随机环境中有界跳幅随机游动常返性暂留性的另一证明

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第四章马尔可夫链

i1
Pi , j 0
j . i 1 ,i-1 , i 1
1 0 0 0 0 . .
q
0
p
0
0
.
.
0 q 0 p 0 . .
P
0
0
q
0
p
.
.
0 0 0 q 0 . . . . . . . . .
.
例题：带2个吸收壁的随机游动
质点在数轴上移动，规律同上例。随机游动的状态空间I={0,1,2…a}, 其中0和a为吸收态。求一步转移p12 p1n Pp21 p22 p2n
称为系统状态的一步转移概率矩阵，它具有如下性质：
1. pij 0, i, jI
2. pij 1, i, jI jI
满足上述两个性质的矩阵成为随机矩阵
.
定义4.4
称条件概率 p i(n ) j P { X m n j|X m i}i,j I,m 0 ,n 1 为马尔可夫链{Xn,n∈T}的n步转移概率，并称
0 1 1
.
马尔可夫链的状态分类
周期、非周期常返、非常返
其中，常返分为正常返、零常返非周期的正常返称为遍历状态
到达和互通
.
设马尔可夫链的状态空间I={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，状态转移图如下图
8
9
2
7
1
3
6
5
4
观察状态1
.
定义4.6 如集合{n: n≥1,pii(n)>0}非空，则称该集合的最大公约数d=d(i)=G.C.D{n:pii(n)>0}为状态i 的周期。如d>1就称i为周期的，如d=1就称i 为非周期的。
.

第三章多维随机变量及其分布

1 June 2018
p1 p 2
p j
华东师范大学
第三章多维随机变量及其分布
第32页
3.2.3
边际密度函数
巳知 (X, Y) 的联合密度函数为 p(x, y)，则
X 的密度函数为： Y 的密度函数为：
1 June 2018
华东师范大学
第三章多维随机变量及其分布
第33页
注意点 (1)
解：概率非零的(X,Y) 可能取值对为: X Y 其对应的概率分别为： 0 4 P(X=0, Y=4)= 0.54=1/16 1 3 1 3 P(X=1, Y=3)= C4 0.5 0.5 =1/4 2 2 P(X=2, Y=2)= C42 0.52 0.52 =6/16 3 1 P(X=3, Y=1)= C43 0.53 0.51 =1/4 4 0 P(X=4, Y=0)= 0.54 =1/16
试求常数 A.
1 June 2018
华东师范大学
第三章多维随机变量及其分布
第23页
解:

0

0
Ae(2x3y ) dxdy
A e dx e3y dy
2x 0 0

1 2 x 1 3 y A e e 2 0 3 0
e )dx
6
(6 2 x ) / 3 0
6
2 (e
2 x
1 7e
1 June 2018
华东师范大学
第三章多维随机变量及其分布
第28页
§3.2 边际分布与随机变量的独立性
问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布，如何求出 X 和 Y 各自的分布？

直线上独立随机环境中的随机游动

线上的ＲＷＩＥ则假定环境是随机变化，有 ∈ｚＲ即
得本引理．
（全体整数）处转移概率Ｐ…＋是随机变化，为随。称机环境．Ｖ．Ｋｏｌｖ在文献［］中首先提出Ｍ．ｚｏ１ＲＷＩＲＥ，后Ｓｌｍｎ在文献［］其ｏｏ２中研究环境是独
Ｓ ” 一ｌｇｏｐ
主要结果如下：定理１设｛为独立随机变量序列，ａ）
（）１（）２
Ｐ（Ｘ卅ｌ — ０Ｘ１ｉ，，一一ｉｌＸ — ＩＸ０，一１ … Ｘ１，一
ｆＪ一十ｌｌ
—
引理１若对几乎所有的环境， ≥ ０在此Ｘ，环境下某一性质成立，直线上ＲＷＩＥ几乎必然则Ｒ
具有此性质．
证
完全类似文献［］２中定理０１的证明可证．
点处确定一个环境，质点按确定的环境作运动，而直
文章编号：２３９８（０２０ — ５９００５ — ８８２０）５０３ — ５
直线上独立随机环境中的随机游动
毛明志，胡亦钧
（汉大学数学与统计学院，北武汉４０７）武湖３０２
摘
要：主要讨论直线上独立随机环境中的常返性和非常返性，进一步研究常返性中的正常返和零常返，并非
的，际上有实

