复变函数第四章解析函数的幂级数表示法知识点总结
复变函数幂级数
▪ 若z0D ln im sn(z0)s(z0),称级(1数 )在z0收敛 ,
其和s为 (z0), ln im sn(z0)不存在，称 (1)发 级散 数。
整理课件
13
若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数 s ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) ＋ ---级数(1)的和函数
n1
n1
n1
证明 sn n k n (ak ibk) n ak i n bk nin
k1
k1
k1
k1
由定理ln１ im s， n aibln im n a,ln im n b
an和bn都收敛。
n1
n1
整理课件
7
由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。
性质 级 数 n收 敛 的 必 要 :条ln im 件n 0.
i1
▪若
部
分
和
数
列{
sn
收 }
敛－级数n称为收敛
n1
ln imsn s称 为 级 数 的
和
不收敛 －级数 n称为发散
n1
整理课件
6
例2
判别
3i的 敛 散 性 。
n1 2n
解 snk n 12 3 k i3 i(1 2 1 n)又 ,ln ism n3 i
级数收 ,且敛 和3i为 .
定理2 级 数 n收敛 an和 bn都收敛。
展开
1 1g(z)[g(z)2] [g(z)n ],g(z)1 1g(z)
1b z a ab z a a2 b z a an,zabaR
《复变函数论》第四章
第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
第4章：复变函数的幂级数展开
| f n +1 ( z ) + f n + 2 ( z ).... + f n + p ( z ) |< ε
一致收敛级数的连续性 设
f ( z) = ∑
k =0 ∞
在E上一致收敛，如果{fk(z)} f k ( z ) 在E上连续，那么和函数f(z)
也是E上的连续函数。
7
一致收敛级数的积分 设
f ( z) = ∑
f ( z ) = ∑ f k ( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ... + f k ( z ) + ...
k =0
5
∞
ε—N语言描述 任给ε>0, 以及给定的z∈E, 存在正整数N=N(ε,z), 当n>N时
| f ( z ) − sn ( z ) |< ε
其中部分和为
16
1 f ( z) = 2 1+ z
+i
的二个奇点为 z = ±i ,故
1 2 4 6 = 1 − z + z − z + ... 2 1+ z
-i
的收敛半径为 | z |<1.
17
4.2 解析函数的Taylor 展开
幂级数在收敛圆内：解析函数 逆定理：解析函数可展开成幂级数
定理：设 f(z) 在以 a 为圆心的圆 C 内 解析，则对于圆 内的任何 z 点, f(z) 可以用幂级数展开为
(−1) ln(1 + z ) = ∑ k k =0
∞
k +1
z
k +1
; (| z |< 1)
2、若取其他分枝：ln1=2kπi, c= 2kπi
第4章-复变函数项级数04-洛朗级数
利用洛朗级数展开式的唯一性及双边幂级数在收敛圆环 域内可以逐项求导和逐项积分的性质。
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
解:1）直接展开法 解析，故积分为0；
1
1
z
n0
zn,
z 1
1
1
z
n0
zn,
的收敛区域为
可以证明:双边幂级数在收敛环域内的和函数是解析函数， 可以逐项求导、逐项积分
Re
当 R e 时，
Re
2 解析函数的洛朗展开定理
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
说明：
（1）洛朗级数是双边幂级数，泰勒级数只有正幂项； （2）洛朗级数是泰勒级数的推广，泰勒级数是洛朗级数 的特殊情况； （3）系数公式不同，洛朗系数不能利用高阶导数公式.
3 求解析函数洛朗展开式的方法
R2 z z0 R1
第四章 复变函数项级数
第四讲 洛朗级数
主要内容
1. 双边幂级数 2. 解析函数的洛朗展开定理 3. 求解析函数洛朗展开式的方法
1 双边幂级数
1
1
z
1
z
z2
z3
zn
,
n0
zn ,
z 1
双边幂级数
既含有正幂项又含有负幂项的级数
无首项， 不能用部分和来定义收敛和发散.
