ch4.1(zhu)实变函数第四章
实变函数第四章答案
实变函数第四章▉▉第4章 Lebesgue （习题及参考解答）E E A 1．设是)(x f 上的可积函数，如果对于上的任意可测子集，有()0Af x dx =∫，试证：=0，)(x f ].[.E e a }1)(|{}0)(|{1kx f x E x f x E k ≥=≠∞=∪k ∀∈ 证明 因为，，而}1)(|{kx f x E ≥}1)(|{}1)(|{k x f x E k x f x E −≤≥=∪，由已知，有111{||()|}{|()}{|()}()()()E x f x E x f x E x f x kkkf x dx f x dx f x dx ≥≥≤−=+∫∫∫000=+=.又因为11{|(){|()}1110(){|()}E x f x E x f x kkf x dx dx mE x f x k k k≥≥0=≥=≥∫∫≥ 并且11{|()}{|()1110(){|()E x f x E x f x kkf x dx dx mE x f x k k k ≥−≥−⎛⎞=≤−−≤⎜⎟⎝⎠∫∫}0−≤ 所以，0}1)(|{}1)(|{=−≤=≥kx f x mE k x f x mE .故,0}1)(|{}1)(|{}1|)(|{=−≤+≥=≥kx f x mE k x f x mE k x f x mE因此，11{|()0}[{|()|}k mE x f x m E x f x k∞=≠=≥∪111{|()|}00k k mE x f x k ∞∞==≤≥==∑∑0)(=x f .从而，，.].[.E e a2. 设，f g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数，都有a })(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥)()(x g x f =，试证：，从而，()Ef x dx =∫()Eg x dx ∫.证明 我们证与f g 是同一个简单函数序列的极限函数. ∞=1){m m ψ对于及，令m ∀∈ 12,,1,0−=mm k }21)(2|{,m m k m k x f k x E E +≤≤= })(|{2,m x f x E E mm m ≥=并且再令，则是互不相交的可测集，并且. 定义简单函数k m E ,k m m k E E m ,21==∪∑==mk m m k E m m x kx 20)(2)(,χψ. E x ∈)()(lim x f x m m =∞→ψ.下面证明：，m ∀∈ m m m E x 2,0∈E x ∈∀0+∞=)(0x f , 若. 事实上，，则，有)()(0∞→∞→=m m x m ψ)()(lim 00x f x m n =∞→ψ. 即, .所以, +∞<)(0x f 若，则可取正整数，当)(00x f m >0m m ≥∀时, 有}21)(2|{})(0|{1210mm m k k x f k x E m x f x E x m +<≤=<≤∈−=∪ 故，存在使得)120(−≤≤mm k k }21)(2|{0mm k x f k x E x +<≤∈ mm k x f k 21)(20+<≤. 因此, 即，m m k E m m kx k x mk m 2)(2)(20,==∑=χψ. 故000|()()|()()m m 0f x x f x x ψψ−=− 011()02222m m m m k k k f x +−<−=→=)()(lim 00x f x m n =∞→ψ.从而，实变函数第四章▉▉同理，对m ∀∈ ，定义简单函数列∑==mkm m k E m m x kx 20)(2)(*,χψ，其中：}21)(2|{*,mm k m k x g k x E E +<≤=，. 12,,1,0−=mm k 并且.})(|{*,m x g x E E k m ≥=E x ∈)()(lim 0x g x m n =∞→ψ.，同上一样，我们可以证明：因，有a ∀∈ })(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥，则，a ∀∈ })(|{b x f a x mE <≤})(|{b x g a x mE <≤=.从而，，有)120(−≤≤∀m m k k,1{|()}22m k m mk k mE mE x f x +=≤< *,1{|()}22m k m m k k mE x g x mE +=≤<=并且.即，，mm m m m m mEm x g x mE m x f x mE mE 2,*2,})(|{})(|{=≥=≥=N m ∈∀=)(x m ψ)(x m ϕ.)()(lim )(lim )(x g x x x f m m m m ===∞→∞→ϕψ.因此，⎪⎩⎪⎨⎧=为有理数，当为无理数，当x x x x x f 31)(3. 若，计算.∫1,0[)(dx x f x x E |]1,0[{0∈=01]1,0[E E −=为有理数}，解 设，则∫]1,0[)(dx x f +=∫∫1)()(]1,0[E dx x f dx x f∫∫∫+==0111E EE dx xdx xdx x10E E E ==+∫∫∫ 2]2[11101]1,0[====∫∫x dx xdx x .4. 设是中n 个可测集，若内每一点至少属于个集中的个集，证明：中至少有一个测度不小于n 1,,n E E ]1,0[]1,0[nq 1,,q n E E . 证明 令，其中：∑==ni E x x f i1)()(χi E χ为上的特征函数并且，有i E ]1,0[∈∀x q x x f ni E i≥=∑=1)()(χ所以，. 又因为q qdx dx x f =≥∫∫]1,0]1,0[)(1[0,1][0,1]()()inE i q f x dx x χ=≤=∑∫∫dx1n.1110,1()()i i nnnE E i i i i E i x dx x dx mE χχ=======∑∑∑∑∫∫nqmE i <，则 如果每个∑∑===⋅=>ni n i i q nq n n qmE 11nqmE i ≥这与矛盾. 从而，存在∑=≤ni i mE q 1(1)i i n ≤≤. 使得5. 设与都是f g E 上的可积函数，试证明：22g f +E 也是上可积函数.E 证明：（1）先证：设与都是)(x f )(xF 0()f x ≤上的可测函数并且E E ()F x ≤ ，若在].[.E e a )(x F 可积，则在)(x f 可积.N m l ∈∀,)()(0x F x f ≤≤ ，故].[.E e a ，因为事实上，l l x F x f )}({)}({0≤≤.因此，+∞<≤≤≤∫∫∫EE llE ldx x f dx x F dx x F dx x f mm)()}({)}({)}({，其中：m m S E E ∩=，}||||{∞<=x x S m . 从而，是∞=∫1})}({{l l E dx x F m实变函数第四章▉▉单调递增有上界的数列，故∫Edx x F )(∫∫∫≤=∞→EE ll E dx x F dx x f dx x f mm)()}({lim )(.又因单调递增有上界，所以存在，并且∫∞=mE m dx x f 1})({∫∞→mE l dx x f )(lim∫∫∫+∞<≤=∞→EE ll Edx x F dx x f dx x f m)()}({lim )(即. 所以，在+∞<≤∫dx x f E)(∫∞→∞→mE l l m dx x f )}({lim lim E )(x f 可积.E （2上可积.在E E 事实上，因为与在f g 上都可积. 所以, 与在||f ||g 上可积. 从而, +在E ||f ||g 上可积.||||f g ≤+E ，由（1）上可积.在6. 设+∞<mE ，是)(x f E 上的非负可测函数，，∞+<∫Edx x f )(})(|{k x f x E E k >=0lim =⋅∞→dx mE k k l .，试证明：k ∀∈ 证明 ，因为+∞<≤≤≤∫∫EE k dx x f dx x f kmE k)()(0所以)(0)(10∞→→≤≤∫k dx x f k mE Ek lim 0k k mE →∞=.故，又因为，由积分的绝对连续性（即，P85，定理4）, 对于∫+∞<Edx x f )(δ<mA 0>∀ε0>∃δE A ⊂,,使得对于任何可测集，恒有，∫Adx x f |)(|∫<=Adx x f ε)(.0>δN k ∈0对于，根据，存在0lim =∞→k k mE ，0k k ≥∀时，δ<k mE ，有ε<≤⋅≤∫dx x f mE k kE k )(0.0lim =⋅∞→k k mE k .从而, +∞<mE E E 7. 设为可测集，并且，为)(x f 上的非负可测函数，，试证:在}1)(|{+<≤=∧k x f k x E E k E )(x f 上可积当且仅当级数收敛.∧∞=∑kk Ekm 1证明 设，k }1)(|{+<≤=∧k x f k x E E k ∈ )(⇒，因为在)(x f E 可积，故111()()kkk k k k EE E f x dx f x dx k dx k mE ∞∞∞====≥=∑∑∑∫∫∫⋅即，级数收敛.∑∞=∧⋅1k kEm k k ∀∈ )(⇐, 因为，则}1)(|{+<≤=k x f k x E E k k E k k E mE kmE mE k dx k dx x f kk+=+=+≤∫∫)1()1()(.又因并且，根据Lebesgue 基本定理，有∑∞==1)()()(k E x x f x f k χdx x x f dx x f m kE EE )()()(χ∫∫=1()()()kE k EE f x dx f x x dx χ∞==∑∫∫11()()kk k k k E f x dx kmE mE ∞∞===≤+∑∑∫+∞<+=+=∑∑∑∞=∞=∞=k k k k k k k mE kmE mE kmE 111.E 从而，在)(x f 上可积.8. 设是 上的可积函数，证明：.∫=−+→],[00|)()(|limb a k dx x f b x f f实变函数第四章▉▉R ′0>∀ε)(x ϕ证明 （1）先证：，使得，存在时直线上的连续函数∫<−+→],[0|)()(|limb a k dx x f b x f ε.对于，记：N ∀∈ ⎪⎩⎪⎨⎧−<−>≤=N x f N N x f N N x f x f x f n )(,)(,|)(|,)()]([],[b a E x =∈，其中则0,|()|()[()](),()(),()N f x N f x f x f x N f x N f x N f x N≤⎧⎪−=−>⎨⎪+<−⎩因此，[,]|()[()]|N a b f x f x d −∫x=+dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|∫≤−dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|∫>−(||)|()[()]|N E f N f x f x d >−∫x =dx N x f N f E |)(|)|(|∫>+≤dx x f N f E |)(|)|(|∫>≤.0>∀ε0>∃δ因为在上是Lebesgue 可积的，故对于)(x f ],[b a ，，使∀δ<mA E A ⊂，恒有：Adx x f Aε<∫|)(|又因是单调的集列并且，则)|(|)|(|1+∞==>∞=f E n f E n ∩∞=1|)}(|{n f E =>=>∞→∞→)]|(|lim [)|(|lim n f E m n f mE n n 0)|(|=+∞=f mE .4|)(|)|(|ε<∫>dx x f N f E 0>δN ∃∈ .