数学选修2-2 第二章 推理与证明 课件 第2章
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(人教A版)数学【选修2-2】第2章《推理与证明》ppt复习课件
(1)自反性：对于任意a∈A，都有a∽a. (2)对称性：对于a，b∈A，若a∽b，则b∽a. (3)传递性：对于a，b，c∈A，若a∽b，b∽c，则a∽c. 那么称“∽”是集合A的一个等价关系，例如“数的相等”是 等价关系，而直线的平行不是等价关系(自反性不成立)，请你再 判断两个关系________．
规律技巧 对于比较抽象的问题，可通过具体化探求其规 律，如本例先用实验的方法，求出n＝1，2，3，4时的fn的值， 从中归纳出规律递推关系fn＝fn－1＋n，使问题得以解决.
3．综合法 综合法是从原因推测结果的思维方法，即从已知条件出发， 经过逐步的推理，最后达到待证的结论，这是常用的数学方法．
【解】 (1) 方程x2－(3k＋2k)x＋3k·2k＝0的两根为x1＝3k，x2 ＝2k.
当k＝1时，x1＝3，x2＝2，∴a1＝2； 当k＝2时，x1＝6，x2＝4，∴a3＝4； 当k＝3时，x1＝9，x2＝8，∴a5＝8； 当k＝4时，x1＝12，x2＝16，∴a7＝12. ∵当n≥4时，2n>3n， ∴a2n＝2n(n≥4)．
(1)由上可知，当n＝1,2,3时，该等式成立． (2)假设n＝k(k≥1)时，等式成立． 即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝kk1＋2 1(3k2＋11k＋10)成立． 那么1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2 ＝kk1＋2 1(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2
(2) 分析法：是从待证的结论出发，一步一步的去寻找结论 成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或被证明的事实．因 此，若从最后一步倒推回去，直到结论，这个过程就是综合．因 此，在解答较复杂的数学命题时，常用分析法找思路，再用综合 法表达，有时分析法和综合法合用称为“分析综合法”．
规律技巧 对于比较抽象的问题，可通过具体化探求其规 律，如本例先用实验的方法，求出n＝1，2，3，4时的fn的值， 从中归纳出规律递推关系fn＝fn－1＋n，使问题得以解决.
3．综合法 综合法是从原因推测结果的思维方法，即从已知条件出发， 经过逐步的推理，最后达到待证的结论，这是常用的数学方法．
【解】 (1) 方程x2－(3k＋2k)x＋3k·2k＝0的两根为x1＝3k，x2 ＝2k.
当k＝1时，x1＝3，x2＝2，∴a1＝2； 当k＝2时，x1＝6，x2＝4，∴a3＝4； 当k＝3时，x1＝9，x2＝8，∴a5＝8； 当k＝4时，x1＝12，x2＝16，∴a7＝12. ∵当n≥4时，2n>3n， ∴a2n＝2n(n≥4)．
(1)由上可知，当n＝1,2,3时，该等式成立． (2)假设n＝k(k≥1)时，等式成立． 即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝kk1＋2 1(3k2＋11k＋10)成立． 那么1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2 ＝kk1＋2 1(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2
(2) 分析法：是从待证的结论出发，一步一步的去寻找结论 成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或被证明的事实．因 此，若从最后一步倒推回去，直到结论，这个过程就是综合．因 此，在解答较复杂的数学命题时，常用分析法找思路，再用综合 法表达，有时分析法和综合法合用称为“分析综合法”．
(人教A版)数学【选修2-2】2-2-2《反证法》ppt课件
规律技巧 用反证法证明“至多”“至少”型命题，可减 少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什 么，避免出现错误．需仔细体会“至多有一个”“至少有一 个”的含义.
三 用反证法证明否定性命题 【例3】 求证抛物线上任取四点所组成的四边形不可能
是平行四边形．
已知：如图所示，A，B，C，D是抛物线y2＝2px(p>0)上的 任意四点，其坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4， y4)．连接AB，BC，CD，DA.
答案 D
3．求证：如果a>b>0，那么n
n a>
b(n∈N，且n>1)．
证明 假设n a不大于n b，则n a＝n b，或n a<n b.
