六年级奥数训练第12讲进位制与取整符号
小学数学培优:数论问题之进位制与取整符号
典型问题 2、将下面的数转化为十进制的数:
(1111)2, (1010010)2, (4301)5
(1111)2=1×23+1×22+1×2+1=8+4+2+1=15 (1010010)2=1×26+1×24+1×2=64+16+2=82 (4301)5=4×53+3×52+1=500+75+1=576
典型问题 3、请将十进制数90转化成二进制和七进制 的数.
90=1×26+1×24+1×23+1×2=(1011010)2
90=1×72+5×7+6=(156)7
典型问题 4、请将七进制数(403)7化成五进制的数;
将五进制数(403)5化成七进制的数. (403)7=4×72+3=199
=1×53+2×52+4×5+4=(1244)5
(403)5=4×52+3=103=2×72+5=Байду номын сангаас205)7
数学培优
第五部分
数论问题
“一分耕耘一分收获。”
第4讲
余数
掌握进位制的概念及相关计算,掌握 自然数在不同进位制之间的转化方法, 并学会恰当利用进位制解决一些数论 问题.掌握取整符号[ ]与取小数部分 符号{ }的定义与基本性质,学会求 解包含这两种符号的算式与方程.
典型问题
1、请在下列算式的每个空格中填入0或1, 使等号成立. (1)20= 1 ×24+ 0 ×23+ 1 ×22+ 0 ×2+ 0 (2)83= 1 ×26+ 0 ×25+ 1 ×24+ 0 ×23
【6年级奥数课本(上)】第06讲 取整问题
小学奥数创新体系6年级(上册授课课本) 最新讲义小学奥数第六讲 取整问题第一格:阿呆一手拿着剪刀,一手挠着头看着地上的绳子,心想:“我要把绳子截成一米长的小段,应该怎么截呢?”地上有一根绳子,标明这根绳子长五米.第二格:阿呆蹲在地上,拿着剪刀的手已经剪在了这根绳子的中点处.第三格:阿呆疑惑的想:“现在还能截出多少个一米长的小段?”教学目标1. 了解取整符号的概念和性质;2. 了解带有取整符号类的数列的变化区间;3. 学会求取整数列的值;4. 学会求解关于取整符号的方程;知识点概述一.基本概念:表示不大于x 的最大整数,通常叫做x 的整数部分, ,通常叫做x 的小数部分或真分数部分;如,.二.基本性质: 1. ,,; 2. ,(x 、y 均为整数是等号才成立). 3. 若是整数,则 三.关于取整符号的方程 1. 有关x 、、的方程,通常都要先把x 拆成,然后利用是整数以及有范围的特点求解. 2. 一些复杂的x 、、的方程,有时候用换元的方法来化简求值,例如方程:,因为,然后令,即有(其中),于是方程变为,把y 拆开,有,所以,容易算出此时,所以.553y x == []{}118833y y y =+=+= []{}2315y y =+ [][]{}5103153315y y y y +=+=++ []3235y y +=+ 5y x = [][]522x y +=+ 5x y = [][]5252x x +=+ []5233x x +=+ {}x []x{}x[]x[]{}x x + {}x []x [][]1nx y x y n x y ⎧+=⎨-⎩若、均为整数若、均不是整数 x y n +={}{}02x y ≤+< {}01x ≤<[][]2x y x y x y +-<+≤+{}01x ≤<[][]1x x x ≤<+ []1x x x -<≤ {}3.140.14= []3.143= {}[]x x x =- []x例1. (1)[]{}()[]{}3.1 2.5 4.750.8+⨯+=_____;(2)[][]42ππ⨯=______; 「分析」问题的关键是将取整符号和取小符号都去掉,容易知道[]π的值为3.练习1、______. 例2. (1)201320112012⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦_______; (2)[]{}3535372378.758.753636⎡⎤⎧⎫⨯+⨯⨯+⨯=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭________. 「分析」如何用凑整的方法把这些取整符号中的分数化成带分数.练习2、(1)[]10 3.6π+=_______;(2)201320112012⨯⎧⎫=⎨⎬⎩⎭_______.例3. 已知[]1x =,[]2y =,[]3z =,求:[]23x y z -+的所有可能值.「分析」先算出x 、y 、z 的取值范围,然后再根据取值范围的取法确定可能值.练习3、已知[]1x =,[]2y =,[]3z =,求:[]x y z ++的所有可能值.例4. 1311321382138321212121⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦_______. 「分析」看到这道题,大家会想,要是没有取整符号就好了,剩下的就是一个等差数列,我们可以用配对的想法来求和.而现在取整符号确实存在,有了取整符号之后,各项就不构成等差数列了,那我们要怎么办呢?配对的想法在这里还用得上吗?练习4、51525951011111111⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的和是________. [][]{}102πππ-+⨯=例5. 解方程:(1){}[]234x x x +=;(2)[]{}201320122011x x -=.「分析」先把x 拆成,然后利用是整数以及有范围的特点求解.例6. 解方程: []2130.5x x +=-.「分析」先把21x +设为y ,采用换元法.{}x[]x []{}x x +课堂内外彗星彗星(Comet),中文俗称“扫把星”,是太阳系中小天体之一类.由冰冻物质和尘埃组成.当它靠近太阳时即为可见.太阳的热使彗星物质蒸发,在冰核周围形成朦胧的彗发和一条稀薄物质流构成的彗尾.由于太阳风的压力,彗尾总是指向背离太阳的方向.彗星是星际间物质,英文是Comet,是由希腊文演变而来的,意思是“尾巴”或“毛发”,也有“长发星”的含义.而中文的“彗”字,则是“扫帚”的意思.在《天文略论》这本书中写道:彗星为怪异之星,有首有尾.历史上第一个被观测到相继出现的同一天体是哈雷彗星,牛顿的朋友和捐助人哈雷(1656一1742年)在1705年认识到它是周期性的.它的周期是76年.历史记录表明自从公元前240年也可能自公元前466年来,它每次通过太阳时都被观测到了.它最近一次是在1986年通过的.离太阳很远时彗星的亮度很低,而且它的光谱单纯是反射阳光的光谱.当彗星进入离太阳8个天文单位以内时,它的亮度开始迅速增长并且光谱急剧地变化.科学家看到若干属于已知分子的明亮谱线.发生这种变化是因为组成彗星的固体物质(彗核)突然变热到足以蒸发并以叫做彗发的气体云包围彗核.太阳的紫外光引起这种气体发光.彗发的直径通常约为105千米,但彗尾常常很长,达108千米或1天文单位.科学家估计一般接近太阳距离只有几个天文单位的彗星将在几千年内瓦解.公元1066年,诺曼人入侵英国前夕,正逢哈雷彗星回归.当时,人们怀有复杂的心情,注视着夜空中这颗拖着长尾巴的古怪天体,认为是上帝给予的一种战争警告和预示.后来,诺曼人征服了英国,诺曼统帅的妻子把当时哈雷彗星回归的景象绣在一块挂毯上以示纪念.中国民间把彗星贬称为“扫帚星”、“灾星”.像这种把彗星的出现和人间的战争、饥荒、洪水、瘟疫等灾难联系在一起的事情,在中外历史上有很多.彗星是在扁长轨道(极少数在近圆轨道)上绕太阳运行的一种质量较小的云雾状小天体.作业1. 计算:(1); (2).2. 已知,,,求: (1)的所有可能值是多少; (2)的所有可能值是多少?3. 求的运算结果是多少?4. 解方程:5. 解方程:[]247x x =-{}4643x x -=3132332111111⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]3x y z -+ []x y z +- []0z = []2y = []1x =[][]26ππ÷ []{}()[]{}2.1 1.5 2.75 3.8+⨯+。
六年级数学思维训练:进位制与取整符号(六年级)竞赛测试.doc
