2017年四川大学652数学分析考研真题【圣才出品】

2017年四川大学652数学分析考研真题

1．计算（每小题10分，共70分）

（1）设a ∈（

0，1），求

lim[(1)]a a n n n →+∞

+-

（2）求 21lim ln ln 1x x x x -→∞⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎝⎭

（3）设f （x ）＝x 8arctanx ，求f （n ）（0）

（4）求∫max （1，|x|）dx

（5）设D 是由曲线3

x y xy a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭

围成的区域，其中a ＞0，b ＞0，求D 的面

积。

（6）求 22d d 34S x y y x x y -+⎰

其中S 是椭圆2x 2＋3y 2＝1，方向沿逆时针方向。

（7）求

(,,)d S f x y z S ⎰⎰

其中S 是球面x 2＋y 2＋z 2＝1

0(,,)0,0,z f x y z z z ≤≤=<>⎪⎩

2．（12分）证明：f （x ）＝|sinx|/x 在（－1，0）和（0，1）上都一致连续，但在（－1，0）∪（0，1）上不一致连续。

3．（10分）设f （x ）在实数R 上有界且二次可导，证明：存在x 0∈R 使得f ″（x 0）＝0。

4．（10分）设f （x ）在[a ，b]可积，证明：

lim ()sin d 0b

c

c f x ax x →-∞=⎰

5．（10分）证明：0

(1)c n x x ∞=-∑在[0，1]上收敛但不一致收敛。

6．（12分）求a ，b 的值，使得椭圆x 2/a 2＋y 2/b 2＝1包含圆（x －1）2＋y 2＝1，且面积最小。

7．（14分）举例说明：二元函数的“两个累次极限存在”与“二重极限存在”互不蕴涵。

8．（12分）函数f在（0，1）上存在第一类间断点，证明：f在（0，1）上没有原函数。