常微分期末复习.doc

合集下载

大学专业课考试复习资料--《常微分方程》试题库含答案

大学专业课考试复习资料--《常微分方程》试题库含答案一、填空题1．微分方程0)(22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是____________ 答：12．若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是 _________________________ 答：)()1)((y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂ 3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如)(xy g dx dy =的方程 4．如果),(y x f ___________________________________________ ,则),(y x f dx dy =存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0 上,连续且满足初始条件)(00x y ϕ= ,其中=h _______________________ .答：在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件 ),min(mb a h = 5．对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈ (R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使 ______________________ ,则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件.答： 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程22y x dxdy +=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上 ,则经过点 )0,0(的解的存在区间是 ___________________ 答：4141≤≤-x 7．若),.....2,1)((n i t x i =是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程 ___________________________________答：0)(1'=+w t a w8．若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：x x c x n i i i +=∑=19．若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有≤-)()(x x n ϕϕ __________________ 答：1)!1(++n nh n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程．答：形如)()()(2x r y x q y x p dxdy ++=的方程 y z y += 11．一个不可延展解的存在区间一定是区间．答：开12．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是．答：}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面）13．方程y x xy sin d d 2=的所有常数解是．答： ,2,1,0,±±==k k y π14．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 在区间I 上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是．答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程02=+'-''y y y 的基本解组是．答：x x x e ,e17．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程y x x y )(d d ϕ=的任一非零解与x 轴相交．答：不能18．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上与x 轴相切．答：不能19．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点．答：没有20．方程21d d y xy -=的常数解是．答：1±=y21．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．答：必要22．方程22d d y x x y+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是．答： xoy 平面23．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是．答：1,1±=±=x y24．方程04=+''y y 的基本解组是．答：x x 2cos ,2sin25．一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线．答：2二、单项选择题1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +22．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x y=的任一解的存在区间（D ）．（A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+（C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定3．方程y x x y+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）．（A ）上半平面（B ）xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解（B ）是非齐次微分方程组的解（C ）是其对应齐次微分方程组的解（D ）是非齐次微分方程组的通解5. 方程21d d y x y-=过点)1,2(π共有（ B ）个解．（A ）一（B ）无数（C ）两（D ）三6. 方程2d d +-=y x xy （ B ）奇解．（A ）有三个（B ）无（C ）有一个（D ）有两个7．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间．（A ）n 维（B ）1+n 维（C ）1-n 维（D ）2+n 维8．方程323d d y xy =过点（ A ）．（A ）有无数个解（B ）只有三个解（C ）只有解0=y （D ）只有两个解 9. ),(y x f y '连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（ B ）条件．（A ）充分（B ）充分必要（C ）必要（D ）必要非充分10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间（B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性空间11．方程y x y =d d 的奇解是（ D ）．（A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y12．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ C ）．（A ）)()(21x x ϕϕ- （B ）)()(21x x ϕϕ+（C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （D ）)()(21x x C ϕϕ+13．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f xy =初值解唯一的（ D ）条件．（A ）必要（B ）必要非充分（C ）充分必要（D ）充分14. 方程1d d +=y x y （ C ）奇解．（A ）有一个（B ）有两个（C ）无（D ）有无数个15．方程323d d y xy =过点(0, 0)有（ A ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3yx y dx dy += 解：23y y x y y x dy dx +=+= ，则 )(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y 所以 cy y x +=23另外 0=y 也是方程的解2．求方程2y x dxdy +=经过)0,0(的第三次近似解解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ []52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ []81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x+++=+=⎰ϕϕ 3．讨论方程2y dx dy = ，1)1(=y 的解的存在区间解：dx y dy =2两边积分 c x y+=-1 所以方程的通解为 cx y +-=1 故过1)1(=y 的解为 21--=x y 通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到２，所以解的存在区间为 )2,(-∞4．求方程01)(22=-+y dxdy 的奇解解: 利用p 判别曲线得⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去p 得 12=y 即 1±=y 所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以 1±=y 是方程的奇解5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: y M ∂∂=2--y , xN ∂∂=2--y , y M ∂∂=x N ∂∂ , 所以方程是恰当方程.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos yx y y v y x x u 得 )(sin y y x x u ϕ++= )('2y xy yu ϕ+-=∂∂- 所以y y ln )(=ϕ 故原方程的解为 c y yx x =++ln sin 6． x x x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 x y sin = ,令x z y sin += , 则方程可化为2z dx dz -= , c x z +=1 即 c x x y +=-1sin , 故 cx x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy解: 两边同除以2y 得037322=-+-xdy dy y ydx xdx 0732=--yd xy d dx 所以 c y xy x =--732 , 另外 0=y 也是方程的解 8．21d d x xy x y += 解当0≠y 时，分离变量得x x x y y d 1d 2+= 等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++=即通解为21x C y +=9. x y xy 2e 3d d =+ 解齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 51 10. 5d d xy y xy += 解方程两端同乘以5-y ，得x y xy y +=--45d d 令 z y =-4，则xz x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z x z =--d d 41 通解为41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x 11．0)d (d 222=-+y y x x xy解因为xN x y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰020d d 2 即 C y y x =-3231 12． y y xy ln d d = 解：当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得C x yy y +=⎰⎰d ln d 通积分为 x C y e ln = 13．03)(22=+'+''x y y y解原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-= 14．xy x y x y +-=2)(1d d 解：令xu y =，则xu x u x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u x u x -= 分离变量，取不定积分，得C xx u uln d 1d 2+=-⎰⎰ （0≠C ）通积分为： Cx xy ln arcsin= 15． xy x y x y tan d d += 解令u xy =，则x u x u x y d d d d +=，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u xu x tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得C x x u u ln d tan d +=⎰⎰ C x u ln ln sin ln +=即通积分为： Cx x y =sin16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为Cx y =+x x ln17. 0d d )e (2=+-y x x y x y解积分因子为21)(x x =μ原方程的通积分为1012d d )(e C y x x y y x x=+-⎰⎰即 1e ,e C C C x yx +==+18．0)(2='+''y y y解：原方程为恰当导数方程，可改写为0)(=''y y即1C y y ='分离变量得x C y y d d 1=积分得通积分21221C x C y +=19．1)ln (='-'y x y解令p y ='，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=py p p x ln 1由基本关系式 y x y'=d d ，有p p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='= p p)d 11(-= 积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 120．022=+'+''x y y y解原方程可化为0)(2='+'x y y于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-= 21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 解：由于xN xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x yx=++⎰⎰ 即 C y y x x =++42242四、计算题1．求方程x y y e 21=-''的通解．解对应的齐次方程的特征方程为：012=-λ特征根为： 1,121-==λλ故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为x Ax x y e )(1=代入原方程，有 x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+，可解出 41=A ．故原方程的通解为 x x x x C C y e 41e e 21++=- 2．求下列方程组的通解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x ty y x t x 43d d 2d d ．解方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A即 0232=+-λλ特征根为 11=λ，22=λ11=λ对应的解为t b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量，满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得1,111-==b a ．同样可算出22=λ对应的特征向量分量为 3,212-==b a ．所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．解：方程的特征根为01=λ，52=λ齐次方程的通解为 x C C y 521e +=因为i i 5±=±βα不是特征根。