结论: 双边幂级数 圆环域
z 1
1
1全是负幂项，有无穷多项）
1
1
z
第四章-幂级数
因此 z 2k (k 0, 1,...) 都是 f ( z) sin z 1 的二阶零点
2
解析函数零点的孤立性，唯一性定理
• 定理：设函数 f ( z ) 在 z a R 解析，且不恒 为零，a为其零点，则必有a的一个邻域， 使得 f ( z ) 在其中没有a之外的零点。
的系数
cn
满足
cn 1 l cn
（2）
lim n cn l
n
（3） 则幂级数 c ( z a) 的收敛半径
n
lim n cn l
n
n 0
n
1 l , l 0, l R 0, l , l 0
cos(in)( z 1) 例.
1、幂级数 各项均为幂函数的复变项级数
(*)
其中 ，都是复常数，这样的 级数叫做以 z0 为中心的幂级数。 2、幂级数的收敛性，收敛半径 先看由上级数各项的模所组成的正项级数
应用正项级数的比值判别法可知，如果
则级数收敛，即原级数绝对收敛，可引入记 号
即，如果 果 ，则
则原级数绝对收敛，如
即级数后面的项的模越来越大，不满足级数
eiz eiz 2i
(eiz i)2 0, eiz i
2
2 k
(k 0, 1,...)
这是 f ( z) sin z 1 的全部零点 注意到
(sin z 1) ' z 2 k cos z z 2 k 0
2 2
(sin z 1) '' z 2k sin z z 2k 1
n z 2 z3 z 4 z f 0 ( z ) (ln( z 1))0 z ... (1) n1 ... 2 3 4 n
复变函数第四章解析函数的幂级数表示法知识点总结
第四章解析函数的幂级数表示法§1.复级数的基本性质1.（定理）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛。
2.（定理）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的>0，存在正整数N()，当n>N且p为任何正整数时，注1：收敛级数通项必趋近于零；注2：收敛级数各项必有界；注3：级数省略有限个项不改变敛散性。
3.（定理）收敛4.（定理）（1）绝对收敛的复级数可任意重排，不改变收敛性，不改变和；（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积（柯西积）级数，也绝对收敛于。
5.一致收敛的定义：对任给的>0以及给定的，存在正整数N=N(,z)，当n>N 时，有式中6.不一致收敛的定义7.（定理柯西一致收敛准则）：级数收敛的充要条件是：任给>0，存在正整数N=N()，使当n>N时，对一切，均有8.（定理’不一致收敛准则）：9.（优级数准则）：如果有正数列，使对一切，有|)|≤，且正项级数收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。
10.优级数定义：称为的优级数。
11.（定理）级数各项在点集E上连续，且一致收敛于f(z)，则和函数也在E上连续。
12.（定理积分求和符号可交换）级数的各项在曲线C上连续，且一致收敛于f(z)，则沿C可逐项积分13.内闭一致收敛：有界闭集上一致收敛14.（定理）在圆K：|z-a|<R内闭一致收敛的充要条件：对任意正整数，只要<R，级数在闭圆上一致收敛。
15.（定理魏尔斯特拉斯定理）：设（1）函数在区域D内解析；（2）在D内内闭一致收敛于函数f(z):则：（1）f(z)在D内解析；（2）（3）在D内内闭一致收敛于§2.幂级数1.（定理阿贝尔定理）：幂级数在某点(≠a)收敛它必在圆K：|z-a|<|-a|（以a为圆心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。
2.（推论）：幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心，圆周通过的圆周外发散。
复变函数之幂级数
a z3 r3
x
+∞
+∞
∑ ∑ 定理4(P76)若J = an xn 的收敛半径为= R, 令I an(z − a)n,则
n=0
n=0
(3)若R = 0, 则I 在全平面内除z = a 外处处发散.
(3)的证明用反证法.证明过程与(1)(ii) 的证明过程类似.
若R = 0，假设存在一点z4 ≠ a, 使得I在点 z4 收敛.
第四章 解析函数的级数表示
级数是研究解析函数的又一重要工具， 两种：1. 幂级数 2. 洛朗级数
4.1 幂级数
定义
设有复数列{zn
=
xn
+
i
yn , n
=
1, 2,},其中xn ,
yn
∈
,
+∞
称 ∑ zk = z1 + z2 + z3 + + zk + 为复数项无穷级数. k =1
n
∑ (1)若{zn}部分和复数列Sn = zk = z1 + z2 + + zn , n = 1, 2,有极限 k =1
⇒
ak
=
f
(
k)( k!
a
)
,
k ≥ 0.
