线性系统理论考点汇总

合集下载

总复习(信号与线性系统必过知识点)

总复习(信号与线性系统必过知识点)
目录
• 信号与系统基本概念 • 线性时不变系统 • 信号的变换 • 系统的变换 • 信号与系统的应用
01 信号与系统基本概念
信号的描述与分类
信号的描述
信号是信息的载体，可以通过时间或空间的变化来传递信息。信号的描述包括信号的幅度、频率、相位等特征。
信号的分类
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的定义
将一个信号从时域转换到复频域的过程，通过将信号表示为无穷积分的形式来实现。
拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯变换的应用
在控制系统分析、电路分析等领域有广泛应用，如系统稳定性分析、传递函数求解等。
包括线性性、时移性、复频域平移性、收敛性等。
Z变换
Z变换的定义
01
将一个序列信号从时域转换到复平面的过程，通过将信号表示
因果性
线性时不变系统的输出仅与当前和过去的输入有关，而与未来的输入无关。
稳定性
如果系统对所有非零输入信号的响应最终都趋于零，则称该
系统是稳定的。
线性时不变系统的分析方法
01
02
03
频域分析法
通过傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，然后分析系统的频率响应。
时域分析法
通过求解差分方程或常微分方程来分析系统的动态行为。
系统分析方法
系统分析是对系统进行建模、分析和综合的方法。常用的系统分析方法包括传递函数分析、状态方程分析、根轨迹分析等。
02 线性时不变系统
线性时不变系统的性质
线性性
线性时不变系统对输入信号的响应与输入信号的强度无关，
只与输入信号的形状有关。
时不变性
线性时不变系统的特性不随时间变化，即系统对输入信号的响应不会因为时间的推移而改变。

