《近世代数》模拟试题1及答案

近世代数模拟试题
一、单项选择题(每题5分,共25分)
1、在整数加群(Z,＋)中,下列那个就是单位元( )、
A、0
B、 1
C、－1
D、1/n,n就是整数
2、下列说法不正确的就是( )、
A 、G只包含一个元g,乘法就是gg＝g。

G对这个乘法来说作成一个群;
B 、G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群;
C 、G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群;
D、G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群、
3、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )、
A 、反身性B、对称性C、传递性D、封闭性
4、对整数加群Z来说,下列不正确的就是( )、
A、Z没有生成元、
B、1就是其生成元、
C、－1就是其生成元、
D、Z就是无限循环群、
5、下列叙述正确的就是( )。

A、群G就是指一个集合、
B、环R就是指一个集合、
C、群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,
逆元存在、
D、环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,
逆元存在、
二、 计算题(每题10分,共30分) 1、 设G 就是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作
成的群,试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,
的阶、
2、 试求出三次对称群
{}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群、
3、若e就是环R的惟一左单位元,那么e就是R的单位元不？若就是,请给予证明、
三、证明题(第1小题10分,第2小题15分,第3小题20分,共45分)、
1、证明: 在群中只有单位元满足方程
2.
x x
=
2．设G就是正有理数乘群,G就是整数加群、证明:
:2n b
n a
ϕ
就是群G到G的一个满同态,其中,a b就是整数,而(,2)1
ab=、
3．设S就是环R的一个子环、证明: 如果R与S都有单位元,但不相等,则S的单位元必为R的一个零因子、
近世代数模拟试题答案
2008年11月
一、单项选择题(每题5分,共25分)
1、 A
2、 D
3、 D 4 、 A 5 、 C
二、 计算题(每题10分,共30分) 1、 解:
易知 c 的阶无限, (3分)
d 的阶为2、 (3分)
但就是 11,01cd ⎛⎫
=
⎪-⎝⎭
(2分)
的阶有限,就是2、 (2分) 2. 解:3S 的以下六个子集
{}{}{}123(1),(1),(12),(1),(13),
H H H ===
{}{}4563(1),(23),(1),(123),(132),H H H S === (7分)
对置换乘法都就是封闭的,因此都就是3S 的子集、 (3分) 3. 解: e 就是R 的单位元。

事实上,任取,,a b R ∈ 则因e 就是R 的左单位元,故
()(),ae a e b a eb ab eb ab ab b b -+=-+=-+=
即 ae a e -+也就是R 的左单位元。

故有题设得 ,.ae a e e ae a -+=∴= 即 e 就是R 的单位元、 三、证明题(每小题15分共45分)
1. 证明:
设e 就是G 的单位元,则e 显然满足所说的方程 (3分) 另外, 设a G ∈且2
a a =,则有
121,a a a a --= 即,a e = (5分)
即只有e 满足方程 2
.x x
= (2分)
2、 证明: ϕ显然就是G 到G 的一个满射 (3分)
又由于 当(,2)1,(,2)1ab cd ==时有
(,2)1abcd = (4分)
且
(22)(2)(2)(2).
n m n m n m b d bd
n m a c ac
b d
a c
ϕϕϕϕ+⋅⋅⋅=⋅
=+=⋅⋅ (6分)
故 ϕ就是群G 到G 的一个同态满射。

(2分)
3 证明:
分别用e 与e '表示R 与S 的单位元,且e e '≠,
于就是e '不就是R 的单位元。

(3分) 因此,存在0a R ≠∈,使
ae a '≠或e a a '≠ (5分)
如果ae a '≠,则0ae a '-≠,且
()0,ae a e ae ae ''''-=-= (4分) 即e '就是R 的(右)零因子。

(3分) 同理,如果,e a a '≠则e '就是R 的(左)零因子、 (5分)。