常用的曲线方程有哪些
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
常见曲线的参数方程
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。
①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
常见曲线的参数方程
双曲线参数方程
04
双曲线标准形式及性质
标准形式
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a, b > 0$）
性质
双曲线有两个焦点，位于x轴上，距离原点的距离为$c$，其中$c^2 = a^2 + b^2$。双曲线上的任意一点到两 焦点的距离之差为定值$2a$。
椭圆性质
椭圆有两个焦点，任意一点到两焦点 的距离之和等于长轴的长度；椭圆关 于中心对称，也关于两焦点所在的直 线对称。
椭圆参数方程推导
参数方程形式
$x = acostheta, y = bsintheta$，其中$theta$为参数，表 示与$x$轴的夹角。
推导过程
由椭圆的标准形式，设$x = acostheta$，代入椭圆方程可得 $y = pm bsqrt{1 - frac{x^2}{a^2}} = pm bsqrt{1 cos^2theta} = pm bsintheta$。由于椭圆关于$x$轴对称， 故取正号，得到椭圆的参数方程。
常见曲线的参数方程
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目录
• 曲线基本概念与分类 • 直线与圆参数方程 • 椭圆参数方程 • 双曲线参数方程 • 抛物线参数方程 • 空间曲线参数方程简介
曲线基本概念与分
01
类
曲线定义及性质
曲线定义
曲线是动点运动时，其位置随时 间连续变化所形成的轨迹。
曲线性质
曲线具有连续性、光滑性、可微 性等性质，这些性质决定了曲线 的形态和特性。
参数方程定义
参数方程是一种通过引入参数来表示 变量间关系的方程形式。在参数方程 中，曲线的坐标被表示为参数的函数 。
曲线常用公式
1.碟形弹簧圓柱坐标方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t2.葉形线.笛卡儿坐標标方程：a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))3.螺旋线(Helical curve)圆柱坐标（cylindrical）方程：r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*34.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * t theta = 360 * t * 4 phi = -360 * t * 85.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=06.螺旋线.笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360)) y = 4 * sin ( t *(5*360))z = 10*t7.对数曲线笛卡尔坐标系方程：z=0x = 10*ty = log(10*t+0.0001)8.球面螺旋线采用球坐标系方程：rho=4theta=t*180phi=t*360*209.双弧外摆线卡迪尔坐标方程：l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)10.星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^311.心脏线圓柱坐标方程：a=10r=a*(1+cos(theta)) theta=t*36012.圆内螺旋线采用柱座标系方程：theta=t*360r=10+10*sin(6*theta) z=2*sin(6*theta)13.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=014.太阳线（这本来是做别的曲线的，结果做错了，就变成这样了）15.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做16.Talbot 曲线卡笛尔坐标方程：theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/ay = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b17.4叶线（一个方程做的，没有复制）18.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta) y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)19. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =0：20.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t21.三叶线圆柱坐标方程：a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)22.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta) z=023. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)24.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标方程：a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta) y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)25.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)26. 三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360))y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))27.