所以，对于，使得现在对于，取04>=NεηN x f )]([，由连续扩张定理，存在闭集F [,]a b ⊂)(x ϕ以及 上的连续函数，使得F F N x x f |)(|)]([ϕ=（A ）； NF E m 4)(ε<−（B ）；N x ≤|)(|ϕ（C ）. 因此，[,][]||[]|N N a b E Ff dx f dx ϕϕ−−=−∫∫([]||)|2()242N E Ff dx N m E F N Nεεϕ−≤+≤⋅−<⋅∫=从而，[,][,]()()||()[()]||[]()|N N a b a b f x x dx f x f x dx f x dx ϕϕ−≤−+−∫∫εεεϕ=+⋅≤−+≤∫∫>242|)(][||)(|2],[)|(|dx x f dx x f b a N N f E （2）再证：.0|)()(lim],[0=−+∫→dx x f b x f b a h 0>∀ε)(x ϕ，由（1）知，存在上的连续函数 使得对于3|)()(]1,1[εϕ<−∫+−dx x x f b a .)(x ϕ因为在上一致连续，则]1,1[+−b a )1(0<>∃δδ使得，当],[b a x ∈∀)1(||<<δh 时，恒有)(3|)()(|a b x h x −<−+εϕϕ.又因为[,]|()()|a b f x h f x dx +−≤∫[,]|()()|a b f x h x h dx ϕ+−+∫++dx x h x b a |)()(|],[∫−+ϕϕdx x f x b a |)()(|],[∫−ϕ],[b a x ∈(||1)h h δ∀<<(1,1x h a b )+∈−+，故并且对于，，有3|)()(|]1,1[εϕ<−≤∫+−dx x x f b a dx h x h x f b a |)()(|],[∫+−+ϕ所以，实变函数第四章▉▉≤−+∫dx x f h x f b a |)()(|],[[1,1]|()()|a b f x x d ϕ−+−∫xεεεε=++<333dx x x f dx x h x b a b a |)()(||)()(|],[],[∫∫−+−+ϕϕϕ+.从而，.0|)()(|lim],[0=−+∫→dx x f h x f b a h9. 设是f E 上的非负可积函数，是任意常数，满足c ∫≤≤Edx x f c )(0试证：存在，使得.c dx x f E =∫1)(E E ⊂1证明：设常数，合于，当时，存在，使得. 不妨设.∫≤≤Edx x f c )(0∫=Edx x f c )(c ∫≤≤Edx x f c )(0c dx x f E =∫1)(E E =1我们先证：在∫−=Et t dx x f t F ∩],[)()(),0[0+∞∈∀t),0[+∞上连续，，事事实上，对于0t t >∀，因为000[,][,]0()()()()t t Et t EF t F t f x dx f x dx −−≤−=−∫∫∩∩00[,][,]()()t t Et t Ef x dx f x dx −−=+∫∫∩∩δ<mA 0>∃δE A ⊂∀由积分的绝对连续性（p.85，定理4），，有，，2)(|)(|ε<=∫∫AAdx x f dx x f .δ<−≤∀00:t t t δ<−≤−00)),([t t E t t m ∩，故故，对于，因为εεε=+=+=−≤∫∫−−22)()()()(0],[],[000Ety t Et t dx x f dx x f t F t F ∩∩.)()(lim 00t F t F t t =+→. 所以，),0[0+∞∈∀t 同理，对，用上述完全类似方法可得.故，在)()(lim 00t F t F t t =−→)(t F ),0[+∞上连续.又因为（根据p.89的定义4）, 则，使得c dx x f dx x f EEt t t >=∫∫−+∞→)()(lim],[∩00>∃t c dx x f t F Et t >=∫−∩],[0)()(.)()0(0t F c F <<.故由于在闭区间上连续，由连续函数的介值定理，∃],0[0t 1t ∈)(t F E E t t E ⊂−=∩],[1110(0,)t ，有，使得c t F dx x f dx x f Et t E ===∫∫−)()()(1],[01∩.E 10. 设是g 上的可测函数，是大于1的数，是的共轭数，即p q p 111=+qp . 如果对任意，都有)(E L f P ∈1()fg L E ∈，试证：. )(E L g q∈11． 试证：1)1(1lim),0(1=+∫+∞∞→dt tkt kk k （i ）.dx x e dx x n x x n k ∫∫+∞−+∞−∞→=−),0(),0(11(lim αα(ii) .2≥∀k 证明：（i ）时，（寻找控制函数） )10(≤<t t 时，因为当tttttktt f kkk k 4111)1(1)(2111≤=≤≤+=；而当时，1>t 112111()(1)1((1)()2!k k k kk f t t k k t t k t t k k k=≤=−+⋅+++实变函数第四章▉▉224)211(2t t =−≤令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞≤<≤<=t t t tt F 1,410,4)(2从而，),0(+∞∈∀t ，并且在)()(t F t f k ≤)(t F ),0(+∞是R-可积的，故在)(t F ),0(+∞是L-可积的. 又因为tt kk tt kk kk k k k e etkt t ktt f −∞→∞→∞→∞→==⋅+=+=11lim])1[(1lim)1(1lim)(lim 11则由Lebesgue 控制收敛定理，∫∫∫∞∞→∞∞→∞∞→==+),0(),0(),0(1)(lim )(lim)1(1limdt t fdt t fdt tkt kk kk kk k10==∫+∞−dt e t ∫∞−=),0(dt et.(ii), 定义n ∀∈ 1(1),(0,]()0,(n n x ,)xx n f x nx n α−⎧−∈⎪=⎨⎪∈+∞⎩， 并且，1)(−−=αx ex F x),0(+∞∈x ),0(+∞∈∀x ， 则对于,有)(1(lim )(lim 11x F x e x nxx f x n n n n ==−=−−−∞→∞→αα. N n ∈∀，.)()(1x f x f n n +≤下面证明：ttx t G )1()(−=),0(+∞∈∀x ),1[+∞∈t ，取 事实上，，令，1ln()(ln txt t G −=，则▉▉第四章习题参考解答x t xt x t x t x t txt G t G −+−=−+−=′)1ln(11)1ln()()(2. x t xt x t h −+−=′)1ln()(，又因 又记222)()()(11)(x t xx t t x x t x t x tx t h −−−=−−−=′0)()()(222<−−=−−−=x t t x x t t tx x t x .xt xt x t G t G t h −+−=′=)1ln()()()(所以，关于单调递减并且故，t 0)(lim =∞→t h t ),1[+∞∈∀t ，有. 因此，0)(>t h 0)()()(>⋅=′t h t G t G .即, 在)(t G ),1[+∞n ∀∈ 单调增加. 从而，,)1(11()1()(1+=+−<−=+n G n x n x n G n n .所以,)()11()1()(1111x f x n x x n x x f n n n n +−+−=+−<−=αα.因此, ，n ∀∈ 1)()(|)(|−−=≤=αx e x F x f x f x n n ),0(+∞∈x，因为在1)(−−=αx e x F x ),0(+∞上可积，由Lebesgue 控制收敛定理，有∫∫∫+∞−−+∞∞→−∞→===−),0(1),0(),0(1)(lim )1(limdx x e dx x f dx x n x x n n n n n αα.+∞<mE 12. 设，试证明：在E 上当且仅当0⇒k f 0||1||lim =+∫∞→dx f f Ek k k . k ∀∈ 0>∀σ)(⇒，因为证明 ，实变函数第四章▉▉)1|(|]||1||[σσσ−≥=≥+k k k f E f f E 并且（在0⇒k f E 上），则我们有01|(|lim )||1||{lim =−≥=≥+∞→∞→σσσk k k k k f mE f f mE .0||1||⇒+k k f f E .故在上，1||1||≤+k k f f k ∀∈ +∞<mE ，由Lebesgue又因为对于，并且有界收敛定理，有00||1||lim ==+∫∫∞→E E k k k dx dx f f .0>∀σ)(⇐，因为对于(||)0(||)11kk E f EmE f dx σσσσσσ≥≤≥=++∫ ∫≥+Ef E k k k dx f f )|(|||1||σ≤)(0∞→→k . 则有0)|(|lim 10≤≥−≤∞→δσσk k f mE . 从而，0)|(|lim =≥∞→δk k f mE . 即.0⇒k f。
实变函数第四章复习题及解答(1)
第四章 复习题（一）一、判断题1、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负简单函数，则()d Ef x x ⎰一定存在。
（√ ）2、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负简单函数，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（× ） 3、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负简单函数，且0()d Ef x x ≤<+∞⎰，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（√ ）4、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负可测函数，则()d Ef x x ⎰一定存在。
（√ ）5、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负可测函数，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（× ） 6、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负简单函数，且0()d Ef x x ≤<+∞⎰，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（√ ）7、设()f x 是可测集nE R ⊆上的可测函数，则()d Ef x x ⎰一定存在。
（× ）8、设()f x 是可测集nE R ⊆上的可测函数，且()()f x L E +∈，()()f x L E -∈至少有一个成立，则()d Ef x x ⎰一定存在。
（√ ）9、设()f x 是可测集nE R ⊆上的可测函数，且()()f x L E +∈，()()f x L E -∈至少有一个成立，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（× ）10、设()f x 是可测集nE R ⊆上的可测函数， 若()()f x L E +∈且()()f x L E -∈，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（√ ）11、设()f x 是可测集nE R ⊆上的可测函数， 若()()f x L E ∈，则()d Ef x x -∞<<+∞⎰。
（√ ）12、设()f x 是可测集n E R ⊆上的可测函数， 若()()f x g x ≤且()()g x L E ∈，则()()f x L E ∈。
实变函数课件第四章可测函数 (2)
E Ei上,且f x在每个Ei上都可测,则f x在E上也可测.
