【人教版】中职数学(基础模块)上册：1.2《充要条件》(1)
中职教育-数学(基础模块)上册课件：第一章.ppt
2．真子集 如果集合B是集合A的子集，并且A中至少有一个元素不属 于B，那么集合B称为集合A的真子集，记作B A（或 A B ）， 读作“B真包含于A”（或“A真包含B”）． 易知，空集是任何非空集合的真子集．
当集合B是集合A的真 子集时，可用图1-1直观地 表示．两条封闭曲线的内 部分别表示集合A、B．
自然数集
正整数集 常
用 数
整数集
集
有理数集
实数集
所有自然数组成的集合称为自然数集，记作N； 所有正整数组成的集合称为正整数集，记作 N ； 所有整数组成的集合称为整数集，记作Z； 所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 所有实数组成的集合称为实数集，记作R.
给定一个集合A，如果a是集合A的元素，就说a属于A，记 作a A ；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A ．
一个集合可以包含有限个元素，也可以包含无限个元素．我 们把含有有限个元素的集合称为有限集，如方程x2 9 0 的解 集；含有无限个元素的集合称为无限集，如N，N， Z，Q，R等．
特别地，不含任何元素的集合称为空集，记作 ．例如， 方程 x2 1 0 在实数范围内的解集就是空集．
例1 下列对象能否组成一个集合？ （1）所有短发的女生； （2）小于10的正奇数； （3）方程x2－9=0的所有解； （4）不等式x－7＞0的所有解．
所以这个集合可以表示为
x | x 3，且x 2k 1，k Z ．
（2）解不等式3x 1 0 得 x 1 ，所以该不等式的解
3
集为
x | x
．1
3
（3）平面直角坐标系中的点可表示为(x ，y) ，因此直线 y 2x 1上的点组成的集合为
(x ，y) | y 2x 1．
中职生数学基础模块上册课件《充要条件》
作业：请尝试使用充要条件分析生活中的 实际问题，并尝试绘制文氏图。
作业布置
复习充要条件的 概念和性质
完成课后习题， 巩固知识点
思考充要条件在 实际生活中的应 用
预习下一节课的 内容，为后续学 习做好准备
感谢您的耐心观看
充要条件的判定方法
直接判定法
01
02
03
04
反例法
反例法的定义：通过 寻找一个不满足条件 的例子来否定一个命
题
反例法的步骤：
确定命题
寻找反例
验证反例
反例法的优点：简单 直观，易于理解
反例法的局限性：需 要找到合适的反例， 可能存在漏判的情况
应用举例
数学题目
证明：若A是B的 充分条件，B是C 的充分条件，则 A是C的充分条件。
添加副标题
充要条件课件
目录
CONTENTS
01 导入
02 新课导入
03 充要条件的判定方 法
04 应用举例
05 课堂活动
06 小结与作业
导入
温故知新
回顾已学知识：回顾与本节课相 关的旧知识，为学习新知识打下 基础
提出问题：针对旧知识提出新的 问题，激发学生的求知欲
引入新课：通过问题引入新课， 使学生更容易接受和理解新知识
证明：若A是B的 必要条件，B是C 的必要条件，则 A是C的必要条件。
证明：若A是B的 充要条件，B是C 的充要条件，则 A是C的充要条件。
证明：若A是B的 充分必要条件， B是C的充分必要 条件，则A是C的 充分必要条件。
物理题目
01
02
03
04
化学反应：判断反应 是否发生，并解释原 因
化学题目
人教版(2021)中职数学基础模块上册《充要条件》课件
如果p真，通过推理，证明q也为真，那么“如
果p，则q”就是真命题。这时，我们就说，由p可
推出q。用符号记作
p q，
读作“p推出q”。
讲授新知
p推出q，通常还表示为p是q的充分条件（sufficient
condition）或q是p的必要条件（necessary condition）。
理解：“如果p，则q”是真命题，
如果p是q的充要条件，那么，q也是p的充要条件。
例题探究
例 已知p是q的充分条件，s是r的必要条件，p是s的充要
条件，则q与r有什么关系？
分析：首先将题目中各命题之间的关系用符号直接、清晰
表示出来，其次将各命题逻辑关系联系起来，最后求解出
q与r的逻辑关系。
例题探究
解：根据已知可得
p q，r s, p s ，
1.2.1充要条件
新课导入
生活实例：分析下列各组给出的p与q之间的关系：
（1）p：我是山东人，q：我是中国人；
（2）P：我是一名教师；q：我是一名数学教师。
新课导入
实例分析：
（1）我是山东人一定能推出我是中国人，我是
中国人不一定能推出我是山东人；
（2）我是一名教师不一定能推出我是一名数学
教师，但是我是一名数学教师，一定能推出我是一
也是真命题，即∠B=∠C不仅是AB=AC必要条件，也
是AB=AC的充分条件。
讲授新知
充要条件：如果p是q的充分条件（p q），p又是q
的必要条件（q p），则称p是q的充分且必要条件，
简称充要条件（sufficient and necessary condition）。
记作
pq
，
此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”。显然，
【人教版】中职数学(基础模块)上册：1.2《充要条件》优秀教案
(1) x 是整数是 x 是有理数的 ；
(2) x＝3 是 x2＝9 的 ；(3) 同位角相等是两
直线平行的
；
(4) (x－2)(x－3)＝0 是 x－2＝0
的
；
练习 3 教材 P22，A 组第 2 题．
例 3 已知 p 是 q 充分条件，s 是 r 必要条件，p 是
s 充要条件．求 q 与 r 的关系．
教材还尽最大可能地将课堂变成师生共同活动的场所，强调学生的参 与。从生活实际问题引入数学概念，利用数学知识解决生活中的实际问 题，这样不但让学生的思维活跃起来，积极参与到教学过程中来，而且 也激发了学生的学习兴趣，体验数学知识的应用。
教学 教学主要内容
环节
教学方法
一、组 提前 2 分钟进教室提示同学手机静音、准备课堂笔记。 使同学们形成
教案 （ 2015 至 2016 学年 第 一 学期） 授课内容：数学（基础模块）
授课教师： 陈玉荣 授课班级：15 春秋全部班级 授课时间：2015 年 10 月 12--16 日 授课地点： 第一教学区 15 级教室
课程 日期 班级 教具
教学 目标
数学
课 1.4 充要条件
题
课型
理论
2015.10.12--16 教师 陈玉荣
练习 2 教师写出四种等价说法中的一种，学生说出
其他三种．
3．充要条件．
观察例 1(2)“在△ABC 中，如果 AB＝AC，则∠B
＝∠C”．
反过来，“在△ABC 中，如果 ∠B＝∠C，则 AB
＝AC”这个命题是否正确？若正确，用刚学过的“推
出符号”和充分、必要条件怎么叙述?
