求数列前n项和的几种常用方法
求解数列前n_项和问题常用的技巧
解题宝典求数列的前n 项和问题具有较强的综合性，此类问题侧重于考查等差数列和等比数列的定义、通项公式、性质、前n 项和公式.求数列前n 项和的技巧很多，如裂项相消、错位相减、分组求和、并项求和等.下面结合实例谈一谈下列三种技巧.一、裂项相消运用裂项相消法求数列的前n 项和，需先将数列中的各项拆分为两项之差的形式，如1n (n +k )=1k æèöø1n -1n +k 、14n 2+1=12æèöø12n -1-12n +1、1n +n +1=n +1-n ；然后将各项相加，即可通过正负相消，顺利求得数列的前n 项和.例1.设数列{}a n ，其前n 项和S n =-3n 2，{}b n 为单调递增的等比数列，b 1b 2b 3=512，a 1+b 1=a 3+b 3.（1）求数列{}a n ,{}b n 的通项公式；（2）若c n =b n()b n -2()b n -1，求数列{}c n 的前n 项和T n .解：（1）a n =-6n +3，b n =b 2∙2n -2=2n +1；（2）由（1）可得：c n =2n +1()2n +1-2()2n +1-1=2n()2n -1()2n +1-1=1()2n -1-1()2n +1-1，所以T n =c 1+⋯+c n =æèçöø÷121-1-122-1+æèç122-1-öø÷123-1+⋯+æèçöø÷12n-1-12n +1-1=12-1-12n +1-1=1-12n +1-1.仔细观察，可发现{}c n 的通项公式的分母()2n-1()2n +1-1为两项的乘积，其差为2n +1-1-()2n-1=2n，于是将{}c n 的通项公式裂项得2n()2n -1()2n +1-1=1()2n -1-1()2n +1-1，这样数列中大部分的项可以互相抵消.运用裂项相消法就能求得数列前n 项的和.二、错位相减错位相减法是求数列前n 项和常用的方法之一.该方法主要运用于求形如{}a n ∙b n 的数列的前n 项和，其中{}a n 为等差数列，{}b n 为等比数列.先将数列{}a n ∙b n 的每一项乘以数列{}b n 的公比；然后将其与数列{}a n ∙b n 的前n 项和错位相减，即可将问题转化为等比数列求和问题.例2.数列{}a n 的前n 项和为S n ,a 1=-94，且4S n +1=3S n -9(n ∈N *).（1）求数列{}a n 的通项公式；（2）设数列{}b n 满足3b n +(n -4)a n =0(n ∈N *)，记{}b n 的前n 项和为T n ，求T n .解：（1）a n =-3×æèöø34n；（过程略）（2）由3b n +(n -4)a n =0得：b n =-n -43a n =(n -4)×æèöø34n，即b n +1=(n -3)×æèöø34n +1，设c n =(An +B )×æèöø34n，则b n +1=c n +1-c n =[A (n +1)+B ]×æèöø34n +1-(An +B )×æèöø34n=[-An 4+14(3A -B )]×æèöø34n=(n -3)×æèöø34n +1，可得ìíîïï-A 4=34，3A -B 4=-94，解得{A =-3，B =0，所以c n =-3n ×æèöø34n，则T n =-()3×1-1×34-()3×2-1×æèöø342-(3×3-1)n 41解题宝典×æèöø343-⋯-()3×n -4×æèöø34n -1-3n ×æèöø34n34T n=-()3×1-1×æèöø342-()3×2-1×æèöø343-⋯-()3×n -4×æèöø34n-3n ×æèöø34n +1，将上述两式相减可得14T n =-2×34-2×æèöø342-2×æèöø343-⋯-2×æèöø34n -3n ×æèöø34n +1=-234×éëêùûú1-æèöø34n 1-34-3n ×æèöø34n +1，得T n =-4n ×æèöø34n +1.仔细观察{}c n 的通项公式，可发现该式为等差数列{}-3n 与等比数列ìíîüýþæèöø34n 的对应项的乘积，可运用错位相减法来求和.将数列的前n 项和式左右同时乘以公比34，即可得到等比数列-2×34,-2×æèöø342,-2×æèöø343,⋯,-2×æèöø34n,利用等比数列的前n 项和公式进行求解即可解题.例3.已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n =2a n -2(n ∈N *)，数列{}b n 的首项b 1=1，点P (b n ,b n +1)满足2+b n =b n +1.（1）求数列{}a n 、{}b n 的通项公式；（2）记T n =a 1b 1+a 2b 2+∙∙∙+a n b n ，求T n .解：（1）a n =2n，b n =2n -1；（过程略）（2）T n =a 1b 1+a 2b 2+∙∙∙+a n b n=1×2+3×22+5×23+∙∙∙+(2n -3)2n -1+(2n -1)2n ，2T n =1×22+3×23+5×24+∙∙∙+(2n -3)2n +(2n -1)2n +1，将两式相减得-T n =1×2+2(22+23+∙∙∙+2n)-(2n -1)2n +1=2+2∙22+2n ∙21-2-(2n -1)2n +1=(3-2n )∙2n +1-6.故T n =(2n -3)∙2n +1+6.由问题（1）可知数列{}a n 为等比数列，数列{}b n 为等差数列，则{}a n b n 的各项由等差、等比数列的对应项的积构成，于是采用错位相减法，首先列出T n 的表达式；然后列出2T n 的表达式；再将两式作差，通过错位相减求得-T n .三、分组求和若问题中出现形如a n =b n ±c n 的数列，其中{}b n 、{}c n 为等差、等比或常数列，便可以采用分组求和法，将数列中的各项进行拆分，再重新组合成几组，使得每一组为等差、等比或常数列，即可根据等差、等比数列的前n 项和公式进行求和.例4.已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 1=1,a 2=2，且a n +2=3S n -3S n +1+3,n ∈N *.（1）求证：a n +2=3a n ；（2）求S n .解：（1）过程略；（2）由（1）可知，a n ≠0，所以a n +2a n=3，则数列{}a 2n -1是首项a 1=1，公比为3的等比数列.则a 2n -1=3n -1,a 2n =2×3n -1，所以S 2n =a 1+a 2+∙∙∙+a 2n=()a 1+a 3+∙∙∙+a 2n -1+()a 2+a 4+∙∙∙+a 2n =()1+3+∙∙∙+3n -1+2()1+3+∙∙∙+3n -1=3×()1+3+∙∙∙+3n -1=3×()3n -12.所以S2n -1=S 2n -a 2n =3×()3n -12-2×3n -1=32()5×3n -2-1.综上可得，S n =ìíîïïïï32æèçöø÷5×3n -32-1,n 为奇数，32æèçöø÷3n2-1，n 为偶数.求出a 2n -1=3n -1,a 2n =2×3n -1后，可以发现在n 取奇数、偶数时，对应的S n 不同，需采用分组求和法，将数列中的项分成两组，一组由奇数项构成，一组由偶数项构成，分别根据等比数列的前n 项公式进行求和，得S 2n 、S 2n -1，最后用分段式表示S n .裂项相消、错位相减、分组求和的适用情形以及用法均不相同，同学们在解题时要重点研究数列的通项公式，对其进行合理的变形，可将其拆分、裂项、乘以公比等，以便将复杂的数列求和问题转化为简单的计算问题，这样便能化难为易、化繁为简.（作者单位：安徽省泗县第二中学）42。
高考数学专题—数列求前n项和的5种常用方法总结
高考数学专题——数列（求S n ）求s n 的四种方法总结常考题型：共5种大题型（包含倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法、并项求和法。