线性系统理论第一章

第一章线性定常系统的状态空间描述及运动分析1.1 线性定常系统的传递函数描述传递函数描述局部的,有局限性的描述传递函数描述的是系统的输入--输出关系,即假定对系统结构的内部信息一无所知,只能得到系统的输入信息和输出信息,系统内部结构就像一个"黑箱"一样,因此,传递函数只能刻画系统的输入--输出特性,它被称为系统的输入--输出描述和外部描述.常用的数学工具:拉普拉斯变换主要适用于描述线性定常系统1.单变量情形回顾已知由下列常系数微分方程描述的定常系统其中 : 系统的输出 ; :系统的输入; : 时间; 均为常数 ,(希望input少,收益大)假定所有初始值(包括导数的值)全为0,对上式两边取拉普拉斯变换,得到其中为的拉普拉斯变换,则下式称为系统的传递函数 :传递函数为的真有理分式,则称系统为物理能实现的. 单输入--单输出系统的传递函数必为真有理分式.系统的特征多项式: 多项式系统的特征方程 : 代数方程系统的极点 : 特征方程的根或者说特征方程的零点系统的零点 : 多项式的零点传递函数的零点和极点 : 零极相消后剩下的系统的零点和极点 (若系统有相同的零点和极点,则称系统有零极点相消)2.传递函数矩阵考察多输入--多输出的线性定常系统.令输入变量组 : {} , 输出变量组 : {} 且假定系统的初始变量为 0 .用和分别表示和的拉普拉斯变换, 表示系统的由第个输入端到第个输出端的传递函数,其中则由系统的线性属性(即满足叠加原理) 可以导出:称由上式所定义的为系统的传递函数矩阵. 容易看出, 为的一个有理分式矩阵. 当的元传递函数除严格真还包含真有理分式时,即它的一个或一些元传递函数中分母和分子多项式具有相等的最高幂次时,称为真有理分式矩阵.通常,当且仅当为真的或严格真的时,它才是物理上可实现的.作为一个判别准则,当且仅当零阵时, 为严格真的;非零常阵传递函数矩阵为真的.1.2 线性定常系统的状态空间描述1. 状态和状态空间定义1.1 动力学系统的状态定义为完全的表征系统时间域行为的一个最小内部变量组.组成这个变量组的变量称为系统的状态变量,其中为初始时刻由初始变量构成的列向量称为系统的状态向量,简称为状态.状态空间则定义为状态向量取值的一个向量空间.几点解释:1. 状态向量组可完全的表征系统行为的属性.2. 状态变量组的最小性.3. 状态变量组在数学上的特征.4. 状态变量组包含了系统的物理特征.5. 状态变量组选取上的不唯一性定理1.1 系统任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异的关系2.动态系统的状态空间描述和输入--输出描述不同,状态空间描述中把系统动态过程的描述考虑为一个更加细致的过程,输入引起系统状态的变化,而状态和输入则决定了输出的变化."输入"引起"状态"的变化 ( 一个运动的过程)数学上必须采用微分方程或差分方程来表征并且称这个数学方程为系统的状态方程考虑最为一般的连续动态过程: (一个一阶非线性时变微分方程组)进而,在引入向量表示的基础上,还可将状态方程简洁的表示为向量方程的形式:其中"状态"和"输入"决定"输出"的变化 (一个变量见的转换过程)描述这种转换过程的数学表达式为变换方程,并且称之为系统的输出方程或量测方程.最一般的,一个连续的动力学系统的输出方程具有以下形式:表示为向量方程的形式为其中系统的状态空间描述由状态方程和输出方程组成.离散动态过程(离散系统)的状态空间的描述: 只在离散时刻取值,用来表示其状态空间过程描述只反映离散时刻的变量组间的因果关系和转换关系.通常,可采用两条可能的途径来组成系统的状态空间描述:一是分析途径,适用于结构和参数已知的系统;二是辨识的途径,适用于结构和参数难于搞清楚的系统.3.线性定常系统的状态空间描述限于考虑线性定常系统的连续动态过程,此时,向量函数将都具有线性的关系,且不显含时间 .