引出充要条件的概念．
如果 p 是 q 的充分条件(p q )，p 又是 q 的必
人教版中职数学(基础模块)上册1.2《充要条件》ppt课件1
（３）p： a 1 ， q： a 1； （４）p： a 0 ，q： a 0 ．
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
1.4 充要条件
动脑思考 探索新知
条件 p，结论 q”
条件
pq
成立
p 是 q 的充分条件
.
成立
pq
p 是 q 的必要条件
p q
成
立
p 是 q 的充要条件
结论
成立 成立
成 立
巩固知识 拓展实践
判断 推出关系
.
充分条件 必要条件
充要条件 等价
巩固知识 拓展实践
例 1 指出下列各组条件和结论中，条件 p 与结论 q 的关系． （１）p： x y ，q： x y ；
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
（２） p ： x 2 ， q ： x 0 ．
x y√？ x y .
x 2 ？X x 0
x y ？Xx y x 2√？x 0
充要条件(职高基础模块上册) PPT课件 图文
高教社
巩固知识 拓展实践
例 2 指出下列各组命题中 p 与 q 的关系．
（1） p ： x 3， q ： x 5 ；
（2） p ： x 2 0 ， q ： x 2 x 5 0 ；
（3） p ： 6x 3 ， q ： x 1 ．
2
6xxxx 3？3 22 . ？ x00x ？ ？ 5 1 2 ((xx 22x )) ((6 xx3 x ？553))x ？ 00x 5 1 2
高教社
巩固知识 拓展实践
例 3 确定下列各题中，p 是 q 的什么条件？ (1) p：(x-2)(x+1)=0 ，q：x-2=0； (2) p：内错角相等，q：两直线平行； (3) p：x=1，q：x2=1； (4) p：四边形. 的对角线相等，q：四边形是平行四边形.
高教社
p q
充分条件
p q
必要条件
充Hale Waihona Puke 条件高教社巩固知识 拓展实践
判断 推出关系
.
高教社
充分条件 必要条件
充要条件 等价
巩固知识 拓展实践
例 1 指出下列各组命题中，条件 p 与结论 q 的关系． （１）p： x y ，q： x y ；
（２） p ： x 2 ， q ： x 0 ．
？ ？ x y x y x y x y .
分析 思考
分工
合作
优胜
书写 报告
高教社
汇报 交流
理论升华 整体建构
明确
p是q的充分条件，是把p看作条件，把q看作结论.
p是q的必要条件，是把q看作条件，把p看作结论.
体会 判断
充分条件的特征是条件可靠但不可少，有之必真，无之未必假. 必要条. 件的特征是条件不可少但不可靠，无之必假，有之未必真. 充要条件的特征是有之必真，无之必假.
中职数学基础模块上册《充要条件》word练习题
中职数学基础模块上册《充要条件》word练习题1.2--x 成立的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.非充分非必要条件2.在ABC ?中,“ 30>A ”是“21sin >A ”的（） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件3.“至多有一个”的否定是（）A.至少有一个B.至少有两个C.恰有两个D.一个也没有5．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要7.“12m =”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要8．已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件,q 是s 的充分条件，则s 是q 的 ___________条件，p 是s 的条件.9．一次函数n x n m y 1+-=的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（）A ．m>1,n<－1 B ．mn<0C ．m>0,n<0D ．m<0,n<0 10．有下述说法：①a>b>0是a 2>b 2的充要条件. ②a>b>0是b a 11<的充要条件. ③a>b>0是 a 3>b 3的充要条件. 则其中正确的说法有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 11、一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（）A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a >12、设命题甲:0122>++ax ax 的解集是实数集R;命题乙:10<的A . 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条13、“3x >”是24x >“的（）A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：条件集是结论集的子集，所以选B 。
中职数学(基础模块)上册第一章《集合与充要条件》教学设计