暂留与常返基本概念与常返性的判别

于是 Py(Xn ̸= x, n ≥ 1) = 0, 从而存在 n 使得 Py(Xn = x) > 0, 即 y 可达 x. 下面我们设 pm(x, y) > 0, pn(y, x) > 0. 这样
∑ ∞
∑ ∞
∑ ∞
pv(y, y) ≥ pm+n+v(y, y) ≥ pn(y, x)pv(x, x)pm(x, y) = ∞.
k=1
1
(1.1)
∑n = Px(Xn = y|Xk = y; Xv ̸= y, v ≤ k − 1)Px(Xk = y; Xv ̸= y, v ≤ k − 1)
k=1
∑n = Py(Xn−k = y)Px(τy = k),
k=1
于是
∑n pn(x, y) = Px(τy = k)pn−k(y, y).
即 An 发生无穷多次. 设 Xn 是可数状态 Markov 链, 状态空间为 S, 转移概率为 p(x, y). 记 Px(·) := P(·|X0 = x), 即在概率 Px 下, Markov 链 Xn 从状态 x 出发. Ex 表示相对于概率 Px 的期望.
定义 1.1. 称状态 x 常返 (recurrent), 若 Px(Xn = x i.o.) = 1, 即 Markov 链 Xn 以概率 1 返回状态 x 无穷多次. 若 x 不是常返的, 则称 x 是暂留 (transient) 的.
令 Ry 为 Markov 链 Xn 到达状态 y 的次数, 即
∑ ∞
Ry =
1{Xn=y}.
n=0
则 x 常返当且仅当在概率 Px 下 Rx = ∞ a.s.. 因此, 如果
[
]
∑ ∞
∑ ∞

