1.高一数学导学案平面向量的概念

6.1平面向量的概念

导学案

【学习目标】

1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.

2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.

3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．

【自主学习】

知识点1 向量

既有大小，又有方向的量叫做向量．

知识点2 向量的几何表示

以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.

知识点3 向量的有关概念

(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0.

(2)单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．

(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．

(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于向量b ，记作a ∥b .

②规定：零向量与任一向量平行．

【合作探究】

探究一向量的概念

【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由．

(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

(3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；

(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；

(5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．

[分析]解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假．

[解](1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．

(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．

(3)不正确．依据规定：0与任意向量平行．

(4)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．

(5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．

归纳总结：1判断一个量是否为向量，应从两个方面入手：①是否有大小，①是否有方向.

2注意两个特殊向量：零向量和单位向量.

3注意平行向量与共线向量的含义.

【练习1-1】下列物理量中不是向量的有()

①质量；①速度；①力；①加速度；①路程；①密度；①功；①电流强度．

A．5个B．4个C．3个D．2个

解析：(1)看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，①①①既有大小也有方向，是向量，①①①①①只有大小没有方向，不是向量．

【练习1-2】在下列命题中，真命题为( )

A ．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同

B ．向量AB →与向量BA →的长度相等

C ．向量就是有向线段

D ．零向量是没有方向的

解析：(2)由于单位向量的方向不一定相同，故其终点不一定相同，故A 错误；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故D 错误；有向线段是向量的形象表示，但并非说向量就是有向线段，故C 错误，故选B.

探究二 向量的几何表示

【例2】一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．

(1)作出向量AB →、BC →、CD →；

(2)求|AD →|.

解

(1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．

(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，

又|AB →|＝|CD →|，

∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD .

∴四边形ABCD 为平行四边形．

∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.

归纳总结：1用向量表示的几何问题，要研究其图形的几何特性，然后作出解答. 2作向量时，关键是找出向量的起点和终点，如果已知起点，先确定向量的方

向，然后根据向量的长度找出终点.

【练习2】在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.

(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；

(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？ 解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)．

(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略)．

探究三 相等向量和共线向量

【例3】如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．

(1)写出与EF →共线的向量；

(2)写出与EF →的模大小相等的向量；

(3)写出与EF →相等的向量．

解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点，

所以EF 綊12

BC .又因为D 是BC 的中点， 所以与EF →共线的向量有：

FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.

(2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →.

(3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →.

归纳总结：

1.共线向量和相等向量有何关系？

共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.

2.如何利用向量相等或共线证明线段相等、平行问题？

①证明线段相等，只要证明相应的向量长度模相等.

①证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线.

【练习3】如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中所示向量与OA →、OB →、OC

→相等的向量．

解 OA →＝CB →＝DO →；

OB →＝DC →＝EO →；

OC →＝AB →＝ED →＝FO →.