第六章-二次型

3设 ，
证明如果 与 合同， 与 合同，则A与B合同。
4用正交变换法化下面二次型为标准形
（1） ；
（2） 。
5用可逆线性变换化下列二次型为标准形
（1）
（2）
6求二次型 的秩与符号差。
7下列矩阵是否合同，为什么？
（1） 与 ；
（2） 与 ；
（3） 与 。
8证明正定矩阵的对角线元素全大于零。
9仿照定理1和定理2，给出 负定的等价条件。
例1用正交变换化下面的二次型为标准形:
并判断二次曲面 的类型。
解二次型 的矩阵为
在第五章§3例1中,我们已求得 的特征值为 ,并求出使 相似于对角矩阵的正交矩阵
根据定理1,作正交变换 ,就可以使二次型化为标准形
二次曲面 ,经正交变换 化为标准形
因此二次曲面 表示旋转双曲面。
二、配方法
用正交变换法化二次型为标准形,通常计算量比较大。如果不要求作正交变换,而只要求作一般的可逆线性代换的话,那么化二次型为标准形可用一种简便的方法——配方法。下面我们用具体例子来说明这种方法。
（3.4）
其中 ，即 。令 ，则有
（3.5）
在上式中，令： ， 得
（3.6）
（3.6）式是一个齐次线性方程组，其方程个数 未知数个数n，从而有非零解，设其中一个非零解为
显然， 不全为0。将此非零解代入（3.4）式左端，得到
（3.7）
再将非零解
代入（3.5）式，得到 一组值 ， ，再将这组值 代入（3.4）式右端，可得
证因为矩阵 是实对称阵,由第五章§3定理3可知,一定存在正交矩阵 ,使得
其中 是矩阵 的全部特征值。作正交变换 ,则
在解析几何中二次曲线或二次曲面的化简时经常用到定理1,通常称为主轴定理。可以证明,正交变换保持线段的长度不变,所以用正交变换化二次型为标准形,具有保持几何形状不变的优点,因此正交变换法无论在理论上还是在实际应用中都十分重要。
定理2任何一个二次型都可以经过可逆线性变换化为标准形。
§3惯性定理
任何一个二次型都可以经过可逆线性变换化为标准形，但是，如果所用的变换不同，那么所得到的二பைடு நூலகம்型的标准形也可能不相同，即二次型的标准形是不唯一的。例如§2例2（1）中的二次型：
经可逆线性变换：
化为标准形
。
另一方面
作可逆线性变换
即
则原二次型 又可化为标准形
10判别下列二次型的正定性
（1）
（2）
11证明实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵C，使 。
12设A是n阶正定矩阵，试证明 。
（2） （3）显然。
（3） （1）设A的n个特征值 ＞0，则标准形
是正定二次型，从而二次型 是正定的。
最后，介绍一个直接从二次型的矩阵A本身判别它是否正定的方法。
定理2n元实二次型 正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于0，即
， ，…，
，…，
证略。
例1判断下列二次型是否正定
解二次型 的矩阵为
A的各阶主子式为
称为标准形式的二次型,简称为标准形。
显然,标准形是最简单的一种二次型。下面介绍化二次型为标准形的二种常用方法:正交变换法和配方法。
一、正交变换法
定理1任意一个n元二次型 ( 实对称),总可以经过正交变换 ( 为正交矩阵)化为标准形
, (2.1)
其中 是矩阵 的全部特征值。式(2.1)称为二次型在正交变换下的标准形。
，
，
根据定理2， 是正定的。
例2证明：n阶矩阵A正定的充分必要条件是存在n阶正定矩阵B，使 。
证充分性假设存在n阶正定矩阵B，使 。由B对称得A对称。再根据B正定，则B的n个特征值 都大于0，从而A的n个特征值 都大于0，根据定理1，A是正定矩阵。
必要性设A是n阶正定矩阵，则A必是实对称矩阵，从而存在正交矩阵 ，使得
§4正定二次型与正定矩阵
在实二次型中，正定二次型具有重要的地位，本节介绍它的定义和常用的几个判别方法。
定义1实二次型 ，如果对于任何非零向量 ，都有 （或 ），则称二次型 为正定（或负定）二次型，其对应的矩阵A称为正定（或负定）矩阵，记为 （或 ）。
例如实二次型 显然为正定二次型，而 和 就不是正定二次型，因为 ， 。
(1.5)
在处理许多问题时,常常希望通过变量的线性变换来简化有关二次型。如果对二次型(1.1)进行可逆线性变换 ,则
记 ,上式为
因为 是对称矩阵,所以
即 也是对称矩阵,从而 是一个关于变量 的n元二次型,于是得到下面的定理
定理1二次型 经可逆线性变换 之后,仍然是一个二次型,且新的二次型的矩阵为 。
例1将二次型 表示为矩阵形式,并写出 的矩阵
和 的秩。
解
=
因此, 的矩阵为