随机变量序列的大数定律及常返性定理

[收稿日期]2005211217　[基金项目]国家自然科学基金资助项目(10571001);安徽大学创新团队基金项目第23卷第4期大　学　数　学Vol.23,№.42007年8月COLL EGE MA T H EMA TICSAug.2007随机变量序列的大数定律及常返性定理何江宏,　胡舒合(安徽大学数学与计算科学学院,合肥230039) [摘　要]对一类有界独立或相依的随机变量序列|ξn |,获得了它的伯努利大数定律、波雷尔强大数定律及常返性定理.作为应用,得出了Lo ève 专著[1]中的推广的伯努利大数定律、常返性定理,改进了[1]中的推广的波雷尔强大数定律.[关键词]贝努里大数定律;波雷尔强大数定律;常返性定理[中图分类号]O212 [文献标识码]A [文章编号]167221454(2007)04200762041　引言设ξ1,ξ2,…,ξn ,…是定义在概率空间(Ω,F ,P )上的随机变量列,存在常数M ,使得|ξk |≤M <∞,a.s.,k =1,2,….记X n =1n∑nk =1ξk,　p 1(n )=1n∑nk =1E ξk,p 2(n )=2n (n -1)∑1≤j <k ≤nE (ξj ξk ),　d (n )=p 2(n )-p 21(n ),于是|E ξk |≤M ,　|E (ξj ξk )|≤M 2,　|p 1(n )|≤M ,　|p 2(n )|≤M 2,E X 2n =1n2E∑nk =1ξ2k +2∑1≤j <k ≤nξj ξk=1n2∑nk =1E ξ2k +n -1np 2(n ),D (X n )=1n2∑nk =1E ξ2k +n -1n p 2(n )-p 21(n )=d (n )+1n2∑nk =1E ξ2k -1np 2(n ).(1)引理1　设X 为随机变量,M 为正实数,如|X |≤M ,a.s.,则对任意的ε>0,P (|X |≥ε)≥E X 2-ε2M2.(2)证　因为E X 2=∫(|X|≥ε)X 2(ω)P (d ω)+∫(|X|<ε)X 2(ω)P (d ω)≤M2∫(|x|)≥εP (d ω)+ε2∫(|X|<ε)P (d ω)≤M 2P (|X |≥ε)+ε2,由此得出(2)式.2　随机变量列的大数定律定理1(Bernoulli 型大数定律)　设|ξn |为随机变量列(可相互独立也可不相互独立),存在实数M ,使得|ξn |≤M ,a.s.,n =1,2,…,则X n -E X n P0的充要条件是d (n )=p 2(n )-p 21(n )→0.证　易见|X n |≤M ,a.s.,从而|X n -E X n |≤2M ,a.s.,于是由引理1及车贝晓夫不等式知D (X n )-ε2(2M )2≤P (|X n -E X n |≥ε)≤D (X n )ε2,　Πε>0.(3)由此知,欲使X n -E X nP0,必须且只须D (X n )→0.又由(1)式知|D (X n )-d (n )|=1n2∑nk =1Eξ2k-1np 2(n )≤2M 2n→0,(4)所以D (X n )→0等价于d (n )→0,证毕.如果d (n )→0且有一定的收敛速度,则我们可得到更强的结论:定理2(Borel 型强大数定律)　设存在实数M 使得|ξn |≤M ,a.s.,n =1,2,…,d (n )满足条件∑∞k =1|d (k 2)|<∞,则P (lim n →∞(X n -E X n )=0)=1.(5)证　记ηi =ξi -E ξi ,i =1,2,…,　Y n =X n -E X n =1n∑ni =1ηi,则|ηi |≤2M ,a.s.,i =1,2,….又对每个自然数n ,存在相应的自然数k =k (n ),满足k 2≤n <(k +1)2,因此|Y n -Y k2|=1n-1k2∑k2i =1ηi+1n ∑ni =k 2+1ηi≤n -k 2nk2・2M k 2+n -k 2n ・2M ≤8Mk ,a.s.,|Y n |≤|Y n -Y k 2|+|Y k 2|≤8Mk+|Y k 2|,a.s..(6)再由车贝晓夫不等式,(4)式及∑∞k =1|d (k 2)|<∞知:对每个自然数m ,∑∞k =1P|Y k2|≥1m≤m2∑∞k =1D (Yk2)=m2∑∞k =1D (Xk2)≤m2∑∞k =1|d (k 2)|+2M 2k2<∞.于是,由文[1]第18页的一个命题知Y k 2k →∞0,a.s..又注意到当n →∞时,k →∞,从而在(6)式两边令n →∞,得Y n =X n -E X n →0,a.s.,证毕.3　常返性定理设|ξk |≤M <∞,a.s.,k =1,2,…,ε>0,如果n >2M 2/ε,则由(1)式得p 2(n )=p 21(n )-1n2∑nk =1E ξ2k+1np 2(n )+D (X n )≥p 21(n )-2nM 2≥p 21(n )-ε.(7)引理2　对随机变量ξ1,ξ2,…,ξn (|ξi |≤M <∞,a.s.,i =1,2,…,n ),ε>0,只要n >2M 2/ε,就至少存在着两个随机变量ξj 与ξk ,1≤j <k ≤n ,使得E (ξj ξk )≥p 21(n )-ε.(8)证　用反证法,如对Π1≤j <k ≤n ,E (ξj ξk )<p 21(n )-ε,则p 2(n )=2n (n -1)∑1≤j <k ≤nE (ξj ξk )<2n (n -1)n 2(p 21(n )-ε)=p 21(n )-ε,此与(7)式矛盾,证毕.特别,由引理2知,如果对任意的自然数k ,E ξk ≥p >0(此时p 21(n )≥p 2),则对Πε>0,每个这种随机变量列{ξk },至少存在两个随机变量ξj 和ξk ,使得E (ξj ξk )≥p 2-ε.定理3(常返性定理)　设M ,p 为正实数,|ξk |≤M <∞,a.s.,E ξk ≥p >0,k =1,2,…,则对Πε>0,77第4期何江宏,等:随机变量序列的大数定律及常返性定理恒存在{ξk }的子序列{ξk v },使得对Πl ≠m ,均有E (ξk l ξk m)≥p 2-ε.(9)证　首先注意,在定理的条件下有p 21(n )≥p 2.先给出一个ξj 与ξk “ε相交”的定义:如果E (ξj ξk )≥p 2-ε,则称ξj 与ξk “ε相交”.那么,存在一个{ξk }的子序列,其中第一项与其后的任何一项皆“ε相交”.现对这一结论采用反证法.假设这种子序列不存在,则对任何自然数n ,必存在整数m n ,使得ξn 皆不能与ξn ′“ε相交”(n ′≥n +m n ),即E (ξn ξn ′)<p 2-ε,　Πn ≥1,n ′≥n +m n .(10)于是,取n 1=1,n 2=n 1+m n 1=1+m 1,n 3=n 2+m n 2,n 4=n 3+m n 3,…,则ξn 1,ξn 2,ξn 3,…中任两个ξn j ,ξn k 均有E (ξn j ξn k )<p 2-ε(因为ξn 2=ξn 1+m n 1=ξ1+m 1与ξn 1非“ε相交”,ξn 3=ξn 2+m n 2与ξn 2非“ε相交”,ξn 3=ξn 2+m n 2与ξn 1非“ε相交”.同理有ξn 4与ξn 1,ξn 2,ξn 3均非“ε相交”,等),此与引理2的结论矛盾.即证明了存在一个{ξk }的子序列,其中第一项与其后的任何一项皆“ε相交”.同理可以证明:对{ξk }的任何子列{ξk ′},存在{ξk ′}的子列{ξk ″},其中第一项与其后的任何一项皆“ε相交”.因此我们可以从{ξk }中取一个子序列ξ11,ξ21,ξ31,…,ξn 1,…,使得第一项与其后任何一项皆“ε相交”.同理,可再从{ξ21,ξ31,…,ξn 1,…}中取一个子序列ξ12,ξ22,ξ32,…,ξn 2,…,使之具有同样的性质(即ξ12与ξ22,ξ32,…,ξn 2,…中的任何一项皆“ε相交”);再从{ξ22,ξ32,…,ξn 2,…}中取一个子序列ξ13,ξ23,ξ33,…,ξn 3,…,使之具有同样的性质.把这种手续延续下去,所得到的序列ξ,ξ12,ξ13,…中任何两项皆“ε相交”(此因ξ11与ξ21,ξ31,…,ξn 1,…中每一项皆“ε相交”,而ξ12,ξ13,…都是从ξ21,ξ31,…,ξn 1,…中取出的,所以ξ11与ξ12,ξ13,…中任何一项皆“ε相交”.又因ξ12与ξ22,ξ32,…,ξn 2,…中的任何一项皆“ε相交”,而ξ13,ξ14,…都是从ξ22,ξ32,…,ξn 2,…中取出的,所以ξ12与ξ13,ξ14,…中的任何一项皆“ε相交”,等),证毕.4　定理的推论设A k ∈F ,{A k }可相互独立也可不相互独立,取ξk =I A k ,k =1,2,…,则X n =1n ∑nk =1I A k ,p 1(n )=1n∑nk =1P (A k ),p 2(n )=2n (n -1)∑1≤j <k ≤nP (A j A k ),仍记d (n )=p 2(n )-p 21(n ),于是由定理1,定理2,定理3分别得出下面的3个系:系1　X n -E X n =1n∑nk =1(I A k -P (A k ))P0的充要条件是d (n )=p 2(n )-p 21(n )→0.系2　如∑nk =1|d (k 2)|<∞,则X n -E X n =1n∑nk =1I A k -1n∑nk =1P (A k )a.s.0.系3　如果对每一个n ,P (A n )≥p >0,则对任何ε>0,恒存在事件A n 的子序列,使得对于这个子序列中任二项A j 与A k ,均有P (A j A k )≥p 2-ε.注　1)系1即为[1]中第26页的“推广的伯努利大数定律”,系3即为[1]中第27页著名的Poincare 常返性定理.若取d (n )=O 1n,则由系2得出[1]中第26页的“推广的波雷尔强大数定律”,注意条件“∑nk =1|d (k 2)|<∞”比“d (n )=O1n”弱.因此系2改进了[1]中的“推广的波雷尔强大数定律”.2)由定理3知:不存在有界随机变量序列{X n },满足E X n =E X 1>0,Cov (X i ,X j )=C <0,Πn ≥1,i ≠j.因此,如果这样的{X n }存在,则对0<ε<-C ,E (X i X j )=Cov (X i ,X j )+E X i E X j =(E X 1)2+C <(E X 1)2-ε,　Πi ≠j ,这与定理3相矛盾.另一方面,我们可构造正态随机变量列{ξk },满足E ξk =E ξ1=μ>0,D (ξk )=σ2>0,Cov (ξi ,ξj )=ρσ2<0,Πi ≠j.于是对0<ε<-p σ2,87大　学　数　学第23卷E (ξi ξj )=Cov (ξi ξj )+E ξi E ξj =(E ξ1)2+ρσ2<(E ξ1)2-ε,Πi ≠j ,这表明定理3中ξk 有界的条件不能去掉.[参　考　文　献][1]　Lo ève M.Probability Theory I (4th Edition )[M ].New Y ork ,Heidelberg ,Berlin :Springer 2Verlag ,1977.La w of Large Numbers and R ecurrence Theorem forR andom V ariable SequenceH E J i ang 2hong ,　H U S hu 2he(School of Mathematics and Computation Science ,Anhui University ,Hefei 230039,China )Abstract :We obtain Bernoulli law of large numbers ,Borel strong law of large numbers and recurrence theorem forbounded ,independent or dependent random variable sequence {ξn }.As appllications ,we get the extended Bernoulli law oflarge numbers ,recurrence theorem in [1]and improves the extended Borel strong law of large numbers in [1].K ey w ords :Bernoulli law of large numbers ;Borel strong law of large numbers ;recurrence theorem97第4期何江宏,等:随机变量序列的大数定律及常返性定理。