常微分期末试题及答案

常微分期末试题及答案[正文开始]第一部分：选择题1. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x + c 在区间 [0, 1] 上是增函数，则实数 c 的取值范围是：A) c > 1/4B) c > -1/4C) c < 1/4D) c < -1/4答案：A) c > 1/4解析：当 f(x) 是增函数时，f'(x) > 0。

对于 f(x) = 3x^2 + 2x + c，求导得到 f'(x) = 6x + 2。

显然当 x > -1/3 时，f'(x) > 0，即 c > 1/4。

2. 解微分方程 dy/dx = x^2 + 1 的通解为：A) y = (1/3)x^3 + x + CB) y = (1/3)x^3 + CC) y = (1/3)x^2 + x + CD) y = (1/3)x^2 + C答案：A) y = (1/3)x^3 + x + C解析：对方程 dy/dx = x^2 + 1 进行积分，得到 y = (1/3)x^3 + x + C，其中 C 为积分常数。

3. 设三角函数f(x) = sin(2x + π/3)，则 f'(x) = ？A) 2cos(2x + π/3)B) 2cos(2x - π/3)C) 2cos(2x)D) 2cos(2x + π/6)答案：B) 2cos(2x - π/3)解析：根据链式法则，对sin(2x + π/3) 求导，得到 f'(x) = 2cos(2x +π/3) * 2 = 2cos(2x - π/3)。

4. 设 f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则 f(g(2)) = ？A) e^2B) e^3C) 2D) ln(2)答案：A) e^2解析：首先求 g(2) = ln(2)，然后将结果代入 f(x) = e^x 中计算，得到 f(g(2)) = f(ln(2)) = e^ln(2) = 2。

常微分方程期末复习提要(1)

常微分方程期末复习提要中央电大顾静相常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。

本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习．一、复习要求和重点第一章初等积分法1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法．常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。

2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法．（1）显式变量可分离方程为：)()(d d y g x f x y = ；当0≠g 时，通过积分⎰⎰+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。

（2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=；当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ⎰⎰+=C x x M x M y y N y N d )()(d )()(2112求出通解。

3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法．第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为：)(d d x y g x y = ；令x y u =，代入方程得xu u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得⎰=-uu g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ϕ=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ϕ=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法．（1）一阶线性齐次微分方程为：0)(d d =+y x p xy 通解为：⎰=-x x p C y d )(e 。