中职数学（基础模块）上册第一章《集合与充要条件》教学设计1．1 集合的概念教学目标:（1）理解集合、元素的概念及其关系，掌握常用数集的字母表示；（2）掌握集合的列举法与描述法，会用适当的方法表示集合．教学重点:集合的表示法．教学难点:集合表示法的选择与规范书写．课时安排:2课时．教学过程:强调素的取值范围，竖线的右边侧写出元素所具有的特征性质．如本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？）本次课学了哪些内容？1.2 集合之间的关系教学目标:掌握集合之间的关系（子集、真子集、相等）的概念，会判断集合之间的关系.教学重点:集合与集合间的关系及其相关符号表示．教学难点:真子集的概念．课时安排:2课时．教学过程:概念：一般地，如果集合B 的元素都是集合A 的元素，那么称集合A 包含集合B ，并把集合B 叫做集合A 的子集.表示：将集合A 包含集合B 记作A B ⊇或B A ⊆（读作“A 包含B ”或“B 包含于A ”）．可以用下图表示出这两个集合之间的包含关系．拓展：由子集的定义可知，任何一个集合A 都是它自身的子集，即A A ⊆．规定：空集是任何集合的子集，即A ∅⊆．*巩固知识 典型例题是用来表示集合与集合之间关系的符号；是用来表示元素与集合之间关系的符号．首先要分清楚对象，然后再根据关系，正确选用符号．AB的子集，并且集合B叫做集合拓展：空集是任何非空集合的真子集．对于集合A、B、C，如果A A=9}={3，-3}x x==x x= |2}；⑸a{0}∅；2}2{|x x1.3集合的运算（1）教学目标:理解并集与交集的概念，会求出两个集合的并集与交集．教学重点:交集与并集．教学难点:用描述法表示集合的交集与并集．课时安排:2课时．教学过程:*动脑思考探索新知一般地，对于两个给定的集合A、B，由集合A、B的相同元素所组成的集合叫做A与B的交集，记作A B,读作“A交B”．即{}且．A B x x A x B=∈∈集合A与集合B的交集可用下图表示为：求两个集合交集的运算叫做交运算．*巩固知识典型例题讲解过 程活动 活动 意图分析 集合A 表示方程0x y +=的解集；集合B 表示方程4x y -=的解集．两个解集的交集就是二元一次方程组0,4x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集． 解 解方程组0,4.x y x y +=⎧⎨-=⎩得2,2x y =⎧⎨=-⎩.所以(){}2,2AB =-．例3 设{}|12A x x =-<，{}|03B x x =<，求AB ．分析 这两个集合都是用描述法表示的集合，并且无法列举出集合的元素．我们知道，这两个集合都可以在数轴上表示出来，如下图所示．观察图形可以得到这两个集合的交集．解 {}{}|12|03AB x xx x=-<<{}|02x x =<．由交集定义和上面的例题，可以得到： 对于任意两个集合A ，B ，都有 （1）A B B A =；（2）A A A = ，∅=∅ A ； （3）B B A A B A ⊆⊆ ,；（4）如果A B A B A =⊆ 那么,.说明 引领 强调 含义说明启发 引导思考 求解 领会 思考 求解 了解复习 方程 组的 解法 突出 数轴 的作 用 强调 数形 结合 可以 交给 学生 自我 发现 归纳*运用知识 强化练习 练习1.3.11．设{}1,0,1,2A =-，{}0,2,4,6B =，求AB ．2．设(){},|21A x y x y =-=，(){},|23B x y x y =+=，求A B ． 3．设{}|22A x x =-<≤，{}|04B x x=，求AB ． 提问巡视指导动手 求解 交流 及时 了解 学生 知识 掌握 情况 *创设情景 兴趣导入问题1：某班有团员34名，非团员11名，那么该班有多少名同学？用我们学过的集合来表示：A ={该班团员}；B ={该班非团员}；C ={该班同学}.那么这三个集合之间有什么关系？介绍 质疑了解 观看 课件从实 际事 例使过 程活动 活动 意图问题2：某班第一学期的三好学生有李佳、王燕、张洁、王勇；第二学期的三好学生有王燕、李炎、王勇、孙颖，那么该班第一学年的三好学生都有哪些同学？ 用我们学过的集合来表示：A ={李佳，王燕，张洁，王勇}；B ={王燕，李炎，王勇，孙颖}；C ={李佳，王燕，张洁，王勇，李炎，孙颖}.那么这三个集合之间有什么关系？ 问题3：集合A ={锐角三角形}；B ={钝角三角形}；C ={斜三角形}.那么这三个集合之间有什么关系？解决：通过上面的三个问题的思考，可以看出集合C 中的元素是由集合A 、B 的所有元素所组成的，这时，将C 称作是A 与B 的并集．引导分析思考 自我 分析学生 自然 的走 向知 识点 引导 式启 发学 理解 集合 的元 素关 系*动脑思考 探索新知一般地，对于两个给定的集合A 、B ，由集合A 、B 的所有元素所组成的集合叫做A 与B 的并集，记作B A （读作“A 并B ”）．即{}B x A x x B A ∈∈=或 .集合A 与集合B 的并集可用图形表示为：求两个集合并集的运算叫做并运算． 总结 归纳仔细 分析 讲解 关键 词语思考 理解 记忆带领 学生 总结 三个 问题 的统 一点 得到 并集 含义*巩固知识 典型例题例4 已知集合A ，B ，求A ∪B ． (1) A ={1,2}，B ={2,3}； (2) A ={a , b }，B ={c , d , e , f }； (3) A ={1,3,5}，B = ∅； (4) A ={2,4}，B ={1,2,3,4}．说明观察 思考通过 例题 进一 步领 会并(1)AAABBB(2)(3)}4，求A 整体建构思考并回答下面的问题：．集合的并集和交集有什么区别？（含义和符号）过 程活动 活动 意图（3）列举法求解时要不重不漏，描述法求解时要利用好数轴并注意端点的处理．强化*巩固知识 典型例题 例5 设{}{}2,1,0,1,5,3,2-==B A ，求B A ,B A .解 {}{}{}22,1,0,15,3,2=-= B A ；{}{}2,1,0,15,3,2-= B A {}5,3,2,1,0,1-=.例6 设{0{1A x x B x x =<=<≤2},≤3},求B A ,B A . 解 将集合A 、B 在数轴上表示：{1AB x x =<≤2},{0A B x x =<≤3}.引领 分析 讲解 说明领会 思考 求解进行 并交 的对 比例 题讲 解巩 固所 归纳 的强 化点*归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.{}{}1,0,1,2,0,2,4,6A B =-=,求B A ,B A .2.{}{}22,04A x xB x x=-<=，求B A ,B A .引导 提问 巡视 指导 回忆 反思 动手 求解 培养 学生 总结 反思 学习 过程 的能 力 *继续探索 活动探究(1)读书部分： 教材章节1.3； (2)书面作业： 学习与训练1.3；(3)实践调查： 举出交集和并集的生活实例． 