2015届高考数学总复习第二章 第五节指数与指数函数精讲课件 文
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h(x) 的值域为 (0 ，＋
∞)．应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0 (因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不
可能为R)．故a的值为0. 点评： 与指数函数有关的函数一般是复合函数或是 几个简单指数函数的代数和构成的函数，求这些函数的 定义域和值域，要充分利用指数函数的图象和性质寻找 解题方法．
或用换元法．
解析：(1)设2x＝t，则原方程可化为2t2－9t＋4＝0，解得t＝ 或4， 即2x＝ ＝2－1或2x＝4＝22， ∴x＝－1或2，即原方程的解集为{－1,2}． (2)设y＝5－|x＋1|，则0＜y≤1，问题转化为方程 y2－4y－m＝0在 (0,1]内有实根． (法一)设f(y)＝y2－4y－m，其对称轴为y＝2，
Fra Baidu bibliotek
∴f(0)＞0且f(1)≤0，得－3≤m＜0.
(法二)∵m＝y2－4y，其中y＝5－|x＋1|∈(0,1]， ∴m＝(y－2)2－4∈[－3,0)． 答案：(1){－1,2} (2)[－3,0)
点评：(1)解指数方程要注意同解变形，所以验根是必不
可少的一个环节．
(2)实质上是转化为一个关于 t在某区间的二次函数的最 值问题．借助换元法解题时，千万不要忽视了换元后“新元” 的取值范围．不少同学在解答本题时，当换元后，误以为只 要方程y2－4y－m＝0有实根就行了，从而直接由Δ＝(－4)2－ 4( － m)≥0得 m≥－4 ，得出m的取值范围为 [－4 ，＋∞) 这一 错误结论．
|x＋1|.
(1)作出函数的图象； (2)由图象指出其单调区间；
(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值，并写出函数的值
域．
解析：由函数解析式可得， y＝
|x＋1|＝
(1)其图象由两部分组成：
一部分是把y＝
x(x≥0)的图象向左平移1个单位长度所得的
y＝
x＋1(x≥－1)的图象；
另一部分是把 y＝3x(x<0)的图象向左平移1 个单位长度所得的 y
x，由于该函数是减函数，故 x，根据指数函数图象的分布 x的图象位于y＝ x的图象的上方，
x与函数y＝
规律知，在第一象限y＝
从而当自变量都取
时，
故，
，这三个数的大小关系是 点评： 与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用
相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
变式探究 2．已知函数y＝
增，即函数 f(x) 的单调递增区间是 ( － 2 ，＋ ∞ ) ，单调递减区
间是(－∞，－2)． (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝
h(x)，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有
解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. (3) 由指数函数的性质知，要使 y ＝
第二章
第五节 指数与指数函数
指数幂的化简与求值 【例1】 (1) 化简
(2)计算：
自主解答：
点评：指数幂的化简与求值的原则及结果要求： (1)化简原则：①化负指数为正指数；
②化根式为分数指数幂；
③化小数为分数； ④注意运算的先后顺序．
(2)结果要求：①若题目以根式的形式给出，则结果用根式表示；
得a＝
或a＝－
.
(舍去)．
∴a的值为3或
利用指数函数的单调性，解决诸如指数方程、
不等式的问题
【例4】 解答下列问题：
(1)方程22x＋1－9×2x＋4＝0的解集为______． (2)若关于x的方程25－|x＋1|－4×5－|x＋1|－m＝0有实根，则m 的取值范围是______． 思路点拨：解指数方程要先化为同底，再比较指数即可，
ax2－4x＋3.
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝
－x2－4x＋3
令g(x)＝－x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单
调递减，而y＝
t在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递
②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示； ③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负 指数幂． (3)对于指数幂的运算，要熟练掌握运算法则和性质，否则极易出 现诸如以下的错误：(am)n＝am＋n，(a－m)n＝ n＝a .