i 1
定义3 设f x的定义域E可分为有限个互不相交的可测集
s
E1，E2， ，Es ，E Ei ,使f x在每个Ei上等于常数ci，
i 1
则称f x为简单函数.
定理4 设f x ,g x 在E上可测,则下列函数( 假定它们在
作业：13
定理2 设f (x)是E R上a.e.有限的可测函数,则对任意的 0, 存在闭集F E及整个R上的连续函数g(x)(F及g(x)依赖于 )， 使得在F上g(x) f (x)，且m(E \ F) .此外还可要求
sup g(x) sup f (x) 及inf g(x) inf f (x).
注：一个函数在其定义域中的每一个孤立点都是 连续的.
定理2 可测集E Rn上的连续函数都是可测函数.
例1 区间[a,b]上的连续函数和单调函数都是可测函数.
定理3 (1)设f x是可测集E上的可测函数,而E1 E为E的 可测子集,则f x 看作定义在E1上的函数时,它是E1上的可
测函数;
(2)设f x定义在有限个可测集Ei(i 1, 2, , s)的并集
R
F
R
F
作业：P51,1，P52,2
第4节 依测度收敛
定义 设{ fn}是E Rq上的一列a.e.有限的可测函数，若 有E上的a.e.有限的可测函数f (x)满足下列关系：
对任意
0,有lim mE[| n
fn
f
| ] 0，
则称函数列{ fn}以测度收敛于f ，或度量收敛于f ，
记为fn (x) f .
(4) 对任意有限实数a,b(a b), E[a f b] 都可测(但充要性要假定f (x)是有限函数).
实变函数(程其襄版)第一至四章课后习题答案
若集合A和B满足关系：对任意 ∈A,可以得到x∈B，则成A是B的子集，记为A B或B A，若A B但A并不与B相同，则称A是B的真子集.
例7. 若 在R上定义，且在[a,b]上有上界M，即任意对
∈[a,b]有 M.用集合语言表示为：[a,b] { ： M}.
用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法，请在看下例.
定理1
（交换律）
证明我们只证明
先设 则有 且有 于是这证来自了在证反过来的包含关系，设 ，则有 ,此即 ，因此 于是 。
综合起来，便是等式成立。
这表面，集合运算的分配律，在无限并的情况下依然成立
3、集合的差集和余集
若A和B是集合，称 为A和B是差集，A\B也可以记为A-B，如图1.3是A-B的示意图：
请读者注意：我们怎样把描述函数列性质的 语言，转换为集合语言。
例12 设 是定义在E上的函数列，若x是使 收敛与0的点，则对任意的 ，存在 ,使得对任意 即
顺便说明一下，一个集合的各个元素必须是彼此互异的，哪些事物是给定集合的元素必须是明确的，下面举出几个集合的例子。
例14，7 ，8，3四个自然数构成的集合。
例2全体自然数
例30和1之间的实数全体
例4 上的所有实函数全体
例5A,B,C三个字母构成的集合
例6平面上的向量全体
全体高个子并不构成一个集合，因为一个人究竟算不算高个子并没有明确的界限，有时难以判断他是否属于这个集合。
例1设 和 是定义在E上的函数，则对任意
例2.
例3若记
例4 若 是一族开区间，而 ，则存在
使得 （有限覆盖定理）
例5若 是定义在E上的函数，则
2、集合的交集
设A,B是任意两个集合，由一切既属于A又属于B的元素组成的集合C称为A和B的交集或积集，简称为交或积，记作 ,它可以表示为
实变函数--ch4可测函数
记 ，则 均为 可测集，且 ，令 得 ． ，从而， 有
．
由于 ，而 是完备测度，故 ．又由于 包含R中的开集全体 ，据 Th4.1.2的推论1知， 在每个 上可测，所以 ．这样 ， 是E上的 可测函数．
12．证：(1)由于 ，有 ，
．
(2)若 ，则显然 ；
若 ，则 ．
若闭集 满足 ，则 ，复记 为E即可．
其次，由于在变换 下， 具有相同的可测性与连续性，故可进一步假定 上的有界可测函数．以下分两步证明．
(A)设 上的简单函数，可记 ， ， 两两不交、可测， ．据 Th3.4.2(2)， ，使 ，
．
记 为E的闭子集，且 ．
下证 是 上的连续函数． ，存在唯一的 ，使 ．从而
．若 ，记“ ，a.e.于E”．
依测度收敛：设 A， 是E上的可测函数， ，有 ，称 在E上依测度 收敛于 ，记 或 ．
定理4.2.1．设 ,A, 是测度空间， 是 A上的可测函数列，若 于E，则存在E上的可测函数 ，使 于E．
证：存在零测集 ，使 ， ．令 ，则 在E上可测，且 于E．
推论．若 ,A, 是完备的测度空间，则 A上的可测函数列的a.e.收敛的极限函数必是E上的可测函数．
证：记 ， A， ． 在 上取值有限，且
，有 ．据引理有
．
于是， ．
从而 ．
定理4.2.4．(叶果洛夫定理)设 ,A, 是测度空间， A， ．可测函数列 在E上a.e.收敛于a.e.有限的函数 ．则 ， A，使 上一致收敛于 ．
(称 在E上近一致收敛于 ，记为 于E．)
证：记 ，则 A， ． ，且 在 上取值有限，由引理知 ， ．
，使 ．
(完整版)《实变函数》第四章可测函数
第四章 可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构。
§1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数， 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近， 这是可测函数的构造性特征。
本节难点 可测函数与简单函数的关系。
授课时数 4学时———---—-——-——-—-—--——-——————-—1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数（可取±∞）,若[],f a a R E>∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数。
2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。
注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集性质2 简单函数是可测函数若1nii E E ==⋃ （iE 可测且两两不交），()f x 在每个iE 上取常值ic ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0ii E i x E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f OE Oδεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续lim ()()x x f x f x →=若0,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有00(,)((),)0,0,()x f x x Of x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有00(,)((),)0,0,()x f x f OOδεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续）证明:任取[]x E f a ∈>， 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,xf x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f OE Oa δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a OE Eδ>⋂⊂。
(新)曹广福版实变函数与泛函分析第四章答案
第四章习题参考解答1．设)(x f 是E 上的可积函数，如果对于E 上的任意可测子集A ，有0)(=⎰dx x f A ，试证：)(x f ，].[.E e a证明：因为}1)(|{}0)(|{1k x f x E x f x E k ≥=≠∞= ，而N k ∈∀，}1)(|{kx f x E ≥}1)(|{}1)(|{kx f x E k x f x E -≤≥= .由已知，=+=-≤≥≥⎰⎰⎰kx f x E kx f x E kx f x E dx x f dx x f dx x f 1)(|{1)(|{1|)(|{)()()(000=+.又因为0}1)(|{11)(0}1)(|{}1)(|{≥≥=≥=≥≥⎰⎰kx f x mE k dx k dx x f kx f x E kx f x E ， 0}1)(|{1)1()(0}1)(|{}1)(|{≤-≤-=-≤=≥≥⎰⎰k x f x mE k dx k dx x f kx f x E kx f x E所以，0}1)(|{}1)(|{=-≤=≥k x f x mE k x f x mE .故,0}1)(|{}1)(|{}1|)(|{=-≤+≥=≥kx f x mE k x f x mE k x f x mE ,从而00}1|)(|{}1|)(|{[}0)(|{111==≥≤≥=≠∑∑∞=∞=∞=k k k k x f x mE k x f x E m x f x mE .即，0)(=x f ，].