常微分方程阶段复习题2

《常微分方程》试题一.填空题1．若)(t x i （i=1,2,┄,n ）是n 阶线性齐次方程的一个基本解组，x(t)为非齐性齐次方程方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为2．若ϕ（t ）和ψ（t ）都是x ˊ= A(t) x 的基解矩阵，则ϕ（t ）与ψ（t ）具有关系：3．若ϕ（t ）是常系数线性方程组x Ax '=的基解矩阵,则该方程满足初始条件0()t ψη=的解()t ψ=_____________________4．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间.6. 向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0.7.若X 1(t), X 2(t) , X n (t)为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是8.若)()(t t ψφ和都是'X =A(t)X 的基解矩阵，则 )()(t t ψφ和具有关系：二.单选题1.容易验证：y wx y wx w 120==>cos ,sin ()是二阶微分方程''+=y w y 20的解，试指出下列哪个函数是方程的通解。

（式中C C 12,为任意常数）（）（A ）y C wx C wx =+12cos sin （B ）y C wx wx =+12cos sin（C ）y C wx C wx =+112cos sin （D ）y C wx C wx =+122cos sin2.微分方程1x y y e ''-=+的一个特解应有形式 ( )（A ）b ae x +；（B ）bx axe x +；（C ）bx ae x +；（D ） b axe x +3.微分方程'''+'=y y x sin 的一个特解应具有形式 ( )（A ）A x sin （B ）A x cos（C ）Asix B x +cos （D ）x A x B x (sin cos )+4.微分方程''+=y y x x cos2的一个特解应具有形式（）（A ）()cos ()sin Ax B x Cx D x +++22 （B ）()cos Ax Bx x 22+（C ）A x B x cos sin 22+ （D ）()cos Ax B x +25.微分方程012'''=++y y 的通解是（）（A ）x e x C C y -+=)(21；（B ）x x e C e C y -+=21；（C ）x e C C y x 21221-+=-；（C ）x x C x C y 21sin cos 21-+=。

常微分方程练习题及答案复习题

當微分方程练习试卷3 U A1.方程X —1 = U 址R _________ I Mett. ir«rt > 微分方仪.dt-：.方w —^- = f (xy) ________ •可以化为tn分Khfi ______________ .y dxd'ys.做分方《■ ——z- —_______________________________ — x = 0 購足条d y(0) = 1, y'(0) = 2 的解“个.dx& »««»/,•» y" + ay' + fly = ye x的卄解y (x) = e~x + e x + xe x.妙此方n的系型 a = ______________________________________________ . p = ______________ . y = 5.朗躲晰列式W(f)三0Wffittffl召(f),x2(t),^-,x n(t) A a<x <b i找件仲的___________________________________________ 条件.& 方程xydx+(2x2 4- 3y2一2Q)dy = 0 的只号y有关的机分因子为__________________________________T.已知X' = A(t)X的啊时为0(0的.期A(t) = _____________________________~2 0_8.方KfflX* = X的星轄第辞为0 5_空*+尸9._________ 可用变殃紗们为利方程化；MS性方程.10._____________________________________ 丁—1 足朋方程y m + 2y" 4- 5y r + y = 1 辦“苗条”g *v<4)-v=z2H.方程』丿的ftJiiWW-Jm ____ 的心式：is.三附常不n齐仪件方丹y"—2y" + y = 0的椅征根乞________________________点的曲找方幔.matt任.点仪的wtt^w点血成“.。

电大常微分方程复习资料

常微分方程课程第一次作业1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程：（1）（2）（3）2．用分离变量法求解下列方：（1）（2）（3）（4）3．解下列齐次线性微分方程（1）（2）（3）（4）4．解下列一阶线性微分方程：（1）（2）5．解下列伯努利方程（1）（2）6．设函数，在上连续，且，（a, b为常数）．求证：方程的一切解在上有界．7．解下列全微分方程：（1）（2）8．求下列方程的积分因子和积分：（1）（2）9．求解下列一阶隐式微分方程（1）（2）10．求解下列方程（1）（2）（3）（4）11．求曲线族的正交轨线，其中为参数．12．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比．（1）如果过4小时的细菌数即为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？（2）如果在3小时的时候，有细菌数个，在5小时的时候有个，那么在开始时有多少细菌？13．重为100kg的物体，在与水平面成30°的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求：（1）物体运动的微分方程；（2）求5 s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度．常微分方程课程第一次作业解析1．（1）1阶，是；（2）4阶，是；（3）3阶，不是。