定理5(P 78)
2)在收敛圆内曲线C上,可以逐项积分：
2n
是否绝对收敛？
∑ ∑ ∑ +∞ (−1)n +∞ 1
解.因为
=
+∞ (−1)n
发散，故
不是绝对收敛.
n=1 n n=1 n
n=1 n
∑ 从而由定理2(P75)知
+∞ (−1)n
【2019年整理】复变函数第四章 解析函数的级数表示法
不满足必要条件, 所以原级数发散.
启示:
判别级数的敛散性时,
可先考察
lim
n
n
?
0
lim 如果n
n
0,
lnimn 0,
级数发散; 应进一步判断.
由定理4.2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。
定理4.3 级数
收敛
n
的
必要条件:
lim
n
n
0.
n1
定义4.3
若
n
收
敛
，
则
称
为
n
n
n
k k ,n n
k 1
k 1
n1
n1
由定理4.4的证明过程，及不等式 an2 bn2 an bn 有 :
推论4.1级数 n 收敛 an 和 bn 都收敛。
n1
n1
n1
? 若
收
n
敛
n1
n1
n收敛.(例如 :
n1
(1)n i n
)
例2 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
1. 幂级数的概念
定义
▪设复变函数列：{ fn(z)} z D, n 1,2, fn (z) f1(z) f2 (z) fn (z) (1) n1
---称为复变函数项级数
▪级数的最前面n项的和
n
sn (z) f1(z) f2(z) fn (z) fk (z)
k 1
1
i
(8i)n
(1)n i
(1) (1 ) (2)
n1 n
n
n0 n!
(3) (
n1
n
2n )
解
(1)
复变函数 第四章
4. 收敛半径的求法
关于幂级数∑ cn z n
n =0 ∞
(3)的收敛半径求法，有
1/ λ cn+1 定理2 若lim = λ，则R = + ∞ (比值法) n→∞ cn 0
0 < λ < +∞ λ =0 λ = +∞
c n + 1 z n +1 c n +1 证明 (i ) λ ≠ 0,∵ lim = lim z =λ z n n→∞ n→∞ c cn z n
定义 设复数列： {α n } = {an + ibn }(n = 1, 2,⋯, n),
∑α
n=1
∞
n
= α1 +α2 +⋯+αn +⋯ ---无穷级数
级数的前面n项的和n
sn = α1 +α2 +⋯+αn = ∑αi ---级数的部分和
i =1
∞
收敛 －级数 ∑ α n 称为收敛 n =1 lim sn = s称为级数的和 n→∞ 若部分和数列{ s n } ∞ 不收敛 －级数 α 称为发散 ∑1 n n=
定义 若 ∑ α n 收敛，则称 ∑ α n为绝对收敛；
n =1 ∞ n =1
∞
若 ∑ α n 发散，而 ∑ α n收敛，则称 ∑ α n为n =1 n =来自 n =1∞∞
条件收敛.
例2 下列级数是否收敛？是 下列级数是否收敛？ 否绝对收敛？ 否绝对收敛？
∞ 1 i (8i ) n (1) ∑ (1 + ) (2) ∑ n n =1 n n=0 n ! ∞
2. 收敛定理
同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理： 定理1 (阿贝尔(Able)定理 阿贝尔(Able)定理） 定理1 (阿贝尔(Able)定理）
复变函数4章幂级数
则存在M 使对所有的n有 | c z | M
n n 0
|z| 如果 | z || z0 |, 则 q 1, | z0 |
z 而 | cn z || cn z | z0
n n 0 n
Mq
n
7
z n | cn z || c z | Mq z0
中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收 敛范围是以z=a为中心的圆域. 在收敛
圆上是否收敛, 则不一定.
12
例1 求幂级数
z
n 0
n
1 z z z
2 n
的收敛范围与和函数.
[解] 级数实际上是等比级数, 部分和为
sn 1 z z
2
1- z z , ( z 1) 1- z
称为这级数的部分和.
3
如果对于D内的某一点z0, 极限
lim sn ( z0 ) s( z0 )
n
存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而s(z0) 称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则它的和 一定是z的一个函数s(z): s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
处处收敛 , 即 R=. 如果 =+, 则对复平 面内除 z=0 外的一切 z, 级数 收敛, 因此
n0
n0
都不
cn z n
也不能收敛, 即 R=0.
18
定理三 (根值法 ) 敛半径 R
1
如果 n
lim n | c n | 0
, 则收
.