[.E e a .2.设f ，g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数a ，都有})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥，试证：)()(x g x f =，从而，=⎰dx x f E )(dx x g E⎰)(.证明：我们证f ，g 是同一个简单函数序列∞=1){m m ψ的极限函数.N m ∈∀及12,,1,0-=m m k ，令}21)(2|{,mm k m k x f k x E E +≤≤=，并且 })(|{2,m x f x E E m m m ≥=.则k m E ,是互不相交的可测集，并且k m m k E E m ,21== ，定义简单函数∑==mk m m k E m m x kx 20)(2)(,χψ. 下面证明：)()(lim x f x m m =∞→ψ，E x ∈.E x ∈∀0,若+∞=)(0x f ，则N m ∈∀，m m m E x 2,0∈，所以)()(0∞→∞→=m m x m ψ，即)()(lim 00x f x m n =∞→ψ；若+∞<)(0x f ，则可取正整数)(00x f m >，0m m ≥∀时,}21)(2|{})(0|{1210m m m k k x f k x E m x f x E x m +<≤=<≤∈-= .故，存在)120(-≤≤mm k k ， }21)(2|{0m m k x f k x E x +<≤∈.即，m m k x f k 21)(20+<≤，m m k E m m k x k x mk m 2)(2)(20,==∑=χψ.所以，0212212)()()(|)()(|00000→=-+<-=-=-mm m m m m k k k x f x x f x x f ψψ，从而， )()(lim 00x f x m n =∞→ψ.同理，N m ∈∀，定义简单函数列∑==mkm m k E m m x kx 20)(2)(*,χψ，其中：}21)(2|{*,mm k m k x g k x E E +<≤=，12,,1,0-=mm k .})(|{*,m x g x E E k m ≥=.同上一样可证明：)()(lim 0x g x m n =∞→ψ，E x ∈.因为R a '∈∀，有})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥.故R a '∈∀，})(|{b x f a x mE <≤})(|{b x g a x mE <≤=.从而，)120(-≤≤∀mm k k ，有k m m m m m k m mE k x g k x mE k x f k x mE mE ,*,}21)(2|{}21)(2|{=+<≤=+<≤=m m m m m m mE m x g x mE m x f x mE mE 2,*2,})(|{})(|{=≥=≥=.即，N m ∈∀，=)(x m ψ)(x m ϕ.因此)()(lim )(lim )(x g x x x f m m m m ===∞→∞→ϕψ.3.若⎪⎩⎪⎨⎧=为有理数，当为无理数，当x x x x x f 31)(，计算⎰1,0[)(dx x f .解：设x x E |]1,0[{0∈=为有理数}，01]1,0[E E -=，则+=⎰⎰1)()(]1,0[E dx x f dx x f⎰]1,0[)(dx x f ⎰⎰⎰+==111E EE dx xdx xdx x=+==⎰⎰⎰1111E E E dx xdx xdx x2]2[11101]1,0[====⎰⎰x dx xdx x.4.设21,,E E 是]1,0[中n 个可测集，若]1,0[内每一点至少属于n 个集中的q个集，证明：21,,E E 中至少有一个测度不小于nq.证明：令∑==ni E x x f i1)()(χ，其中iEχ为i E 上的特征函数]1,0[∈∀x ，有q x x f ni E i≥=∑=1)()(χ，所以q qdx dx x f =≥⎰⎰]1,0]1,0[)(.∑∑⎰∑∑⎰⎰⎰========≤ni ni i E ni E ni E mE dx x dx x dx x f q i i 11111,0]1,0[]1,0[)()()(χχ.如果每个n qmE i <，则∑∑===⋅=>n i n i i q n q n n q mE 11.这与∑=≤ni i mE q 1矛盾.从而，)1(n i i ≤≤∃使得nqmE i ≥. 5.设f ，g 都是E 上的可积函数，试证明：22g f+也是E 上可积函数.证明：（1）先证：设)(x f 与)(x F 都是E 上的可测函数且)()(0x F x f ≤≤ ].[.E e a ，若)(x F 在E 可积，则)(x f 在E 可积.事实上，N m l ∈∀,，因为)()(0x F x f ≤≤ ].[.E e a ，故l l x F x f )}({)}({0≤≤，即+∞<≤≤≤⎰⎰⎰EE llE ldx x f dx x F dx x F dx x f mm)()}({)}({)}({，其中：m mS E E=，}||||{∞<=x x S m .从而∞=⎰1})}({{l l E dx x F m是单调递增有上界⎰Edx x F )(的数列，故：⎰⎰⎰≤=∞→EE ll E dx x F dx x f dx x f mm)()}({lim )(.又因为⎰∞=mE m dx x f 1})({单调递增有上界，所以⎰∞→mE l dx x f )(lim存在，并且⎰⎰⎰+∞<≤=∞→EE ll Edx x F dx x f dx x f m)()}({lim )(，即⎰∞→∞→mE ll m dx x f )}({lim lim+∞<≤⎰dx x f E)(.所以)(x f 在E 可积.（2）再证：22g f+在E 上可积.事实上，因为f ，g 在E 上可积，所以||f 与||g 在E 上可积，从而||f +||g 在E 上可积. 又因为||||22g f g f+≤+，由（1）。
实变函数论教案第四章
实变函数论教案第四章函数论与测度(实变函数论)是高等师范院校数学专业的一门必修课程,它是普通微积分学的继续,是现代分析数学的基础。
本课程的主要内容是n维欧氏空间上的Lebesgue 测度和Lebesgue积分理论。
教学中要突出Lebesgue 测度与积分论的中心地位,使学生较好地掌握测度与积分这两个基本分析工具,能熟悉集合分解等基本方法。
通过学习,使学生掌握一些近代抽象分析的基本思想,加深对数学分析中相关内容的理解;掌握实变函数的基本理论和方法第四章可测函数为了建立新的积分，我们已经对R中的一般集合定义了测度概念. 在本章中我们将定义可测函数的概念，讨论可测函数的性质. 我们会看到，可测函数类是包含连续函数类的一种范围相当广泛的函数类. 这个函数类对于四则运算是封闭的，而且对于极限运算也是封闭的. 我们还要讨论可测函数与连续函数的关系，从而进一步研究可测函数的结构. 最后研究可测函数的几种不同类型的收敛概念及其相互关系，使我们对可测函数有较深刻的理解.n__167;1 可测函数及其性质教学目的：使学生了解可测函数的原始定义及等价命题，掌握其运算性质。
本节重点：可测函数的定义及性质，几乎处处的概念。
在本书引言中指出，定义新的积分需要研究什么样的函数f(_)，使得对任何实数a,b，点集{_:a f(_) b}都有“长度”，即都是可测集.可测函数的概念就是由此产生的. 因为本章讨论的函数可以取值，所以在给出可测函数概念之前，我们要介绍有限函数的概念和包含在内的实数运算的规定.设E R，称f(_)是E上的有限函数，是说对任意的_ E，函数值f(_)都是有限实数.包含在内的实数运算作如下规定：（i）( ) ( ) ，( ) ( ) ；（ii）对任意的有限实数a，a ( ) ，a ( ) ；（iii）对任意的b 0，c 0，nb ，b ( ) ，c ，c ( ) ；（iv）( ) ( ) ( ) ( ) ，) ( )( ). ( ) (。
实变函数论课后答案解析第四章4
现设 连续，则 开集 ， 是开集，
记 ，可证 是一个 代数，且包含全部开集，从而包含全部 集
证1） 可测
2）若 ，则 显然也可测，
3）若 ，则 ， 可测， 可测 是 代数
连续，则 ， 包含全部开集，从而包含全部 集
为非奇异线性， 显然连续
方体半开半闭（显然为 集）， 可测
（i）坐标 之间的交换
（ii）
(iii)
在（i）的情形显然 （2.9）成立
在（ii）的情形下， 矩阵可由恒等矩阵在第一行乘以 而得到
从而可知 （2.9）式成立
在（iii）的情形，此时 （ ）
而且
（
则
反过来， ， 则
令 则 ，
则 ， ）
记
，则
（ ，则 ， ，则
，且 ，则反过来， ，则存在 ， Fra bibliotek使， ，且
实变函数论课后答案第四章4
第四章第四节习题
1．设 于 ， 于 ，证明： 于
证明： ，
（否则，若 ，而 ，
矛盾），则
（ ）
从而
2．设 于 ， ，且 于 ，证明 于
证明：由本节定理2（ 定理）从 知 的子列 使
于
设 ， ， 于 ，从条件 于 ，设
， , 于 上
令 ，则 ，且
故
，则
令 ，
故 有 ，从而命题得证
显然
周民强书P35思考题：
6．设 是定义在 上的实值函数族， 是可数集，则存在 （ ）使得 在 上收敛.