当n a＝n b时，则有a＝b. 这与a>b>0相矛盾．
当n
n a<
b时，则有a<b，
这也与a>b相矛盾．
所以n
a>
b.
4．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋
求证：四边形ABCD不可能是平行四边形． 【分析】 解答本题的关键在于通过假设，根据平行四边 形对边所在直线的斜率相等，推出结论与已知条件相矛盾，从 而肯定原命题正确．
【证明】 由题意得，直线AB的斜率为 kAB＝xy22－－xy11＝y12＋py2，同理kBC＝y32＋py2， kCD＝y42＋py3，kDA＝y12＋py4. 假设四边形ABCD为平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kDA. 即有yy23＋ ＋yy12＝ ＝yy31＋ ＋yy44， ，① ② 由①－②，得y1－y3＝y3－y1，
π 2
，b＝y2－2z＋
π3，c＝z2－2x＋6π.
(人教版)高中数学选修2-2课件：第2章 推理与证明2.2.1
第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程， 可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结 解题方法的选取．
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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分析法
1．分析法的定义 从要证明的结_论__出__发____，逐步寻求使它成立的充_分__条__件____， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件( 已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分 析法．
1．综合法证明问题的步骤 第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条 件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择 相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
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第二章 推理与证明
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第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转 化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之 间的转化．组织过程时要有清晰的思路，严密的逻辑，简洁的 语言．
3．已知a，b，c∈ R且不全相等， 求证：a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca. 证明： 证法一：(分析法) 要证a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca， 只需证2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ca)， 只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)＞0， 只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＞0，
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分析法
1．分析法的定义 从要证明的结_论__出__发____，逐步寻求使它成立的充_分__条__件____， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件( 已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分 析法．
1．综合法证明问题的步骤 第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条 件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择 相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
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第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转 化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之 间的转化．组织过程时要有清晰的思路，严密的逻辑，简洁的 语言．
3．已知a，b，c∈ R且不全相等， 求证：a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca. 证明： 证法一：(分析法) 要证a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca， 只需证2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ca)， 只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)＞0， 只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＞0，
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(人教版)高中数学选修2-2课件：第2章 推理与证明2.3
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2．3 数学归纳法
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第二章 推理与证明
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第二章 推理与证明
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(2)应用数学归纳法应注意： ① 数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证 明． ② 验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不 可； ③在证 明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结 论，否则就不是数学归纳法．
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第二章 推理与证明
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“观察—归纳—猜想—证明”模式的题目的解
法
(1)观察：由已知条件写出前几项；
(2)归纳：找出前几项的规律，找到项与项数的关系；
(3)猜想：猜想出通项公式；
(4)证明：用数学归纳法证明猜想的形式，因为猜想不
一定正确，所以要通过数学归纳法给出证明．
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证明： ①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立． ②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立， 即1＋5＋9＋…＋(4k－3)＝k(2k－1)． 则当n＝k＋1时，左边＝1＋5＋9＋…＋(4k－3)＋(4k＋1) ＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1) ＝[2(k＋1)－1](k＋1)＝右边， ∴当n＝k＋1时，命题成立． 由①②知，对一切n∈N*，命题成立．
第二章 推理与证明
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2．3 数学归纳法
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(2)应用数学归纳法应注意： ① 数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证 明． ② 验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不 可； ③在证 明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结 论，否则就不是数学归纳法．
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“观察—归纳—猜想—证明”模式的题目的解
法
(1)观察：由已知条件写出前几项；
(2)归纳：找出前几项的规律，找到项与项数的关系；
(3)猜想：猜想出通项公式；
(4)证明：用数学归纳法证明猜想的形式，因为猜想不
一定正确，所以要通过数学归纳法给出证明．
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证明： ①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立． ②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立， 即1＋5＋9＋…＋(4k－3)＝k(2k－1)． 则当n＝k＋1时，左边＝1＋5＋9＋…＋(4k－3)＋(4k＋1) ＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1) ＝[2(k＋1)－1](k＋1)＝右边， ∴当n＝k＋1时，命题成立． 由①②知，对一切n∈N*，命题成立．
2018版数学选修2-2课件：第二章 推理与证明 2-1-3 精
例1 观察如图所示的“三角数阵”：
记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的
特征，完成下列各题：
(1)第6行的6个数依次为____ 6 、_____ 16 、___ 25 、_____ 25 、___ 16 、_____ 6 ；
答案
反思与感悟
对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、 下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解了.