19
复变函数解析函数的幂级数表示法
又 n (a n a ) i (bn b ) (a n a ) 2 (bn b ) 2 an a n 故 a n a , bn b. lim lim
n n
bn b n
n 0 n n 0
n 0
3. 收敛圆与收敛半径
由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况：
(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处 处收敛。 (ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。
( iii ) 0, 使 得 cn n收 敛,
4. 收敛半径的求法
1 / 0 cn1 定理2 若 lim ，则 R 0 (比值法) n cn 0 cn 1 z n 1 cn 1 证明 ( i ) 0, lim lim z z n n n c cn z n 1 当 z 1时,即 z 时, cn z n绝 对 收 敛 ；
---级数的部分和 若z0 D lim sn ( z0 ) s( z0 ), 称 级数 1)在z0收 敛, (
n
其 和为 ( z0 ), sn ( z0 )不 存在 ， 称 级数 )发 散, s lim (1
n
若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数
s( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )＋ ---级数(1)的和函数
n 1 n 1 n 1 n 1
2 2 证明 n an ibn an bn 2 2 an an bn , 2 2 bn an bn
n n
复变函数第四版(第四章)
1 n 1) a n 1 e ; n
i
2) a n n cos in
}
[解] 1) 因
1 n 1 a n 1 e 1 cos i sin n n n n 1 1 an 1 cos , bn 1 sin . n n n n lim an 1, lim bn 0
第4章
级数
§4.1 复数项级数 §4.2 幂级数 §4.3 泰勒级数 §4.4 洛朗级数
}
n
n
n
任意给定e>0, 相应地能找到一个正数N(e), 使|an-
a|<e在n>N时成立 则a称为复数列{an}当n时的 §4.1 ,复数项级数
极限, 记作
lim a n a
n
此时也称复数列{an}收敛于a.
(-1) n n n 1
(8i ) 8 , 由正项级数的比值审敛法知 n! n!
故原级数收敛 . 但因 n n
}
§4.2 幂级数
1. 幂级数的概念 设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数 序列,其中各项在区域D内有定义.表达式
f
n 1
n
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) (4.2.1)
z
n
在圆 |
1
内收敛.
}
再证当
| z |
| z |
1
时, 级数
n0
cn z n
发散. 假设在
n0
圆 收敛. 在圆外再取一点 z1, 使|z1|<|z0|, 那么根据阿
魏雅薇复变函数论第四章精品文档
南开大学 魏雅薇
定理
设级数 fn(z)的各项fn(z)(n=1,2,…), 在简单曲线C上连续，并且级数 fn(z)
在C上一致收敛于f(z),那么在C上可以逐项积分
C fn(z)dz C f(z)dz.
n1
南开大学 魏雅薇
注解1、在研究复变函数项级数的逐项求导的问题 时，我们一般考虑解析函数项级数；
也就是 f(k)(z) fn(k)(z),(k1,2,3,...) n1
南开大学 魏雅薇
幂级数
1 幂级数的概念 2 幂级数的敛散性 3 幂级数的性质
级数 n 收敛, 由正项级数收敛的比较判别法,
n1
知 a n 和 b n 收敛. 从而 a n 和 b n 绝对
n1
n1
n1
n1
收敛, 故收敛. 因此级数 n 收敛.
n1
n
n
因为 k k , 所以
k 1
k 1
n
n
k 1 kln i m k 1 kln i m k 1
南开大学 魏雅薇
对于
zK n1
(z
fn (z) z0)k
1
一致收敛于
(
z
f
(z z0
) )
k
1
。
由逐项可积定理， 我们有
k!
2i
K (z f( zz 0) )k 1 d zn 12 k!i
K (z fn z (0 z ) )k 1 d z,
n 1
为复变函数项级数. S n ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
4复变函数幂级数
两个实数项级数的收敛问题.
性质 级数
收敛
n
的必要条件:
lim
n
n
0.
n1
定理3
若
n
收
敛
收
n
敛
，
且
n
n .
n1
n1
n1
n1
证明 n an ibn
an an2 bn2 ,
an2 bn2
由比较判定法
an和 bn均 绝 对 收 敛 ，
在
，
称
级
数(1)发
散
。
15 August 2019 © 2009, Henan Polytechnic University
1414
第四章幂级数
若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数 s(z) f1(z) f2(z) fn(z)＋ ---级数(1)的和函数
特殊情况，在级数(1)中 fn (z) cn (z z0 )n 得
un
0, 则 n1
(-1) n
un收 敛.