六年级数学思维训练:进位制与取整符号(六年级)竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________一、xx 题(每空xx 分,共xx 分)【题文】将下面的数转化为十进制的数:(1111)2,(1010010)2,(4301)5,(B08)16. 【答案】15;82;576;2824; 【解析】试题分析:根据二进制、五进制、十六进数制转化成十进制数的转化方法解答即可. 解:1111(2)=1+1×21+1×22+1×23=15; 1010010(2)=1×2+1×24+1×26=82; (4301)5=1×50+0×51+3×52+4×53=576; (B08)16=8×160+0×161+11×162=2824.点评:此题主要考查了十进制与二进制、五进制、十六进制的相互转化,解答此题的关键是要熟练地掌握其转化方法.【题文】请将十进制数90转化成二进制、七进制和十六进制的数. 【答案】1011010(2);156(7);5A (16) 【解析】试题分析:根据把十进制数转化成二进制、七进制、十六进制数的转化方法解答即可. 解:(1)90÷2=45...0 45÷2=22...1 22÷2=11...0 11÷2=5...1 5÷2=2...1 2÷2=1 01÷2=0…1l 试题分析:(1)首先把七进制数(403)7转化成十进制数,然后再化成五进制的数即可; (2)首先把五进制数(403)5转化成十进制数,然后再化成七进制的数即可. 解:(1)(403)7=4×72+0×71+3=196+0+3=199(10); 199÷5=39…4, 39÷5=7…4, 7÷5=1…2, 1÷5=0…1,故199(10)=1244(5), 所以(403)7=1244(5);(2)(403)5=4×52+0×51+3=100+0+3=103(10);103÷7=14…5,14÷7=2…0,2÷7=0…2,故103(10)=205(7),所以(403)5=205(7).点评:此题主要考查了五进制与七进制的相互转化,解答此题的关键是首先将五进制或七进制的数转化成十进制的数.【题文】(1)在二进制下进行加法:(101010)2+(1010010)2;(2)在七进制下进行加法:(1203)7+(64251)7;(3)在九进制下进行加法:(178)9+(8803)9.【答案】(1111100)2;(65454)7;(10082)9.【解析】试题分析:(1)二进制数中的运算规律是“逢二进一”,据此解答即可;(2)七进制数中的运算规律是“逢七进一”,据此解答即可;(3)九进制数中的运算规律是“逢九进一”,据此解答即可.解:(1)二进制数中的运算规律是“逢二进一”,所以(101010)2+(1010010)2=(1111100)2;(2)七进制数中的运算规律是“逢七进一”,所以(1203)7+(64251)7=(65454)7;(3)九进制数中的运算规律是“逢九进一”,所以(178)9+(8803)9=(10082)9.点评:此题主要考查了二进制、七进制、九进制下的加法运算,解答此题的关键是熟练掌握不同进制下的加法运算法则.【题文】用a、b、c、d、e分别代表五进制中5个互不相同的数字,如果,,,是由小到大排列的连续正整数,那么所表示的整数写成十进制的表示是多少?【答案】108.【解析】试题分析:五进制中的五个数分别为0,1,2,3,4由于是连续的正整数,且和,个位与十位均发生了变化,可知是发生了进位,所以c=4,b=0,a﹣d=1,进而推算出这5个数的数值各是多少,得出的数值,再根据其它进制化成十进制的方法求解.解:由于是连续的正整数,且,,个位与十位均发生了变化,可知是发生了进位,因为﹣=1,所以c﹣e=1.又因﹣=1,即:(5a+b)﹣(5d+c)=1,所以5(a﹣d)+(b﹣c)=1;由于a,b,c,d,e都是0至4之间的不同整数,从而可以推知:a﹣d=1,c﹣b=4.经检验,得 c=4,b=0,e=3,a=2,d=1,于是有=(413)5,=4×52+1×51+3×50,=4×25+5+3,=100+5+3,=108;答:那么所表示的整数写成十进制的表示是108.点评:先将非十进制数化为十进制数,然后依题意列方程,求出方程的解,就不难求出问题的答案了.【题文】记号(25)k表示k进制的数,如果(52)k是(25)k的两倍,请写出(123)k在十进制中所表示的数.【答案】83.【解析】试题分析:根据“(52)k是(25)k两倍”,即5k+2=2(2k+5),k=8,可知是两个八进制的数,再根据k进制数转化成十进制数的方法,即可得出答案.解:因为(52)k是(25)k两倍,即5k+2=2(2k+5),k=8,(52)8=(42)10,(25)8=(21)10,所以(123)8=1×82+2×8+3=(83)10;,答:(123)k在十进制中所表示的数是:83.点评:解答此题的关键是,先根据题意,判断是几进制,根据k进制数转化成十进制数的方法即k进制的基数单位是1,k,k2,k3…用计数单位和各个数位上的数相乘,即可得到十进制.【题文】一个自然数的四进制表达式是一个三位数,它的三进制表达式也是一个三位数,而且这两个三位数的数码顺序恰好相反.请问:这个自然数的十进制表示是多少?【答案】22.【解析】试题分析:根据位置原则设一个自然数的四进制表达式是abc;它的三进制表达式就是cba,然后都转化为十进制;列出不定方程式分析解答即可.解:设一个自然数的四进制表达式是abc;它的三进制表达式就是cba,而且a≠0,c≠0,a、b、c≤2,都转化为十进制,列出不定方程为:42a+4b+c=32c+3b+a,整理得:b=8c﹣15a,因为,a≠0,c≠0,a、b、c≤2,所以,a=1,c=2,b=1;自然数的十进制表示是:42a+4b+c=16×1+4×1+2=22;答:这个自然数的十进制表示是22.点评:本题关键是转化为十进制;难点是根据a、b、c的取值范围求出不定方程的解.【题文】计算:[27×]﹣{27×}+[3.14]×{3.14}.【答案】9.8596.【解析】试题分析:根据乘法分配律进行简算.解:[27×]﹣{27×}+[3.14]×{3.14}=27×(﹣)+3.14×3.14=27×0+9.8596=0+9.8596=9.8596.点评:考查了运算定律与简便运算,四则混合运算.注意运算顺序和运算法则,灵活运用所学的运算定律简便计算.【题文】计算:[]+[]+…+[]+[].【答案】128.【解析】试题分析:通过观察,每一项都含有,因此把它提出来,原式变为×(1+2++…+15+16),括号内运用高斯求和公式计算即可.解:()+()+…+()+()=×(1+2++…+15+16)=×=×136=128点评:善于观察数字特点,采取合适的方法简算.【题文】求方程2[x]﹣9{x}=0的解的个数.【答案】x=0,,,,.【解析】试题分析:2[X]为偶数,所以9{X}为偶数,由于0≤{x}<1,所以0≤9{x}<9,所以9{x}可以取的值为0,2,4,6,8,此时代入原方程可以得到x的解分别为x=0,1+,2+,3+,4+,据此可以判断解的个数.解:{x}=x﹣[x]2[x]﹣9{x}=02[x]﹣9x+9[x]=011[x]﹣9x=0x=[x],所以[x]≤x<[x]+1得到0≤[x]<.[x]=0,1,2,3,4代入得:x=0,1+,2+,3+,4+,即x=0,,,,.所以原方程有5个解.点评:本题考查了含取整函数的方程,任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和,即:x=[x]+{x},其中{x}∈[0,+∞).解题的关键是确定x的取值范围,从而得到[x]的值.【题文】(1)请将下面的数转化为十进制的数:(2011)3、(7C1)16;(2)请将十进制数101转化为二进制的数,641转化为三进制的数,1949转化为十六进制的数.【答案】(1)58;1985;(2)1100101(2);212202(3);79D(16).【解析】试题分析:(1)根据三进制、十六进数制转化成十进制数的转化方法解答即可;(2)根据把十进制数转化成二进制、三进制、十六进制数的转化方法解答即可.解:(1)(2011)3=1×30+1×31+0×32+2×33=58;(7C1)16=11+12×16+7×162=1985;(2)101÷2=50 (1)50÷2=25 025÷2=12 (1)12÷2=6 06÷2=3 03÷2=1 (1)1÷2=0 (1)故101(10)=1100101(2)641÷3=213 (2)213÷3=71 071÷3=23 (2)23÷3=7 (2)7÷3=2 (1)2÷3=0 (2)故641(10)=212202(3)1949÷16=121…D121÷16=7 (9)7÷16=0 (7)故1949(10)=79D(16)点评:此题主要考查了十进制与二进制、五进制、十六进制的相互转化,解答此题的关键是要熟练地掌握其转化方法.【题文】请将三进制数(12021)3化成九进制的数,将八进制数(742)8化成二进制的数.【答案】(167)9;(111100010)2.【解析】试题分析:(1)进位制之间的转化一般要先化为十进制数,再化为其它进位制数,先将三进制数转化为十进制数,再由除K取余法转化为九进制数即可.(2)进位制之间的转化一般要先化为十进制数,再化为其它进位制数,先将8进制数转化为十进制数,再由除K取余法转化为二进制数即可.