2019-2020学年新人教A版必修一三角函数的应用课时作业

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2019_2020学年高中数学第五章三角函数5.3诱导公式(第1课时)诱导公式二、三、四课件新人教A版必修1

(2)诱导公式三:sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.
一二三
3.做一做
(1)sin(-390°)=
;
(2)cos
-
13π 6
=
.
解析:(1)sin(-390°)=-sin 390°
=-sin 30°=-12;
(2)cos
-
13π 6
=cos136π=cosπ6 =
于是 tan(595°-α)=tan(360°+235°-α)
=tan(235°-α)=tan(180°+55°-α)=tan(55°-α)
22
=csoins((5555°°--��)) =
3
-13
=-2
2.
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
探究一

探究二
探究三随堂演练
利用诱导公式解决化简问题
=sin 45°cos 30°-cos 30°sin 30°-tan 45°
=
2 2
×
3 2
−
3 2
×
12-1
= 6-43-4.
探究一
探究二
探究三随堂演练
课堂篇探究学习
(2)因为 cos(α-55°)=-13<0,且 α 是第四象限角, 所以 α-55°是第三象限角.因此 sin(α-55°)=- 1-cos2(��-55°)=-232. 又因为 α+125°=180°+(α-55°),所以 sin(α+125°)=sin[180°+(α-55°)]=-sin(α-55°)=232.
一二三
课前篇自主预习

2019 2020高中数学第1章三角函数121任意角的三角函数第2课时三角函数线及其应用教案新人教A版

三角函数线及其应用课时第21．有向线段(1)定义：带有方向的线段．OMMP. (2)表示：用大写字母表示，如有向线段，2．三角函数线PPPMxM. ，过垂直于作轴，垂足为作图：①(1)α的终边与单位圆交于AxT. α0)作的终边或其反向延长线于点轴的垂线，交②过(1，(2)图示：MPOMAT，分别叫做角α、结论：有向线段(3)的正弦线、余弦线、正切线，统称为三、角函数线．思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？xy轴上当角的终边落在轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在提示：时，余弦线变成了一个点，正切线不存在．π8π1．角和角有相同的( )77A．正弦线 B．余弦线．不能确定D ．正切线C．π8πC [角和角的终边互为反向线，所以正切线相同．]772．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )OMAT′．正弦线′，正切线 A OMAT′．正弦线′，正切线 B MPAT，正切线C．正弦线MPAT′，正切线′D．正弦线MPAT，C，正切线为正确．C [α为第三象限角，故正弦线为]3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为．y轴上，正弦线与单位圆的交点为(0，0的余弦线长度为时，α的终边落在1 [若角α1)或(0，－1)，所以正弦线长度为1.]】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．【例1ππ10π17.(3)－；(2)；(1)364 [解]如图．MPOMAT为正切线．其中为正弦线，为余弦线，三角函数线的画法x轴的垂(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．xA)的终边(α作正切线时，应从(1，0)点引为第一或第四象限角轴的垂线，交α(2)ATT.于点，即可得到正切线或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)π5 1．作出－的正弦线、余弦线和正切线．8 ]如图：[解π5????MP－＝，sin??8π5????OM－，cos＝??8π5????AT－. ＝tan??8) ＞cos β，那么下列结论成立的是( 【例2】 (1)已知cos αβsin α＞sin ．若Aα、β是第一象限角，则α＞tan β是第二象限角，则B．若α、βtanα＞sin βC．若α、β是第三象限角，则sin＞tan β．若α、β是第四象限角，则tan αDππ4π2π4π22π4 的大小．，tan和tan和(2)利用三角函数线比较sin和sin，coscos553533在规定象限内画观察正弦线或正、β的余弦线出α→思路点拨：(1) 切线判断大小满足cos α＞cos β2π4π观察图形，(2)作出和的正弦线、余弦线和正切线→比较大小35 错误；A，故βsin ＜αsin 时，βcos ＞αcos 可知，(1)由图[ D)1(图(1)由图(2)可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，故B错误；图(2)由图(3)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C错误；图(3)由图(4)可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D正确．]图(4)2π2π2π4π4πMPOMATMPOM′，＝′，tan＝，＝′cos＝＝解：如图，(2)sin，cos，333554πAT′.＝tan 5．MPMP′|，符号皆正，| 显然|′|＞2π4π∴sin＞sin；352π4πOMOM′|，符号皆负，∴cos＞cos；|＜| |352π4πATAT′|，符号皆负，∴tan＜tan|＞||.35(1)利用三角函数线比较大小的步骤：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．2π2π2πabc＝tan，则( ＝cos， 2．已知sin＝，)777abcacb＜．．＜B＜＜A babcac＜．D＜．C＜＜D[由如图的三角函数线知：2π2ππATMP＞，因为＝＜，784MPOM，＞所以．2π2π2π所以cos＜sin＜tan，777bac.]所以＜＜πππ3π3．设＜α＜，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果＜α＜，4224上述长度关系又如何？ππMPOMAT，，余弦线为，正切线为α＜时，角α的正弦线为[解] 如图所示，当＜42π3πATMPOMMPOM′，′时，角α显然在长度上，的正弦线为＞′，余弦线为＞＜；当＜α24ATATMPOM′.′＞′＞′正切线为′，显然在长度上，]探究问题[aaa (|α≥|≤1)的不等式？，sin α≤1．利用三角函数线如何解答形如sinaaa(|，sin α≤|≤1)的不等式：提示：对形如sin α≥图①yOMaay轴的垂线交单位圆于两作)，过点(0画出如图①所示的单位圆；在，轴上截取＝PPOPOPOPOP′上的角的集合；图中阴影部分即为和点和和′；写出终边在′，并作射线aa的角α的范围．α的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin ≥sin 满足不等式α≤aaa|≤1)的不等式？≤α(|．利用三角函数线如何解答形如2cos α≥，cosaaa|≤1)的不等式：≤cos α对形如提示：cos ≥，α(|图②．xaaxOM轴的垂线交单位圆于两，0)＝，过点画出如图②所示的单位圆；在(轴上截取作OPOPPPOPOP′上的角的集合；图中阴影部分即为满′，作射线′；写出终边在点和和和aa cos α的角α≥足不等式cos α≤的范围．的角α的范围，其余部分即为满足不等式3】利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．【例132. αα|≤(1)cos α＞－≤；(3)|sin ；(2)tan 223的写出角α确定对应确定角α的终→思路点拨：→――方程的解边所在区域取值范围[解] (1)如图，由余弦线知角α的取值范围是3π3π???kkk?Z，＜α＜2π2＋π－∈. α???44??(2)如图，由正切线知角α的取值范围是ππ???kkk?Zπ＋∈π，α≤. α???62??111(3)由|sin α|≤，得－≤sin α≤.222如图，由正弦线知角α的取值范围是ππ???kkk?∈，π＋Zπ－α≤≤.α???66??2”，求α的取值范围．的不等式改为“cos α＜ 1．将本例(1)2[解]如图，由余弦线知角α的取值范围是π7π???kkk?Z＜2，π2＋π＋∈＜α. α???44??132．将本例(3)的不等式改为“－≤sin θ＜”，求α的取值范围． 22π117π3π2π????－＝－，sin且－≤sin θ＝]由三角函数线可知sin＝sin，sin＝[解??62633223，故θ的取值集合是＜ 2ππ2π7π????kkkk????k＋22π2，＋π＋π，2π－ (．∈Z)∪????6633yx－1的定义域．．利用本例的方法，求函数＝2sin 3x－1≥0，2sin ]要使函数有意义，只需解[1x≥.即sin 2π5π??kk??k＋＋，2π2π∈Z)． (由正弦线可知定义域为??66利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置．(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值．写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求．(3)在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的提醒：所有角的集合．．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小1 问题，难点是对三角函数线概念的理解．．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题2 ；三角函数线的画法，见类型1(1) ；利用三角函数线比较大小，见类型2(2)3.利用三角函数线解简单不等式，见类型(3)．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线段的方向表示三角函数值3的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之重．．利用三角函数线解三角不等式的方法41．下列判断中错误的是( )A ．α一定时，单位圆中的正弦线一定B ．在单位圆中，有相同正弦线的角相等C ．α和α＋π有相同的正切线D ．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上π5πB [A正确；B 错误，如与有相同正弦线；C 正确，因为α与π＋α的终边互为反66向延长线；D 正确．]πOMMP 分别是角α＝的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( 2．如果， )5MPOMMPOM ＜0＜．B0＜＜．A ．MPOMMPOM 0＞＞＞＞0 DC ．．ππOM 的余弦线和正弦线满足α＝[角β＝的余弦线与正弦线相等，结合图象可知角D 54MP 0.]＞＞baba，则cos 4 ，3．若．＝sin 4，的大小关系为＝ππ35ba＜，＜＜ [因为424 ，如图4弧度角的正弦线和余弦线()画出ba.]＜cos 4，即观察可知sin 4＜的集合．α的终边范围，并由此写出角α．在单位圆中画出适合下列条件的角413. α≤－(1)sin α；≥(2)cos 223yOBABOA＝(1)作直线[α的终边在如图①所交单位圆于解，两点，连接]，，则角2π2???kkk?∈Zπ，≤π≤απ＋2＋2.α)含边界，角的取值集合为α(示的阴影区域内???33??图①图②1xCDOCOD，则角α＝－(2)作直线交单位圆于，两点，连接，的终边在如图②所示的2．24???kkk?∈，Zπ≤α≤＋2π2π＋π.阴影区域内(α的取值集合为，角含边界)α???33??。

2019-2020学年人教A版高中数学必修1课时作业：作业11.1.1-1集合与函数概念含解析

2.若 a是R 中的元素，但不是 Q中的元素，则 a可以是 ( )
A.3.14
B.－ 2
7
C.8
D. 7
答案 D
解析由题意知 a 应为无理数，故 a 可以为 7.
3.设集合 M ＝ {(1 ，2)} ，则下列关系式成立的是 ( )
A.1 ∈ M
B.2∈ M
C.(1 ，2) ∈M
D.(2 ， 1)∈ M
答案 C 4.若以方程 x 2－ 5x＋6＝ 0和方程 x2－ x－ 2＝0的解为元素的集合为 M ，则 M 中元素的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 C
解析 M ＝ { －1， 2， 3}. 5.若 2∈ {1 ，x 2＋x} ，则 x的值为 ( )
A. －2
B.1
C.1 或－ 2
D.－ 1或 2
8.下列关系中 ①－ 43∈ R ；② 3?Q ；③ |－ 20|?N* ；④ |－ 2|∈ Q；⑤－ 5? Z ；⑥ 0∈ N.
其正确的是 ________.
答案 ①②⑥
9.下列说法中 ① 集合 N与集合 N* 是同一个集合；②集合 N 中的元素都是集合 Z 中的元素；③集合 Q 中的元素都是集合 N中的元
课时作业 (一 )
1. 下列说法中正确的是 ( ) A. 联合国所有常任理事国组成一个集合 B. 衡水中学年龄较小的学生组成一个集合 C.{1 ， 2， 3} 与 {2 ， 1，3} 是不同的集合 D. 由1， 0， 5， 1， 2，5组成的集合有六个元素答案 A 解析根据集合中元素的性质判断 .
.所以△ ABC 不可能是等腰三角形 .
7.设 a，b∈ R，集合 {1 ， a} ＝ {0 ， a＋ b} ，则 b－ a＝ ( )

