1.1 命题及其关系

解：（1）若一个三角形是等腰三角形，则该三角形
的两腰上的中线相等, 它是真命题;
（2）若一个函数是偶函数，则它的图象关于
y轴对称, 它是真命题;
（3）若两个平面垂直于同一个平面，
则这两个平面平行, 它是假命题.
练习
1. 将命题“a>0时，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加”
改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假。
例1．等边三角形的三个内角相等． （真命题） 逆命题：三个内角相等的三角形是等边三角形． （真命题） 例2．若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数； （真命题）
逆命题：若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数．
（假命题）
原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．
思
考
下列四个命题中，命题（１）与命题 （3）的条件和结论之间分别有什么关系？
Hale Waihona Puke Baidu（真命题）
（1）能被6整除的整数一定能被3整除；
（2）若一个四边形的四条边相等，
则这个四边形是正方形；
（假命题）
（真命题） （3）二次函数的图象是一条抛物线；
（4）两个内角等于450 的三角形
是等腰三角形．（真命题）
3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假：
（1）等腰三角形两腰的中线相等； （2）偶函数的图象关于y轴对称； （3）垂直于同一个平面的两个平面平行．
（真命题）
原命题是真命题，它的逆否命题一定是真命题.
四种命题的概念与表示形式， 总 即如果原命题为：若p，则q，则它的： 逆命题为：若q，则p，
结
即交换原命题的条件和结论即得其逆命题.
否命题为：若┐p，则┐q，
即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行; （√） (4)若x2=1,则x=1; （×） （√）
(5)两个全等三角形的面积相等;
(6)3能被2整除. （×）
特点：①都是陈述句; ②都可以判断真假.
命题的概念
一般地,在数学中,我们把用语言、符号 或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做 命题 判断为真的语句叫真命题。 判断为假的语句叫假命题。
q叫做命题的结论。
“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,
也可写成“如果p,那么q” ，“只要p,就有q”等形式。
其中p和q可以是命题也可以不是命题. “若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易辨别,
缺点是太格式化且不灵活.
例2 ．指出下列命题的条件p和结论q：
（1）若整数a能被2整除，则a是偶数； （2）若四边形是菱形，则它的对角线 互相垂直且平分．
解：(1) 条件p：整数a能被2整除， 结论q：整数a 是偶数。 (2) 写成若p，则q 的形式：若四边形是菱形，
则它的对角线互相垂直且平分。
条件p：四边形是菱形， 结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。
“若p则q”形式的命题的书写
数学中有一些命题虽然表面上不是 “若p，则q”的形式,例如“垂直于同一 条直线的两个平面平行”，但是把它的 形式作适当改变，就可以写成“若p，则 q”的形式： 若两个平面垂直于同一条直线， 则这两个平面平行．
不是（感叹句）
是
是
不是
例1. 下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ (1)空集是任何集合的子集; (2)若整数a是素数，则a是奇数; (3)指数函数是增函数吗？ 真命题 假命题
（不是命题）
(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行; 假命题
(5)
22
2;
真命题
(6) x>15.
常用逻辑用语
“数学是思维的科学”
逻辑是研究思维形式和规律的科学.
逻辑用语是我们必不可少的工具.
通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑 用语的用法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用 逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.
1.1.1 命题
下列语句的表述形式有什么特点?
你能判断它们的真假吗? (1)若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点; （√） (2)2+4=7; （×）
命 题 q : 函 数 f ( x ) -(7 - 3 m ) 是 减 函 数 ，
x
为 使 p 和 q中 有 且 只 有 一 个 命 题 是 真 命 题 , 求 实 数 m 的 取 值 范 围 .
解 : 若 p 是 真 命 题 则 m 1 0, 即 m 1;
若 q 是 真 命 题 则 7 3 m 1, 即 m 2.
解：若命题p为真命题，则m≤1； 若命题q为真命题，则7-3m>1,即m<2.
m 1, 当p真q假时，m 2, m ; m 1, 1 m 2. 当p假q真时， m 2,
故m取值范围是1<m<2.
变式： 已 知 命 题 p : 关 于 x的 不 等 式 | x - 2 | m - 1的 解 集 为 R ,
解: a>0时，若x增加，则函数y=ax+b 的值也随之增加，它是真命题．
在本题中，a>0是大前提，应单独给出， 不能把大前提也放在命题的条件部分内．
2. 设有两个命题：p：|x|+|x-1|≥m的解集为R; q：函数f(x)= - (7-3m)x 是减函数， 若两个命题中有且只有一个真命题， 求实数m的取值范围。
分析: 条件：整数a不能被２整除 ;
结论：a是奇数．(原命题) 条件：整数a能被２整除 ; 结论：a不是奇数．(否命题) 否命题：若整数a能被２整除，则a是偶数.