我怀疑本题有错：若不假设 是 上一致有界的，会有反例：
令 = ，设 这里 ，则显然任取无穷个 于 ，故 不会收敛！
时，
周民强《实变函数》解答 第四章 lebesgue积分
v W lim k→∞
Ek f (x)dx
f (x) E
V&VSVU 'VfV)V0VV1XVdVeVf 'V( g hVi Ex 5: fk(x)(k = 1,2,···) Rn
k→∞ j=1
E˜j
k→∞ Ek
E ⊂ Rn,
fk(x)dx ≤ fk+1(x)dx,
∞ k=1
Ek ,
f
∈ L(Ek)
(k = 1, 2, · · ·),
lim f (x)dx = f (x)dx.
k→∞ Ek
E
9¦@B oFk
|
}
x
¸
v
w
r
zv
1Ey ¹ v
¶f(x)
·vq
F=
9¦@ q
∞
Fk
vv
1
F
W
k=1
f (x)dx = lim f (x)dx.
678
E
E
lim fk(x)dx = lim fk(x)dx.
k→∞ E
E k→∞
j k B l m n 1 o p w q r 1 G H s t p w q Ek = {x : fk(x) > fk+1(x)}
r u v w r 1 o t u x y x y z 1E{ r s | } ~ W )
∞ k=1
Ek
,
f
∈
L(Ek )
(k = 1, 2, · · ·),
·
§
¨
|
}
x
f (x)dx = ∞
f (x)dx = lim
实变函数(程其襄版)第一至四章课后习题答案
.
3.集合相等
若集合A和B满足关系：A B且B A,则称A和B相等，记为A=B.
例9 设 在R上定义，且在R上有上界M，则 R={ ： M}={ ： M+1}
例10 若 在[a,b]上连续，则由连续函数的性质， ，其中
1.集合的表示
一个具体集合A可以通过例举其元素 来定义，可记
也可以通过该集合中的各个元素必须且只需满足的条件p来定义，并记为
A={x：x满足条件p}
如例1可以表示为｛4，7，8，3｝例3可以表示为
设A是一个集合，x是A的元素，我们称x属于A，记作 ，x不是A的元素，记作 。
为方便表达起见， 表示不含任何元素的空集，例如
(1)单射:对任意 ,若 ,使得 ;
(2)满射:对任意 ,存在 ,使得 .
则称A和B对等,记为 ,规定 .
例1 我们可给出有限集合的一个不依赖与于元素个数概念的定义:集合A称为有限合,如果 或者A和正整数的某截断 对等。
注：有限集合的一个不依赖与于元素个数概念的定义，例如A的总个数与正整数的某个截断相对应。
实变函数论建立在实数理论和集合论的基础上，对于实数的性质，我们假定读者已经学过，所以本书只是介绍集合论方面的基本知识。
§1 集合的表示
集合是数学中所谓原始概念之一，不能用别的概念加以定义，就目前来说，我们只要求掌握一下朴素的说法：
在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称作一个集合，其中每一个个体事物叫做该集合的元素。
{ ： >1}=
习惯上，N表示自然数集，（本书中的自然数集不包含0），Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.
实函ch4习题解答(学生用)
实变函数习题集第四章 可测函数§4.1 可测函数的定义及其简单性质 1、 判断(1) 设()f x 定义于可测集E ，则()f x 是可测函数⇔ 2()f x 是可测函数。
（ ）×；解 错误。
可证明()f x 是可测函数2()f x ⇒是可测函数(其证明见本节课件)，但反之却不一定成立。
因为当我们取1E E ⊂为一不可测集时，令111,()1,x E f x x E E ∈⎧=⎨-∈-⎩。
显然2()1f x =在E 可测，而[]10E f E >=不可测。
(2) 存在[,]a b 上的连续函数()f x ，与某个处处不连续的可测函数()g x 对等。
( )√；解 正确。
()1f x ≡设，()f x 连续，1,[,]()0,[,]cx a b Q g x x a b Q⎧∈=⎨∈⎩，则()g x 可测，()()f x g x 且与对等。
(3) (P104.6) 任何集合上的连续函数一定是可测函数。
（ ）×；可测集(证明见习题8) (4) 在[0,1]上不可能定义以下函数：在有理数连续，在无理数上不连续。
（ ）√； (5) 设()f x 在E 上可测，则()f x 在E 上L 可测与()f x 在E 上L 可测等价。
（ ）×； 解 错误。
例如：设A 是E 上的不可测集，1,()1,x Af x x E A ∈⎧=⎨-∈-⎩，则()f x 是E 上的可测函数，但()f x 不是E 上的可测函数。
(6) 若0mE =，则任意()f x 都是E 上的可测函数。
（ ）√； (7) (P104.7) 可测集E 上的单调函数一定是可测函数。
（ ）√；解 正确。
(证明见习题10)（或单调函数至多有可列个不连续点，即()f x 几乎处处连续）。
(8) 存在[,]a b 上的可测函数()f x ，与[,]a b 上的任一连续函数不对等。
（ ）√； (9) 函数()f x 在E 上是可测的当且仅当对于每个实数a ，集合{}E f a =可测。
实变函数论课件24讲
04
实变函数的微分
实变函数的微分定义
实变函数的微分概念 微分的基本性质 微分与导数的关系 微分的应用
实变函数的微分性质
实变函数的微分定义 微分性质：可加性、可数性、可交换性 微分与导数的关系 微分在函数逼近中的应用
物理学：实变函数论在物理学中也有着重要的应用，例如在量子力学、热力学等领域 中，实变函数论可以用来描述一些物理现象。
工程学：实变函数论在工程学中也有着广泛的应用，例如在电气工程、机械工程等领 域中，实变函数论可以用来解决一些实际问题。
经济学：实变函数论在经济学中也有着重要的应用，例如在金融工程、计量经济 学等领域中，实变函数论可以用来描述一些经济现象和解决一些实际问题。
投资组合优化：实变函数论可以用于优化投资组合，提高投资收益并降低风险。
信用评级：实变函数论可以用于评估借款人的信用等级，帮助金融机构做出更明智的贷款 决策。
金融衍生品定价：实变函数论可以用于定价金融衍生品，如期权、期货等，为金融机构提 供更准确的定价模型。
在其他领域的应用
数学分析：实变函数论是数学分析的重要分支，在数学分析中有着广泛的应用。
实变函数在复分析中的应用
添加标题
添加标题
实变函数在概率论中的应用
添加标题
添加标题
实变函数在微分方程中的应用
在工程中的应用
实变函数在工程力学中的应用
实变函数在流体力学中的应用
实变函数在电气工程中的应用
实变函数在计算机科学中的应 用
在金融中的应用
风险度量和管理：实变函数论提供了一种量化风险的方法，帮助金融机构更好地管理风险。
实变函数与泛函分析基础第四章习题答案
k→∞
n
E0 = E2[sup | fn |≤ k0], c = k0. E0
n
k0
Å mE2 − mE2[sup | fn |≤ k0] < ǫ.
¦ ±n n, | fn(x) |≤ c,
m(E − E0) = m(E − E2) + m(E2 − E0) < ǫ.
6. f (x) (−∞, ∞)
¯À¡
∞
E − En
n=0
Í ¾ 10. « Â fn(x)
E fn(x) ⇒ f (x), f (x).
fn(x) ≤ fn+1(x)
¯À n = 1, 2, · · · ,
¾
³ ¬¨Ù ¡ ¨ fni(x)
fn(x) ⇒ f (x), f (x)
{fni} ⊂ {fn}, fni (x) E a.e. En = E[fn < fn+1], mE0 = 0, mEn = 0.
n=1
» Ã ¤ 9.
{fn} E
¾ ¯À¡ f(x) ≤ g(x) E
Â Í f , fn(x) ≤ g(x)a.e. E,n = 1, 2, · · · .
³ ¨Ù fn(x) ⇒ f(x),
 {fni } ⊂ {fn}, fni(x) E a.e.