解:(1)(12021)3=1×34+2×33+2×31+1=81+54+6+1=142142÷9=15 (7)15÷9=1 (6)1÷9=0 (1)所以142=(167)9答:三进制数(12021)3化成九进制的数是(167)9.(2)(742)8=7×82+4×81+2=448+32+2=482482÷2=241 0241÷2=120 (1)120÷2=60 060÷2=30 030÷2=15 015÷2=7 (1)7÷2=3 (1)3÷2=1 (1)1÷2=0 (1)所以(482)10=(111100010)2答:八进制数(742)8化成二进制的数是(111100010)2.点评:本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化,其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键.属于基础题.【题文】(1)在七进制下计算:(326)7+(402)7、(326)7×(402)7;(2)在十六进制下计算:(35E6)16+(78910)16.【答案】(1)(326)7+(402)7=(1031)7(326)7×(402)7=(165255)7(2)(35E6)16+(78910)16=(7BEF6)16【解析】试题分析:(1)七进制数中的运算规律是“逢七进一”,据此解答即可;(2)十六进制下计算运算规律是“逢十六进一”,0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15,据此解答即可.解:(1)(326)7+(402)7=(1031)7(326)7×(402)7=(165255)7(2)(35E6)16+(78910)16=(7BEF6)16点评:此题主要考查了七进制、十六进制下的加法乘法运算,解答此题的关键是熟练掌握不同进制下的加法运算法则.【题文】算式(4567)m+(768)m=(5446)m是几进制数的加法?(534)n×(25)n=(16214)n是几进制数的乘法?【答案】九进制数的加法;十六进制数的乘法.【解析】试题分析:(1)个位数字7+8=15,15减几=6,就是几进制的加法;(2)个位数字4乘5=20,20减去几等于4,就是几进制的乘法;据此得解.解:(1)7+8﹣6=9答:算式(4567)m+(768)m=(5446)m是九进制数的加法.(2)4×5﹣4=16答:(534)n×(25)n=(16214)n是十六进制数的乘法.点评:利用个位数字的运算得出是几进制是解决此题的关键.【题文】自然数x=()10化为二进制后是一个7位数()2.请问:x等于多少?【答案】100.【解析】试题分析:首先根据a,b,c出现在二进制的数位上,所以a=0或1,又因为a出现在十进制数x的表达式的最高位上,可得a≠0,所以a=1;然后再把二进制数转化成十进制数,列出等量关系,求出b、c的值,进而求出x等于多少即可.解:因为a,b,c出现在二进制的数位上,所以a=0或1,又因为a出现在十进制数x的表达式的最高位上,可得a≠0,所以a=1;又因为()10=()2,所以1×26+1×25+b×24+c×23+1×22+b×2+c=1×100+10×b+c,整理,可得8b+8c=0,b、c均为0或1,解得b=c=0,则x=()10=100.答:x等于100.点评:此题主要考查了二进制数与十进制数相互转化方法的应用,解答此题的关键是首先求出a=1.【题文】一个自然数的七进制表达式是一个三位数,它的九进制表达式也是一个三位数,而且这两个三位数的数码顺序恰好相反.这个自然数的十进制表示是多少?【答案】248.【解析】试题分析:设这个七进制表达式是:,那么这个九进制表达式就是:,把它们都转化为十进制,列出等量关系式为化简:49a+7b+c=81c+9b+a,然后根据a,b,c的取值范围求出a,b,c的值,代入十进制的关系式即可求出这个自然数.解:设这个七进制表达式是:,那么这个九进制表达式就是:,(7)=a×72+b×71+c×70=49a+7b+c(9)=c×92+b×91+a×90=81c+9b+a因为:转化为十进制后都表示同一个自然数,所以:49a+7b+c=81c+9b+a化简得:24a=40c+bb=8(3a﹣5c)因为a,b,c都小于7,所以在b=8(3a﹣5c)中,(3a﹣5c)只能等于0,即b=0,3a﹣5c=03a=5c则:a=5,c=3这样可得:a=5,b=0,c=3所以这个自然数为:49a+7b+c=49×5+7×0+3=248答:这个自然数是248.点评:本题是比较复杂的进制问题的相互转化,难点是在七进制和九进制都转化为十进制的基础上建立等量关系列出方程,求出三个数字的值.【题文】某出版社在印刷一本数学科普书的时候,发现他们印刷的页码每一页都只含数字0至5,即从第一页开始这本书的页码依次为1,2,3,4,5,10,11,12,13.14,15,20,….那么这本书的第365页的页码是多少?【答案】221.【解析】试题分析:1,2,3,4,5,10,11,12,13.14,15,20,…把它们分组,第一组有5个数1、2、3、4、5,第二组10、11、12、13、14、15共6个数,第三组有20、21、22、23、24、25共6个数,…除了第一组之外,其他组都是6个数一个循环,每组数是连续的个位数字0﹣5的数字,两组间取最后一个数5、15、25、…是差为10的等差数列,按照等差数列的规律求出5到365有多少组,组数乘6加5,即可得解.解:(365﹣5)÷10×6+5=360÷10×6+5=36×6+5=221答:这本书的第365页的页码是221.点评:认真分析,找出规律“是差为10的等差数列,第一项有5个数,其他每项含有6个数”是解决此题的关键.【题文】如果[x]=3,[y]=0,[z]=1求:(1)[x﹣y]的所有可能值;(2)[x+y﹣z]的所有可能值.【答案】x﹣y值范围在2≤x﹣y<4,那么[x﹣y]的所有可能值为2,3x+y﹣z值范围在1≤x+y﹣z<4,[x+y﹣z]的所有可能值为1,2,3.【解析】试题分析:[]是取整符号,是指舍去小数点后面的数,不管小数点后面的数有多大,都要舍去,据此可知[x]=3,那么x取值在3≤x<4,[y]=0,那么y取值在0≤y<1,[z]=1,那么z取值在1≤z<2,x﹣y值范围在2≤x﹣y<4,那么[x﹣y]的所有可能值为2,3;x+y﹣z值范围在1≤x+y﹣z<4,[x+y﹣z]的所有可能值为1,2,3.解:[x]=3,x取值在3≤x<4[y]=0,y取值在0≤y<1[z]=1,z取值在1≤z<2x﹣y值范围在2≤x﹣y<4,那么[x﹣y]的所有可能值为2,3x+y﹣z值范围在1≤x+y﹣z<4,[x+y﹣z]的所有可能值为1,2,3.点评:解决此题关键是明确[]是取整符号,再确定出x、y和n的取值,进而问题得解.【题文】计算(结果用л表示):(1){{π}+π}+{[π]+π}+[{π}+π]+[[π]+π];(2)[10﹣2π]+[π]×{π}.【答案】(1)3π;(2)3π﹣6.【解析】试题分析:{x}=x﹣[x],[x]表示取整的符号;(1)π取整是3,π取小数是π﹣3,相应的{{π}+π}=2π﹣3取小数,即2π﹣3﹣[2π﹣3],{[π]+π}是π+3取小数,是π+3﹣[π+3],[{π}+π]是2π﹣3取整,[[π]+π]是π+3取整,拖式计算,前后取整抵消,即可得解;(2)[10﹣2π]取整是10﹣6.28取整即3,[π]是3,{π}是π﹣3,拖式计算,即可得解.解:(1){{π}+π}+{[π]+π}+[{π}+π]+[[π]+π]={π﹣[π]+π}+{[π]+π}+[π﹣[π]+π]+[[π]+π]={2π﹣3}+{π+3}+[2π﹣3]+[π+3]=2π﹣3﹣[2π﹣3]+π+3﹣[π+3]+[2π﹣3]+[π+3]=3π(2)[10﹣2π]+[π]×{π}=[3.72]+[π]×(π﹣[π])=3+3×(π﹣3)=3+3π﹣9=3π﹣6点评:正确理解中括号是取整,大括号是取小数是解决此题的关键.【题文】计算:[]+[]+…+[]+[].【答案】440.【解析】试题分析:[]=[0.56]=0,[]=[1.12]=1,[]=[1.68]=1,[]=[2.24]=2,[]=[2.8]=2,…分别求出各个分数的整数部分,然后求和,即可得解.解:[]+[]+…+[]+[]=0+1+1+2+2+3+3+4+5+5+6+6+7+7+8+8+9+10+10+11+11+12+12+13+14+14+15+15+16+16+17+17+18+19+19+20+ 20+21+21+22=[(1+22)×22÷2]×2﹣(4+9+13+18+22)=506﹣66=440点评:分别求出分数算式的整数部分是难点,在求和时,根据高斯求和,然后再减去单个的数字,即可.