华农-2012-2013下概率论与数理统计答案3
3《概率论与数理统计》期末考试试题答案A卷

3《概率论与数理统计》期末考试试题答案A卷华中农业⼤学本科课程考试参考答案与评分标准考试课程:概率论与数理统计学年学期:试卷类型:A 卷考试时间:⼀、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出⼀个正确答案,并将其字母代号写在该题【】内。
答案错选或未选者,该题不得分。
每⼩题2分,共10分。
)1. 设A 、B 满⾜1)(=A B P ,则.【 d 】(a )A 是必然事件;(b )0)(=A B P ;(c )B A ?;(d ))()(B P A P ≤.2. 设X ~N (µ,σ2),则概率P (X ≤1+µ)=()【 d 】 A )随µ的增⼤⽽增⼤; B )随µ的增加⽽减⼩; C )随σ的增加⽽增加; D )随σ的增加⽽减⼩.3. 设总体X 服从正态分布),(N 2σµ,其中µ已知,2σ未知,321X ,X ,X 是总体X 的⼀个简单随机样本,则下列表达式中不是统计量的是.【 c 】(a )321X X X ++;(b ))X ,X ,X m in(321;(c )∑=σ31i 22i X ;(d )µ+2X .4. 在假设检验中, 0H 表⽰原假设, 1H 表⽰备择假设, 则成为犯第⼆类错误的是.【 c 】(a )1H 不真, 接受1H ;(b )0H 不真, 接受1H ;(c )0H 不真, 接受0H ;(d )0H 为真, 接受1H .5.设n 21X ,,X ,X 为来⾃于正态总体),(N ~X 2σµ的简单随机样本,X 是样本均值,记2n1i i21)X X(1n 1S --=∑=,2n1i i22)X X(n1S -=∑= ,2n1i i23)X(1n 1S µ--=∑=,2n1i i24)X(n1S µ-=∑=,则服从⾃由度为1-n 的t 分布的随机变量是 . 【 b 】(a )1n S X T 1-µ-=;(b )1n S X T 2-µ-=;(c )nS X T 3µ-=;(d )nS X T 4µ-=.⼆、填空题(将答案写在该题横线上。
2011-2012公共基础《概率论与数理统计》期末考试试卷答案-NEW
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1华南农业大学期末考试试卷A 答案2011-2012学年第 1 学期 考试科目: 概率论与数理统计 填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15分) 1、32;2、0.6;3、1;4、21θθD D ≤;5、(2.68963,2.72037)。
二、选择题(本大题共 6小题,每小题 3 分,共 18 分)1、D ;2、B ;3、C ;4、A ;5、C ;6、B 。
三、解答题(本题8分)解:设A 为事件“产品合格”,B 为事件“机器状态良好”.已知(|)0.98P A B =,(|)0.55P A B =,()0.95P B =,()1()0.05P B P B =-=. …………… 2分由全概率公式可知,9585.055.005.098.095.0)|()()|()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P ……… 3分由贝叶斯公式,所求概率为97.09585.098.095.0)()|()()|(≈⨯==A PB A P B P A B P … 3分四、解答题(本题11分)解:(1) 由(2)01d (,)d d e d x y x f x y y x A y +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰20e d e d 2x y AAx y +∞+∞--==⎰⎰.得2A =. … 2分 (2) (,)d (,)d xyF x y x f x y y -∞-∞=⎰⎰2002e d e d ,0,0,0,x y x y x y x y --⎧>>⎪=⎨⎪⎩⎰⎰其它. 2(1e )(1e ),0,0,0,x y x y --⎧-->>=⎨⎩其它. … 4分 (3) X 与Y 的边沿密度分别为(2)02,0,0()()0,00,0x y x X edy x e x f x f x y dy x x +∞-+-+∞-∞⎧⎧>>⎪===⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰, …… 2分 (2)202,02,0()()0,00,0x y y Y edx y e y f y f x y dx y y +∞-+-+∞-∞⎧⎧>>⎪===⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰, …… 2分 显然, (,)()()X Y f x y f x f y =成立,故X 与Y 独立. ……………………1分 五、解答题(本题8分)解:由X 服从区间]2,1[上的均匀分布,即⎩⎨⎧≤≤=其他,,0211)(~x x f X 当Xe Y 2=时,)ln 21(}ln 21{}{}{)(2y F y X P y e P y Y P y F X X Y =<=<=<= … 3分其中)(x F X 是X 的分布函数。
概率论(华南农业大学)智慧树知到答案2024年华南农业大学

概率论(华南农业大学)华南农业大学智慧树知到答案2024年第一章测试1.设样本空间Ω={1,2,10},事件A={2,3,4},B={3,4,5},C={5,6,7},则事件=( )。
A:{1,2,5,6,7,9,10} B:{1,2,3,5,6,7,8,9,10} C:{1,2,5,6,7,8,9,10}D:{1,2,4,5,6,7,8,9,10}答案:C2.同时掷3枚均匀的硬币,恰好有两枚正面向上的概率为( )。
A:0.375 B:0.25 C:0.325 D:0.125答案:A3.假设任意的随机事件A与B,则下列一定有()。
A: B: C: D:答案:B4.设A,B为任意两个事件,则下式成立的为( ) 。
A: B: C: D:答案:A5.设则=()。
A:0.24 B:0.48 C:0.30 D:0.32答案:C6.设A与B互不相容,则结论肯定正确的是 ( )。
A: B:与互不相容 C: D:答案:C7.已知随机事件A, B满足条件,且,则()。
A:0.3 B:0.4 C:0.7 D:0.6答案:C8.若事件相互独立,且,则( )。
A:0.775 B:0.875 C:0.95 D:0.665答案:A9.A:B: C: D:答案:D10.不可能事件的概率一定为0。
()A:错 B:对答案:B11.A:错 B:对答案:A12.贝叶斯公式计算的是非条件概率。
()A:错 B:对答案:A第二章测试1.下列各函数中可以作为某个随机变量X的分布函数的是( )。
A: B: C:D:答案:C2.设随机变量,随机变量, 则 ( )。
A: B: C: D:答案:C3.设随机变量X服从参数为的泊松分布,则的值为()。
A: B: C: D:答案:C4.设随机变量X的概率密度函数为,则常数()。
A: B: C:5 D:2答案:C5.如果随机变量X的密度函数为,则()。
A:0.875 B: C: D:答案:D6.A:对任意实数,有 B:只对部分实数,有。
概率论与数理统计课后答案
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经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)完整的答案习题一1.写出下列事件的样本空间: (1) 把一枚硬币抛掷一次; (2) 把一枚硬币连续抛掷两次; (3) 掷一枚硬币,直到首次出现正面为止; (4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为 M).解 (1) ={正面,反面} △{正,反} (2) ={(正、正),(正、反),(反、正),(反、反)} (3) ={(正),(反,正),(反,反,正),…} (4) ={x;0 ≤x≤ m}.2.掷一颗骰子的试验,观察其出现的点数,事件 A=“偶数点”, B=“奇数点”,C=“点数小于5”,D=“小于 5 的偶数点”,讨论上述各事件间的关系. = { ,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6}, B = { ,3,5}, C = { ,2,3,4}, D = {2,4}. 1 1 1 解 A 与 B 为对立事件,即 B= A ;B 与 D 互不相容;A ? D,C ? D.3.事件 Ai 表示某个生产单位第 i 车间完成生产任务,i=1,2,3,B 表示至少有两个车间完成生产任务,C 表示最多只有两个车间完成生产任务,说明事件 B 及 B-C 的含义,并且用 Ai(i=1,2,3)表示出来.解 B 表示最多有一个车间完成生产任务,即至少有两个车间没有完成生产任务. B-C 表示三个车间都完成生产任务4.如图 1-1,事件 A、B、C A+B+C,AC+B,C-AB 用解 A + B = A + AB 图 1-1 B = A1 A2 + A2 A3 + A1 A3 B = A1 A2 A3+A1 A2 A3+A1 A2 A3+A1 A2 A3 C = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 都相容,即ABC≠Φ,把事件 A+B,一些互不相容事件的和表示出来. A + B + C = A + AB + A BC B ? C = A1 A2 A3 AC + B = B + ABC 5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在,举例说明.解两个对立的事件一定互不相容,它们不可能同时发生,也不可能同时不发生;两个互不相容的事件不一定是对立事件,它们只是不可能同时发生,但不一定同时不发生.在本书第 6 页例 2 中 A 与 D 是对立事件,与 D 是互不相容事 C 件.6.三个事件 A、B、C 的积是不可能事件,即 ABC=Φ,问这三个事件是否一定互不相容?画图说明.解不一定. A、B、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容,即两两互不相容.如图 1-2,事件 ABC=Φ,但是 A 与 B 相容. AB,D=A+B,F=A-B.说明事7.事件 A 与 B 相容,记 C=图 1-2 件 A、C、D、F 的关系.C ? AB = A BC + ABC + ABC 2 解由于 AB ? A ? A+B, A-B ? A ? A+B,与 A-B 互不相容, A=AB+(A-B).因 AB 且此有 A=C+F,C 与 F 互不相容,8.袋内装有 5 个白球,3 个黑球,从中一次任取两个,求取到的两个球颜色不同的概率.解记事件 A 表示“取到的两个球颜色不同”.则有利于事件A 的样本点数目 2 #A= C51C31 .而组成试验的样本点总数为#Ω= C5+3 ,由古典概率公式有 D ? A ? F,A ? C. P(A)= # A = #? 1 1 C5C3 15 = C82 28(其中#A,Ω 分别表示有利于 A 的样本点数目与样本空间的样本点总数,#余下同)9.计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解设事件 B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件 B 的样本点数为# B = C52 . P( B) = 1-P( B) = 1 ? C52 9 = 2 C8 1410.抛掷一枚硬币,连续 3 次,求既有正面又有反面出现的概率.“三次中既有正面又有反面出现” 则 A 表示三次均为正面或 , 解设事件 A 表示三次均为反面出现.而抛掷三次硬币共有 8 种不同的等可能结果,即#Ω=8,因此 P ( A) = 1 ? P( A) = 1 ? #A 2 3 = 1? = #? 8 411. 10 把钥匙中有 3 把能打开一个门锁,今任取两把,求能打开门锁的概率.解设事件 A 表示“门锁能被打开” 则事件 A 发生就是取的两把钥匙都不能打.开门锁. P( A) = 1 ? P( A) = 1 ? C2 8 #A = 1- 7 = 2 #? C10 15 从 9 题-11 题解中可以看到,有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便. 12.一副扑克牌有 52 张,不放回抽样,每次一张,连续抽取 4 张,计算下列事件的概率: (1)四张花色各异; (2)四张中只有两种花色.解设事件 A 表示“四张花色各异” B 表示“四张中只有两种花色”.; # 4 1 1 1 1 = C52,A = C13C13C13C13, # 2 1 3 1 2 2 # B = C(C 2 C13C13+C13C13 ) 4 P( A) = P( B) = # A 134 = 4 = 0.105 # C52 # B 6 7436+6048 () = = 0 . 300 4 # C52 13.口袋内装有 2 个伍分、3 个贰分,5 个壹分的硬币共 10 枚,从中任取 5 枚, 3 解求总值超过壹角的概率.设事件 A 表示“取出的 5 枚硬币总值超过壹角”. # 1 = C 10 ,=C 2 C83+C 2 3 C5+C 32 C52 ) #A(C 3 1 2 5 #A 126 P( A)===0.5 # 25214.袋中有红、黄、黑色球各一个,每次任取一球,有放回地抽取三次,求下列事件的概率: A=“三次都是红球” △“全红” B=“全白” ,, C =“全黑” D=“无红” E=“无白” ,,, F=“无黑” G=“三次颜色全相同” ,, H=“颜色全不相同” I=“颜色不全相同”., 3 解#Ω=3 =27,#A=#B=#C=1,#D=#E=#F=23=8,#G=#A+#B+#C=3,#H=3!=6,#I=#Ω-#G=24 P ( A) = P ( B ) = P (C ) = P ( D) = P ( E ) = P ( F ) = 1 27 8 27 P(G ) = 3 1 6 2 24 8 = , P( H ) = = , P( I ) = = 27 9 27 9 27 9 15.一间宿舍内住有 6 位同学,求他们中有 4 个人的生日在同一个月份的概率.解设事件 A 表示“有 4 个人的生日在同一个月份”. 1 #Ω=126,#A= C64C12112 P( A) = # A 21780 ==0.0073 # 12 6 16.事件 A 与 B 互不相容,计算 P ( A + B) .解由于 A 与 B 互不相容,有 AB=Φ,P(AB)=0 17.证 P( A + B) = P( AB) = 1 ? P( AB) = 1.设事件 B ? A,求证P(B)≥P(A).∵B ? A ∴P(B-A)=P(B) - P(A) ∵P(B-A)≥0 ∴P(B)≥P(A) 18.已知 P(A)=a,P(B)=b,ab≠0 (b>0.3a), P(A-B)=0.7a,求 P(B+A),P(B-A),P( B + A ).解由于 A-B 与 AB 互不相容,且 A=(A-B)+AB,因此有 P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.3a P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7a +b P(B-A)=P(B)-P(AB)=b-0.3a P( B + A )=1-P(AB)=1-0.3a 19. 50 个产品中有 46 个合格品与 4 个废品,从中一次抽取三个,计算取到废品的概率.,则 A 表示没有取到废品,有利于事件 A 的样本解设事件 A 表示“取到废品” 4 3 点数目为# A = C46 ,因此 P(A)=1-P( A )=1- #A =1-C46 3 3 # C50 =0.2255 20.已知事件 B ? A,P(A)=lnb ≠ 0,P(B)=lna,求 a 的取值范围.解因 B ? A,故P(B)≥P(A),即lna≥lnb, ? a≥b,又因 P(A)>0,P(B)≤1,可得 b>1,a≤e,综上分析 a 的取值范围是: 1<b≤a≤e 21.设事件 A 与 B 的概率都大于 0,比较概率 P(A),P(AB), P(A+B),P(A)+P(B)的大小(用不等号把它们连接起来).解由于对任何事件 A,B,均有AB ? A ? A+B 且 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),P(AB)≥0,因此有P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)+P(B) 22.一个教室中有 100 名学生,求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以 365 天计算).解设事件 A 表示“100 名学生的生日都不在元旦” ,则有利于 A 的样本点数目为# A = 3 6 4 1 0 0 ,而样本空间中样本点总数为#Ω=365100,所求概率为 P( A) = 1 ? P( A) = 1 ? #A 364100 = 1? #? 365100 = 0.2399 23.从5 副不同手套中任取 4 只手套,求其中至少有两只手套配成一副的概率.解设事件 A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副” ,则 A 表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”. P ( A) = 1 1 1 1 # A C54C2C2C2C2 80 = = 4 # C10 210 24.某单位有 92%的职工订阅报纸,93%的人订阅杂志,在不订阅报纸的人中仍有 85%的职工订阅杂志,从单位中任找一名职工求下列事件的概率: (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊; (2)该职工不订阅杂志,但是订阅报纸.解设事件 A 表示“任找的一名职工订阅报纸” B 表示“订阅杂志” ,,依题意 P(A)=0.92,P(B)=0.93,P(B| A )=0.85 P(A+B)=P(A)+P( A B)=P(A)+P( A )P(B| A ) =0.92+0.08×0.85=0.988 P(A B )=P(A+B)-P(B)=0.988-0.93=0.058 25.分析学生们的数学与外语两科考试成绩,抽查一名学生,记事件 A 表示数学成绩优秀,表示外语成绩优秀, P(A)=P(B)=0.4, (AB)=0.28, P(A| B 若 P 求 B),P(B|A),P(A+B).解P(A|B)= P( AB) = 0.28 = 0.7 P( B) 0 .4 P(B|A)= P( AB) = 0.7 P ( A) P ( A) = 1 ? P ( A) = 0.62 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.52 26.设 A、B 是两个随机事件. 0<P(A)<1,0<P(B)<1, 5 P(A|B)+P( A | B )=1.求证 P(AB)=P(A)P(B).证∵P ( A| B )+P ( A | B )=1 且 P ( A|B )+P( A | B )=1 ∴P ( A|B )=P (A| B ) P ( AB ) P ( A B ) P ( A) ? P ( AB ) = = P( B) 1 ? P( B) P( B) P(AB)〔1-P(B)〕=P( B)〔P( A)-P( AB)〕整理可得 P(AB)=P( A) P( B) 27.设 A 与 B 独立,P( A)=0.4,P( A+B)=0.7,求概率 P (B).解 P( A+B)=P(A)+P( A B)=P( A)+P( A ) P( B) ?0.7=0.4+0.6P( B ) ? P( B )=0.5 28.设事件 A 与 B 的概率都大于 0,如果 A 与 B 独立,问它们是否互不相容,为什么? 解因 P ( A ),P ( B )均大于 0,又因 A 与 B 独立,因此 P ( AB )=P ( A ) P ( B )>0,故 A 与B 不可能互不相容. 29.某种电子元件的寿命在 1000 小时以上的概率为 0.8,求 3 个这种元件使用 1000 小时后,最多只坏了一个的概率.,解设事件 Ai 表示“使用 1000 小时后第 i 个元件没有坏” i=1,2,3,显然 A1,A2,A3 相互独立,事件 A 表示“三个元件中最多只坏了一个” 则 A=A1A2A3+ A1 A2A3+A1 A2 A3+A1A2 A3 ,,上面等式右边是四个两两互不相容事件的和,且 P(A1)=P(A2)=P(A3)=0.8 P( A)= [P( A1 )]3 + 3[P( A1 )]2 P( A1 ) =0.83+3×0.82×0.2 =0.896 30.加工某种零件,需经过三道工序,假定第一、二、三道工序的废品率分别为 0.3,0.2,0.2,并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关,求零件的合格率.解设事件 A 表示“任取一个零件为合格品” ,依题意 A 表示三道工序都合格. P(A)=(1-0.3)(1-0.2)(1-0.2)=0.448 31.某单位电话总机的占线率为 0.4,其中某车间分机的占线率为 0.3,假定二者独立,现在从外部打电话给该车间,求一次能打通的概率;第二次才能打通的概率以及第 m 次才能打通的概率(m 为任何正整数).解设事件 Ai 表示“第 i 次能打通” i=1,2,…,m,则, P(A1)=(1-0.4)(1-0.3)=0.42 P(A2)=0.58 × 0.42=0.2436 P(Am)=0.58m-1 × 0.42 32.