2．（1）通积分为：（2）当时分离变量，两端取积分得即通积分为另外，是常数解，注：在方程求解时，求出显式通解或隐式通解（通积分）即可，常数解可以不求。

（3）方法一：当时，方程变为,积分得在通解中代入初值，有.所求特解为：。

（4) 当时, 方程可变为通积分为或, 上式代入初值条件，得。

于是初值问题解为：。

3．（1）显然是方程的解。

当时，原方程可化为。

令，则原方程可化为，即易于看出，，是上面方程的解，从而，是原方程的解。

当时，分离变量得，.两端积分得：(C)。

将换成，便得到原方程的解，(C)。

故原方程的通解为（为任意常数）及。

（2）显然是方程的解。

当时，原方程可化为：。

令，则原方程可化为，即易于看出，是上式的解，从而是原方程的解.当时，分离变量得.两端积分得(C).将换成，便得到原方程的解 (C).故原方程的通解为.（3）显然是方程的解. 当时，原方程可化为令，则原方程可化为，即分离变量得，.两端积分得.将换成，便得到原方程的解(C). （4）将方程变形为: .因为，方程组有解，令. 代入原方程，得到新方程令，代入上式，又得到新方程或当时，有积分得原方程通积分为另外，由解得也是原方程解。

常微分方程期末试题标准答案

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的充分条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）．（A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

常微分方程期末复习

1.求下列方程的通解。

1sin 4-=-x e dxdyy . 解：方程可化为1sin 4-+-=x e dxde y y令ye z =，得x z dxdzsin 4+-= 由一阶线性方程的求解公式，得[]xx x dx dx ce x x c e x x e c dx xe e z -----+-=+-=+⎰⎰=⎰)cos (sin 2)cos (sin 2)sin 4()1()1(所以原方程为：y e ＝xcex x -+-)cos (sin 22.求下列方程的通解。

1)(122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-dx dy y .解：设t p dxdysin ==，则有t y sec =，从而c tgt t tdt c tdt tgt tx +=+=+⋅=⎰⎰2sec sec sin 1，故方程的解为221)(y c x =++，另外1±=y 也是方程的解 .3.求方程2y x dxdy+=通过)0,0(的第三次近似解. 解：0)(0=x ϕ 20121)(x xdx x x==⎰ϕ5204220121)41()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕ dx x x x x dx x x x x x x⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=0710402523201400141)20121()(ϕ 8115216014400120121x x x x +++=4.求解下列常系数线性方程。

0=+'+''x x x解：对应的特征方程为：012=++λλ， .解得i i 23,23212211--=+-=λλ 所以方程的通解为：)23sin 23cos(2121t c t c ex t +=-5.求解下列常系数线性方程。

t e x x =-'''解：齐线性方程0=-'''x x 的特征方程为013=-λ，解得231,13,21i±-==λλ，故齐线性方程的基本解组为：i e i ee t23sin ,23cos ,2121--，因为1=λ是特征根，所以原方程有形如t tAe t x =)(，代入原方程得，tt t t e Ate Ate Ae =-+3，所以31=A ，所以原方程的通解为2121-+=e c e c x tt te i e c i 3123sin 23cos 213++-6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：5,1--=+--=y x dtdyy x dt dx 解： ⎩⎨⎧=--=+--050!y x y x 解得⎩⎨⎧-==23y x 所以奇点为（)2,3-经变换，⎩⎨⎧+=-=33y Y x X方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=Y X dtdy Y X dt dx因为,01111≠---又01)1(11112=++=+-+λλλ 所以i i --=+-=1,121λλ，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。

常微分期末考试试题和答案a#

《常微分方程》期终测试试卷<A ）<适用班级：班）下属学院_________________班级_________姓名____________成绩______________________。

2、一阶方程0=+Ndy Mdx ，若存在可微函数)0)(,(≠μy x 使_____________ _________________________时，称),(y x μ为这个方程的积分因子。

3、____________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换____________________，可化为伯努利方程。

4、对R y x y x ∈∀),(),,(21，存在常数)0(>N ，使____________________则称),(y x f 在R 上关于y 满足李普希兹条件。

5、若)(x ϕ为毕卡逼近序列)}({x n ϕ的极限，则有≤ϕ-ϕ|)()(|x x n _________。

6、方程22y x dx dy +=定义在矩形域R ：22≤≤-x ，22≤≤-y 上，则经过点)0,0(解的存在区间是__________________。

7、若),,3,2,1)((n i t x i =是n 阶齐线性方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n 的n 个解，)(t w 为其伏朗基斯行列式，则)(t w 满足一阶线性方程__________________。

8、设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程0)()(21=+'+'x t a x t a x 的一个解，则该方程的通解为____________________________________________。

9、若),,3,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的通解为_____________________________。