高中数学(新人教A版)必修第一册同步习题：同角三角函数关系与诱导公式的综合运用(习题)【含答案及解析

专题强化练8 同角三角函数关系与诱导公式的综合运用一、选择题1.(2019广东中山一中高一下段考,)已知sin α·cos α=18,π4<α<π2,则cosα-sin α的值为( )A.√32B.-√32C.34D.-342.(2019福建福州长乐高中高一期末,)在△ABC 中,下列结论错误的是( ) A.sin(A+B)=sin C B.sinB+C 2=cos A2C.tan(A+B)=-tan C (C ≠π2)D.cos(A+B)=cos C3.(2019甘肃武威一中高一下段考,)化简2sin4√1-cos 24+√1-sin 23cos3的结果为( )A.-3B.-1C.1 D .34.(2019福建八县(市)一中高一上期末联考,)已知tan θ=3,则sin (3π2+θ)+2cos(π+θ)sin (π2-θ)-sin(π-θ)等于( )A.-32B.32C.0 D .235.(2019河北唐山高三二模,)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有一点A(2sin α,3),则cos α=( ) A.12B.-12C.√32D.-√326.(2019河南安阳高三一模,)9sin 2α+1cos 2α的最小值为()A.18B.16C.8 D .6 二、填空题7.(2020吉林长春第二中学高一期末,)若角A 是三角形ABC 的内角,且tan A=-13,则sin A+cos A= . 8.(2019江西临川第一中学等九校高三联考,)已知α∈(0,π),且cosα=-1517,则sin (π2+α)·tan(π+α)=.三、解答题9.(2020河南安阳第一中学高一月考,)已知f(α)=sin 2(π-α)·cos(2π-α)·tan(-π+α)sin(-π+α)·tan(-α+3π).(1)化简f(α);(2)若f(α)=18,且π4<α<π2,求cos α-sin α的值; (3)若α=-31π3,求f(α)的值.易错10.(2020山东日照高一上期末,)已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点P(m,-m-1),且cos α=m 5. (1)求实数m 的值;(2)若m>0,求sin(3π+α)cos (3π2-α)cos(α-π)sin (π2+α)的值.答案全解全析一、选择题1.B 由题意得(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×18=34. ∵π4<α<π2,∴cos α-sin α<0,∴cos α-sin α=-√32.2.D 在△ABC 中,有A+B+C=π,则sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,A 结论正确; sinB+C 2=sin (π2-A 2)= cos A2,B 结论正确;tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C (C ≠π2),C 结论正确;cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,D 结论错误.故选D. 3.A √2+√1-sin 23cos3=√2+√cos 23cos3,因为sin 4<0,cos 3<0,所以原式=2sin4-sin4+-cos3cos3=-2-1=-3.4.B ∵tan θ=3, ∴sin (3π2+θ)+2cos(π+θ)sin (π2-θ)-sin(π-θ)=-3cosθcosθ-sinθ=-31-tanθ=32.故选B.5.A 易知sin α≠0,由三角函数定义得tan α=32sinα,即sinαcosα=32sinα,得3cosα=2sin 2α=2(1-cos 2α),解得cos α=12或cos α=-2(舍去). 6.B 由题意得,9sin 2α+1cos 2α=(sin 2α+cos 2α)·(9sin 2α+1cos 2α)≥9+1+2√9cos 2αsin 2α·sin 2αcos 2α=16,当且仅当sin 2α=34,cos 2α=14时,等号成立. 二、填空题 7.答案 -√105解析由题得{sin 2A +cos 2A =1,sinA cosA =-13,π2<A <π,∴sin A=√1010,cos A=-3√1010, ∴sin A+cos A=-√105.8.答案817解析 sin (π2+α)·tan(π+α)=cos α·tan α=sin α,因为α∈(0,π),且cos α=-1517,所以sin α=√1-cos 2α=√1-(-1517)2=817.三、解答题 9.解析 (1)f(α)=sin 2α·cosα·tanα(-sinα)(-tanα)=sin αcos α.(2)由f(α)=sin αcos α=18可知(cos α-sin α)2=cos 2α-2sin αcosα+sin 2α=1-2sin αcos α=1-2×18=34. 又∵π4<α<π2,∴cos α<sin α,即cos α-sin α<0, ∴cos α-sin α=-√32.(3)∵α=-31π3=-6×2π+5π3,∴f (-31π3)=cos (-31π3)·sin (-31π3)=cos (-6×2π+5π3)·sin (-6×2π+5π3)=cos 5π3·sin 5π3=cos (2π-π3)·sin (2π-π3)=cos π3·(-sin π3) =12×(-√32) =-√34. 易错警示诱导公式在解题中的运用要注意两点:一是逐步诱导,如将sin(-π+α)化为-sin α分两步,先用公式sin[-(π-α)]=-sin(π-α),再用公式sin(π-α)=sin α,才能达到目的;二要层次清楚,先变角、再用公式.解题时要防止因逻辑混乱导致的错误.10.解析 (1)根据三角函数的定义可得cos α=√22=m5,解得m=0或m=3或m=-4.(2)由(1)知m=0或m=3或m=-4,因为m>0,所以m=3,所以cos α=35,sinα=-45,由诱导公式,可得sin(3π+α)cos (3π2-α)cos(α-π)sin (π2+α)=-sinα·(-sinα)-cosαcosα=-sin 2αcos 2α=-169.。

高中数学第五章三角函数5-3诱导公式第1课时诱导公式二三四课时作业新人教A版必修第一册

第1课时诱导公式二、三、四必备知识基础练1．[2022·福建福州高一期末]sin 120°＝( ) A ．－12 B ．12C ．－32 D ．322．[2022·山东淄博高一期末]tan (－32π3)的值是( )A ． 3B ．33C ．－ 3D ．－333．若sin (π－α)>0，tan (π＋α)<0，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．[2022·河北保定高一期末]已知cos (π－θ)＝25，则cos (－θ)＝( )A ．－215 B ．－25C ．25D ．2155．化简cos （α＋2π）tan （π＋α）sin （－α）cos （－α）tan （π－α）的结果为( )A ．tan αB ．cos αC ．sin αD ．－sin α6．(多选)已知tan θ＝3sin (θ－π)，则cos θ＝( ) A ．－1 B ．－13C ．13D ．1 7．cos (－52π3)等于________．8．已知sin (π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos (α－2π)＝________．关键能力综合练1．若sin (π＋α)＝12，α∈(π，3π2)，则tan (3π－α)等于( )A ．－12B ．－32C ．－ 3D ．－332．在△ABC 中，下列关系一定成立的是( ) A ．sin A ＋sin C ＝sin B B ．sin (A ＋B )＝cos C C ．cos (B ＋C )＝－cos A D ．tan (A ＋C )＝tan B 3．化简1＋2sin （π－2）·cos （π－2）得( ) A ．sin 2＋cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．sin 2－cos 2 D ．±cos 2－sin 24．[2022·山东滨州高一期末]若tan (π＋α)＝2，则sin 2(π2－α)－4sin(π－α)cos(－α)＝( )A ．－95B ．－75C ．75D ．955．已知sin (56π－α)＝a ，则sin (α＋76π)＝( )A ．aB ．－aC ．±aD ．不确定6．(多选)在平面直角坐标系中，若α与β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是( )A ．sin (α＋π)＝sin βB ．sin (α－π)＝sin βC ．sin (2π－α)＝－sin βD ．sin (2π＋α)＝sin β7．已知角α的终边经过点P (12，5)，则sin (π＋α)＋cos (－α)的值是________． 8．已知cos (π6＋α)＝33，则cos (5π6－α)＝________．9．已知角θ的终边有一点P (12，－32).(1)求tan θ的值；(2)求sin （π－θ）＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）的值．10．[2022·广东韶关高一期末]已知sin (2π3－α)＝15，(1)求cos (α－π6);(2)若－π3<α<π6，求cos (α＋π3).核心素养升级练1．若p ：tan (α＋2 021π)<0且sin (α－π)<0，q ：α为第二象限角．则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．[2022·海南高一期末]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧π6x ，x 是有理数，sin x ，x 是无理数，则f (f (13))＝________．3．证明：2sin （α＋n π）cos （α－n π）sin （α＋n π）＋sin （α－n π）＝(－1)ncos α，n ∈Z .第1课时诱导公式二、三、四必备知识基础练1．答案：D解析：因为sin 120°＝sin (180°－60°)＝sin 60°＝32. 2．答案：A解析：tan (－32π3)＝tan (4π3－12π)＝tan 4π3＝tan (π＋π3)＝tan π3＝ 3.3．答案：B解析：由题设，sin α>0，tan α<0，所以角α的终边在第二象限． 4．答案：B解析：由cos (π－θ)＝－cos θ，得cos θ＝－25，所以cos (－θ)＝cos θ＝－25.5．答案：C解析：cos （α＋2π）tan （π＋α）sin （－α）cos （－α）tan （π－α）＝cos αtan α（－sin α）cos α（－tan α）＝sin α. 6．答案：ABD解析：∵tan θ＝3sin (θ－π)，∴sin θcos θ＝－3sin θ，若sin θ＝0，则cos θ＝1或－1，若sin θ≠0，则cos θ＝－13.7．答案：－12解析：cos (－52π3)＝cos 52π3＝cos 51π＋π3＝cos (17π＋π3)＝cos (π＋π3)＝－cos π3＝－12，所以cos (－52π3)＝－12.8．答案：35解析：由sin (π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45.而cos (α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝1－（－45）2＝35.关键能力综合练1．答案：D解析：∵sin (π＋α)＝12，α∈(π，3π2)，∴－sin α＝12⇒sin α＝－12，cos α＝－1－sin 2α＝－32，tan α＝33，∴tan (3π－α)＝tan (－α)＝－tan α＝－33. 2．答案：C解析：对于A ，若A ＝B ＝C ＝π3，则sin A ＋sin C ＝3≠sin B ，A 错误；对于B ，sin (A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C ，B 错误；对于C ，cos (B ＋C )＝cos (π－A )＝－cos A ，C 正确；对于D ，tan (A ＋C )＝tan (π－B )＝－tan B ，D 错误．3．答案：C解析：由诱导公式有sin (π－2)＝sin 2，cos (π－2)＝－cos 2，则1＋2sin （π－2）·cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝sin 22＋cos 22－2sin2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|. 由2∈(π2，π)，则sin 2>0，cos 2<0，sin 2－cos 2>0，故原式＝sin 2－cos 2. 4．答案：B解析：因为tan (π＋α)＝tan α＝2，所以sin 2(π2－α)－4sin(π－α)cos (－α)＝cos 2α－4sin αcos α＝cos 2α－4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1－4tan α1＋tan 2α＝－75. 5．答案：B解析：因为56π－α＋α＋76π＝2π，所以sin(α＋76π)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－（56π－α）＝－sin (56π－α)＝－a .6．答案：CD解析：∵α与β的终边关于y 轴对称，∴α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )，对于A ，sin (α＋π)＝－sin α，sin β＝sin (2k π＋π－α)＝sin α，则sin (α＋π)＝sin β不恒成立，A 错误；对于B ，sin (α－π)＝－sin α，sin β＝sin (2k π＋π－α)＝sin α，则sin (α－π)＝sin β不恒成立，B 错误；对于C ，sin (2π－α)＝－sin α，－sin β＝－sin (2k π＋π－α)＝－sin α，则sin (2π－α)＝－sin β恒成立，C 正确；对于D ，sin (2π＋α)＝sin α，sin β＝sin (2k π＋π－α)＝sin α，则sin (2π＋α)＝sin β恒成立，D 正确．7．答案：713解析：由题意，角α的终边经过点P (12，5)，可得sin α＝513，cos α＝1213，则sin (π＋α)＋cos (－α)＝－sin α＋cos α＝－513＋1213＝713.8．答案：－33解析：cos (5π6－α)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－（π6＋α）＝－cos (π6＋α)＝－33. 9．解析：(1)由题设及正切函数的定义，tan θ＝－3212＝－ 3.(2)sin （π－θ）＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝3－13＋1＝2－3.10．解析：(1)cos (α－π6)＝cos (π2－2π3＋α)＝sin (2π3－α)＝15.(2)sin (2π3－α)＝sin (π－2π3＋α)＝sin (π3＋α)＝15，若－π3<α<π6，则0<α＋π3<π2，所以cos (α＋π3)＝1－sin 2（α＋π3）＝1－125＝265. 核心素养升级练1．答案：C解析：由题意得tan (α＋2 021π)＝tan α<0，sin (α－π)＝－sin α<0，所以sinα>0，由p 能推出q ，由q 能推出p ，故p 是q 的充要条件．2．答案：12解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧π6x ，x 是有理数，sin x ，x 是无理数，所以f (f (13))＝f (13π6)＝sin (13π6)＝sin (2π＋π6)＝sin π6＝12.3．证明：当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，左边＝2sin （α＋2k π）cos （α－2k π）sin （α＋2k π）＋sin （α－2k π）＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α.右边＝(－1)2kcos α＝cos α，∴左边＝右边．当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，左边＝2sin （α＋2k π－π）cos （α－2k π＋π）sin （α＋2k π－π）＋sin （α－2k π＋π）＝2sin （α－π）cos （α＋π）sin （α－π）＋sin （α＋π）＝2（－sin α）（－cos α）（－sin α）＋（－sin α）＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α.右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，∴左边＝右边．综上所述，2sin （α＋n π）cos （α－n π）sin （α＋n π）＋sin （α－n π）＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立．。