f (x). E0
¬ Â fni(x)
4. E [0, 1]
Ù ¢ E[ lim fn n→∞
=
+∞]
∪
E[ lim
n→∞
fn
=
−∞]
∪
E[ lim
n→∞
fn
>
lim
n→∞
fn]
实变函数讲义(中文版)
n
(Hale Waihona Puke i =1))为积分值，定义并讨论新积分的性质(即第
五章内容)。 以上所述， 既是 Lebesgue 创立新积分的原始思路， 也是传统教材介绍 Lebesgue 积分定义的普遍方法。 鉴于人们在研究可测函数时发现：可测函数的本质特征是正、负部函数的下方 图形均为可测集。结合 Riemann 积分的几何意义，使我们自然想到：与其说测度推 广了定义域的长度（面积、体积）概念后使得我门作大、小和更加灵活多样，以达 推广积分的目的，不如说由于定义域与实数域的乘积空间的面积（体积）概念的推 广,使得大量的象 Dinichni 函数那样图形极其不规则的下方图形可以求面积 （体积） 了，从而拓宽了可积范围。于是我们在本教材中采取直接规定其测度之差为积分值 （如果差存在的话）的办法，该定义简单、明了、直观。既有效地避免了分划、大 （小）和、确界概念的繁琐，又成功地回避了先在测度有限，函数有界条件下讨论 积分性质，然后推广到测度无限，函数无界的一般情形的重复、哆嗦。
n 2 n +1 k =1 n → +∞ → n 处处
UE
k
下的小
和 s(f, Tn )， 即 ∫ fdx = lim mG (Φ n , E ) = lim s( f , Tn ) 。 这与定义(R)积分的分割、 求和、
E n→∞ n→∞
取极限三大步骤基本相似；区别仅在于(R)积分直接将定义域分成区间，(L)积分可 能是通过将值域分成区间后反过来将定义域分成有限个不一定是区间的集合。”不 仅是达前后呼应的目的，更重要的是展示了数学新体系形成过程中的“提出问题、 分析问题、克服障碍解决问题、最后完善方法、简化思路”数学创新过程。
1≤i ≤ n
实变函数论第四章
1.P1081.举例说明定理中的条件一般来说是不能取消的.解：取，并令易见，对每一，都有因此，定理中除不满足外，其它的条件都是满足的，但此时定理的结论不再成立，即存在某个正数及适合条件的的可测集，使在上不一致收敛于，事实上，取及可测集（），由于对任意整数，都有，所以与之交决非空集因此对，，显，而，故即在上不一致收敛于.2.设，都是上的几乎处处有限的可测函数，并且，，必有的可测集序列，使，，，而在每一上都一致收敛于零.证明：由于，可测于且几乎处处有限，，，由定理：Egoroff mE <+∞(,)E =-∞+∞1[,1](){[,1]n x n n f x x n n ∈+=∉+x E ∈lim ()()0n n f x f x →+∞=≡Egoroff mE <+∞Egoroff δme δ<{}n f \E E e δ=f 1δ=∀e 1me <n [,1]1m n n +=\E E e δ=[,1]n n +[,1],(1,2,)E n n n δ⋂+≠∅= n ∀[,1]n x E n n δ∃∈⋂+()0n f x =()1n n f x =|()()|1n n n f x f x -={}n f E δf mE <+∞(),1,2,n f x n = E lim ()()n n f x f x →+∞=.a e |()|f x <+∞.a e E {}n E 1n n E E +⊂1,2,n = lim n n mE mE →+∞=n E {}()m f x mE <+∞{}1()n n f x +∞=E lim ()()n n f x f x →+∞=|()|f x <+∞.a e Egoroff 1,,,()\()n n m n n n N e E me f x f E E e n∀∈∃⊂<=可测集一致收敛于可测令，则于显然，，而，故则 证毕.3．设，都是上的几乎处处有限的可测函数，，，证明必有的子序列，使在上几乎处处绝对收敛，进而证明有非负实数序列使，而（提示：注意第三章§2习题9及集合序列上极限的定义）证明：由上一题（本节习题2），从上，几乎处处有限知存在可测集，在上一致收敛于0，且 即 则下证：存在的一个子列，使得，由在上一致收敛于0知，使得故存在的子序列，使， 同理存在的子列使 若已选定，且满足， 1nn i i E F ==()mfx f 一致收敛n E 12n E E E E ⊂⊂⊂⊂⊂ n N ∀∈()(\)n n mE m E m E E =+mE <+∞()n m E mE ≤<+∞10(\)n n n mE mE m E E me n≤-≤=<lim n n mE mE →+∞=mE <+∞()n f x E 1,2,n = lim ()0n n f x →+∞=.a e E 于{}()n f x {}()i n f x 1()i n n f x +∞=∑E {}1()n n t x +∞=1nn t+∞==+∞∑1|()|.n n n t f x a e E +∞=<+∞∑于()0n f x E →于()n f x 12n E E E E ⊂⊂⊂⊂⊂ ()m f x E lim n n mE mE →+∞=1lim ()n nn n mE m E +∞→+∞== 1(\)0nn m E E +∞== {}n f {}k n f 1nn x E+∞=∀∈1|()|kn n fx +∞=<+∞∑{}()n f x 1E 11,,i i i n N n i ∀∃∈≥111|()|,2iin f x x E ≤∀∈{}n f {}1()in f x 111|()|,2ii n f x x E ≤∀∈1,2,i = {}1()in f x {}2()in f x 21|()|2iin f x ≤2,1,2,x E i ∈= {}()k in f x 1|()|2k ii n f x ≤,1,2,k x E i ∈=则存在的子列使 注意令，，使得， 则则由于故对几乎处处有对上述选取的令，则则，4.去掉上题中的限制.证明：若，则从知，满足，由上题结果，对，存在，和的子列使得于上；存在，和的子列使得于上类推下去，知，有的子列使，，{}()k in f x {}1()k in f x +11|()|2k iin f x +≤1,1,2,k x E i +∈= 11k k ii i n n n i +≥≥≥≥ ()()k k kn n f x f x =1nn x E+∞=∀∈0()k x N ∃∈001k k x E E +∈⊂⊂ 0,k k k x E ∀>∈1|()||()|2k k k n k n f x f x =≤01|()|2k n kk k k k fx +∞+∞==≤<+∞∑∑0000111111|()||()||()||()|2k k k k k k n n n n kk k k k k k k f x f x f x f x --+∞+∞+∞======+≤+<+∞∑∑∑∑∑1(\)0n n m E E +∞== x E ∈1|()|kn k fx +∞=<+∞∑{}k n 1{k k kk n k n λ==≠0k λ≥111k k k λ+∞+∞====+∞∑∑11|()||()|k kk n k k f x f x λ+∞+∞===<+∞∑∑. a e E 于mE <+∞mE =+∞nE R ⊂(0,)n E E B n =⋂n mE <+∞1nn E E+∞== 1E 11F E ⊂11(\)0m E F ={}()n f x {}11()in i f x +∞=11|()|i n k fx +∞=<+∞∑1F 22F E ⊂22(\)0m E F ={}11()in i f x +∞={}21()in i f x +∞=21|()|i n k fx +∞=<+∞∑2F k ∀{}11()k in i f x -+∞={}1()k in i f x +∞=k k F E ⊂(\)0k k m E F =于上以上注意，是的子列 令，则注意，是的子集，所以注意 ，使，（）故于上对上述取定的令则P1121．若是有界可测集，在上几乎处处有限 ，则在上可测的充要条件是有一串在整个空间上连续的函数 ，使 于证明：充分性是显然的，在上连续，从而是可测的，及几乎处处有限，也必在上可测必要性：由有界可测，在上几乎处处有限，故由Lusin 定理，闭集，，是上的连续函数，又有界可测，由Lusin 定理，闭集1|()|ki n k fx +∞=<+∞∑k F 0k k ∀≥{}1()k in i f x +∞={}1()k i n i fx +∞=()()k k kn n f x f x =0k k ∀≥{}k kk k n +∞={}k ik in +∞=001|()||()|kk k in n k k i fx f x +∞+∞==<+∞≤∑∑11111(\)(\)((\))(\)0iiiii i i k i i i i m E F m E F m EF m E F +∞+∞+∞+∞+∞======≤≤=∑ 01i i x F +∞=∀∈ 0k ∃00k x F ∈00001100000111|()||()||()||()||()|k kk k k kk k n n n n n k k k k k k k fx f x f x f x f x --+∞+∞+∞======+≤+∑∑∑∑∑0010011|()||()|k k ik n n k i f x f x -+∞==≤+<+∞∑∑00001|()|k ik n i x F f x +∞=∈<+∞∑，1|()|kn i fx +∞=<+∞∑.a e E {}k n 1{k k kk n k n λ==≠11|()||()|k kk n k k f x f x λ+∞+∞===<+∞∑∑. a e E 于E ()f x E ()f x E ()n x Φlim ()()n n x f x →∞Φ=.a e E ()n x Φ1R E E ()f x E ∃1F E ⊂1(\)1m E F <()f x 1F 1E F -∃，使 利用归纳法知，若已选好，则 ， 且在上连续.由于，仍是有界闭集，故由P116Th2的证明方法知可扩充为上的连续函数，于上且，，故 ，使 则且当时，故 故这就证明了故从知必要性成立注意：本题的困难在于若直接这样用P116定理2，， ,则， 则，，但直接取就不知是否有，当，因仅知当时，而在（）21\F E F ⊂121(\\)2m E F F <k F 11\k k i i F E F +=∃⊂ 111(\\)1ki k i m E F F k +=<+ ()f x 1k F +k ∀1kii F = f 1R ()n x Φ()()n x f x Φ=1ki i F = k ∀111(\)(\)0kk i i i i m E F m E F k ∞→+∞==≤≤→ 1(\)0i i m E F ∞== 01i i x F ∞=∀∈ 00()n n x ∃=0n x F ∈001n i i x F =∈ 000()()n x f x Φ=0()n n x ≥0011n niii i x F F ==∈⊂ 1000()|()()nii n n F x x f x =Φ=Φ= 00lim ()()n n x f x →∞Φ=01i i x F E ∞=∀∈⊂ 00lim ()()nn x f x →∞Φ=1(\)0i i m E F ∞== ,n n F E ∀∃⊂1(\)n m E F n<01()n f C R ∃∈|()n n F f f x =n ∀11(\)(\)0i n i m E F m E F n ∞=≤<→ 1(\)0i i m E F ∞== 01i i x F ∞=∀∈ 00001,n n i i n x F F =∃∈⊂ ()()()n n x f x f x Φ==000()()n x f x Φ=0n n >n x F ∈()()n f x f x =()n f x n i F -0i >时的性质不明，因为没有条件保证而我们的前面证明是用到，于上.2．