常微分方程复习Word版

常微分方程复习填空题、选择题和解答题----比例是2-3-5。

一．填空题（20分）1．设微分方程,b x y n+='b 是常数，则.11C bx n x y n +++=+ 2．设微分方程x x x y 3cos 2sin ++=',则.)3sin 32cos 2(22C x x x y ++-+= 3．若一阶微分方程),()(t q x t p x =+'则它的通解})({)()(+⎰⎰=-C dt e t q e x dtt p dt t p 。

4．设函数组是nxxxe e e ,,,25．若函数x y x y 2cos ,2sin 1-==，则1y 与2y 是线性相关。

6．若二阶微分方程是032=+'+''x x x ，且设rxe x =，则特征方程是0322=++r r ，特征根是i r i r 21,2121--=+-=，二阶微分方程的解是]2sin 2cos [21t C t C e x t +=-7．若函数)(),(),(321x y x y x y 是3阶线性齐次方程的3个线性无关的解，则它的朗斯基行列式是0)(≠x W8．若函数)(,),(),(21x y x y x y n 是n 阶线性非齐次方程所对应的齐次方程的n 个线性无关的解,而)(x y *是非齐次方程的特解，则齐次方程的通解是)()()(2211x y C x y C x y C n n +++ 非齐次方程的通解是)()()(2211x y C x y C x y C n n +++ )(x y *+9．设函数),(y x f 在闭区域b y y a x x R ≤-≤-00,:上满足李谱茜斯条件，则存在常数b>0，对R 上的点),(),,(21y x y x ,有≤-),(),(21y x f y x f 21y y b - 10．若函数)(t f 的拉普拉斯变换是dt t f e t f L st ⎰∞-=)()]([，则===][,][,][at at te L e L k L ，2)(1,1,a s a s s k --11．若二阶微分方程是t e x x x 52=+'+''，则它的特征方程是0122=++r r ，它的齐次微分方程通解是te t C C -+)(21，它的非齐次方程的特解应设为tAe 5（A 是待定系数）.二、选择题(30分)1．设函数),(),,(y x q y x p 连续可微，则方程0),(),(=+dy y x q dx y x p 是全微分方程的充分必要条件是（ C ）。

常微分方程复习资料(可编辑修改word版)