一间宿舍中有 4 位同学的眼镜都放在书架上,去上课时,每人任取一副眼镜,求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解设 Ai 表示“第 i 人拿到自己眼镜”,i=1,2,3,4. P ( Ai )= 1 ,设事件 B 4 表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”.显然 B 则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”.且 B =A1+A2+A3+A4. P( B )=P(A1+A2+A3+A4) 4 =∑ p( Ai ) ? ∑ P( Ai Ai ) + ∑ P( Ai A j Ak ) ? P( A1 A2 A3A4 ) i =1 1≤i<j ≤ 4 1≤i<j<k ≤ 4 6 P(AiAj) = P(Ai)P(Aj|Ai) =1×1 = 4 3 1 (1 ≤ i<j ≤ 4) 12P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj|Ai)P(Ak|AiAj) = 1 × 1 × 1 = 1 (1≤i<j<k≤4)P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) ×P(A4|A1A2A3) 4 3 2 1 1 1 1 5 2 3 P ( B ) = 4 × ? C 4 × + C4 × ? = 4 12 24 24 8 3 P( B) = 1 ? P( B) = 8 4 3 2 24 = 1 × 1 × 1 ×1 = 1 24 33.在 1,2,…,3000 这 3000 个数中任取一个数,设 Am=“该数可以被 m 整除”,m=2,3,求概率 P(A2A3),P(A2+A3),P(A2-A3).解依题意 P(A2)= 1 ,P(A3)= 1 2 3 P(A2A3)=P(A6)= 1 6 P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)-P(A2A3) =1+1?1 = 2 2 3 6 3 2 6 3 P(A2-A3)=P(A2)-P(A2A3)= 1 ? 1 = 134.甲、乙、丙三人进行投篮练习,每人一次,如果他们的命中率分别为 0.8,0.7,0.6,计算下列事件的概率: (1)只有一人投中; (2)最多有一人投中; (3)最少有一人投中.解设事件 A、B、C 分别表示“甲投中”“乙投中”“丙投中” 、、,显然 A、B、C 相互独立.设 Ai 表示“三人中有 i 人投中” i =0,1,2,3,依题意,, P( A0 ) = P( A B C ) = P( A) P( B ) P(C ) P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C ) =0.8×0.7×0.6 = 0.336 P(A2)=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC) =0.8×0.7×0.4+0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6 = 0.452 (1) P(A1)=1-P(A0)-P(A2)-P(A3) =1-0.024-0.452-0.336=0.188 (2) P(A0+A1)=P(A0)+P(A1)=0.024+0.188=0.212 (3) P(A+B+C)=P( A0 )=1-P (A0)=0.976 35.甲、乙二人轮流投篮,甲先开始,假定他们的命中率分别为 0.4 及 0.5,问谁先投中的概率较大,为什么? 解设事件A2n-1B2n 分别表示“甲在第 2n-1 次投中”与“乙在第 2n 次投中” ,显然A1,B2,A3,B4,…相互独立.设事件 A 表示“甲先投中”. P( A) = P( A1 ) + P( A1 B 2 A3 ) + P( A1 B 2 A3 B 4 A5 ) + … = 0.4+0.6 × 0.5 × 0.4+(0.6 × 0.5) 2 × 0.4+… = 0.2×0.3×0.4× = 0.024 7 = 计算得知 P(A)>0.5,P( A )<0.5,因此甲先投中的概率较大. 36.某高校新生中,北京考生占 30%,京外其他各地考生占 70%,已知在北京学生中,以英语为第一外语的占 80%,而京外学生以英语为第一外语的占 95%,今从全校新生中任选一名学生,求该生以英语为第一外语的概率.解设事件 A 表示“任选一名学生为北京考生” B 表示“任选一名学生,以英,语为第一外语”.依题意 P(A)=0.3,P( A )=0.7,P(B|A)=0.8,P(B| A )= 0.95.由全概率公式有 P(B)=P(A)P(B|A)+P( A )P(B| A ) =0.3×0.8+0.7×0.95=0.905 37. A 地为甲种疾病多发区,该地共有南、北、中三个行政小区,其人口比为 9 : 7 : 4,据统计资料,甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰,2‰,5‰,求A 地的甲种疾病的发病率.解设事件 A1,A2,A3 分别表示从 A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区,易见 A1,A2,A3 两两互不相容,其和为Ω.设事件 B 表示“任选一名居民其患有甲种疾病” ,依题意: P(A1)=0.45,P(A2)=0.35,P(A3)=0.2, P(B|A1)=0.004,P(B|A2)=0.002,P(B|A3)=0.005 3 =∑ P( Ai ) P( B | Ai ) i =1 0 .4 4 = 1 ? 0 .3 7 = 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005 =0.0035 38.一个机床有三分之一的时间加工零件 A,其余时间加工零件 B,加工零件 A 时,停机的概率为 0.3,加工零件 B 时停机的概率为 0.4,求这个机床停机的概率.解设事件 A 表示“机床加工零件A” ,则 A 表示“机床加工零件B” ,设事件 B 表示“机床停工”. P ( B ) = P ( A ) P ( B | A) + P ( A ) P ( B | A) 1 2 = 0.3 × + 0.4 × = 0.37 3 3 39.有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的 3 个口袋,其中Ⅰ号袋内装有两个 1 号球,1 个 2 号球与 1 个 3 号球,Ⅱ号袋内装有两个 1 号球和 1 个 3 号球,Ⅲ号袋内装有 3 个 1 号球与两个 2 号球,现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球,放入与球上号数相同的口袋中,第二次从该口袋中任取一个球,计算第二次取到几号球的概率最大,为什么? 解设事件 Ai 表示“第一次取到 i 号球” Bi 表示第二次取到 i 号球,i=1,2,, 3.依题意,A1,A2,A3 构成一个完全事件组. P ( A1 ) = 1 1 , P ( A2 ) = P ( A3 ) = 2 4 1 1 , P ( B2 | A1 ) = P ( B3 | A1 ) = 2 4 1 1 , P ( B2 | A2 ) = P ( B3 | A2 ) = 2 4 1 1 1 , P ( B2 | A3 ) = , P ( B3 | A3 ) = 2 3 6 P ( B1 | A1 ) = P ( B1 | A2 ) = P ( B1 | A3 ) = 8 应用全概率公式P( B j ) = ∑ P( Ai ) P( B j | Ai ) 可以依次计算出 P( B1 ) = 1 , 3 i =1 2 P ( B2 ) = 13 11 , P( B3 ) = 48 48 .因此第二次取到 1 号球的概率最大.40.接 37 题,用一种检验方法,其效果是:对甲种疾病的漏查率为 5%(即一个甲种疾病患者,经此检验法未查出的概率为 5%);对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为 1%,在一次健康普查中,某人经此检验法查为患有甲种疾病,计算该人确实患有此病的概率.解设事件 A 表示“受检人患有甲种疾病” B 表示“受检人被查有甲种疾病” ,,由 37 题计算可知 P(A)=0.0035,应用贝叶斯公式 P( A | B) = P ( A) P ( B | A) P ( A) P ( B | A) + P ( A) P ( B | A) 0.0035 × 0.95 = 0.0035 × 0.95+0.9965 × 0.01 = 0.25 41.甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件,其各机床加工的零件数量之比为 5 : 3 : 2,各机床所加工的零件合格率,依次为 94%,90%,95%,现在从加工好的整批零件中检查出一个废品,判断它不是甲机床加工的概率.解设事件 A1,A2,A3 分别表示“受检零件为甲机床加工”“乙机床加工”“丙,,机床加工” B 表示“废品” ,,应用贝叶斯公式有 P( A1 | B) = P( A1 ) P( B | A1 ) i =1 ∑ P( Ai ) P( B | Ai ) = 3 0.5 × 0.06 3 = 0.5 × 0.06+0.3 × 0.1+0.2 × 0.05 7 4 P( A1 | B) = 1 ? P( A1 | B) = 7 42.某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车 4 种交通工具,其概率分别为 5%, 15%,30%,50%,乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为 100%, 70%,60%与 90%,已知该旅行者误期到达,求他是乘坐火车的概率.解设事件 A1,A2,A3,A4 分别表示外出人“乘坐飞机”“乘坐火车”“乘坐轮,,船”“乘坐汽车” B 表示“外出人如期到达”.,, P( A2 | B) = P( A2 ) P( B | A2 ) ∑ P( Ai ) P( B | Ai ) i =1 4 = 0.15 × 0.3 0.05 × 0 + 0.15 × 0.3 + 0.3 × 0.4 + 0.5 × 0.1 =0.20943.接 39 题,若第二次取到的是 1 号球,计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率.解39 题计算知 P(B1)= 1 ,应用贝叶斯公式 2 1 1 × P( A1 ) P( B1 | A1 ) 2 2 1 P( A1 | B1 ) = = = 1 P( B1 ) 2 244.一箱产品 100 件,其次品个数从 0 到 2 是等可能的,开箱检验时,从中随机地抽取 10 件,如果发现有次品,则认为该箱产品不合要求而拒收,若已9 知该箱产品已通过验收,求其中确实没有次品的概率.解设事件 Ai 表示一箱中有 i 件次品,i=0, 1, 2. B 表示“抽取的 10 件中无次品” ,先计算P ( B ) 10 10 2 1 C99 C98 P ( B ) = ∑ P ( Ai ) P ( B | Ai ) = × (1 + 10 + 10 ) i =0 3 C100 C100 1 P( A0 | B) = = 0.37 3P ( B )45.设一条昆虫生产 n 个卵的概率为pn = λn n! e ?λ n=0, 1, 2, … 其中λ>0,又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于 p(0<p<1).如果卵的孵化是相互独立的,问此虫的下一代有 k 条虫的概率是多少? 解设事件 An=“一个虫产下几个卵” n=0,1,2….BR=“该虫下一代有 k 条,虫” k=0,1,….依题意,P( An ) = pn = λn n! e ?λ 0 ? P( Bk | An ) = ? k k n?k ?Cn p q ∞ k>n 0≤k ≤n ∞ 其中 q=1-p.应用全概率公式有 P( Bk ) = ∑ P ( An ) P( Bk | An ) = ∑ P( An ) P( Bk | An ) n =0 n=k ∞ =∑ n=l n! λ ?λ e p k q n?k n! k !( n ? k ) ! n (λp ) k ?λ ∞ (λq) n? k e ∑ k! n= k (n ? k ) ! 由于∑ (λq) ∞ (λ q ) n ? k = e λq ,所以有n = k ( n ? k ) ! n ? k =0 ( n ? k ) ! = n?k ∑ ∞ P( Bk ) = ( λ p ) k ? λ λq ( λ p ) p ? λp e e = e k! k k = 0, 1, 2,L 10习题二 1.已知随机变量 X 服从 0-1 分布,并且P{X≤0}=0.2,求 X 的概率分布.解 X 只取 0 与 1 两个值, {X=0}=P{X≤0}-P{X<0}=0.2, {X =1}=1-P{X P P =0}=0.8.2.一箱产品 20 件,其中有 5 件优质品,不放回地抽取,每次一件,共抽取两次,求取到的优质品件数 X 的概率分布.解 X 可以取 0, 1, 2 三个值.由古典概型公式可知 C m C 2? m P { X = m } = 5 215 (m = 0, 1, 2) C20 依次计算得 X 的概率分布如下表所示: X P 0 21 38 1 15 38 2 2 383.上题中若采用重复抽取,其他条件不变,设抽取的两件产品中,优质品为 X 件,求随机变量 X 的概率分布.解 X 的取值仍是 0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是 1/4,取到非优质品的概率是 3/4,且各次抽取结果互不影响,应用伯努利公式有 9 ?3? P{X = 0} = ? ? = 4 ? 16 ? 6 1 ? 1 ?? 3 ? P { X = 1 } = C 2 ? ?? ? = 4 ?? 4 ? 16 ? 1 ?1? P { X = 2 }= ? ? = 4 ? 16 ? 2 24.第 2 题中若改为重复抽取,每次一件,直到取得优质品为止,求抽取次数 X 的概率分布.解 X 可以取1, 2, …可列个值.且事件{X = n}表示抽取 n 次,前 n-1 次均未取到优质品且第 n 次取到优质品,其概率为 ? 3 ? ? 1 .因此 X 的概率分布为 ? ? n ?1 ?4? 4 1?3? P {X = n } = ? ? 4?4? n ?1 n = 1, 2, …5.盒内有 12 个乒乓球,其中 9 个是新球,3 个为旧球,采取不放回抽取,每次一个直到取得新球为止,求下列随机变量的概率分布.(1)抽取次数 X; (2)取到的旧球个数 Y .解 (1)X 可以取 1, 2, 3, 4 各值. 3 3 9 9 P { X =1 }= P {X = 2 } = × = 4 12 11 3 2 9 9 P { X = 3 }= × × = 12 11 10 220 44 11 P { X = 4 }= 3 2 1 9 1 × × × = 12 11 10 9 220 (2) Y 可以取 0, 1, 2, 3 各值. 3 P {Y = 0 }= P { X =1 }= 4 9 P {Y =1 }= P { X = 2 }= 44 9 P {Y = 2 }= P { X = 3 }= 220 1 P {Y = 3 }= P { X = 4 }= 2206.上题盒中球的组成不变,若一次取出 3 个,求取到的新球数目 X 的概率分布.解 X 可以取 0, 1, 2, 3 各值. C33 1 P {X = 0 } = 3 = C12 1 9 220P {X = 1 } = P {X = 2 } = P {X = 3 } = CC 27 = 3 C12 220 1 C92C3 108 = 3 220 C12 3 C9 84 = 3 C12 220 2 37.已知 P{X=n}=pn,n=1, 2, 3, …, 求 p 的值.∞ 解根据∑ P { X = n }=1 , 有n =1 1 = ∑ Pn = n=1 ∞ p 1? p 解上面关于 p 的方程,得 p =0.5. 8.已知 P{X=n}=pn, n=2, 4, 6, …,求 p 的值. 2 解 p2 + p4 + p6 + … = p 2 = 1 1? p 解方程,得p= ± 2 /29.已知 P{X=n}=cn, n=1, 2, …, 100, 求 c 的值.100 解 1 = ∑ cn = c ( 1 + 2 + … + 100 ) =5050 c n =1 解得 c=1/5050 .10.如果 pn=cn_2,n=1, 2, …, 问它是否能成为一个离散型概率分布,为什么? ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 解∑ pn = c ∑ 12 , 由于级数∑ 12 收敛, 若记∑ 12 =a,只要取 c = 1 , 则有∑ pn =1, 且 n =1 n=1 n n =1 n n =1 n a n =1 pn>0.所以它可以是一个离散型概率分布.11.随机变量 X 只取 1, 2, 3 共三个值,其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列,求 X 的概率分布.解设 P{X=2}=a,P{X=1}=a-d, P{X=3}=a+d.由概率函数的和为 1,可知 a= 1 , 但是 a-d 与 a+d 均需大于零, 3 因此|d|< 1 , X 的概率分布为 3 X 1 2 3 12 P 1 -d 3 1 3 3 1 +d 3 其中 d 应满足条件:0<|d|< 1 12.已知 P { X 解∞ m =1 = m }= ∞ cλ ?λ ,m e m! m =1, 2, …, 且λ>0, 求常数 c. 1 = ∑ p{X = m} = ∑ ∞ cλm ?λ e m =1 m ! = eλ 由于∑ ∞ λm m =0 m ! = 1+ ∑ ∞ λm , 所以有 m =1 m !13.甲、乙二人轮流投篮,甲先开始,直到有一人投中为止,假定甲、乙二人投篮的命中率分别为 0.4 及 0.5,求: (1)二人投篮总次数 Z 的概率分布; (2)甲投篮次数 X 的概率分布; (3)乙投篮次数 Y 的概率分布.解设事件 Ai 表示在第 i 次投篮中甲投中,表示在第 j 次投篮中乙投中,=1, 3, j i 5, …, j=2, 4, 6,…,且 A1, B2, A3, B4,…相互独立. (1) P{Z = 2k ? 1} = p{A1 B1 L A 2 k ?3 B 2 k ?2 A2 k ?1 } = (0.6×0.5) k ?1 ·0.4 = 0.4(0.3) k ?1 k=1, 2, … P{Z = 2k } = p( A1 B1 L A2 k ?3 B 2 k ? 2 A2 k ?1 B2 k ) k = 0.5×0.6×(0.6×0.5) k ?1 =0.3 k=1, 2, … (2) P{X = n} = p{A1 B1 L A2 n?3 B 2n?2 A2 n?1 } + p A1 B1 L A 2 n ?3 B 2 n ?2 A2 n?1 B2 n = (0.6 × 0.5) n?1 (0.4 + 0.6 × 0.5) = 0.7 × 0.3n?1 n = 1, 2, K (3) P { Y = 0 } = P( A1 ) = 0.4 P { Y = n } = P A1 B1 K A 2 n?1 B2 n + P A1 B1 K A 2 n?1B 2 n A2 n+1 = (0.6 × 0.5) n?1 × 0.6 × (0.5 + 0.5 × 0.4) = 0.42 ×0.3n?1 n = 1, 2,K cλm ?λ ∑1 m ! e = c(e λ ? 1)e ?λ = c(1 ? e ?λ ) = 1 m= 1 解得c= 1 ? e ?λ { } { } { }14.一条公共汽车路线的两个站之间,有四个路口处设有信号灯,假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过,其概率为 0.6,遇到红灯或黄灯则停止前进,其概率为 0.4,求汽车开出站后,在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目 X 的概率分布(不计其他因素停车).解 X 可以取 0, 1, 2, 3, 4 . P { X =0 } =0.4 P { X=1 }=0.6×0.4=0.24 2 P { X=2 } =0.6 ×0.4=0.144 P { X=3 } =0.63×0.4=0.0864 P { X=4 } =0.64=0.1296 15. ?sin x , f ( x) = ? ? 0, x ∈ [ a , b] ,其他. 13 问 f(x)是否为一个概率密度函数,为什么?如果(1) a = 0 , b = π ; (2) a = 0 , b = π ; (3) a = π , b = 3 π . 2 2 解π 在〔0, π 2 〕与〔0, π〕上,sinx≥0,但是∫ 0π sin xdx ≠ 1, ? π ? 上,sinx ? ? 3 2 ∫ 0 sin xd x = 1, 而在?π, ? 2 ≤0.因此只有(1)中的 a, b 可以使 f (x)是一个概率密度函数. 16. ?x ? x , ? e 2c f ( x) = ? c ? 0, ? 2 x>0 ,x ≤ 0.其中 c>0,问 f(x)是否为密度函数,为什么? 解易见对任何x∈(-∞ , +∞) , f ( x ) ≥ 0,又∫ +∞ 0 x ? 2c e dx = 1 c x2 f(x)是一个密度函数. 17.解 ?2 x , f ( x) = ? ? 0, a<x <a + 2.其他.问 f ( x )是否为密度函数,若是,确定 a 的值;若不是,说明理由.