高中数学三角函数正弦函数余弦函数的单调性与最值课时作业含解析新人教A版必修一第一册

5.4.2.2 正弦函数、余弦函数的单调性与最值一、选择题1．已知函数y ＝sin x 和y ＝cos x 在区间M 上都是增函数，那么区间M 可以是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 解析：y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π上是增函数，y ＝cos x 在(π，2π)上是增函数，所以区间M 可以是⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π. 答案：D2．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( )A ．y max ＝3，x ＝－π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z ) C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z ) D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z ) 解析：当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y ＝sin x 有最小值－1，函数y ＝2－sin x 有最大值3.答案：C 3．符合以下三个条件：①⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递减；②以2π为周期；③为奇函数．这样的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝－sin xC ．y ＝cos xD ．y ＝－cos x解析：在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，可以排除A ，是奇函数可以排除C ，D. 答案：B4．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10B ．sin 3>sin 2C ．sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π D ．sin 2>cos 1解析：因为sin 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，且0<2－π2<1<π，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2>cos 1，即sin 2>cos 1.答案：D二、填空题5．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________．解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，由2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 6．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．解析：当0≤x ≤π2时，－π4≤2x －π4≤3π4，因为函数y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4上的函数值恒为正数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0上的函数值恒为负数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0上为增函数，所以函数f (x )的最小值为f (0)＝－22. 答案：－22 7．sin 2π7________sin ⎝⎛⎭⎪⎫－15π8(填“>”或“<”)．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π8＝sin π8，因为0<π8<2π7<π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以sin π8<sin 2π7，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8<sin 2π7. 答案：>三、解答题8．求下列函数的单调区间：(1)y ＝cos 2x ；(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . 解析：(1)函数y ＝cos 2x 的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z,2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z .∴k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z . ∴函数y ＝cos 2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z . (2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，函数y ＝－2sin x －π4的单调递增、递减区间分别是函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调递减、递增区间．令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z . 即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z ，即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4，k ∈Z . 令2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z . 即2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z . 即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递减区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4，k ∈Z . 9．比较下列各组数的大小：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8与cos 15π7； (2)sin 194°与cos 160°.解析：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝cos π8，cos 15π7＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π7＝cos π7，∵0<π8<π7<π，函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，∴cos π8>cos π7，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>cos 15π7.(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°，∴sin 14°<sin 70°.从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°. [尖子生题库]10求下列函数的最大值和最小值：(1)y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6.解析：(1)∵－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1∴当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1.(2)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝2；当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，y min ＝0.。

三角函数的应用习题课课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册

变式训练
3.已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度 (单位:米)可看作是时间
0 ⩽ ⩽ 24, 单位: 时的函数，记作 = ，经过长期观测 = 的曲线可近
似地看成是函数 = cos + ( > 0, > 0) 的图象, 下表是某日各时的浪高数据,
曲线 , 该曲线段为函数 = sin ( > 0, > 0), ∈ [0,4]的图象,且图象的最高
点为 (3,2 3) ; 赛道的后一部分为折线段 , 为保证参赛运动员的安全 , 限定
∠ = 120∘ . 求的值和 , 两点间的距离.
典例讲解
思路解析
由图得到及函数的周期,利用三角函数的周期公式求得 , 将的横坐标代入求
出的纵坐标,再利用两点间距离公式, 即可求解 , 两点间的距离.
解析
依题意,有 = 2

6

3,
4
= 3, 又 =
2
,∴

=
∴ = 2 3sin ,当 = 4 时, ∴ = 2 3sin

,
30

∴ ℎ = 4.8sin
−
+ 5.6, ∈ [0, +∞)
30
2
2
60
=

30
，
变式训练
5.如图所示, 某幼儿园有一个矩形游乐场, 其中 = 50米， = 40米，由于
幼儿园招生规模增大,需将该游乐场扩大成矩形区域, 要求、、、四个
点分别在矩形的四条边(不含顶点) 上.设∠ = (弧度), 的长为米