1、倒序相加法：实质为等差数列求和。
例1、【2019·全国2·文T18】已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)设{a n }的公比为q,由题设得2q 2=4q+16,即q 2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4. 因此{a n }的通项公式为a n =2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得b n =(2n-1)log 22=2n-1,因此数列{b n }的前n 项和为1+3+…+2n-1=n 2. 2、错位相减法：实质为等差×等比求和。
错位相减法的万能公式及推导过程：公式：数列c n =(an +b )q n−1，(an +b )为等差数列，q n−1为等比数列。
前n 项和S n =(An +B )q n +C A =a q −1，B =b −Aq −1，C =−B S n =(a +b )+(2a +b )q +(3a +b )q 2+⋯[(n −1)a +b ]q n−2+(an +b )q n−1 ① qS n =(a +b )q +(2a +b )q 2+(3a +b )q 3+⋯[(n −1)a +b ]q n−1+(an +b )q n ② ②-①得：(q −1)s n =−(a +b )−a (q +q 2+⋯q n−1)+(an +b )q n=−(a +b )−a ⋅q(1−q n−1)1−q+(an +b )q n=(an +b −aq−1)q n −(b −aq−1)S n =(aq −1⋅n +b −a q −1q −1)⋅q n −b −aq −1q −1例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1232,a a a =+ 即21112a a q a q =+.所以220,q q +-= 解得1q =（舍去），2q =-. 故{}n a 的公比为2-.（2）设n S 为{}n na 的前n 项和.由（1）及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)=(2).3n n n ---⨯-所以1(31)(2)99nn n S +-=-. 例3、【2020年高考全国III 卷理数】设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【解析】（1）235,7,a a == 猜想21,n a n =+ 由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+， 1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯. ①从而23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯.②-①② 得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯，所以1(21)2 2.n n S n +=-+例4、【2020届辽宁省大连市高三双基测试数学】已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.（I ）求12,a a 的值；（Ⅱ）试求数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】（Ⅰ）方法一：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列 21221a a ∴=⨯ 214a a ∴=又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列 2121122a a ∴-=,解得1228a a =⎧⎨=⎩方法二：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列,1112,n n a n a n+∴=1(1)2n n n a a n ++∴=.①又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列, 11122n nn na a ++∴-=② 由①②解得：2nn a n =⋅1228a a =⎧⎨=⎩ （Ⅱ）1122,1n n n a a n -=⋅= 2n n a n ∴=⋅123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+1231222322n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 234121222322n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式作差可得：23122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅()1212212n n n n S +-=-⋅--1(1)22n n n S +=⋅---, 1(1)22n n S n +∴=-⋅+.例5、【2020届江西省吉安市高三上学期期末数学】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a S +-=．（I ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3log n n b a =，数列2221n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：12nT <．【解析】（I ）当1n =时，由11a =，2121a a -=得23a =；当2n ≥时，121n n a S --=，两式相减得()1120n n n n a a S S +----=， 即13n n a a +=(2)n ≥，又2133a a ==， 故13n n a a +=恒成立，则数列{}n a 是公比为3的等比数列，可得13-=n n a ． （Ⅱ）由（I ）得313log log 31n n n b a n -===-，则22211111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，则111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． 1021n >+ 11112212n ⎛⎫∴-< ⎪+⎝⎭ 故12n T <例6、【2017·天津·理T18】已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *).【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12,而b 1=2,所以q 2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2. 所以,b n =2n.由b 3=a 4-2a 1,可得3d-a 1=8.①由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16,②联立①②,解得a 1=1,d=3,由此可得a n =3n-2.所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-2,数列{b n }的通项公式为b n =2n.