变式探究
1．化简 的结果
是 (
)
指数函数图象特征及单调性的应用 【例2】 可能是( (1)(2012· 四川卷)函数y＝ax－ ) (a>0，且a≠1)的图象
变式探究
3 ．如果函数 y ＝ a2x ＋ 2ax － 1(a>0 ， a≠1) 在区间 [ － 1,1] 上
的最大值是14，求a的值． 解析：设t＝ax，则t＞0，于是y＝f(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当a＞1时，t∈[a－1，a]，∴ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a ＝－5(舍去)． 当0＜a＜1时，t∈[a，a－1]，∴ymax＝(a－1)2＋2a－1－1＝14，解
＝3x＋1(x<－1)的图象．如下图所示．
(2) 由图象可知函数的单调递增区间为 ( － ∞ ，－ 1) ，单调 递减区间为(－1，＋∞)． (3)当x＝－1时，函数有最大值为ymax＝ (0,1]．
0＝1，值域为
求与指数函数有关的函数的定义域与值域 【例3】 (2013· 宁波模拟)已知函数f(x)＝ (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值；
间，显然可排除 A、 B两项；当0<a<1时，函数 y ＝ ax－在 R 上单调递减，而当x＝0时，y＝a0－ 象与y轴的交点在x轴下方，故可排除C项．综上选D.
(法二)由函数解析式，可知当x＝－1时，y＝a－1－ ＝0，故
函数图象必过定点(－1,0)，只有D选项中的图象满足，故选 D.
答案：D
(2)解析：考查函数y＝ 考查函数y＝
(2)试比较，
，这三个数的大小．
思路点拨： 本题主要考查指数函数的图象特征及 利用指数函数的单调性比较大小的基本方法． 自主解答：
(1)解析：(法一)当a>1时，函数y＝ax－ 而当x＝0时，y＝a0－＝1－ 0<1－
在R上单调递增， <1，故
，因为a>1，所以0<
<1，即函数图象与y轴的交点在坐标原点和(0,1)之 ＝ <0，即函数图
∞)．应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0 (因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不
可能为R)．故a的值为0. 点评： 与指数函数有关的函数一般是复合函数或是 几个简单指数函数的代数和构成的函数，求这些函数的 定义域和值域，要充分利用指数函数的图象和性质寻找 解题方法．
或用换元法．
解析：(1)设2x＝t，则原方程可化为2t2－9t＋4＝0，解得t＝ 或4， 即2x＝ ＝2－1或2x＝4＝22， ∴x＝－1或2，即原方程的解集为{－1,2}． (2)设y＝5－|x＋1|，则0＜y≤1，问题转化为方程 y2－4y－m＝0在 (0,1]内有实根． (法一)设f(y)＝y2－4y－m，其对称轴为y＝2，
Fra Baidu bibliotek
∴f(0)＞0且f(1)≤0，得－3≤m＜0.
(法二)∵m＝y2－4y，其中y＝5－|x＋1|∈(0,1]， ∴m＝(y－2)2－4∈[－3,0)． 答案：(1){－1,2} (2)[－3,0)
点评：(1)解指数方程要注意同解变形，所以验根是必不
可少的一个环节．
(2)实质上是转化为一个关于 t在某区间的二次函数的最 值问题．借助换元法解题时，千万不要忽视了换元后“新元” 的取值范围．不少同学在解答本题时，当换元后，误以为只 要方程y2－4y－m＝0有实根就行了，从而直接由Δ＝(－4)2－ 4( － m)≥0得 m≥－4 ，得出m的取值范围为 [－4 ，＋∞) 这一 错误结论．
|x＋1|.