一类一般随机环境中单边二重随机游动的常返性

Ｇ
１２８．
[
４]COGBURN R．TheEr
i
ct
he
o
r
fMa
r
kovcha
i
ns
god
yo
i
nr
andomenv
i
r
onmen
t
s[
J]．
Z Wahr
a
ch Ve
rw Geb
i
e
Ｇ
t
e,
１９８４,
６６:
１０９
Ｇ
１２８．
[
５]COGBURN R．Ond
i
r
e
c
tc
onve
r
eandpe
r
i
如果c ＝０,则有
¥
αn
１
１
βn
El
n
n
→０且 ∑El
→０,
∑
ni
αn
n i＝１
βn
＝１
n
n
¥
由引理３可知 ∑
１
β１
１)可得
＝ ¥,结合定理１的(
n＝１ ρn
{
,
}是零常返的
Xn n ≥０
．
定理２设 {
Xn ,
n ≥ ０}是随机环境 e ＝
{(
αn ,
n ≥１}中的单边二重随机游动,如果
imP
ε
成立．
n
n
１≤i≤j≤n
c
ov(
ξi ,
ξj )≤
＋
∈ N ,对任意的 n ＞ N０ ,有
１
| ∑Eξi －c|＜ε
n i＝１

随机第四章4

1
3
1.70,
例：设马氏链具有状态空间I 0,1, 2, 其中pi 0，qi 0，pi ri qi 1，
，转移概率为：pii 1 pi , pii ri , pii 1 qi i 0
称这种马氏链为生灭链，它是不可约的。 p0 p1 p j 1 记a0 1，a j j 1 q1q1 q j 试证此马氏链存在平稳分布的充要条件为 a j 。
令m 取极限得： 1 pkj (n) j k 0 k 再令N 取极限得： 1
N
1 j k 0 k 1
N
1 pkj (n) kI k
pkj (n)
(1)
下面来证明等号成立，由 1 pik (n) pik (n)
j
kI
k
1
j

kI
1
k
lim p n
1
n kj j kI
1
k

kI
1
k
1
1 , j I 是平稳分布。 j
有限马尔可夫链性质：
1所有非常返状态组成的集合不可能是闭集； 2没有零常返状态； 3必有正常返状态； 4不可约有限马氏链只有正常返态； 5I D C1 C2 Cn。
回顾
定理：如果i j，if i常返，then j也常返，且f ji 1 ，i j。
定理4. 4：( 1) 若 i零常返 lim pii (n) 0；
n
(2) 若 i正常返 lim pii (n) n
1
i
0
引理：C是闭集的充要条件为对任意i C及k C 都有pik (n) 0，n 1。

