高中数学课程内容主线几何

高中数学课程内容主线（二）—几何主线
知识结构图：
1. 几何的教育功能
我们常常听到这样的一些词，空间想像能力，“几何直观”能力，把我图形能力，几何洞察能力，等等。

这些词都是数学家提出来的。

“空间想像能力”是我国著名数学家华罗庚提出来的；“几何直观”能力是20世纪最著名的数学家希尔伯特提出来的，他写了一本重要的著作“直观几何”；“把我图形能力”数著名数学家、20世纪最有影响的数学教育家弗赖登塔尔提出的；“几何洞察能力”是著名华人数学家项武义提出的。

这些词的内涵可能有些不同，我们感到这些词的基本含义是相同的。

这些能力不仅对数学研究是极为重要的、基本的，对于数学教育、数学课程的设计同样是重要、基本的。

培养几何直观能力不仅仅是几何课程的任务，而是整个数学课程的基本任务。

因此，几何是贯穿于整个高中数学课程中的主线之一，在其他的数学内容学习中，也要强调通过直观，通过图形来认识相关的数学本质。

高中数学课程中，几何的作用主要在于培养学生的几何直观能力和推理论证
能力。

这两种能力对于学生思维的发展和对数学本质的理解都是非常重要的。

在高中数学课程中，几何是“图”“文”并茂的内容，他把数学所特有的逻辑思维和形象思维有机地结合起来。

几何主要体现在几何直观能力，即把握图形的能力。

几何直观能力主要包括空间想像能力、直观洞察能力、用语言来思考的能力。

借助几何这个载体，可以培养学生的逻辑推理能力。

但仅仅把几何作为培养形式推理能力载体的认识是片面的。

在中学数学课程中重视几何内容是我国数学教育的传统，也是共识。

但是，如何运用几何思想、把握图形的能力去学习其它的数学内容，却没有引起足够的重视。

最令我们感到遗憾的是：教师不太喜欢“画图”，讲解析几何时也不画图。

事实上，几何学能够给我们提供一种直观的形象，通过对图形的把握，可以发展空间想象能力，这种能力是非常重要的，无论是数学本身、数学学习本身，还是在其他方面，都是一种基本能力。

搞艺术的人就经常说，这种空间想象能力与他们艺术上的想象能力、艺术创作能力是一种殊途同归的感觉。

英国著名数学家Ｍ．阿蒂亚曾说过，几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即“洞察”与“严格”，两者在真正的数学研究中起着本质的作用。

即，几何是直观逻辑，代数是有序逻辑。

这表明，几何学不只是一个数学分支，而且是一种思维方式，这种思维方式渗透到数学的所有分支。

因此，培养学生的几何直观能力、把我图形能力应成为高中学习几何的主要目的。

我们知道，逻辑推理是数学的基本思维方式，在中学阶段，几何是培养学生推理能力的重要载体，但是，这里我们要说的是，我们还应该认识到几何更本质的作用，这就是上面所说的：应当重视培养学生的几何直观能力，包括空间想像力、直观洞察力、用图形语言来思考问题的能力等。

在高中数学课程中，我们更加关注通过对整体图形的把握去培养和发展空间想像能力；关注在空间想像能力中人的认识规律，并概括了人们认识和探索几何图形的位置关系和有关性质的规律，建议通过“直观感知、操作确认、思维论证、度量计算”等学习过程，培养和发展空间想像能力，这对几何课程的学习应该是有帮助的。

例如，在立体几何的学习中，建议从对空间几何体的整体入手，认识整体图形，再以长方体为载体，直观认识空间点、线、面的位置关系，抽象出有
关概念，并用数学语言表述有关性质和判定。

事实上，相关研究表明，个体的认识是先从对整体的认识开始的。

大家知道，立体几何的学习中，异面直线和异面直线之间的距离是比较难理解的两个概念，如果先讲平行平面，那么，异面直线就是两个平行平面内两条不平行的直线，而异面直线之间的距离问题，也会因为平行平面距离的确定性而变得容易理解了。

这也体现了整体把握图形的优越性。

2．中学几何研究的对象
中学几何主要是研究图形的位置关系和度量的。

最基本的几何图形是点、线、面，由线可围成平面图形，由面可围成几何体。

中学几何研究的图形可分为两类，一类是直边或直面图形，例如，直线，由直线围成的三角形，由平面围成的四面体、长方体等；另一类是曲边或曲面图形，例如，圆，球等。

在中学几何中，基本几何图形点、线、面之间的位置关系主要有平行、垂直、包含（如点在直线上，线在平面内，线与线、面与面重合等），由基本图形围成的平面图形之间的关系主要有全等、相似、位似等。