说明记录1.3集合的运算（2）教学目标:理解全集与补集的概念，会求集合的补集．教学重点:集合的补运算．教学难点:集合并、交、补的综合运算．课时安排:2课时．教学过程:，求A B，A B．下面我们将学习另外一种集合的运算．介绍兴趣导入某学习小组学生的集合为U={王明，曹勇，王亮，李冰，*动脑思考 探索新知概念：如果一个集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，在研究过程中，可以将这个集合叫做全集，一般用U 来表示，所研究的各个集合都是这个集合的子集．在研究数集时，常把实数集R 作为全集．如果集合A 是全集U 的子集，那么，由U 中不属于A 的所有元素组成的集合叫做A 在全集U 中的补集． 表示：集合A 在全集U 中的补集记作UA ，读作“A 在U 中的补集”．即{}|UA x x U x A =∈∉且．如果从上下文看全集U 是明确的，特别是当全集U 为实数集R 时，可以省略补集符号中的U ，将UA 简记为A ，读作“A 的补集”．集合A 在全集U 中的补集的图形表示，如下图所示：求集合A 在全集U 中的补集的运算叫做补运算． *巩固知识 典型例题UU 集合A 的补集是由属于全集组成的集合． U U 设U ＝R }12x<，求过 程活动 活动 意图分析 作出集合A 在数轴上的表示，观察图形可以得到A ．解 {}|12A x x x =->或．说明：通过观察图形求补集时，要特别注意端点的取舍．本题中，因为端点−1不属于集合A ，所以−1属于其补集A ；因为端点2属于集合A ，所以2不属于其补集A ．由补集定义和上面的例题，可以得到： 对于非空集合A ： A ∩(UA )=∅，A ∪(UA )=U ，U U=∅，U ∅=U ，U(UA )=A ．引导 分析讲解 说明 理解观察 思考 理解 自我 总结突出 数轴 的作 用 交给 学生 自我 发现 归纳*运用知识 强化练习 教材 练习1.3.31．设{}U =小于10的正整数，{}147A =，，，求UA ．2．设U R =，{}|24A x x=-，求A ．提问 巡视指导互动 求解 交流反馈 学习 效果*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：1．什么是集合交运算？如何用符号表示？如何用图形表示？ 什么是集合并运算？如何用符号表示？如何用图形表示？ 什么是集合补运算？如何用符号表示？如何用图形表示？ 2．在进行集合的交、并、补运算时各自的特点是什么？ 3．集合用列举法和描述法表示时进行集合运算需要注意的问题是什么？质疑 归纳 强调 总结小组 讨论 交流 理解 强化以学 生小 组讨 论教 师归 纳的 形式 强调 重点 突破 难点*巩固知识 典型例题例3设全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，集合{}1,3,4,5A =，进行)()U U )()UU ，()U AB ，()A B U．分析 这些集合都是用列举法表示的，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合． U U ()(){}0,2,6,9UU A ； ()(){}0,1,2,4,6,7,8,9UU A B=因为{}3,5AB =，所以(){0,1,2,4,6,7,8,9UB =因为{1,3,4,5,7,8AB =(){0,2,6,9U A B = 设全集U =R ，集合，A B ，A 分析 在理解集合运算的含义基础上，充分运用数轴的表示来进行求解．，所以U B ={x | x -A B =R ．分析 运用知识 强化练习{1,2,3,4,5,6,7,8U =}180，求U A，()()A B，U U)B．指导U归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？1.4 充要条件教学目标:了解“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的意义．教学重点:（1）对“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的理解．（2）符号“⇒”，“⇐”，“⇔”的正确使用．教学难点:“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定．课时安排:2课时．教学过程:。
中职教育数学《充要条件》课件
1.2 充要条件
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例1 判断下列命题中的条件p是否为结论q的充要条件. x=2, 那么x=4；
解 “如果 x=2, 那么 x²=4”是真命题, 其逆命题“如果 x²=4, 那么 x=2”是假命题, 因此“x=2”不是“x²=4”的充要条件.
是真命题, 其逆命题“如果 , 那么a>b”也是真命题, 所以“a>b”是“ ”的充要条件.
1.2 充要条件
练习
情境导入 探索新知 典型例题 ห้องสมุดไป่ตู้固练习 归纳总结 布置作业
1.2 充要条件
练习
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
1.2 充要条件
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
1.2 充要条件
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
1.2 充要条件
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 下列命题中的条件p是结论q的什么条件.
如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么直线与圆相切.
解 （4）“如果α>β, 那么sinα>sinβ”是假命题, 其逆命题“如果 sinα>sinβ, 那么α>β”也是假命题, 所以“α>β”既不是“sinα>sinβ” 的充分条件, 也不是“sinα>sinβ”的必要条件, （简称“既不充分 也不必要条件”）.