(2)设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ,由a 2n =6n-2,b 2n-1=2×4n-1,有a 2n b 2n-1=(3n-1)×4n, 故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=12×(1-4n )1-4-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8.得T n =3n -23×4n+1+83. 所以,数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n -23×4n+1+83. 例7、【2020·石家庄模拟】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由2S n ＝3a n －1，① 得2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②，得2a n ＝3a n －3a n －1， 所以a n a n －1＝3(n ≥2)，又2S 1＝3a 1－1，2S 2＝3a 2－1， 所以a 1＝1，a 2＝3，a 2a 1＝3， 所以{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n －1.(2)由(1)得，b n ＝n3n －1，所以T n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，③13T n ＝131＋232＋…＋n －13n －1＋n 3n ，④ ③－④得，23T n ＝130＋131＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝1－13n1－13－n 3n ＝32－2n ＋32×3n ，所以T n ＝94－6n ＋94×3n . 3、裂项相消法：实质为a n =b n (n+a )形式的求和。
求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)
求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式： 1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n项和.[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.练习： 求：S n=1+5x+9x 2+······+(4n -3)xn-13. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例5] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…[例6] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设kk k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k n k ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝kk k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n（分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211n n 的前n 项和。
求数列前N项和的七种方法含例题和答案
求数列前N 项和的七种方法点拨:1.公式法等差数列前n 项和：n(a 1+a n ) y 亠 n(n +1) _, Si — — na q 十 d2 ' 2特别的，当前n 项的个数为奇数时，S 2k 岀=（2k +1）_a k 41，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1 时，q H 1, s n = a1 " q），特别要注意对公比的讨论。
其他公式:用常用公式）1 1迂R _ 1丄 1一丄—2n21、S nn=Z k kd ：3、S n [例1]弓（卄）2、 n =送k 3 k=12 计+1)] 2 1S n=!： k =-n(n+1)(2n+1)6—1 2 3 已知 log 3 X = - 7，求 X + X + X +…+log 23 x n +…的前n 项和.解：由log 3—1 =log 3 X = —log s 2 = log 2 3 1 x =— 2 由等比数列求和公式得S n = X + X 2 +（利_ x(1 -x n) —1-x［例 2］设 S n = 1+2+3+ …+n , n € N *,求 f (n)= S n(n + 32)S n屮 的最大值.解: 由等差数列求和公式得 1 1S n = — n(n +1) , S n* = -(n +1)(n + 2)2 2 （利用常用公式）f(n)= S n(n + 32)盼 2n 2 + 3 4n+64□ +34+^ (屛--)2+5O 50 •••当亦=2，即 n = 8 时，f(n)max\l n 50 2.错位相减法这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 ｛a n • b n ｝的前n 项和，其中｛ a n ｝、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列［例 3］求和：S n =1+3x+ 5x 2+7x 3 + ”””+(2n - 1)x n " 解：由题可知，｛ （2 n- 1）x n 』｝的通项是等差数列｛2n — 1｝的通项与等比数列｛x n」｝的 通项之积设 xS n =1x+3x 2+5x 3+7x 4 + …+(2门_〔以 ①一②得(1-x)S n =1+2X +2X 2+2x 3+2x 4 + …+2x n 」一(2 门_ 1)x n（错位相减）nJ1 — x n再利用等比数列的求和公式得： （1 -x ）S n =1+2x ・ -（2 n -1）x n1-x G (2n - 1)x n +—(2n + 1)x n +(1 +x)Sn =(1-x)2［例4］求数列贪…前n项的和.解：由题可知，｛2n2n ｝的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列｛右｝的通项之积 设S =2+土 十-6+ …+空以6--2小32n（错位相减）练习：求：S n =1+5x+9x 2+ ....... +(4n-3)x n "1解：Si=1+5x+9)(+ ........ +(4n-3)x n-1①两边同乘以X ，得23X S n =x+5 X +9x + ...... +(4 n-3)x①-②得,(1-x ) S=1+4(X+ X 2+X 3+当 x=1 时，S=1+5+9+ ......... + (4n-3)3.反序相加法求和再把它与原数列相加，就可以得到n 个（印+ a n ）•［例 5］求sin 21 +sin 22 + sin 23 + …+sin 288 +sin 289 的值20 20 2 0 2 0 2解：设 S =sin 1 +sin 2 +sin 3 + …+sin 88 +sin 89将①式右边反序得S =si n 289 +si n 2 88 +…+sin3 +sin2 +si n 1（反序）2 2又因为 sinx=cos(90 -x),sin x + cosx=1 ①（反序相加）2S=(sin 21 +cos 21)+(sin 2 2 + cos 22 ) + …+ (sin 289 +cos 289 ) = 89S= 44.5担=；2（设制错位）十243 十2642n+(^1)Sn2+&p.,2_2n 22=2S n =41-产 n +2-尹2n 2n + =2n-n nx ) - (4n-3) x当X 工1时，S= I4x(1-x n)1-x(4n-3)这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序），4.