高中数学第五章三角函数5-7三角函数的应用课时作业新人教A版必修第一册

5．7 三角函数的应用必备知识基础练1．简谐运动y ＝4sin (5x －π3)的相位与初相是( ) A ．5x －π3，π3 B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π32．如图，为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin (ωx ＋φ)＋2，则有( )A.ω＝2π15，A ＝3 B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝53．电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin (100πt ＋π3)，则当t ＝1200 s 时，电流I 为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A4．音叉是呈“Y ”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P 离开平衡位置的位移y 与时间t 的函数关系为y ＝11 000sin ωt .图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为( )A ．200B ．400C ．200πD ．400π5．(多选)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )A ．该质点的运动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5C ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时运动速度为零D ．该质点的运动周期为0.8 s6．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f (t )＝2sin (5π12t －π6)，其中f (t )的单位为m ，t 的单位是h ，则12点时潮水的高度是________m.7．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t 秒时相对于平衡位置(即静止时的位置)的高度h 厘米满足下列关系：h ＝2sin (t ＋π6)，t ∈[0，＋∞)，则每秒钟小球能振动________次．关键能力综合练 1.如图，一个质点在半径为2的圆O 上以P 点为起始点，沿逆时针方向运动，每3s 转一圈．则该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是( )A ．y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin （2π3t －π4）B ．y ＝2sin (2π3t －π4)C ．y ＝2sin (2π3t ＋π4)D ．y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin （2π3t ＋π4） 2．人的血压在不断地变化，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设甲某的血压满足函数式p (t )＝102＋24sin (160πt )，其中p (t )为血压(单位：mmHg)，t 为时间(单位：min)，对于甲某而言，下列说法正确的是( )A ．收缩压和舒张压均高于相应的标准值B ．收缩压和舒张压均低于相应的标准值C ．收缩压高于标准值、舒张压低于标准值D ．收缩压低于标准值、舒张压高于标准值3．福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港．如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (ωx ＋φ)＋k ，据此可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．104．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sin t2(0≤t ≤20) 给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]5．(多选)如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O 到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q ，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是( )A ．点Q 距离水平地面的高度与时间的函数为h (t )＝50sin (πt 15＋π3)＋10B ．点Q 距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为(15k ，60)(k ∈Z )C ．经过10分钟点Q 距离地面35米D ．摩天轮从开始转动一圈，点Q 距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟 6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos [π6(x －6)](A >0，x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃.7．潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体(主要是月球和太阳)引潮力作用下所产生的周期性运动．习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流．早先的人们为了表示生潮的时刻，把发生在早晨的高潮叫潮，发生在晚上的高潮叫汐，这是潮汐名称的由来．下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系(夜间零点开始计时).A －B ＝________.8．某一天6～14时某地的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin (π8x ＋3π4)＋20(x ∈[6，14])，其中，x 表示时间，y 表示温度．求这一天中6～14时的最大温差，并指出何时达到最高气温．9．如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2).(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．核心素养升级练1．小明给学校设计数学文化长廊，计划将长廊的顶部遮雨棚设计成如图所示横截面为正弦曲线的形状(雨棚的厚度忽略不计)，已知入口高度AB 和出口处高度CD 均为H ，为使参观者行走方便，要求雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的23，则雨棚横截面正弦曲线振幅的最大值为( )A ．H 3B ．H4C ．H 5D ．H62．[2022·福建厦门高一期末]在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期．某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值(太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值).设第x 天时太阳直射点的纬度平均值为y ，该小组通过对数据的整理和分析，得到y 与x 近似满足y ＝23.439 391 1·sin (0.017 202 5x )，则一个回归年对应的天数约为________(精确到0.01)；已知某年的春分日是星期六，则4个回归年后的春分日应该是星期________．(π0.017 202 5≈182.624)3．“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y (米)与时间t (0≤t ≤24)(单位：小时)的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度(船底与水面的距离)为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．5．7 三角函数的应用必备知识基础练1．答案：C解析：相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3.2．答案：A解析：由题目可知最大值为5，∴ 5＝A ×1＋2⇒A ＝3.T ＝604＝15，则ω＝2πT ＝2π15. 3．答案：B解析：将t ＝1200代入I ＝5sin (100πt ＋π3)得I ＝2.5 A ．4．答案：D解析：由图象可得，ω>0，T ＝4×1800＝1200，即2πω＝1200，则ω＝400π.5．答案：BCD解析：由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s ，所以A 错，D 正确；该质点的振幅为5，所以B 正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s 和0.7 s 时运动速度最大，在0.1 s 和0.5 s 时运动速度为零，故C 正确．综上，BCD 正确．6．答案：1解析：当t ＝12时，f (12)＝2sin (5π－π6)＝2sin 5π6＝1，即12点时潮水的高度是1 m ． 7．答案：12π解析：函数h ＝2sin (t ＋π6)，t ∈[0，＋∞)的周期T ＝2π，故频率为12π.所以每秒钟小球能振动12π次．关键能力综合练1．答案：A解析：由于y 表示距离，为非负数，所以BC 选项错误．P 点的初始位置为(2，－2)，在第四象限，所以A 选项符合，D 选项不符合． 2．答案：C解析：∵p (t )＝102＋24sin (160πt )， ∴p (t )min ＝102－24＝78，p (t )max ＝102＋24＝126.所以，甲某血压的收缩压为126 mmHg ，舒张压为78 mmHg. 因此，收缩压高于标准值、舒张压低于标准值． 3．答案：C解析：从图象可以看出，函数y ＝3sin (ωx ＋φ)＋k 最小值为2，即当sin (ωx ＋φ)＝－1时，函数取得最小值，即－3＋k ＝2，解得k ＝5，所以y ＝3sin (ωx ＋φ)＋5，当sin (ωx ＋φ)＝1时，函数取得最大值，y max ＝3＋5＝8，这段时间水深(单位：m)的最大值为8.4．答案：C解析：由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2(k ∈Z )，得4k π－π≤t ≤4k π＋π(k ∈Z )，所以函数F (t )＝50＋4sin t2在[4k π－π，4k π＋π](k ∈Z )上单调递增，当k ＝1时，t ∈[3π，5π]⊆[0，20]，此时[10，15]⊆[3π，5π].故选C.5．答案：CD解析：由题意知∠xOQ ＝π2，OQ 在t 分钟转过的角为2π30t ＝π15t ，所以以OQ 为终边的角为π15t ＋π2，所以点Q 距离水平地面的高度与时间的关系为h (t )＝50sin (πt 15＋π2)＋60＝50cos πt15＋60，故A 错误；由πt 15＝k π＋π2，k ∈Z ，得t ＝15t ＋152，k ∈Z ，所以(15k ，60)(k ∈Z )不是对称中心，故B 错误；经过10分钟，h (10)＝50cos 10π15＋60＝35，故C 正确；由50cos πt 15＋60≤85，得cos πt 15≤12，得π3≤πt 15≤5π3，解得5≤t ≤25，共20分钟，故D 正确．6．答案：20.5解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos [π6(x －6)]，当x ＝10时，y ＝23＋5cos (π6×4)＝20.5.7．答案：－4.2或写成－215解析：由表中某市码头某一天水深与时间的关系近似为函数y ＝A cos (ωx ＋φ)＋B (A >0，x ∈[0，24])，从表中数据可知，函数的最大值为5.0，最小值为4.2，所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝5.0－A ＋B ＝4.2，解得A ＝0.4，B ＝4.6，故A －B ＝－4.2.8．解析：由x ∈[6，14]，得3π2≤π8x ＋3π4≤5π2，所以当π8x ＋3π4＝3π2，即x ＝6时，y 取得最小值10，当π8x ＋3π4＝5π2，即x ＝14时，y 取得最大值30，所以这一天中6～14时的最大温差为20，且14时达到最高气温． 9．解析：(1)最大用电量为50万kW ·h ，最小用电量为30万kW ·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin (wx ＋φ)＋b 的半个周期的图象， ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πw ＝14－8， ∴w ＝π6.∴y ＝10sin (π6x ＋φ)＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin (π6x ＋π6)＋40，x ∈[8，14].核心素养升级练1．答案：C解析：雨棚横截面正弦曲线振幅为A ，则雨棚的最低点到地面的距离为H －A ，雨棚的最高点到地面的距离为H ＋A ，由题意有H －A ≥23(H ＋A )，解得A ≤H5，所以横截面正弦曲线振幅的最大值为H5.2．答案：365.25 四解析：因为周期T ＝2πω＝2π0.017 202 5≈182.624×2＝365.248≈365.25，所以一个回归年对应的天数约为365.25；一个回归年对应的天数约为365.25，则4个回归年经过的天数为365.25×4＝1 461. 因为1 461＝208×7＋5，且该年的春分日是星期六，所以4个回归年后的春分日应该是星期四．3．解析：(1)画出散点图，连线如下图所示：设y ＝A sin ωt ＋b ，根据最大值13，最小值9，可列方程为⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝13－A ＋b ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3b ＝10，再由T ＝2πω＝12，得ω＝π6，y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24).(2)3sin π6t ＋10－8≥3.5⇒sin π6t ≥12.∵0≤t ≤24， ∴0≤π6t ≤4π，∴π6≤π6t ≤5π6，或π6＋2π≤π6t ≤5π6＋2π，解得1≤t ≤5，或13≤t ≤17，所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的．。

高中数学第五章三角函数5-1任意角和蝗制5-1-1任意角课时作业新人教A版必修第一册

5.1.1 任意角必备知识基础练1．下列命题中正确的是( )A．第一象限角小于第二象限角B．锐角一定是第一象限角C．第二象限角是钝角D．平角大于第二象限角2．440°角的终边落在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．终边在第四象限的角α的集合是( )A．{α|－90°<α<0°)B．{α|270°＋k·360°<α<k·360°，k∈Z}C．{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}D．{α|k·180°－90°<α<k·180°，k∈Z}4．已知点P在圆O上按顺时针方向每秒转30°，2秒钟后，OP转过的角等于( ) A．－60° B．－30°C．60° D．30°5．下列各角中，与－30°终边相同的角为( )A．210° B．－390°C．390° D．30°6．[2022·广东韶关田家炳中学高一期末](多选)下列四个角为第二象限角的是( ) A．－200°B．100° C．220°D．420°7．第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，中国运动员通过顽强拼搏，共获得9枚金牌，列金牌榜第三名，创造了冬奥会上新的辉煌．在冬奥会的比赛中有一位滑雪运动员做了一个空中翻腾五周的高难度动作，那么“空中翻腾五周”等于________度(不考虑符号).8．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的取值范围(阴影部分)正确的是________(填序号).关键能力综合练1．已知角α为锐角，则下列各角中为第四象限角的是( )A．α＋90° B．α＋180°C．α－90° D．α－180°2．与－525°角的终边相同的角可表示为( )A．525°－k·360°(k∈Z)B．185°＋k·360°(k∈Z)C．195°＋k·360°(k∈Z)D．－195°＋k·360°(k∈Z)3．[2022·山东枣庄高一期末]与－390°角的终边相同的最小正角是( )A．－30°B．30° C．60° D．330°4．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在( )A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上C．x轴上 D．y轴的非负半轴上5．若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在( )A．第二或第三象限 B．第一或第三象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限6．(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是( )A．α＋β＝540° B．α＋β＝360°C．α＋β＝180° D．α＋β＝90°7．自行车大链轮有36齿，小链轮有24齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是________度．8．若角α＝2 022°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．9．在区间[0°，360°)内找出与下列各角终边相同的角α，并判断它是第几象限角：(1)－165°；(2)1 390°；(3)－567°26′.10．已知角β为以O为顶点，x轴为始边，逆时针旋转60°所成的角．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．核心素养升级练1．终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是( )A．{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}C．{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}2．若角α的终边在函数y＝－x的图象上，试写出角α的集合为________．3．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上．5．1.1 任意角必备知识基础练1．答案：B解析：390°为第一象限角，120°为第二象限角，故A错误；因为0°<锐角<90°，所以锐角一定是第一象限角，故B正确；因为90°<钝角<180°，平角＝180°，480°为第二象限角，故C、D错误．2．答案：A解析：因为440°＝360°＋80°，所以440°角的终边与80°角的终边相同，所以440°角的终边落在第一象限．3．答案：C解析：终边在第四象限的角α的集合是{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}或{α|k·360°＋270°<α<360°＋k·360°，k∈Z}．4．答案：A解析：∵点P在圆O上按顺时针方向旋转，则OP转过的角为负角，又每秒转30°，∴2秒钟后，OP转过的角等于2×(－30°)＝－60°.5．答案：B解析：与－30°终边相同的角的集合为：{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－1时，得α＝－390°.6．答案：AB解析：对于A选项，－200°＝160°－360°，故－200°为第二象限角；对于B选项，100°是第二象限角；对于C选项，220°是第三象限角；对于D选项，420°＝60°＋360°，故420°为第一象限角．7．答案：1 800解析：“空中翻腾五周”等于5×360°＝1 800°.8．答案：③解析：当k＝0时，集合{α|45°≤α≤90°}，当k＝1时，集合{α|225°≤α≤270°}，则可得出角所表示的取值范围为③.关键能力综合练1．答案：C解析：因为角α为锐角，所以90°<α＋90°<180°，α＋90°为第二象限角；180°<α＋180°<270°，α＋180°为第三象限角；－90°<α－90°<0°，α－90°为第四象限角；－180°<α－180°<－90°，α－180°为第三象限角．2．答案：C解析：－525°＝195°－2×360°，所以－525°角的终边与195°角的终边相同，所以与－525°角的终边相同的角可表示为195°＋k·360°(k∈Z).3．答案：D解析：与－390°角终边相同角的集合为{α|α＝－390°＋k·360°，k∈Z}，当k＝2时，取得最小正角为330°.4．答案：A解析：因为角α，β的终边相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的终边落在x轴的非负半轴上．5．答案：B解析：当k为奇数时，记k＝2n＋1，n∈Z，则α＝225°＋n·360°(n∈Z)，此时α为第三象限角；当k为偶数时，记k＝2n，n∈Z，则α＝45°＋n·360°(n∈Z)，此时α为第一象限角．6．答案：AC解析：假设α，β为0°～180°内的角，如图所示：由α和β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝180°，根据终边相同角的概念，可得α＋β＝k ·360°＋180°＝(2k ＋1)180°，k ∈Z ，所以满足条件的为A 、C.7．答案：540解析：因为大链轮转过一周时，小链轮转36齿．而小链轮有24齿，故小链轮转3624＝32周，一周为360°，故小链轮转过的角度为360°×32＝540°. 8．答案：222° －138°解析：∵2 022°＝5×360°＋222°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝222°＋k ·360°，k ∈Z }，∴最小正角是222°，最大负角是－138°.9．解析：(1)与－165°终边相同的角为－165°＋k ·360°，k ∈Z ，当k ＝1时，为195°，∴在[0°，360°)内，与－165°终边相同的角是195°，它是第三象限角；(2)与1 390°终边相同的角可以表示为1 390°＋k ·360°，k ∈Z ，当k ＝－3时，为310°，∴在[0°，360°)内，与1 390°终边相同的角是310°，它是第四象限角；(3)与－567°26′终边相同的角为－567°26′＋k ·360°，k ∈Z ，当k ＝2时，为152°34′，∴在[0°，360°)内，与－567°26′终边相同的角是152°34′，它是第二象限角．10．解析：(1)依题意，角β的集合S ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z }．(2)在S ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z }中，取k ＝－2，得β＝－300°，取k ＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.核心素养升级练1．答案：B解析：终边为第一象限的平分线的角的集合是{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z} ①，终边为第三象限的平分线的角的集合是{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z} ②，由①②得{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}．2．答案：{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}解析：函数y＝－x的图象是第二、四象限的平分线，在0°～360°范围内，以第二象限平分线为终边的角为135°，以第四象限平分线为终边的角为315°，∴α的集合为{α|α＝k·360°＋135°或α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．3．解析：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角为α＝30°＋k·360°或α＝210°＋k·360°，k∈Z，即α＝30°＋2k·180°或α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z，所以终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．。