【题文】解方程:(1)x+2{x}=3[x];(2)3x+5[x]﹣49=0.【答案】(1)x=0或x=,(2)x=.【解析】试题分析:若[x]表示不超过x的最大整数,若x为实数,记{x}=x﹣[x](表示不超过x的最大整数),由此探讨解出方程的解即可.解:(1)∵{x}=x﹣[x],x+2{x}=3[x],∴x+2(x﹣[x])=3[x],∴5[x]=3x,∴[x]=,∴x能被5整除,显然此处x=0或x=,否则x和[x]不相等.(2)令[x]=n,代入原方程得3x+5n﹣49=0,即x=.又∵[x]≤x<[x]+1,∴n≤<n+1.整理得3n≤49﹣5n<n+1,<n≤,∴n=6.代入原方程得3x+5×6﹣49=0,解得x=.经检验,x=是原方程的解.点评:解此类方程关键理解每一个符号的意义,进一步分析解决即可.【题文】解方程[]+[]+[]+[]=110,其中x是整数.【答案】63.【解析】试题分析:[x]表示不超过x 的最大整数则[x]包含在[x,x+1],进一步利用这个性质分析解决问题.解:[x]表示不超过x 的最大整数则[x]∈[x,x+1]要利用这个性质则有:x+﹣1+﹣1+﹣1≤[]+[]+[]+[]≤x++1++1++1,原等式化为不等式:x+++﹣3≤110≤x++++3,解得x可以为[60.57,63.96]所以x只可能在:61,62,63之中,代入后可以得出:x=63.点评:解决此题的关键是理解取整的数据范围,转化方程为不等式,确定数的取值范围,解决问题.【题文】a、b是自然数,a进制数(47)a和易进制数(74)a相等,a+b的最小值是多少?【答案】24.【解析】试题分析:由题意可知:a≥8;b≥8且4a+7=7b+4,化简得7b﹣4a=3,进一步分析探讨得出答案即可.解:由题意可知:a≥8;b≥8,且a>b,4a+7=7b+4,化简得7b﹣4a=3,当b=8无解,当b=9,得出a=15,所以a+b=24.答:a+b的最小值是24.点评:搞清特殊进制的计数原则是解决问题的关键.【题文】现有一个百位为3的三位数(十进制),把它分别化成九进制的数和八进制的数后,仍然是三位数.且首位数字分别为4和5.这样的三位数中最大的是多少?最小的是多少?一共有多少个?【答案】最大的是383,最小的是324,一共是60个.【解析】试题分析:根据每一个进制的最高位数字的情况,注意分析探讨数字的取值情况,进一步得出答案即可.解:10进制的,那么必须在3×102和4×102之间,300﹣399都满足.9进制的开头是4,那么必须在4×92和5×92之间,那么在324和404范围内.8进制,那么必须在5×82到6×82之间,就是在320和383之间取值.综上所述,取值必须在324到383之间.所以这样的三位数中最大的是383,最小的是324,一共是383﹣324+1=60个.答:这样的三位数中最大的是383,最小的是324,一共是60个.点评:此题考查其他进制的问题,掌握每一个进制的计数原则,是解决问题的关键.【题文】在十进制的表示中,三个依次增大的两位数恰构成公差为6的等差数列;而在五进制的表示中,这三个数的数字和是依次减少的.符合这样要求的等差数列有多少个?【答案】综上共有6组:23、29、35;48、54、60;73、79、85.14、20、26;39、45、51;64、70、76.【解析】试题分析:设出这三个数分别为X、X+6、X+6+6.进一步由五进制数的特点,分情况探讨得出答案即可.解:设三个数分别为X、X+6、X+6+6.两位数化为五进制数,最小20,最大400,也就是这三个数的五进制数必然是2位或3位.最小的数必然是2位.l73、79、85.②AB+11进位在B上,AB+22进位在A、B上:B<5,B+1≥5,B=4A+1+1<5,A+2+1≥5,A=2则由[24]5=14、[124]5=39、[224]5=64、[324]5=89(舍弃)得这三个数可能是14、20、26;39、45、51;64、70、76;综上共有6组:23、29、35;48、54、60;73、79、85.14、20、26;39、45、51;64、70、76.点评:此题考查其他进制的问题,掌握每一个进制的计数原则,是解决问题的关键.【题文】现有六个筹码,上面分别标有数值:1,3,9,27,81,243.任意搭配这些筹码(也可以只选择1个筹码)可以得到多少个不同的和?将这些和加起来,总和为多少?将这些和从小到大排列起来,第45个是多少?【答案】63;11648;280.【解析】试题分析:每个筹码都有“取”和“不取”2种可能,所以总共有26=64种可能,除去6个筹码都不取的情况,即64﹣1=63种不同的和.64种可能的取筹码的方法中,包含筹码1的会是32次(一半的可能性),所以总和里面,1会被算32次.其它的筹码也一样,都是要被算32次.所以“和的总和”是所有这些筹码的和,再乘以32,就是(1+3+9+27+81+243)×32=364×32=11648;从小到大排列,那么先就不取243,前面5个筹码,可以取的方法共有 25=32种.还差13个.下面得取243了,先取前3个小的数(1,3,9),共有7种取法,也就是下面这7种:243+1,243+3,243+1+3,243+9,243+1+9,243+3+9,243+1+3+9;还要再取5个.再下面就必须取27了.243+27,243+27+1,243+27+3,243+27+1+3,243+27+9,243+27+9+1=208(也就是第45个是280).解:每个筹码都有“取”和“不取”2种可能,所以总共有26=64种可能,除去6个筹码都不取的情况,即64﹣1=63种不同的和.包含筹码1的会是32次(一半的可能性),所以总和里面,1会被算32次.其它的筹码也一样,都是要被算32次.所以这些筹码的和是(1+3+9+27+81+243)×32=364×32=11648;从小到大排列,那么先就不取243,前面5个筹码,可以取的方法共有25=32种.45﹣32=13个.下面得取243了,先取前3个小的数(1,3,9),共有7种取法,也就是下面这7种:243+1,243+3,243+1+3,243+9,243+1+9,243+3+9,243+1+3+9;还要再取5个.再下面就必须取27了.243+27,243+27+1,243+27+3,243+27+1+3,243+27+9,243+27+9+1=208;也就是第45个是280.点评:此题考查排列组合的实际运用,注意两种计数方法的灵活运用.【题文】计算:[]+[]+…+[]+[].【答案】2158.【解析】试题分析:因为每个分数中都有13,因此把13提出来,原式变为13×(+++…+),这样括号内为同分母分数的计算,分子部分相加时,运用高斯求和公式计算即可.解:()+()+…+()+()=13×(+++…+)=13×=13×==2158点评:仔细观察数字特点,通过数字拆分,运用高斯求和公式,使计算简便.【题文】计算:[]+[]+[]+…+[].【答案】.【解析】试题分析:原式=×(20+21+22+23+ (210)设s=2°+21+22+23+…+210,则2s=21+22+23+…+211所以2s﹣s=211﹣1,因此s=211﹣1,求出结果即可.解:[]+[]+[]+…+[]=×(1+2+22+23+ (210)=×(20+21+22+23+ (210)s=2°+21+22+23+…+210,则2s=21+22+23+…+211所以2s﹣s=211﹣1,因此s=211﹣1=2048﹣1=2047.所以:[]+[]+[]+…+[]=×(20+21+22+23+ (210)=2047×=点评:注意观察题目中数字构成的特点和规律,灵活转化,运用运算技巧,巧妙解答.【题文】一副双色牌中,红、黑两种颜色各有12张牌,每种颜色的牌上分别写着l,2,4,8,16,…,2048这12个数.小梁从中任意抽取一些牌,计算抽出的牌面上所有数的和.(1)若算出的和为2008,则小梁最多可能抽取了多少张牌?(2)若算出的和为183,则小梁共有多少种抽取牌的方法?(3)如果小梁有3种抽牌的方法使得和为某个正整数n,求n的值.【答案】(1)17张;(2)184种;(3) n是2或是8188.【解析】试题分析:(1)和为2008最多抽取的牌数,那么抽取的数越小就越多张牌,总共24张牌,最多可抽取17张,(1+2+4+8+16+32+64+128+256+512)×2=2046,2046﹣2008=38,32+2+4=38(2)这道题是一个组合问题.每种颜色的牌中,l、2、4、8、16…2048 都只有1张牌.根据二进制,不大于 183 的每一个自然数a都可以由某一种颜色的牌组合出来(不抽的话,是0),且组合方式唯一.某种颜色的牌抽取出来之后(和为 a),另一种颜色的牌的抽取方式和为(183﹣a)也就唯一确定了.所以,抽取的某种颜色的牌的和的取值方式,与抽取的方法数是一一对应的.0﹣183 共有 184个数值,所以共有184种抽取牌的方法.