解析
根据空间直线、平面的平行与垂直的判定与性质定理知，②③正
确，①④错误.
1
2
3
4
解析
答案
→ → 4.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB⊥AB时，其离心 5 －1 率为 2 ，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算
5＋1 2 出“黄金双曲线”的离心率 e＝________.
11 12 13 14 15
n2－n＋6 2 按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为__________.
1 2 3 4
…
解析
答案
3.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ”的性质，可推 出下列空间结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两条直 线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一 ②③ 填序号) 平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是______.(
它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、 提供思路的作用.
答案
思考2
“演绎推理是由一般到特殊的推理，因此演绎推理所得结论一
定正确”，这种说法对吗？ 答案 不对，演绎推理只有在大、小前提和推理形式都正确的 前提下，得到的才结论才一定正确.
记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的
特征，完成下列各题：
(1)第6行的6个数依次为____ 6 、_____ 16 、___ 25 、_____ 25 、___ 16 、_____ 6 ；
答案
反思与感悟
对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、 下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解了.
解析
根据空间直线、平面的平行与垂直的判定与性质定理知，②③正
确，①④错误.
1
2
3
4
解析
答案
→ → 4.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB⊥AB时，其离心 5 －1 率为 2 ，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算
5＋1 2 出“黄金双曲线”的离心率 e＝________.
11 12 13 14 15
n2－n＋6 2 按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为__________.
1 2 3 4
…
解析
答案
3.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ”的性质，可推 出下列空间结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两条直 线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一 ②③ 填序号) 平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是______.(
它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、 提供思路的作用.
答案
思考2
“演绎推理是由一般到特殊的推理，因此演绎推理所得结论一
定正确”，这种说法对吗？ 答案 不对，演绎推理只有在大、小前提和推理形式都正确的 前提下，得到的才结论才一定正确.
高二数学人教A版选修2-2课件：第二章 推理与证明 整合
专题一
专题二
专题三
专题四
(2)要证原等式成立,只需证:
2cos(α-β)sin α-sin(2α-β)=sin β.
①
因为①式左边=2cos(α-β)sin α-sin[(α-β)+α]
=2cos(α-β)sin α-sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α
=cos(α-β)sin α-sin(α-β)cos α
当
n=k+1
时,������2������
+1
=1+1
2
+
1 3
+…+21������
+
2������1+1+…+2������1+1>1+���2���
+
1 2������ +1
+
2������1+2+…+2������1+1>1+���2���
+
2������ 2������ +2������
=1+���2���
专题一
专题二
专题三
专题四
(所1)以 解:f因 '(x为 )=xf+'(x������������)≥ =x0+在������������,且 区间 f(x[)1在 ,e]区 上间 恒[成 1,e立]上,即是a增≥函-x数 2 在, 区间[1,e]上恒
成立.所以 a≥-1.
(2)证明:当 a=1 时,f(x)=12x2+ln x,x∈[1,e]. 令 F(x)=f(x)-23x3=12x2+ln x-23x3, 又 F'(x)=x+1������-2x2=(1-������)(1+������������+2������2)≤0,
2018版数学人教A版选修2-2课件：第二章 推理与证明 2-
证明
当堂训练
1.设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex (x<0)，则a与b的大小关系为
√
A.a>b C.a<b b＝ex<e0＝1，∴a>b.
B.a＝b D.无法确定
解析 ∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，
1
2
3
4
5
解析
答案
√
1 2.设 0<x<1，则 a＝ 2x，b＝x＋1，c＝ 中最大的是 1－x A.c B.b
②a＋b≥2 ab(a≥0，b≥0).
跟踪训练 1
b＋c－a c＋a－b 已知 a，b，c 为不全相等的正实数.求证： a ＋ b
a＋b－c ＋ c >3.
证明
命题角度2 用综合法证明等式
例2 求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β). 证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)
(2)和、差、倍角的三角函数公式.
(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理.
(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式.
跟踪训练 2
AC cos B 在△ABC 中，AB ＝cos C，证明：B＝C.