常微分方程复习资料一、填空题1. 一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线．2. 方程 y ' - 2 y ' + y = 0 的基本解组是．3. 一个不可延展解的存在在区间一定是区间． d y4. 方程d x 的常数解是．5. 方程d y = x 2 + y 2 满足解的存在唯一性定理条件的区域是．d x6. 若 y =(x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，则方程 d yd x与 x 轴相交．= (x ) y 的任一非零解7. 在方程 y ' + p (x ) y ' + q (x ) y = 0 中，如果 p (x ) ， q (x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，那么它的任一非零解在 xoy 平面上与 x 轴相切．8. 向量函数组Y 1 (x ), Y 2 (x ), , Y n (x ) 在其定义区间 I 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式W (x ) = 0 ， x ∈ I ．9. 方程 x ( y 2 - 1)d x + y (x 2 - 1)d y = 0 所有常数解是．10. 方程 y ' + 4 y = 0 的基本解组是．d y11. 方程= d x+ 1满足解的存在唯一性定理条件的区域是．12．若 y = 1 (x ), 二、单项选择题y = 2 (x ) 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点．d y1. 方程 d x- 1 = x 3 + y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）．（A ）上半平面（B ）xoy 平面（C ）下半平面（D ）除 y 轴外的全平面 d y2.f ( y ) 连续可微是保证方程 = d xf ( y ) 解存在且唯一的（）条件．（A ）必要（B ）充分（C ）充分必要（D ）必要非充分3. 二阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A ）构成一个 2 维线性空间（B ）构成一个 3 维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性d y 4. 方程d x2= 3y 3过点(0, 0)有（）．(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解5. n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A ） n 维（B ） n + 1维（C ） n - 1维（D ） n + 2 维d y 6. 方程= d x+ 2 （）奇解．（A ）有三个（B ）无（C ）有一个（D ）有两个 7. 若 y = 1 (x ) ， y = 2 (x ) 是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（）．（A ）1 (x ) -2 (x ) （B ）1 (x ) +2 (x ) （C ） C (1 (x ) - 2 (x )) + 1 (x )（D ） C 1 (x ) +2 (x ) 1 - y 2 y x - y =1 - ( y )2 x ⎪ d y ⎪ d y 8.f ' (x , y ) 连续是方程 d y= y d x f (x , y ) 初值解唯一的（）条件．（A ）必要（B ）必要非充分（C ）充分必要（D ）充分d y9. 方程= d x 的奇解是（）．（A ） y = xd y（B ） y = 1（C ） y = -1（D ） y = 010.方程 = d x 过点( 2, 1) 共有（）个解．（A ）一（B ）无数（C ）两（D ）三11. n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A ） n （B ） n -1 （C ） n +1 （D ） n +2 12. 一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解（B ）是非齐次微分方程组的解（C ）是其对应齐次微分方程组的解（D ）是非齐次微分方程组的通解13. 如果 f (x , y ) ，∂f (x , y )∂yd y 都在 xoy 平面上连续，那么方程 d x f (x , y ) 的任一解的存在区间（）．（A ）必为(-∞, + ∞) 三、计算题（B ）必为(0, + ∞) （C ）必为(-∞, 0) （D ）将因解而定求下列方程的通解或通积分：1.d y = y ln y d x2.d y = + yd x x 3.d y = y + xy 5d x4． 2xy d x + (x 2 - y 2 )d y = 0 5． y = xy ' + 2( y ')36.d y= d x xy 1 + x 27.d y+ 3y = e 2xd x 8. (x 3 + xy 2 )d x + (x 2 y + y 3 )d y = 0 9．e y ' + y ' - x = 0 10． yy ' + ( y ')2 = 011.d y = d x y + tan y x x12.d y = d x y + 1x13. (x 2e y - y )d x + x d y = 014． y '(x - ln y ') = 115． yy ' + y '2 + 2x = 017．求下列方程组的通解．⎧d x= y + d t ⎨⎪ = -x ⎩ d t19．求下列方程组的通解1 sin t 16．求方程 y ' - 5 y ' = -5x2 的通解．18．求方程 y ' - y =1 e x 的通解．2五、证明题⎧d x= -x - 2 y d t⎨． ⎪ = 3x + 4 y ⎩ d ty 1 - y 2=1 - u2 ⎰ ⎰ x1. 设 f (x ) 在[0, + ∞) 上连续，且 limx →+∞ f (x ) = 0 ，求证：方程 d yd x+ y = f (x ) 的一切解 y (x ) ，均有 lim y (x ) = 0 ．x →+∞2. 在方程 y ' + p (x ) y ' + q (x ) y = 0 中， p (x ), q (x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，求证：若 p (x ) 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W (x ) 是(-∞, + ∞) 上的严格单调函数．d y3. 设 f (x , y ) 在整个 xoy 平面上连续可微，且 f (x , y 0 ) ≡ 0 ．求证：方程 d x= f (x , y )的非常数解 y = y (x ) ，当 x → x 0 时，有 y (x ) → y 0 ，那么 x 0 必为- ∞ 或+ ∞ ．4. 设 y = 1 (x ) 和 y = 2 (x ) 是方程 y '' + q (x ) y = 0 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式W (x ) ≡ C ，其中C 为常数．d y5. 在方程 d xf ( y )( y ) 中，已知 f ( y ) ，'(x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，且(±1) = 0 ．求证：对任意 x 0 和y 0 < 1 ，满足初值条件 y (x 0 ) = y 0 的解 y (x ) 的存在区间必为(-∞, + ∞) ．6. 在方程 y ' + p (x ) y ' + q (x ) y = 0 中，已知 p (x ) ， q (x ) 在(-∞, + ∞) 上连续．求证：该方程的任一非零解在 xoy 平面上不能与 x 轴相切．参考答案一、填空题1．2 2． e x , x e x 3．开 4． y = ±15．xoy 平面 6．不能 7．不能 8．必要 9． y = ±1, x = ± 1 10． sin 2x , cos 2x 11． D = {(x , y ) ∈ R 2 y > 0}，（或不含 x 轴的上半平面） 12．没有二、单项选择题1.D2.B3.C4.A5.A6.A7.C8.D 9.D10.B 11.A12.C13.D三、计算题1. 解当 y ≠ 0 ， y ≠ 1时，分离变量取不定积分，得d y= d x + Cy ln y 通积分为ln y = C e xd y d u2.解令 y = xu ，则 d xx d u =d x= u + x d x ，代入原方程，得分离变量，取不定积分，得⎰ d u = ⎰ d x + ln C （ C ≠ 0 ）通积分为：arcsin y= ln Cxx3. 解方程两端同乘以 y-5 ，得 y -5 d y= y -4 + xd x令 y -4 = z ，则- 4 y -5 d y = d z，代入上式，得d x d x1 - u2 =⎩通解为 -1 d z- z = x 4 d xz = C e -4x - x + 14原方程通解为y -4 = C e -4x - x + 14∂M 4.解因为 ∂y = 2x =∂N，所以原方程是全微分方程． ∂x取(x 0 , y 0 ) = (0, 0) ，原方程的通积分为xy 2⎰02xy d x - ⎰y 即x 2 y - 1y 3 = C3 d y = C5. 解原方程是克莱洛方程，通解为 y = Cx + 2C 36. 解当 y ≠ 0 时，分离变量得d y = y xd x 1 + x 2等式两端积分得ln y 即通解为= 1 ln(1 + x 2 ) + ln C 2 y = C 7. 解齐次方程的通解为y = C e -3x令非齐次方程的特解为y = C (x )e -3x代入原方程，确定出原方程的通解为C (x ) = 1 e 5x+ C 5y = C e -3x + 1e 2x5∂M ∂N8.解由于 ∂y = 2xy =，所以原方程是全微分方程． ∂x取(x 0 , y 0 ) = (0, 0) ，原方程的通积分为 x (x 3 + xy 2 )d x + y y 3d y = C⎰⎰1即x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 = C 9. 解令 y ' = t ，则原方程的参数形式为⎧x = t + e t⎨y ' = t 由基本关系式1 + x 2y积分有d y = y 'd x = t (1 +e t )d ty = 1t 2 + e t (t - 1) + C2得原方程参数形式通解⎧x = t + e t ⎪ ⎨ y = 1 t 2 + e t(t - 1) + C ⎩⎪ 210. 解原方程为恰当导数方程，可改写为( yy ')' = 0即分离变量得yy ' = C 1 y d y = C 1d x积分得通积分1 y 2= C x + C2 1 211. 解令 y = u ，则d y = u + x d u，代入原方程，得x d x d xu + x d u = u + tan u ， x d u = tan ud x d x当tan u ≠ 0 时，分离变量，再积分，得⎰ d u = ⎰ d x + ln C tan u x即通积分为： ln sin u = ln x + ln C sin y = Cx x12. 解齐次方程的通解为y = Cx令非齐次方程的特解为y = C (x )x代入原方程，确定出原方程的通解为C (x ) = ln x + C y = Cx +x ln x 13. 解积分因子为(x ) =原方程的通积分为 x (e x-1 x 2y )d x +d y = C⎰1x 2⎰1即e x + y= C , xC = e + C 1）14.解令 y ' = p ，则原方程的参数形式为⎧x = 1+ ln p⎪ ⎨⎪⎩y ' = p p2 1由基本关系式d y= y ' ，有 d xd y = y 'd x = p ⋅ (- 1p 2 + 1 )d pp积分得= (1 - 1 )d ppy = p - ln p + C 得原方程参数形式通解为 ⎧x = 1+ ln p ⎪⎨⎪⎩y = p - ln p + C 15. 解原方程可化为( yy ' + x 2 )' = 0 于是y d y+ x 2 = Cd x 1积分得通积分为1y 2 = C x - 1x 3 + C2 13 2（6 分）16. 解对应齐次方程的特征方程为2- 5= 0 ，特征根为1 = 0 ，2 = 5 ，齐次方程的通解为 y = C 1 + C e 5x因为= 0 是特征根。