图形的度量主要有夹角、长度、面积、体积等。

3．几何研究图形的方法
中学几何研究图形的方法主要有：综合几何的方法，解析法，向量几何的方法，函数的方法等。

综合几何的方法是利用几何的方法研究图形的性质，即用已知的基本图形的性质去研究组合图形的性质。

这种方法的基本特点就是把复杂的图形转化为简单的图形，把空间的图形转化为平面图形。

例如，把两条线段相等问题转化为两个三角形全等或一个三角形内两边相等关系，空间两直线垂直问问题转化为平面上两直线的垂直（如，三垂线定理），利用三视图研究空间几何体等。

在综合几何方法中，平移、旋转、对称等是研究图形性质的基本方法。

解析几何方法是利用代数的方法研究几何图形的性质。

用解析几何方法研究图形，首先要建立坐标系，建立起“点”与“数对”之间的一一对应关系。

然后是建立几何图形与方程之间的联系。

再通过用代数的方法研究方程来实现研究几何图形性质的目的。

值得注意的是，同一个几何图形，由于建立坐标系时坐标原点的选择不同，在不同坐标系下方程的代数表现形式是不同的，用解析几何方法研究图形时，常常要通过代数的方法把表示几何图形的方程化成标准形式。

解析几何方法很好地体现了数学中的数形结合的思想：可以用代数的方法讨论几何的
问题，也可以用几何图形表示代数性质。

向量几何的方法就是用向量及其运算来研究几何图形的位置关系和度量问题。

用向量及其运算可以表示几何图形，例如，用向量表示点，用两个不共线向量的线性组合表示平面，用向量的数量积表示由一个点和一个法向量确定的平面等。

用向量的运算可以研究几何图形的位置关系和度量。

例如，利用向量的数乘运算、数量及运算可以刻画线线、线面、面面的平行于垂直关系，里用向量的数量积可以度量角度、长度、面积、体积等。

用向量法研究几何图形有时比解析几何方法中的坐标法更具有优越性。

这是因为，向量是自由向量，不需要选择原点，这就使得向量方法更加灵活、方便。

例如，求两条异面直线之间的距离，用向量法就比较简单。

只要求出这两条异面直线的公垂线的方向向量，再在这两条直线上分别任意取一个点，由这两个点确定的向量在公垂线的方向向量上的投影的长度就是两异面直线间的距离。

函数的方法就是利用函数的性质，比如，单调性，来研究图形的性质。

也就是说，用函数来表示几何图形，再利用函数的性质来研究几何图形的性质。

这种方法与解析几何方法是一致的。

4．几何内容的设计
几何课程的设计分为两部分。

一部分是将“把握图形”的能力作为指导思想，贯穿在整个数学课程的始终。

另一部分是设计了相应的几何内容。

“把握图形”的能力，几何直观能力，几何（图形）洞察力，空间想像能力等，这些说法在很大程度上具有同样的含义。

“把握图形”的能力或几何直观能力是利用图形生动形象地描述数学问题，直观地反映和揭示思考、讨论问题的思路，揭示丰富多彩的数学思想。

几何直观在几何课程本身的学习中发挥着不可替代的作用，并且贯穿在整个数学学习中，在数学的研究中期巨大的威力也是不可替代的。

将“把握图形”的能力，几何直观能力，作为指导思想，贯穿在整个高中数学课程的始终，使设计几何课程的基本思想。

例如‘在函数有关内容的学习中，强调函数图形的作用是贯穿始终的，要求把对函数思想的认识、函数性质的理解、函数的应用与函数图形的掌握有机地联系起来。

又如，讨论统计问题时，描述和表示数据是反映统计规律的重要手段，图形
和图表是直观、生动呈现统计规律的基本方式。

在高中数学课程中，介绍了直方图、扇形图、茎叶图等等。

实际上，并不限于这些图形，我们还可以选择其他的图形，选择的原则就是根据具体问题，直观地反映统计数据的规律，一目了然。

在讨论线性规划问题时，有两个关键环节，一个是可行域（目标函数的定义域）的理解，另一个是认识目标函数的变化趋势。

平面区域图形非常清晰地表达了可行域（目标函数的定义域）的特征，等高线直观地给出了目标函数的变化趋势。

框图（包括算法框图）虽然不是几何研究的对象，但是，它利用最简单的图形直观地反映了完成一项工作的逻辑关系和顺序，这正是几何给我们的一种帮助。

我们可以举出很多这样的实例，它们属于其他的数学领域，但是在研究的过程中，“几何思想”发挥了重要的作用。

实际上，越抽象的数学，越需要直观图形的支持。

在高层次的思考中，“抽象思维”和“形象思维”是密不可分的，“形象思维”在数学上就是“用图形说话”，用图形描述问题，用图形讨论问题，这是一种基本素质。

高中数学课程中的几何内容是分层设计的。

以下部分请看几何各部分课标解读。