证明 在△ABC中，由正弦定理及已知，得
sin B cos B sin C＝cos C.
于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
证明
(2)在锐角△ABC中，求证：tan Atan B>1.
证明
要证tan Atan B>1，
sin Asin B 只需证cos Acos B>1，
∵A、B均为锐角，∴cos A>0，cos B>0. 即证sin Asin B>cos Acos B， 即cos Acos B－sin Asin B<0， 只需证cos(A＋B)<0. ∵△ABC为锐角三角形，∴90°<A＋B<180°， ∴cos(A＋B)<0，因此tan Atan B>1.
当堂训练
1.设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex (x<0)，则a与b的大小关系为
√
A.a>b C.a<b b＝ex<e0＝1，∴a>b.
B.a＝b D.无法确定
解析 ∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，
1
2
3
4
5
解析
答案
√
1 2.设 0<x<1，则 a＝ 2x，b＝x＋1，c＝ 中最大的是 1－x A.c B.b
②a＋b≥2 ab(a≥0，b≥0).
跟踪训练 1
b＋c－a c＋a－b 已知 a，b，c 为不全相等的正实数.求证： a ＋ b
a＋b－c ＋ c >3.
证明
命题角度2 用综合法证明等式
例2 求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β). 证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)
(2)和、差、倍角的三角函数公式.
(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理.
(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式.
跟踪训练 2
AC cos B 在△ABC 中，AB ＝cos C，证明：B＝C.
证明 在△ABC中，由正弦定理及已知，得
sin B cos B sin C＝cos C.
于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
证明
(2)在锐角△ABC中，求证：tan Atan B>1.
证明
要证tan Atan B>1，
sin Asin B 只需证cos Acos B>1，
∵A、B均为锐角，∴cos A>0，cos B>0. 即证sin Asin B>cos Acos B， 即cos Acos B－sin Asin B<0， 只需证cos(A＋B)<0. ∵△ABC为锐角三角形，∴90°<A＋B<180°， ∴cos(A＋B)<0，因此tan Atan B>1.
数学选修2-2 第二章 推理与证明 课件第2章 2.1 第2课时
在生活中，我们常常会遇到这 样一些判断：人生病要吃药，小明 生病了，因此，小明要吃药；摩擦 生热，冬天双手互相摩擦，手就不 冷了；任意四边形的内角和为 360°，梯形是四边形，因此梯形 的内角和是 360°……这些推理都是从一般的原理出发，推出某 个特殊情况下的结论的，与前一节所学的合情推理不同，这属 于另一种推理——演绎推理.
[答案] D
[解析] 大前提和小前提中的“三角函数”不是同一概
念，犯了偷换概念的错误，即推理形式不正确．
第二章 2.1 第2课时
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三、传递性关系推理 “如果 aRb，bRc，则 aRc”，其中“R”表示具有传递性的 关系，这种推理规则叫做传递性关系推理．
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1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
第二章 2.1 第2课时
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课前自主预习
第二章 2.1 第2课时
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第二章 2.1 第2课时
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“三角函数是周期函数，y＝tanx，x∈－π2，π2是三角函数，
所以 y＝tanx，x∈－π2，π2是周期函数”．在以上演绎推理中， 下列说法正确的是( )
A．推理完全正确
B．大前提不正确
C．小前提不正确
D．推理形式不正确
四、完全归纳推理 把所有的情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推 理． 完全归纳推理有两个规则：一是前提中被判断的对象必须 是该类事物的全部对象；二是前提中的所有判断都必须是真实 的．
[答案] D
[解析] 大前提和小前提中的“三角函数”不是同一概
念，犯了偷换概念的错误，即推理形式不正确．
第二章 2.1 第2课时
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三、传递性关系推理 “如果 aRb，bRc，则 aRc”，其中“R”表示具有传递性的 关系，这种推理规则叫做传递性关系推理．
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1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
第二章 2.1 第2课时
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课前自主预习
第二章 2.1 第2课时
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第二章 2.1 第2课时
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“三角函数是周期函数，y＝tanx，x∈－π2，π2是三角函数，
所以 y＝tanx，x∈－π2，π2是周期函数”．在以上演绎推理中， 下列说法正确的是( )
A．推理完全正确
B．大前提不正确
C．小前提不正确
D．推理形式不正确
四、完全归纳推理 把所有的情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推 理． 完全归纳推理有两个规则：一是前提中被判断的对象必须 是该类事物的全部对象；二是前提中的所有判断都必须是真实 的．
2018版数学选修2-2课件：第二章 推理与证明 2-1-1 第2
跟踪训练2
在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，
cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想.