2019-2020学年人教A版高中数学必修1课时作业：作业12 1.2习题课

课时作业(十二)1.下列各图中，不可能表示函数y ＝f(x)的图像的是( )答案 B解析 B 中一个x 对应两个函数值，不符合函数定义.2.已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则y ＝f(x ＋a)的定义域为( ) A.[2a ，a ＋b] B.[0，b －a] C.[a ，b] D.无法确定答案 B3.函数的图像与平行于y 轴的直线的交点的个数( ) A.至少有一个 B.至多有一个 C.不确定 D.有且仅有一个答案 B4.下列图形是函数y ＝x|x|的函数的是( )答案 D解析 ∵y ＝x|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x<0，∴其图像为D 选项，故选D.5.某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表1 市场供给表表2( ) A.(2.3，2.6)内 B.(2.4，2.6)内 C.(2.6，2.8)内 D.(2.8，2.9)内答案 C6.如图所示，函数f(x)的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f(1f （3）)的值等于________.答案 2解析 ∵f(3)＝1，1f （3）＝1，∴f(1f （3）)＝f(1)＝2.7.若函数f(x)的定义域为[－1，2]，则y ＝f(x)＋f(－x)的定义域为________. 答案 [－1，1]8.设函数y ＝f(x)的定义域为R ＋，且f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(8)＝3，则f(2)等于__________. 答案 12解析 ∵f(8)＝f[(2)6]＝6f(2)＝3，∴f(2)＝12.9.设f(x)＝2x －3，g(x －2)＝f(x)，则g(x)＝________. 答案 2x ＋110.已知函数f(x)满足f(x ＋4)＝x 3＋2，当f(x)＝1时，x 的值为________. 答案 311.已知函数f(1－x1＋x)＝x ，求f(2)的值.解析由1－x 1＋x＝2，解得x ＝－13.所以f(2)＝－13.12.(1)已知函数f(x)的定义域是[1，5]，求函数f(x 2＋1)的定义域. (2)已知函数f(2x 2－1)的定义域是[1，5]，求f(x)的定义域.解析 (1)由f(x)定义域为[1，5]，知f(x 2＋1)中需1≤x 2＋1≤5，解得－2≤x ≤2. ∴f(x 2＋1)的定义域为[－2，2].(2)由f(2x 2－1)定义域为[1，5]，得1≤x 2≤25，1≤2x 2－1≤49，故f(x)定义域为[1，49]. 13.如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系.骑车者9时离开家，15时回家.根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息多长时间？ (3)第一次休息时，离家多远？ (4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？ (6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？解析 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米. (2)10：30开始第一次休息，休息了半小时. (3)第一次休息时，离家17千米. (4)11：00至12：00他骑了13千米.(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时. (6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形. ►重点班·选做题14.设函数f(x)＝[x]，[x]表示不超过x 的最大整数，x ∈(－2.5，2]时，写出函数f(x)的解析式.答案 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3， x ∈（－2.5，－2），－2， x ∈[－2，－1），－1， x ∈[－1，0），0， x ∈[0，1），1， x ∈[1，2），2， x ＝21.客车从甲地以60 km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图像中，正确的是()答案 C解析图像经过(0，0)，(1，60)，(1.5，60)，(2.5，140)的三段折线，故选C.2.如图所示的四个容器高度都相同.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止.用下面对应的图像显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数为()A.1B.2C.3D.4答案 A解析对于第一图，水面的高度h 的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正确，选A. 3.某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x 元与日销售量y 件之间有如下所表示的关系.(1)y 与x 的一个函数关系式y ＝f(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系，写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少时，才能获得最大日销售利润？解析 (1)由表作出点(30，60)，(40，30)，(45，15)，(50，0).如图，它们近似地在一条直线上，设它们共线于直线y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋b ＝0，45k ＋b ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝150.∴y ＝－3x ＋150，(x ∈N ).经检验(30，60)，(40，30)也在此直线上. ∴所求函数解析式为y ＝－3x ＋150，(x ∈N ).(2)依题意P ＝y(x －30)＝(－3x ＋150)(x －30)＝－3(x －40)2＋300，当x ＝40时，P 有最大值300，故销售价为40元时，才能获得最大利润.4.《国务院关于修改〈中华人民共和国个人所得税法实施条例〉的决定》已于2008年3月1日起施行，个人所得税税率表如下：(1)若某人2008年4月份的收入额为4 200元，求该人本月应纳税所得额和应纳的税费； (2)设个人的月收入额为x 元，应纳的税费为y 元.当0<x ≤3 600时，试写出y 关于x 的函数关系式.解析 (1)本月应纳税所得额为4 200－2 000＝2 200元；应纳税费由表格，得500×5%＋1 500×10%＋200×15%＝205元. (2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤2 000，（x －2 000）·5%，2 000<x ≤2 500，25＋（x －2 500）·10%，2 500<x ≤3 600.。

【2019版新教材】高中数学A版必修第一册第五章全章节教案教学设计+课后练习及答案(名师推荐精编版)

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第五章教案教学设计+课后练习及答案5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．题型三任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数-两角和与差的正弦、余弦公式讲义新人教A版必修第一册

第2课时两角和与差的正弦、余弦公式学习目标核心素养1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式． 2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等． 3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.1.借助公式的推导过程，培养数学运算素养．2. 通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养.1．两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式 C (α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β∈R两角和的余弦公式C (α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βα，β∈R名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦 S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βα，β∈Ry ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(a ，b 不同时为0)，其中cos θ＝a a 2＋b 2，sinθ＝b a 2＋b 2.1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为( ) A ．0 B.12 C.32D ．cos 54°B [原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝12.]2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A ．－32B ．－12C.12D.32B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)＝cos 155°， sin 125°＝sin(90°＋35°)＝cos 35°，∴原式＝cos 155°cos 35°＋sin 155°sin 35°＝cos(155°－35°)＝cos 120°＝－12.] 3．若cos α＝－35，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝______. －210 [∵cos α＝－35，α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22sin α－22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－210.],给角求值问题【例1】 (1)cos70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32(2)若θ是第二象限角且sin θ＝513，则cos(θ＋60°)＝________.(3)求值：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.(1)D (2)－12＋5326 [(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin70°，sin 40°＝cos 50°，∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝32.(2)∵θ是第二象限角且sin θ＝513，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1213，∴cos(θ＋60°)＝12cos θ－32sin θ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－32×513＝－12＋5326.] (3)[解] 原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－2.]解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．1．化简求值：(1)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)． [解] (1)原式＝sin (20°＋30°)－sin 20°cos 30°cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.给值求值、求角问题【例2】 (1)已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P 的横坐标为45，点Q 的横坐标为513，则cos∠POQ ＝________.(2)已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：①cos(2α－β)的值；②β的值．[思路点拨] (1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP 和∠xOQ 的正弦、余弦值，再依据∠POQ ＝∠xOP ＋∠xOQ 及两角和的余弦公式求值．(2)先求sin α，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cos β再求β.(1)5665 [由题意可得，cos∠xOP ＝45，所以sin∠xOP ＝35.再根据cos∠xOQ ＝513，可得sin∠xOQ ＝－1213，所以cos∠POQ ＝cos(∠xOP ＋∠xOQ )＝cos∠xOP ·cos∠xOQ －sin∠xOP ·sin∠xOQ ＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665.] (2)[解] ①因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010＞0，所以0＜α－β＜π2，所以sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. ②cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22，又因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.2．已知锐角α，β满足cos α＝255，sin(α－β)＝－35，求sin β的值．[解] 因为α，β是锐角，即0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜π2，因为sin(α－β)＝－35＜0，所以cos(α－β)＝45，因为cos α＝255，所以sin α＝55，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×45＋255×35＝255. 辅助角公式的应用[探究问题]1．能否将函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈R )化为y ＝A sin(x ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2？提示：能．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.2．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式．提示：a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝ba 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b 2共同确定)．【例3】 (1)sin π12－3cos π12＝________.(2)已知f (x )＝3sin x －cos x ，求函数f (x )的周期，值域，单调递增区间．[思路点拨] 解答此类问题的关键是巧妙构建公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α－β)、S (α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．(1)－2 [原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12.法一：(化正弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π3－cos π12sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2. 法二：(化余弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos π12－sin π6sin π12＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.](2)[解] f (x )＝3sin x －cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·32－cos x ·12 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∴T ＝2πω＝2π，值域[－2,2]．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z .1．若将例3(2)中函数改为f (x )＝－sin x ＋3cos x ，其他条件不变如何解答？ [解] f (x )＝－sin x ＋3cos x ＝232cos x －12sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴T ＝2π，值域为[－2,2]，由－π＋2k π≤x ＋π6≤2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6＋2k π，－π6＋2k π，k ∈Z .2．若将例3(2)中函数改为f (x )＝m sin x ＋m cos x ，其中m ＞0，其他条件不变，应如何解答？[解] f (x )＝m sin x ＋m cos x ＝2m sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴T ＝2π，值域为[－2m ，2m ]，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .辅助角公式及其运用(1)公式形式：公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2＋b2cos (α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a ，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.1．两角和与差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝sin 3π2·cos α－cos 3π2sin α＝－cos α.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α. 3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．1．思考辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) [提示] (1)正确．根据公式的推导过程可得．(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° ＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°) ＝sin 30°，故原式正确．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．化简2cos x －6sin x 等于( )A ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xB ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xC ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x D ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x D [2cos x －6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x －sin π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .] 3．cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝________.cos α [cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos α.] 4．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. [解] ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22， ∴α－β＝－π4.。