如果 f ( x )是密度函数,则 f ( x )≥0,因此a≥0,但是,当a≥0 时, 2 a +2 ∫ a 2 × dx = x | a = 4 a + 4 ≥ 4 a+2 由于∫+∞ f ?∞ ( x) dx 不是 1,因此 f ( x )不是密度函数.a < x<+ ∞ , 其他. 18.设随机变量 X~f ( x ) 2 ? , ? f ( x ) = ? π ( 1 + x2 ) ? 0, ? 确定常数 a 的值,如果 P { a < x < b } =0.5,求 b 的值.解+∞ 2 2 2 π dx = arctan x ∫ = ( ? arctan a) 2 a π (1 + x ) a π π 2 2 ?π ? 解方程 ? -arctana ? =1 π ?2 ? ∫ +∞ 得 a = 0 b P { 0 < x < b } = ∫0 f ( x ) dx = 2 2 arctan x |b = arctan b 0 π π 解关于 b 的方程:2 arctanb=0.5 π 得 b=1.19.某种电子元件的寿命 X 是随机变量,概率密度为 ?100 ? f ( x ) = ? x2 ? 0, ? x ≥ 100 , x<100 . 3 个这种元件串联在一个线路中,计算这 3 个元件使用了 150 小时后仍能使线路正常工作的概率. 14 解串联线路正常工作的充分必要条件是 3 个元件都能正常工作.而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量,因此若用事件 A 表示“线路正常工作” ,则 P ( A ) = [ P ( X >150) ]3 2 + ∞ 100 P { X > 150 }=∫ 150 dx = 2 x 3 8 P( A)= 27 20.设随机变量 X~f ( x ),f ( x )=Ae-|x|,确定系数 A;计算 P { |X | ≤ 1 }.∞ 解 1 = ∫ ?+∞ Ae ? | x | dx = 2 A ∫ 0+∞ e ? x dx = 2 A 解得 A=1 2 1 ?1 1 1 ?| x| e dx = ∫ e ? x dx 0 2 P {| X | ≤1 }= ∫ 21.设随机变量 Y 服从〔0, 5〕上的均匀分布,求关于 x 的二次方程 4x2+4xY+Y+2=0 有实数根的概率.解 4x2+4xY+Y+2=0.有实根的充分必要条件是△=b2-4ac =16Y2-16(Y+2)=16Y2-16Y-32≥0 设事件 P(A)为所求概率.则P ( A) = P {16Y 2 ? 16Y ? 32 ≥ 0 } = P { Y ≥ 2 } + P { Y ≤ ?1 } =0.6 22.设随机变量 X ~ f ( x ), ? c , ? f ( x) = ? 1 ? x 2 ? 0, ? | x | <1,其他.= 1 ? e ?1 ≈ 0.632 确定常数 c,计算P ? | X | ≤ 1 ? .? ? ? 2? 解 1 = ∫?1 1 c 1? x 2 dx = c arcsin x |1 1 = cπ ? c =1 π 1? 1 2 dx = arcsin x ? = 21 2 ? ∫? 2 π 1 ? x 2 π 1 1 2 0 ? P ? | X |≤ ? = 1 3 23.设随机变量 X 的分布函数 F ( x )为 ? 0, ? F ( x) = ? A x , ? 1, ? x<0 , 0<x<1 , x ≥ 1.确定系数 A,计算P { 0 ≤ X ≤ 0.25 },求概率密度 f ( x ).解连续型随机变量 X 的分布函数是连续函数,F F (1-0),有 A=1. (1)= 15 ? 1 , ? f ( x ) = ?2 x ? 0, ? 0<x<1 , 其他. P { 0 ≤ X ≤ 0.25 } = F ( 0.25 ) ? F ( 0 ) = 0.5 24.求第 20 题中 X 的分布函数 F ( x ) .解 F ( x ) = P { X ≤ x } = ∫ ?x∞ 1 e ? | t | dt 2 当t ≤ 0 时, F ( x ) = ∫ ?∞ x 1 t 1 e dt = e x 2 2 当 t>0 时, x 1 01 x1 F ( x ) = ∫ ?∞ e ? | t | dt = ∫ ?∞ e ?t dt + ∫0 e -t dt2 22 1 1 1 ?x ?x = + (1 ? e ) = 1 ? e 2 2 2 25.函数(1+x2)-1 可否为连续型随机变量的分布函数,为什么? 解不能是分布函数,因 F (-∞)= 1 ≠ 0.a ,确定 a 的值;求分布函数 26.随机变量 X ~ f ( x ),并且 f ( x ) = 2 π (1+ x ) F ( x );计算 P { | X | <1 } .解 1 = ∫ ?∞ +∞ a a ∞ dx = arctan x +∞ = a ? π ( 1+ x2 ) π 因此a =1 F ( x) = ∫ ?∞ x 1 1 dt= arctan t ?x∞ 2 π ( 1+ t ) π 1 1 = + arctan x 2 π 1 1 1 1 P { | X | <1 } = ∫ ?1 dx = 2 ∫ 0 dx 2 π ( 1+ x ) π ( 1+ x2 ) 2 1 = arctan x 01 = π 2 27.随机变量 X 的分布函数 F ( x ) 为: A ? , ?1 ? F ( x) = ? x 2 ? 0, ? x>2 ,x ≤ 2.确定常数 A 的值,计算P { 0 ≤ X ≤ 4 } .解由 F ( 2+0 )=F ( 2 ),可得1? A =0, 4 A=4 P { 0 ≤ X ≤ 4 } = P { 0<X ≤ 4 } = F ( 4 ) ? F ( 0 ) = 0.75 f 28.随机变量 X~f ( x ), ( x )= A , 确定 A e x + e?x 的值;求分布函数 F ( x ) . 16 解 1 = ∫ ?∞ 因此A ex ∞ dx = A ∫ ? ∞ dx e x + e ?x 1 + e2x π = A arctan e x ∞∞ = A ? 2 A= 2 ,π ∞ ?∞ F (x)=∫ 2 2 dt = arctan et π ( et + e ?t ) π 2 = arctan e x π x x ?∞ 29.随机变量 X~f ( x ), ? 2x ? , 0<x <a f ( x ) = ? π2 ? 0 , 其他.其他 ? 确定 a 的值并求分布函数 F ( x ) .解1 = ∫0 a 2x x2 dx = 2 2 π π a 0 = a2 π2 因此,a = π 当 0<x<π 时,F ( x ) ∫0 2t x2 dt = 2 π2 π ?0, x ≤ 0 ? 2 ?x F ( x) = ? 2 , x<π 0<?π ?1, x ≥ π ? x 30.随机变量 X 的分布函数为 ?0 , ? F ( x ) = ? a 2 x 2 + 2ax + 2 ?ax e , ?1 ? 2 ? x≤0 x>0 (a>0) 求 X 的概率密度并计算 P ? 0<X< 1 ? . ? ? ? a ? 解当x ≤0 时,X 的概率密度 f ( x ) =0;当 x > 0 时,f ( x ) =F′ ( x ) ? 0, ?f ( x ) = ? a 3 x 2 ?ax e , ? ? 2 x≤0, 0. x> 31.随机变量 X 服从参数为 0.7 的 0-1 分布,求 X2,X2-2X 的概率分布.解 X2 仍服从 0-1 分布,且 P { X2=0 } =P { X=0 } =0.3,P{X2=1}=P{X 1 ? 1 ? 1 ? ? P ? 0<x< ? = P ? 0<x ≤ ? = F ( ) ? F ( 0 ) a ? a ? a ? ? 5 ?1 = 1 ? e ≈ 0.08 2 17 =1}=0.7 X2-2X 的取值为-1 与 0 , P{X2-2X=0} =P { X =0 } =0.3 P { X2-2X=-1 } =1-P { X=0 } =0.7 32.已知 P { X=10n } =P { X=10-n }= 1n , n = 1 , 2 , K , 解 Y=lgX,求 Y 的概率分布. Y 的取值为±1, ±2 , … P { Y=n } =P { lgX=n } =P { X=10n } = 1 3 3 3 P { Y=-n } =P { lgX=-n } =P { x=10-n } = 1 n=1 , 2 , … 33. X 服从〔a , b〕上的均匀分布,Y=ax+b (a≠0),求证 Y 也服从均匀分布.证设Y 的概率密度为 fY ( y ) ,X 的概率密度为 fX ( x ),只要 a ≠ 0, y = ax + b 都是 x 的单调函数.当 a > 0 时,Y 的取值为〔a2+b , ab+b〕, x=h( y)= 1 1 ( y ? b ) , h′ ( y ) = x ′ = y a a 1 f Y ( y ) = h′ ( y ) f X [ h ( y ) ] = , y ∈ [ a 2 + b , ab + b ], a (b?a ) 当y ∈ [ a 2 + b , ab + b ] 时, fY ( y ) =0.类似地,若 a<0,则 Y 的取值为〔 ab+b ,a2+b 〕? ?1 , ? f Y ( y) = ? a(b ? a) ? 0, ? ab + b ≤ y ≤ a 2 + b , 其他.因此,无论 a>0 还是 a<0,ax+b 均服从均匀分布. 34.随机变量 X 服从〔0 , π 2 〕上的均匀分布 Y=cosX , 求 Y 的概率密度 fY ( y ).解 y=cosx 在〔0, h′ ( y ) = ?1 1? y 2 π 2 〕上单调,在(0 , 1)上,h ( y ) = x =arccosy 2 π , fx ( x ) = 0< y <1 , 其他., 0 ≤ x ≤ π 2 .因此 2 ? , ? fY ( y ) = ? π 1 ? y 2 ? 0, ? 35.随机变量 X 服从(0 , 1)上的均匀分布,Y=ex , Z =|lnX|,分别求随机变量 Y 与 Z 的概率密度 fY ( y ) 及 fZ ( z ) .解 y = ex 在(0 , 1)内单调 , x=lny 可导,且x′y = 1 , fX ( x ) =1 y 0 < x < 1 , 因此有 18 ?1 ? , fY ( y ) ? y ? 0, ? 1< y < e , 其他.在(0 , 1)内 lnx < 0|lnx|=-lnx 单调,且 x = e ? z ,x′z=-e ? z ,因此有 ?e ? z , fz ( z ) = ? ? 0, 0 < z <+ ∞, 其他. 36.随机变量 X~f ( x ) , ?e ? x , f (x)=? ? 0, x>0 x≤0 Y = X , Z = X2 , 分别计算随机变量 Y 与 Z 的概率密度 fy ( y ) 与 fZ ( z ) .解当 x > 0 时,y = x 单调,其反函数为x = y2 , x′y = 2y ?2 y e ? y , ? fY ( y ) = ? ? 0, ? 2 y>0 , y ≤ 0. z 当 x > 0 时 z=x2 也是单调函数,其反函数为 x = ? 1 ? e ? f z ( z) = ? 2 z ? 0, ? z , x′ z= 1 2 z z>0 ,z ≤ 0. (x)= 2 37.随机变量 X~f ( x ),当x ≥ 0 时, f π (1 + x 2 ) , Y=arctanX , Z = 解 1 X ,分别计算随机变量 Y 与 Z 的概率密度 fY ( y ) 与 fz ( z ) . ? 2? 其反函数x=tany , x′ y=sec2y 在? ? 0, π ? 内由于 y = arctanx 是单调函数,? ? π 2 2 f Y ( y ) = sec y = π (1 + tan 2 y ) π 即 Y 服从区间(0 , π )上的均匀分布. 2 1 z = 在 x>0 时也是 x 的单调函数,其反函数 x= 1 x z 2 恒不为零,因此,当 0 < y < 2 时,, x′ z = ?1 . 2 z 因此当 z>0 时,fz ( z ) = ?1 2 2 = 2 z π [ 1+ ( 1 )2 ] π ( 1 + z 2 ) z 2 ? , z>0 ? f z ( z ) = ? π(1 + z 2 ) ? 0, z≤0 ? 19 即Z = 圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动.求该质点横 38.一个质点在半径为 R,坐标 X 的密度函数 fX ( x ) .解如图,设质点在圆周位置为 M,弧 M A 的长记为 L,显然 L 是一个连续型随机变量,L 服从〔0,πR〕上的均匀分布.?1 , ? f L ( l ) = ? πR ? 0, ? 0 ≤ l ≤ πR ,其他. 1 X 与 X 同分布.M 点的横坐标 X 也是一个数,且图 2-1 随机变量,它是弧长 L 的函 X =Rcosθ = Rcos 函数 x = Rcosl / R 是 l 的单调函数 ( 0< l <πR ) ,其反函数为 l =Rarccos x R ′ lx = ?R R2 ? x2 L R 当-R < x < R 时,L′x ≠ 0,此时有fX ( x ) = ?R R ?x 2 2 ? 1 1 = πR π R 2 ? x 2 当 x ≤ -R 或x ≥ R 时,fX ( x ) =0 . 39.计算第 2 ,3 , 5 , 6 , 11 各题中的随机变量的期望.解根据第 2 题中所求出的 X 概率分布,有EX = 0 × 21 15 2 1 + 1× + 2 × = 38 38 38 2 亦可从 X 服从超几何分布,直接计算EX = n N1 5 1 = 2× = N 20 2 + 1× 6 1 1 + 2× = 16 16 16 2 1 亦可从 X 服从二项分布(2, ),直接用期望公式计算:4 1 1 EX = np = 2 × = 4 2 9 9 1 + 3× + 4× = 1 .3 4 44 220 220 (2) EY = 0 × 3 +1 × 9 + 2 × 9 + 3 × 1 = 0.3 4 44 220 220 1 27 在第 6 题中,EX = 0 × +1 × + 2 × 108 + 3 × 84 = 2.25 220 220 220 220 1 ?1 ? ?1 ? 在第 11 题中, EX = 1 × ? ?d ? + 2 × + 3 × ? + d ? 3 ?3 ? ?3 ? 在第 3 题中EX = 0 × 9 在第 5 题中(1) EX = 1 × 3 + 2 × 20 = 2 + 2d 0<|d|< 1 3 40. P { X = n } = c , n=1, 2, 3, 4, 5, 确定 C 的值并计算 EX.解n c c c c c 137c =1 ∑ =c+ + + + = n =1 n 2 3 4 5 60 5 C= 60 137 5 n =1 EX = ∑ n ? 41.随机变量X 只取-1, 0, 1 三个值,且相应概率的比为 1 : 2 : 3,计算 EX.解设 P { X =-1 } = a,则 P { X =0 } =2a, P { X=1 } =3a ( a>0 ) ,因 a + 2a + 3a = 1 , 故 a =1/6 EX = ?1 × c 300 = 5C = n 137 42.随机变量 X 服从参数为 0.8 的 0-1 分布,通过计算说明 EX2 是否等于 ( EX )2 ? 解 EX =P { X=1 } =0.8,( EX )2 =0.64 EX2=1×0.8=0.8>( EX )2 43.随机变量 X~f ( x ) ,f ( x ) =0.5e- | x |,计算 EXn,n 为正整数.解当 n 为奇数时,x n f EX n = ∫ ?∞ 0.5x ne ? | x | dx = 0 +∞ 1 2 3 1 + 0 × + 1× = 6 6 6 3 ( x ) 是奇函数,且积分∫ 0 x n e ? x dx 收敛,因此∞ 当 n 为偶数时,EX n = ∫ ?∞ 0.5x n e ? | x | dx = 2∫ 0 0.5x n e ? x dx = ∫0 +∞ +∞ +∞ x n e ? x dx = Γ ( n + 1 ) = n ! 44.随机变量 X~f ( x ) ,? x, ? f ( x) = ?2 ? x , ? 0, ? n 0 ≤ x ≤1, 1<x <2 , 其他.其他计算 EX (n 为正整数) .解EX n = ∫ ?∞ x n f ( x )dx = ∫ 0 x n+1dx + ∫ 1 ( 2 ? x ) x n dx 1 2 +∞ = 1 2 1 + ( 2 n+1 ?1 ) ? (2 n+ 2 ) ? 1 n + 2 n +1 n+2 2 n+2 ? 2 = ( n +1) ( n + 2 ) 45.随机变量 X~f ( x ) ,?cx b , f (x)=? ? 0, 0 ≤ x ≤1, 其他.其他 c =1 b +1 b,c 均大于 0,问 EX 可否等于 1,为什么? 解而EX = ∫ 0 cx b +1dx = 1 b ∫ ?∞ f ( x )dx = ∫ 0 cx dx = 1 +∞ c b+2 21 由于方程组 ? c ?b + 1 = 1 ? ? ? c =1 ?b + 2 ? 无解,因此 EX 不能等于 1. 46.计算第 6,40 各题中 X 的方差 DX .解在第 6 题中,从第 39 题计算知 EX= 9 , 4 27 4 × 108 9 × 84 1215 EX = + + = 220 220 220 220 2 DX=EX2-( EX )2≈0.46 在第 40 题中,已计算出 EX=300 , 137 c 5 EX 2 = ∑ n 2 × = ∑ cn = 15c n =1 n n=1 900 = 137 5 DX=EX2-(EX)2≈1.77 47.计算第 23,29 各题中随机变量的期望和方差.解在第 23 题中,由于 f ( x ) = 1 (0<x<1),因此2 x 1 1 EX = ∫ 0 dx = 3 2 x 2 x 1 1 EX 2 = ∫ 0 dx = 5 2 x x DX = EX2-( EX )2 =4 45 π 在第 29 题中,由于 f ( x ) = 2x ( 0<x<π ) , 因此2 EX = ∫ 0 2x 2 dx = π 2 π 3 2x3 π2 π EX 2 = ∫ 0 2 dx =π 2 π 2 2 DX=EX2-( EX )2= π 解∞ EY= ∫ ?+∞ yfY ( y ) dy = ∫ 01 2 18 dy = 2 π 48.计算第 34 题中随机变量 Y 的期望和方差.2y π 1? y 2 EY2= ∫ 01 2 2y π 1? y2 dy = 1 2 DY= 1 ? 4 π2 ? 8 = π2 2π 2 49.已知随机变量 X 的分布函数 F ( x ) 为: 22 F ( x ) 0, ? ? 2 ?1 + x + x , 2 = ?2 ? 2 ? 1 + x- x , ?2 2 ? 1, ? x< ? 1,? 1 ≤ x<0 ,0 ≤ x <1,x ≥ 1.计算 EX 与 DX .解依题意,X 的密度函数 f ( x ) 为: ?1 + x , ? f ( x ) = ?1 ? x , ? 0,? ? 1 ≤ x<0 ,0 ≤ x<1,其他.解EX=∫ ?01 x ( 1 + x ) dx + ∫ ?01 x ( 1 ? x ) dx = 0 EX2= ∫ ?01 x 2 ( 1 + x ) dx + ∫ 01 x 2 ( 1 ? x ) dx = 1 DX= 16 6 50.已知随机变量 X 的期望 EX=μ,方差 DX=σ2,随机变量 Y = 和 DY .解 EY = 1 ( EX-μ ) =0 σ X ?? σ , 求EY DY = DX σ2 =1 1 ) 4 51.随机变量 Yn~B ( n, 并画出概率函数图. ,分别就 n=1, 2, 4, 8, 列出 Yn 的概率分布表,解 Y1 P Y3 P Y4 P 0 3 4 1 1 4 Y2 P 1 27 64 0 9 16 1 6 16 2 1 16 0 27 64 2 9 64 3 1 64 0 81 256 1 108 256 2 54 256 3 12 256 4 1 256 Y8 0 1 2 3 4 5 6 78 23 P 6561 1749 2041 1360 5670 1512 252 24 a a 6a 2a 8a a a a a 其中a = 1/65536 .图略. 52.设每次试验的成功率为 0.8,重复试验 4 次,失败次数记为 X,求 X 的概率分布.解 X 可以取值 0, 1, 2, 3, 4 .相应概率为 P ( X=m ) =C44?m × 0.84?m × 0.2m ( m=0, 1, 2, 3, 4 ) 计算结果列于下表 X P 0 1 2 3 4 0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016 53.设每次投篮的命中率为 0.7,求投篮 10 次恰有 3 次命中的概率;至少命中 3 次的概率.解记 X 为 10 次投篮中命中的次数,则 X~B ( 10 , 0.7 ) . 3 P { X = 3 } = C10 0.7 3 0.37 ≈ 0.009 P { X ≥ 3 }= 1? P { X = 0 }? P { X = 1 }? P { X = 2 } =1-0.310-10×0.7×0.39-45×0.72×0.38 ≈0.9984 54.掷四颗骰子,求“6 点”出现的平均次数及“6 点”出现的最可能(即概率最大)次数及相应概率.解掷四颗骰子,记“6 点”出现次数为 X,则 X~B(4, 1 ).6 EX = np =2 3 55.已知随机变量 X~B(n, p),并且 EX=3,DX=2,写出 X 的全部可能取值,并计算P { X ≤ 8 } .