解答
类型三 合情推理的应用
例3 我们已经学过了等差数列，你想过有没有等和数列呢？
(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；
解 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，
*
n
(n∈N*)也是等差数列.类比猜想：若数列{cn}是各项均为正数的等比数 列，则当 dn＝ c1c2c3„cn时，数列{dn}也是等比数列.
n
解析
答案
类型二 几何中的类比推理
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，
由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空 间中四面体性质的猜想.
那么这个数列就叫做等和数列.
(2)探索等和数列{an}的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明； 解 由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2， 所以an＋2＝an. 所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等.
解答
(3)在等和数列{an}中，如果a1＝a，a2＝b，求它的前n项和Sn.
解答
反思与感悟
第2章 2.1.1 合情推理
第2课时
类比推理
学习目标
1.了解类比推理的含义、特征，能利用类比进行简单的推理.
2.能正确区别归纳推理与类比推理的不同点，了解合情推理的合理性.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
类比推理
思考
科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：
(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一
数学选修2-2 第二章 推理与证明 课件 章末归纳总结2
第二章 章末归纳总结
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找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比 球的有关性质．
(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦． (2)与圆心距离相等的两弦相等． (3)圆的周长 c＝πd(d 为直径)． (4)圆的面积 S＝π4d2.
第二章 章末归纳总结
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若 a＝a－a 1，则 a2－a＋1＝0，方程无实根． ∴a，1－1 a，a－a 1互不相等，故集合 A 中至少有三个不同 元素． [方法总结] 本题考查了集合的定义、性质、二次方程的 根等知识，培养学生的逻辑思维能力.
第二章 章末归纳总结
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(4)数学证明的两类基本方法是直接证明和间接证明．直接 证明的两个基本方法：综合法与分析法；间接证明的基本方 法：反证法．
(5) 数 学 归 纳 法 主 要 应 用 于 解 决 与 正 整 数 有 关 的 数 学 问 题．在证明中，它的两个步骤缺一不可，且第二步的推导必须 用上假设．
第二章 章末归纳总结
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(2)∵集合 A 非空，故存在 a∈A，a≠1，有1－1 a∈A， ∴1－1 a∈A 且1－1 a≠1， 即 a≠0 时，有1－11－1 a＝a－a 1∈A，即如此循环出现三个 数 a，1－1 a，a－a 1∈A.若 a＝1－1 a，则 a2－a＋1＝0，方程无实 根． 若1－1 a＝a－a 1，则 a2－a＋1＝0，方程无实根．
第二章 章末归纳总结
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找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比 球的有关性质．
(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦． (2)与圆心距离相等的两弦相等． (3)圆的周长 c＝πd(d 为直径)． (4)圆的面积 S＝π4d2.
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若 a＝a－a 1，则 a2－a＋1＝0，方程无实根． ∴a，1－1 a，a－a 1互不相等，故集合 A 中至少有三个不同 元素． [方法总结] 本题考查了集合的定义、性质、二次方程的 根等知识，培养学生的逻辑思维能力.