从而线性定常系统的状态空间描述的表达式为其中维状态向量维控制输入向量维输出向量系统矩阵输入矩阵输出矩阵前馈矩阵以上统称为系统的系数矩阵,均为实常阵.线性定常系统也叫做线性时不变系统(linear time-invariant L TI),完全由系数矩阵决定.简记为.对于线性定常系统,我们分别称系统矩阵的特征值,特征向量,若尔当标准型,特征方程,特征多项式为系统的特征值,特征向量,若尔当标准型,特征方程,特征多项式,系统的特征值也称作系统的极点.若,则此系统为单输入线性定常系统;若,此系统为单输出线性定常系统;若,此系统为单输入--单输出系统,或单变量系统.考虑线性定常离散系统的状态空间描述,其一般形式为其中维状态向量维控制输入向量维输出向量阶实常系数矩阵简记为1.3 输入输出描述导出状态空间描述------------- 系统的实现问题(第五章详解)考虑单输入--单输出线性定常系统.表征此系统动态过程的输入-输出描述,时域为或等价的频域描述即传递函数其中和分别表示和的拉普拉斯变换对于由上式描述的系统,可以引进状态变量 ,将其写成状态空间描述形式,其中为维状态变量分别为的常矩阵由"上"写成"下",称为实现问题,实现不具有唯一性1. 当时,有如下结论:定理1.2 给定单输入--单输出线性定常系统的输入输出描述如"上",当时,其对应的一个状态空间描述为:2. 当时,已知"上"求其状态空间描述.先求极限然后令为严格真,直接按的形式写出即可.3. 当时, 此时输入输出关系为此时状态空间描述形式为:1.4 由状态空间描述导出的传递函数矩阵对于多输入--多输出线性定常系统,传递函数矩阵是表征系统输入输出特性的最基本的形式.1. 传递函数矩阵的表示的基本表达式定理1.3 对应于状态空间描述的传递函数矩阵为并且 ,当时, 为真的 , 时, 为严格真的,且有2.的实用关系式有给出的关系式在理论分析上很重要,但从计算的角度而言不方便,下面给出由计算的两个实用算式.定理1.4 给定状态空间描述的系数矩阵 , 求出则相应的传递函数矩阵可表示为注: 的根 : 系统的极点 ; 分子的根 : 系统的零点推论1.1 若的最小多项式为则系统的传递函数矩阵可表示为2. 脉冲响应矩阵和状态空间描述定理1.11 线性定常系统其中的实常阵的脉冲响应矩阵为将其写作更为常用的形式定理1.12 两个代数等价的线性定常系统具有相同的脉冲响应矩阵.定理1.13 两个代数等价的线性定常系统具有相同的输出零状态响应和输出零输入响应.3. 脉冲响应矩阵和传递函数矩阵定理1.14 分别表示线性定常系统的脉冲响应矩阵和传递函数矩阵,则有推论1.2 给定两个线性定常系统 ,设两者都具有相同的输入和输出维数,状态维数不一定相同,则两系统具有相同的脉冲响应矩阵(即相同的传递函数矩阵)的充要条件为1.8 线性定常离散系统的运动分析归结为对定常的线性差分方程进行求解.1. 线性定常离散系统的运动规律对于上述系统,其状态运动的表达式为或2. 脉冲传递函数矩阵取初始状态 , 则可得到系统的输入输出关系式为其中为线性定常离散系统的传递函数矩阵, 按习惯称为脉冲传递函数矩阵.G(z) 为 z 的有理分式矩阵,通常只讨论其为真的或严格真的情况,此时 G(z) 为物理可实现的. 1.9 线性定常系统的时间离散化1. 问题的提出把连续时间系统化为等价的离散时间系统的问题. (课本P22 或百度文库)2.线性定常系统按采样周期T的离散化线性定常系统引入三点基本假设,以保证系统离散化后的描述简单,且是可复原的1. 采样器的采样方式取为以常数 T 为周期的等间隔采样. 采样瞬时为2. 保持器为零阶的.3. 采样周期的值要满足香农(Shannon)采样定理所给出的条件香农定理:离散信号可以完满地复原为原来的连续信号的条件为采样频率满足.考虑到 , 故上式可化为定理1.15 上述系统的时间离散化模型为其中注 :定理1.15提供了线性定常连续系统时间离散化的算法, 离散化系统仍为定常系统.不管A是否奇异,离散化后系统矩阵G一定是非奇异的.。