1.2 充要条件
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 下列命题中的条件p是结论q的什么条件？
如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么直线与圆相切. 解
人教版中职数学基础模块上册《充要条件》教案 (一)
人教版中职数学基础模块上册《充要条件》教案 (一)人教版中职数学基础模块上册《充要条件》教案是一份精心设计的教学计划。
本文将从以下几个方面对其进行分析和介绍。
一、教学目标该教案立足于学生的实际需求和学习水平，通过研究基础的数学知识点，提高学生分析问题和解决问题的能力。
教学目标包括：1、学习充要条件的概念；2、掌握充要条件的证明方法；3、学会将充要条件应用于实际问题中。
二、教学内容该教案的教学内容主要包括以下几个方面：1、充分条件和必要条件的概念；2、充要条件的概念；3、充要条件的证明方法；4、充要条件的实际应用。
三、教学重点和难点教学重点是如何掌握充要条件的证明方法，教学难点则在于如何将充要条件应用于实际问题中。
对于充要条件证明的方法，可以通过举一反三和实例演示等方式进行教学；对于实际应用方面，则可以通过案例分析和讨论等方式进行培养。
四、教学方法和教学手段该教案运用了多种教学方法和教学手段，以提高学生的学习兴趣和效果。
例如：1、讲授 - 重点讲解充要条件和证明方法；2、分组讨论 - 通过案例分析和讨论，提高学生分析问题和解决问题的能力；3、思维导图 - 教师可以利用思维导图，将知识点进行图形化整理；4、黑板报题 - 借助黑板报题等方式，增加学生的参与感。
五、教学评估该教案的教学评估主要依据学生的实际表现进行。
例如：1、课堂答题 - 检测学生对充要条件和证明方法的掌握程度；2、实际应用 - 通过实际应用的案例分析，检测学生对充要条件的运用能力；3、平时作业 - 教师可以布置适当的练习作业，检测学生的学习情况。
综上所述，人教版中职数学基础模块上册《充要条件》教案是一份非常实用和有效的教学计划。
该教案通过合理设计的教学目标、教学内容、教学重点和难点、教学方法和教学手段，以及教学评估等方面的多重考虑，提高了学生学习数学的兴趣和效果，对于促进学生的综合素质提高有着积极的作用。
人教版中职数学教材-基础模块上册全册教案[1-5章共41份教案]
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人教版中职数学教材基础模块上册全册教案（2009年7月第1版）目录第一章集合 (1)1.1.1 集合的概念 (1)1.1.2 集合的表示方法 (5)1.1.3 集合之间的关系(一) (8)1.1.3 集合之间的关系(二) (11)1.1.4 集合的运算(一) (14)1.1.4 集合的运算（二) (18)1.2.1 充要条件 (21)1.2.2 子集与推出的关系 (25)第二章不等式 (28)2.1.1 实数的大小 (28)2.1.2 不等式的性质 (32)2.2.1 区间的概念 (36)2.2.2 一元一次不等式(组)的解法 (39)2.2.3 一元二次不等式的解法(一) (43)2.2.3 一元二次不等式的解法(二) (46)2.2.4 含有绝对值的不等式 (49)2.3 不等式的应用 (52)第三章函数 (55)3.1.1 函数的概念 (55)3.1.2 函数的表示方法 (59)3.1.3 函数的单调性 (62)3.1.4 函数的奇偶性 (67)3.2.1 一次、二次问题 (71)3.2.2 一次函数模型 (74)3.2.3 二次函数模型 (78)3.3 函数的应用 (83)第四章指数函数与对数函数 (86)4.1.1 有理指数(一) (86)4.1.1 有理指数(二) (90)4.1.2 幂函数举例 (94)4.1.3 指数函数 (97)4.2.1 对数 (102)4.2.2 积、商、幂的对数 (105)4.2.3 换底公式与自然对数 (109)4.2.4 对数函数 (111)4.3 指数、对数函数的应用 (114)第五章三角函数 (117)5.1.1 角的概念的推广 (117)5.1.2 弧度制 (121)5.2.1 任意角三角函数的定义 (125)5.2.2 同角三角函数的基本关系式 (130)5.2.3 诱导公式 (134)5.3.1 正弦函数的图象和性质 (139)5.3.2 余弦函数的图象和性质 (143)5.3.3 已知三角函数值求角 (146)第一章集合1.1.1集合的概念【教学目标】1. 初步理解集合的概念；理解集合中元素的性质．2. 初步理解“属于”关系的意义；知道常用数集的概念及其记法．3. 引导学生发现问题和提出问题，培养独立思考和创造性地解决问题的意识．【教学重点】集合的基本概念，元素与集合的关系．【教学难点】正确理解集合的概念．【教学方法】本节课采用问题教学和讲练结合的教学方法，运用现代化教学手段，通过创设情景，引导学生自己独立地去发现、分析、归纳，形成概念．【教学过程】1.1.2集合的表示方法【教学目标】1. 掌握集合的表示方法；能够按照指定的方法表示一些集合．2. 发展学生运用数学语言的能力；培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力．3. 让学生感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界；通过合作学习培养学生的合作精神．【教学重点】集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合.【教学难点】集合特征性质的概念，以及运用描述法表示集合.【教学方法】本节课采用实例归纳，自主探究，合作交流等方法．在教学中通过列举例子，引导学生讨论和交流，并通过创设情境，让学生自主探索一些常见集合的特征性质．【教学过程】1.1.3集合之间的关系(一)【教学目标】1. 理解子集、真子集概念；掌握子集、真子集的符号及表示方法；会用它们表示集合间的关系．2. 了解空集的意义；会求已知集合的子集、真子集并会用符号及Venn图表示．3. 培养学生使用符号的能力；建立数形结合的数学思想；培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力．【教学重点】子集、真子集的概念．【教学难点】集合间包含关系的正确表示．【教学方法】本节课采用讲练结合、问题解决式教学方法，并运用现代化教学手段辅助教学．设计典型题目，并提出问题，层层引导学生探究知识，让学生在完成题目的同时，思维得以深化；切实体现以人为本的思想，充分发挥学生的主观能动性，培养其探索精神和运用数学知识的意识．