洛伦兹变换的推导
洛伦兹变换的推导
现在我们设（x，y，z，t）所在坐标系（A系）静止，（X，Y，Z，T）所在坐标系（B系）速度为u，且沿x轴正向。
在A系原点处，x=0，B系中A原点的坐标为X=-uT，即X+uT=0。
可令（1）.又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。
）同理，B系中的原点处有，由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K。
故有（2）.对于y，z，Y，Z皆与速度无关，可得（3）.（4）.将（2）代入（1）可得：，即（5）.（1）（2）（3）（4）（5）满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。
当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有，。
代入（1）（2）式得：，。
两式相乘消去t和T得：.将γ反代入（2）（5）式得坐标变换：3．速度变换：同理可得V（y），V（z）的表达式。
4．尺缩效应：B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由得：，又△t=0（要同时测量两端的坐标），则，即：，。
5．钟慢效应：由坐标变换的逆变换可知，，故，又，（要在同地测量），故。
（注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。
）6．光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是：）B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。
B系中光源频率为ν（b），波数为N，B系的钟测得的时间是△t（b），由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为（1）.探测器开始接收时刻为，最终时刻为，则（2）.相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即（3）.由以上三式可得：.7．动量表达式：（注：，此时，因为对于动力学质点可选自身为参考系，）牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形式不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。
简单推导洛伦兹变换(狭义相对论)
简单推导洛伦兹变换（狭义相对论）洛伦兹变换是狭义相对论的基本公式，从中我们可以进一步得到尺度缩减、时钟慢度、质能转换等奇妙有趣的推论。
值得一提的是，虽然洛伦兹变换最早是由洛伦兹得到的，但他并没有赋予这组变换方程组以相对论的内涵，他只是编造了一个数学观点来纠正错误的以太时空。
所以作者认为洛伦兹变换的结果应该还是属于爱因斯坦的。
1. 先导知识：波速取决于介质的速度，而不是波源的速度或许你听说过，光即是粒子又是波。
没错，但这个“粒子”已经不是我们日常理解的小微粒了，一定不能将发射一束光想象成手枪发射子弹。
许多困扰可能就来自于此，把光想象成子弹你可能永远也想不明白相对论的奇妙变换。
为了方便思考我们需要把光理解成波，发射光就像在水面触发一个涟漪。
我们先看看机械波，建立起对波的正确看法发射一波和发射一颗子弹有什么区别？根本区别在于，触发机械波实际上并不发射任何物理粒子，而是触发介质的传播振动，所以波速完全取决于介质，而不是波源的速度。
站在地上观察时，跑步时说话不会改变声音传播的速度，蜻蜓高速掠过水面也不会改变波纹扩散的速度，只会造成多普勒效应(仔细观察图1中最外层波纹的速度是否受波源速度影响)。
相反，考虑谈话的例子。
如果你站着不动，风在动，声速就会变。
比如逆风说话，声速会增加，逆风说话，声速会变慢。
仔细理解这里的区别，跑步不会改变波的传播速度，但空气运动会。
图1：一个运动的波源并不会导致波速的变化（观察最外层涟漪的速度）现在我们来考虑光的一个例子一列以速度v前进的火车在经过你的时候突然向前进方向发出了一个闪光，光是电磁波，不同于手枪发射子弹，不管这个光源运动情况怎么样，在你看来，这个闪光就像在水面上激起的一个涟漪，以不变的速度c前行。