分组法求和有一类数列，既不是等差数列， 也不是等比数列， 若将这类数列适当拆开, 可分为几个组求和）将其每一项拆开再重新组合得（分组）=2(13 +23+…+n 3) +3(12 +22+ …+门2)+(1 + 2+…+n)2 2n 2(n +1)2 十 n(n +1)(2n +1)十 n(n + 1)（分组求和）n(n +1)2( n +2)等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可［例6］求数列的前n 项和：1+1, 1+4, ［ +7，…,n-2 ,-a a a 解: 1 1 1设 S n = (1 +1) +(- +4) +(p +7) + …”+(—+3n -2)a a a将其每一项拆开再重新组合得S n = (1 + 1a+…+1n」)+(1 +4 + 7+…+3n -2) a（分组）当a= 1时, S n=n+(3n—1)n(3n+ 1)n（分当a H 1时,-7 十(3n —1)n2a -a 1』+ (3n -1)n a —1［例7］求数列｛n （n+1）（2n+1）｝的前n 项和.解：设 a k =k(k +1)(2k +1) =2k 3+ 3k 2+kS n =2 k(k+1)(2k+1)=k 吕nZ (2k 3+3k 2+k)kTS nn2Z k3k 3 n+32：［例10］在数列｛a n ｝中，a n =n +1 n +1 乙+…，又b n =—2一，求数列｛b n ｝的前an r a n +n +11 1 1 1练习：求数列12，24,38^**（^2^）^*啲前n 项和。
求数列前n项和8种的方法(史上最全)
求数列前n 项和8种的方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =时，1n S na =； （2）()1111nn a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21nk k ==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)n k k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++.例1 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n s n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
求数列前N项和的常用方法
求数列 前N 项和的常用方法核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式， 一.用公式法求数列的前n 项和 1、等差数列：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a qq a q na S n nn 3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n例1：求数列的前n 项和S n变1、已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.变1、设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.二.用裂项相消法求数列的前n 项和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n（4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 例题2：求数列(n ∈N *)的和变1、 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.变2、 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ， 求数列{b n }的前n 项的和.三.用错位相减法求数列的前n 项和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列.例题3：求数列{na n }(n ∈N *)的和变1、求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S变2、 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.四.用倒序相加法求数列的前n 项和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.例4：设等差数列{a n }，公差为d ，求证：{a n }的前n 项和S n =n(a 1+a n )/2变1、 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin22222++⋅⋅⋅+++的值五. 用分组求和法求数列的前n 项和若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和， 再将其合并。
数列的前n项和方法总结
数列的前n项和方法总结
数列是数学中常见的一种数值序列，求解数列的前n项和在许多数学和实际问题中都具有重要意义。
下面是关于数列的前n项和的几种常见方法总结：
1. 等差数列的前n项和：
若数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，那么数列的前n项和Sn = (n/2)(a1 + an)。
2. 等比数列的前n项和：
若数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比（r ≠ 0），那么数列的前n项和Sn = a1 * (1-r^n)/(1-r)。
3. 斐波那契数列的前n项和：
斐波那契数列是一种特殊的数列，前两项为1，后续项为前两项之和。
若n 为正整数，那么斐波那契数列的前n项和为Sn = F(n+2) - 1，其中F(n)表示第n项斐波那契数。
4. 平方数列的前n项和：
平方数列是一种特殊的数列，每一项都是某个正整数的平方。
若数列的通项公式为an = n^2，那么数列的前n项和Sn = (n(n+1)(2n+1))/6。
5. 等差子数列的前n项和：
若一个数列是等差数列的子数列，其公差与等差数列相同，那么子数列的前n项和等于原等差数列的前n项和减去首项之前的和。
以上是几种常见数列的前n项和的求解方法。
在实际应用中，根据数列的特点和通项公式选择适当的方法来计算数列的前n项和会更加高效和方便。
求前n项和的几种方法
求前n 项和的几种方法求数列前N 项和的方法1. 公式法（1）等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公（2q=11q S ≠，（31、=S n 3、=S n [例1][例2]设2. 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1答案：当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n =11-x [4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n ]3. 倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把[例5]求4. [例6]5. （1（3（5）)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6)n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9]求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10]在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.[例11]求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵ n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1 -+-+-+-∴6. [[例7. [例练习：求5，55，555，…，的前n 项和。
