 3y2 9 2x 3y 0
5
新课讲解
4、可消去二次项
2x2 4xy 2x y 2 0 ①
3x
2
6xy
x
3
y
0
②
②×2 - ①×3 得 4x + 9y – 6 = 0
原方程组可化为
2x2 4xy 2x y 2 0 4x 9y 6 0
6
新课讲解
5、可消去一个未知数得到一元方程
8
新课讲解
7、可以用除法降低次数
x2 y2 3
(x y)(x y) 3 ①
x
2
4xy
3y2
1
(x
3y)(x
y)
1
②
① ÷② 得 x y 3 x 3y
即 x = 2y
9
小结
1、解二元二次方程组的思路： 消元或降次；
2、解由两个二元二次方程组成的 方程组，根据方程组的特点， 导出一个一元方程或一次方程