随机环境中单边二重随机游动的常返性

T o th B.和 A lili S.首先较系统地讨论了随机环境中的二重随机游动$!7]，接着郑希民研究了独立同分布随机环境中单边二重生灭链的若干性质，给出性质成立的判别准则[8]，随后汪荣明讨论了随机环境中二重生灭链的马氏性 [9].在前人研究的基础上，本文主要讨论在〇点具有反射壁的一类随机环境中单边二重随机游动的若干性质，给出模型的正常返、零常返等若干性质的判别准则.
1) { X n ，n # 0 } 常返色 = Q n n=1 "
2) {X n ，n # 0 } 正常返 n n=1 ^
n= 1 $ n
3) {X n ，n #n=1 ^ n
n n=1 $
4) {X n ，n # 0 } 非常返） * n=1 "n
摘要：随机环境中的单边二重随机游动是随机环境中随机游动的推广，研究了随机环境中单边二重随机游动的常返性 . 在随机环境满足一定的条件下给出二重随机游动的非常返、正常返、零常返和常返的判别准则.
关键词：单边二重随机游动；随机环境；非常返;零常返;正常返中图分类号：0211.62 文献标识码：A
第40卷第2 期 V o l.40 N o.2
文章编号：1673-2103 (2018 )02-0001-04
菏泽学院学报 Journal of Heze U niversity
2018年 4 月 A p r. 2018
随机环境中单边二重随机游动的常返性！
任敏
(宿州学院数学与统计学院，安徽宿州 234000)

随机水文学-第3章

26 k
ˆk rk
(x
t 1
t k
x )(xt x )
2 ( x x ) t t 1
26
(k 0,1,2, ,10)
r0
(x
t 1 26
26
t
x )(xt x )
2 ( x x ) t t 1
1
r1
(x
t 1
25
t 1
1200 1000
降水量（mm）
800 600 400 200 0 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
200.00
150.00
降水量(mm)
100.00
50.00
0.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ˆ( k ) Cov ˆk rk ˆ t ˆt k
ˆk rk
(x
t 1
nk
t k
x )(xt x )
2 ( x x ) t t 1
n
(k 0,1,2,, m; m n)
式中：
1 n x xt n t 1
当n>50时，m<n/4整数，常取m在n/10左右；当n<50时，m取n/4左右的某值；或取m<n-10。参加计算的数值至少在10项以上上式计算的自相关系数一般偏小，对 r1 用下式进行修正。
r4
(x
t 1
22
t 4
x )(xt x )
t
(x

暂留与常返基本概念与常返性的判别

暂留与常返
(10/24/2013)
1 基本概念与常返性的判别
对事件族 An, 我们记
{An i.o.} := {ω : 存在无穷多个 n 使得 n ∈ An},
即 An 发生无穷多次. 设 Xn 是可数状态 Markov 链, 状态空间为 S, 转移概率为 p(x, y). 记 Px(·) := P(·|X0 = x), 即在概率 Px 下, Markov 链 Xn 从状态 x 出发. Ex 表示相对于概率 Px 的期望.
(n1 · · · nd)−1/2P(S(i) = ni ∀i)
|n|=∑ 2n
∑
≍
ε(n)P(S(i) = ni ∀i) +
Cdn−d/2P(S(i) = ni ∀i),
[ ] ∃ni̸∈
n d
,
3n d
[ ] ∀ni∈
n d
,
3n d
其中 ε(n) ∈ [0, 1]. 由于
∑ P(S(i) = ni ∀i) ≤ Cd exp(−cdn),
定义 1.1. 称状态 x 常返 (recurrent), 若 Px(Xn = x i.o.) = 1, 即 Markov 链 Xn 以概率 1 返回状态 x 无穷多次. 若 x 不是常返的, Markov 链 Xn 到达状态 y 的次数, 即
令
P(Sn
>
αn)
≤
exp
( −n(α
−
1/d)2
) /2
.
由此可以得到引理的结论.
定理 2.1 的证明. 对指标 n = (n1, . . . , nd), 令 |n| := n1 + · · · nd. 在此证明中, 我们假设 ni 均为偶数. 记

随机过程_华东师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

随机过程_华东师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.隐马尔可夫链的三类基本问题不包括_____________.答案:识别问题2.有限状态时齐马氏链的任意一个状态都不是零常返的答案:正确3.接上题。

试用切比雪夫不等式估计小王在一个小时完成的概率最大是________？答案:0.064.小王同学要做一个社会调查，为此他打算到某公共场所发放调查问卷。

他先去该场所观察人群到达情况，发现到达的人流可以用强度为1000人/小时的泊松过程拟合。

由于人手不够，小王只能在到达的人群中随机发放问卷，每个人拿到问卷的可能性是30%，另外，不是所有人都会配合调查问卷，根据经验每个人拿到问卷的人都有50%的可能配合完成调查。

