线性系统理论考点汇总

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系统运动的稳定性
考点 4.1. 渐进稳定： 对特征多项式det(sI − A)运用劳斯判据。 特 征 多 项 式 系 数 都 大 于0是 渐 进 稳 定 的的 必 要 条 件。 BIBO稳定： 传递函数的极点均具有负实部。 考点 4.2. 大范围渐进稳定。 步骤：1、V (x)c。 ˙ (x)负定。或V ˙ (x)半负定，系统状态方程的解 2、V 只有平衡状态(导数不恒为0)。 3、||x|| → ∞,V (x) → ∞ 考点 4.3. P A + AT P = Q，Q = −I 。 若P对称正定，则大范围渐进稳定。
线性系统理论考点汇总
笑猫
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线性系统的时间域理论
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线性系统的能控性和能观测性
考点 1.1. 根据状态方程写出输出方程。 考点 1.2. 求A的特征方程和特征值 特征方程:det(sI-A)=0 特征值：特征方程的解 特征多项式：det(sI-A) 考 点 1.3. 根 据 输 入 输 出 描 述 写出 状 态 空 间 表 达 式。 考点 1.4. 化约旦标准型(二重根情况)。 考点 1.5. 由系统方框图写出状态空间描述 步骤：1、在环节后按次序写出xi 。 2、展开(左边为x ¨) 考点 1.6. 由状态方程写出传递函数。 传递函数G(s) = C (sI − A)−1 B 考点 1.7. 计算A100 (对角化)。 考点 1.8. 前向通道：G1 反馈通道：G2 G1 传递函数： 1+G 1 G2
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线性系统的运动分析
考点 2.1. 三种方法求A的矩阵指数函数eAt 特征值法：eAt = P eAt P −1 −1 a0 (t) 1 λ1 eλ1 t 有限展开法: = 1 λ2 eλ2 t a1 (t) eAt = a0 (t)I + a1 (t)A 预解矩阵法：eAt = L−1 (sI − A)−1 考点 2.2. 已知状态转移矩阵Φ(t),求系统矩阵A。 t) | A = dΦ( dt t=0 考点 2.3. x(t) = Φ(t)x(0) 考点 2.4. 连续时间线性时不变系统求状态响应x(t) t x(t) = eAt x(0) + t0 et−τ B (τ )u(τ )dτ 考点 2.5. 见附加题。 Φ(t, t0 ) = Ψ(t)Ψ(t0 )−1 考点 2.6. 求线性连续时不变系统的离散化方程。 G = eAt T h = 0 eAt dtB
考点 3.1. 系统是否能控/能观。 若A无特定形式：采用秩判据。 若A为 约 旦 规 范 形： 不 同 特 征 值 的 约 旦 块 末 行(首 列)非 零。 相 同 特 征 值 的 约 旦 块 末 行(首 列)线 性 无 关。 考点 3.2. 判断连续时间线性线性时变系统是否完 全能控。 M0 (t) = b(t) 0 (t) M1 (t) = −AM0 (t) + dM dt 对于任意的t，rank M0 (t) M1 (t) 满秩，系统完 全能控。 考点 3.3. 求线性时不变系统的能控性指数和能观 性指数。 使能控性判别阵rank B AB . . . 满秩。 A的最小幂次为α。能 控性指 数u=α+1 C 使能观性判别阵rank CA 的满秩。 ... A的最小幂次为β 。能观性指数v=β +1 考点 3.4. 已知状态空间表达式， 求能控规范性及 其变换阵。 步骤：1、列出特征多项式det(sI − A) 1 0 0 2、变换阵P = A2 B AB B a2 1 0 a1 a2 1 −1 −1 3、A = P AP ， B = P B ， C = CP 能观规范形形式上对偶。 考点 3.5. 定出三阶龙伯格能控规范形。 取能控性判别阵线wk.baidu.com无关的三列，构造变换阵P −1 。 由P的块末行导出变换阵S −1 。 基于状态变换x = S −1 x,导出变换后系统的系数矩 阵。 考点 3.6. 传递函数的能控规范形实现。 提 出 直 接 传 递 矩 阵 化 简 后 分 母 必 须 为严 真 首 一 多 项式。 考 点 3.7. G(s)的 行 列 维 数 为 能 观 块 维 数 和 能 控 块 维数。 考点 3.8. 传递函数矩阵的最小实现。 考点 3.9. 按能控性分解。 取 能 控 性 判别 阵 的 非 零 向Q量q1 ,另取 线 性 无 关 非 零向量q2 ，构成变换矩阵Q。 基于状态变换x = Q−1 x,导出变换后系统的系数矩 阵 考点 3.10. 定出能控能观子系统。
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线性系统的时间域综合
考点 5.1. 状态反馈阵k配置闭环反馈特征值。 步 骤1： 定 出 系 统 特 征 多 项 式a(s)和 期望 闭 环 特 征 多项式a∗ (s)。 步骤2：定出化能控规范形的变换阵P 和P −1 。 步骤3：k = [a∗ − a] P −1 。 考点 5.2. 不能控部分无法配置闭环特征值。 考点 5.3. 多输入系统配置极点。 一、 等 价 单 输 入 法， 任 取ρ， b = Bρ不 改 变 能 控 性。最后，K = ρk 。 二、龙伯格能控规范形。 考点 5.4. 状态反馈可以镇定的虫咬条件是系统不 能控部分为稳定(具有负实部)。 当输出矩阵C非奇异，输出反馈镇定等价于状态反 馈镇定。 考点 5.5. 能否动态解耦。 输入变换阵和状态反馈 阵L,K 计算结构特性指数d1 、d2 ,和结构特性向量E1 、E2 。 E1 可解耦判别性矩阵E = 。 E2 若E非奇异，受控系统可用状态反馈和输入变换实 现动态解耦。 C1 Ad1 +1 F = C2 Ad2 +1 输入变换阵L = E −1 状态反馈阵K = E −1 F 考点 5.6. 给定受控系统和性能指标J，求最优状态 反馈阵k ∗ 和最优性能值J ∗ 。 黎卡提代数方程： P A + AT P + Q − P BR−1 B T P = 0 P对 称 正 定。 K ∗ = R −1 B T P J ∗ = xT (0)P x(0)