（但是这里说的不变速度c还不是相对论说的光速不变，只是说光速与光源速度无关）2.光在真空中是通过什么介质传播的？从上面的分析我们看到波的速度，甚至波的性质似乎完全都取决于传递波的介质，波的行为似乎只与介质有关，完全由介质定义，完全由介质约束，波源在触发波之后好像就没有什么关系了。
[理学]5、Lorentz transformation 的相对论推导
![[理学]5、Lorentz transformation 的相对论推导](https://img.taocdn.com/s3/m/76c7d01e10661ed9ac51f317.png)
5、Lorentz transformation 的相对论推导(一)、“Lorentz transformation”的推导方法1 洛仑兹变换反映的是同一研究对象在不同惯性系中运动规律都有相同数学形式。
如图1所示两坐标系的相对取向，该坐标系的x轴永远是重合的。
在这个情况下，首先只考虑x轴上发生的事件。
任何一个这样的事件，对于坐标系K是由横坐标x和时间t来表示，对于坐标系K′ 则由横坐标x′和时间t′来表示。
当给定x和t 时，我们要求出x′和t′。
Z′Zvy′vK′x′y vKx图1沿着正x轴前进的一个光信号按照方程x = ct或x –ct= 0 （1）传播。
由于同一光信号必须以速度c相对于K´传播，因此相对于坐标系K′的传播将由类似的公式x′–ct′= 0 （2）表示。
满足（1）的那些空时点（事件）必须也满足（2），显然这一点是成立的，主要关系(x′–ct′) = λ(x–ct) （3）一般被满足，其中λ表示一个常数；因为，按照（3），（x-ct）等于零时(x′-ct′) 就必然也等于零。
如果我们对沿着负x轴传播的光线应用完全相同的考虑，我们就得到条件x′+ct′ = u (x+ct) （4）方程（3）和（4）相加（或相减），并为方便起见引入常数a和b代换常数λ和u，令a = (λ+u)/2以及b = (λ–u)/2 我们得到方程x′ = ax–bctct′ = act–bx （5）因此，若常数a和b为已知，我们就得到我们的问题的解。
a和b可由下述讨论确定。
对于K´的原点我们永远有x′=0，因此按照（5）的第一个方程 x = bct/a如果我们将K′的原点相对于K的运动的速度称为v，我们就有v = bc/a （6）同一量值v可以从方程式（5）得出，只要我们计算K´的另一点相对于K的速度，或者计算K的一点相对于K′的速度（指向负x轴），总之，我们可以指定v为两坐标系的相对速度。
洛伦兹变换的推导[1]
![洛伦兹变换的推导[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/a829a79d83d049649b665855.png)
x 2 2 1 v / c y y z z 2 t vx / c t 1 v2 / c2
x vt
x 2 2 1 v / c y y z z 2 t vx / c t 1 v2 / c2
7
6
x vt
在v << c的情况下，洛伦兹变换过渡到伽利略变换。
从洛伦兹变换中可以看到，x 和t 都必须是实数， 所以速率v必须满足
v 1 2 0 c
或者
2
vc
我们得到了一个十分重要的结论，这就是一切物 体的运动速度都不能超过真空中的光速 c，或者说 真空中的光速c 是物体运动的极限速度。
洛伦兹变换的推导
1
三、狭义相对论的基本原理 1. 狭义相对论的基本原理 （1）相对性原理：基本物理定律在所有惯性系中 都保持相同形式的数学表达式，一切惯性系都是等 价的； （2）光速不变原理：在一切惯性系中，光在真空 中的传播的速率都等于c，与光源的运动状态无关。 这两条原理非常简明，但意义深远。它们是狭义相 对论的基础，其正确性要由它们所导出的结果和实验 事实来判定。
P
r
x
x
y = y
z = z
3
（2）时间变换 将 x = k( x v t ) 代入 x = k(x + vt ) ，得
x k ( x vt ) kvt
2
解出
1 k 2 t kt ( )x kv
当两个坐标系的原点重合时，t = t = 0。这时，如 果在原点处有一点光源发出一光脉冲，S系和S 系都 将观察到光脉冲以速率c向各个方向传播。
2
2. 洛伦兹变换
洛伦兹坐标变换公式推导
洛伦兹坐标变换公式推导洛伦兹变换是描述时空间随参考系的运动而发生变化的重要理论，它在爱因斯坦的狭义相对论中起到了关键的作用。
本文将从推导的角度来介绍洛伦兹变换的公式。
首先，我们来考虑一个参考系S和一个相对于S以速度v沿着x轴方向运动的参考系S'。
假设S'参考系的原点在S参考系中的x轴上的位置为x'，两个参考系的时间原点重合。