线性系统理论总结ppt

线性系统理论总结ppt
一、线性系统简介
1.线性系统定义：
线性系统是指用线性微分方程、线性积分方程和线性算子（算子运算）来表示、描述和分析的一个系统。

这种系统的输入输出之间的关系可以表
示为线性函数的形式。

2.线性系统的实例：
线性系统的例子包括信号处理、控制系统、数字图像处理、模式识别
等等。

线性系统的应用也很广泛，可以应用在机器人、汽车、航空、通信、医疗和金融等行业中。

二、线性系统的演示
1.系统模型：
线性系统通常用状态空间模型来描述，该模型由一组线性微分方程以
及输入、输出和内部状态变量组成。

该模型的工作原理是：系统的输入到
达模型的输入，系统的内部状态变量发生改变，然后将内部状态变量产生
的输出发送到系统的输出端。

2.系统特性：
线性系统具有许多特性，包括平衡点、平稳性、稳定性、反馈和动力
学建模等等。

这些特性是线性系统能够更好地实现高效操作和有效控制的
基础。

三、线性系统的分析
1.状态变量分析：
状态变量是描述系统当前状态的量，它们通过系统的状态转移方程的变化反映系统的行为。

状态变量的分析包括：求出状态变量的收敛状态，判断系统的稳。

信号与线性系统知识点总复习

信号与线性系统知识点总复习1.信号的基本概念信号是电子信息工程中的重要概念，简单来说就是随时间（或空间）变化的物理现象。

信号可以分为连续信号和离散信号两种。

连续信号可以用函数表示，离散信号可以用数列表示。

2.常见信号的分类常见的信号类型包括连续时间信号、离散时间信号、周期信号、非周期信号、奇函数信号、偶函数信号等。

不同类型的信号在数学表示和性质上有所差异。

3.连续时间信号的基本性质连续时间信号可以通过振幅、频率、相位等参数来描述。

它们具有线性性质、时移性、尺度变换性质和时间反转性质。

这些性质对于信号的分析和处理都是重要的基础。

4.离散时间信号的基本性质离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，通常用数列表示。

离散时间信号具有线性性质、时移性、尺度变换性质和时间反转性质。

此外，离散时间信号还有抽样定理、离散时间傅立叶变换等重要概念。

5.线性系统的基本概念线性系统是输入和输出之间存在线性关系的系统，可以用线性常微分方程或差分方程表示。

线性系统具有叠加原理、时不变性、因果性等基本特性。

线性系统的频率响应是分析系统特性的重要工具。

6.线性时不变系统的冲激响应冲激响应是线性时不变系统的重要性质，它描述了系统对单位冲激输入的响应。

从冲激响应可以得到系统的频率响应、相位响应等信息。

7.线性时不变系统的频率响应频率响应描述了线性时不变系统对不同频率的输入信号的响应特性。

它可以通过线性时不变系统的冲激响应来计算，常用的方法有离散时间傅立叶变换、连续时间傅立叶变换、z变换等。

8.线性系统的稳定性分析稳定性是线性系统分析中的重要性质。

对于连续时间系统，稳定性可以通过系统的传递函数的极点位置来判断。

对于离散时间系统，稳定性可以通过系统的差分方程的极点位置来判断。

9.线性系统的频域分析频域分析是信号与系统分析中的重要方法，可以通过傅立叶变换、拉普拉斯变换和z变换等来将信号从时域转换到频域。

频域分析可以得到信号的频谱特性、频率响应等信息。

线性系统理论讲义

对于线性系统
X A(t)X B(t)u Y C(t)X D(t)u
1/2,12/50
时变系统和时不变系统
若向量f,g不显含时间变量t,即
f
g
f (x, u) g(x, u)
该系统称为时不变系统
若向量f,g显含时间变量t,即
f
g
f (x, u, t) g(x, u, t)
该系统称为时变系统
x t ,K , x t 为坐
1
n
标轴构成的 n 维空间。
(5)状态方程：描述系统状态与输入之间关系
的、一阶微分方程（组）：x&(t) Ax(t) Bu(t)
(6) 输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关
系的数学表达式： y(t) Cx(t) Du(t)
(7)状态空间表达式： (5)+ (6). 状态变量的特点： (1)独立性：状态变量之间线性独立. (2)多样性：状态变量的选取并不唯一，实
4/18,17/50
写成矩阵形式： x1
x2
0
0
xn1 xn
0
a0
1 0 0 1
0 0 a1 a2
0 0
x1 x2
0 0
1 an
1
xn1
xn
u 0 1
y b0 a0bn
b1 a1bn
bn2 an2bn
x1
x2
bn1 an1bn bnu
5/18,18/50
结论2 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空
uc
R2C
duc dt
R1iL
R1C
duc dt
L diL dt
L diL dt