(3)很显然有3种抽牌使的和为2是有3种牌方法,抽1,1,红2,黑2,则与这相对应的就是抽出牌以后剩下的和为2的数.据此解答.解:(1)(1+2+4+8+16+32+64+128+256+512)×2=2046,共20张牌,2046﹣2008=38,32+2+4=38,三张牌的和是38,则可抽取的张数是20﹣3=17(张)答:小梁最多能抽取17张牌.(2)每种颜色的牌中,l、2、4、8、16…2048 都只有1张牌.根据二进制,不大于 183 的每一个自然数a都可以由某一种颜色的牌组合出来(不抽的话,是0),且组合方式唯一.某种颜色的牌抽取出来之后(和为 a),另一种颜色的牌的抽取方式和为(183﹣a)也就唯一确定了.所以,抽取的某种颜色的牌的和的取值方式,与抽取的方法数是一一对应的.0﹣183 共有 184个数值,所以共有184种抽取牌的方法.答:小梁共有184种抽牌的方法.(3)3种抽牌使的和为2是有3种牌方法,抽红1黑1;红2;黑2,则与这相对应的就是抽出牌以后剩下的和为2的数.(1+2+4+8+16+32+64+428+256+512+1024+2048)×2﹣2=4095×2﹣2=8190﹣2=8188答:n是2或是8188.点评:第一小题的关键是找出最接近2008的几个最小数的和是多少,再去掉比2008多的牌数来进行解答,第二小题可根据二进制来进行解答,第三小题的关键是先求出抽三次和是正整数的数是2.【题文】(1)在[],[],[],…,[]中共出了多少个互不相同的数?(2)在[],[],[],…,[]中共出现了多少个互不相同的数?【答案】(1)2259;(2)1001.【解析】试题分析:(1)找出分界点,找分子两数之差是否大于2008的1.5倍,超过1.5倍就会隔一个整数出现,比如分界点为1506,那么分子在15062之前,每个整数都出现,15062之后,隔一个才出现一次.(2)找出分界点,分母为1000时,分子为1009,这之前出现1000个不同的整数,这之后会取整都是0.解:(1)找分子两数之差是否大于2008的1.5倍,超过1.5倍就会隔一个整数出现,比如分界点为1506,那么分子在15062之前,每个整数都出现,15062之后,隔一个才出现一次.因此共出现1506+1506÷2=2259个不同的整数.(2)分母为1000时,分子为1009,这之前出现1000个不同的整数,这之后会取整都是0,因此共有1001个不同的整数.点评:解答此题的关键在于找出分界点,根据取整的方法,解答即可.。
小学六年级奥数 第十三章 进位制
第十三章进位制知识要点在日常生活中,我们通常使用十进制,在我们熟知的十进制中,常有O,1,2,…,9共十个数字,相加时满十就要进一。
类似地,在二进制中有“满二进一”,在八进制中有“满八进一”等等。
进位制的选择和使用有一定的客观标准,哪种进位制更能方便地反映某类客观事物的数量关系,人们就会采用哪种进位制。
例如:1小时等于60分钟是六十进制,一年等于十二个月是十二进制等等。
一般地,设K为大于1的自然数时,K进位制的特点是:1.“满K进一”,即相邻两个单位的进率为K,把K叫做K进位制的基数。
2.K进位制有K个不同的记数符号。
如五进制用0,1,2,3,4五个记数符号。
一个K进位制的数就是各位数字与K的幂的乘积的和,其中幂指数等于相应的数字所在的位数(从右往左数)少1。
3.十进制和二进制的转化。
十进制和二进制的对应关系:十进制1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…二进制1,10, 11 ,100 ,101, 110, 111 ,1000 ,1001,1010,…把一个十进制数化为二进制数,只要用2连续去除,然后将每次所得的余数,按自下而上的顺序写出来。
例如,把(13)10化成二进制:把一个二进制数化为十进制数,只要把二进制数写成以2为底的幂的和的形式,再具体算出来。
例如:(1101)2=(1×23+1×22+0×21+1×20)10=(8+4+1)10=(13)10学习进位制知识,就要善于把进位制知识灵活地运用,把问题转化到最合适的进位制中解决问题。
例如计算机就是采用二进制,充分发挥了其运行速度快的特点。
例1 把十进制数(3568)10写成数码与计算单位乘积的和的形式。
点拨一个十进制整数的位数从右边第一位数起依次为个、十、百、千、万…”.计数单位是1,10,100,1000,10000,…,用乘方的形式来写,计数单位依次为1(100),101,102,103,104…。
六年级奥数-进制与进位(学生版)
第十讲进制与进位我们常用的进制为十进制,特点是“逢十进一”。
在实际生活中,除了十进制计数法外,还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制,八进制,十六进制等。
二进制:二进制的运算法则:注意:对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制:进制间的转换:1.掌握进制之间的转换方法。
2.能用进制互化的方法解题。
例1:① 222(101)(1011)(11011)⨯-=________;② 2222(11000111(10101(11(-÷=))) );③ 4710(3021)(605)()+= ;④ 88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________;⑤ 若(1030)140n =,则n =________.例2:在几进制中有413100⨯=?例3:将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少?例4:现有1克,2克,4克,8克,16克的砝码各1枚,在天平上能称多少种不同重量的物体?例5:在6进制中有三位数abc ,化为9进制为cba ,求这个三位数在十进制中为多少?例6:试求(22006-1)除以992的余数是多少?例7:已知正整数N 的八进制表示为8(12345654321)N =,那么在十进制下,N 除以7的余数与N 除以9的余数之和是多少?A1.①852567(((=== ) ) );②在八进制中,1234456322--=________;③在九进制中,1443831237120117705766+--+=________.2.在几进制中有12512516324⨯=?3.二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少?4.算式153********⨯=是几进制数的乘法?5.将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。
B6.某数在三进制中为12120120110110121121,则将其改写为九进制,其从左向右数第l 位数字是几?7.在7进制中有三位数abc ,化为9进制为cba ,求这个三位数在十进制中为多少?8.一个人的年龄用十进制数和三进制数表示,若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数,求此人的年龄.9.N 是整数,它的b 进制表示是777,求最小的正整数b ,使得N 是十进制整数的四次方.10.计算2003(31)-除以26的余数.C11.计算2003(21)-除以7的余数.12.在8进制中,一个多位数的数字和为十进制中的68,求除以7的余数为多少?13.现有1斤、2斤、4斤、8斤、16斤的白糖各一袋,白糖整袋地卖,问顾客可买的斤数有多少种?14.求证:1821-能被7整除.15.一个自然数的六进制与九进制均为三位数, 并且它们各位数字的排列顺序恰好相反, 请问这个自然数是几?1.计算下列结果(仍用二进制表示):(1)()()221101101⨯(2)()()22100111110⨯2.把下列十进制的数写成数码与计数单位乘积的和的形式:(1)()10732 (2)()101869 (3)()10976553.请你制造一个7进制的乘法表。
数学思维导引-六年级-进位制与取整符号(11)
= 25 25 30.14 25 0.42 25 24 149
26
26 325
9. 计算: 1617116172161715 161716 。 【分析】 方法一:对他们两两配对,得到:
16171161716
7
5
【分析】 4037 转化为十进制为: 4037 4 72 3 19910 ;而 199÷5=39 余 4,39÷5=7 余
4;7÷5=1 余 2,1÷5=0 余 1。所以 199 1244;
10
5
将 403转化为十进制为: 4034 52 3 103,而 103÷7=14 余 5,14÷7=2 余 0。
所以这个自然数在十进制中为: abc112142 14 2 22
4
4
10
8.