【教学过程】1.1.3集合之间的关系(二)【教学目标】1. 理解两个集合相等概念．能判断两集合间的包含、相等关系．2. 理解掌握元素与集合、集合与集合之间关系的区别．3. 学习类比方法，渗透分类思想，提高学生思维能力，增强学生创新意识．【教学重点】1. 理解集合间的包含、真包含、相等关系及传递关系．2. 元素与集合、集合与集合之间关系的区别．【教学难点】弄清元素与集合、集合与集合之间关系的区别．【教学方法】本节课采用讲练结合、问题解决式教学方法，并运用现代化教学手段进行教学．使学生初步经历使用最基本的集合语言表示有关数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力．精心设计问题情境，引起学生强烈的求知欲望，通过启发，使学生的思考、发现、归纳等一系列的探究思维活动始终处于自主的状态中．【教学过程】1.1.4集合的运算(一)【教学目标】1. 理解交集与并集的概念与性质．2. 掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集．3. 发展学生运用数学语言进行表达、交流的能力；培养学生观察、归纳、分析的能力．【教学重点】交集与并集的概念与运算．【教学难点】交集和并集的概念、符号之间的区别与联系．【教学方法】这节课主要采用发现式教学法和自学法．运用现代化教学手段，通过创设情景，提出问题，引导学生自己独立地去发现问题、分析归纳、形成概念．并通过对比，自学相似概念，深化对概念的理解．【教学过程】1.1.4集合的运算（二)【教学目标】1. 了解全集的意义；理解补集的概念，掌握补集的表示法；理解集合的补集的性质；会求一个集合在全集中的补集．2. 发展学生运用数学语言进行表达、交流的能力；培养学生建立数形结合的思想，将满足条件的集合用Venn图或数轴一一表示出来；提高学生观察、比较、分析、概括的能力．3. 鼓励学生主动参与“教”与“学”的整个过程，激发其求知欲望，增强其学习数学的兴趣与自信心．【教学重点】补集的概念与运算．【教学难点】全集的意义；数集的运算．【教学方法】本节课采用发现式教学法，通过引入实例，进而分析实例，引导学生寻找、发现其一般结果，归纳其普遍规律．【教学过程】新课题时，全集也不一定相同．我们在研究数集时，常常把实数集R作为全集．二、补集1. 定义．如果A 是全集U的一个子集，由U中的所有不属于A 的元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集．记作U A．读作“A 在U中的补集”．2. 补集的Venn图表示．例1 已知：U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}．则U A＝；A ∩U A＝；A ∪U A＝．解{2，4，6}；∅；U．例2已知U＝{ x | x是实数}，Q＝{ x | x 是有理数}．则U Q＝；Q∩U Q＝；Q∪U Q＝．解{ x | x 是无理数}；∅；U．3. 补集的性质．(1) A ∪U A＝U；(2) A ∩U A＝∅；(3) U(U A)＝A．例3已知全集U＝R，A＝{x | x＞5}，求U A．解U A＝{x | x≤5}．练习 1(1) 已知全集U＝R，A＝{ x | x师：通过引导学生回答引例中的问题2“没有购进的品种构成的集合是什么？”，得出补集的定义和特征；介绍补集的记法和读法．生：根据定义，试用阴影表示补集．师：订正、讲解补集Venn图表示法.生：对例1口答填空．师：引导学生画出例2的Venn图，明确集合间关系，请学生观察并说出结果．师：以填空的形式出示各条性质．生：填写性质．师：结合数轴讲解例3.学生解答练习1，并总结解题规律．从引例的集合关系中直观感知补集涵义．通过画图来理解补集定义，突破难点．借助简单题目使学生初步理解补集定义．例2中补充两问，为学生得出性质做铺垫．结合具体例题和Venn图，使学生自己得出补集的各个性质，深化对补集概念的理解．培养学生数形结合的数学意识．AUC U A新课＜1}，求U A．(2) 已知全集U＝R，A＝{ x | x≤1}，求U A．练习2设U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{5，2，1}，B＝{5，4，3，2}．求U A；U B；U A ∩U B；UA ∪U B．练习3 已知全集U＝R，A＝{x | -１< x < 1}．求U A，U A∩U，U A∪U，A ∩U A，A ∪U A．学生做练习2、3，老师点拨、解答学生疑难．通过练习加深学生对补集的理解．小结补集定义记法图示性质1. 学生读书、反思，说出自己学习本节课的收获和存在问题．2. 老师引导梳理，总结本节课的知识点，学生填表巩固.让学生读书、反思，培养学生形成良好的学习习惯，提高学习能力．作业教材P17，练习A组第1～4题．学生课后完成．巩固拓展．1.2.1充要条件【教学目标】1. 使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念．2. 能在判断、论证中灵活运用上述三个概念．3. 培养学生思维的严密性．【教学重点】正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念．【教学难点】正确区分充分条件、必要条件．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．【教学过程】1.2.2子集与推出的关系【教学目标】1. 正确理解子集和推出的关系．2. 掌握通过“推出”判断集合的关系．3. 启发学生发现问题和提出问题，培养学生独立思考的能力，学会分析问题和解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力．【教学重点】理解子集和推出的关系．【教学难点】理解通过“推出”判断集合的包含关系．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，运用现代化教学手段进行教学．通过创设情景，用普遍联系的观点审视事物，引导学生自己去发现、分析、归纳，形成概念．穿插有针对性的练习及讲解，并配以题组训练模式，使学生边学边练，及时巩固，深化对概念的理解．【教学过程】第二章不等式2.1.1实数的大小【教学目标】1．理解并掌握实数大小的基本性质，初步学习用作差比较法来比较两个实数或代数式的大小．2．从学生身边的事例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．