现在我们要推导出洛伦兹变换的坐标公式。
在S参考系中，假设有一个事件P，它的空间坐标为(x,y,z)，时间坐标为t。
在S'参考系中，事件P的空间坐标为(x',y',z')，时间坐标为t'。
根据狭义相对论原理，我们可以得到以下两个假设：1.时间的间隔在不同参考系中是一致的，即∆t=∆t'。
2.空间的间隔在不同参考系中也是一致的，即∆s^2=(c∆t)^2-(∆x)^2=∆s'^2=(c∆t')^2-(∆x')^2，其中c是光速。
我们将事件P的坐标代入上述的两个假设中，可以得到：(c∆t)^2-(∆x)^2-(∆y)^2-(∆z)^2=(c∆t')^2-(∆x')^2-(∆y')^2-(∆z')^2其中，∆x=x2-x1，∆y=y2-y1，∆z=z2-z1，∆x'=x'2-x'1，∆y'=y'2-y'1，∆z'=z'2-z'1接下来，我们假设S'参考系相对于S参考系的速度为v，那么∆x'、∆y'和∆z'可以表示为：∆x'=∆x-v∆t∆y'=∆y∆z'=∆z将上述的式子带入原方程中，我们可以得到：(c∆t)^2-(∆x)^2-(∆y)^2-(∆z)^2=(c∆t')^2-(∆x')^2-(∆y')^2-(∆z')^2(c∆t)^2-(∆x)^2-(∆y)^2-(∆z)^2=(c∆t')^2-(∆x-v∆t)^2-(∆y)^2-(∆z)^2提取引入速度v的项并进行整理，得到：(c∆t)^2-(∆x-v∆t)^2=(c∆t')^2展开括号可以得到：(c∆t)^2-(∆x^2-2v∆x∆t+v^2∆t^2)=(c∆t')^2继续整理得到：(c^2∆t^2-∆x^2)+2v∆x∆t-v^2∆t^2=(c^2∆t'^2)由于洛伦兹变换要保持事件之间的间隔不变，我们可以进一步简化上述方程：(c^2-v^2)∆t^2-∆x^2=(c^2-v^2)∆t'^2为了使得公式的形式更加简洁，我们可以引入一个名为γ的参数来表示：γ=1/√(1-v^2/c^2)其中，c是光速，γ被称为洛伦兹因子。
五种洛仑兹变换的推导方法
一、首先来看看爱因斯坦在《狭义与广义相对论浅说》中的推导方法。 有两个坐标系 K 和 K' ，各坐标系内的事件分 别由坐标（x，y，z，t）和（x' ，y'，z' ，t'）表示。 我们把问题分成几部分，首先只考虑 x 轴上 发生的事件。任何一个这样的事件， 对于坐标系 K 是由横坐标 x 和时间 t 来表示， 对于坐标系 K'则由 横坐标 x' 和时间 t'来表示。当给定 x 和 t 时，我们 要求出 x' 和 t'。 约定 t=0 时刻 O 和 O' 重合， K' 有沿 x 正方向 的速度 v。 假设沿着 x 轴正方向有一束光信号从 t=t'=0 时刻射出，则光信号在 K 系中满足
⎧ x ' = ax + bt ⎨ ⎩t ' = dx + et
为了使（5）式满足于（3）式，要求
（5）
x 2 − c 2 t 2 = x ' 2 −c 2t ' 2
于是， （5）式应具有下列形式：
（6）
⎧ x ' = xchθ − ctshθ ⎨ ⎩ct ' = − xshθ + ctchθ
其中，θ为常量，shθ和 chθ为双曲函数，即
x − vt ⎧ ⎪ x' = v2 ⎪ 1− 2 c ⎪ ⎪ y' = y ⎪ ⎨z' = z ⎪ v ⎪ t− 2 x ⎪t ' = c ⎪ v2 1− 2 ⎪ c ⎩
进一步得逆变换式为
x'+vt ' ⎧ ⎪x = v2 ⎪ 1− 2 c ⎪ ⎪ y = y' ⎪ ⎨z = z' ⎪ ⎪ t ' + v x' ⎪t = c2 ⎪ v2 1− 2 ⎪ c ⎩
洛伦兹变换推导过程详细
洛伦兹变换推导过程详细全文共四篇示例，供您参考第一篇示例：洛伦兹变换（Lorentz transformation）是狭义相对论中的重要概念，描述了不同惯性参考系之间的时空坐标变换关系。
由荷兰物理学家亨德里克·安杰洛·洛伦兹（Hendrik Antoon Lorentz）首先提出，并由爱因斯坦在他的狭义相对论中进一步发展。
洛伦兹变换不仅在相对论中有着广泛的应用，而且也成为了后来爱因斯坦提出的广义相对论中的基础之一。
在这篇文章中，我们将详细推导洛伦兹变换的过程，并探讨其物理意义。
我们从狭义相对论的两个基本假设开始。
第一个假设是等效原理，即在加速度为零的惯性参考系中的物理定律是相同的。
第二个假设是光速不变原理，即光在真空中的传播速度对于所有惯性观察者都是相同的，不受光源或观察者的运动状态的影响。
根据这两个假设，我们可以推导出洛伦兹变换。