证明：有界闭集上的任何连续函数是有界的证明：反证，设在上无界，则，存在，，由有界知是有界序列，故由聚点原理，存在和的子列使得 （）由闭知，由在上连续知，在连续得矛盾故在上有界P1171.设于，于，证明：于证明：，（否则，若，而，矛盾），则（） 从而2.设于，，且于，证明于1n n F F +⊂111n n iii i F F +==⊂ 1()()n n x x f +Φ=Φ=1ni i F = nE R ⊂f E n N ∀∈n x E ∈|()|n f x n >E {}n x 0n x R ∈{}n x {}k n x 0k n x x →k →∞E 0x E ∈f E f 0x 0lim |()||lim ()||()|n n n n f x f x f x →∞→∞∞===()f x E ()()n f x f x ⇒E ()()n g x g x ⇒E ()()()()n n f x g x f x g x +⇒+E 0ε∀>[||()()(()())|][||()()|][||()()|]22n n n n E x f x g x f x g x E x f x f x E x g x g x εεε+-+≥⊂-≥⋃-≥A B εε⋃ [||()()(()())|]n n x E x f x g x f x g x ε∈+-+≥x A B εε∉⋃()c c c x A B A B εεεε∈⋃=⋂|()()||()()|22n n f x f x g x g x εε⇒-<-<|()()(()())||()()||()()|22n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x εεεε⇒≤+-+≤-+-<+=[||()()(()())|][||()()|][||()()|]022n n n n mE x f x g x f x g x mE x f x f x mE x g x g x εεε+-+≥≤-≥+-≥→()(),()()n n f x f x g x g x ⇒⇒()()()()n n f x g x f x g x +⇒+|()|n f x K ≤.a e E 1n ≥()()n f x f x ⇒E |()|f x K ≤.a e E证明：由本节定理2（定理）从知的子列使于设，，于，从条件于，设，,于上令，则，且故，则令，故有，从而命题得证 1． 举例说明时定理不成立解：取，作函数列 显然于上，但当时，不故时定理不成立，即于不能推出于Riesz ()()n f x f x ⇒∃{}()n f x {}()k n f x ()lim ()k n k f x f x →∞=.a e E A E ⊂(\)0m E A =()()k n f x f x →A |()|k n f x K ≤.a e E k n B E ⊂(\)0k n m E B =|()|k n f x K ≤.a e k n B 1()kn k B BA +∞==⋂ B K ⊂11(\)()(()(())k k ccccc n n k k m E B m E B m E B A m E A B E +∞+∞===⋂=⋂⋃=⋂⋃⋂ 111()()(\)(\)00k k ccn n k k k m E A m E B m E A m E B +∞+∞+∞===≤⋂+⋂=+=+∑∑∑(\)0m E B =,,k n x B k B B A ∀∈∀⊂⋂|()|k n f x K ≤k →∞|()|f x K ≤x B ∀∈|()|f x K ≤mE =+∞(0,)E =+∞1(0,](){0(,)nx n f x x n ∈=∈+∞1,2,n = ()1n f x →E 01ε<<[;|1|](,)n E x f n ε->=+∞[;|1|](,)n mE x f m n ε->=+∞=+∞0→mE =+∞n f f →.a e E ()()n f x f x ⇒E。
实变函数第四章习题解答
第四章习题参考解答1．设)(x f 是E 上的可积函数，如果对于E 上的任意可测子集A ，有0)(=⎰dx x f A，试证：)(x f ，].[.E e a证明：因为}1)(|{}0)(|{1kx f x E x f x E k ≥=≠∞= ，而N k ∈∀，}1)(|{kx f x E ≥}1)(|{}1)(|{kx f x E k x f x E -≤≥= .由已知，=+=-≤≥≥⎰⎰⎰kx f x E kx f x E kx f x E dx x f dx x f dx x f 1)(|{1)(|{1|)(|{)()()(000=+.又因为0}1)(|{11)(0}1)(|{}1)(|{≥≥=≥=≥≥⎰⎰kx f x mE kdx kdx x f kx f x E kx f x E ，0}1)(|{1)1()(0}1)(|{}1)(|{≤-≤-=-≤=≥≥⎰⎰kx f x mE kdx kdx x f kx f x E kx f x E所以，0}1)(|{}1)(|{=-≤=≥kx f x mE kx f x mE .故,0}1)(|{}1)(|{}1|)(|{=-≤+≥=≥kx f x mE kx f x mE kx f xmE ,从而0}1|)(|{}1|)(|{[}0)(|{111==≥≤≥=≠∑∑∞=∞=∞=k k k kx f x mE kx f xE m x f x mE .即，0)(=x f ，].[.E e a .2.设f ，g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数a ，都有})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥，试证：)()(x g x f =，从而，=⎰dx x f E)(dx x g E⎰)(.证明：我们证f ，g 是同一个简单函数序列∞=1){m m ψ的极限函数.Nm ∈∀及12,,1,0-=mm k，令}21)(2|{,mmk m k x f k x E E +≤≤=，并且})(|{2,m x f x E E m m m ≥=.则k m E ,是互不相交的可测集，并且k m m k E E m,21== ，定义简单函数 ∑==mkm m k Emm x kx 2)(2)(,χψ.下面证明：)()(lim x f x m m =∞→ψ，E x ∈.E x ∈∀0,若+∞=)(0x f ，则N m ∈∀，m m m E x 2,0∈，所以)()(0∞→∞→=m m x m ψ，即)()(lim 00x f x m n =∞→ψ；若+∞<)(0x f ，则可取正整数)(00x f m >，0m m ≥∀时,}21)(2|{})(0|{1210mmm k k x f k x E m x f x E x m+<≤=<≤∈-= .故，存在)120(-≤≤mm k k ，}21)(2|{0mmk x f k x E x +<≤∈.即，mmk x f k 21)(20+<≤，mm k E mm k x kx mkm 2)(2)(2,==∑=χψ.所以，0212212)()()(|)()(|00000→=-+<-=-=-mmmmm m k k k x f x x f x x f ψψ，从而， )()(lim 00x f x m n =∞→ψ.同理，N m ∈∀，定义简单函数列∑==mkm m k Emm x kx 2)(2)(*,χψ，其中：}21)(2|{*,mmk m k x g k x E E +<≤=，12,,1,0-=mm k .})(|{*,m x g x E E k m ≥=.同上一样可证明：)()(lim 0x g x m n =∞→ψ，E x ∈.因为R a '∈∀，有})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥.故R a '∈∀， })(|{b x f a x mE <≤})(|{b x g a x mE <≤=.从而，)120(-≤≤∀mm k k ，有km mmmmk m mEk x g k x mE k x f k x mE mE ,*,}21)(2|{}21)(2|{=+<≤=+<≤=mmm m m m mEm x g x mE m x f x mE mE2,*2,})(|{})(|{=≥=≥=.即，N m ∈∀，=)(x m ψ)(x m ϕ.因此)()(lim )(lim )(x g x x x f m m m m ===∞→∞→ϕψ.3.若⎪⎩⎪⎨⎧=为有理数，当为无理数，当x x x xx f 31)(，计算⎰1,0[)(dx x f .解：设x x E |]1,0[{0∈=为有理数}，01]1,0[E E -=，则+=⎰⎰1)()(]1,0[E dx x f dx x f⎰]1,0[)(dx x f ⎰⎰⎰+==111E EE dx xdx xdx x=+==⎰⎰⎰1111E E E dx xdx xdx x2]2[11101]1,0[====⎰⎰x dx xdx x.4.设21,,E E 是]1,0[中n 个可测集，若]1,0[内每一点至少属于n 个集中的q个集，证明：21,,E E 中至少有一个测度不小于nq .证：令∑==ni E x x f i1)()(χ，其中i E χ为i E 上的特征函数]1,0[∈∀x ，有q x x f ni E i≥=∑=1)()(χ，所以q qdxdx x f =≥⎰⎰]1,0]1,0[)(.∑∑⎰∑∑⎰⎰⎰========≤ni ni iE ni E ni E mEdx x dx x dx x f q ii11111,0]1,0[]1,0[)()()(χχ.如果每个nq mE i <，则∑∑===⋅=>ni ni i q nq n nq mE 11.这与∑=≤ni imEq 1矛盾.从而，)1(n i i ≤≤∃使得nq mE i ≥.5.设f ，g 都是E 上的可积函数，试证明：22gf +也是E 上可积函数.证明：（1）先证：设)(x f 与)(x F 都是E 上的可测函数且)()(0x F x f ≤≤ ].[.E e a ，若)(x F 在E 可积，则)(x f 在E 可积.事实上，N m l ∈∀,，因为)()(0x F x f ≤≤ ].[.E e a ，故l l x F x f )}({)}({0≤≤，即+∞<≤≤≤⎰⎰⎰EE ll E ldx x f dx x F dx x F dx x f mm)()}({)}({)}({，其中：m m S E E =，}||||{∞<=x xS m .从而∞=⎰1})}({{l l E dx x F m是单调递增有上界⎰Edx x F )(的数列，故：⎰⎰⎰≤=∞→EE ll E dx x F dx x f dx x f mm)()}({lim)(.又因为⎰∞=mE m dx x f 1})({单调递增有上界，所以⎰∞→mE l dx x f )(lim存在，并且⎰⎰⎰+∞<≤=∞→EE ll Edx x F dx x f dx x f m)()}({lim)(，即⎰∞→∞→mE ll m dx x f )}({limlim+∞<≤⎰dx x f E)(.所以)(x f 在E 可积.（2）再证：22gf+在E 上可积.事实上，因为f ，g 在E 上可积，所以||f 与||g 在E 上可积，从而||f +||g 在E 上可积. 又因为||||22g f gf+≤+，由（1）。
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对于任何有限实数a,
a ( ) a , ( ) a , 0 对于任何有限实数a 0, () a a () , ( ) a a (）
() a a () , ( ) a a (）
10 对于任意的常数a, E[ f ( x) a]都可测;
20 对于任意的常数a, E[ f ( x) a]都可测;
30 对于任意的常数a, E[ f ( x) a]都可测. 1 证 因为E[ f ( x ) a ] E[ x | f ( x ) a ] k k 1
lim f ( xn ) f ( x0 )
n
其中xn E .