小王要获得200份已完成的调查问卷，请问配合小王完成调查问卷的人群所构成的泊松过程的强度是______人/小时。

答案:1505.【图片】表示相继两列列车之间的等待时间(单位：小时)，服从(1, 2)上的均匀分布，乘客按强度为100人/小时的泊松过程到达火车站，问乘上某列火车的乘客中等待时间超过1个小时的乘客数量。

答案:506.已知随机游动【图片】的步长分布为【图片】. 那么【图片】=——————(用小数表示，四舍五入，保留4位小数)。

答案:0.02887. 2. .若N(t)是个等待时间分布为F(t)的更新过程，g是一个定义在正整数上的函数, 满足g(0)=0, g(n+1)=g(1)+rg(n), 【图片】, 其中r是个常数，那么函数h(t)=E(g(N(t)))满足_____.答案:8.平稳独立增量过程一定是平稳过程答案:错误9.努利过程既是平稳过程也是严平稳过程答案:正确10.若随机变量序列【图片】为独立增量过程，那么【图片】.答案:错误11.对离散时间随机过程【图片】定义【图片】,那么【图片】是关于该随机过程的停时答案:错误12.已知W是初值为0, 步长分布为【图片】的随机游动，那么以下错误的是答案:13.已知非负整数值随机变量X的概率母函数为【图片】那么【图片】______.(用小数表示)答案:0.514.若X，Y是独立同分布的随机变量服从参数为a的指数分布, 那么在X+Y=1的条件下X的分布是_____.答案:均匀分布15.【图片】(注意结果用小数表示)答案:0.0516.【图片】(注意：结果用小数表示)答案:0.517.已知X, Y是两个方差有限的随机变量，若以X的一个函数随机变量g(X)作为Y的一个近似，为了使得近似误差的均方最小，那么在几乎处处意义下g(X)=_____。

一个具有反射壁的随机环境中二重随机游动的注记

－
，
…
，
ｘＥ（）ｌ去ｅｐ２．＋Ｍ￣ｅ＿ｘｔ（
ｎ
对于任意的，存在唯一的（使得 ≤ ｒ＋１，ｋ ∈Ｚ由条件＜１）ｋｎ．，利用Ｊｎｅｅｓｎ
＃芒
由于｛，１满足独立同分布，则有：ｎ｝
Ｐ（’ｎ）＞Ｅａｘ１（）
－
，
Ｐ（（ａｎ
，
ｘ￣＝（＝１ｅｘ＿）Ｅ）ｅ２＋１Ｍ）ｐｔ，
—
０，所以有：
Ｐ￣（ｘＥ＝ｌ（ａ）＞１ｉ＂（ｎ）ｍＰ（ｃｆｎｔ
定ｌ设＝，是率间ＱＦ）定在０）的机量当定义嘲（）概空（，Ｐ上义（１上随变．给，，
时｛）０时二随游且足Ｐ＝，＝）１当１１，：，为齐重机动，满（０１，，时有＝Ｊ
＝
Ｐ乏生二。三丛＝亨
一一，
≥ 二若
，
其中，ｌｎ（，）１）（＋５ｉ－ａｎｘ（－５／ｍ１）
．
√ （Ｄ） ’ ，
又＝－ｎ５对意因ＥＴ（）于的１为喜ｉ１，任，＿＋斗：生：＋一５１尸（
Ｅ（）１＋＝（＋
两边对于取期望可得：
＋
＋…），其中ｋ∈Ｚ，
Ｅ（ ” ）（＋＋＝１
≤ ）＜ｏ（－ｄ。１
，
＋
＋…）＝（＋１＋Ｅ，８＋Ｅ８２
＋…）
ｌ十Ｄ
于是有Ｄ。Ｅ ” ）０Ｔ＜０．

b值随机环境中随机游动的极限性质

b值随机环境中随机游动的极限性质b值随机环境中随机游动的极限性质
极限性随机环境是一个极其复杂的环境，指在某种环境中，存在着连续变化、不确定性以及多变性，且某种值不断游走或变化。

极限性随机环境也可以称为随机模型，即一个不断变化且无法预测结果的模型。

极限随机环境中最重要的参数是b值，可以看作是环境中偶尔会发生变化的条件。

它是极限性随机环境中不断在游动的关键参数，是环境中所有因素变化的一个指标。

b的变化会带来另外一些参数的变化，这样就会影响极限性随机环境的发展情况。

极限性随机环境中b值的变化带来了极其复杂的问题，对于摆脱原有现状并把事情处理得更加理想，非常重要的一点就是细心分析b值行为，因此想要在极限性随机环境中取得成功，首先就需要懂得重视b值的变动。

另外，需要通过不断反思和实验总结，从b值的变化中发现有价值的趋势，这样才能得到更好的处理或双赢的结果。

总的来说，极限随机环境中的b值变化会带来无穷无尽的复杂问题，想要成功地处理极限性随机环境中的变化，需要重视b值的变化，并且能够找出有价值的趋势，从而获得更好的处理或双赢的结果。