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)28.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)29.阿基米德螺线柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta30.对数螺线柱坐标theta = t*360*2.2 a = 0.005r = exp(a*theta)31.蔓叶线笛卡儿坐标系a=10y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x)for x32.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)33.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x)+exp(0-x))/234.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/235.双曲正切x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))36.一峰三驻点曲线x = 3*t-1.5y=(x^2-1)^3+137.八字曲线x = 2 * cos ( t *(2*180)) y = 2 * sin ( t *(5*360)) z = 038.螺旋曲线r=t*(10*180)+1 theta=10+t*(20*180) z=t39.圆x = cos ( t *(5*180)) y = sin ( t *(5*180)) z = 040.封闭球形环绕曲线rho=2theta=360*tphi=t*360*1041.柱坐标螺旋曲线x = 100*t * cos ( t *(5*180)) y = 100*t * sin ( t *(5*180)) z = 042.蛇形曲线x = 2 * cos ( (t+1) *(2*180)) y = 2 * sin ( t *(5*360))z = t*(t+1)柱坐标theta = t*360r=10+(8*sin(theta))^244.椭圆曲线笛卡尔坐标系a = 10b = 20theta = t*360x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)柱坐标theta = t*360r=10+(3*sin(theta*2.5))^246.另一个花曲线theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=4*sin(theta*3)^247.改一下就成为空间感更强的花曲线了;) theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=(r*sin(theta*3))^248.螺旋上升的椭圆线a = 10b = 20theta = t*360*3x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)z=t*1249.甚至这种螺旋花曲线theta = t*360*4r=10+(3*sin(theta*2.5))^2z = t*1650 鼓形线笛卡尔方程r=5+3.3*sin(t*180)+t theta=t*360*10z=t*1051 长命锁曲线笛卡尔方程：a=1*t*359.5b=q2*t*360c=q3*t*360rr1=w1rr2=w2rr3=w3x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c) y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*sin(c)51 长命锁曲线笛卡尔方程：a=1*t*359.5b=q2*t*360c=q3*t*360rr1=w1rr2=w2rr3=w3x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c) y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*sin(c)图51 52 簪形线球坐标方程：rho=200*ttheta=900*tphi=t*90*1053.螺旋上升曲线r=t^10theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3*3 z=t^3*(t+1)54.蘑菇曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*20*2055. 8字曲线a=1b=1x=3*b*cos(t*360)+a*cos(3*t*360) Y=b*sin(t*360)+a*sin(3*t*360)56.梅花曲线theta=t*360r=100+50*cos(5*theta)z=2*cos(5*theta)57.桃形曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*10*1058.名稱:碟形弹簧建立環境:pro/e圓柱坐r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+2459.环形二次曲线笛卡儿方程：x=50*cos(t*360)y=50*sin(t*360)z=10*cos(t*360*8)60 蝶线球坐标：rho=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2) theta=t*360phi=log(1+t*360)*t*360笛卡尔：ang1=t*360ang2=t*360*20x=ang1*2*pi/360y=sin(ang1)*5+cos(ang2)z=sin(ang2)62.环形螺旋线x=（50+10*sin(t*360*15))*cos(t*360) y=(50+10*sin(t*360*15))*sin(t*360) z=10*cos(t*360*5)x=2*cos(t*360*10)+cos(t*180*10) y=2*sin(t*360*10)+sin(t*180*10) z=t*664.多变内接式弹簧x=3*cos(t*360*8)-1.5*cos(t*480*8)y=3*sin(t*360*8)-1.5*sin(t*480*8)z=t*865.柱面正弦波线方程r=30theta=t*360z=5*sin(5*theta-90)66. ufo （漩涡线）球坐标：rho=t*20^2theta=t*log(30)*60phi=t*720067. 手把曲线thta1=t*360*6r0=400r1=40r=r0+r1*cos(thta1)x=r*cos(thta0)y=r1*sin(thta1)z=068.篮子圆柱坐标r=5+0.3*sin(t*180)+t theta=t*360*30z=t*569. 圆柱齿轮齿廓的渐开线方程：x=10*cos(afa)+pi*10*afa/180*sin(afa)x=10*sin(afa)-pi*10*afa/180*cos(afa)z=0注：afa为压力角，取值范围是0到60，10为基圆半径。
