求数列前n项和的几种常用方法

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求数列前n 项和的几种常用方法

江苏省 马吉超

公式法

如果数列是等差或等比数列，可直接利用前n 项求和公式，这是

的条件。

二、分组转化法

差构成，可以把原数列的求和分组转化为等差、等比或特殊数列的求 和。

求S n

1

解:

S n

1

2

n n 1 n n -- d 2 2

2

1

n

2

最基本的方法。但应注意等比数列前

N 项求和公式

a 1

S

n

解：①当x

1时, S n

②当x 1时,

S

n

X

1

X

1 X

如果所给数列的每一项是由等差

等比或特殊数列对应项的和或

解:

S

n

1

n

2

2

2s n

2C n

1

2

C

n

n

n 2

C

n

2(c n

1 C

n

三、倒序相加法

如果求和数列的首末两项的和及与首末两项等距离的两项的和 相

等，可用此法。（等差数列求和公式可用此法推导）

求所有大于2且小于10的分母为5的既约分数的和。

⑴+⑵得 2s

12 32 384 s 192

⑴+⑵得 1 n

一 一 n 1 2n 2 6

1 n n 1 1 ---------

2 2 解:

11 亏 49 5 12 ~5 48 5 13 ~5 47 5

47 "5 13 5 48 ~5 12 5 49 "5 11 5

解:

0 s C

n

m

C n

C n 2

C n C n 1

2C n

3c n n

n 1

1

C n n C

n

n m C

n

2

3C

n

1 2

C n

n 1

n

C

n

n

0 C

n

n

1

2 1 四、错位相减法

求和公式可用此法推导）

. n

1

2

①一②

S

n

故 S n n

12n1 2

五、裂项相消法

分正负项又可以相消，则可用此法。

求9 1

占丘

2

- 21

1 n

2n n 1

形如a n b n 的数列，其中a n

是等差数列，b n

是等比数列，则

可在求和等式两边同乘 b n

的公比，

然后两等式错位相减。 （等比数列

例6求S n

1 2 2 2

2

3

S

n

2 2 2

2

3

如果求和数列的每一项均能分裂成对应两项的差,

求和时，大部

解:

S n

21 丄 21

2 2

J n 1 1

六、二项式定理法

某些由组合数构成的数列求和时，往往用二项式定理更有效。

解：由二项式定理

七、常见结论法 熟悉一些常见结论，对解决求和问题很有益处。如

n

2 n

n 1 2n 1 . n

6

n 丁 4]

⑶等差数列的前N 项和、次N 项和、后N 项和构成等差数列。

1 1

\[2 -\p 2

J n 1 T H

2 2

例9

求C H C H

2

n C n

0 1

C n C n X C

2 2 n

X

n n

C n X

On 1 n

C n X C n X

n C n

1

n

X

C n

2n

1 X

0 1

C 2n C 2n X

n

C 2n

2n

X

2n 2n

C 2n X

.•.⑴与⑵的积中含

项的系数

2 2

0 1 C n C n

应与⑶中含X n

项的系数C n

2 2

故 S c O C

H

相等。

2

n

C n

n

C

2n

⑴ 12

22

⑵ 13 23

⑷等比数列的前N 项和、次N 项和、后N 项和构成等比数列。 设某等差数列的前10项和S 10

5，前20项的和S 20

20，

Si o 、（S 20 S0）、（S 30 S 20）构成等差数列知:

2(

S 20

S

lO

)= S o +(

S3O

S

20

)

，

S

30

45

.

例10 求该数列前 30项的和S 30

.

解:

2 20 5

5

S

30

20 ,