解根据二项分布的期望与方差公式,有 ?np = 3 ? ?npq = 2 5 ,其 X 的最可能值为〔 6 5 625 P { X = 0 } = ( )4 = 6 1296 500 若计算 P { X = 1 } = ,显然 P { x = 2 } , P { x = 3 } , 1296 P { x = 4 } 概率更小.由于 np + p = np + p 〕=0 解方程,得q= 2 ,p= 1 ,n=9 . 3 3 X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, …, 9 .P { X ≤ 8 }= 1? P { X = 9 } = 1-( 1 ) 9 ≈ 0.9999 56.随机变量 X~B(n,p)EX=0.8,EX2=1.28,问 X 取什么值的概率最大,其,概率值为何? 解由于 DX = EX2-(EX)2=0.64, EX=0.8, 即 3 24 ?npq = 0.64 ? ?np = 0.8 解得 q = 0.8,p = 0.2,n = 4 .由于 np+p=1,因此 X 取 0 与取 1 的概率最大,其概率值为 P { X = 0 } = P { X = 1 } = 0.8 4 = 0.4096 57.随机变量 X~B(n, p)Y=eaX,计算随机变量 Y 的期望 EY 和方差 DY .,解随机变量 Y 是 X 的函数,由于 X 是离散型随机变量,因此 Y 也是离散型随机变量,根据随机变量函数的期望公式,有i EY = ∑ e ai P{X = i}∑ e ai C n p i q n?i = i=0 n i =0 n n ∑ C (e p ) q = i =0 i n a i n i =0 n?i = (e a p + q ) n EY 2 = ∑ (e ai ) 2 P{X = i} i ∑ C n (e 2 a p) i q n ?i = (e 2 a p + q) n = i =0 n DY = (e 2 ap + q) n ? (e ap + q ) 2 n 58.从一副扑克牌(52 张)中每次抽取一张,连续抽取四次,随机变量 X,Y 分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数,分别求 X,Y 的概率分布以及期望和方差.解 X 服从超几何分布,Y 服从二项分布 B(4, 1 ).2 P {X = m} = C C C m 26 4?m 26 4 52 1 1 (m = 0,1,2,3,4) P{Y = m} C 4m ( ) m ( ) 4?m (m = 0,1,2,3,4) = 2 2 具体计算结果列于下面两个表中. X P Y P EX = n 0 1 2 3 4 46/833 208/833 325/833 208/833 46/833 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 0 1/16 59.随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布,查表写出概率 P{X = m}m = 0,1,2,3,4 并与 , 上题中的概率分布进行比较.X N1 26 = 4× =2 N 52 N N N ?n 26 26 48 16 DX = n 1 ? 2 ? = 4× × × = N N N ?1 52 52 51 17 1 EY = np = 4 × = 2 DY = npq = 1 2 P 0 1 2 3 4 0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 0.0902 60.从废品率是 0.001 的 100000 件产品中,一次随机抽取 500 件,求废品率不超过 0.01 的概率.解设 500 件中废品件数为X,它是一个随机变量且 X 服从 N=100000, N1 =100, n=500 的超几何分布.由于 n 相对于 N 较小,因此它可以用二项分布 B 500,( 0.001)近似.又因在二项分布 B(500,0.001)中,n=500 比较大,而 p=0.001 非常小, 25 因此该二项分布又可用泊松分布近似,其分布参数λ=np=0.5.? X P? ≤ 0.001 } = P{X ≤ 5} ? 500 5 0 .5 m e ?0.5 = 0.999986 ≈ ∑ m = 0 m! 61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布,平均每件上有 0.8 个疵点,若规定疵点数不超过 1 个为一等品,价值 10 元;疵点数大于 1 不多于 4 为二等品,价值 8 元;4 个以上者为废品,求:(1)产品的废品率;(2)产品价值的平均值解设 X 为一件产品表面上的疵点数目,(1) P{X>4}= 1 ? P{X ≤ 3}= 1 ? ∑ P{X = m} 0.0014 = m=0 3 (2)设一件产品的产值为 Y 元,它可以取值为 0,8,10.EY = 0 × P{Y = 0} 8 × P{Y = 8} 10 × P{Y = 10} + + 1 } = 8P{<X ≤ 4} 10 P{X ≤ 1 + = 8 × 0.1898 + 10 × 0.8088 ≈ 9.61(元) 62.设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布,经统计发现在某本书上,有一个印刷错误的页数与有 2 个印刷错误的页数相同,求任意检验 4 页,每页上都没有印刷错误的概率.解设一页书上印刷错误为X ,4 页中没有印刷错误的页数为 Y ,依题意, P{X = 1 = P{X = 2}}即λe ? λ = λ22! e ?λ 解得λ=2,即 X 服从λ=2 的泊松分布. p = P{X = 0} e ?2 = 显然 Y~B (4, e ?2 ) 63.每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布,若已知一个粮仓内,有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两倍,求粮仓内无鼠的概率.解设 X 为粮仓内老鼠数目,依题意 P{X = 1 = 2 P{X = 2}}P{Y = 4}p 4 = e ?8 = λe ? λ = 2 × λ2 2! e ?λ 解得λ=1. P{X = 0} e ?1 = 64.上题中条件不变,求 10 个粮仓中有老鼠的粮仓不超过两个的概率.解接上题,设 10 个粮仓中有老鼠的粮仓数目为 Y,则 Y~B(10,p),其中 P = X>0} 1 ? P{X = 0} 1 ? e ?1 , q = e ?1 { = = P{Y ≤ 2}= P{ Y = 0} P{ Y = 1 + P{ Y = 2} + } = e ?8 (36e ?2 ? 80e ?1 + 45) ,65.设随机变量 X 服从 [2, 3] 上的均匀分布,计算 E(2X),D(2X) D(2 X )2 . 26 解 1 76 , EX 2 = DX + ( EX ) 2 = 12 12 1 E(2X)=5,D(2X)=4DX= ,3 2 2 2 D (2 X ) = D (4 X ) = 16 DX = 16 EX 4 ? ( EX 2 ) 2 211 3 EX 4 = ∫ 2 x 4 dx =5 211 5776 1504 DX 2 = EX 4 ? ( EX 2 ) 2 = ? = 5 144 720 1504 D (2 X ) 2 = 16 DX 2 = 45 EX=2.5,DX= [ ] 66.随机变量 X 服从标准正态分布,求概率P X ≤ 3} P 2.35 ≤ X ≤ 5}P X ≤ 1}P X ≤ ?7}., { ,{ , {{解P X ≤ 3}= Φ (3) = 0.9987 { P 2.35 ≤ X ≤ 5 = Φ (5) ? Φ (2.35) = 0.0094 {}P X ≤ 1 = Φ (1) = 0.8413 {}P X ≤ ?7 = 1 ? Φ (7) = 0 {} 67.随机变量 X 服从标准正态分布,确定下列各概率等式中的 a 的数值: = (2)P{ X ≤ a} = 0.9; (1) P{X ≤ a} 0.9; ;(3)P{X ≤ a} = 0.97725; (4)P{ X ≤ a} = 0.1; 解(1)P { X ≤ a} = Φ (a) = 0.9 ,查表得 a=1.28 (2)P { X ≤ a} = 2Φ (a ) ? 1 = 0.9 ,得Φ(a)=0.95,查表得 a=1.64 (3)P { X ≤ a} = Φ (a) = 0.97725 ,查表得 a =2 (4)P{ X ≤ a} = 2Φ(a) ? 1 = 0.1 ,得Φ (a)= 0.55,查表得 a = 0.13 68.随机变量 X 服从正态分布 N (5,2 2 ) ,求概率 P{5<X <8}, P{X ≤ 0} , P{ X ? 5 <2}.解 ?8?5? ?5?5? P{5<X<8} = Φ ? ? ?Φ ? ? ?2 ? ? 2 ? = Φ (1.5) ? Φ (0) = 0.4332 P {X ≤ 0} = Φ (? 2.5) = 1 ? Φ (2.5) = 0.0062 ? X ?5 ? P{ X ? 5 <2} = P ? ≤ 1? = 2Φ (1) ? 1 2 ? ? =0.6826 69.随机变量 X 服从正态分布N ( ? ,σ 2 ) ,若 P{X<9} = 0.975 , P{X<2} = 0.062 ,计算μ 和σ 的值,求 P{X>6}. ?9?? ? 解 P{X<9} = Φ ? ? = 0.975 ? σ ? ?2?? ? ? ? ?2? P{X<2} = Φ? ? = 0.062, Φ? ? = 0.938 ? σ ? ? σ ? 查表得:27 ?9 ? ? ? σ = 1.96 ? ? ? ? ? 2 = 1.54 ? σ ? 解以μ 和σ 为未知量的方程组,得μ =5.08,σ=2. P{X>6} = 1 ? P{X ≤ 6} = 1 ? Φ (0.46) =0.3228 70.已知随机变量 X~N (10,2 2 ) , P{X ? 10<c} = 0.95 , P{X<d} = 0.023 ,确定 c 和 d 的值.? X ? 10 c ? P{ X ?10 <c} = P ? <? 2? ? 2 = 2Φ ? c ? ? 1 = 0.95 ? ? ?2? ?c? Φ ? ? = 0.975 , ?2? 查表得 c = 1.96, c = 3.92 2 ? d ? 10 ? P{X<d} = Φ ? ? = 0.023 ? 2 ? 解 ? 10 ? d ? ? = 0.977 ? 2 ? 查表得 ? 10 ? d ? = 2, d = 6 ? ? ?2 ? Φ? 71.假定随机变量 X 服从正态分布N ( ? ,σ 2 ) ,确定下列各概率等式中 a 的数值:(1)P{? ? aσ<X<? + aσ } = 0.9; (2)P{? ? aσ<X<? + aσ } = 0.95; (3) P{? ? aσ<X<? + aσ } = 0.99; 解 ? X ?? ? P{? ? aσ<X<? + aσ } = P ? <a ? ? σ ? =2Φ(a) -1 (1)2Φ (a)-1=0.9,Φ (a)=0.95,a=1.64;(2)2Φ (a)-1=0.95,Φ (a)=0.975, a=1.96;(3)2Φ (a)-1=0.99,Φ (a)=0.995,a=2.58. 72.某科统考的考试成绩 X 近似服从正态分布 N (70, 10 2 ) , 第 100 名的成绩为 60 分,问第 20 名的成绩约为多少分? 解P{X ≥ 60} ≈ 1 ? P{X ≤ 60} = 1 ? Φ ? 60 ? 70 ? ? ? ?10 ? = Φ (1) = 0.8413.设参加统考人数为 n,则 100 =0.8413,n= 100 ≈ 19 n 0.8413 设第 20 名成绩约为 a 分,则P{X ≥ a} = 20 ≈ 0.1681 n 28 P{X ≤ a} = 0.8319 ? a ? 70 ? ? = 0.8319 ? 10 ? 查表得 a ? 70 = 0.96 10。
2《概率论与数理统计》期末考试_[B]答案
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2《概率论与数理统计》期末考试_[B]答案华中农业大学本科课程期末考试试卷B 卷答案考试课程:概率论与数理统计学年学期:考试日期:一、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其字母代号写在该题【】内。
答案错选或未选者,该题不得分。
每小题2分,共10分。
) 1. 设A 和B 是任意两个概率不为0的互不相容事件,则下列结论中肯定正确的是【(d)】.(a) A 与B 不相容; (b) A 与B 相容; (c) P(AB)=P(A)P(B); (d) P(A -B)=P(A). 2. 设随机变量序列X 服从N(μ,16), Y 服从N(μ,25),记p 1=P{X<μ-4},p 2=P{X>μ+5},则下列结论正确的是【(a) 】 .(a)对任何实数μ,都有p 1= p 2; (b) 对任何实数μ,都有p 1< p 2; (c) 对个别实数μ,才有p 1= p 2; (d) 对任何实数μ,都有p 1> p 2. 3. 设总体X 服从正态分布),(N 2σμ,其中μ未知,2σ已知,321X ,X ,X 是总体X 的一个简单随机样本,则下列表达式中不是统计量的是【(d )】.(a )321X X X ++;(b ))X ,X ,X m in(321;(c )∑=σ31i 22i X ;(d )μ+2X .4.在线性回归分析中,以下命题中,错误的是【(d )】 .(a )SSR 越大,SSE 越小;(b )SSE 越小,回归效果越好;(c )r 越大,回归效果越好;(d )r 越小,SSR 越大.5.设随机变量X~F(n,m),欲使P{λ1<x<=""></xλ1的值可为【(a )】 .(a )),(2m n F α; (b )),(2n m F α; (c )12),(-αm n F ;(d )12),(-αn m F ;………………………………… 装……………………………… 订……………………………… 线…………………………………二、填空题(将答案写在该题横线上。
华南农业大学2012-2013数学分析A卷参考答案

2012学年第1学期数学分析III (A )参考答案一、选择题(本大题共4小题,每小题 3分,共12分)(1)A (2)C (3)B (4)C二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)(1)1 (2)12- (3)5, (4)2553dy z x dx y z-=+ (5)sin y y x e +(6)3三、计算题(本大题共6小题,共61分)1、解:22(),z x xf xy y x y∂'=+∂+....…....(5分) 222222()()()z y x xyf xy f xy y x x y ∂-'''=++∂∂+........(10分) 2. 解:21200y y I dy x e dx -=⎰⎰..........(3分) 21132001136y t y e dy t e dt --==⎰⎰............(5分) 11001[]6t t te e dt --=-+⎰......(8分) 12[1]6e =-.........(10分) 3. 解:设1L 为从点()4,0A -到()4,0B 的直线段, 2(,)P x y xy x =+, 23(,)Q x y yx y =+, 则Q P x y∂∂=∂∂. -------------------(4分) 所以()()1223223()d d ()d d L L I xy x x x y y y xy x x x y y y =+++=+++⎰⎰-------------------(7分) 440xdx -==⎰-------------------------------------(9分) 4. 解:2:4,02,0 2.V z ρθπρ≤≤≤≤≤≤22()VI x y dxdydz =+⎰⎰⎰2224300d d dz πρθρρ=⎰⎰⎰-----------------------------------(5分) 23202(4)d πρρρ=-⎰--------------------------------(8分) 32.3π=--------------------------------(10分) 5. 解:补曲面2221{(,,)|0,}x y z z x y a ∑==+≤,1∑取下侧..........(2分)由高斯公式得1333I x dydz y dzdx z dxdy ∑+∑=++⎰⎰=2223()x y z dv Ω++⎰⎰⎰ 5242000635a a d d r dr πππθϕ==⎰⎰⎰..………..(6分) 而13330x dydz y dzdx z dxdy ∑++=⎰⎰.....(8分) 故533365a I x dydz y dzdx z dxdy π∑=++=⎰⎰.......(10分) 6. 解:设切点为000(,,)x y z ,则法向量为000(,,)49y z n x =。
概率论与数理统计试习题与答案

设 为来自总体 的一个样本, 服从指数分布,其密度函数为 ,其中 为未知参数,试求 的矩估计量和极大似然估计量。
八、(本题满分12分)
设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布,今随机抽取9名罪犯,其年龄如下:22,17,19,25,25,18,16,23,24,试以95%的概率判断犯罪青少年的年龄是否为18岁。
概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)
概率统计模拟题一
一、填空题(本题满分18分,每题3分)
1、设 则 =。
2、设随机变量 ,若 ,则 。
3、设 与 相互独立, ,则 。
4、设随机变量 的方差为2,则根据契比雪夫不等式有 。
5、设 为来自总体 的样本,则统计量 服从
分布。
6、设正态总体 , 未知,则 的置信度为 的置信区间的长度 。(按下侧分位数)
对 求导,得
五、(本题满分10分)解: ;
六、(本题满分13分)矩估计: ,
极大似然估计:似然函数 ,
,
七、(本题满分12分)解:欲检验假设
因 未知,故采用 检验,取检验统计量 ,今 , , , , ,拒绝域为 ,因 的观察值 ,未落入拒绝域内,故在 下接受原假设。
八、(本题满分8分)因 ,故
概率统计模拟题二
试求: (1)常数 ; (2) 落在 内的概率; (3) 的分布函数 。
五、(本题满分12分)
设随机变量 与 相互独立,下表给出了二维随机变量 的联合分布律及关于 和 边缘分布律中的某些数值,试将其余数值求出。
六、(本题满分10分)设一工厂生产某种设备,其寿命 (以年计)的概率密度函数为:
工厂规定,出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元,试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。
最新《概率论与数理统计》课后习题与答案