从而f ( xn ) c, 则 f ( x0 ) c x0 E E为闭集.)
由闭集的可测性知 : E可测.从而 f ( x )在[a, b]上可测.
11
同理可证 : 任何区间上的连续函数都是可测的. 例4 勒贝格测度为0的集上所定义的函数必是可 测函数. 证 由于零集的任何子集仍是零集, 从而是可测集. n 定理1 对于可测集合E R 上的函数f ( x ), 下述各条 件都是f ( x )在E上可测的充要条件 :
故f 在E上可测.
" " 对任意有限实数a、b,由于f ( x)在E上可测,
则E[a f b] E[ f a] E[ f b]可测,
且E[ f ]
k 1
E[ f k ]可测.
14
同学们还可以把区间上连续函数的概念推广到一 般点集上去, 从而也可证明
这也是之所以称 M ( x)为M的特征函数的原因.
定理2 集合M 与其特征函数 M 或者同是可测或者
同是不可测的. 证 设 M 可测, 则由M E( M 0)知 M 是可测集.
另一方面, 设M 可测因为 . 当a 1 , E ( M a ) M , 当0 a 1. E, 当a 0
例5 若f 在可测集E上连续, 则f 在E上可测. 证 只须证a, E[ f a]可测.
x0 E[ f a], 令 f ( x0 ) a 0,由f 的连续性, 可
知 x0 0,当x E
N ( x0 , x0 )时, 有
f ( x) f ( x0 ) .
由于f 在En上可测, 所以En[ f a]可测,
推论1 如果f ( x )在E上可测, 则
E[ x | f ( x) ]和E[ x | f ( x) ]
都是可测集.
证
因为E[ x | f ( x ) ]
E[ x | f ( x ) ]
k 1
k 1
E[ x | f ( x ) k ].
E[ x | f ( x ) k ].
显然, 有界函数是有限函数, 反之则不然!
对于包含 在内的实数运算, 我们作如下规定
() () , ( ) () () () , ( ) ()
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
类似地, 可理解 E ( f a ), E ( f a ), E ( f a ), E ( f a ),
E (a f b), E (a f b) 等记号的意义.
由于建立Lebesgue积分的思路是:
8
作分划时, 是将函数值接近的划分在一起.
这就涉及形如集合E(a f b)的测度问题.
一. 勒贝函数都是允许函 数值取 , 的实函数, 称为广义函数, 通常的实数 指的是有限实数. 函数值都是有限实数的函数称为有限函数;
5
若M 0, 对x E , 有 f ( x ) M , 则称f ( x )为E 上的有界函数.
续研究可测函数列的各种收敛性, 包括可测函数列的一
致收敛, 几乎处处收敛和依测度收敛, 并细致地讨论各
种收敛性间的关系. 最后, 本章还将介绍用连续函数来刻划可测函数的鲁
金定理.
4
因为勒贝格可测函数是勒贝格积分的基本对象. 所
以, 本章的讨论对于深刻理解勒贝格积分是非常必要 的.
§1 可测函数的定义及其简单性质
由于E , E中的有理点集, 都是可测集.则 E[D( x) a]可测,
从而D( x )在E上是可测的. (法二见定理4之后.)
这样我们就看到了一个处处不连续但却是可测的函 数的例子.
18
注3 上述几例说明“可测函数确实比连续函数广泛 得多.”
注4 上一章讨论了集合的可测性, 这里又引入了函数
f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) a
即E
N ( x0 , x0 ) E( f a).
15
故 E( f a)
x0 E ( f a )
E
N ( x 0 , x0 )
E N ( x 0 , x0 ) . x0E ( f a )
或者就是E , 或者是空集, 从而必是可测集.
例2 区间[c,d]上的单调函数是可测函数. 证 当f 是[c, d ]上单调函数时, 对任意实数a, E[ f a]一定
是[c, d ]的某个子区间或空集或单点集, 从而必是可测集.
10
,则 f ( x) 必在 [ a, b] 上可测 . 例3 设f 在[a,b] 上连续
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推论2 f ( x )在E上可测 对任意的a, b, 有
E[a f b]和E[ f ]可测. 证 " "对任意有限实数a, n, 有
E[a f a n]可测, 且E[ f ]也可测.
而E[ f a ]
n 1
E (a f a n) E[ f ]可测.
对于任何有限实数a 0,
另外, 在本章课程中, 我们还规定下面这些记号
() (),() ( ),( ) ( ),( ) ( ),
a , , 0 0
7
都被认为是没有意义的.
对于在E Rn上定义的函数f , 用记号 E( f a) 来表示E中满足f ( x ) a的点x的全体,即 E ( f a ) { x | x E , f ( x ) a}.
k
E
i 1
i
ba
2
成立, 而把集合分成可测与不可测两类的, 只有式中的Ei 都是可测集合时, 才能保证上式成立.
从而本章将致力于讨论：
怎样的函数f, 才能使对任意常数a,b, 集合{x|a≤f(x)<b}
均是可测的. 这类函数就是勒贝格可测函数. 它是一类在
理论上十分重要, 在应用中足够广泛的函数.
则E( M a)总是可测的, 从而 M 是可测函数.
20
注5 在ch3的§2中, 我们知道, 确实可以给出一个不 可测集的例子, 由此定理便可知道不可测函数也是确实
存在的.
二. 勒贝格可测函数的性质 定理3 10 设f 是可测集E上的可测函数.则f 在E的任一可
测子集E0上可测.
20 设E
第三章我们已经对勒贝格可测集作了充分的讨论, 本 章将把这些结果转化为分析函数性质的工具.
3
首先, 勒贝格可测函数的概念正是利用勒贝格可测集 来刻划的, 这就使我们能用可测集的性质来讨论可测函
数. 例如, 利用可测集类对集合运算的封闭性, 可以得到
可测函数类对代数运算和极限运算的封闭性. 在对可测函数的性质作初步讨论的基础上, 我们将继
证 当f ( x )在[a, b]上连续时, 对任何实数c, 有 E { x | x [a, b], f ( x ) c}是闭集. (其证明见ch2习题)
(这是因为x0 E, 则有xn E,(n 1,2,...), 使 lim xn x0 .
n
又由f ( x )的连续性知
第四章
可测函数
本章先介绍可测函数的定义及其等价描述、简单性
质, 然后讨论可测函数与简单函数、连续函数三者之 间的相互关系, 最后引入依测度收敛概念, 并研究依测 度收敛与几乎处处收敛、 一致收敛之间的相互关系. 引入可测函数概念的目的是探讨哪些函数才有可能 按新思路改造积分定义; 引入依测度收敛概念的目的在
显然
x0 E ( f a )
N ( x0 , x0 )是开集, 从而可测.
而E可测, 故E( f a )可测.
注2 由证明过程不难看出 :
当E是开集时, E( f a )也是开集.
16
仿此, 读者可以课后证明:
可测集 E上的单调函数是可测函数. 证 设 f(x) 的不连续点集为 E0. 因为单调函数 f(x)的 不连续点至多可列多个, 所以 mE0=0.
n 1
En , 且En可测, 则f 在E上可测 对
n, f 在En上可测.
21
证
10 对任意的实数a,当f 在E上可测时, E0 ( f a ) E0 E( f a )
是可测集.即f 也是E0上的可测函数.
20 " " 对任意实数a, E[ f a ]
n 1
En [ f a ].
12
E[ f a] E[ f a]C E \ E( f a )
1 E[ f a ] E[ x | f ( x ) a ], k k 1 由f ( x)在E上可测 (1) (2) (3).而
E[ f a] E[ f a]C E \ E( f a ) f ( x )在E上可测.
则f(x)在E- E0上连续, 从而 f(x)在