曲线的参数方程
特点：参数方程 可以表示出曲线 的形状和位置
应用：在物理、 工程、计算机图 形学等领域有广 泛应用
标准形式：x=f(t), y=g(t)
参数方程： x=f(t,y), y=g(t,y)
极坐标形式： x=r*cos(θ), y=r*sin(θ)
参数方程的转换： x=f(t), y=g(t) -> x^2+y^2=f^2 (t)+g^2(t)
机械设计：参 数方程用于描 述机械零件的
形状和尺寸
建筑设计：参 数方程用于描 述建筑物的形
状和结构
电子设计：参 数方程用于描 述电子设备的
形状和电路
航空航天设计： 参数方程用于 描述飞行器的
形状和结构
物理学：描述运动物体的轨迹
计算机图形学：生成复杂的三维 图形
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工程学：用于设计曲线形状的机 械零件
描述电磁场：参 数方程可以描述 电磁场的分布如 电场线、磁场线 等。
描述流体力学： 参数方程可以描 述流体力学中的 流场如速度场、 压力场等。
曲线的表示：参数方程可以表示各种类型的曲线如直线、圆、椭圆等
曲线的性质：参数方程可以方便地描述曲线的性质如曲率、长度、面积等
曲线的变换：参数方程可以方便地进行曲线的变换如平移、旋转、伸缩等 曲线的拟合：参数方程可以用于拟合各种类型的曲线如拟合实验数据、拟 合图像等
确定参数方程的 形式
找出参数方程中 的未知参数
利用已知条件求 解参数方程
验证求解结果是 否满足已知条件
示例1：求解参数方程x=t^2, y=t^3
示例3：求解参数方程x=t^2+3, y=t^3+4
曲线知识点归纳总结
曲线知识点归纳总结一、曲线的基本概念1. 曲线是平面上由点的序列构成的连续图形，具有一定的形状和大小。
2. 曲线的特点是可以通过不同的数学方法进行描述和分析，如参数方程、极坐标方程、直角坐标方程等。
3. 曲线可以分为闭合曲线和非闭合曲线两类，闭合曲线是一条形成闭合图形的曲线，非闭合曲线则不形成闭合图形。
二、曲线的分类1. 根据曲线的性质和形状，可以将曲线分为直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等不同类型的曲线。
2. 直线是最简单的曲线，其数学描述通常是y = kx + b的形式，其中k为斜率，b为截距。
3. 圆是一个闭合的曲线，其所有点到圆心的距离相等，圆的方程通常是(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
三、曲线的参数方程1. 参数方程是用参数t表示的x和y的函数，即x=f(t)、y=g(t)，其中t的取值范围为[a,b]。
2. 参数方程能够描述曲线上每一个点的位置，可以对曲线的形状和轨迹进行详细的研究和描述。
3. 参数方程常用于描述曲线的运动轨迹、机械运动、物体的运动等实际问题。
四、曲线的极坐标方程1. 极坐标方程是用极径r和极角θ来描述曲线上的点的关系，即r=f(θ)，通常是一条曲线的极坐标方程可以等价地表示成直角坐标方程。
2. 极坐标方程适用于描述对称性明显的曲线，如圆、椭圆、双曲线等。
3. 极坐标方程能够简洁地描述某些复杂曲线的形状和性质，常用于数学分析和物理问题中。
五、曲线的直角坐标方程1. 直角坐标方程是用x和y的关系式来描述曲线的方程，通常是y=f(x)的形式。
2. 直角坐标方程是最常见的曲线方程形式，适用于多种曲线的描述和分析。
3. 直角坐标方程能够直观地反映曲线的形状和特征，便于进行数值计算和图形绘制。
六、曲线的性质与特征1. 曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要参数，曲率越大表示曲线越弯曲。
2. 曲线的切线是曲线上某一点的切线，切线的斜率等于曲线在该点的导数值。
常见曲线的参数方程总结
x
a
曲线,是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。
1. 旋轮线
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的
x
来看动点的慢动作
2a
2a
0
y
x
a
x = a (t – sint) y = a (1– cost)
t 的几何意义如图示
t
a
当 t 从 0 2，x从 0 2a
即曲线走了一拱
a
.
参数方程
o
a
C
A
x
y
这就是旋轮线的参数方程。
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
2. 旋轮线也叫摆线（单摆）
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。 在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
B
A
答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。
最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？
4.
0
x
y
x+y+a = 0
曲线关于 y= x 对称
曲线有渐近线 x+y+a=0
.
0
x
y
P
r
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 =
.
.
.
.
.
距离之积为a2的点的轨迹
直角系方程
8.双纽线
0
x
y
.
所围面积
.
.
.
由对称性
.