求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)
求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)求数列前N 项和的七种方法点拨:核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。
当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。
1. 公式法等差数列前n 项和： 11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式： 1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n kS nk n3、213)]1(21[+==∑=n n kS nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x xx 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nSn Sn f 的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21+=n n S n ，)2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式）∴1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n nn ＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当nn 8=，即n ＝8时，501)(max =n f当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n]2. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1na a +. [例5] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.53. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a Sn n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(nn n Sn-+=＝2)13(nn +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11nn a a a n -+---[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设kk k k k k a k++=++=2332)12)(1(∴∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝kk k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n（分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧
高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧我们不要关心求数列n项和的问题会不会在高考题或有关考试题中出现，当然出现的机会确是很高的。
关键的是通过学习和探讨求数列前n项和的方法去领悟学习和思考的方法。
几种求和的方法把数学变形和分析、归纳总结、化繁为简、化难为易等思想融合在一起，使思维得到一次系统的训练和提高。
头脑的开化和思维的提升才是学习的主要目的。
求数列前n项的和，通常有下列七种方法和技巧。
一、利用等差数列和等比数列的求和公式例1、求数列例2、求数列5, 55，555，5555，…，，……的前项和。
解：∵∴二、用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式的方法是倒序相加法。
这个方法可以类推到一般，只要前n项具有与两端等距离项的和相等的数列这种特征都可用这种方法求和。
例3、已知是等差数列，求和。
解：∵①即②由①+②，得：∵∴由等差数列的性质，易得：故于是三、利用错位相减法错位相减法是一种常用的数列求和方法，主要应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
形如，其中为等差数列，为等比数列，公比为q；列出，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即；然后错一位，两式相减即可。
例4、求数列的前n求和(x≠0，x≠1)。
解：设①则②由①-②，得：于是四、用化差相减法适用于分式形式的通项公式，基本原理是把一项拆成两个或多个的差的形式，即，然后累加时中间的许多项可以抵消。
裂项凑错位相加特征，注意前后式子相等，如果不相等就要乘以一个系数。
常用公式：，，，（a≠0），例5、求数列的前n求和。
解：例6、求数列。
解：∵∴基本原理点拨：代数式变形凑相消特征：，由此可联想求更高次方幂的n项和。
如：至此，一般规律就出现了，通过变形整理便可求出的n 项的和，以此类推，求n次方幂的问题就能彻底解决。
从而五、利用组合数求和公式法利用这个组合数公式，求某些特殊数列的前n和颇为方便。
因为，则。
例7、求数列解：∵，∴例8、求数列。
解：∵。
∴，六、用数学归纳法例9、求数列的前n项和。
数列求前n项和方法总结
解析：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n－1}….②（设制错位）
①－②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
例5求数列 的前n项和.
解：设 （裂项）
则 （裂项求和）
＝
＝
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。余下的项具有如下的特点：余下的项前后的位置前后是对称的；余下的项前后的正负性是相反的。
（分组）
前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此
例2、求和
[解析]：
例3、已知函数
（1）证明： ；
（2）求 的值.
解析：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，
两式相加得：
所以 .
小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.
教学内容
一、本周错题讲解
二、知识点梳理
求数列前n项和的常用方法总结
（1）公式法：
等差数列求和公式：
等比数列求和公式：
自然数方幂和公式：
（2）分组化归法：将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列求和问题。运用这种方法的关键是将通项变形。
（3）并项转化法：在数列求和过程中，将某些项分组合并后转化为特殊数列再求和。利用该法时要注意有时要对所分项数是奇数还是偶数进行讨论。
四、课堂练习
1、在各项均为正数的等比数列中，若 的值.
2、求和：
解：
3、求值：
4、求数列 的前n项和
5、已知 ，求数列｛an｝的前n项和Sn.