3．培养学生勤于分析、善于思考的优秀品质．善于将复杂问题简单化也是我们着意培养的一种优秀的思维品质．【教学重点】理解实数的大小的基本性质，初步学习作差比较的思想．【教学难点】用作差比较法比较两个代数式的大小．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．通过联系公路上的限速标志，引入不等式的问题，并且从关注数字的大小入手，引导学生学习用作差比较法来比较两个实数、代数式的大小．通过穿插有针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握作差比较法．【教学过程】教学环节教学内容师生互动设计意图导入右面是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行使的速度不得超过40 km/h．若用v(km/h)表示汽车的速度，那么v 与40之间的数量关系用怎样的式子表示？右面是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行使的速度不得低于50 km/h．若用v(km /h)表示汽车的速度，那么v 与50之间的数量关系用怎样的式子表示？学生根据生活经验回答情境问题．答：v≤40．答：v≥50．从学生身边的生活经验出发进行新知的学习，有助于调动学生学习积极性．2.1.2不等式的性质【教学目标】1．掌握不等式的三条基本性质以及推论，能够运用不等式的基本性质将不等式变形解决简单的问题．2. 掌握应用作差比较法比较实数的大小．3．通过教学，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好思维品质．【教学重点】不等式的三条基本性质及其应用．【教学难点】不等式基本性质3的探索与运用．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法与分组探究教学法．通过引导学生回顾玩跷跷板的经验，师生共同探究天平两侧物体的质量的大小，引导学生理性地认识不等式的三条基本性质，并运用作差比较法来证明之．通过题组训练，使学生逐步掌握不等式的基本性质，为后面运用不等式的基本性质解不等式打下理论基础．【教学过程】教学环节教学内容师生互动设计意图导入【课件展示情境1】创设天平情境问题：观察课件，说出物体a和c哪个质量更大一些？由此判断：如果a＞b，b＞c，那么a和c的大小关系如何？从学生身边的生活经验出发进行新知的学习，有助于调动学生学习的积极性．新课性质1(传递性)如果a＞b，b＞c，则a＞c．学生思考、回答得出性质新课分析要证a＞c，只要证a－c＞0．证明因为a－c＝(a－b)＋(b－c)，又由a＞b，b＞c，即a－b＞0，b－c＞0，所以(a－b)＋(b－c)＞0．因此a－c＞0．即a＞c．【课件展示情境2】性质2(加法法则)如果a＞b，则a＋c＞b＋c．证明因为(a＋c)－(b＋c)＝a－b，又由a＞b，即a－b＞0，所以a＋c＞b＋c．思考：如果a＞b，那么a－c＞b－c．是否正确？不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变．推论1如果a＋b＞c，则a＞c－b．证明因为a＋b＞c，所以a＋b＋(－b)＞c＋(－b)，即a＞c－b．不等式中任何一项，变号后可以从一边移到另一边．练习1(1)在－6＜2 的两边都加上9，得；(2)在4＞－3 的两边都减去6，得；(3)如果a＜b，那么a－3 b－3；(4)如果x＞3，那么x＋2 5；(5)如果x＋7＞9，那么两边都，得x＞2．1．引导学生判断：不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向是否改变？学生口答，教师点评．创设一种情境，给学生提供了想象的空间，为后续学习做好了铺垫．让学生在“做”数学中学数学，真正成为学习的主人．把课堂变为学生再发现、再创造的乐园．对不等式的性质及时练习，进行巩固．2.2.1区间的概念【教学目标】1. 理解区间的概念，掌握用区间表示不等式解集的方法，并能在数轴上表示出来．2. 通过教学，渗透数形结合的思想和由一般到特殊的辩证唯物主义观点．3. 培养学生合作交流的意识和乐于探究的良好思维品质，让学生从数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心．【教学重点】用区间表示数集．【教学难点】对无穷区间的理解．【教学方法】本节课主要采用数形结合法与讲练结合法．通过不等式介绍闭区间的有关概念，并与学生一起在数轴上表示两种不同的区间，学生类比得出其它区间的记法．在此基础上引导学生用区间表示不等式的解集，为学习用区间法求不等式组的解集打下坚实的基础．【教学过程】新课区间不包括端点，则端点用空心点表示．全体实数也可用区间表示为(－∞，＋∞)，符号“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”．例1用区间记法表示下列不等式的解集：(1) 9≤x≤10；(2) x≤0.4．解(1) [9，10]；(2) (－∞，0.4]．练习1用区间记法表示下列不等式的解集，并在数轴上表示这些区间：(1) －2≤x≤3；(2) －3＜x≤4；(3) －2≤x＜3；(4) －3＜x＜4；(5) x＞3；(6) x≤4．例2用集合的性质描述法表示下列区间：(1) (－4，0)；(2) (－8，7]．解(1) {x | －4＜x＜0}；(2) {x | －8＜x≤7}．练习2用集合的性质描述法表示下列区间，并在数轴上表示这些区间：(1) [－1，2)；(2) [3，1]．例3在数轴上表示集合{x|x＜－2或x≥1}．解如图所示．用表格呈现相应的区间，便于学生对比记忆．教师强调“∞”只是一种符号，不是具体的数，不能进行运算．学生在教师的指导下，得出结论，师生共同总结规律．学生抢答，巩固区间知识．学生代表板演，其它学生练习，相互评价．了铺垫．学生理解无穷区间有些难度，教师要强调“∞”只是一种符号，并结合数轴多加练习。
中专《数学》(基础模块)上册课件
第2章 不等式
内容简介：本章主要讲述了不等式的基本性质，并对其进行了证明；然后结合数轴图形来阐述了区间的概念及表示方法；又结合一元二次方程和一元二次函数图象来讲述了一元二次不等式及其解法，并穿插了用几何画板来绘制函数图像的软件练习，以拓展学生的视野并激发其学习兴趣；最后介绍了含绝对值的一元一次不等式及其解法. 学习目标：理解不等式的基本性质，掌握区间的概念及表示方法，掌握一元二次不等式的解法，了解含绝对值不等式的解法 .