假设有两个惯性参考系S和S'，S'相对于S以速度v沿x轴方向匀速运动。
在S参考系中，事件的时空坐标为(x, y, z, t)，而在S'参考系中为(x', y', z', t')。
我们希望通过洛伦兹变换找到这两个参考系之间的坐标变换关系。
首先考虑S'参考系中的时间坐标t'和空间坐标x'之间的变换。
由光速不变原理可知，在S'参考系中静止的光源发出的光信号在空间中传播的速度是恒定不变的，即光速c。
假设光源在S参考系中坐标为(x, t)，在S'参考系中坐标为(x', t')，那么光信号在S参考系中的传播距离为c(t-t')，在S'参考系中的传播距离为c(t'-t)。
根据光速不变原理，这两个传播距离应该相等，即：c(t-t') = c(t'-t)整理得到：t' = γ(t - vx/c^2)其中γ为洛伦兹因子，定义为1/√(1-v^2/c^2)，即：γ = 1/√(1-v^2/c^2)这个式子描述了S'参考系中事件的时间与S参考系中事件的时间之间的关系。
写出洛伦兹变换及其逆变换的形式。
洛伦兹变换及其逆变换是狭义相对论中的重要概念，它描述了当两个惯性系之间相对运动时，时间和空间的变化规律。
本文将从以下几个方面展开讨论：一、洛伦兹变换的推导1.1 介绍洛伦兹变换的背景狭义相对论是爱因斯坦在19世纪初提出的一种理论，它颠覆了牛顿力学的观念，重新定义了时间和空间的概念。
在狭义相对论中，运动状态并不是绝对的，而是相对于观察者的。
当两个惯性系相对运动时，时间和空间的观测数值会发生变化，而这种变化规律由洛伦兹变换来描述。
1.2 推导洛伦兹变换的数学表达式根据狭义相对论的基本原理和洛伦兹对称性，可以推导出洛伦兹变换的数学表达式。
假设有两个惯性系S和S'，它们之间以速度v相对运动。
假设在S系中有事件的时空坐标为(x, y, z, t)，在S'系中的时空坐标为(x', y', z', t')，那么洛伦兹变换的数学表达式可以表示为：\[x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, y'=y, z'=z, t'=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.\]其中c为光速。
1.3 推导出洛伦兹变换的矩阵形式将洛伦兹变换的以上数学表达式整理成矩阵形式，并引入矩阵运算的概念，可以得到洛伦兹变换的矩阵形式如下：\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ t' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} 0 0 -\frac{v}{c^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ -\frac{v}{c^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} 0 0\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{bmatrix}.\]二、洛伦兹变换的逆变换形式2.1 介绍洛伦兹变换的逆变换洛伦兹变换的逆变换即是将事件的时空坐标从S'系变换到S系的坐标变换规律。
洛伦兹变换的详细推导
第三节洛伦兹变换式教学内容：1.洛伦兹变换式的推导；2.狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓；重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求：1.了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2.了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3.理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导1.时空坐标间的变换关系x=0；在S'系中观察该点，x'=-v t'，即x'+v t'=0。
因此x=x'+v t'。
在任意的一个空间点上，可以设：x=k（x'+v t'），k是—比例常数。
同样地可得到：x'=k'（x-v t）=k'（x+(-v)t）根据相对性原理，惯性系S系和S'系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k=k'。