2020版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时作业24课件文新人教A版

(2)由余弦定理可得(2 3)2＝a2＋22－2×2acos120°＝a2＋2a＋4，又 a>0，所以解得 a＝2，所以 S△ABC＝12absinC＝ 3，所以△ABC 的面积为 3。
能力提升组
13．在△ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 S△
ABC＝2 3，a＋b＝6，acosB＋c bcosA＝2cosC，则 c 等于(
12．(2019·惠州市调研考试)已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0。
(1)求角 C 的大小； (2)若 b＝2，c＝2 3，求△ABC 的面积。
解 (1)因为 2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0，所以由正弦定理可得 2cosC(sinAcosC＋sinCcosA)＋sinB＝0，所以 2cosCsin(A＋C)＋sinB＝0，即 2cosCsinB＋sinB＝0，又 0°<B<180°，所以 sinB≠0，所以 cosC＝－12，又 0°<C<180°，所以 C＝120°。
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析由已知11＋＋ccooss22CB＝22ccooss22CB＝ccooss22BC＝bcccoossCB，所以ccoossCB＝bc或ccoossCB ＝0，即 C＝90°或ccoossCB＝bc。当 C＝90°时，△ABC 为直角三角形。当ccoossCB＝ bc时，由正弦定理，得bc＝ssiinnBC，所以ccoossCB＝ssiinnBC，即 sinCcosC＝sinBcosB，即 sin2C＝sin2B。因为 B，C 均为△ABC 的内角，所以 2C＝2B 或 2C＋2B ＝180°，所以 B＝C 或 B＋C＝90°，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形。故选 D。

2020年人教A版高中数学必修第一册5.4 三角函数的性质(解析版)

5.4 三角函数性质运用一五点画图【例1】（1）在[0,2π]内用五点法作出y＝－sin x－1的简图. （2）画出函数y＝1＋cos x，x∈[0,2π]的图象．【答案】见解析【解析】（1）①按五个关键点列表②描点并用光滑曲线连接可得其图像，如图所示.（2）①列表如下：②描点：③连线：用光滑的曲线依次连接各点，即得所求的图象．【触类旁通】1．用“五点法”作函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图．【答案】见解析【解析】由条件列表如下：描点、连线得出函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的图象如图所示．2.画出函数y ＝3＋2cos x 的简图．【思路总结】五点法画图作形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )，x ∈[0,2π]的图象时，可用“五点法”作图，其步骤是：①列表，取x ＝0、π2、π、3π2、2π；②描点；③用光滑曲线连成图．【答案】见解析【解析】(1)列表，如下表所示x 0 π2 π 3π2 2π y ＝cos x 1 0 －1 01 y ＝3＋2cos x53135(2)3.y ＝|sin x |，x ∈[0,4π]【解析】首先用“五点法”作出函数y ＝sin x ，x ∈[0,4π]的简图，再将该简图在x 轴下方的部分翻折到x 轴的上方，即得到y ＝|sin x |，x ∈[0,4π]的简图，如图所示．运用二周期【例2-1】求下列函数的周期．(1)y ＝2sin 2x ；(2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.【答案】（1）π （2）4π【解析】(1)方法一因为2sin(2x ＋2π)＝2sin 2x ，即2sin 2(x ＋π)＝2sin 2x . 由周期函数的定义，可知原函数的周期为π.方法二 T ＝2π2＝π.(2)方法一因为cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6＋2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，即cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋4π＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.由周期函数的定义，可知原函数的周期为4π. 方法二 T ＝2π12＝4π【例2-2】下列函数中，不是周期函数的是( )A.y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|sin x | D ．y ＝sin|x | 【答案】D【解析】画出y ＝sin|x |的图象，易知y ＝sin|x |不是周期函数【触类旁通】1．（2019·平罗中学高一期中（文））函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】C【解析】因为2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以其最小正周期为22T ππ==,故选C. 2．（2019·云南高二期末）函数 ()2sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为__________．【答案】23π【解析】由题得函数的最小正周期22|-3|3T ππ==.故答案为：23π运用三正余弦函数曲线的运用【例3】根据正弦曲线求满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的取值范围．【解析】在同一坐标系内作出函数y ＝sin x 与y ＝－32的图象，如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sin x ≥－32的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π，所以满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的范围是{x 0≤x ≤43π或5π3≤x ≤2π}.或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π【触类旁通】1．不等式sin x >0，x ∈[0,2π]的解集为( )A ．[0，π]B ．(0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2【答案】B【解析】由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得．2．直线y ＝12与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点坐标是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，12【解析】令sin x ＝12，则x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π，又∵x ∈[0,2π]，故x ＝π6或56π.3．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]．【答案】见解析【解析】函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3 运用四奇偶性【例4】（1）下列函数不是奇函数的是 A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝sin x ＋2D ．y ＝12sin x（2）（2019·陕西高一期末）若函数()[]()3cos 0,223x f x πϕϕπ+⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图像关于y 轴对称,则ϕ=（） A ．34π B ．32π C ．23π D ．43π【答案】（1）C （2）B【解析】当x ＝π2时，y ＝sin π2＋2＝3，当x ＝－π2时，y ＝sin(－π2)＋2＝1，∴函数y ＝sin x ＋2是非奇非偶函数．（2）∵函数f （x ）＝cos （323x πϕ++）＝sin 3x ϕ+ （φ∈[0，2π]）的图象关于y 轴对称，∴,32k k Z ϕππ=+∈，由题知 φ32π=，故选：B ．【触类旁通】 1. 判断函数的奇偶性 (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.【答案】（1）偶函数（2）既是奇函数又是偶函数【解析】(1)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数．(2)由1－cos x ≥0且cos x －1≥0，得cos x ＝1，从而x ＝2k π，k ∈Z ，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数． 2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数【答案】B 【解析】f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＋1 005π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＝－cos 2 010x ，f(x)定义域为R ，且f(－x)＝－cos(－2 010x)＝－cos 2 010x ＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．答案：B 3．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|sin x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2xD ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x 【答案】D【解析】y ＝cos|2x |是偶函数；y ＝|sin x |是偶函数；y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数；y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，且其最小正周期T ＝π.4．（2019·榆林市第二中学高一期末）已知(0,)ϕπ∈，若函数()cos(2)f x x ϕ=+为奇函数，则ϕ=______．【答案】2π【解析】若函数()cos(2)f x x ϕ=+为奇函数，则(0)0f =，即cos 0ϕ=，解得2k πϕπ=+，又因为(0,)ϕπ∈，所以2ϕπ=运用五单调性【例5】(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B ．[－π，0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，23πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3(2)求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间．【答案】见解析【解析】 (1)由π3≤x ≤43π，可得π2≤x ＋π6≤32π.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3是函数的一个减区间．(2)由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，得y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.∴要求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间，只需求出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间．令π2＋2kπ≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解之得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z.∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z)．【触类旁通】1.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z) 【解析】因为－π＋2k π≤2x －π3≤2k π，k ∈Z.所以k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z.2．（2019·内蒙古高一月考）函数2sin 2([,0])6y x x ππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭的单调递减区间是________．【答案】5,63ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【解析】正弦函数sin y u =的单调递减区间为()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，由()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，记()2,63A k k k Z ππππ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则[]5,0,63Aπππ⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦，故答案为：5,63ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 运用六对称性【例6】（1）函数y ＝sin 522x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个对称中心是( ) A ．,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,03π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭（2）（2019·天水市第一中学高一期末（理））函数3cos 253y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心和一条对称轴可以是（） A ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，23x π=B ．5,512π⎛⎫⎪⎝⎭，23x π=C ．2,03π⎛⎫⎪⎝⎭，512x π=D ．2,53π⎛⎫⎪⎝⎭，512x π=（3）（2019·上海市控江中学高一期末）已知ϕ是常数，如果函数()5cos 2y x ϕ=-+的图像关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为（） A ．3πB ．4π C ．6π D ．2π【答案】（1）B （2）B （3）C 【解析】（1）y ＝sin 522x π⎛⎫+⎪⎝⎭=cos2x ，可令2x=2k ππ+，可得x=42k ππ+，k Z ∈, 可得函数的对称中心（42k ππ+，0），结合选项可得，当k=0时，选项B 正确，故选B. （2）由题意，函数3cos 253y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的性质，令2,3x k k Z ππ-=∈，解得,26k x k Z ππ=+∈，当1k =时，23x π=，即函数的一条对称轴的方程为23x π=，令2,32x k k Z πππ-=+∈，解得5,212k x k Z ππ=+∈，当0k =时，512x π=，即函数的一个对称中心为5(,5)12π，故选：B ．（3）由于函数()5cos 2y x ϕ=-+的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则45cos 203πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭， ()4232k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，则()136k k Z ϕππ=-∈，因此，当2k =时，ϕ取得最小值6π，故选：C. 【触类旁通】1．（2019·西藏高一期末）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为（） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C【解析】()cos()(0)3f x x πωω=-> 对称轴为：22(0)3233x k k k πππωπωπωω-=⇒-=⇒=+>当0k =时，ω有最小值为23故答案选C2．“4πϕ=-”是“函数()cos(3)f x x ϕ=-的图象关于直线4x π=对称”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当4πϕ=-时， ()cos 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若4x π=时 3cos cos 1444f ππππ⎛⎫⎛⎫=+==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故： 4x π=是对称轴，排除：B,D 函数()cos(3)f x x ϕ=-对称轴若是4x π=，则33,()44k k k z ππϕπϕπ-==-∈则，故排除：C ，答案选A3．（2019·湖南高一期末）函数f(x)=3cos (4x +5π6)图像的一个对称中心是（）A.(π12,0) B.(π6,0)C.(π3,0)D.(5π6,0)【答案】B【解析】由题得4x +5π6=kπ+π2，k ∈Z ,所以x =kπ4−π12(k ∈Z)，所以f(x)=3cos (4x +5π6)图像的对称中心是(kπ4−π12,0)(k ∈Z)．当k=1时，函数的对称中心为(π6,0).故选：B运用七最值（值域）【例7】求下列函数的值域：(1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；(2)y ＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32（2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72【解析】(1)由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈0，π2可得x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，函数y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.(2)令t ＝sin x ，∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1，∴1≤y ≤72，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72.【触类旁通】1．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．y max ＝3，x ＝－π2 B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)【答案】C【解析】x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)时，y ＝sin x 有最小值－1，函数y ＝2－sin x 有最大值3.2．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．【答案】－22【解析】当0≤x ≤π2时，－π4≤2x －π4≤3π4，因为函数y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4上的函数值恒为正数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0上的函数值恒为负数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0上为增函数，所以函数f (x )的最小值为f (0)＝－22.3（2019·榆林市第二中学高一期末）函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（） A ．11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】222111sin sin 1sin sin sin 24y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+=--+ ⎪⎝⎭，[]sin 1,1x ∈-，当1sin 2x =时，函数y 取得最大值为14，当sin 1x =-时，函数y 取得最大值为2-，所以函数的值域为12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选C运用八比较函数值的大小【例8】不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin 14°与sin 156°；（2）cos 515°与cos 530°．【答案】（1）sin14°<sin156°（2）cos515°>cos530° 【解析】利用三角函数单调性比较．（1）∵sin156°＝sin(180°－24°)＝sin24°．∵－90°<14°<24°<90°，∵y ＝sin x 在[－90°，90°]上是增函数， ∴sin14°<sin24°，即sin14°<sin156°．（2）cos 515°＝cos(515°－360°)＝cos155°， cos 530°＝cos(530°－360°)＝cos170°，∵90°<155°<170°<180°而y ＝cos x 在[90°，180°]上是减函数． ∴cos155°>cos170°即cos515°>cos530°．【触类旁通】不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin 493π；(2)cos 870°与sin 980°. 【答案】见解析【解析】(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin 493π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3，因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π.(2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°，因为0°<150°<170°<180°，所以cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°.运用九正切函数性质【例9】(1)求函数y ＝lg(3－tan x )的定义域。