燕大线性系统考试总结

基本形式
x(t ) e At x0 e A( t ) Bu ( )d , t 0
0
t
x(t ) e A( t t0 ) x0 e A( t ) Bu ( )d , t t0 ZTZY矩e At (t )
t0
t
1
& Ax Bu, x(t 0 ) x0 , t t0 12、连续时不变系统： x & 状态转移矩阵方程 (t t0 ) A (t t0 ), (0) I &(t ) A (t ), (t ) H 基本解阵：（任意非奇异）t t0 ； (t ) e , t t0 0
[( sI A )1 ]
1
k , k kP 1 ，P 为能控规
（
D( s) R( s) ； gcrd 最大右公因子；右互质：称列数相同的两个多项式矩阵 N (s) 0
D( s )和N ( s) 右互质，如果其最大右公因子为单模阵；右互质秩判据：对列数相同的
全能控，能控分状态为 2 维。选取线性无关状态组成非奇异变换阵 Q，选取 Qc 中线性无关的两列 q1 [0 1 0]' 和q2 = [ 1 0 1] ' ，另取q3 = [ 1 0 0] '，最后通过计算得到
A Q 1 AQ, B Q 1B, c cQ
对于能观， rankQo rank[C , CA...CA
n 1 T
] m n ，Q 选取线性无关行向量组成
19、衰减系数：对渐进稳定的连续时间线性时不变自治系统，用以表征自由运动衰减性
& 能的衰减系数定义为一个正实数： V ( x) / V ( x)

第一章线性系统分析知识点总结-2015.04.23

3
2 1
0
1
2
3
x
利用坐标缩放性质，可以把间隔为x0的等间距脉冲序列表示为
1 ( x nx0 ) x0 n

x 1 x ( n) comb( ) x0 x0 x0 n

梳状函数与普通函数的乘积是
f ( x)
n
( x nx ) f (nx
曲面下的体积为ab
2 2 x y x y Gaus( , ) e xp a b a b
x Gaus( ) a
曲面下的体积为ab 极坐标下
Gaus( r ) e xp r 2
一维 sinc函数的定义为
式中a>0,函数在x=x0处有最大值1。零点位于 x x0 na(n 1,2...) 对于x0=0,该函数在原点处有最大值1. 两个第一级零值之间的宽
度为2a,函数图像如图所示。
x si nc( ) a
2a
3 a
a
a
2a
3a
x
二维 sinc函数的定义为
f ( x x1 ) h( x x2 )
令 x1

f ( x1 ) h( x x2 ) d f ( ) h( x x1 x2 ) d

g( x x1 x2 )
5、函数f(x,y)与函数的卷积
F ( , )用模和幅角表示如下
j( ,) F ( ,) F ( ,) exp
F ( , )
振幅谱相位谱
2
( , )
F ( , )

线性系统理论复习提纲

线性系统理论复习提纲闭卷部分内容：（40分）题型：判断改错、填空、简答（证明，传递函数、特征值等计算）1、第一章P4：什么是线性系统？（，要求会证明）例子：是否线性系统？什么是定常系统？（参数不随时间变化）例子：和那个是定常系统？2、第二章P17：动态系统的内部和外部描述（外部——输入输出描述，内部——基于内部结构分析的数学模型）。

例子：传递函数是线性定常系统的外部描述模型还是内部描述模型？第2.5和2.6节：给定矩阵A，求特征多项式、特征值；转换为约当标准形。

例子：（特征值互异时）试求系统矩阵A的特征多项式、特征值，并转换为约当标准形。

例子：（存在重特征值时）试求系统矩阵A的特征多项式、特征值，并转换为约当标准形。

第2.7节：已知系统的状态空间描述（A，B，C，D），写出其传递函数表达式。

例子：试求系统的传递函数矩阵。

第2.8节：两个线性定常系统代数等价是什么意思？线性系统在坐标变换下，哪些量发生变化，哪些不变？例子：若，，，系统和是否代数等价？例子：坐标变换是否改变系统的传递函数？3、第三章第3.1节：已知系统的状态空间描述为（A，B，C，D），写出其状态响应和输出响应表达式，并指出哪部分是零输入响应，哪部分是零初态响应。