2.由光速不变原理可求出常数k设光信号在S系和S'系的原点重合的瞬时从重合点沿x轴前进，那么在任一瞬时t（或t'），光信号到达点在S系和S'系中的坐标分别是：x=c t,x'=c t'，则：由此得到()22211c v vc c k -=-=。
这样，就得到()21c v vt x x --='，()21c v t v x x -'+'=。
由上面二式，消去x '因此得相对论的速度变换公式： 21c vu v u u x x x --='、()2211c vu c v u u x y y --='、()2211c vu c v u u x z z --='其逆变换为：21c u v v u u x x x '++'=、()2211c u v c v u u x y y '+-'=、()2211c u v c v u u x z z '+-'=。
洛伦兹变换的详细推导
第三节洛伦兹变换式教学内容：1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求：1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-'+'=22211c v c x v t t z z y y c v t v x x据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。
1. 时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。
对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。
在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点，x '=-v t '，即x '+v t '=0。
因此x =x '+v t '。
在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。
同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ）根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。
★★★“洛伦兹变换”的推导及其意义!!
洛沦兹变换的推导],)([P ],)(P[t t r t t r ''''↔一般性的光速不变原理：Esp. 特殊性的光速不变原理：伽利略坐标变换s 'utxx 'Pz 'zOO 'xyy 'x 's)t ' 前提。
非公理性默认条件1a ） “S '系原点事件”的对应关系条件：),0(P ),P(t t t u ''↔⋅⇒⋅-=⇒⋅+⋅⋅=⇒''↔⋅⋅+⋅='u a a t a t u a t t t u t a x a x 1112121112110),0(P ),P(;)(11t u x a x ⋅-⋅='非公理性默认条件1b ） “S 系原点事件”的对应关系条件：),(P ),0P(t t u t ''⋅-'↔⇒⋅=⇒'⋅+'⋅-⋅=⇒''⋅-'↔'⋅+'⋅=u a a t a t u a t t u t t a x a x 212222212221)(0),(P ),0P(;)(21t u x a x '⋅+'⋅=非公理性默认条件1c ）满足“低速情形的退化连续性条件”和“左右对称条件”，意味着)(1)()(,)()(1)()(,)(2121212111111111c u u a u a u a a c u u a u a u a a <<→≡-=<<→≡-=2）相对性原理（且满足低速情形的退化条件）满足相对性原理，意味着)()(;)()()(2111u u u u a u a γγγ≡-=≡从而有：)(;)(t u x x t u x x '⋅+'⋅=⋅-⋅='γγ3）光速不变原理支持下的事件对应关系条件：),(P ),P(t t c t t c ''⋅'↔⋅⇒'⋅+'⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅='⋅⇒''⋅'↔⋅'⋅+'⋅=⋅-⋅=')(,)(),(P ),P(;)(,)(t u t c t c t u t c t c t t c t t c t u x x t u x x γγγγ⇒'⋅+'⋅⋅⋅-⋅⋅='⋅⋅)()(22t u t c t u t c t t c γ讨论1：)()(u u γγ=-满足对称性（偶函数）条件。