数列求前n项和的方法总结
求数列前n 项和的基本方法一、 利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 特别注意：在求等比数列前n 项和时，要特别注意公比q 是否为1。
当q 不确定时要对q 分q=1和q ≠1两种情况讨论求解。
3、)1n (n 21n 321+=++++ 4、)12n )(1n (n 61n 21222++=+++ 5、2333)]1n (n 21[n 21+=+++ 例1：9910023222026-4-94,b a b a b a a b a b a b a ++++=++ ，求：满足：若实数 例2：n aa a 11112++++ 求和： 二、 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.)212(1616814412S 11++++++=n n n ：求例 n n n n a n a a S n }{2项和的前，求数列：已知例-=三、 裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，通项分解（裂项）如：（1）111)1(1+-=+=n n n n a n （2）)11(1)(1kn n k k n n a n +-=+= （3）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n （7）n n n n a n -+=++=111 （8）k k k 1n n n n a n -+=++=例3、求上述（1）—（5）n n a S n }{项和的前数列n)lg 3(1321412T n }{2}{11lg 1lg lg }{4项和的前，求）若（的通项）求（，的等差中项，且和是中，等比数列：已知在各项为正数的例n a n n n n b b a a a a a a a a n -==+ 四、 倒序相加法求和：课本中用来推导等差数列前n 项和的方法()的值求、设例⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=201120102011220111,2445f f f x f x x 。
如何求数列的前n 项和
知识导航数列求和问题是数列中的重要题型.在解题的过程中，我们经常会遇到一些非等差、非等比数列的求和问题，其求解的办法多种多样.为了帮助同学们熟练掌握求数列前n 项和的方法,笔者对下面三种方法进行了探讨.一、倒序相加法如果一个数列中,与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，我们就可以采用倒序相加法来求和.把正序的和式与倒序的和式中的对应项相加，便能得到n 个与首末项等距的两项之和；求出首末两项之和,便可求得数列的前n 项和.例1.若函数f ()x =x 3-3x 2+e x -1-e 1-x2，求+f æèöø22020+⋯+f æèöø40382020+f æèöø40392020的值.分析:通过对已知函数式的观察与分析，可以发现f ()x +f ()2-x =-4，可采用倒序相加法来求解,将求和问题转化为求首项和尾项的和.解：∵f ()x =x 3-3x 2+e x -1-e 1-x2,∴f ()2-x =()2-x 3-3()2-x 2+e 2-x -1-e 1-2+x2,∴f ()x +f ()2-x =x 3-3x 3+()2-x 3-3()2-x 2=-4,令M =f æèöø12020+f æèöø22020+⋯+f æèöø40382020+f æèöø403920202M =éëêùûúf æèöø12020+f æèöø40392020+éëêùûúf æèöø22020+f æèöø40382020+⋯+éëêùûúf æèöø40382020+f æèöø22020+éëêùûúf æèöø40392020+f æèöø12020=4039éëêùûúf æèöø12020+f æèöø40392020=4039×()-4.∴M =-8078.二、分段求和法分段求和法是指将数列中具有相同特性的项放在一起，把数列分为几段，然后分段进行求和的方法.运用分段求和法解题的关键在于，仔细观察和分析数列的通项，把握其特性和规律,将其进行合理的分段.例2.求数列{}n ()n +1()2n +1的前n 项和.解:设a k =k ()k +1()2k +1=2k 3+3k 2+k ,∴S n =∑k =1nk ()k +1()2k +1=∑k =1n()2k 3+3k 2+k =2k =1nk 3+3k =1nk 2+k =1nk=2()13+23+⋯+n 3+3()12+22+⋯+n 2+(1+2+⋯+n )=n 2()n +122+n ()n +1()2n +12+n ()n +12=n ()n +12()n +22.通过对通项的观察与分析，可知该数列的和可以分为三段:2∑k =1nk 3、3∑k =1nk 2、∑k =1nk .于是运用分段求和法，将数列的每一项拆开，分段进行求和，再综合所得的结果即可求得原数列的前n 项和.三、裂项相消法裂项相消法是指将数列中的每项（通项）裂为两项之差的形式，然后将其重新组合，使之能消去中间的一些项，最终达到求和的目的的方法.运用裂项相消法求数列的前n 项和的关键是将数列的通项合理变形.常见的裂项方式有1n (n +k )＝1k (1n -1n +k)、1n +n +1＝n +1-n 等.例3.在数列{}a n 中，a n =1n +1+2n +1+⋯+n n +1,且b n =2a n ∙a n +1，求数列{}b n 的前n 项和.解:a n =1n +1+2n +1+⋯+n n +1=n2，b n =2n 2∙n +12=8n （n +1）=8æèöø1n -1n +1，则数列{}b n 的前n 项和为：S n =8[æèöø1-12+æèöø12-13+æèöø13-14+⋯+æèöø1n -1n +1]=8æèöø1-1n +1=8n n +1.我们由已知条件能快速求得{}b n 的通项b n =8n （n +1），可将其裂为两项之差的形式：8æèöø1n -1n +1,通过裂项相消，便可将中间的一些项消去，这样便只剩下首尾两项，化简该式即可得到答案.由此可见，倒序相加法、分段求和法和裂项相消法的适用范围各不相同，同学们在解题的过程中要注意合理选择.无论运用哪种方法求和，我们都要首先仔细观察和分析数列的通项，合理进行拆分、组合、裂项，这样才能快速找到与之相对应的解题方法.(作者单位:安徽省阜南实验中学)n 马丽f æèöø1202036。
数列求和的四种方法
) 1
3 n 1
n 3 n 1
3
数列求和
例5
求数列