计算:
27
225627
25 26
3.143.14。
【分析】
原式=
26
125
26
26
125
26
3.143.14
(2) 在七进制下,逢 7 进 7,则有: 12037 642517 654547 ;
(3) 在九进制下,逢 9 进 1,则有: 178880310082;
9
9
9
5. 用 a 、b 、c 、d 、e 分别代表五进制中 5 个互不相同的数字,如果 ade , adc , aab ,
23
1
22
;
其他类似,共有:20 组,所以其之和为:22×20=440。
11. 解方程:
(1) x 2x3x;
(2) 3x 5x49 0 。
【分析】(1)令 x 的整数部分是 a,小数部分是 b。 则有: a b 2b 3a ,即可得: 2a 3b 。 所以 a=0,此时 b=0; a=1,此时b 2 。
六年级奥数进制的应用学生版
1. 六年级奥数进制的应用学生版2. 会对进制进行相应的转换;3. 能够运用进制进行解题一、数的进制1.十进制:我们常用的进制为十进制,特点是“逢十进一”。
在实际生活中,除了十进制计数法外,还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制,八进制,十六进制等。
2.二进制:在计算机中,所采用的计数法是二进制,即“逢二进一”。
因此,二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……,二进制数也可以写做展开式的形式,例如100110在二进制中表示为:(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则:“满二进一”、“借一当二”,乘法口诀是:零零得零,一零得零,零一得零,一一得一。
注意:对于任意自然数n ,我们有n 0=1。
3.k 进制:一般地,对于k 进位制,每个数是由0,1,2,,1k -()共k 个数码组成,且“逢k 进一”.1k k >()进位制计数单位是0k ,1k ,2k ,.如二进位制的计数单位是02,12,22,,八进位制的计数单位是08,18,28,.4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+() 十进制表示形式:1010101010n n n n N a a a --=+++;二进制表示形式:1010222n n n n N a a a --=+++;为了区别各进位制中的数,在给出数的右下方写上k ,表示是k 进位制的数如:8352(),21010(),123145(),分别表示八进位制,二进位制,十二进位制中的数.5.k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除,后加减;同级运算,先左后右;有括号时先计算括号内的。
二、进制间的转换:知识点拨 教学目标5-8-2.进制的应用一般地,十进制整数化为k进制数的方法是:除以k取余数,一直除到被除数小于k为止,余数由下到上按从左到右顺序排列即为k进制数.反过来,k进制数化为十进制数的一般方法是:首先将k进制数按k的次幂形式展开,然后按十进制数相加即可得结果.如右图所示:八进制十进制二进制十六进制例题精讲模块一、进制在生活中的运用【例1】有个吝啬的老财主,总是不想付钱给长工。
高斯小学奥数六年级上册含答案第06讲 取整问题
第六讲 取整问题第一格:阿呆一手拿着剪刀,一手挠着头看着地上的绳子,心想:“我要把绳子截成一米长的小段,应该怎么截呢?”地上有一根绳子,标明这根绳子长五米.第二格:阿呆蹲在地上,拿着剪刀的手已经剪在了这根绳子的中点处. 第三格:阿呆疑惑的想:“现在还能截出多少个一米长的小段?”教学目标1. 了解取整符号的概念和性质;2. 了解带有取整符号类的数列的变化区间; 3. 学会求取整数列的值; 4. 学会求解关于取整符号的方程;知识点概述一.基本概念:表示不大于x 的最大整数,通常叫做x 的整数部分, ,通常叫做x 的小数部分或真分数部分; 如,. 二.基本性质: 1. ,,;2. ,(x 、y 均为整数是等号才成立).3. 若是整数,则三.关于取整符号的方程 1. 有关x 、、的方程,通常都要先把x 拆成,然后利用是整数以及有范围的特点求解. 2. 一些复杂的x 、、的方程,有时候用换元的方法来化简求值,例如方程:,因为,然后令,即有(其中),于是方程变为,把y 拆开,有,所以,容易算出此时,所以.553y x == []{}118833y y y =+=+= []{}2315y y =+ [][]{}5103153315y y y y +=+=++ []3235yy +=+ 5y x =[][]522x y +=+ 5x y = [][]5252x x +=+ []5233x x +=+ {}x []x{}x[]x[]{}x x + {}x []x [][]1nx y x y n x y ⎧+=⎨-⎩若、均为整数若、均不是整数x y n +={}{}02x y ≤+< {}01x ≤<[][]2x y x y x y +-<+≤+{}01x ≤< [][]1x x x ≤<+ []1x x x -<≤ {}3.140.14= []3.143= {}[]x x x =-[]x例1. (1)[]{}()[]{}3.1 2.5 4.750.8+⨯+=_____;(2)[][]42ππ⨯=______;「分析」问题的关键是将取整符号和取小符号都去掉,容易知道[]π的值为3.练习1、______.例2. (1)201320112012⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦_______; (2)[]{}3535372378.758.753636⎡⎤⎧⎫⨯+⨯⨯+⨯=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭________.「分析」如何用凑整的方法把这些取整符号中的分数化成带分数.练习2、(1)[]10 3.6π+=_______;(2)201320112012⨯⎧⎫=⎨⎬⎩⎭_______.例3. 已知[]1x =,[]2y =,[]3z =,求:[]23x y z -+的所有可能值.「分析」先算出x 、y 、z 的取值范围,然后再根据取值范围的取法确定可能值.练习3、已知[]1x =,[]2y =,[]3z =,求:[]x y z ++的所有可能值.例4. 1311321382138321212121⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L _______. 「分析」看到这道题,大家会想,要是没有取整符号就好了,剩下的就是一个等差数列,我们可以用配对的想法来求和.而现在取整符号确实存在,有了取整符号之后,各项就不构成等差数列了,那我们要怎么办呢?配对的想法在这里还用得上吗?练习4、51525951011111111⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L 的和是________.[][]{}102πππ-+⨯=例5. 解方程:(1){}[]234x x x +=;(2)[]{}201320122011x x -=.「分析」先把x 拆成,然后利用是整数以及有范围的特点求解.例6. 解方程: []2130.5x x +=-.「分析」先把21x +设为y ,采用换元法.{}x[]x []{}x x +课堂内外彗星彗星(Comet),中文俗称“扫把星”,是太阳系中小天体之一类.由冰冻物质和尘埃组成.当它靠近太阳时即为可见.太阳的热使彗星物质蒸发,在冰核周围形成朦胧的彗发和一条稀薄物质流构成的彗尾.由于太阳风的压力,彗尾总是指向背离太阳的方向.彗星是星际间物质,英文是Comet,是由希腊文演变而来的,意思是“尾巴”或“毛发”,也有“长发星”的含义.而中文的“彗”字,则是“扫帚”的意思.在《天文略论》这本书中写道:彗星为怪异之星,有首有尾.历史上第一个被观测到相继出现的同一天体是哈雷彗星,牛顿的朋友和捐助人哈雷(1656一1742年)在1705年认识到它是周期性的.它的周期是76年.历史记录表明自从公元前240年也可能自公元前466年来,它每次通过太阳时都被观测到了.它最近一次是在1986年通过的.离太阳很远时彗星的亮度很低,而且它的光谱单纯是反射阳光的光谱.当彗星进入离太阳8个天文单位以内时,它的亮度开始迅速增长并且光谱急剧地变化.科学家看到若干属于已知分子的明亮谱线.发生这种变化是因为组成彗星的固体物质(彗核)突然变热到足以蒸发并以叫做彗发的气体云包围彗核.太阳的紫外光引起这种气体发光.彗发的直径通常约为105千米,但彗尾常常很长,达108千米或1天文单位.科学家估计一般接近太阳距离只有几个天文单位的彗星将在几千年内瓦解.公元1066年,诺曼人入侵英国前夕,正逢哈雷彗星回归.当时,人们怀有复杂的心情,注视着夜空中这颗拖着长尾巴的古怪天体,认为是上帝给予的一种战争警告和预示.后来,诺曼人征服了英国,诺曼统帅的妻子把当时哈雷彗星回归的景象绣在一块挂毯上以示纪念.中国民间把彗星贬称为“扫帚星”、“灾星”.像这种把彗星的出现和人间的战争、饥荒、洪水、瘟疫等灾难联系在一起的事情,在中外历史上有很多.彗星是在扁长轨道(极少数在近圆轨道)上绕太阳运行的一种质量较小的云雾状小天体.作业1. 计算:(1); (2).2. 已知,,,求: (1)的所有可能值是多少; (2)的所有可能值是多少?3. 求的运算结果是多少?4. 解方程:5. 解方程:[]247x x =-{}4643x x -=3132332111111⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L []3x y z -+ []x y z +- []0z = []2y = []1x =[][]26ππ÷ []{}()[]{}2.1 1.5 2.75 3.8+⨯+第六讲 取整问题例题:例7. 答案:(1)14.8;(2)72详解:(1)[]{}()[]{}()3.1 2.5 4.750.830.540.814.8+⨯+=+⨯+=; (2)[][]42126=72ππ⨯=⨯.例8. 答案:2011;174218详解:(1)()201212011201320112012201120112011201220122012+⨯⎡⎤⨯⨯+⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦; (2)()()353517361236140.7542363618⎡⎤⎧⎫=+⨯+⨯+⨯+⨯=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭原式.例9. 答案:4、5、6、7、8、9详解:12x ≤<,23y ≤<,34z ≤<,那么,426y ≤<,9312z ≤<,42310x y z <-+<,所以[]23x y z -+的可能值有4、5、6、7、8、9.例10. 答案:2118详解:我们先把首末两项配对,得到下面这个算式131138313113831311383131138352512121212121212121⨯⨯⨯⨯⎛⨯⨯⎫⎛⨯⨯⎫⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+=+-+=-+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎝⎭该算式左侧为整数,因此右侧也得是整数,也就是说131********⎛⨯⨯⎫⎧⎫⎧⎫+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎝⎭得是整数,而这部分一定大于0小于2,所以必定是1.由此可得上面这个算式的计算结果必为52151-=. 