洛伦兹变换的详细推导
第三节 洛伦兹变换式教学内容:1、 洛伦兹变换式的推导;2、 狭义相对论的时空观:同时性的相对性、长度的收缩与时间的延缓; 重点难点:狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求:1、 了解洛伦兹坐标变换与速度变换的推导;2、 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩与时间延缓概念;3、 理解牛顿力学中的时空观与狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-'+'=22211c v c x v t t z z y y c v t v x x据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。
1、 时空坐标间的变换关系作为一条公设,我们认为时间与空间都就是均匀的,因此时空坐标间的变换必须就是线性的。
对于任意事件P 在S 系与S '系中的时空坐标(x ,y ,z ,t )、(x ',y ',z ',t '),因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动,显然有y '=y , z '=z 。
在S 系中观察S 系的原点,x =0;在S '系中观察该点,x '=-v t ',即x '+v t '=0。
因此x =x '+v t '。
在任意的一个空间点上,可以设:x =k (x '+v t '),k 就是—比例常数。
同样地可得到:x '=k '(x -v t )= k '(x +(-v )t )根据相对性原理,惯性系S 系与S '系等价,上面两个等式的形式就应该相同(除正、负号),所以k =k '。
洛伦兹变换的详细推导
洛伦兹变换的详细推导本文介绍了洛伦兹变换式的推导以及狭义相对论的时空观。
首先，介绍了洛伦兹坐标变换和速度变换的推导方法，指出时空坐标变换必须是线性的。
其次，根据相对性原理，推导出了两个基本假设，即时空坐标间的变换关系和光速不变原理。
通过对光信号在S系和S'系的原点重合的瞬时从重合点沿x轴前进的分析，得到了洛伦兹变换式。
狭义相对论的时空观包括同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓。
同时性的相对性指不同惯性系中的两个事件是否同时发生是相对的。
长度的收缩指在运动方向上，物体的长度会变短。
时间的延缓指在运动中，时间会变慢。
这些结论与___力学中的时空观有很大的差异。
为了更好地理解狭义相对论的时空观，需要了解洛伦兹变换式的推导和基本假设。
同时，需要认识到狭义相对论与___力学的时空观存在巨大差异，这是我们理解狭义相对论的关键。
1、讨论相对论的速度变换公式和光速不变原理当速度u、v远小于光速c时，即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转化为___速度变换式。
利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是c。
假设S'系中观察者测得沿x'方向传播的一光信号的光速为c，在S系中观察者测得该光信号的速度为u'=(u-v)/(1-uv/c^2)，即光信号在S系和S'系中都相同。
2、讨论狭义相对论的时空观狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。
即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。
例如，假设两个事件P1和P2，在S系和S'系中测得其时空坐标不同，且两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。
这就是同时的相对性。
因此，同时性与参考系有关，这就是同时的相对性。
在相对论中，时间和空间的概念都发生了变化。
在相对论中，时间和空间是相互关联的，构成了时空的统一整体。
本文将介绍两个与时空相关的概念：时间膨胀和长度收缩。
一、时间膨胀（时间延长）在相对论中，时间不再是绝对的，而是相对的。
13. 2 洛伦兹变换
推导过程略 y
S
2
y
u
P x x
O
S
O
x ( x ut ) (13-23) y=y z=z ux t (t 2 ) (13-25)
c
z
z O、O重合时， t=t=0
z1 z1
z 2 z2
“2”“1” ?
