洛伦兹变换的推导

一、间隔不变原理

1、事件：一件事情发生可以用地点和时间来标识。在一个参考系如S 中可以记作(,,,),x y z t 另一参考系'

S 中可以记作''''(,,,),x y z t 两件事情发生，分别在两参考系中可以记为

22222221212121()()()()s x x y y z z c t t ∆=-+-+---

这两事件的间隔在'

S 参考系中定义为

'2''2''2''22'

'221212121()()()()s x x y y z z c t t ∆=-+-+---

注意两事件的间隔只能在同一惯性参考系才有意义，2

s ∆是一种整体记法，就表示两事件在S 系中的惯性，计算方法如下，

22222221212121()()()()s x x y y z z c t t ∆=-+-+---

不表示两间隔之差，这种写法22221s s s ∆=-是错误的。

由光速不变原理可以推出间隔不变：任何两事件的间隔，从一个惯性参考系变换到另一惯性参考系保持不变。2

'2

s s ∆=∆ 二、洛伦兹变换

设惯性参考系'

S 相对于惯性参考系S 以速度v 运动，选取两个参考系的坐标轴相互平行，x 轴方向沿速度v 方向，且0t =时两坐标原点重合。 在这种情况下有

'',y y z z ==

考虑两个事件，事件1在0t =时刻发生在两惯性参考系的原点，事件2在S 系中发生t 时刻，两事件在两个惯性参考系S 和'

S 分别记为 由两事件在两惯性参考系中间隔相等可以得到

'2'2'22'222222x y z c t x y z c t ++-=++- （1）

由于从一个惯性参考系到另一个惯性参考系的变换为线性变换，所以有

'1112'

2122x a x a ct ct a x a ct

=+=+ （2）

将（2）式代入（1）式再结合'

'

,y y z z ==可以得到

2222222221112212222222

1112212222222222222

22

11

111212

21

212222

22222221121111221221222()()()()(2(2)(1)(22)(a x a ct y z a x a ct x y z c t a x a ct a x a ct x c t a x ca a xt a c t a x ca a xt a c t x c t

a a x ca a ca a xt a c a c c +++-+=++-+-+=-++-++=---+-+-+22)0t =

上式在任何情况下成立，所以只有相应的系数为零。由此可以得到

22

11211a a -=，2212

221a a -=-，111221220a a a a -= 由上式的1、2两式可以得知

1122a a ==

1112212212222212212112221221

1221

0(1)(1)

0a a a a a a a a a a a a a -=⇒=+=+-==

取正是因两坐标轴正向一致且时间方向指向一致。

特别的考相应惯性参考系'

S 的原点坐标'

O 时空坐标，经过时间t 后，它在S 参考系中x vt =，

'S 中'0x =，代入变换式'1112x a x a ct =+可以得到

121112110a v a vt a ct a c

=+⇒

=-

由以上得出的三个式：1122a a ==1221a a =，

1211a v

a c

=-可以得到

11221221v

a a a a c β==

==

= （4）

（4）式的推导

112212211211a a a a a v a c

====-

由上述三式可以得出

22222

1111121111111211121111a a a a a a a v

a c v

v a a c ββ=⇒-=⇒-=⇒=

=-=--

=-=

所以洛伦兹变换可以写成

'1112''

2'21221v

x a x a ct y y z z

v v

x t

t a x a t c -

=+====-

-+=+==

'''2

'x y y z z

v

t x t ====-

=

将式中的v 用v -来代替，便得到它的逆变换公式

'''

'2x y y z z v t x t =

==+

=