第二章 章末归纳总结
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(4)数学证明的两类基本方法是直接证明和间接证明．直接 证明的两个基本方法：综合法与分析法；间接证明的基本方 法：反证法．
(5) 数 学 归 纳 法 主 要 应 用 于 解 决 与 正 整 数 有 关 的 数 学 问 题．在证明中，它的两个步骤缺一不可，且第二步的推导必须 用上假设．
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(2)∵集合 A 非空，故存在 a∈A，a≠1，有1－1 a∈A， ∴1－1 a∈A 且1－1 a≠1， 即 a≠0 时，有1－11－1 a＝a－a 1∈A，即如此循环出现三个 数 a，1－1 a，a－a 1∈A.若 a＝1－1 a，则 a2－a＋1＝0，方程无实 根． 若1－1 a＝a－a 1，则 a2－a＋1＝0，方程无实根．
第二章 章末归纳总结
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(3)数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题，的证 明，如与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问 题、探求数列的通项和前n项和等问题．
第二章 2.3
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用数学归纳法证明某命题时，左式为12＋cosα＋cos3α＋…
＋cos(2n－1)α(α≠kπ，k∈Z，n∈N*)，在验证 n＝1 时，左边所
第二章 2.3
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2．证题时的具体步骤 第一步，证明当 n 取第一个值 n0(例如 n0＝1 或 2 时结论正 确)； 第二步，假设当 n＝k(k∈N＋且 k≥n0)时结论正确，证明当 n＝k＋1 时结论也正确． 在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从 n0 开始 的所有正整数 n 都正确，
第二章 2.3
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5．证明数列问题 数列与数学归纳法有着非常密切的关系，我们知道，数列
是定义在 N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数，这与 数学归纳法运用的范围是一样的，并且数列的递推公式与归纳
原理实质上也是一致的．为此数列中有不少问题都可用数学归
第二章 2.3
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3．证明整除问题 证明这类问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项 和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将 n ＝k 时的项从 n＝k＋1 时的项中“硬提出来”，构成 n＝k 的项， 后面的式子相对变形，使之与 n＝k＋1 时的项相同，从而达到 利用假设的目的． 4．证明几何问题 此类问题证明的关键是要弄清楚当由 n＝k 推导 n＝k＋1 的 情形时，几何图形的变化规律．
已知数列{an}的通项公式 an＝2n－4 12，数列{bn}的通项满 足 bn＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试证明：bn＝21n－＋21n.
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
第二章 2.3
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课前自主预习
第二章 2.3
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从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟 对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来，让他 们用最少的笔墨，画出最多的马．第一个徒弟 在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟 为了节省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画 出两座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半 截身子的马．三张画稿交上去，评判结果是最后一幅画被认定 为佳作，构思巧妙，笔墨经济，以少胜多！
第二章 2.3
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一、数学归纳法 1．定义： 一个与自然数相关的命题，如果(1)当 n 取第一个值 n0 时命 题成立；(2)在假设 n＝k(k∈N＋，且 k≥n0)时命题成立的前提下， 推出当 n＝k＋1 时命题也成立，那么可以断定，这个命题对 n 取第一个值后面的所有正整数成立。
第二章 2.3
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注意：(1)第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命 题递推的依据，这两个步骤缺一不可．
(2)用数学归纳法证明有关问题的关键在于第二步，即n＝k ＋1时为什么成立？n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根 据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1 时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题 并没有得到证明．
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章 推理与证明
第二章 推理与证明
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第二章 2.3 数学归纳法
第二章 2.3
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2．什么叫归纳法？ 答 案 ： 1. 在 推 倒 第 一 块 骨 牌 后 ， 就 会 导 致 第 二 块 骨 牌 倒 下，而第二块倒下，又导致第三块倒下，以此类推，直到全部 倒下． 2．由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法， 通常叫归纳法．根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分 为：完全归纳法和不完全归纳法.
这第三张画稿只画了一匹半马，为何能胜过一群马呢？你 知道其中蕴含的数学原理吗？
第二章 2.3
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1.我们在玩多米诺骨牌游戏时，只要任意相邻的两块骨牌 之间的距离保持适中，即前一块骨牌倒下时能砸倒后一块，那 么在推倒第一块骨牌后，会出现怎样的情形？
纳法予以证明，诸如数列的通项，前 ห้องสมุดไป่ตู้ 项和 Sn 的增减性、有界 性等，既可以是恒等式，也可以是不等式，没有固定的格式，
有一定的综合性，是最近几年高考的热点问题之一，证明时要
灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，
不利用假设而进行的证明不是数学归纳法．
第二章 2.3
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得的代数式为( )
1 A.2
B.12＋cosα
C.12＋cosα＋cos3α
D.12＋cosα＋cos3α＋cos5α
[答案] B
[解析] 令 n＝1，左式＝12＋cosα.故选 B.