(阿
贝
尔)若
数
列un单
调
有
界
，
且
级
数
n1
v
收
n
敛,
则
n1
unvn收
敛
；
（
狄
力
克
雷
）
若
数
列un单
调
递
减
，
且lim n
复变函数-第4章
n →∞ ∞ 则称函数序列{ f n ( z )}n =1 在G上逐点收敛到函数 f(z), f(z)称为 ∞
{ f n ( z )}∞=1 在G上的极限函数. 相应地, 若级数 ∑ f j ( z ) 的部分 n
∞
和函数序列在G上逐点收敛到 f(z), 则称级数 ∑ f j ( z ) 收敛于
∞
n =1
求导运算和无穷和运算可交换
∞
返回泰勒级数
定理 (实函数项级数逐项求导) 设实级数 ∑ f n ( x) 的各项在 区间[a, b]上都有连续的导数,
∑
n =1
∞
∑f
n =1
∞
n
( x) 在[a, b]上逐点收敛且
n =1
⎞ ∞ d f n′( x) 在[a, b]上一致收敛, 则 d ⎛ ∞ f n ( x). ⎜ ∑ f n ( x) ⎟ = ∑ dx ⎝ n =1 ⎠ n =1 dx
∑c
j =0
∞
j
绝对收敛. 正项级数
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛. 由比较判别法可知, 绝对收敛
收敛
绝对收敛级数的两个重要性质:
(1) 一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序, 亦绝对收敛, 且和不变. (2) 两个绝对收敛的复级数
∞
∑c
j =0
∞
j
= S , ∑ c′j = S ′ 按对角线
∞
(3i ) j 由比式判别法知 ∑ 收敛. j! j =0
注意: 若 lim j →∞
j →∞
c j +1 cj
= L = 1, 或 lim j | c j | = L = 1,
复变函数第四章
使级数对一 切Mzn∈收E敛,有,则|f复n(z函)|≤数M项n (级n=数1,2,…fn)(,z而)在且点正集项E上
n1
绝对收敛且一致收敛.
n1
这样的正项级数
M
称为函数项级数
n
fn
(z)
的优级数.
n 1
n1
定理4.6 设级数 fn(z)的各项在点集E上连续,并
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
且一致收敛于f(z)n,则1 和函数 f (z) fn(z)也在E
上连续.
n1
定理4.7 设级数 fn(z)的各项在曲线C上连续,并 n1
且在C上一致收敛于f(z),则沿C可以逐项积分:
C f (z)dz C fn(z)dz n1
定义4.5 设函数fn(z)(n=1,2,…)定义于区域D内,若 级数(4.2)在D内任一有界闭集上一致收敛,则称此 级数在D内内闭一致收敛.
由定理4.7得 c f (z)dz c fn (z)dz 0 n1
于是，由摩勒拉定理知，f(z)在 K 内解析，即
在 z0 D 解析。由于 z0 D 的任意性，
故f(z)在区域 D 内解析。
(2)设z0的某邻域U的边界圆K也在D内，对于z K ,
n1
(z
fn(z) 一致收敛于
f(z),对于E上的每一点z,级数(4.2)均收敛于f(z),则称
f(z)为级数(4.2)的和函数,记为: f (z) fn(z) n1
定义4.4 对于级数(4.2),如果在点集E上有一个函数
f(z),使对任给的ε>0,存在正整数N=N(ε),当n>N时,对
一致切收的 敛于z∈f(Ez均)，有记|作f(z:)-sn(z)|<fεn ,则zz称E 级f z数 (4.，2)在E上其一
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第四章解析函数的幂级数表示法
§1、复级数的基本性质
1、(定理4、1)复级数收敛的充要条件:实部虚部分别收敛。
2、(定理4、2)复级数收敛的充要条件(用定义):对任给的>0,存在正整数N(),当n>N
且p为任何正整数时,
注1:收敛级数通项必趋近于零;
注2:收敛级数各项必有界;
注3:级数省略有限个项不改变敛散性。
3、(定理
4、3)收敛
4、(定理4、4)
(1)绝对收敛的复级数可任意重排,不改变收敛性,不改变与;