探究：如果原命题是真命题，那么它的
否命题一定是真命题吗？
例1.原命题：同位角相等，两直线平行. （真命题）
否命题：同位角不相等，两直线不平行. （真命题） 例2.原命题：若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数. （真命题） 否命题：若f (x) 不是正弦函数，则f (x)不 是周期函数. （假命题）
1.1.2 四种命题
思
考：
下列四个命题中，命题（１）与命题（２）（３） （４）的条件和结论之间分别有什么关系？
（１）若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数； （２）若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数； （３）若f (x) 不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数； （４）若f (x) 不是周期函数，则f (x) 不是正弦函数；
思
考
下列四个命题中，命题（１）与命题 （２）的条件和结论之间分别有什么关系？
（１）若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数； （２）若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数；
特点：条件和结论互换了
一般地，对于两个命题，如果一个命 题的条件和结论分别是另一个命题的结论 和条件，那么我们把这样的两个命题叫做 互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另 一个叫做原命题的逆命题． 即若将原命题表示为：若p，则q．
命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述 句叫做命题。如何判断一个语句是不是命题？
(1) 7是23的约数吗? (2) x>5. (3) -2<a<3. (4)画线段AB=CD. 疑问句
开语句
祈使句
• 判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合“是陈述句” •
（不是命题）
上面(2)(4)具有“若p,则q”的形式.本章中我们只讨论这种形 式. “若p,则q”也可写成“如果p,那么q”“只要p,就有q”等形式.
其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.
记做:
p q
“若p则q”形式的命题
命题“若整数a是素数，则a是奇数。”具有“若p则q”的形
式。
p
q
通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,
高二数学 选修1-1
第一章
常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
歌德是18世纪德国的一位著名文艺 大师，一天，他与一位批评家“狭路相 逢”，这位文艺批评家生性古怪，遇到 歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪 明，一边趾高气扬地往前走。一边大声 说道：“我从来不给傻子让路！”而对 如此的尴尬的局面，歌德只是笑容可掏， 谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道 “呵呵，我可恰恰相反。”结果故作聪 明的批评家，反倒自讨没趣。 你能分析此故事中歌德与批评家 的言行语句吗？
原命题是真命题，它的否命题不一定是真命题.
思
考:
下列四个命题中，命题（１）与命题
（4）的条件和结论之间分别有什么关系？
（１） 若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数；
（４） 若f (x) 不是周期函数，则f (x)不 是正弦函数；
特点：交换原命题的条件和结论， 并且同时否定了
一般地，对于两个命题，如果一个命 题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的 否定和条件的否定，我们把这样的两个命题 叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命 题，另一个叫做原命题的的逆否命题． 即若将原命题表示为：若p，则q,
则它的逆否命题为：若┐q，则┐p. 即交换原命题的条件和结论，并且同 时否定，则得其逆否命题.
例：写出命题“同位角相等，两直线平行”
的逆否命题. 分析: 条件: 同位角相等;
结论：两直线平行．(原命题) 条件: 两直线不平行;
结论: 同位角不相等．(逆否命题) 其逆否命题：两直线不平行，同位角不相等.
这样，它的条件和结论就很清楚了．
例3. 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假:
（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；
若两条直线垂直于同一直线，则这两条直线平行。 假
（2） 负数的立方是负数;
若一个数是负数，则这个数的立方是负数。
真
（3） 对顶角相等.
若两个角是对顶角，则这两个角相等。
真
则它的逆命题为：若q，则p．
即交换原命题的条件和结论即得其逆命题．
例：给出命题“同位角相等，两直线平行”
写出其逆命题． 分析: 条件: 同位角相等; 结论：两直线平行．(原命题) 条件: 两直线平行;
结论: 同位角相等．(逆命题) 其逆命题：两条直线平行，同位角相等．
探究：如果原命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？
m 1 m (1)当 p 是 真 命 题 且 q 是 假 命 题 时 m 2
m 2 (2)当 q 是 真 命 题 且 p 是 假 命 题 时 m 1 1 m 2
小 结
1．什么叫命题？真命题？假命题？ 2．命题是由哪两部分构成的？ 3．怎样将命题写成“若 p，则 q”的形式． 4．如何判断真假命题．
探究：如果原命题是真命题，那么它
的逆否命题一定是真命题吗？
例1.原命题：同位角相等，两直线平行.（真命题）
逆否命题：两直线不平行，同位角不相等. （真命题） 例2.原命题：f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数； （真命题）
若逆否命题：f (x) 不是周期函数，则f (x)不 是正弦函数；
例3. 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假:
（4）垂直于同一条直线的两个平面平行；
若两个平面垂直于同一直线，则这两个平面平行。 真
（5）两个全等三角形的面积相等；
若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。 真
（6） 3能被2整除；
若一个数是3，则这个数能被2整除。
假
习题：课本P４ 2. 判断下列命题的真假：
（１）若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数；
（ 3）若f (x) 不是正弦函数，则f (x)不 是周期函数；
特点：将条件和结论同时否定了
一般地，对于两个命题，如果一个命题 的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否 定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫 做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原 命题，那么另一个叫做原命题的的否命题． 即若将原命题表示为：若p，则q． 则它的否命题为： 若┐p，则┐q.
和“可以判断真假” 这两个基本条件。 有些语句中含有变量，在不给定变量的值之前，我们无法确定 这语句的真假，这样的语句叫开语句，以后会专门研究。
看看下列语句是不是命题？
（1）今天天气如何？
不是（疑问句）
（2）你是不是作业没交？ 不是（疑问句）
（3）这里景色多美啊！
（4）-2不是整数。 （5） 4>3。 （6） x>4。
即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题.
例：写出命题“同位角相等，两直线平行” 的否命题.
分析: 条件: 同位角相等;
结论：两直线平行．(原命题) 条件: 同位角不相等;
结论:
两直线不平行．(否命题)
否命题：同位角不相等，两直线不平行.
例：写出命题“若整数a不能被２整除，
则a是奇数”的否命题.