2.5 关于随机性的游程检验

解：假设检验 H 0 : 序列是随机的 H1 : 序列具有成群的倾向略
于是在水平 0.00012 时拒绝零假设
也可使用命令 run.test (y, median(y)) 得到精确的双边检验的p 值为 0.00012
五、随机性的游程检验的应用
1. 检验两个总体的位置参数是否相同例题：检验 X 和 Y 分布函数是否相同在我国的工业和商业企业中随机抽取22家企业进行资产负债率行业差异分析，其1999年底的资产负债率（％）如下：
工业商
64 77
76 55 82 59 82 70 75 61 64 73 83 80 80 65 93 91 84 91 84 86
业
问：两个行业的负债水平是否有显著性差异 ( 0.05)
解：排序寻找游程顺序 1 2 负债率 55 组别 8 73 1 9 75 1 1 10 76 1 59 1
m n
2
(m n 1)
因此可以用正态分布表得到 p 值和检验结果，这时，在给定水平后，可以用近似公式得到拒绝域的临界值 c1 和 c2 ，满足 P( R c1 ) 及 P( R c2 ) .
三、确定 p值
若 p 值相对于给定的显著性水平小，则数据不支持 H 0；若足够大，则不拒绝 H 0。
例 2.6 如在工厂的全面质量管理中，生产出来的 20 个工件的某一尺寸按顺序为 X 1 , X 2 , , X 20 单位cm 12.27 9.92 10.81 11.79 11.87 10.90 11.22 10.80 10.33 9.30 9.81 8.85 9.32 8.67 9.32 9.53 9.58 8.94 7.89 10.77 人们想知道生产出来的工件尺寸变化是否只是由于随机因素，还是有其它非随机因素

时间随机环境中一维紧邻随机游动的常返性质

ｆｑ（＂），Ｙ— ＋１，，。满足：任意的整数（≥ Ｏ，，Ｓ一０且对），
Ｐ（ｌｓ — Ｉ１ｒ．，ｌ『，，一１ … ｓ一＿Ｓ一ｌＳ，）一ｑ一１ｇ＂，ｙ— 一１（），
ｌ０，称｛。为随机环境ｑ中取整数值随机游动（ＷＲ．ＳＲＥ）
其他．
给定环境 — ｑ，．，Ｓ｝（，｛，。为非齐次的马尔可夫链，足：满对任意的 ∈２） ∈互，（≥０，
ＰＳ。０）一１，（一Ｐ（ — ｉ … ，，ＳＩ．Ｓ，一）一（０，ｊ０，）… （７，— ｉ）７，Ｃ５，．
第２４卷第５期
２００８年ｌ月０
大学数学
ＣＯＩＩＥＧＥＡＴＨＥＭＡＴＩＭＣＳ
Ｖｏ．４。＿５１２Ｎ．ｏ０Ｃ．２８ｔ００
时间随机环境中一维紧邻随机游动的常返性质
吴文忠
（津大学环境学院，津３０７）天天００２
同定义１２则．，
户＞÷时，ｓ一＋∽ ＇．． ” ａｅ，一∞ ；
１
＜寺时，ｓ一一。，．．７。。ａｅ，一。；
１
一
寺时，一∞一１ｆ＜ｌｕｓ一＋。，．．，ｃｉｉＳｉｓｐｍｎｒａ。ａｅ，ｚ．一。
［献标识码］Ａ文
［章编号］文
ｌ引言及主要结果

随机信号分析基础

1
x 2 (t )
0
t1
x 2 (t1 )
τ
x n (t ) x n (t1 )
x n (τ )
0
t1
τ
t
图 2.2.2 随机信号的 N 次记录接下来考虑随机信号精确的数学描述。如图 2.2.2 ，对一个信号进行了 N 次记录 ( N 次试验 )，得到 N 个随时间变化的函数 (即每次记录都是时间的函数 )，记为
第二章随机信号分析基础 ........................................................................................... 25 § 2. 1 概述 ............................................................................................................. 25 § 2. 2 随机信号的概率结构 ................................................................................... 28 § 2. 2. 1 概率论基本概念 ............................................................................... 29 § 2. 2. 2 随机信号有限维概率密度及数字特征 ............................................. 32 § 2. 3 随机信号的平稳性 ...................................................................................... 34 § 2. 4 离散随机信号和复随机信号 ....................................................................... 37 § 2. 4. 1 离散时间随机信号及其数字特征 .................................................... 37 § 2. 4. 2 复随机信号 ...................................................................................... 39 § 2. 5 随机信号的遍历性 ...................................................................................... 40 § 2. 5. 1 总集意义上的数字特征与时间意义上的数字特征 .......................... 40 § 2. 5. 2 平稳随机信号的遍历性 .................................................................. 41 § 2. 6 平稳随机信号的功率谱密度 ....................................................................... 43 § 2. 6. 1 维纳 — 辛钦定理 ............................................................................... 44 § 2. 6. 2 功率谱密度的性质 ........................................................................... 45 § 2. 6. 2 离散随机序列的功率谱密度 ............................................................ 47 § 2. 7 几种常见的随机信号 ................................................................................... 49 思考题 .................................................................................................................... 52 习题 .................................................................................................................... 53