， ， ， ， 22 42 62
13 35 57
(2n)2 ( 2 n 1)(2 n 1)
的前n项和
Sn
分析： 该数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项 的乘积；从例4的经验看：该数列求和使用“裂项相消法” 的可能性较大，那就看分子能否化为常数。
Sn
n(a1an ) 2
na1
n(n1) 2
d
等比数列的求和公式： Sn
na1
a1 (1qn ) 1q
(q 1) (q 1)
还有一些常用公式：
12
22
32
n2
n ( n 1) (2 n 1) 6
请看下面例子：
数列求 和
例1 求数列
1
1 2
，3 14
，5 81
，7 116
，9 312
，
的前n项和
的前n项和
分析：该数列可看作等差数列2n 1等比数列
1 2n
的积数列
解：
这里等比数列的公比
q
=
1 2
Sn
1 2
3 22
5 23
7 24
2n1 2n
1 2
Sn
1 3 5
22 23 24
2n3 2n
2n1 2n1
两式相减：(1
1 2
)Sn
1 2
2 22
2 23
2 24
2 2n
2n1 2n1
求法步骤如下：
1、在 Sn a1 a2 an 的两边同时乘于公比q
2、两式相减 ；左边为（1 q)Sn ，右边q的同次式相减 3、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的
求数列的前n项和常用方法
数列求和的常用方法1. 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1的关系，必要时需分类讨论1 2 3 ||| n u^n" 1)，12 22 川 n 2 二丄n(n 1)(2n 1)，13 23 33 n 3 珂 2 6练一练：等比数列｛a n ｝的前n 项和s 匸2"—1,则a ；十…+ a ； = __________ ； 2. 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和11 1例2、 求数列的前n 项和：1 1, 4,-y • 7,…,• 一• 3n -2，…a a a n练一练：求和：S n 1 ・3-5 7 -||( ■ (-1)n (2n -1) 3. 倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序 相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n 和公式的推导方法).2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 “ 例 3、求 sin 1 sin 2 sin 3飞in 88 sin 89 的值 2 x练一练：已知f (x) 2 ,1 +x11 1 则 f(1) f(2) f(3) f(4) f(；) f (：) f (；)=23 4 4. 错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成, 法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 例 4、求和：S n =1 3x 5x 2 7x 3 (2n -1)x n° 例5、求数列2, $, 2,…；2^，…前n 项的和. 2 2 2 2n练一练：设｛a n ｝为等比数列，T n =na 1 • (n -1底• III - 2a n - a n ，已知X =1 , T^4，①求数列｛a n ｝的首项和公 比；②求数列｛T n ｝的通项公式.；5. 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求 和.常用裂项形式有：① 11 J :②一1 n(n 1) n n 11 1 1 ③丄:::一^ =1 k2 k 2 -1 2 'k -1 k 11111k 1 (k 1)k k 2(k -1)k k -1 1 1r 1 1[ ；(n 1)! n! (n 1)! 例 1、已知 log 3 x =；—，求 x x 2 x 3 log 2 3 • • • x n •…的前n 项和..；③常用公式: n(n 1),2 —2].那么常选用错位相减九)； n(n k) 1 [一 n(n 1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2) n 1 1⑥ 2(.n~?—,n)：—2:: 1：：2=2(韦一.百).V n1 , ,例6、求数列------ ， ---- ，…,——，■■的前n项和.1 +V2 +V3 €n+%'n+11 2 n 2例7、在数列｛a n｝中，a n ，又b n ，求数列｛b n｝的前n项的和.n +1 n +1 n 十1 a n a n出(1)求和:1 1---- + ---- +||| +---------------- =1 4 4 7 (3n _2) (3n 1)1｛a n｝中，a n ： ----------------- ，且Sn=9，贝y n=J n Z n +16■通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
求数列前n项和的几种方法
(2)解：由 an＝an－2＋2，n＝3,4,5，…，得 a2k＋1＝a2k－1＋2，a1＝0 及 a2k＋2＝a2k＋2，a2＝3， ∴a1，a3，a5，…，a2k－1 构成首项为 0，公差为 2 的等差数列， a2，a4，a6，…，a2k 构成首项为 3，公差为 2 的等差数列． ∴a2k－1＝2(k－1)＝(2k－1)－1，a2k＝3＋2(k－1)＝2k＋1，k＝1,2,3，…. ∴an＝n＋(－1)n，n＝1,2,3，…
解：记 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an 1＋nan， － ＋ 则 aSn＝a2＋2a3＋…＋(n－2)an 1＋(n－1)an＋nan 1. ＋ 两式相减，得(1－a)Sn＝(a＋a2＋a3＋…＋an)－nan 1. nn＋1 若 a＝1，则 Sn＝1＋2＋…＋n＝ ； 2 ＋ a1－an nan 1 若 a≠1，则 Sn＝ － . 1－a2 1－a
六、分段求和法求和 【例 7】 已知数列{an}前 n 项和为 Sn，且 an＋Sn＝1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足 bn＝3＋log4an，设 Tn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|，求 Tn.