例1 求双纽线
常用曲线方程
圓柱坐标r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t 2.葉形线笛卡儿坐標标a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))3.螺旋线(Helical curve)圆柱坐标（cylindrical）r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*34.蝴蝶曲线球坐标rho = 8 * ttheta = 360 * t * 4phi = -360 * t * 85.渐开线笛卡尔坐标系r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=06.螺旋线.笛卡儿坐标x = 4 * cos ( t *(5*360)) y = 4 * sin ( t *(5*360)) z = 10*t7.对数曲线笛卡尔坐标系z=0y = log(10*t+0.0001)8.球面螺旋线球坐标系rho=4theta=t*180phi=t*360*209.双弧外摆线卡迪尔坐标l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360) 10.星行线卡迪尔坐标a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^311.心脏线圓柱坐标a=10r=a*(1+cos(theta))theta=t*36012.圆内螺旋线柱座标系theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)z=2*sin(6*theta)13.正弦曲线笛卡尔坐标系x=50*ty=10*sin(t*360)z=014.太阳线柱坐标r=1.5*cos(50*theta)+1theta=t*360z=015.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做16.Talbot 曲线卡笛尔坐标theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/ay = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b18.Rhodonea 曲线笛卡尔坐标系theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta) y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta) 19. 抛物线笛卡儿坐标x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =020.螺旋线圓柱坐标r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t21.三叶线圆柱坐标a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)22.外摆线迪卡尔坐标theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta) z=023. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)24.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta) y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta) 25.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta) 26. 三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360))y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360)) 27.概率曲线！笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)28.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)29.阿基米德螺线柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta30.对数螺线柱坐标theta = t*360*2.2a = 0.005r = exp(a*theta)31.蔓叶线笛卡儿坐标系a=10y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x)for x32.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)33.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x)+exp(0-x))/234.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/235.双曲正切x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x)) 36.一峰三驻点曲线x = 3*t-1.5y=(x^2-1)^3+137.八字曲线x = 2 * cos ( t *(2*180))y = 2 * sin ( t *(5*360))z = 038.螺旋曲线r=t*(10*180)+1theta=10+t*(20*180)z=t39.圆x = cos ( t *(5*180))y = sin ( t *(5*180))z = 040.封闭球形环绕曲线rho=2theta=360*tphi=t*360*1041.柱坐标螺旋曲线x = 100*t * cos ( t *(5*180))y = 100*t * sin ( t *(5*180))z = 042.蛇形曲线x = 2 * cos ( (t+1) *(2*180))y = 2 * sin ( t *(5*360))z = t*(t+1)43.8字形曲线柱坐标theta = t*360r=10+(8*sin(theta))^244.