例1．在S 惯性系中观测到相距x=9108m的两地点相隔t=5s 发 生两事件，而在相对S系沿x方向匀速运动的S系中发现此两事件 恰好发生在同一地点。试求在S系中此两事件的时间间隔。
x = 9108m t =5 解： S：
S： x=0，
2
4) 物体运动速度的极限为 c 。 u<c ux u t (t 2 0 =1 5) 当u<<c时， c c x=xut y =y z =z t =t 洛伦兹变换 伽利略变换 经典力学是相对论力学的极限情况，仅在u<<c时成立。 uc时，用相对论； u<<c时，可以用经典理论。
带撇与不带撇互换、负号与正号互换
即：同一个研究“对象”被两个参 考系的观察者研究。 “二看一”！ 若不是同一事件，则无此关系。
1 说明： 1) 洛伦兹变换是同一事件在两个惯性 u c 1 系中的两组时空坐标间的变换方程。
“二看一”！ x ( x ut ) 2) 各惯性系的时间、空间度量基准必须一致。 y=y 各惯性系中的观察者、钟、尺必须相 对各自惯性系保持静止。 3) 时间、空间和物质运动密不可分！
A
x
A
B A
S：x=0 t=t=? 1 v x ( t ) t = t 2 c 1 2
洛伦兹变换详细推导
第三节 洛伦兹变换式教案内容：1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求：1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-'+'=22211c v c x v t t z z y y c v t v x x据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。
1. 时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。
对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。
在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点，x '=-v t '，即x '+v t '=0。
因此x =x '+v t '。
在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。
同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ）根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。
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一、间隔不变原理
1、事件：一件事情发生可以用地点和时间来标识。
在一个参考系如S 中可以记作(,,,),x y z t 另一参考系'
S 中可以记作''''(,,,),x y z t 两件事情发生，分别在两参考系中可以记为
22222221212121()()()()s x x y y z z c t t ∆=-+-+---
这两事件的间隔在'
S 参考系中定义为
'2''2''2''22'
'221212121()()()()s x x y y z z c t t ∆=-+-+---
注意两事件的间隔只能在同一惯性参考系才有意义，2
s ∆是一种整体记法，就表示两事件在S 系中的惯性，计算方法如下，
22222221212121()()()()s x x y y z z c t t ∆=-+-+---
不表示两间隔之差，这种写法22221s s s ∆=-是错误的。
由光速不变原理可以推出间隔不变：任何两事件的间隔，从一个惯性参考系变换到另一惯性参考系保持不变。
2
'2
s s ∆=∆ 二、洛伦兹变换
设惯性参考系'
S 相对于惯性参考系S 以速度v 运动，选取两个参考系的坐标轴相互平行，x 轴方向沿速度v 方向，且0t =时两坐标原点重合。
在这种情况下有
'',y y z z ==
考虑两个事件，事件1在0t =时刻发生在两惯性参考系的原点，事件2在S 系中发生t 时刻，两事件在两个惯性参考系S 和'
S 分别记为 由两事件在两惯性参考系中间隔相等可以得到
'2'2'22'222222x y z c t x y z c t ++-=++- （1）
由于从一个惯性参考系到另一个惯性参考系的变换为线性变换，所以有
'1112'
2122x a x a ct ct a x a ct
=+=+ （2）
将（2）式代入（1）式再结合'
'
,y y z z ==可以得到
2222222221112212222222
1112212222222222222
22
11
111212
21
212222
22222221121111221221222()()()()(2(2)(1)(22)(a x a ct y z a x a ct x y z c t a x a ct a x a ct x c t a x ca a xt a c t a x ca a xt a c t x c t
a a x ca a ca a xt a c a c c +++-+=++-+-+=-++-++=---+-+-+22)0t =
上式在任何情况下成立，所以只有相应的系数为零。
由此可以得到
22
11211a a -=，2212
221a a -=-，111221220a a a a -= 由上式的1、2两式可以得知
1122a a ==
1112212212222212212112221221
1221
0(1)(1)
0a a a a a a a a a a a a a -=⇒=+=+-==
取正是因两坐标轴正向一致且时间方向指向一致。
特别的考相应惯性参考系'
S 的原点坐标'
O 时空坐标，经过时间t 后，它在S 参考系中x vt =，
'S 中'0x =，代入变换式'1112x a x a ct =+可以得到
121112110a v a vt a ct a c
=+⇒
=-
由以上得出的三个式：1122a a ==1221a a =，
1211a v
a c
=-可以得到
11221221v
a a a a c β==
==
= （4）
（4）式的推导
112212211211a a a a a v a c
====-
由上述三式可以得出
22222
1111121111111211121111a a a a a a a v
a c v
v a a c ββ=⇒-=⇒-=⇒=
=-=--
=-=
所以洛伦兹变换可以写成
'1112''
2'21221v
x a x a ct y y z z
v v
x t
t a x a t c -
=+====-
-+=+==
'''2
'x y y z z
v
t x t ====-
=
将式中的v 用v -来代替，便得到它的逆变换公式
'''
'2x y y z z v t x t =
==+
=。