《概率论与数理统计》课后习题与答案概率论与数理统计习题及答案习题一1.略.见教材习题参考答案.2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件:(1)A发生,B,C都不发生;(2)A与B发生,C不发生;(3)A,B,C都发生;(4)A,B,C至少有一个发生;(5)A,B,C都不发生;(6)A,B,C不都发生;(7)A,B,C至多有2个发生;精品好资料-如有侵权请联系网站删除(8)A,B,C至少有2个发生.【解】(1)A BC(2)AB C(3)ABC(4)A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C (6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P(AB).【解】P(AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求:(1)在什么条件下P(AB)取到最大值?(2)在什么条件下P(AB)取到最小值?【解】(1)当AB=A时,P(AB)取到最大值为0.6.(2)当A∪B=Ω时,P(AB)取到最小值为0.3.精品好资料-如有侵权请联系网站删除精品好资料-如有侵权请联系网站删除6.设A ,B ,C 为三事件,且P (A )=P (B )=1/4,P (C )=1/3且P (AB )=P (BC )=0,P (AC )=1/12,求A ,B ,C 至少有一事件发生的概率.【解】 P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )=14+14+13-112=347.从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?【解】 p =5332131313131352C C C C /C 8.对一个五人学习小组考虑生日问题:(1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1) 设A 1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故 P (A 1)=517=(17)5(亦可用独立性求解,下同) (2) 设A 2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故P (A 2)=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P (A 3)=1-P (A 1)=1-(17)59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件,其中M 件正品.从中随机地取出n 件(n <N ).试求其中恰有m 件(m ≤M )正品(记为A )的概率.如果:(1) n 件是同时取出的; (2) n 件是无放回逐件取出的;精品好资料-如有侵权请联系网站删除(3) n 件是有放回逐件取出的.【解】(1) P (A )=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有P n N 种,n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M 件正品中取m 件的排列数有P mM 种,从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种,故P (A )=C P P P m m n mn M N MnN-- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成P (A )=C C C m n mM N MnN-- 可以看出,用第二种方法简便得多.(3) 由于是有放回的抽取,每次都有N 种取法,故所有可能的取法总数为N n 种,n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m 次取得正品,都有M 种取法,共有M m 种取法,n -m 次取得次品,每次都有N -M 种取法,共有(N -M )n -m 种取法,故()C ()/m m n m nnP A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型,共做了n 重贝努里试验,每次取得正品的概率为MN,则取得m 件正品的概率为 ()C 1mn mmnM M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭精品好资料-如有侵权请联系网站删除11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少? 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.一个袋内装有大小相同的7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}(i =2,3),显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒,求:(1) 两粒都发芽的概率; (2) 至少有一粒发芽的概率; (3) 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽},(i =1,2)(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止. (1) 问正好在第6次停止的概率;精品好资料-如有侵权请联系网站删除(2) 问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率.【解】(1) 223151115()()22232p C ==(2) 1342111C ()()22245/325p == 16.甲、乙两个篮球运动员,投篮命中率分别为0.7及0.6,每人各投了3次,求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球},i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617.从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:(1) 在下雨条件下下雪的概率;(2) 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨},B ={下雪}.(1) ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === (2) ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的). 【解】 设A ={其中一个为女孩},B ={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故精品好资料-如有侵权请联系网站删除()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.6()7P B A =20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半). 【解】 设A ={此人是男人},B ={此人是色盲},则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.精品好资料-如有侵权请联系网站删除题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x -y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22.从(0,1)中随机地取两个数,求:(1) 两个数之和小于65的概率; (2) 两个数之积小于14的概率.精品好资料-如有侵权请联系网站删除【解】 设两数为x ,y ,则0<x ,y <1.(1) x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰ 23.设P (A )=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5,求P (B |A ∪B ) 【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24.在一个盒中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球},i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式,有3()()()i i i P B P B A P A ==∑精品好资料-如有侵权请联系网站删除33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问:(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人? (2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人? 【解】设A ={被调查学生是努力学习的},则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P (A )=0.8,P (A )=0.2,又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P (B |A )=0.9,P (B |A )=0.9,故由贝叶斯公式知(1)()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ,试问原发信息是A 的概率是多少? 【解】 设A ={原发信息是A },则={原发信息是B }精品好资料-如有侵权请联系网站删除C ={收到信息是A },则={收到信息是B } 由贝叶斯公式,得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现这球为白球,试求箱子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种)【解】设A i ={箱中原有i 个白球}(i =0,1,2),由题设条件知P (A i )=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知 11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品},B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯精品好资料-如有侵权请联系网站删除29.某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”.统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?【解】 设A ={该客户是“谨慎的”},B ={该客户是“一般的”},C ={该客户是“冒失的”},D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率.【解】设A i ={第i 道工序出次品}(i =1,2,3,4).412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n≤ 故 n ≥11精品好资料-如有侵权请联系网站删除至少必须进行11次独立射击.32.证明:若P (A |B )=P (A |B ),则A ,B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为15,13,14,求将此密码破译出的概率. 【解】 设A i ={第i 人能破译}(i =1,2,3),则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落},B i ={恰有i 人击中飞机},i =0,1,2,3由全概率公式,得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求:(1)虽然新药有效,且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.(2)新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率.【解】(1)310110C(0.35)(0.65)0.5138k k kkp-===∑(2)10102104C(0.25)(0.75)0.2241k k kkp-===∑36.一架升降机开始时有6位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:(1)A=“某指定的一层有两位乘客离开”;(2)B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”;(3)C=“恰有两位乘客在同一层离开”;(4)D=“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开,故所有可能结果为106种.(1)2466C9()10P A=,也可由6重贝努里模型:224619()C()()1010P A=(2) 6个人在十层中任意六层离开,故精品好资料-如有侵权请联系网站删除精品好资料-如有侵权请联系网站删除6106P ()10P B =(3) 由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有110C 种可能结果,再从六人中选二人在该层离开,有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况,因此可包含以下三种离开方式:①4人中有3个人在同一层离开,另一人在其余8层中任一层离开,共有131948C C C 种可能结果;②4人同时离开,有19C 种可能结果;③4个人都不在同一层离开,有49P 种可能结果,故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++(4) D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐,求下列事件的概率: (1) 甲、乙两人坐在一起,且乙坐在甲的左边的概率; (2) 甲、乙、丙三人坐在一起的概率;(3) 如果n 个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率. 【解】 (1) 111p n =- (2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-精品好资料-如有侵权请联系网站删除(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0,a ]任意折成三折,试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形,有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形,即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示,故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙,其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开(抽样是无放回的).证明试开k 次(k =1,2,…,n )才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体,在这些小立方体中,随机地取出一个,试求它有i 面涂有颜色的概率P (A i )(i =0,1,2,3).【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色},i =0,1,2,3.在1千个小立方体中,只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的,这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上(除去八个角外)的精品好资料-如有侵权请联系网站删除小立方体是两面涂色的,这样的小立方体共有12×8=96个.同理,原立方体的六个面上(除去棱)的小立方体是一面涂色的,共有8×8×6=384个.其余1000-(8+96+384)=512个内部的小立方体是无色的,故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ,B ,C ,试证P (AB )+P (AC )-P (BC )≤P (A ).【证】 ()[()]()P A P A B C P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+- ()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率. 【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有43种,杯中球的最大个数为1时,每个杯中最多放一球,故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中,故1433C 1()416P A ==精品好资料-如有侵权请联系网站删除因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币,可能出现:A ={正面次数多于反面次数},B ={正面次数少于反面次数},C ={正面次数等于反面次数},A ,B ,C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的,故P (A )=P (B ).所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22n n n P A =- 44.掷n 次均匀硬币,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数},B ={出现反面次数多于正面次数},由对称性知P (A )=P (B )(1) 当n 为奇数时,正、反面次数不会相等.由P (A )+P (B )=1得P (A )=P (B )=0.5 (2) 当n 为偶数时,由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次,乙掷n 次,求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数,甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数,乙反=乙掷出的反面次数. 显然有精品好资料-如有侵权请联系网站删除>正正(甲乙)=(甲正≤乙正)=(n +1-甲反≤n -乙反) =(甲反≥1+乙反)=(甲反>乙反)由对称性知P (甲正>乙正)=P (甲反>乙反) 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”(Sure -thing ):若P (A |C )≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C ),则P (A )≥P (B ). 【证】由P (A |C )≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+=47.一列火车共有n 节车厢,有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的},(i =1,…,n ),则精品好资料-如有侵权请联系网站删除121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki k ki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1,2,…,n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零,于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)k kn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为精品好资料-如有侵权请联系网站删除121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中,某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明:不论ε>0如何小,只要不断地独立地重复做此试验,则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中,A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币,n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只,将它投掷r 次,已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少?【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B == 则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212r rrm m m n m nm n m n m n+==++++ 50.巴拿赫(Banach )火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴,每盒有N 根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少?第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r 根的概率又有多少?精品好资料-如有侵权请联系网站删除【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件,则有121()()2P B P B ==.(1)发现一盒已空,另一盒恰剩r 根,说明已取了2n -r 次,设n 次取自B 1盒(已空),n -r 次取自B 2盒,第2n -r +1次拿起B 1,发现已空。
概率论与数理统计课后习题答案 (3)
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概率论与数理统计课后习题答案一、概率论1.1 基础概念题目1.什么是随机试验?试举例子。
2.什么是样本空间和事件?回答1.随机试验是指具备以下特征的实验:可以在相同条件下重复进行,每次试验的结果不确定,但可能结果(事件)集合已经确定。
例如,抛一枚硬币的结果是正面或反面,掷一个骰子的结果是1、2、3、4、5或6等等。
2.样本空间是指随机试验所有可能结果的集合,用S表示。
事件是指样本空间中的一个或多个结果组成的子集。
例如,抛一枚硬币的样本空间是{正面,反面},事件可以是{正面}或{反面},或者样本空间本身。
1.2 概率公理题目1.什么是频率概率和主观概率?2.概率公理中的三条公理是什么?回答1.频率概率是由大量重复试验的结果所呈现的相对频率给出的概率。
它基于频率的思想,认为某个事件发生的概率等于该事件在大量试验中出现的频率。
主观概率是由个人主观判断给出的概率。
它基于主观认知和经验,认为某个事件发生的概率取决于主观评估和信念。
2.概率公理是指概率理论的基本公理系统,包括以下三条公理:–非负性公理:对于任意事件A,其概率P(A)大于等于0。
–规范性公理:样本空间S的概率为1,即P(S) = 1。
–可列可加性公理:对于任意互不相容的事件A1,A2,…,An,即这些事件两两不相容(即任意i≠j,Ai∩Aj=∅),则它们的并事件A=A1∪A2∪…∪An的概率等于各事件概率之和,即P(A) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)。
1.3 条件概率与独立性题目1.什么是条件概率?给出计算条件概率的公式。
2.什么是独立事件?给出判断两个事件独立的条件。
回答1.条件概率是指事件A在另一个事件B已经发生的条件下发生的概率。
条件概率的公式是P(A|B) = P(A∩B) /P(B),其中P(A∩B)表示A与B的交集的概率,P(B)表示事件B发生的概率。
