常微分期末复习.doc

A

j N -歹 （尤,）】）火

a :形如

常微分期末复习

题型：填空（20.30分），计算（50.60分），证明（20分2.3题）

第一章：绪论

1：求曲线，列出微分方程（习题册P2）。

2 :线性与非线性微分方程：一般n 阶线性微分方程具有形式

+ （X ）— ~ +... +《]（%） — + « （x ）y = /（x ）

dx

n ，V J

dx n -[

I'」

第二章：一阶微分方程的初等解法

1 :可化为变量分离方程的

类型

dy = c o 令 u=—

则，y=ux 于是，

x

―虹带入"程得：X 也+咛（U ）,整理得：也二业N dx dx dx

dx x

b ：形如 虹 qx + MM ,这里（时0"件任2均为常数，我们分三种情况来 d x a 2x + b 2y

+ c 2

讨论：①红=里= % = k （常数）情形，这时方程化为—=k ，有通解：y=kx+c 。 a 2

b 2

c 2 dx 其中C 为任意常数。红3 = k 4的情形，令“=劣工+缶y,这时有 % b 2 c 2

也=%+气空= Q,+但虫也是变量分离方程方程，③ 色A 如的情形，如果 dx dx w +

c 2 a 2 b 2

a.x + Ky + c. =0

q,&不全为零，则令（ 1

''

代表。xy 平面上的两条直线的交点，设

■

[a 2x + b 2y + c 2 =0

为0若令亡二则原方程化为今岩=《

2：线性微分方程与常数变易法

a : 3~ = P(x)y + Q3),(其中p (x), Q ( X )为连续函数)的通解：y = dx

y = e ^

P(x)dx

( J Q (X ) J"顽危 + c)例如，求方程(x +1)片 一〃” e' (x +1)

，，+1

的

通解。将方程改为虫一一 y = e x

(x + lY -K 中，P(x)=—^-,Q(x)=b(x + l)“， dx x

+ 1

x +1

则方程的通解为y=e^X

p （x + l ）“」一商"冰+ c =（x + l ）"（b+c ）,其中c

a ：恰当微分方程的必要条件:

dM _dN

dy dx

恰当微分方程的通解:

N _ 云

(x, y)dx dy =

c 例如，求

为任意常数

b ： @ = P(W )‘，+ Q ⑴)，"(ng, 1)⑴的方程称为伯努利微分方程，令z = yj (2), dx

得到 空=(1顼厂 曳 ⑶，将⑴⑵带入⑶得到 —=(1 -n)P(x)z + (1 -n)Q(x)这是 dx dx dx 线性微分方程。当n>0时，方程还有解y=0.例如空=6^-尤)，2的通解，这里，令 dx x z=)J —2= -1,得到空=一攵z + 尤，z = 4+£；所以通解_L =二+三，此夕卜y=0也是 dx x

x 6 8 y X 6 8

方程的解。

3：恰当微分方程与积分因子( M(x,)，)dx + N(x,y)d.y = O)

(3JC 2

+ 6xy 2) dx + (6x 2^ + 4 / )dy = 0 的 通 解 。这 里

M=3x 2 +6x>,2 ,N= 6x 2y+ 4>,3，这时竺』=12xy,

= 12xy ，因此是恰当微分方

dy dx

程，现在求u,使他同时满足—= 3x 2+6xy 2①廖一Gry + q ；/ ,①式对x dx dy

积分得：u=?+3x 2y 2

+(p(y),对 y 求导得到— = 6x 2

y^^(yY = 6x 2

y^4y 3

, 于是平(y)，=

4)，3,得到(p(y)=/所以：U= ?+3^2/+/因此方程的通解为 x 3 +3x 2y 2 -t-y 4=c b :积分因子的概念：如果存在连续可微的函数|1 =四(名)，)工0使得 (x,.y)d y)d 户。为一

恰当微分方程，则称 |i(x,y)为方

程的积分因子。

为积分因子的充要条件：迪=州

dy dx

只有与

y 有关的积分因子的充要条件:

dM dN

舍可必=

li = e }

o

c :注意习题册P 9的第四题，可能会考证明题 4 : 熟 记 简 单二元

. j ，/ \ ydx - xdy . ydx + xdy = a ------------------ ~— = a

\

X

/ 、

-ydx + xdy _ / 、 y

ydx 一 xdy 二

cl (

In\-\

X

•O'

(V )

ydx - xdy , 八

=d arctan —,

ydx - xdy 1

y)

—d In\

2

5： 一阶隐式微分方程与参数表示

a ：可以解出y ( x )的方程：形01 y = f

例如求方程

，引入参数空=〃

dx

dy

令t =p

3p 3

dp + 2xpdp + p 2

dx = 0 ,当p 主0时，两边同时乘以

3p ，dp + 2xpdp + p 2

dx = 0 得到 ~~~ + xp? = c 得到 <

3 o ^ = —-T/r /r

4 '

p.0

2c 1 3

P=—如 P P 2

b :不显含y(x)的方程。为如F(x,y ') = (),记p = * =父，做参数变化 dx

x = (p“) y =

。

t 为参数，得到y= j (p(%(，)出，所以通解为v

y =

出+ c 、

J v v 7

例如。求解方程

x =(

p(f)

J+W3_3 , = 0。令y ，=p=tx,则带入方程可得：X 二旦T ，p=^- = ^ = ^—解的 1 +尸 E 1 +尸dx 出dx

[(p(y)dy

[A = e J

dM 8N

只有与X 有关的积分因子的充要条件：6、欲=(p(x),此时积分因子为:

函 数 的全微分