由于矩阵 的秩为2,从而二次型 的秩为2。
定义2设变量 能用变量 线性地表示,即存在常数 ,使
(1.3)
成立。则称此关系式为由变量 到变量 的一个线性变换,或简称线性变换。
设
则(1.3)可以写成以下矩阵形式
(1.4)
当 时,称 为可逆(或非退化)线性变换。显然,可逆线性变换是一一对应的
证首先证明系数不为0的平方项的个数 。
标准形的矩阵 是对角矩阵，而对角矩阵 的秩等于对角线上非零元素的个数 ，
二次型 的秩 =矩阵 的秩＝矩阵 的秩＝ ，即 。
其次证明正平方项的个数 唯一确定。
设二次型 经过二个不同的可逆线性变换
和 （3.1）
分别化为以下标准形
（3.2）
（3.3）
其中 。
用反证法证明 。假设 。由（3.2）、（3.3）式，我们有
§2例2中的二次型（1），其正、负惯性指数都是1，符号差为0，秩为2；二次型（2），其正、负惯性指数分别是2和1，符号差为1，秩为3。
由惯性定理可得下面的推论。
推论1对于任何二次型 ，都存在可逆线性变换 ，使
（3.9）
其中 、 分别为 的正、负惯性指数。
（3.9）式右端称为二次型 的规范形，显然，它是唯一的。
根据定义1，可得以下二个结论：
(1)标准形实二次型 正定的充要条件是 （ ）。
证充分性
对于任意 ，必有
＞0
为正定二次型。
必要性 为正定二次型
对非零向量 ，有：
（ ）。
(2)实二次型 经可逆线性交换后其正定性不变。
证设 为正定二次型，在可逆线性变换 后变为
。
对于任意非零向量 ，由于C可逆，从而对应的 是非零向量（反证，若 ＝0，则 ，从而 ，矛盾）。根据 是正定的，从而 ，即 是正定二次型。
+
+…
+
称为一个n元二次型,简称二次型。当所有系数 为复数时, 称为复二次型；当 都为实数时, 称为实二次型。本章中只讨论实二次型。
取 = ( )则有
从而(1.1)式可写成
=
+…
=
+…
=
=
令
则用矩阵将二次型(1.1)可写成
（1.2）
其中 为实对称矩阵,它的主对角线元素 是二次型 中平方项 的系数,其余元素 正是 中交叉项 系数的一半。由此容易看出,二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,我们称对称阵 为二次型 的矩阵,称矩阵 的秩为二次型 的秩。
即
代入可得
再用（1）中的配方法，先对含 的项配完全方，然后对含 的项配完全平方，得到
令
即
综合以上两个可逆线性变换，得
所以，在可逆线性变换 下， 化为标准形
一般地，任何一个二次型，要么某个平方项 的系数不为0，要么某个交叉项 的系数不为0，所以一次或多次使用例2中（1）、（2）的方法，经有限次配方后，总可以化为标准形，即有下面的定理。
即
其中 是A的n个特征值，且都大于0，
取 ，则 ，
又B的n个特征值 都大于0，所以B是正定矩阵，从而命题得证。
习题六
1用矩阵形式表示下列二次型
（1） ；
（2） 。
2设A是一个n阶方阵，证明
(1)若A为对称方阵，且对任意的n维向量X都有 ，则A＝0；
(2)若A、B都是对称矩阵，且对任意的n维向量都有 ，则A＝B。
比较 的二个标准形，可以发现f的标准形虽然不唯一，但是 的不同标准形中不但系数不为零的平方项的个数是一样的，而且正平方项、负平方项的个数也相同，这不是偶然的，它就是下面的惯性定理。
定理1 (惯性定理）对于秩为 的n元二次型 ，不论用什么可逆线性变换。把 化为标准形，其中正平方项的个数 和负平方项的个数 都是唯一确定的，且 。
例2用可逆线性变换化下列二次型为标准形，并用矩阵形式写出所用线性变换。
（1）
（2）
解（1）因为 中的 系数不为零，故把含 的项集中起来，配方可得
上式右端除第一项外已不再含 ，继续配方，可得
令
即
用矩阵形式表示为
令
， ，
则 ，故 为可逆线性变换，且将二次型 化为标准形
（2）因为二次型 中没有平方项，无法像（1）那样直接配方，所以先作一个可逆线性变换，使其出现平方项。由于含有 交叉项。故令
第六章二次型
二次型就是二次齐次多项式,它的研究起源于解析几何中化二次曲线与二次曲面方程为标准形式的问题。不仅在几何中,而且在数学的其它分支及物理、力学和网络计算中也常会碰到二次型问题。在本章中,我们将利用矩阵工具讨论二次型的化简、惯性定理及正定二次型等基本理论。
§1二次型
定义1n个变量 的二次齐次多项式
根据以上二个结论可以得到判别二次型是否正定的几个等价条件。
定理1对于n元实二次型 ，以下命题等价。
（1） 是正定二次型（或A是正定矩阵）；
（2） 的正惯性指数 （或A合同单位矩阵E）；
（3）A的n个特征值 全大于0。