(2)两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积(柯西积)级数,也绝对收敛于。
5、一致收敛的定义:对任给的>0以及给定的,存在正整数N=N(,z),当n>N时,有
式中
6、不一致收敛的定义
7、(定理4、5 柯西一致收敛准则):级数收敛的充要条件就是:任给>0,存在正整数N=N(),使当n>N时,对一切,均有
8、(定理4、5’不一致收敛准则):
9、(优级数准则):如果有正数列,使对一切,有|)|≤,且正项级数
收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。
10、优级数定义:称为的优级数。
11、(定理4、6)级数各项在点集E上连续,且一致收敛于f(z),则与函数
也在E上连续。
12、(定理4、7 积分求与符号可交换)级数的各项在曲线C上连续,且一致收敛于f(z),则沿C可逐项积分
13、内闭一致收敛:有界闭集上一致收敛
14、(定理4、8)在圆K:|z-a|<R内闭一致收敛的充要条件:
对任意正整数,只要<R,级数在闭圆上一致收敛。
15、(定理4、9 魏尔斯特拉斯定理):设(1)函数在区域D内解
析;(2)在D内内闭一致收敛于函数f(z):
则:
(1)f(z)在D内解析;
(2)
(3)在D内内闭一致收敛于
§2、幂级数
1、(定理4、10 阿贝尔定理):幂级数在某点(≠a)收敛它必在
圆K:|z-a|<|-a|(以a为圆心,圆周通过的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛。
2、(推论4、11):幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心,圆周通过的圆周外发散。
3、收敛半径:圆周内部绝对收敛,圆周外部发散。
4、(定理4、12 收敛半径R的求法柯西-阿达马公式):(不能缺项)如果幂级数
的系数满足:
或
或
则幂级数的收敛半径:
注:上极限:收敛子数列的极限值的上确界值。
5、例4、5:(4)(缺项幂级数)
6、(定理4、13):
(1)幂级数
的与函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤)内解析;
(2)在K内,幂级数可逐项求导至任意阶,且收敛半径相同;
(3)(p=0,1,2,…),即
§3、解析函数的泰勒展开式
1、(定理4、14 泰勒定理):设f(z)在区域D内解析,a D,只要圆K:|z-a|<R含于D,则f(z)在K内能展成幂级数
其中系数
(:|-a|=,0<)
2、(定理4、15)函数f(z)在区域D内解析的充要条件:D内任一点a的邻域内可展开成z-a的幂级数,即泰勒级数
3、柯西不等式:泰勒系数满足:(0<<R)。
4、(定理4、16):幂级数收敛半径R>0,且在收敛圆周C:|z-a|<R上至少有一奇点(不可能处处解析)
注:找收敛半径=找最近奇点
5、一些初等函数的泰勒展式:
(1)
(2)cosz
(3)sinz
(4)多值函数
(5)
例题:
(1)将在z=0展成泰勒级数
(2)求的展式
§4、解析函数零点的孤立性及唯一性定理
1、m阶零点定义:…,,m=1称为单零点。
注:泰勒展开第一项即为m阶导
2、(定理4、17):不恒为零的解析函数f(z)以a为m阶零点的充要条件为:
在a的邻域内解析,且≠0
3、(定理
4、18):不恒为零的解析函数的零点必就是孤立的
4、(推论4、19):设
(1)函数f(z)在邻域K:|z-a|<R内解析;
(2)K内有f(z)的一列零点{}(≠a)收敛于a,
f(z)在K内必恒为零
5、(定理4、20 唯一性定理):
(1)函数在区域D内解析;
(2)D内有一个收敛于的点列{}(≠a),其上等值
在D内恒等
6、(推论4、21)设在区域内解析的函数在D内的某一子区域(或一小段弧)上相等
在D内恒等
7、(推论4、22)一切在实轴上成立的恒等式,只要等式两边在z平面上都就是解析的
等式在z平面上也成立
8、(定理4、23 最大模原理等价于最小模原理):函数f(z)在D内解析|f(z)|在D内任何点都不能达到最大值,除非在D内f(z)恒等于常数
9、(推论4、24):设:(1)f(z)在有界区域D内解析,在闭域上连续;
(2)
则除f(z)为常数的情形外,
即:最大值一定在边界上取到,除非就是常值函数。