第二章 2.3
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二、数学归纳法的应用 数学归纳法常用来解决与正整数有关的问题，具有广泛的 应用． 1．证明等式 证明这类命题是“一凑一变”，突出“变”字，“凑”是 指由n＝k＋1的左端凑出n＝k的左端，或由n＝k的左瑞凑出n＝k ＋1的左端；“变”是指把拼凑的式子变为n＝k＋1的右端． 2．证明不等式 证明这类题的关键是“一凑一证”，常结合其他方法(如 放缩法等)完成“一证”．
第二章 2.3
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用数学归纳法证明某命题时，左式为12＋cosα＋cos3α＋…
＋cos(2n－1)α(α≠kπ，k∈Z，n∈N*)，在验证 n＝1 时，左边所
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2．证题时的具体步骤 第一步，证明当 n 取第一个值 n0(例如 n0＝1 或 2 时结论正 确)； 第二步，假设当 n＝k(k∈N＋且 k≥n0)时结论正确，证明当 n＝k＋1 时结论也正确． 在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从 n0 开始 的所有正整数 n 都正确，
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5．证明数列问题 数列与数学归纳法有着非常密切的关系，我们知道，数列
是定义在 N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数，这与 数学归纳法运用的范围是一样的，并且数列的递推公式与归纳
原理实质上也是一致的．为此数列中有不少问题都可用数学归
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3．证明整除问题 证明这类问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项 和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将 n ＝k 时的项从 n＝k＋1 时的项中“硬提出来”，构成 n＝k 的项， 后面的式子相对变形，使之与 n＝k＋1 时的项相同，从而达到 利用假设的目的． 4．证明几何问题 此类问题证明的关键是要弄清楚当由 n＝k 推导 n＝k＋1 的 情形时，几何图形的变化规律．
已知数列{an}的通项公式 an＝2n－4 12，数列{bn}的通项满 足 bn＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试证明：bn＝21n－＋21n.
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
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一、数学归纳法 1．定义： 一个与自然数相关的命题，如果(1)当 n 取第一个值 n0 时命 题成立；(2)在假设 n＝k(k∈N＋，且 k≥n0)时命题成立的前提下， 推出当 n＝k＋1 时命题也成立，那么可以断定，这个命题对 n 取第一个值后面的所有正整数成立。
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注意：(1)第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命 题递推的依据，这两个步骤缺一不可．
(2)用数学归纳法证明有关问题的关键在于第二步，即n＝k ＋1时为什么成立？n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根 据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1 时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题 并没有得到证明．
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第二章 推理与证明
第二章 推理与证明
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第二章 2.3 数学归纳法
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2．什么叫归纳法？ 答 案 ： 1. 在 推 倒 第 一 块 骨 牌 后 ， 就 会 导 致 第 二 块 骨 牌 倒 下，而第二块倒下，又导致第三块倒下，以此类推，直到全部 倒下． 2．由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法， 通常叫归纳法．根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分 为：完全归纳法和不完全归纳法.
这第三张画稿只画了一匹半马，为何能胜过一群马呢？你 知道其中蕴含的数学原理吗？
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1.我们在玩多米诺骨牌游戏时，只要任意相邻的两块骨牌 之间的距离保持适中，即前一块骨牌倒下时能砸倒后一块，那 么在推倒第一块骨牌后，会出现怎样的情形？
纳法予以证明，诸如数列的通项，前 ห้องสมุดไป่ตู้ 项和 Sn 的增减性、有界 性等，既可以是恒等式，也可以是不等式，没有固定的格式，
有一定的综合性，是最近几年高考的热点问题之一，证明时要
灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，
不利用假设而进行的证明不是数学归纳法．
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得的代数式为( )
1 A.2
B.12＋cosα
C.12＋cosα＋cos3α
D.12＋cosα＋cos3α＋cos5α
[答案] B
[解析] 令 n＝1，左式＝12＋cosα.故选 B.
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二、数学归纳法的应用 数学归纳法常用来解决与正整数有关的问题，具有广泛的 应用． 1．证明等式 证明这类命题是“一凑一变”，突出“变”字，“凑”是 指由n＝k＋1的左端凑出n＝k的左端，或由n＝k的左瑞凑出n＝k ＋1的左端；“变”是指把拼凑的式子变为n＝k＋1的右端． 2．证明不等式 证明这类题的关键是“一凑一证”，常结合其他方法(如 放缩法等)完成“一证”．