椭圆曲线笛卡尔坐标系a = 10b = 20theta = t*360x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)45.梅花曲线柱坐标theta = t*360r=10+(3*sin(theta*2.5))^246.另一个花曲线theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=4*sin(theta*3)^247.改一下就成为空间感更强的花曲线了;) theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=(r*sin(theta*3))^248.螺旋上升的椭圆线a = 10b = 20theta = t*360*3x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)z=t*1249.甚至这种螺旋花曲线theta = t*360*4r=10+(3*sin(theta*2.5))^2z = t*1650 鼓形线笛卡尔方程r=5+3.3*sin(t*180)+ttheta=t*360*10z=t*1051 长命锁曲线笛卡尔方程：a=1*t*359.5b=q2*t*360c=q3*t*360rr1=w1rr2=w2rr3=w3x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c) y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*sin(c) 52 簪形线球坐标rho=200*ttheta=900*tphi=t*90*1053.螺旋上升曲线r=t^10theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3*3z=t^3*(t+1)54.蘑菇曲线球坐标rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*20*2055. 8字曲线a=1b=1x=3*b*cos(t*360)+a*cos(3*t*360)Y=b*sin(t*360)+a*sin(3*t*360)56.梅花曲线theta=t*360r=100+50*cos(5*theta)z=2*cos(5*theta)57.桃形曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*10*1058.碟形弹簧圓柱坐r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+2459 环形二次曲线笛卡儿方程：x=50*cos(t*360)y=50*sin(t*360)z=10*cos(t*360*8)60 蝶线球坐标：rho=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2) theta=t*360phi=log(1+t*360)*t*36061.正弦周弹簧笛卡尔：ang1=t*360ang2=t*360*20x=ang1*2*pi/360y=sin(ang1)*5+cos(ang2)z=sin(ang2)62.环形螺旋线笛卡尔：x=（50+10*sin(t*360*15))*cos(t*360) y=(50+10*sin(t*360*15))*sin(t*360) z=10*cos(t*360*5)63.内接弹簧笛卡尔：x=2*cos(t*360*10)+cos(t*180*10)y=2*sin(t*360*10)+sin(t*180*10)z=t*664.多变内接式弹簧笛卡尔：x=3*cos(t*360*8)-1.5*cos(t*480*8) y=3*sin(t*360*8)-1.5*sin(t*480*8) z=t*865.柱面正弦波线柱坐标r=30theta=t*360z=5*sin(5*theta-90)66.漩涡线球坐标：rho=t*20^2theta=t*log(30)*60phi=t*720067. 手把曲线笛卡尔：thta0=t*360thta1=t*360*6r0=400r1=40r=r0+r1*cos(thta1)x=r*cos(thta0)y=r1*sin(thta1)z=068.篮子圆柱坐标r=5+0.3*sin(t*180)+ttheta=t*360*30z=t*569. 圆柱齿轮齿廓的渐开线方程：笛卡尔坐标afa=60*tx=10*cos(afa)+pi*10*afa/180*sin(afa)x=10*sin(afa)-pi*10*afa/180*cos(afa)z=0注：afa为压力角，取值范围是0到60，10为基圆半径。
曲线参数方程
曲线参数方程
曲线参数方程是数学中的一种表示曲线的方法，它是由参数方程得到的。
参数方程是指将一条曲线的x和y坐标都表示为一个值t的函数，这个t值称为参数。
曲线参数方程可以用于描述各种复杂的图形，它常用于物理、工程和计算机图形学等领域。
曲线参数方程的一般形式是：
x=f(t)
y=g(t)
其中，函数f(t)和g(t)都是关于参数t的函数。
通过不同的参数值t，我们可以得到曲线上的不同点坐标(x,y)。
例如，对于一个圆形，它的参数方程可以表示为：
x=r*cos(t)
y=r*sin(t)
其中，r为圆的半径，参数t在0～2π之间取值，表示圆上的点的位置。
类似地，对于其他的曲线形状，可以通过不同的f(t)和g(t)函数来表示。
使用曲线参数方程可以使得我们更加方便地进行坐标运算和图像变换。
同时，在一些数学问题中，例如求曲线长度、曲线与坐标轴围成面积等，使用参数方程可以更加方便地进行计算。
需要注意的是，在使用曲线参数方程时，我们需要根据实际问题确定参数t的取值范围，以确保我们得到的曲线上的点都是符合要求的。
总之，曲线参数方程是一种非常有用的数学工具，它为我们的数学和工程问题提供了方便、快捷的解决方案。
无论是从理论上还是实际应用中来看，曲线参数方程都是一种非常值得探究和研究的数学工具。
[数学]常用方程曲线
![[数学]常用方程曲线](https://img.taocdn.com/s3/m/de307968a36925c52cc58bd63186bceb19e8edf4.png)