2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.6函数y=Asin(ωx+φ)讲义新人教A版必修第一册

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5。

6 函数y＝A sin(ωx＋φ)最新课程标准：结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ）的实际意义,能借助图象理解参数ω,φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.知识点一A,ω,φ对函数y＝A sin(ωx＋φ)图象的影响1．φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响2．ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响3．A对函数y＝A sin（ωx＋φ）图象的影响错误!(1）A越大，函数图象的最大值越大,最大值与A是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小,周期越大，周期与ω为反比例关系。

（3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．（4）由y＝sin x到y＝sin(x＋φ）的图象变换称为相位变换；由y＝sin x到y＝sinωx 的图象变换称为周期变换;由y＝sin x到y＝A sin x的图象变换称为振幅变换．知识点二函数y＝A sin（ωx＋φ），A>0，ω>0的有关性质1。

定义域:R。

2．值域:[－A，A]．3．周期性：T＝错误!。

2019-2020学年高中数学人教A版(2019)必修第一册教师用书：5.7 三角函数的应用

5．7 三角函数的应用考点学习目标学科素养三角函数模型的构建了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型数学抽象、数学建模三角函数模型在实际问题中的应用会用三角函数模型解决简单的实际问题数学建模、数学运算问题导学预习教材P242－P248，并思考以下问题：1．在简谐运动中，y ＝A sin(ωx ＋φ)的初相、振幅、周期分别为多少？ 2．解三角函数应用题有哪四步？1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义■名师点拨当A <0或ω<0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相不是φ＝－π4.2．三角函数模型的建立程序判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .( ) (2)函数y ＝A sin(ωx －φ)的初相为φ.( )(3)“五点法”作函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在一个周期上的简图时，第一个点为⎝⎛⎭⎫π3，0.( )答案：(1)× (2)× (3)×函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π5的周期、振幅依次是( )A ．4π，－2B ．4π，2C ．π，2D ．π，－2答案：B函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象如图，则它的振幅A 与最小正周期T 分别是( )A ．A ＝3，T ＝5π6B ．A ＝3，T ＝5π3C ．A ＝32，T ＝5π6D ．A ＝32，T ＝5π3答案：D已知某人的血压满足函数解析式f (t )＝24sin(160πt )＋115.其中f (t )为血压(单位：mmHg)，t 为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数(心跳次数即求频率)为( )A ．60B ．70C ．80D ．90答案：C已知电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系是I ＝5sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200s 时，电流强度为( )A ．5AB ．2.5AC ．2AD ．－5A 答案：B三角函数在物理中的应用已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h (cm)与时间t (s)的函数关系式为h ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π4.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标．【解】 (1)令t ＝0，得h ＝3sinπ4＝322，所以开始振动的位置为⎝⎛⎭⎫0，322. (2)由题意知，当h ＝3时，t 的最小值为π8，即所求最高点为⎝⎛⎭⎫π8，3；当h ＝－3时，t的最小值为5π8，即所求最低点为⎝⎛⎭⎫5π8，－3.利用三角函数处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆，光波，电流，机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．1.如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置O 的距离s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数解析式为s ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π3，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为( )A ．2 sB ．1 s C.12s D.14s 解析：选C.由题意，知周期T ＝2π2π＝1(s)．单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，为12s. 2. 已知电流I (A)与时间t (s)的关系为I ＝A sin(ω t ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2.(1)如图所示的是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式；(2)如果t 在任意一段1150s 的时间内，电流I 都能取到最大值和最小值，那么ω的最小值是多少？解：(1)由题图知A ＝300，周期 T ＝2⎝⎛⎭⎫1180＋1900＝175，所以ω＝2πT ＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫150π·1180＋φ＝0，而|φ|＜π2，所以φ＝π6.故所求的解析式为 I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫150πt ＋π6.(2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150，所以ω≥300π，故ω的最小值为300π.三角函数在实际生活中的应用如图一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P 从水中浮现(图中点P 0)时开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)求点P 第一次到达最高点需要多长时间？【解】 (1)如图，建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角，OP 每秒钟所转过的弧度为5×2π60＝π6，又水轮的半径为4 m ，圆心O 距离水面2 m ，所以z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2.当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数表达式为 z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1.取π6t －π6＝π2，得t ＝4. 故点P 第一次到达最高点需要4 s.解三角函数应用问题的基本步骤下表所示的是芝加哥1951～1981年的月平均气温(). 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x 轴，x ＝月份－1，平均气温为y 轴建立直角坐标系． (1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据； (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A ；(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？ ①yA ＝cos πx 6；②y －46A ＝cos πx 6； ③y －46－A＝cos πx 6；④y －26A ＝sin πx6.解：(1)(2)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．(3)1月份的平均气温最低，为21.4 ，7月份的平均气温最高，为73.0，根据散点图知T2＝7－1＝6，所以T ＝12.(4)2A ＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，所以A ＝25.8. (5)因为x ＝月份－1，所以不妨取x ＝2－1＝1，y ＝26.0，代入①，得y A ＝26.025.8>1≠cos π6，所以①不适合．代入②，得y －46A ＝26.0－4625.8<0≠cos π6，所以②不适合，同理，④不适合，所以③最适合．1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：选C.由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4kπ＋π]，k ∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.2．一弹簧振子的位移y 与时间t 的函数关系式为y ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)，若弹簧振子运动的振幅为3，周期为2π7，初相为π6，则这个函数的解析式为________．解析：由题意得A ＝3，T ＝2π7，φ＝π6，则ω＝2πT ＝7，故所求函数的解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7t ＋π6.答案：y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7t ＋π63．某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数解析式；(其中t 以年初以来经过的月份数为计量单位)(2)画出种群数量y 关于时间t 变化的草图．解：(1)设表示该曲线的函数为y ＝A sin(ωt ＋a )＋b (A ＞0，ω＞0，|a |＜π)，由已知平均数为800，最高数与最低数差为200，数量变化周期为12个月，故振幅A ＝2002＝100，ω＝2π12＝π6，b ＝800.又因为7月1日种群数量达到最高，所以π6×6＋a ＝π2＋2k π(k ∈Z )．又因为|a |＜π，所以a ＝－π2.故种群数量y 关于时间t 的函数解析式为 y ＝800＋100sinπ6(t －3)．(2)种群数量关于时间变化的草图如图所示．[A 基础达标]1．函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x2的周期、振幅、初相分别是( )A ．2π，－2，π4B ．4π，－2，π4C ．2π，2，－π4D ．4π，2，－π4解析：选D.y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，所以周期T ＝2π12＝4π，振幅A ＝2，初相φ＝－π4.2．(2019·河南灵宝实验高中月考)在一个港口，相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h ，低潮时水深9 m ，高潮时水深15 m ．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y (m)关于时间t (h)的函数图象可以近似地看成函数y ＝A sin(ωt ＋φ)＋k 的图象，其中0≤t ≤24，且t ＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是( )A ．y ＝3sin π6t ＋12B ．y ＝－3sinπ6t ＋12 C ．y ＝3sin π12t ＋12D ．y ＝3cos π12t ＋12解析：选A.根据题意，由ω＝2πT ＝2π12＝π6，排除选项C ，D.当t ＝3时，3sin π6t ＋12＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6×3＋12＝15，符合题意，－3sin π6t ＋12＝－3sin ⎝⎛⎭⎫π6×3＋12＝9.不符合题意，故选项B 错误．3．(2019·山东聊城期末考试)已知点P 是单位圆上的一个质点，它从初始位置P 0⎝⎛⎭⎫12，－32开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s 做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于运动时间t (单位：s)的函数关系式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，t ≥0B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π6，t ≥0C ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫t －π3，t ≥0D ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫t －π6，t ≥0解析：选A.由题意，知圆心角∠POP 0的弧度数为t ·1＝t ，则∠POx 的弧度数为t －π3，则由任意角的三角函数的定义，知点P 的纵坐标y ＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，t ≥0，故选A.4．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f (t )＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12t －π6，其中f (t )的单位为m ，t 的单位是h ，则12点时潮水的高度是________m.解析：当t ＝12时，f (12)＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π－π6＝2sin 5π6＝1.答案：15．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，若将A ，B 两点的距离d (cm)表示成时间t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0，60]．解析：秒针1 s 转π30弧度，t s 后秒针转了π30t 弧度，如图所示，sinπt60＝d25，所以d ＝10sin πt 60. 答案：10sinπt 606．如图，某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P 自最低点A 点起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋50(m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续____________min.解析：40sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋50>70，即cos π6t <－12，从而2π3<πt 6<4π3，4<t <8，即持续时间为4 min. 答案：47．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．记某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．解：(1)T ＝2π|ω|＝2π160π＝180(min)．(2)f ＝1T＝80.(3)p (t )max ＝115＋25＝140(mmHg)， p (t )min ＝115－25＝90(mmHg)．即收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg ，在正常值范围内．8.如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化曲线是一个三角函数的图象．(1)经过多长时间，小球往复振动一次？ (2)求这条曲线的函数解析式；(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？解：(1)由题图可知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫7π12－π12＝π，所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14 s.(2)可设该曲线的函数解析式为s ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)，t ∈[0，＋∞)，从题图中可以看出A ＝4，T ＝2×⎝⎛⎭⎫7π12－π12＝π.即2πω＝π，即ω＝2，将t ＝π12，s ＝4代入解析式，得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，解得φ＝π3.所以这条曲线的函数解析式为 s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．(3)当t ＝0时，s ＝4sin π3＝23(cm)，故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2 3 cm.[B 能力提升]9．如图所示，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面2 m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min) 之间的函数关系是( )A ．h ＝8cos π6t ＋10B ．h ＝－8cosπ3t ＋10C ．h ＝－8sinπ6t ＋10 D ．h ＝－8cos π6t ＋10解析：选D.依题意可设h ＝A sin(ωt ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，易知T ＝12，A ＝8，B ＝10，所以ω＝2π12＝π6，则h ＝8sin ⎝⎛⎭⎫πt6＋φ＋10，当t ＝0时，8sin φ＋10＝2，得sin φ＝－1，可取φ＝－π2，所以h ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋10＝－8cos π6t ＋10.10．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）(A ＞0，x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的月平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6），当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5.答案：20.511．某港口一天内的水深y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：时)的函数，下面是水深数据： t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y ＝A sin ωt ＋B (A >0，ω>0)的图象．(1)试根据数据和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋B 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)解：(1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT＝π6. 又因为y min ＝7，y max ＝13，所以A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10. 所以函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)． (2)由题意，水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0，24]，所以sin π6t ≥12，所以π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0，1，所以t ∈[1，5]或t ∈[13，17]．所以该船在1：00至5：00或13：00至17：00 能安全进港．若欲于当天安全离港，则船在港内停留的时间最多不能超过16小时．12．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？解：(1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在[2，8]上单调递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500.根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π6，且⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝200，B ＝300. 根据分析可知，当x ＝2时，f (x )最小，当x ＝8时，f (x )最大，故sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝－1，且sin ⎝⎛⎭⎫8×π6＋φ＝1. 又因为0＜|φ|＜π，故φ＝－5π6. 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f (x )＝200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300. (2)由条件可知，200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300≥400，化简，得sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6≥12⇒2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z .因为x ∈N *，且1≤x ≤12，故x ＝6，7，8，9，10.即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物．[C 拓展探究]13．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD 是函数y ＝k x (k >0)的图象的一部分，后一段DBC 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈[4，8])的图象，图象的最高点为B ⎝⎛⎭⎫5，833，且DF ⊥OC ，垂足为点F .(1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式；(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE ，点P 在曲线OD 上，其横坐标为43，点E 在OC 上，求儿童乐园的面积．解：(1)由图象，可知A ＝833，ω＝2πT ＝2π4×（8－5）＝π6，将B ⎝⎛⎭⎫5，833代入y ＝833sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ中，得5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－π3(k ∈Z )．因为|φ|<π2，所以φ＝－π3，故y ＝833sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3. (2)在y ＝833sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3中，令x ＝4，得D (4，4)，从而得曲线OD 的方程为y ＝2x (0≤x ≤4)，则P ⎝⎛⎭⎫43，433，所以矩形PMFE 的面积为S ＝⎝⎛⎭⎫4－43×433＝3239，即儿童乐园的面积为3239.。