北大随机过程课件：第_2_章_第_1_讲_随机游动

第 2n 步第一次返回原点的概率记作：
v2 n = P{B2 n } = P{η1 ≠ 0,η2 ≠ 0, ……，η2n −1 ≠ 0,η2n = 0}
第 2n 步返回原点的概率与第 2n 步第一次返回原点的概率的关系是：
u2 n = v2 n + v2 n − 2u2 + L + v2u2 n − 2 = ∑ v2 k u2 n − 2 k
{
2
} = 4npq
2
相关函数： E [η n ⋅η m ] = min [ n, m ] ⋅ 4 pq + nm ⋅ ( p − q )
2.2 经过 n 步返回原点的概率
根据一维分布的分析可知，第 n 步返回原点的概率为：
0, n为奇数 ⎧ ⎪ ⎪⎛ n ⎞ n n P{ηn = 0} = ⎨⎜ ⎟ 2 2 n ⎟ p q ， n为偶数 ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎪ ⎩⎝ 2 ⎠
2
可以得到
1 − V ( z ) = 1 − 4 pqz 2 = (1 − 4 pqz 2 ) = (1 − 4 pqz 2 ) U ( z )
也就是说，
1 − 4 pqz 2
−v2 n = u2 n − 4 pqu2 n − 2 v2 n = 4 pqu2 n − 2 − u2 n
对于对称的随机游动 p = q = 1/ 2 ，就有
k =0 n
(r )
相应的生成函数是
V
(r )
( z) = ∑ v z
n =0
∞
(r ) 2n 2n
= ∑v z
k =0
∞
(r ) 2k 2k
∑v
n=0
∞
(r ) 2m 2m
z
= V ( z )V ( r −1) ( z ) = V r ( z )

数学物理学报第三十卷A辑总目次

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … 丁春梅（４１２）
１４）广义Ｃｍｐｎｔ间上粗糙核参数型Ｍａｃｋｅｃ积分 … … … … 张松艳陶祥兴（５ａａａｏ空ｒｉｉｚｎｗｉ
带非光滑核的多线性奇异积分算子的有界性 …… ……… ……… …… ………… 刘岚拮
（１２７）
类具有扩散的捕食模型的共存解 … ……… ……… ……… ……… … 李波
半线性多调和方程解的分支 …… ………… …… ………… …… 金玲玉王霞用椭圆描述的四阶边值问题的两参数非共振条件 …… ……… ……… … 李永祥
２７）房少梅（２
林迎珍
（０１３）
… … … … … … … …
王廷春
张鲁明陈芳启
（１１４）
随机脉冲泛函微分方程的阶矩有界性Ｂｒｓｅｎ型算子同时逼近误差ｅｎｔｉ
… … … … … … … … 吴述金宋琼郭小林（２１６）
・
崔明根
（２）３０
Ｉ・
Ｉｌ ‘
Ｂ值随机元的Ｒｏｅｔａ不等式及其应用 … …… …… ……… …… …… …… … 甘师信ｓｎｈｌ
磁流体力学方程（ＨＤ）个新的正则性条件 … … … … … … … … … … … … … 刘晓风Ｍ几
八阶奇异边值问题精确解的表达形式 ……… ……… ………… …… … 么焕民

d(d≥3)维对称随机游动非常返性的证明

d(d≥3)维对称随机游动非常返性的证明
徐怀;唐玲
【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(032)009
【摘要】随机游动是一类具有启发性的数学模型,在物理学、化学、天文、股市预测、商业风险及库存理论等科学领域内都有着广泛的应用;常返性是随机游动的一条重要性质,文章考虑的是对称随机游动的常返性问题,与一维、二维的情形不同,证明了所有d(d≥3)维对称随机游动都是非常返的,这个结论全面解决了对称随机游动的常返性问题.
【总页数】3页(P1451-1453)
【作者】徐怀;唐玲
【作者单位】安徽大学数学科学学院,安徽,合肥,230039;安徽建筑工业学院数理系,安徽,合肥,230022
【正文语种】中文
【中图分类】O211.6
【相关文献】
1.一类格子上有限维不可约随机游动常返性的证明 [J], 杨朝强;常迎香
2.随机环境中有界跳幅随机游动常返性暂留性的另一证明 [J], 王士东;洪文明
3.时间随机环境中一维紧邻随机游动的常返性质 [J], 吴文忠
4.固体物理学中能带在（非汉字符号）空间对称性的证明 [J], 王奎雄
5.非吸收晶体介电张量对称性的证明 [J], 毛文炜
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随机环境中有界跳幅随机游动常返性暂留性的另一证明

第四章马尔可夫链

第三章多维随机变量及其分布

直线上独立随机环境中的随机游动

暂留与常返 基本概念与常返性的判别

随机变量序列的大数定律及常返性定理

一类一般随机环境中单边二重随机游动的常返性

随机第四章4

随机环境中单边二重随机游动的常返性

随机水文学-第3章

暂留与常返 基本概念与常返性的判别

随机过程_华东师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

一个具有反射壁的随机环境中二重随机游动的注记

b值随机环境中随机游动的极限性质

2.5 关于随机性的游程检验

时间随机环境中一维紧邻随机游动的常返性质

随机信号分析基础

北大随机过程课件：第_2_章_第_1_讲_随机游动

数学物理学报第三十卷A辑总目次

d(d≥3)维对称随机游动非常返性的证明

暂留与常返基本概念与常返性的判别

暂留与常返基本概念与常返性的判别