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目录
CONTENTS
第2章 不等式
02
第3章 函数
03
第4章 指数函数与对数函数
04
第5章 三角函数
05
第1章 集合
01
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1.1 集合的概念及表示方法 1.2 集合之间的关系 1.3 集合的运算 1.4 充要条件
第1章 集合
内容简介：本章主要讲述集合的有关概念及集合的表示方法、集合之间的关系、集合的运算、充要条件，主要通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力. 学习目标：理解集合的有关概念，并掌握集合的表示方法，掌握集合之间的关系和集合的运算，了解充要条件.
学习 提示
想一想
第4章 指数函数与对数函数
4.1 实数指数幂 4.2 指数函数 4.3 对数 4.4 对数函数
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内容简介：本章完成了由正整数指数幂到实数指数幂及其运算的逐步推广过程，介绍了指数函数的概念、图像和性质，引入了对数概念及运算法则，并在此基础上，介绍了指数函数的概念、图像和性质. 学习目标：理解有理数指数幂；掌握实数指数幂及其运算法则；了解幂函数，理解指数函数的图像和性质；了解指数函数的实际应用，理解对数的概念；掌握利用计算器求对数值；了解积、商、幂的对数、对数函数的图像和性质及对数函数的实际应用.
中职数学基础模块(上册)全套教学PPT课件
集合的性质：
归 （1）集合的元素具有确定性； 纳 （2）集合的元素具有互异性.
由数所组成的集合称作数集.我们用某些特定的大写英文字母表示常
用的一些数集：
所有非负整数所组成的集合叫做自然数集，记作N ； 所有正整数所组成的集合叫做正整数集，记作N ；
所有整数组成的集合叫做整数集，记作 Z ；
所有有理数组成的集合叫做有理数集，记作 Q ；
自然数集 N 为无限集，用列举法表示为：
{0,1, 2,3, , n, }.
2.描述法 把描述集合元素的特征性质或表示集合中元素的规律写在
花括号内用来表示集合的方法叫做描述法. 例如，由大于 2 的所有实数所组成的集合用描述法表示为： {x | x 2, x R}
花括号内竖线左侧的 x 表示这个集合中的任何一个元素，元素 x 从实数 R 中取值，竖线的右侧写出的是元素的特征性质.
A B 或 B A， 读作“A 真包含于 B”或“B 真包含 A”，可用下图直观地表示.
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1.2.3 集合的相等 一般地，如果集合 A 的每一个元素都是集
合 B 的元素，或者集合 B 的每一个元素都是 集合 A 的元素，那么就说集合 A 等于集合 B.
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1.3 集合的运算
1.3.1 交集
概念
所有实数组成的集合叫做实数集，记作 R； ；
不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.
1.1.2 集合的表示方法
1.列举法 把集合的元素一一列举出来，元素中间用逗号隔开，写在花括
号“｛｝”中用来表示集合，这种方法即为列举法. 例如，由小于5的自然数所组成的集ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用列举法表示为：
{0,1, 2,3, 4};
学习目标：理解集合的有关概念，并掌握集合的表示方法，
中职数学基础模块上册《充要条件》
04
充要条件的扩展知识
充分不必要条件
总结词
充分不必要条件是指一个命题成立时 ，另一个命题不一定成立。
详细描述
在其他学科中的应用
在物理学中的应用
在物理学中，充要条件的概念被广泛应用于各种物理现象的解释和推导中，例 如力学、电磁学、光学等。
在化学中的应用
在化学中，充要条件的概念也被广泛应用。例如，在化学反应中，反应物和生 成物之间的转化关系可以用充要条件来描述。
03
充要条件的证明方法
直接证明法
总结词
通过直接推理和计算，证明条件和结论之间的逻辑关系。
中职数学基础模块上册《充ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ要条件》
汇报人： 202X-01-05
目 录
• 充要条件的定义 • 充要条件的应用 • 充要条件的证明方法 • 充要条件的扩展知识
01
充要条件的定义
充要条件的文字描述
充分条件
如果某一条件成立，则另一条件 必定成立。
必要条件
如果某一条件不成立，则另一条 件必定不成立。
充要条件的图形表示
详细描述
直接证明法是最基本的证明方法，它直接利用已知条件和定理、定义等，通过逻辑推理和计算，证明条件和结论 之间的必然联系。在证明充要条件时，直接证明法可以清晰地展现出条件和结论之间的因果关系，使得证明过程 更加直观和易于理解。
反证法
总结词
通过假设条件不成立来推导矛盾，从而证明条件是充要条件。
详细描述
01
在数轴上，充要条件可以用一条 直线表示，其中充分条件和必要 条件是该直线的两个端点。
中职数学基础模块上册《充要条件》ppt课件1
5. “a=2，b=3”是“a+b=5”的充分 条件； 6. “自然数能被5整除”是“自然数个位数 字是5的”必的要 条件 7. “两直线平行”是“同位角相等”的 条件； 充分 必要
思考：以上描述是否完整？
5.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件;丙
是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么(A )
(A)丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 (B)丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 (C)丙是甲的充要条件 (D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
甲 乙 丙
思考：写出下列两个命题的条件和结论， 并判断是真命题还是假命题？
逆否
否
若非p ，则非q 互逆 若非q，则非p
互为逆否的两个命题等价(同真或同假)
1.2 充分条件、必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是 指由p通过推理可以得出q．这时，我们 就说，由p可推出q，记作：pq．
定义：如果命题“若p，则q”为真命题， 即p q, 那么我们就说p是q的充分条件； q是p必要条件．
也不必要
2.方程 ax2 bx c 0(a 0) 有实数根是 ac 0 的_必__要_不__充_分__条件.
3.
x y xy 4
4
是
x
y
2 2
的_必__要_不__充_分__条件.
4.已知 p : x2 3x 2 0 , q : x 0 , 则 p 是 q 的 充_分_不__必__要__条件, q 是 p 的_必_要__不_充__分_条件.
命题“如果x=－y,则x2=y2”是真命题 x=－yx2=y2; x=－y是x2=y2的充分条件;