2.事件A和事件B是独立事件,指的是事件A的发生与事件B的发生无关。
概率论与数理统计试题与答案完整版
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概率论与数理统计试题与答案HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)概率统计模拟题一一、填空题(本题满分18分,每题3分)1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。
2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ,若95)1(=≥X p ,则=≥)1(Y p 。
3、设X 与Y 相互独立,1,2==DY DX ,则=+-)543(Y X D 。
4、设随机变量X 的方差为2,则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。
5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2χ的样本,则统计量∑==n1i i X Y 服从分布。
6、设正态总体),(2σμN ,2σ未知,则μ的置信度为α-1的置信区间的长度=L 。
(按下侧分位数)二、选择题(本题满分15分,每题3分)1、 若A 与自身独立,则( )(A)0)(=A P ; (B) 1)(=A P ;(C) 1)(0<<A P ; (D) 0)(=A P 或1)(=A P2、下列数列中,是概率分布的是( )(A) 4,3,2,1,0,15)(==x xx p ; (B) 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p (C) 6,5,4,3,41)(==x x p ; (D) 5,4,3,2,1,251)(=+=x x x p 3、设),(~p n B X ,则有( )(A) np X E 2)12(=- (B) )1(4)12(p np X D -=-(C) 14)12(+=+np X E (D) 1)1(4)12(+-=+p np X D4、设随机变量),(~2σμN X ,则随着σ的增大,概率()σμ<-X P ( )。
(A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定5、设),,,(21n X X X 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本,X 与2S 分别为样本均值与样本方差,则下列结果错误..的是( )。
2012-2013第二学期概率论与数理统计试卷 参考答案
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重庆大学概率论与数理统计课程试卷2012 ~2013 学年 第 二 学期开课学院: 数统学院 课程号:10029830 考试日期:考试方式:考试时间: 120分钟分位数:220.0050.975(39)20,(39)58.12χχ==,0.975 1.96u =,(2.68)0.9963,(1.79)0.9633Φ=Φ=,0.025(35) 2.0301t =一、填空题(每空3分,共42分)1.已知()0.3P A =,()0.4P B =,()0.5P AB =,则()P B A B ⋃= 0.25 。
2.从一副扑克牌(52张)中任取3张(不重复),则取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率为 0.602 。
3.从1到9的9个整数中有放回地随机取3次,每次取一个数,则取出的3个数之积能被10整除的概率为 0.214 。
4.一个有5个选项的考题,其中只有一个选择是正确的。
假定应 考人知道正确答案的概率为p 。
如果他最后选对了,则他确实知道答案的概率为541pp +。
5.重复抛一颗骰子5次得到点数为6 的次数记为X ,则(3)P X >= 13/3888 。
6.设X 服从泊松分布,且(1)(2)P X P X ===,则(4)P X ==0.0902 。
7.设圆的直径X 服从区间(0,1)上的均匀分布,则圆的面积Y 的密度函数为1//4()0 ,Y y f y elseπ⎧<<⎪=⎨⎪⎩。
8.已知(,)(1,9;0,16;0.5) ,32X Y X Y N Z -=+ 且,则Z 的密度函数21()36z Z f --(z )。
9.设总体2(,)X N μσ ,其中2σ已知,从该总体中抽取容量为40n = 的样本1,240,,X X X ,则()222110.5 1.453nii P X X n σσ=⎧⎫≤-≤⎨⎬⎩⎭∑= 0.97。
10.设1,210,,X X X 是来自总体2(0,)X N σ 的样本,则Y =服从 t(8) 。
华农概率论习题三解答
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习题三解答1:设二维随变量(X,Y)只能取下列数组中的值:(0,0),(-1,1),(-1,1/3),(2,0),且取这几组值的概率依次为1/6,1/3,1/12,5/12。
求此二维随机变量(X,Y)的分布列。
解:此二维随机变量(X,Y)的分布列是:―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――2.一袋中有四个球,它们依次标有数字1,2,2,3。
从这袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋中任取球,设每次取球时,袋中每个球被取到的可能性相同。
以X,Y分别记第一、二次取得的球上标有的数字,求(X,Y)的概率分布。
解:由题意得:(X,Y)的可能取值为:(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)。
则由概率的乘法公式得:P{X=1,Y=2}=(1/4)×(2/3)=1/6P{X=1,Y=3}=(1/4)×(1/3)=1/12P{X=2,Y=1}=(2/4)×(1/3)=1/6P{X=2,Y=2}=(2/4)×(1/3)=1/6P{X=2,Y=3}=(2/4)×(1/3)=1/6P{X=3,Y=1}=(1/4×(1/3)=1/12P{X=3,Y=2}=(1/4)×(2/3)=1/6而事件(1,1),(3,3)为不可能事件,所以P{X=1,Y=1}=0,P{X=3,Y=3}=0。
则(X ,Y )的联合分布列为:―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――3在一个箱子里装有12只开关,其中2只是次品,在其中随机地取两次,每次取一只,考虑两种试验,(1)有放回抽样,(2)无放回抽样,我们定义随机变量X ,Y 如下⎩⎨⎧=品表示第一次取出的是次品表示第一次取出的是正1X⎩⎨⎧=品表示第二次取出的是次品表示第二次取出的是正1Y解:(1)所求联合概率分布为:(2)所求联合概率分布为:―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――4.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为),(y x f =⎩⎨⎧>>+-其他,00,0,)43(y x ke y x(1)确定常数k ;(2)求(X ,Y )的分布函数;(3)求P{0<X ≤1,0<Y ≤2}。
概率论与数理统计课后习题答案

随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点.习题2将一枚均匀的硬币抛两次,事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”,试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式:习题5.习题6.习题7习题8习题9习题10习题11习题12习题13习题14习题15习题16习题17习题18习题19习题20习题21习题22习题23习题24习题25习题26第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么?解答:①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的,事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答:①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来,则称X为离散型随机变量;否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出,但可在一段连续区间上取值,则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个,编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个,观察号码是“小于5”,“等于5”,“大于5”的情况,试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果,并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答:分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”,“等于5”,“大于5”,则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下:X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.解答:由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为 P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3}; (3)P{X>3}.解答:(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.解答:依题意知,12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得c=3716=2.3125.由条件概率知 P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.解答:随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为设X表示取出3件产品的次品数,则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律为X 0123P 351203612021120112 0习题9一批产品共10件,其中有7件正品,3件次品,每次从这批产品中任取一件,取出的产品仍放回去,求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.解答:由于每次取出的产品仍放回去,各次抽取相互独立,下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同,所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品), 则随机变量X的分布律为P{X=k}=310×310×⋯×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,⋯.习题10设随机变量X∼b(2,p),Y∼b(3,p), 若P{X≥1}=59,求P{Y≥1}.解答:因为X∼b(2,p),P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因为Y∼b(3,p), 所以P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽,每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.解答:以X记纺锭断头数, n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理,所求概率为:P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381.习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布,经统计发现在某本书上,有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率.解答:\becauseP{X=1}=P{X=2}, 即λ11!e-λ=λ22!e-λ⇒λ=2,∴P{X=0}=e-2,∴p=(e-2)4=e-8.2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是随机变量X的分布函数,则X是___________型的随机变量.解答:离散.由于F(x)是一个阶梯函数,故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答:首先,因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).其次,F(x)单调不减且右连续,即F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1,且 F(-∞)=0,F(+∞)=1,所以F(x)是随机变量的分布函数.习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x),并画出图形.解答:由题意知X的分布律为:X 135Pk 0.30.50.2所以其分布函数F(x)=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,x≥5.F(x)的图形见图.习题4设离散型随机变量X的分布函数为 F(x)={0,x<-10.4,-1≤x<10.8,1≤x<31,x≥3,试求:(1)X的概率分布; (2)P{X<2∣X≠1}.解答:(1)X -113pk 0.40.40.2(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答:P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),试求:(1)系数A与B; (2)X落在(-1,1]内的概率.解答:(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx, -∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例,试求X的分布函数.解答:F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答:应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它, 求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答:P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时,F(x)=0;当0<x<1时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求:(1)A,B的值;(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).解答:(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1;又 \becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0, ∴B=-1.(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F(x).解答:由概率密度函数的性质知,∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1, 即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时,F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时,F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管,其寿命(以小时计)为一随机变量,概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答:设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为 p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上,某路公共汽车每5分钟有一辆车到达,设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的,试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答:设X为每位乘客的候车时间,则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布,其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?解答:因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12, 所以c-32=0, 故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量,求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率.解答:先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数,则Y∼b(100,0.05).因为n很大,p很小,可用泊松分布近似,np=5=λ,所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖,为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录,各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖,求:工人每月需完成多少件产品才能获奖?解答:用X表示工人每月需装配的产品数,则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖,依题意得P{X≥x}=0.1,即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1, 即 1-Φ(x-400060)=0.1, 所以Φ(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因此 x-400060≈1.28, 即x=4077件,就是说,想获超产奖的工人,每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压,以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年,测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005.解答:已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{X>x}≤0.05,求x, 即1-P{X≤x}≤0.05, 亦即Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645,从而x≥129.74.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答:X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm,由题意P{X>x}<0.01, 而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.因此,车门的高度超过183.98cm时,男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车,有两条路可以走. 第一条路程较短,但交通拥挤,所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长,但意外阻塞较少,所需时间服从正态分布N(50,42), 求:(1)若动身时离开车时间只有60分钟,应走哪一条路线?(2)若动身时离开车时间只有45分钟,应走哪一条路线?解答:设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间,则 X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.Y -101P 21513815习题3设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布,令Y=cX+d(c≠0),试求随机变量Y的密度函数.