解：(1)由 an＋Sn＝1，得 an＋1＋Sn＋1＝1.两式相减得 an＋1－an＋Sn＋1－Sn＝0， 1 ∴2an＋1＝an，即 an＋1＝ an. 2 又当 n＝1 时，a1＋S1＝1， 1 ∴a1＝ . 2 1 1 ∴数列{an}是首项为 ，公比为 的等比数列， 2 2 1 1 － 1 － ∴an＝a1qn 1＝ ×( )n 1＝( )n. 2 2 2
n11－n 4 综上可知：T ＝ n －11n＋60 4
n 2
n≤6 . n≥7
如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和 法求和．
求数列前n项和的七种方法
求数列前n项和的七种方法
求数列前n项和的七种方法如下：
1. 公式法：对于等差数列和等比数列，可以直接使用公式计算前n项和。
2. 倒序相加法：将数列倒序排列，然后与原数列相加，得到一个常数列，其和即为数列前n项和。
3. 错位相减法：对于一个等差数列和一个等比数列，将等差数列的每一项乘以等比数列的公比，得到一个新的等比数列，再使用错位相减法求和。
4. 裂项相消法：将数列中的每一项都拆分成两个部分，使得在求和时相邻的两项可以相互抵消。
5. 分组求和法：将数列分成若干组，每组内部求和，再将各组的和相加。
6. 累乘法：对于一个等差数列，将相邻两项相乘，得到一个新的等差数列，再使用累乘法求和。
7. 数学归纳法：对于一些特殊的数列，可以使用数学归纳法证明其前n项和的公式。
以上是求数列前n项和的七种方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行计算。
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2 2
2 3
求数列前n 项和的几种常用方法
江苏省 马吉超
公式法
如果数列是等差或等比数列，可直接利用前n 项求和公式，这是
的条件。
二、分组转化法
差构成，可以把原数列的求和分组转化为等差、等比或特殊数列的求 和。
求S n
1
解:
S n
1
2
n n 1 n n -- d 2 2
2
1
n
2
最基本的方法。
但应注意等比数列前
N 项求和公式
a 1
S
n
解：①当x
1时, S n
②当x 1时,
S
n
X
1
X
1 X
如果所给数列的每一项是由等差
等比或特殊数列对应项的和或
解:
S
n
1
n
2
2
2s n
2C n
1
2
C
n
n
n 2
C
n
2(c n
1 C
n
三、倒序相加法
如果求和数列的首末两项的和及与首末两项等距离的两项的和 相
等，可用此法。
（等差数列求和公式可用此法推导）
求所有大于2且小于10的分母为5的既约分数的和。
⑴+⑵得 2s
12 32 384 s 192
⑴+⑵得 1 n
一 一 n 1 2n 2 6
1 n n 1 1 ---------
2 2 解:
11 亏 49 5 12 ~5 48 5 13 ~5 47 5
47 "5 13 5 48 ~5 12 5 49 "5 11 5
解:
0 s C
n
m
C n
C n 2
C n C n 1
2C n
3c n n
n 1
1
C n n C
n
n m C
n
2
3C
n
1 2
C n
n 1
n
C
n
n
0 C
n
n
1
2 1 四、错位相减法
求和公式可用此法推导）
. n
1
2
①一②
S
n
故 S n n
12n1 2
五、裂项相消法
分正负项又可以相消，则可用此法。
求9 1
占丘
2
- 21
1 n
2n n 1
形如a n b n 的数列，其中a n
是等差数列，b n
是等比数列，则
可在求和等式两边同乘 b n
的公比，
然后两等式错位相减。
（等比数列
例6求S n
1 2 2 2
2
3
S
n
2 2 2
2
3
如果求和数列的每一项均能分裂成对应两项的差,
求和时，大部
解:
S n
21 丄 21
2 2
J n 1 1
六、二项式定理法
某些由组合数构成的数列求和时，往往用二项式定理更有效。
解：由二项式定理
七、常见结论法 熟悉一些常见结论，对解决求和问题很有益处。
如
n
2 n
n 1 2n 1 . n
6
n 丁 4]
⑶等差数列的前N 项和、次N 项和、后N 项和构成等差数列。
1 1
\[2 -\p 2
J n 1 T H
2 2
例9
求C H C H
2
n C n
0 1
C n C n X C
2 2 n
X
n n
C n X
On 1 n
C n X C n X
n C n
1
n
X
C n
2n
1 X
0 1
C 2n C 2n X
n
C 2n
2n
X
2n 2n
C 2n X
.•.⑴与⑵的积中含
项的系数
2 2
0 1 C n C n
应与⑶中含X n
项的系数C n
2 2
故 S c O C
H
相等。
2
n
C n
n
C
2n
⑴ 12
22
⑵ 13 23
⑷等比数列的前N 项和、次N 项和、后N 项和构成等比数列。
设某等差数列的前10项和S 10
5，前20项的和S 20
20，
Si o 、（S 20 S0）、（S 30 S 20）构成等差数列知:
2(
S 20
S
lO
)= S o +(
S3O
S
20
)
，
S
30
45
.
例10 求该数列前 30项的和S 30
.
解:
2 20 5
5
S
30
20 ,。