第3.2节：特征值与状态响应模式的关系（P101 中间（1））。

例子：系统的运动模式是否存在振荡？第3.4节：给定（A, B, C, D），求其脉冲响应矩阵。

4、第四章第4.1节：简述状态和系统能控性的定义，并简单解释其物理意义。

第4.1节：简述状态和系统能观测性的定义，并简单解释其物理意义。

第4.2、4.3节：能控性和能观测性判别矩阵的形式（秩判据）。

例子：试判断系统是否完全能控、是否完全能观测。

第4.7节：能控和能观测规范形。

例子：判断对错并改正：完全能控的任意两个代数等价系统必具有相同的能控规范形。

完全能观测的任意两个代数等价系统必具有相同的能观测规范形。

5、第五章第5.1节：内部和外部稳定性的定义及其相互关系。

线性系统理论全

稳定性判据与判定方法
稳定性判据
在控制工程中，常用的稳定性判据有Routh判据、Nyquist判据、 Bode判据等。这些判据通过分析系统的特征方程或频率响应来判断系统的稳定性。
判定方法
除了使用稳定性判据外，还可以通过时域仿真、频域分析、根轨迹法等方法来判定系统的稳定性。这些方法各有优缺点，适用于不同类型的线性系统和不同的问题背景。
100%
线性偏差分方程
处理离散空间和时间的问题，如数字滤波器和图像处理等。
80%
初始条件与边界条件
在差分方程中，初始条件确定系统的起始状态。
状态空间模型
状态变量与状态方程
表示系统内部状态的变化规律，揭示系统动态特性。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入的关系，反映系统对外部激励的响应。
状态空间表达式的建立
复频域分析法
拉普拉斯变换
将时域信号转换为复频域信号，便于分析系统的稳定性和动态性能。
系统函数
描述Байду номын сангаас统传递函数的复频域表示，反映系统的固有特性和对输入信号的响应能力。
极点、零点与稳定性
通过分析系统函数的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性以及动态性能。
04
线性系统稳定性分析
BIBO稳定性
01
线性系统理论全
目
CONTENCT
录
• 线性系统基本概念 • 线性系统数学模型 • 线性系统分析方法 • 线性系统稳定性分析 • 线性系统能控性与能观性分析 • 线性系统优化与综合设计
01
线性系统基本概念
线性系统定义与性质
线性系统定义
满足叠加性与均匀性的系统。
线性系统性质

线性系统理论汇总

非线性序
序列中存在分支、闭合环路或者其他复杂情形。
当实际问题被表示为数学形式，特别是解析形式时，线性与非线性的区别显而易见，只包含变量的一次项是线性特性，企业的均为非线性特性。而没有给出数学表达式的实际现象往往可以通过直观的判断。
能够用线性数学模型描述的系统
称为线性系统。
所具有线性基本特性：
一对多
变量之间的关系
多对多多对一
一对一•
变量之间最简单最基本的对应关系
函数
线性函数
因变量和自变量成比例的变化，即变化过程中二者的比值不变，称为线性函数
非线性函数
因变量和自变量之间的变化过程中二者的比值变化
最简单的一元线性函数的一般形式为: y=ax+b
a:代表因变量与自变量的不同比率线性静态系统 b: 线性函数的截距
截距
有实际意义，函数形式为y=ax+b
没有实际意义，则 x1=x+ b/a
y=ax1
简单的变量关系用一元函数表示
较为复杂的变量关系须用多元函数表示如，z=ax+by，函数所表示的图形就是3维空间中的一张平面。
函数仅仅是描述一个变量对另一个变量的依存关系，如果要表示多个变量之间的相互依存关系，则应该用以下的数学形式：
y
x
x
t
不稳定结点，如组织溃散、文化感弱的团队会越来越难以形成一个有机的有力整体。
y x
x t
稳定结点，如团队的建立，起初建立起来的团队是动荡不稳定的，但是最后有一个趋于稳定有效的过程。
y x
y x
两张图分别表示稳定焦点和不稳定焦点，举例来说就如企业团队在合作的过程中团队成员向团队核心人物靠拢或着远离团队领导人。