福师《常微分方程》期末复习题

(单选题)1.过点（1,3）且切线斜率为 2x 的曲线方程 y=y(x) 应满足的关系是（）。

A: y'=2xB: y''=2xC: y'=2x,y(1)=3D: y''=2x,y(1)=3正确答案: C(单选题)2.在下列函数中，能够是微分方程y''+y=0的解的函数是（）。

A: y=1B: y=xC: y=sinxD: y=ex正确答案: C(单选题)3.微分方程y'-y=0满足初始条件 y(0)=1的特解为（）。

A: exB: ex-1C: ex+1D: 2-ex正确答案: A(单选题)4.下列微分方程中， ( ) 是二阶常系数齐次线性微分方程。

A: y''-2y=0B: y''-xy'+3y=0C: 5y''-4x=0D: y''-2y'+1=0正确答案: A(单选题)5.下列函数中，哪个是微分方程dy-2xdx=0的解（）。

A: y = 2xB: y = x2C: y = -2xD: y = -x正确答案: B(单选题)6.微分方程 y'''-x2y''-x5=1 的通解中应含的独立常数的个数为（）。

A: 3B: 5C: 4D: 2正确答案: A(单选题)7.y''+y'-2y=0是（）阶常系数齐次线性微分方程。

A: 一B: 二C: 三D: 四正确答案: B(单选题)8.微分方程xyy''+x(y')^3-y^4-y'=0的阶数是（）。

A: 3B: 4C: 5D: 2正确答案: D(单选题)9.方程dy/dx=y^(1/2)+1（）奇解．A: 有一个B: 有两个C: 无D: 有无数个正确答案: C(单选题)10.微分方程2ydy-dx=0的通解为（）。

常微分方程期末试题复习资料

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x xy+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面． 2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的充分条件．4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）．（A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

常微分方程总复习

常微分方程复习总结初等积分法一、主要概念常微分方程：未知函数是一个变元的函数，由这样的函数及其导数（或微分）构成的等式。

方程的阶：在微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。

微分方程的解：一个函数代入微分方程中去，使得它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微分方程的解。