同理可得:132138213213821321382132138252512121212121212121⨯⨯⨯⨯⎛⨯⨯⎫⎛⨯⨯⎫⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+=+-+=-+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎝⎭133138113313811331381133138152512121212121212121⨯⨯⨯⨯⎛⨯⨯⎫⎛⨯⨯⎫⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+=+-+=-+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎝⎭……1341134313411343134113431341134352512121212121212121⨯⨯⨯⨯⎛⨯⨯⎫⎛⨯⨯⎫⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+=+-+=-+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎝⎭由此将算式首末配对,每一对的和都是51,这里面还有一些特殊的情况:[][]132113631339522121⨯⨯⎡⎤⎡⎤+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦;[]1342262621⨯⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,除上述两组外其余共有40对51,总和为405152262118⨯++=.例11. 答案:(1)0、1.4、2.8;(2)111006详解:将x 替换为[x ]+{x },然后先对[x ]进行估算再确定{x }的值.例12. 答案:32、76、56详解:设:21y x =+,则12y x -=,原式变形为[]234y y =-,解得y 为4、133、223,于是x 的值是32、76、56.练习:1. 答案:3π-6简答:[]π3=,{}ππ3=-,讲这两个算式代入计算即可:[][]{}()102πππ33336ππ-+⨯=+⨯-=-.2. 答案:35;20112012简答:略. 3. 答案:6、7、8简答:略.4. 答案:20简答:51525951011111111515105259555611111111111125520⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎛⨯⨯⎫⎛⨯⨯⎫⎛⨯⨯⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=L L作业:6. 答案:(1)5.8;(2)13简答:略.7. 答案:(1)2、3或4;(2)0、1、2、3、4简答:略.8. 答案:129简答:略.9. 答案:11.5简答:[]{}{}44643x x x +-=,则有[]{}4432x x =+,得[]11x =,{}12x =,答案是11.5.10. 答案:3.5或3.25简答:原式可化为[]247x x =-,令2x y =有[]27y y =-,将[]{}y y y =+代入有[]{}27y y +=,再解方程可得7y =或 6.5y =,所以 3.5x =或 3.25x =.。
小学六年级奥数系列讲座:进位制问题(含答案解析)
进位制问题内容概述本讲不着重讨论n进制中运算问题,我们是关心n这个数字,即为几进制.对于进位制我们要注意本质是:n进制就是逢n进一.但是,作为数论的一部分,具体到每道题则其方法还是较复杂的.说明:在本讲中的数字,不特加说明,均为十进制.典型问题1.在几进制中有4×13=100.【分析与解】我们利用尾数分析来求解这个问题:不管在几进制均有(4)10×(3)10=(12)10.但是,式中为100,尾数为0.也就是说已经将12全部进到上一位.所以说进位制n为12的约数,也就是12,6,4,3,2.但是出现了4,所以不可能是4,3,2进制.我们知道(4)10×(13)10=(52)10,因52<100,也就是说不到10就已经进位,才能是100,于是我们知道n<10.所以,n只能是6.2.在三进制中的数12120120110110121121,则将其改写为九进制,其从左向右数第l位数字是几?【分析与解】我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制,那运算量很大.注意到,三进制进动两位则我们注意到进动了3个3,于是为9.所以变为遇9进1.也就是九进制.于是,两个数一组,两个数一组,每两个数改写为九进制,如下表:12 12 0l20 11 01 10 12 11 21 3进制5 5 l6 4 1 3 5 47 9进制所以,首位为5.评注:若原为n进制的数,转化为n k进制,则从右往左数每k个数一组化为n k 进制.如:2进制转化为8进制,23=8,则从右往左数每3个数一组化为8进制.10 100 001 101 2进制2 4 1 5 8进制(10100001101)2=(2415)8.3.在6进制中有三位数abc,化为9进制为cba,求这个三位数在十进制中为多少?【分析与解】(abc)6=a×62+b×6+c=36a+6b+c;(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a.所以36a+6b+c=81c+9b+a;于是35a=3b+80c;因为35a是5的倍数,80c也是5的倍数.所以3b也必须是5的倍数,又(3,5)=1.所以,b=0或5.①当b=0,则35a=80c;则7a=16c;(7,16)=1,并且a、c≠0,所以a =16,c =7:但是在6,9进制,不可以有一个数字为16.②当b =5,则35a =3×5+80c ;则7a =3+16c ;mod 7后,3+2c ≡0 所以c =2或者2+7k (k 为整数).因为有6进制,所以不可能有9或者9以上的数,于是c =2.于是,35a =15+80×2;a =5.于是(abc )6 =(552)6=5×62+5×6+2=212. 所以.这个三位数在十进制中为212.4.设1987可以在b 进制中写成三位数xyz ,且x y z ++=1+9+8+7,试确定出所有可能的x 、y 、z 及b .【分析与解】 我们注意2()19871987b xyz b x by z x y z ⎧=++=⎨++=+++⎩①②①-②得:(2b -1)x +(b -1)y =1987-25. 则(b -1)(b +1)x +(b -1)y =1962, 即(b -1)[(b +1)x +y ]=1962. 所以,1962是(b -1)的倍数. 1962=2×9×109:当b -1=9时,b =10,显然不满足;当b -1=18时,b =19,则(b -1)[(b +1)x +y ]=18×(20x +y )=1962;则20x +y =109,所以,545,(929911b x x x y y y z ⎧⎪===⎧⎧⎪⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎪=⎩=19不满足),......则 显然,当b =109不满足,b =2×109不满足,当b =9×109也不满足. 于是为(59B)19=(1987)10,B 代表11.5.下面加法算式中不同字母代表不同的数字,试判定下面算式是什么进制,A 、B 、C 、D 的和为多少? 【分析与解】于是,我们知道n =4,所以为4进制,则 A+B+C+D=3+1+2+0=6.6. 一个非零自然数,如果它的二进制表示中数码l 的个数是偶数,则称之为“坏数”.例如:18=(10010)2是“坏数”.试求小于1024的所有坏数的个数. 【分析与解】 我们现把1024转化为二进制: (1024)10=210=(10000000000)2.于是,在二进制中为11位数,但是我们只用看10位数中情况. 并且,我们把不足10位数的在前面补上0,如502111...10000...0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭5个1个或以上912111...1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个=9120111...1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个则,10* * * * * * * * * *⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个位置可以含2个l ,4个1,6个1,8个l ,10个1.于是为2268101010101010C C C C C ++++ =10910987109876510987654312123412345612345678⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++++ =45+210+210+45+1=511于是,小于1024的“坏数”有511个.7.计算:2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个26的余数. 【分析与解】2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个=2003331000...01⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎝⎭个=20033222...2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个226=(222)3所以,2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个÷26=20033222...2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个2÷(222)3 (222)3整除(222)3,2003÷3:667……2,所以余(22)3=8. 所以余数为8.8.一个10进制的三位数,把它分别化为9进制和8进制数后,就又得到了2个三位数.老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5,那这样的三位数一共有多少个?【分析与解】 我们设(3ab )10=(4cd )9=(5ef )8;我们知道(4cd )9 在(400)9~(488)9之间,也就是4×92~5×92-1,也就是324~406;还知道(5ef )8 在(500)8~(577)8之间,也就是5×82~6×82-1,也就是320~383;又知道(3ab )10 在(300)10~(399)10之间.所以,这样的三位数应该在324~383之间,于是有383-324+1=60个三位数满足条件.9. 一袋花生共有2004颗,一只猴子第一天拿走一颗花生,从第二天起,每天拿走的都是以前各天的总和.①如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走,共需多少天? ②如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时,这一天它又重新拿走一颗开始,按原规律进行新的一轮.如此继续,那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天?【分析与解】①我们注意到每天 1 2 3 4 8 16 32 64 …前若干天的和…210<2004<211前1天为1,前2天为21,前3天是22,所以前11天为210,前12天是211,也就是说不够第11天拿的,但是根据题中条件知.所以共需12天.②每天 1 1 2 4 8 16 32 64 …前若干天的和1 2 4 8 16 32 64 128 …改写为2进制111010001000100000100000010000000…2004=(11111010100)2,(10+1)+(9+1)+(8+1)+(7+1)+(6+1)+(4+1)+(2+1) =11+10+9+8+7+5+3=53天.。
12 进位制 课后习题
进位制
【练习】东东经常去盛盛的小店买鸡蛋,每次最少买1个,最多买31个, 盛盛为了这位特殊的顾客,把鸡蛋分成了 5种不同的包装,这样东东无论 要多少个,盛盛都能选出几种各不相同的包装凑成相应数量给东东。那么
这五包分别都是多少个?