(1)作出函数的图象； (2)由图象指出其单调区间；
(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值，并写出函数的值
域．
解析：由函数解析式可得， y＝
|x＋1|＝
(1)其图象由两部分组成：
一部分是把y＝
x(x≥0)的图象向左平移1个单位长度所得的
y＝
x＋1(x≥－1)的图象；
另一部分是把 y＝3x(x<0)的图象向左平移1 个单位长度所得的 y
x，由于该函数是减函数，故 x，根据指数函数图象的分布 x的图象位于y＝ x的图象的上方，
x与函数y＝
规律知，在第一象限y＝
从而当自变量都取
时，
故，
，这三个数的大小关系是 点评： 与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用
相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
变式探究 2．已知函数y＝
增，即函数 f(x) 的单调递增区间是 ( － 2 ，＋ ∞ ) ，单调递减区
间是(－∞，－2)． (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝
h(x)，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有
解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. (3) 由指数函数的性质知，要使 y ＝
第二章
第五节 指数与指数函数
指数幂的化简与求值 【例1】 (1) 化简
(2)计算：
自主解答：
点评：指数幂的化简与求值的原则及结果要求： (1)化简原则：①化负指数为正指数；
②化根式为分数指数幂；
③化小数为分数； ④注意运算的先后顺序．
(2)结果要求：①若题目以根式的形式给出，则结果用根式表示；
得a＝
或a＝－
.
(舍去)．
∴a的值为3或
利用指数函数的单调性，解决诸如指数方程、
不等式的问题
【例4】 解答下列问题：
(1)方程22x＋1－9×2x＋4＝0的解集为______． (2)若关于x的方程25－|x＋1|－4×5－|x＋1|－m＝0有实根，则m 的取值范围是______． 思路点拨：解指数方程要先化为同底，再比较指数即可，
ax2－4x＋3.
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝
－x2－4x＋3
令g(x)＝－x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单
调递减，而y＝
t在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递
②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示； ③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负 指数幂． (3)对于指数幂的运算，要熟练掌握运算法则和性质，否则极易出 现诸如以下的错误：(am)n＝am＋n，(a－m)n＝ n＝a .
变式探究
1．化简 的结果
是 (
)
指数函数图象特征及单调性的应用 【例2】 可能是( (1)(2012· 四川卷)函数y＝ax－ ) (a>0，且a≠1)的图象
变式探究
3 ．如果函数 y ＝ a2x ＋ 2ax － 1(a>0 ， a≠1) 在区间 [ － 1,1] 上
的最大值是14，求a的值． 解析：设t＝ax，则t＞0，于是y＝f(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当a＞1时，t∈[a－1，a]，∴ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a ＝－5(舍去)． 当0＜a＜1时，t∈[a，a－1]，∴ymax＝(a－1)2＋2a－1－1＝14，解
＝3x＋1(x<－1)的图象．如下图所示．
(2) 由图象可知函数的单调递增区间为 ( － ∞ ，－ 1) ，单调 递减区间为(－1，＋∞)． (3)当x＝－1时，函数有最大值为ymax＝ (0,1]．
0＝1，值域为
求与指数函数有关的函数的定义域与值域 【例3】 (2013· 宁波模拟)已知函数f(x)＝ (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值；
间，显然可排除 A、 B两项；当0<a<1时，函数 y ＝ ax－在 R 上单调递减，而当x＝0时，y＝a0－ 象与y轴的交点在x轴下方，故可排除C项．综上选D.
(法二)由函数解析式，可知当x＝－1时，y＝a－1－ ＝0，故
函数图象必过定点(－1,0)，只有D选项中的图象满足，故选 D.
答案：D
(2)解析：考查函数y＝ 考查函数y＝
(2)试比较，
，这三个数的大小．
思路点拨： 本题主要考查指数函数的图象特征及 利用指数函数的单调性比较大小的基本方法． 自主解答：
(1)解析：(法一)当a>1时，函数y＝ax－ 而当x＝0时，y＝a0－＝1－ 0<1－
在R上单调递增， <1，故
，因为a>1，所以0<
<1，即函数图象与y轴的交点在坐标原点和(0,1)之 ＝ <0，即函数图