通解：n 阶方程，其解中含有n 个（独立的）任意常数，此解称为方程的通解。

由隐式表出的通解称为通积分。

特解：给通解中的任意常数以定值，所得到的解称为特解，由隐式给出的特解称为特积分。

初值问题：求微分方程满足初值条件的解的问题。

变量可分离方程：形如 )()(d d y g x f xy=或 y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211= 的方程称为变量可分离方程。

齐次微分方程：形如)(d d xyx y ϕ=的方程，称为齐次微分方程。

线性微分方程：未知函数和它的导数都是一次的微分方程。

一阶线性微分方程：一阶线性微分方程的形式是 )()(d d x f y x p x y =+ 如果0)(≡x f ,即0)(d d =+y x p xy称为一阶线性齐次方程。

如果)(x f 不恒为零，则称)()(d d x f y x p x y=+为一阶线性非齐次方程。

伯努利（Bernoulli ）方程：形如 n y x f y x p xy)()(d d =+ (1,0≠n ) 的方程，称为伯努利方程。

全微分方程：如果微分形式的一阶方程0d ),(d ),(=+y y x N x y x M (1.1)的左端恰好是一个二元函数),(y x U 的全微分，即y y x N x y x M y x U d ),(d ),(),(d += (1.2)则称方程(1.1)是全微分方程或恰当方程，而函数),(y x U 称为微分式(1.2)的原函数。

积分因子：假如存在这样的连续可微函数0),(≠y x μ，使方程0d ),(),(d ),(),(=+y y x N y x x y x M y x μμ成为全微分方程，我们就把),(y x μ称为方程(1.1)的一个积分因子。

(完整版)常微分方程期末试题答案

一、填空题（每空2 分，共16分）。

数学系常微分方程期末试卷A及答案

(A)试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷;2、考试所用时间：120分钟。

3、考试班级：数计学院数 11级一、填空题（每小题3分，本题共15分）1.方程x （y 2 1）dx y （x 2 1）dy 0所有常数解是2.方程y 4y 0的基本解组是3 .方程dy x 2 siny 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ___________________________ . 4•线性齐次微分方程组的解组 Y,X ）,Y 2（X ）, ,Y n （x ）为基本解组的 _______________ 条件是它们的朗斯基行列式 W （x ） 0 .5 .一个不可延展解的存在在区间一定是区间.、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6 .方程—x 3 y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）.（A ）上半平面（B ） xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面7. 方程dy y 1（）奇解.dx（A ）有一个（B ）有两个（C ）无（D ）有无数个8. n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个. （A ） n（B ） n -1（ C ） n +1（D ） n +2系院学计数考试本科考试科目常微分方程人题审师教课任号学一一名姓班试卷份数年月日9、微分方程xlnx y y 的通解（）B 、y c 1x l n x 1 D 、y GX In x 1c 2）.（B ）构成一个n 1维线性空间（D ）不能构成一个线性空间三、简答题（每小题6分，本题共30分） “解方程dy e x y12•解方程（x 2y ）dx xdy 0A 、y c 1xln x c 2 C 、y xlnx10. n 阶线性非齐次微分方程的所有解（（A ）构成一个线性空间 C ）构成一个n 1维线性空间dy y13.解方程1dx x14•解方程e y dx (xe y 2y)dy 0d x dx15•试求 3 2x 0的奇点类型及稳定性dt2dt四、计算题（每小题10分，本题共20分）1 X16.求方程y y _e的通解217.求下列方程组的通解dxdt dy dt2x y五、综合能力与创新能力测试题(每小题10分，本题共20分)18.在方程y p(x)y q(x)y 0中，p(x), q(x)在(，)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(，)上的严格单调函数.19 .在方程y p(x)y q(x)y 0中，已知p(x)，q(x)在(，)上连续.求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.12-13-2学期期末考试《常微分方程》A 参考答案及评分标准（数学与计算机科学学院）制卷____ 审核 _____________、填空题（每小题3分，本题共15分）1. y 1, x 12. sin 2x, cos2x3. xoy 平面 4 .充分必要5 .开、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6. D7. C8. A 9. D 10. D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11•解分离变量得e y dy e xdx等式两端积分得通积分e y e x C12.解方程化为业1 2》 dx x令y xu ，贝Uu x-du ，代入上式，得 dx dxdu x 1 u dx 分量变量，积分，通解为u Cx 1原方程通解为y Cx 2 x13.解对应齐次方程 d ' 的通解为dx xy Cx（2 分）令非齐次方程的特解为y C （x ）x（3 分）（3分）（6分）（2分）（4分）（5分）代入原方程，确定出// \ 1 c （X ）-X再求初等积分得C （x ） ln x C因此原方程的通解为y Cx + xl nx14 •解：由于卫 e y —，所以原方程是全微分方程.y x取（X 0, y 。