2019-2020年数学必修第一册课件课后作业三角函数：第五章5-1-2弧度制(人教A版)

5．1.2弧度制1．了解弧度制．2．能进行角度与弧度的互化．3．能利用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式进行求解．1．角的单位制(1)角度制规定1度的角等于周角的1360，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝lr.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.2．角度与弧度的换算3．扇形的弧长公式及面积公式温馨提示：(1)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．(2)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：①l＝|α|·r，|α|＝lr，r＝l|α|；②S＝12|α|r2，|α|＝2Sr2.1．在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？[答案]不相等．这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同2．扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？[答案] 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一个曲边三角形，弧是底，半径是底上的高3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度＝1°.( )(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．( )(3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．( ) (4)与45°终边相同的角可以写成α＝2k π＋45°，k ∈Z .( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×题型一角度与弧度的互化【典例1】将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.[思路导引] 角度与弧度的互化关键抓住1°＝π180 rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. [解] (1)20°＝20π180＝π9. (2)－15°＝－15π180＝－π12. (3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.角度制与弧度制互化的原则牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．[针对训练]1．－630°化为弧度为________． [解析] －630°＝－630×π180＝－72π. [答案] －72π2．α＝－3 rad ，它是第________象限角．[解析] 根据角度制与弧度制的换算，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°，则α＝－3rad ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫540π°≈－171.9°.分析可得，α是第三象限角．[答案] 三题型二用弧度制表示终边相同的角【典例2】已知角α＝2010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． [思路导引] 利用终边相同的角的集合表示． [解] (1)2010°＝2010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π<7π6<3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角． (2)与α终边相同的角可以写成 γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ<0，∴当k ＝－3时，γ＝－296π；当k ＝－2时，γ＝－176π；当k ＝－1时，γ＝－56π.用弧度制表示终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，这里α应为弧度数．[针对训练] 3．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.[解] (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π， ∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z ，又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，。

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三角函数的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.已知某人的血压满足函数解析式f(t)=24sin 160πt+110.其中f(t)为血压,t 为时间,则此人每分钟心跳的次数为( )
A.60
B.70
C.80
D.90
【解析】选C.由题意可得f===80,所以此人每分钟心跳的次数为80,故选C项.
【加练·固】
已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I=
5sin,t∈[0,+∞),则这种交流电在0.5 s内往复运动________次.
【解析】据I=5sin知ω=100π,该电流的周期为T===0.02, 则这种交流电电流在0.5 s内往复运行次数
n===25.
答案:25
2.如图是函数y=sin x(0≤x≤π)的图象,A(x,y)是图象上任意一点,过点A作x 轴的平行线,交其图象于另一点B(A,B可重合).设线段AB的长为f(x),则函数f(x)的图象是( )
【解析】选A.当x∈时,f(x)=π-2x;当x∈时,f(x)=2x-π.
3.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin(0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t的单位是分,则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A.[0,5]
B.[5,10]
C.[10,15]
D.[15,20]
【解析】选C.当10≤t≤15时,有π<5≤≤<π,此时F(t)=50+4sin是增函数,即车流量在增加.
4.函数f(x)的部分图象如图所示,则下列选项正确的是( )
A.f(x)=x+sin x
B.f(x)=
C.f(x)=xcos x
D.f(x)=x
【解析】选C.观察图象知函数为奇函数,排除D项;又函数在x=0处有意义,排除B项;取x=,f=0,A项不合适,故选C项.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.振动量函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的初相和频率分别为-π和,则它的运
动周期为________,相位是________.
【解析】因为频率f=,所以T==,所以ω==3π.所以相位ωx+φ=3πx-π.
答案:3πx-π
6.如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况,则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数解析式为
________.
【解析】将其看成y=Asin(ωx+φ)的图象,由图象知:A=6,T=12,所以ω==,下面确定φ.
将(6,0)看成函数图象的第一特殊点,
则×6+φ=0.所以φ=-π.
所以函数解析式为:y=6sin=
-6sin x.
答案:y=-6sin x
三、解答题(共26分)
7.(12分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10-2sin,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差.
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?
【解析】(1)因为f(t)=10-2sin,
又0≤t<24,所以≤t+<,
-1≤sin≤1.当t=2时,
sin=1;
当t=14时,sin=-1.
于是f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. (2)依题意,当f(t)>11时实验室需要降温.
由(1)得f(t)=10-2sin,
故有10-2sin>11,
即sin<-.
又0≤t<24,因此<t+<,即10<t<18.故在10时至18时实验室需要降温.
8.(14分)如图为一个缆车示意图,缆车半径为4.8 m,圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数解析式.
(2)设从OA开始转动,经过t s后到达OB,求h与t之间的函数解析式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少?
【解析】(1)以圆心O为原点,建立如图所示的坐标系,则以Ox为始边,OB为终边的角为θ-,故B点坐标为
.
所以h=5.6+4.8sin.
(2)点A在圆上转动的角速度是,故t s转过的弧度数为.
所以h=5.6+4.8sin,t∈[0,+∞).
到达最高点时,h=10.4 m.
由sin=1,得t-=+2kπ,k∈N,
所以t min=30(s).
即缆车到达最高点时,用的时间最少为30秒.
(15分钟·30分)
1.(4分)稳定房价是我国近几年实施宏观调控的重点,国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,某市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第一、二季度
平均单价如下表所示:
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A.10 000元
B.9 500元
C.9 000元
D.8 500元
【解析】选C.因为y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9 500=10 000;当x=2时,500sin(2ω+φ)+9 500=9 500,所以ω可取,φ可取π,
即y=500sin+9 500.当x=3时,y=9 000.
2.(4分)已知函数y=sin ax+b(a>0)的图象如图所示,则函数y=log a(x+b)的图象可能是( )
导学号
【解析】选C.由函数y=sin ax+b的图象可得0<b<1,=>2π-π,所以0<a<1,故函数y=log a(x+b)为减函数,且图象经过点(1-b,0),结合所给选项可知选C. 【加练·固】
与图中曲线对应的函数解析式是( )
A.y=|sin x|
B.y=sin |x|
C.y=-sin |x|
D.y=-|sin x|
【解析】选C.注意题图所对的函数值有正有负,因此可排除选项A,D.
当x∈(0,π)时,sin |x|>0,而图中显然是小于零,因此排除选项B.
3.(4分)一根长a cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数解析式是s=3cos, t∈[0, +∞),则小球摆动的周期为________.
【解析】T==.
答案:
4.(4分)设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则f的值为________.
【解析】取K,L的中点N,则MN=,因此A=.
由T=2得ω=π.因为函数为偶函数,0<φ<π,所以φ=,
所以f(x)=cos πx,所以f=cos =.
答案:
5.(14分)已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ).
(1)如图所示是I=Asin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象,根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式.
(2)如果t在任意一段的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小
值,那么ω的最小正整数值是多少
【解析】(1)由图可知A=300,设t1=-,t2=,
则周期T=2(t2-t1)=2=.
所以ω==150π.又当t=时,I=0,
即sin=0,而|φ|<,所以φ=.
故所求的解析式为I=300sin.
(2)依题意知,周期T≤,即≤(ω>0),
所以ω≥300π>942,又ω∈N*,故所求最小正整数ω=943.
1.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致
是)
【解析】选C.令AP所对圆心角为θ,由|OA|=1,
得l=θ,sin=,所以d=2sin=2sin.
即d=f(l)=2sin(0≤l≤2π),它的图象为C.
2.下表是某地某年月平均气温(华氏):
以月份为x轴(x=月份-1),以平均气温为y轴.
(1)用正弦曲线去拟合这些数据.
(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A.
(3)下面三个函数模型中,哪一个最适合这些数据?①=cos;②=cos;
③=cos.
【解析】(1)如图.
(2)最低气温为1月份21.4,最高气温为7月份73.0,故=7-1=6,所以T=12.
因为2A的值等于最高气温与最低气温的差,
即2A=73.0-21.4=51.6,所以A=25.8.
(3)因为x=月份-1,所以不妨取x=2-1=1,y=26.0.代入①,得=>1≠cos,故①不
适合;代入②,得=<0≠cos,故②不适合;代入③,得= >0且
<1,故③适合.所以应选③.。