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进位制
【练习】7 ×11 ×13 ×138=157586这个算式在多少进制时候成立?
进位制
主讲:黑豆
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进位制
(1) ������������������
(2) ������������������ (3) ������������������
答案:100022、342、121、314
按要求实现不同进位制的换算:
������������ ������ ������
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进位制
答案:31
如果 ������������������ ������ 是 ������������������ ������ 的������倍,那么 ������������������ ��
������ ; ������������ ; ������ ;
= =
������
(4) ������������������������
=
������ 。
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进位制
������������,求������ + ������。
答案:5
自然数������ = ������������ ������ , ������ = ������������ ������ ,如果������与������所表示的十进制数相差是
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六年级奥数训练
第12讲进位制与取整符号
内容概述
掌握进位制的概念及相关计算,掌握自然数在不同进位制之间的转化方法,并学会恰当利用进位制解决一些数论问题.掌握取整符号[]与取小数部分符号{}的定义与基本性质,学会求解包含这两种符号的算式与方程.
典型问题
兴趣篇
1.将下面的数转化为十进制的数:(1111),(1010010),(4301),
225 (B08).
16
2.请将十进制数90转化成二进制、七进制和十六进制的数.
3.请将七进制数(403)化成五进制的数,将五进制数(403)化成七
75
进制的数.
4.(1)在二进制下进行加法:(101010)+(1010010);
22
(2)在七进制下进行加法:(1203)+(64251);
77
(3)在九进制下进行加法:(178)+(8803).
99
5.用a、b、c、d、e分别代表五进制中5个互不相同的数字,如果(ade),
5
9.计算:[16 ⨯1] + [16 ⨯ 2 ] + + [
(adc ) , (aab ) ,是由小到大排列的连续正整数,那么 (ade ) 所表示的
5 5
5
整数写成十进制的表示是多少?
6.记号(25) 表示七进制的数,如果(52) 是(25) 的 2 倍,那么,(123)
k k
k
k
在十进制表示的数是多少?
7.一个自然数的四进制表达式是一个三位数,它的三进制表达式也 是一个三位数,而且这两个三位数的数码顺序恰好相反.请问:这个 自然数的十进制表示是多少?
8.计算: [27 ⨯ 25 ] - {27 ⨯ 25} + [3.14] ⨯{3.14}.
26
26
16 ⨯15 16 ⨯16 ] + [ ] ⋅
17
17 17 17
10.求方程 2[x] – 9{x}=0 的解的个数.
拓展篇
1.(1)请将下面的数转化为十进制的数:(2011) 、(7C1) ;
3 16
(2)请将十进制数 101 转化为二进制的数,641 转化为三进制的数,
1949 转化为十六进制的数.
2.请将三进制数(12021) 化成九进制的数,将八进制数 (742) 化成
3 8
二进制的数.
3.(1)在七进制下计算:(326)+(402)、(326)×(402);
7777
(2)在十六进制下计算:(35E6)+(78910).
1616
4.算式(4567)+(768)=(5446)是几进制数的加法?(534)×(25) m m m n n =(16214)是几进制数的乘法?
n
5.自然数x=(abc)化为二进制后是一个7位数(1abcabc).请问:x
102
等于多少?
6.一个自然数的七进制表达式是一个三位数,它的九进制表达式也是一个三位数,而且这两个三位数的数码顺序恰好相反。
这个自然数的十进制表示是多少?
7、某出版社在印刷一本数学科普书的时候,发现他们印刷的页码每一页都只含数字0至5,即从第一页开始这本书的页码依次为1,2,3,4,5,10,11,12,13.14,15,20,….那么这本书的第365页的页码是多少?
8、如果[x]=3,[y]=0,[z]=1.求:
(1)[x-y]的所有可能值;(2)[x+y-z]的所有可能值.
9、计算(结果用л表示)
(1){{π}+π}+{[π]+π}+[{π}+π]+[[π]+π];(2)[10-2π]+[π]⨯{π}.
23⨯3923⨯40
10、计算:[23⨯1]+[23⨯2]++[
]+[]⋅
41414141
1 2
2 2
2106.计
算: [ ] + [ ] + [ ] + + [ ] ⋅ 3 3
12 2 2 32 2008 28.(1)在
[ ],[ ],[ ], ,[ ] 中共出了多少个互不相
同的数? 11、解方程 (1) x + 2{x } = 3[ x ]; (2)3x + 5[ x ] - 49 = 0.
12、解方程 [ x ] + [ x ] + [ x ] + [ x ] = 110, 其中 x 是整数。
1
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超越篇
1.a 、b 是自然数,a 进制数(47) 和易进制数(74) 相等,a + b 的最
a a
小值是多少?
2.现有一个百位为 3 的三位数(十进制),把它分别化成九进制的数 和八进制的数后,仍然是三位数.且首位数字分别为 4 和 5.这样的 三位数中最大的是多少?最小的是多少?一共有多少个?
3.在十进制的表示中,三个依次增大的两位数恰构成公差为 6 的等 差数列;而在五进制的表示中,这三个数的数字和是依次减少的.符 合这样要求的等差数列有多少个?
4.现有六个筹码,上面分别标有数值:1,3,9,27,81,243.任 意搭配这些筹码(也可以只选择 1 个筹码)可以得到多少个不同的和? 将这些和加起来,总和为多少?将这些和从小到大排列起来,第 45 个 是多少?
5.计算: [13 ⨯1] + [13 ⨯ 2 ] + + [13 ⨯ 82 ] + [13 ⨯ 83 ] ⋅
21 21 21
21
3 3
7.一副双色牌中,红、黑两种颜色各有12 张牌,每种颜色的牌上分 别写着 l ,2,4,8,16,…,2048 这 12 个数.小梁从中任意抽取一 些牌,计算抽出的牌面上所有数的和.
(1)若算出的和为 2008,则小梁最多可能抽取了多少张牌?(2)若算出 的和为 183,则小梁共有多少种抽取牌的方法?(3)如果小梁有 3 种抽 牌的方法使得和为某个正整数 n ,求,z 的值.
2008 2008 2008 2008
(2) 在 [ 2008 ],[ 2007 ],[ 2006 ], ,[ 1 ] 中共出现了多少个互不相同的
1 2 3 2008
数?。