西南大学《离散数学》网上作业题及答案

[0004]《离散数学》网上作业题答案

第1次作业

[论述题]第1次作业

一、填空题

1. 设|A | = 5, |B | = 2, 则可定义A 到B 的函数( )个，其中有( )单射，( )个满射.

2. 令G (x ): x 是金子，F (x ): x 是闪光的，则命题“金子都是闪光的，但闪光的未必是金子”符号化为( ).

3. 设X 是非空集合，则X 的幂集P (X )关于集合的⋃运算的单位元是( )，零元是( )，P (X )关于集合的⋂运算的单位元是( ).

4. 6阶非Abel 群的2阶子群共有( )个，3阶子群共有( )个，4阶子群共有( )个.

5. 对于n 阶完全无向图K n , 当n 为( )时是Euler 图，当n ≥ ( )时是Hamilton 图，当n ( )时是平面图.

二、单选题

1. 幂集P (P (P (∅))) 为( )

(A){{∅}, {∅, {∅}}}. (B){∅, {∅, {∅}}, {∅}}. (C){ ∅, {∅, {∅}}, {{∅}}, {∅}} (D){ ∅, {∅, {∅}}}. 2. 设R 是集合A 上的偏序关系，则1

-⋃R R 是( ).

(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上答案都不对 3. 下列( )组命题公式是不等值的.

(A))(B A →⌝与B A ⌝∧. (B) )(B A ↔⌝与)()(B A B A ∧⌝∨⌝∧. (C))(C B A ∨→与C B A →⌝∧)(. (D))(C B A ∨→与)(C B A ∨∧⌝. 4.下列代数结构(G , *)中，( )是群.

(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.

(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法. 5.4阶完全无向图4K 中含3条边的不同构的生成子图有 (A)3 (B)4 (C)5 (D)2

三、设A 和B 是集合，使B B A =-成立的充要条件是什么，并给出理由. 四、设R 和S 是集合A 上的对称关系，证明S R 对称的充要条件是R S S R =. 五、分别利用(1)等值演算法和(2)真值表求命题公式

))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=

的主析取范式和主合取范式.

六、设G 是(n , m )无向图，若n m ≥，证明G 中必存在圈.

参考答案：第1次作业答案

一、1. 32，0，30.

2.))()(())()((x G x F x x F x G x ⌝∧∃∧→∀.

3.∅，X ，X .

4. 3，1，0.

5.n 为奇数，3，4≤n .

二、1(C); 2(B); 3(D); 4(D); 5(A). 三、证 ==⇔=-B A B B A ∅. (⇐)显然.

(⇒)因为B A B A ⋂=-，根据B B A =-得B B B B A ⋂=⋂⋂)(，于是B = ∅，进而A = ∅.

四、解 由于R 和S 是对称的，所以S S R R

==--11

,.

(⇐)因为R S S R =，两边取逆得11

)()

(--=R S S R ，而

S R S R R S ==---111)(.

所以S R S R =-1

)

(，因此S R 是对称关系.

(⇒)由于S R 对称，所以S R S R =-1

)

(. 而R S R S S R ==---111)(，因而

R S S R =.

五、解 (1)等值演算法 A 的主合取范式:

))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=

= ))(())((r q p p q r ∨∨⌝→∨⌝∨⌝ = )())((r q p p q r ∨∨⌝∨∨⌝∨⌝⌝

= )()(r q p p q r ∨∨⌝∨⌝∧∧ = r q p ∨∨⌝(由吸收律得到). 于是，A 的主析取范式为

))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=

= ∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝)()()()(r q p r q p r q p r q p

)()()(r q p r q p r q p ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧.

(2)真值表法

命题公式))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的真值表如下:

由表可知，))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的主合取范式为

r q p A ∨∨⌝=.

A 的主析取范式为

A = ∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝)()()()(r q p r q p r q p r q p

)()()(r q p r q p r q p ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧.

七、证(反证)假设G 中不含圈. 设G 有k (k ≥ 1)个连通分支k G G G ,...,,21，其节点个数分别为k n n n ,...,,21，其边数分别为k m m m ,...,,21. 这时，i G 为树，根据树的基本性质有

1-=i i n m )1(k i i ≤≤. 进而n k n n m m k

i i k i i <-=-==∑∑==)1(1

1

，与已知n m ≥矛盾. 证

毕.

第2次作业

[论述题]第2次作业

一、填空题

1.设A = {2, {3}, 4, a }, B = {1, 3, 4, {a }}, 则{3}( )A ，{a }( )B ，{{a }}( )B .

2. 设A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(1, 2), (3, 4), (2, 2)}, S = {(4, 2), (2, 5), (3, 1), (1, 3)}, 则=S R { }, =R S { },

=R R { }.

3. 在同构意义下，3阶群有( )个，4阶群有( )个，5阶群有( )个.

4.任意有限布尔代数)1,0,,,,(⋅+B 均与集合代数( )同构，其元素个数为( ), 其中( )是B 的所有原子组成的集合.

5. 不同构的5阶无向树有( )棵，不同构的5阶根树有( )棵.

二、单选题

1. 在有理数集合Q 上定义运算“*”如下：对于任意x , y ∈ Q ，y x * = x + y – xy ，则Q 关于*的单位元是( ).

(A)x . (B)y . (C)1. (D)0.

2. 设A = {1, 2, 3}, 下图分别给出了A 上的两个关系R 和S ，则S R 是( )关系.

(A)自反. (B)对称. (C)传递. (D)等价.

3.令T (x ): x 是火车，B (x ): x 是汽车，F (x , y ): x 比y 快，则“某些汽车比所有的火车慢”符号化为( ).

(A)()()),()()(y x H x T x y B y →∀∧∃. (B)()()),()()(y x H x T x y B y ∧∀→∃. (C)()()),()()(y x H x T y B y x ∧→∃∀.

G S

G R