解答: fY(y)={fX(y-dc)⋅1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它,当c>0时,fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时,fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布,求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).解答:f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数,y∈(1,e), 其反函数为x=lny, 可得f(x)={fX(lny)∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.习题5设X∼N(0,1),求Y=2X2+1的概率密度.解答:因y=2x2+1是非单调函数,故用分布函数法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 分布函数为F(x), 求下列随机变量Y的概率密度:(1)Y=1X; (2)Y=∣X∣.解答:(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时,FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);;②当y<0时,FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);③当y=0时,FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故这时取fY(0)=0, 综上所述fY(y)={1y2⋅f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时,FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);②当y<0时,FY(y)=P{∅}=0, 这时fY(y)=0;③当y=0时,FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故这时取FY(y)=0, 综上所述 fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N(98.6,2), 已知θ=5(T-32)/9, 试求θ(∘F)的概率密度.解答:已知T∼N(98.6,2). θ=59(T-32), 反函数为T=59θ+32,是单调函数,所以fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+32-98.6)24⋅95=910πe-81100(y-37)2.习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0, 其分布函数为FY(x), 又Y在[0,1]上服从均匀分布,证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答:因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0, 故FX(x)是单调增加函数,其反函数FX-1(y)存在,又Y 在[0,1]上服从均匀分布,故Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是,Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)为X的分布函数,故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能,故上式仅有FZ(z)=FX(z), 因此,Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数,若取到整数k的概率与k成正比,求取到偶数的概率.解答:设Ak为取到整数k, P(Ak)=ck, k=1,2,⋯,20.因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1,所以c=1210,P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20} =1210(2+4+⋯+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答:若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立,所以是一个10重伯努利概型,X服从二项分布,其参数为n=10,p=0.7, 故(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]≈0.998;(3)因X∼b(10,0.7), 而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险,在1年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费,而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金,求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答:1)以“年”为单位来考虑,在1年的1月1日,保险公司总收入为2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X, 则X∼b(2500,0.002), 则保险公司在这一年中应付出200000X(元),要使保险公司亏本,则必须 200000X>300000即X>15(人).因此,P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于100000元}=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.P{保险公司获利不少于200000元}=P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5}=∑k=05C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈∑k=05e-55kk!≈0.615961,即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%.习题4一台总机共有300台分机,总机拥有13条外线,假设每台分机向总机要外线的概率为3%, 试求每台分机向总机要外线时,能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数.解答:设分机向总机要到外线的台数为X, 300台分机可看成300次伯努利试验,一次试验是否要到外线. 设要到外线的事件为A, 则P(A)=0.03, 显然X∼b(300,0.03), 即P{X=k}=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,⋯,300),因n=300很大,p=0.03又很小,λ=np=300×0.03=9,可用泊松近似公式计算上面的概率. 因总共只有13条外线,要到外线的台数不超过13,故P{X≤13}≈∑k=0139kk!e-9≈0.9265, (查泊松分布表)且同时向总机要外线的分机的最可能台数k0=[(n+1)p]=[301×0.03]=9.习题5在长度为t的时间间隔内,某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数t2的泊松分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计), 求:(1)某一天从中午12至下午3时没有收到紧急呼救的概率;(2)某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率.解答:(1)t=3,λ=3/2, P{X=0}=e-3/2≈0.223;(2)t=5,λ=5/2,P{X≥1}=1-P{X=0}=1-e-5/2≈0.918.习题6设X为一离散型随机变量,其分布律为X -101pi 1/21-2qq2试求:(1)q的值; (2)X的分布函数.解答:(1)\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi, 满足∑ipi=1,且0≤pi≤1,∴ {1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2. 从而X的分布律为下表所示:则A=¯,P{∣X∣<π/6}=¯.解答:应填1;1/2.由分布函数F(x)的右连续性,有F(π2+0)=F(π2)⇒A=1.因F(x)在x=π6处连续,故P{X=π6=12,于是有P{∣X∣<π6=P{-π6<X<π6=P{-π6<X≤π6=F(π6)-F(-π6)=12..习题8使用了x小时的电子管,在以后的Δx小时内损坏的概率等于λΔx+o(Δx),其中λ>0是常数,求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x),并求电子管在T小时内损坏的概率.解答:因X的可能取值充满区间(0,+∞),故应分段求F(x)=P{X≤x}.当x≤0时,F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0;当x>0时,由题设知P{x<X≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),而P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x)1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx),即F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,得F′(x)=λ[1-F(x)].这是关于F(x)的变量可分离微分方程,分离变量dF(x)1-F(x)=λdx,积分之得通解为C[1-F(x)]=e-λx(C为任意常数).注意到初始条件F(0)=0, 故C=1.于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0,故X的分布函数为F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),从而电子管在T小时内损坏的概率为P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F(x).解答:当x≤0时,F(x)=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;当x>2时,F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X(单位:百万升)是随机变量,其密度函数为:f(x)={19xe-x3,x>00,其它,试求:(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率;(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答:先求X的分布函数F(x). 显然,当x<0时,F(x)=0, 当x≥0时有F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答:由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,从而c=eλa.于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1-e-λ.注意,a-1<a, 而当x<a时,f(x)=0.习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它, 计算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答:根据条件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.2(12x2-12x+2)dx∫0.10.5(12x2-12x+3)dx =(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.习题13若F1(x),F2(x)为分布函数,(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数,为什么?(2)若a1,a2是正常数,且a1+a2=1. 证明:a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.解答:(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函数.(2)由F1(x),F2(x)单调非减,右连续,且 F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减,右连续,且 a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.习题14设随机变量X的概率密度ϕ(x)为偶函数,试证对任意的a>0, 分布函数F(x)满足:(1)F(-a)=1-F(a); (2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].解答:(1)F(-a)=∫-∞-aϕ(x)dx=∫a+∞ϕ(-t)dt=∫a+∞ϕ(x)dx=1-∫-∞aϕ(x)dx=1-F(a).(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].习题15设K在(0,5)上服从均匀分布,求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答:因为K∼U(0,5), 所以 fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0,即 K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤-1舍去), 所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题16某单位招聘155人,按考试成绩录用,共有526人报名,假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人,60分以下83人,若从高分到低分依次录取,某人成绩为78分,问此人是否能被录取?解答:要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多,可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得90-μσ=2 ①同理:P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得μ-60σ≈1.0 ②联立①,②解得σ=10,μ=70, 所以,X∼N(70,100).某人是否能被录取,关键看录取率. 已知录取率为155526≈0.2947, 看某人是否能被录取,解法有两种:方法1:P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取.方法2:看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分,所以可以录取.习题17假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布,X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位:年).(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数;(2)求今后3年内再次发生地震的概率;(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答:(1)当t≥0时,P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;当t<0时,F(t)=0,∴ F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服从指数分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.习题18100件产品中,90个一等品,10个二等品,随机取2个安装在一台设备上,若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品,则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.(1)试求设备寿命超过1的概率;(2)已知设备寿命超过1,求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率 .解答:(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”,Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2),则X的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002, P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1, P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式:P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由贝叶斯公式:P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.求Y=eX的概率密度.解答:因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为 fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答:X的取值范围为(-1,1), 则Y的取值范围为[1,2). 当1≤y<2时,FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而Y的分布函数为 FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布习题1设(X,Y)的分布律为X\123Y1 1/61/91/182 1/3a1/9求a.解答:由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知 1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得 a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示:(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答:P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示:(2)P{0<Y≤b};解答:P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示:(3)P{X>a,Y≤b}.解答:P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:试求: (1)P{12<X<32,0<Y<4;解答:P{12<X<23,0<Y<4P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:试求:(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答:P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:试求: (3)F(2,3).解答:F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量,且P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答:P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值: (0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表,并写出关于Y的边缘分布.解答:(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零,且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值,故事件:{X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件,其概率必为零. 因而得到下表:Y 01/31pk 7/121/121/3习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答:由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1,且由正态分布图形的对称性,知P{X≤Y}=P{X>Y},故P{X≤Y}=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它,(1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1.5}; (4)求P{X+Y≤4}.解答:如图所示(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数k.∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732. (4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,试求:(1)常数c; (2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答:(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)当x≤0或y≤0时,显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时,显然F(x,y)=1;设0≤x≤1,0≤y≤1,有F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.设0≤x≤1,y>1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后,设x>1,0≤y≤1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答:fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布,求联合分布密度和边缘分布密度.解答:区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1,即fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为故(1)在Y=1条件下,X的条件分布律为。