《线性系统理论基础》复习提纲

已知系统 x& = Ax + Bu, y = Cx + Du
1）求矩阵的互不相同的特征根 λi ,i = 1, 2,L, n ：即求特征多项式 λ I − A = 0 的根 2）求每个特征根 λi 对应的特征向量 vi ：即求解线性方程组
(λ iI − A)vi = 0
3）构造线性变换 x = Px 的矩阵 P ：即以特征向量 vi 为列向量构成矩阵
m
,将其转化为
⎡ x1 ⎤ ⎡ y ⎤
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
y(n) y=
+ an−1y(n−1) + " + a1y + bm y(m) + bm−1y(m−1) + "
a0 y = u + b1y + b0
y
，选取状态向量
⎢ ⎢ ⎢
x2 #
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢ ⎢ ⎢
y #
⎥ ⎥ ⎥
已知系统的状态方程 x& = Ax + Bu 、初始状态 x(0) 和输入控制量 u(t) ，求状态响应 x(t) ： 1）求状态转移矩阵 eAt
∫ 2）分别求系统的零输入响应 eAt x(0) 和零状态响应 t eA(t−τ )Bu(τ )dτ 0
3）系统的状态响应为
∫ x(t) = eAt x(0) + t eA(t−τ )Bu(τ )dτ 0
( A − λ i I ) pij3 = pij2 M
(A−λ
i I ) pikj j
=
pj i(k j −1)
（其中 k j 表示相应于特征向量 pij 的广义特征向量个数）
变换矩阵的构造如下：
à 对应于 λ i 的 βi 个约当块的分块矩阵为 Pi j = ⎡⎣ pi1j pij2 L

总复习信号与线性系统必过知识点

③ 结合律 f( t ) h 1 ( t ) h 2 ( t ) f( t ) [ h 1 ( t ) h 2 ( t )]
④ f(t)与冲激信号卷积
f (t)(t)f (t)
f(t)(tT)f(tT)
f(t t0 )(t T )f(t t0 T )
2.4 求零状态响应的一般步骤
a）求传输算子H(p)； b）求单位冲激响应h(t) ； c）计算卷积；
例2: 已F 知 (s)s(1 1es)，f求 (t)？
F(s)1(1ese2se3s ) s
f( t) ( t) ( t 1 ) ( t 2 ) ( t 3 )
f(t)(1)n(tn) n0
① 交换律 f1 (t)f2 (t)f2 (t)f1 (t)
f1()f2(t)d f2()f1(t)d
卷积结果与交换两函数的次序无关。
② 分配律 f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t ) f ] 1 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) f 3 ( t )
求：（1）激励e(t)=0，初始状态x1(0-)=1， x2(0-)=2时的响应 r3(t)=？（2）激励e(t)=2 ε(t)，初始状态为零时的响应r4(t)=？
解:
当激励e(t)= ε(t) ，初始状态x1(0-)=1， x2(0-)=2时，响应
r1(t)rz(it)rzs(t) =6e-2t -5e-3t
f(t)1 j F(s)esd t ,st0
2j j
4.2拉普拉斯变换的收敛域
lt i fm (t)e t 0 0 (R s) e 0 )(
4.3 拉普拉斯逆变换
利用部分分式法和性质。
i/ ssi,单阶 D（ (s0无 ) 重根）

线性系统理论复习

◆给定系统{A，B，C，D}，当A的特征值两两相异时，利用特征向量组成变换矩阵，可化为对角形；当A的特征值不是两两相异时，有时可以化为对角形，有时不能化成对角形，只能化为约当形。

◆对n维线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能控的充分必要条件是B中不包含零行向量。

◆线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持不变。

定义：称具有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统代数等价，当且仅当它们的系统矩阵之间满足状态空间描述坐标变换中给出的关系。

代数等价的系统的基本特征是具有相同的代数结构特性，如特征多项式、特征值、极点、稳定性、能控性、能观测性等。

◆对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则系统能控性指数μ＝n。

结论①时间离散化属性：时间离散化不改变系统的时变或时不变属性。

②离散化系统属性：不管系统矩阵A(t)或A是非奇异或奇异，其离散化系统的系统矩阵G(k)和G必为非奇异。

◆如果A的特征值互不相同，则系统（A、B、C）为能控且能观测的充分必要条件是：传递矩阵G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。