常用方程曲线1.螺旋线r=半径参数*ttheta=t*(圈数参数*360)z=高度参数*t2.球面螺旋线tho=半径参数theta=t*180phi=t*360*圈数参数3.星形线a=直径参数x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^34.渐开线r=基圆直径/2theta=t*90(转过的角度参数)x=r*cos(theta)+r*sin(theta)*theta*(pi/180)y=r*sin(theta)-r*cos(theta)*theta*(pi/180)z=01. 笛卡尔坐标下的渐开线参数方程卡笛尔坐标系下的渐开线参数方程如下（设压力角afa 由0到60度，基圆半径为10）：afa=60*tx=10*cos(afa)+pi*10*afa/180 * sin(afa)y=10*sin(afa)-pi*10*afa/180 * cos(afa)z=02.圆柱坐标下的渐开线参数方程圆柱坐标系下的渐开线参数方程如下（设基圆半径为10，压力角afa 从0到60度）：afa = 60*tr = (10^2 + (pi*10*afa/180)^2)^0.5theta = afa-atan((pi*10*afa/180)/10)z = 0在Pro/ENGINEER 里使用Feature > Creat > Datum > Curve > From Equation 命令，选择一个坐标系，然后选择坐标类型（笛卡尔坐标/圆柱坐标/球坐标），在窗口里输入以上方程即可生成一段精确的渐开线。
Pro/ENGINEER关于零件建模中的坐标系坐标系是可以添加到零件和组件中的参照特征，它可执行下列操作：∙计算质量属性。
∙组装元件。
∙为“有限元分析(FEA)”放置约束。
∙为刀具轨迹提供制造操作参照。
∙用作定位其它特征的参照（坐标系、基准点、平面和轴线、输入的几何，等等）。
Ⅰ．时间序列数据11种曲线的拟合与外延预测法
Ⅰ．时间序列数据11 种曲线的拟合与外延预测法1. 11 种常用曲线方程时间序列数据常常要研究某变量随时间变化的趋势。
曲线拟合就是根据实际数据所呈现的趋势，拟合出误差最小的曲线方程。
SPSS的Trends 过程，其中的CURVEFIT 命令可一次性拟合出11 种常用的曲线方程。
本节介绍其拟合方法。
这11 种常用的曲线方程是：下述方程以“*”表示“乘”，“**”表示“乘方”。
(1) 直线回归方程（LINEAR，LIN）：Y=b0+(b1*t)。
式中b0 为截距，b1 为直线的斜率，t 为自变量，Y 为因变量的估计值。
(2) 对数曲线方程（LOGARITHMIC，LOG）：Y=b0+(b1*ln(t))。
令ln(t)=t'，可得直线方程形式：Y=b0+(b1*t')。
(3) 反函数曲线方程（INVERSE，INV）：Y=b0+(b1/t)。
令1/t=t'，可得直线方程形式：Y=b0+(b1*t')。
(4) 二次曲线（抛物线）方程（QUADRA TIC，QUA）：Y=b0+(b1*t)+(b2*t**2)。
(5) 三次曲线（三次抛物线）方程（CUBIC，CUB）：Y=b0+(b1*t)+(b2*t**2)+(b3*t**3)。
(6) 复合曲线方程（COMPOUND，COM）：Y=b0*(b1**t)或ln(Y)=ln(b0)+(ln(b1)*t)。
令ln(Y)=Y'，ln(b0)=b0'，ln(b1)=b1'，可得直线方程形式：Y'=b0'+(b1*t)。
(7) 幂函数曲线方程（POWER，POW）：Y=b0*(t**b1)或ln(Y)=ln(b0)+(b1*ln(t))。
令ln(Y)=Y'，ln(b0)=b0'，ln(t)=t'，可得直线方程形式：Y'=b0'+(b1*t')。
(8) S 形曲线方程（S）：Y=e**(b0+(b1/t))或ln(Y)=b0+(b1/t)。
常见曲线曲面方程与图形
旋转双叶双曲面：
x2 a2
y2 z2 c2
1
x
z Oy
旋转单叶双曲面：
x2 y2 a2
z2 c2
1
z
xO y
结束
抛物柱面： •
z
O
x
y
椭圆柱面：
z
•
x2 a2
y2 b2
1
O
y
x
结束
圆柱面：
x2 y2 R2
z
O
y x
结束
椭球面：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
在该点的切线斜率为±1
B
O
Ax
• 顶 点:
• 双纽面积:
结束
三叶玫瑰线
aLeabharlann OxaOx
结束
圆锥面:
z2 x2 y2
z
O
y
x
椭圆锥面:
x2 y2 z2 a2 b2
z
O
y
x
结束
单叶双曲面:
x2 y2 z2
a2
b2
c2
1
z
xO y
双叶双曲面: x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z
Oy x
即 r a(1 cos )
y
O
a
• 尖点: (0, 0)
x
• 面积:
3 2
π
a
2
• 弧长: 8a
结束
阿基米德螺线 r a
a0
a0
• 物理意义: 动点 M 以常速 v 沿一射线运动, 该射线又
以定速 绕极点转动时, 点M 的轨迹即为
阿基米德螺线
几种常见的曲面及其方程二次曲面曲线
x y z 2 2 1 2 a a b
y 2 x2 z 2 1 2 2 a b
222aFra biblioteka y
绕 y轴旋转而成的旋转曲面方程为 即
x
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b a b
例3 求
旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。 解 方程 便得到旋转抛物线的方程为
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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1. 椭球面 x2 y 2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(1)范围： x a,
y b,
z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y 2 2 2 1 , 黄a b z0
xoy 面上的抛物线 x ay 2 (a 0) 绕x轴
x ay 2 中的x 不变， 换成 y 2 z 2
x a( y z )
2 2
例4 求 yoz 面上的直线 z ky(k 0) 绕z轴 z 旋转一周而成的圆锥面的方程。
解 所求圆锥面的方程为
即
y
z k x2 y 2
x
l1
y
z
l2
y
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H ( z, x) 0 表示 柱面,
z
x
l3
x
母线 平行于 y 轴;
y
准线 xoz 面上的曲线 l3.
