初中数学竞赛《质数与合数(二)》配套练习题

《质数与合数（二）》配套练习题
一、解答题
1、三个自然数的乘积为546，其中两个数的和等于另一个数。

那么这三个数的和是多少？
2、把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．
3、把39，45，49，56，60，70，78，84，91九个数分成三组，使每组中三个数的乘积都相等．
4、小明用扑克牌玩算24点游戏，每次抽出4张牌，每张牌点数为相应数字（其中J为11点，Q 为12点，K为13点），有一次他抽到的四个数为a、a、b、1，算24点时有：（a×a－1）÷b＝24，如果知道a和b都是质数，求所有符合上述条件的a和b。

5、是否存在一个两位数，使得它与3、5、7、11的乘积的各位数字之和都是质数？
6、能被15以下的所有质数整除的六位数共有多少个？
7、在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环，求甲、乙的总环数各是多少环？
8、两名运动员进行一场乒乓球比赛，三局两胜，每局先得11分者为胜，如果打到10平，则先多得2分者为胜。

结果三局比赛下来，单方最高得分不超过20分，把每人每局得分乘在一起恰为480480，那么各局的比分分别是多少？（按大比小的方式写出）
9、能否将1～50分成25组，使得每组两个数之和为质数。

要是可以，怎么分，要是不行，说明理由。

10、小宝在做一个两位数乘以两位数的乘法时，错误的将其中的一个两位数的十位与个位看错位置了，所以得到的结果比实际结果大了3015，并且组成这两个两位数的四个数字互不相同，其中有一个两位数是平方数，那么，正确的乘积结果应该是多少？
答案部分
一、解答题
1、
【正确答案】：26
【答案解析】：546＝2×3×7×13＝6×7×13
而且6＋7＝13，
所以这三个数是：6、7、13。

三个数的和为：6＋7＋13＝26。

【答疑编号10256075】
2、
【正确答案】：44，45，78，105；40，63，65，99．
【答案解析】：40＝2×2×2×5
44＝2×2×11
45＝3×3×5
63＝3×3×7
65＝5×13
78＝2×3×13
99＝3×3×11
105＝3×5×7
13有2个，11也有2个，7也有2个，
这三个数每一组里面都要有一个。

然后再根据因数个数依次分组，
即可得到44，45，78，105一组，40，63，65，99一组。

【答疑编号10256076】
3、
【正确答案】：39，70，84；45，56，91；49，60，78．
【答案解析】：39＝3×13
45＝3×3×5
49＝7×7
56＝2×2×2×7
60＝2×2×3×5
70＝2×5×7
78＝2×3×13
84＝2×2×3×7
91＝7×13
13有3个，5也有3个，
这两个数每一组里面都要有一个。

然后再根据因数个数依次分组。

【答疑编号10256077】
4、
【正确答案】：a，b可以是（7，2），（11，5），（13，7）。

【答案解析】：由于b必须是质数，而且扑克牌最大不超过13，故将b＝2，3，5，7逐一代入验证即可得知。

【答疑编号10256078】
5、
【正确答案】：存在，67
【答案解析】：考虑它与3的乘积的数字和一定是3，
从而这个数为34，37，67之一，经验算只有67满足要求。

67×3＝201
67×5＝335
67×7＝469
67×11＝737
【答疑编号10256079】
6、
【正确答案】：30个。

【答案解析】：15以下的所有质数之积为2×3×5×7×11×13＝30030。

从而要求30030的6位数的倍数。

30030×4～30030×33，共33－4＋1＝30（个）。

【答疑编号10256080】
7、
【正确答案】：24环和28环
【答案解析】：1764＝2×2×3×3×7×7
甲、乙两名运动员都有2箭得到7环。

剩下的3环是如下形式之一：
1×4×9；1×6×6；2×2×9；4×3×3，
这几个和最小是4＋3＋3＝10；最大是1＋4＋9＝14。

因此甲、乙两名运动员各射了5箭分别为7，7，1，4，9和7，7，3，3，4。

甲得：7＋7＋3＋3＋4＝24（环）
乙得：7＋7＋1＋4＋9＝28（环）
【答疑编号10256081】
8、
【正确答案】：16∶14，15∶13，11∶1
【答案解析】：480480＝480×1001＝25×3×5×7×11×13，
然后讨论最高得分，发现最高可以是16（注意单局得分超过11时分差必为2）。

【答疑编号10256082】
9、
【正确答案】：可以。

如：（1，2），（3，50），（4，49），（5，48），…，（26，27）。

【答案解析】：我们分组，关键是如何快速简单地分组。

如果这个和一定，那么我们根据对称性很快地就可以分好很多。

因为考虑到这些数最大是50，所以这个质数我们最好选择比50大的，因为在这些和中一定要有比50大的。

比50大的最小的质数是53，其次是59。

我们都可以进行分组，如（1，2），（3，50），（4，49），（5，48），…，（26，27）满足题意。

【答疑编号10256083】
10、
【正确答案】：3283
【答案解析】：3015＝32×5×67
67必是一个因数。

因此另外两个因数的差是45。

而且这个数是平方数，所以这个看错的两位数是49。

因此正确的算式为：49×67＝3283。

【答疑编号10256084】。