◆单输入、单输出系统（A、b、c）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消◆单输入、单输出系统（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若传递函数存在零、极点对消，则系统或是状态不能控或是状态不能观测的；若传递函数不存在零、极点对消，则系统是状态完全能控且完全能观测的。

◆对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令初始时刻t0=0,则系统BIBO 稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。

◆定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性。

◆李亚普诺夫意义下稳定只能保证系统受扰运动相对于平衡状态的有界性，不能保证系统受扰运动相对于平衡状态的渐进性。

线性系统理论(复习)

u
u1
x1
1
y1
x2
2
y2 y
y1 1 0 x1
R
S2： x2 x2 3u2
y2 2x2
+
e(t)
i
C - uc
e
uc
RC
duc dt
,
x 1 x 1 u, RC RC
yx
解：
1 2 0 1
.
x
A1 B2C1
0 A2
x
B1
B2
D1
u
0 3
3 0
0 x1 3 u 1 0
例线性定常系统的齐次状态方程为
x1 x2
0 2
1 x1
3
x2
求其状态转移矩阵 eAt
解
[sI
A]1
s 2
1
1
1 s 3
s 3
(s 1)(s
2)
2
1 s
s
2 1
s
1
2
2 s 1
s
2
2
s
1 1
s
1
2
1 s 1
s
2
2
于是
eAt L
1[sI
A]1
2et
x1
x2
[D1
D2
]u
G(s) G1(s) G2 (s)
：
p
x1 A1
xN
y C1
x1 B1
u
AN xN BN
CN
x1 x2
[D1
DN ]u
N
G(s) Gi (s) i 1
u1
例：求如下并联系统的状态空间描述 u
0 1 0

线性系统理论复习大纲

第一部分复习大纲1.什么是线性系统？线性系统一般怎样分类？2.状态空间的描述和输入输出描述的基本概念及其关系。

3.系统状态空间描述建模。

主要是指电路、力学装置、机电装置的状态空间描述数学模型。

4.状态方程的约当标准型及其性质。

5.传递函数矩阵概念。

传递函数矩阵与状态空间描述之间的关系（已知状态空间描述求传递函数矩阵和已知传递函数矩阵进行状态空间描述实现）。

6.线性坐标变换。

7.组合系统的状态空间描述，输入输出描述建模。

8.矩阵指数函数及其性质。

9.线性系统的运动求解，系统矩阵特征值，特征向量对运动的影响。

10.脉冲响应阵与传递函数阵的关系、卷积定理。

11.状态转移矩阵及其性质。

12.线性连续系统离散化及其性质、求解。

13.连续系统与离散系统的能控性、能达性、能观性、能测性及其判据。

14.能控性指数、能观性指数、对偶原理。

15.能控能观标准型及其结构分解，结构分解后各部分与输入输出描述，状态空间描述之间的关系，会对约当标准型进行结构分解并求传递函数。

16.线性系统内部稳定、BIBO稳定概念及其性质。

17.连续和离散系统的lyapunov稳定概念及其各种判别定理，会用lyapunov方法判断连续系统、离散系统的稳定性。

18.状态反馈、输入输出反馈性能比较。

19.极点配置及其算法。

20.镇定条件、镇定与极点配置的关系（算法不考，但对一个线性系统能进行是否能镇定条件判断）。

21.解耦控制形式、分类，各种解耦方法特点，系统能否解耦判断，会进行积分型解耦算法。

22.跟踪问题及其结构框图、内模原理（会建立跟踪问题的内模）、可跟踪条件。

23.各种线性二次型最优控制问题指标含义，掌握最优控制及其性能指标求法。

24.无限时间最优控制的稳定裕度，反馈增益可摄动范围及其物理意义。

25.状态观测器设计、分类及其特点，掌握全维和降维观测器设计方法。

26.状态观测器设计与状态反馈设计之间的关系问题。

第二部分复习大纲1.多项式、多项式矩阵的基本概念。