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3.旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
参数方程
参数方程本节内容1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点(),P x y满足()()x f ty g t⎧=⎪⎨=⎪⎩，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点(),P x y都在这条曲线上，那么这个方程组叫做该曲线的参数方程，变量t叫做参变数，简称参数．2.参数方程与普通方程的互化：（1）参数方程化为普通方程：代入消元或加减消元消去参数化为普通方程；（2）普通方程化为参数方程：普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．3.常见曲线参数方程（1）直线l的常用参数方程为：cossinx m ty n tθθ=+⎧⎨=+⎩，t∈R为参数，其中θ为直线的倾斜角，(,)m n为直线上一点．（2）圆222()()x a y b r-+-=的常用参数方程为：cos,[0,2π)sinx a ry b rθθθ=+⎧∈⎨=+⎩为参数；（3）椭圆22221x ya b+=的常用参数方程为：cos,[0,2π)sinx ay bθθθ=⎧∈⎨=⎩为参数．【例1】将参数方程222sinsinxyθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）化为普通方程为（）A．2y x=-B．2y x=+C．2(23)y x x=-≤≤D．2(01)y x y=+≤≤【例2】将参数方程12cos,2sin,xyθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）化成普通方程为．【例3】若直线l的参数方程为13()24x tty t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线l倾斜角的余弦值为为（）A．45-B．35-C．35D．45【例4】曲线C的参数方程为2cos,sinxyθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线C上的点到直线3440x y-+=的距离的最大值为__________【例5】若直线l与圆2cos,:12sinxCyθθ=⎧⎨=-+⎩（θ为参数）相交于A，B两点，且弦AB的中点坐标是(1,2)-，则直线l的倾斜角为____________．【例6】椭圆:C cos ,()2sin x y θθθ=⎧∈⎨=⎩R 经过点1(,)2m ，则m =______，离心率e =_______. 【例7】方程⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)的普通方程是 ；与x 轴交点的直角坐标是_____. 【例8】若曲线C 的参数方程为21cos2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线C 上的点的轨迹是（ ） A ．直线220x y +-= B ．以(2,0)为端点的射线C ．圆22(1)1x y -+=D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段【例9】若直线1l ：122x t y kt =-⎧⎨=+⎩(t 为参数)与直线l 2：12x s y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k ＝ ． 【例10】若直线210x ky +-=（k R ∈）与曲线cos 1sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩(θ为参数)相切，则k ＝ ． 【例11】已知圆M ：x 2+y 2-2x -4y +1=0，则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为 ． 【例12】参数方程12x t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数)表示的曲线是________．【例13】已知曲线C 的参数方程为113x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，（t 为参数，0t >），求曲线C 的普通方程．【例14】若直线340x y m ++=与圆1c o s 2s i n x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）没有公共点，则m 的取值范围 是 ．【例15】求直线l 1：153x t y t=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩和直线230x y --=的交点P 坐标，及P 与()1,5Q -的距离．【例16】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为11x y t =⎧⎨=+⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（参数[)0,2πθ∈），则圆心到直线l 的距离是 ． 【例17】过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)相交于A B 、两点，求AB 长度．【例18】直线2(1x t t y t=-+⎧⎨=-⎩为参数)被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ） A ．98 B ．1404C ．82D ．9343+ 【例19】 已知直线1C ：1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），2C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （1）当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；（2）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A P ，为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【例20】已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点：（1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。