(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1·习 题 一1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出现奇数点’; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’;(4)将,a b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A =‘甲盒中至少有一球’;(5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A =‘通过汽车不足5台’,B =‘通过的汽车不少于3台’。
解 (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =,135{,,}A e e e =。
(2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。
(3){(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S =(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =(4){(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =---------(,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒;{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。
2012-2013概率期末试题+答案
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2012-2013-1《概率论与数理统计》期末试卷(A)一、填空题(每小题4分,共28分)1.对一批次品率为p (0<p <1)的产品逐一检测, 则第二次或第二次后才检测到次品的概率为________.2.二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为j i p , (i , j =1 , 2 ,……),关于X 及关于Y 的边缘分布律为p i •及p •j (i , j =1,2,……),则X 与Y 相互独立的充分必要条件是_________. 3.设样本),,,(21n X X X 抽自总体22, ). ,(~σμσμN X 均未知. 要对μ作假设检验,统计假设为,:00μμ=H (0μ已知), ,:01μμ≠H 则要用检验统计量为_________.4.若总体) ,(~2σμN X ,则~n Z σμ-X =__________其中n 为样本容量.5.设某种零件的寿命),(~2σμN Y ,其中μ未知. 现随机抽取5只,测得寿命(单位小时)为1502 , 1453 ,1367 , 1650,1498,则用矩估计可求得μˆ=________. 6.设某离散型随机变量ξ的分布律是{}⋅⋅⋅===,2,1,0,!k k Ck P kλξ,常数λ>0,则常数=C ________.7.设A ,B 是两个互不相容的随机事件,且知21)(,41)(==B P A P , 则=)(B A P ______. 二、单项选择题(每小题4分,共40分)1.对任意两个互不相容的事件A 与B ,必有_________.(A ) 如果0)(=A P ,则0)(=B P . (B ) 如果0)(=A P ,则1)(=B P .(C ) 如果1)(=A P ,则0)(=B P . (D ) 如果1)(=A P ,则1)(=B P .2.已知随机变量X 在]1,0[上服从均匀分布,记事件}5.00{≤≤=X A ,}75.025.0{≤≤=X B ,则_________.(A ) A 与B 互不相容. (B ) B 包含A . (C ) A 与B 对立. (D ) A 与B 相互独立. 3.6.0 ,1)( ,4)(===ξηρηξD D ,则=-)23(ηξD _________.(A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.64.任一个连续型的随机变量ξ的概率密度为)(x ϕ,则)(x ϕ必满足_________.(A) 1)(0<<x ϕ (B)()⎰+∞∞-=1dx x ϕ (C) 单调不减 (D)1)(lim =+∞→x x ϕ5.设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布,{1}{1}0.5P X P Y ====,{1}{1}0.5P X P Y =-==-=,则下列各式成立的是_________.(A){}0.5P X Y == (B) {}1P X Y == (C) {0}0.25P X Y +== (D) {1}0.25P XY == 6.若随机变量ξ和η相互独立,且方差21)(σξ=D 和22)(ση=D 2121,),0,0(k k >>σσ 是已知常数,则)(21ηξk k D -等于_________.(A )222211σσk k - (B )222211σσk k + (C )22222121σσk k - (D )22222121σσk k +7.设( X , Y )为二维随机变量,其概率密度函数为⎩⎨⎧≥≥=+-其他,0,0,),()(y x e y x f y x ,则下列各式正确的是_________.⎰⎰∞-∞-+-=x y y x dxdy e y x F A )(),()( ⎰∞+∞-+-=dy e x f B y x X )()()(dx e dy Y X P C y y x ⎰⎰-+-=≤+240)(2}42{)( ⎰⎰∞+∞-∞+∞-+-=dxdy xe X E D y x )()()(8.对总体的某个参数做检验,取显著性水平α,如果原假设正确,但由于样本的随机性做出拒绝原假设的决策,因而犯了错误,这类错误称第一类错误,也称“弃真错误”,犯这类错误的概率是_________.(A )α-1 (B) 21α-(C) α (D)α19.设n X X ,,1 是来自随机变量X 的样本∑=--=ni i X X n S 122)(11(样本方差),则下列结论正确的是_______. (A))()(2X D S E = (B) )(1)(2X D n nS E -=(C) )(1)(2X D nn S E -= (D) )()1()(22X D n nS E -= 10.采用包装机包装食盐,要求500g 装一袋. 已知标准差g 3=σ,要使食盐每袋平均重量的95%的置信区间长度不超过4.2g ,则样本容量n 至少为_______.(已知u 0.025=1.96)(A ) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10三、不同的两个小麦品种的种子混杂在一起,已知第一个品种的种子发芽率为90%,第二个品种的种子发芽率为96%,并且已知第一个品种的种子比第二个品种的种子多一倍,求:(1)从中任取一粒种子,它能发芽的概率;(2)如果取到的一粒种子能发芽,则它是第一个品种的概率是多少?(8分)四、设随机变量X 和Y 相互独立且)5,3(~N X , )19,3(~-N Y . 试求 Z =3X –2Y –15的概率密度. (8分)五、从一台车床加工的成批轴料中抽取15件,测量其椭圆度(设椭圆度服从正态分布),(2σμN ) ,计算得2s =0.025,问该批轴料的椭圆度的总体方差2σ与规定的方差 04.020=σ 有无显著差别?(最后结果保留3位小数),(α =0.05). (8分) (已知220.9750.025(14) 5.629,(14)26.119χχ==,220.9750.025(15) 6.262,(15)27.488χχ==)六、设某种零件长度X 服从正态分布),(2σμN ,现随机从该批零件中抽取10件,测得其样本均值)(05.10cm X =,样本标准差)(2415.0cm S =,求μ的置信度为95%的置信区间(最后结果保留3位小数). (8分) (已知2281.2)10(,2622.2)9(025.0025.0==t t ,2281.2)10(,8331.1)9(025.005.0==t t )答案:一、填空1.1-p ;2.j i j i p p p ••⨯=;3.,/0nS X t μ-= ;4.)1 ,0(N ;5.1494. 6.λ-e ;7. 21二、单项选择题 题号 12345678910答案C D C B A D C C A C三、A i (i =1,2)分别表示取到的一粒种子是第一,二品种的事件B =“取到的一粒种子能发芽”则()()%90,3211==A B P A P ,()()%96,3122==A B P A P 由全概率公式 ()()()2121230.90.960.92=3325i i i P B P A P B A ===⨯+⨯=∑由贝叶斯公式 ()()()()⎪⎭⎫⎝⎛≈===65.0231592.060.0111B P A B P A P B A P 四、因为)3,2(~N X , )6,3(~-N Y ,且X 与Y 独立,故X 和Y 的联合分布为正态分布,X 和Y 的任意线性组合是正态分布.即 Z ~N (E (Z ), D (Z ))015)(2)(3)(=--=Y E X E Z E 121)(4)(9)(=+=Y D X D Z D Z ~N (0, 112)则Z的概率密度函数为 2242(),()x f x x -=-∞<<+∞五、显著性水平 α = 0.05,检验假设04.0:;04.0:20212020=≠==σσσσH H22201140.0258.750.04n s χσ-⨯===()由于()22220.0250.97521(14) 5.6298.7526.119(14)n αχχχχ-==<=<=故接受H 0 即认为该批轴料的圆度的总体方差与定的方差0.04 无显著差别. 六、当2σ未知时,μ的置信度为0.95的置信区间为22(1),(1)X n X n αα⎛⎫-- ⎪⎝⎭10.05 2.2622,10.05 2.2622⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(9.877,10.223)=。
概率论与数理统计试题与答案
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概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)概率统计模拟题一一、填空题(本题满分 18分,每题3分)1、设P(A) 0.7,P(A B) 0.3,则P(AB)= ___________________________ 。
52、设随机变量X 〜B(2, p),Y 〜B(3, p),若p(X 1) ,则p(Y 1) _____93、设X 与Y 相互独立,DX 2, DY 1,贝U D(3X 4Y 5) _________________________ 。
4、设随机变量X的方差为2,则根据契比雪夫不等式有P{X -EX 2} _______________n5、设(X「X2, ,X n)为来自总体2(10)的样本,则统计量Y X i服从i 1_______________ 分布。
6、设正态总体N( , 2) , 2未知,贝U 的置信度为1 的置信区间的长度L __________________ 。
(按下侧分位数)二、选择题(本题满分 15分,每题3分)1、若A与自身独立,则( )(A) P(A) 0 ; (B) P(A) 1 ; (C) 0 P(A) 1 ; (D) P(A) 0或P(A) 12、下列数列中,是概率分布的是( )X 5 x2(A) p(x) ,x 0,1,2,3,4 ;(B) p(x) ,x 0,1,2,315 61 x 14 253、设X ~ B( n, p),则有( )(A) E(2X 1) 2np (B) D(2X 1) 4np (1 p)(C) E(2X 1) 4np 1 (D) D(2X 1) 4n p(1 p) 1本方差,则下列结果错误的是( )。
4、设随机变量X ~ N( , 2),则随着的增大,概率P X ()。
(A)单调增大 (B) 单调减小(C)保持不变(D) 增减不定5、设(X1,X2, ,X n)是来自总体X ~ N( , 2)的一个样本,X与S2分别为样本均值与样三、(本题满分12分) 试卷中有一道选择题,共有4个答案可供选择,其中只有1个答案是正确的。
2012-2013公共基础《概率论》期末考试试卷参考答案
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华南农业大学期末考试试卷(A 卷)2012-2013学年第 1 学期 考试科目: 概率论考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 1、设A 与B 互斥(互不相容),则下列结论肯定正确的是( D )。
(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 必相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=2、设随机变量X 与Y 相互独立,其概率分布如下,则有( C )成立。
010.20.8X P 010.20.8Y P(A) ()0P X Y == (B) ()0.4P X Y ==(C) ()0.68P X Y == (D) ()1P X Y ==3、设随机变量ξ的概率密度为()x ϕ,η=12ξ,则η的分布密度为( A )。
(A)1122y ϕ-⎛⎫ ⎪⎝⎭; (B) 112y ϕ-⎛⎫- ⎪⎝⎭; (C) 12y ϕ-⎛⎫- ⎪⎝⎭; (D)2(12)y ϕ- 4、设随机变量ξ服从2λ=的泊松分布,则随机变量2ηξ=的方差为( A )。
(A) 8; (B) 4; (C) 2; (D) 16.5、设2~(0,1),~(,)N N a ξησ,则η与ξ之间的关系是( B )。
(A) a ξησ-=; (B) a ησξ=+; (C)2a ξησ-= ; (D)2a ησξ=+.二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分)1、设样本空间Ω={1,2,10},事件A={2,3,4},B={3,4,5},C={5,6,7},则事件()A B C =__{1,2,5,6,7,8,9,10} ________。
2、抛一枚硬币三次,ξ和η分别表示出现正面的次数和出现反面的次数,则{}P ξη>=__12_______。
3、3、设随机变量X 的分布函数0,0.2,()0.9,1,F x ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩ 111122x x x x <--≤<≤<≥,则{03}P X ≤≤=_0.8_。
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2012学年第一学期概率论与数理统计试题解答参考
一、1.B ;2. A ;3. C ; 4. B ;5. B ;6.B ;7. C 二、1. 1 ; 2. 0,0.5;3.
3
7
;4. 0.4; 5. 0.6; 6. 22,X X αα
-⎛⎫ ⎪⎝⎭
; 7. 2
(,)10N σμ
三、1.解:解:,1,)1(lim )(1=∴=-=+∞=-∞
→A A e A F x x
P{1≤X ≤3} =F(3)-F(1)=e -1-e -3,
2.解: X 的概率密度为
)()(x F x f '=⎪⎩⎪
⎨⎧<≥=,a x a x x a ,0,,343
⎰
⎰∞
+∞
+∞-==a
dx x
a dx x xf X E 33
3)()( 2
3a
=
3.解:解:设事件12,A A 分别为任取一件产品,产品是甲、乙厂生产的,事件B 为任取的一件产品为次品,则由已知条件可知
1()0.6P A = ,2()0.4P A =,1(|)0.01P B A =,2(|)0.02P B A =
由贝叶斯公式可得
10.60.013(|)0.60.010.40.027P A B ⨯=
=⨯+⨯,20.40.024
(|)0.60.010.40.027
P A B ⨯==⨯+⨯,
由上两式知,任取一件为次品,该产品是乙厂生产的可能性较大。
4.解:
解: 由题设可知(,)X Y 的概率密度为 ()2,01,01
,0,y x x f x y ≤≤-≤≤⎧=⎨⎩其他
于是关于X 的边缘分布密度为
()()()10
221,01,0,
x X dy x x f x f x y dy -+∞
-∞
⎧=-≤≤⎪
==⎨⎪⎩⎰⎰
其他
关于Y 的边缘分布密度为
()()()10221,01
,0,
y Y dx y y f y f x y dx -+∞
-∞
⎧=-≤≤⎪==⎨
⎪⎩⎰⎰
其他
5.解:由于总体差已知,因此用U 检验法,设
0:53H μ= ,1:53H μ≠
由已知条件可知,51.3x =,3σ=
,|| 1.7 1.96U =
=< , 所以在05.0=α不能拒绝0H 。
故认为该动物的体重平均值为53公斤。
四、1. 解法1:已知X 的概率密度函数为1,01,
()0,.X x f x <<⎧=⎨⎩其它
则21Y X =+的分布函数F Y (y )为
11(){}{21}{}22Y X y y F y P Y y P X y P X F --⎛⎫=≤=+≤=≤
= ⎪⎝⎭
因此Y 的概率密度函数为
1
,13,
11()()2
220,
.Y Y X y y f y F y f ⎧<<⎪-⎛⎫'===⎨ ⎪⎝⎭⎪
⎩其它 解法2:因为函数21y x =+为单调递增函数,且其反函数为1
2
y x -=, 故21Y X =+的密度函数为
1,13,
11()2
220,
.Y X y y y f y f ⎧'<<-⎪-⎛
⎫⎛⎫==⎨ ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭⎪
⎩其它
2. 解:(1),1
)()(1
+θθ
=
θ==⎰⎰θ+∞
∞
-dx x dx x f x X E 由
,111
X X n n
i i ==+θθ∑= 得θ的矩估计量 ,1ˆX
X
-=θ
(2)似然函数1
1
1
()(;)()n
n
n
i i
i i L f x x θ
θθθ
-====∏∏
取 1
ln ()ln (1)
ln n
i
i L n x
θθθ==+-∑
令
1
ln ()ln 0n
i i d L n x d θθθ==+=∑ 得1
ln n
i
i n
x
θ==-
∑,
故θ的极大似然估计量为1
ˆln n
i
i n
X
θ
==-∑
3. 解:由)1,(~μN X ,即
)1,0(~1N X μ-且2
2
21
)(x e x -
=Φπ
,可知
)10()10()10(μμμ-Φ=-<-=<X P X P
)10()12()1210()1210(μμμμμ-Φ--Φ=-≤-≤-=≤≤X P X P (12)(12)1(12)1(12)P X P X P X μμμμμ>=->-=--≤-=-Φ-
由⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤≤<-=125121020101
X X X L ,得
()[][]1(10)20(12)(10)51(12)25(12)21(10)5
E L μμμμμμ=-⨯Φ-+Φ--Φ---Φ-=Φ--Φ--
因为
()
25(12)21(10)25(12)21(10)dE L d μμϕμϕμμ
''=-Φ-+Φ-=--+- 令()0dE L d μ=,即 021*******
2)10(21
)12(21=⋅+⋅-----μμππe e )11(2)10(21
)12(21
222521--+--==μμμe e ,25
21ln )11(2=-μ, 所以
9.1025
21
ln
21
11≈+=μ
答:平均内径 取10.9时,销售一个零件的平均利润最大。