曲线方程公式一般公式
曲线方程公式一般公式曲线方程是数学中的重要概念，用于描述平面上的曲线形状和变化规律。
本文将介绍曲线方程的一般公式，并解释其含义和应用。
一、曲线方程的一般公式是什么？曲线方程的一般公式形式如下：y = f(x)，其中 f(x)表示一个关于 x 的函数。
这个公式描述了平面上的点在 x 轴和 y 轴之间的关系。
通过给定 x 的值，可以计算出相应的 y 值，从而确定曲线上的点的位置。
二、曲线方程的含义是什么？曲线方程的公式反映了曲线上各个点的坐标关系。
通过这个公式，我们可以了解曲线的形状、方向、起始点和终点等信息。
例如，当f(x) = x^2 时，我们知道这是一个抛物线，开口朝上，顶点在原点，并且曲线向正无穷方向延伸。
三、曲线方程的应用有哪些？1. 几何图形的描述：利用曲线方程，我们可以描述各种几何图形，例如直线、抛物线、椭圆等。
这对于建模、设计和几何问题的解决非常有用。
2. 物理学中的运动轨迹：曲线方程可以用来描述物体在空间中的运动轨迹。
例如，当我们知道了物体在某一时刻的位置和速度，利用牛顿第二定律可以推导出物体的运动方程。
3. 统计学中的趋势线拟合：曲线方程可以用来拟合和预测数据的变化趋势。
通过观察数据的分布情况，我们可以选择适当的曲线模型，通过拟合曲线方程来描述数据的规律。
4. 工程和科学领域的模拟和仿真：曲线方程在工程和科学研究中广泛应用于模拟和仿真。
例如，通过建立物理系统的动力学方程，可以使用数值方法求解曲线的变化和响应。
总结：曲线方程的一般公式是 y = f(x)，通过这个公式可以描述平面上的点的位置和变化规律。
曲线方程在几何、物理、统计学和工程科学等领域都有重要应用。
掌握曲线方程的一般公式和应用技巧，对于解决实际问题和深入理解数学概念都有很大帮助。
sw样条曲线方程
sw样条曲线方程
SW样条曲线方程
SW样条曲线是一种常用的曲线拟合方法，它可以通过一系列控制点来生成一条平滑的曲线。
SW样条曲线方程是用来描述这条曲线的数学公式，它可以用来计算曲线上任意一点的坐标。
SW样条曲线方程的基本形式为：
S(x) = a + bx + cx^2 + dx^3
其中，a、b、c、d是待求系数，x是曲线上的自变量。
这个方程可以用来描述一条三次样条曲线的形状。
三次样条曲线是指曲线上的每一段都是一个三次多项式。
这些多项式在相邻段的交点处满足一定的连续性条件，使得整条曲线看起来非常平滑。
SW样条曲线方程的求解需要满足一些约束条件，包括：
1. 曲线必须经过所有的控制点。
2. 曲线在控制点处的一阶导数和二阶导数必须连续。
3. 曲线在两端点处的二阶导数必须为零，这样可以保证曲线的端点处不会出现奇怪的弯曲。
通过这些约束条件，我们可以得到一个线性方程组，其中包含了待求系数的值。
通过解这个方程组，我们就可以得到SW样条曲线方程的系数，从而计算出曲线上任意一点的坐标。
SW样条曲线方程在计算机图形学、CAD等领域得到了广泛的应用。
它可以用来生成平滑的曲线、曲面，也可以用来进行形状拟合、曲线重构等任务。
在实际应用中，我们可以通过调整控制点的位置和数量来改变曲线的形状，从而满足不同的需求。
SW样条曲线方程是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们生成平滑的曲线、曲面，从而实现各种形状拟合和曲线重构的任务。
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文档详细信息
标题在Creo Parametric 中，常用的曲线方程有哪些说明常用的曲线方程
适用于∙Pro/ENGINEER 所有版本
∙Creo Elements/Pro 5.0 所有日期代码∙Creo Parametric 1.0, 2.0 所有日期代码
原因
解决方案
∙x=*，y=*，z=*，为笛卡尔坐标系方程
∙r=*，theta=*，z=*，为圆柱坐标系方程
∙rho=*，theta=*，phi=*，为球坐标系方程∙螺旋曲线方程
x = 4 * cos ( t *(5*360))
y = 4 * sin ( t *(5*360))
z = 10*t
或者：
r = 5
theta = t*1800
z =(cos(theta-90))+24*t
∙正弦曲线方程：
x=50*t
y=10*sin(t*360)
z=0
∙正切曲线方程：
x = t*8.5 -4.25
y = tan(x*20)
∙椭圆曲线方程：
a = 10
b = 20
theta = t*360
x = a*cos(theta)
y = b*sin(theta)
∙渐开线曲线方程：
r=1
ang=360*t
s=2*pi*r*t
x0=s*cos(ang)
y0=s*sin(ang)
x=x0+s*sin(ang)
y=y0-s*cos(ang)
z=0
∙抛物线曲线方程：
x =(4 * t)
y =(3 * t) + (5 * t ^2)
z =0
∙椭圆螺旋线曲线方程：
a = 10
b = 20
theta = t*360*3
x = a*cos(theta)
y = b*sin(theta)
z=t*12
∙球形弹簧曲线方程：
rho=4
theta=t*180
phi=t*360*20
∙概率曲线：
x = t*3-1.5
y = exp(0-x^2)
∙费马曲线方程：
theta=360*t*5
a=4
r=a*sqrt(theta*180/pi)。