全国高中数学 优秀教案 三次函数的图象和性质教学设计
《函数的概念和图象》示范公开课教案【高中数学苏教版】
第5章函数概念与性质5.1 函数的概念和图象第2课时函数的概念和图象1. 了解构成函数的要素；2. 理解函数图象是点的集合，能熟练作出一些初等函数的图象；3.能求简单函数的定义域和值域．教学重点：熟练作出一些初等函数的图象．教学难点：求简单函数的定义域．课件．PPT一、新课导入问题1：1. 函数定义中的“三性”是指哪些？2．函数的三要素是指什么？师生活动：学生先回忆总结，老师补充．预设的答案：1.函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．2.定义域、值域与对应关系．【想一想】初中如何求一个函数中自变量的取值范围的？高中又如何求出函数的定义域？设计意图：承上启下，引入新课．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习函数的概念和图象．（板书：5.1.1函数的概念和图象）【探究新知】问题2：画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题． (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：抛物线f (x )＝－x 2＋2x ＋3的顶点为(1，4)和x 轴交点为(－1，0)，(3，0)，和y 轴交点为(0，3)得函数图象如图．(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)． (2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)． 问题3：如何求函数23()112x f x x x =+-的定义域． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由23()112x f x x x =++-可得：12010x x ->⎧⎨+≠⎩， 解得：12x <，且1x ≠- ， ∴函数23()112x f x x x =+-的定义域为：()1,11,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故答案为：()1,11,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．追问：（1）已知()y f x =的定义域为[0,1]，求函数2(1)y f x =+的定义域；（2）已知(21)y f x =-的定义域为[0,1]，求()y f x =的定义域；预设的答案：（1）∵2(1)y f x =+中的21x +的范围与()y f x =中的x 的取值范围相同．∴2011x +≤≤，∴0x =，即2(1)y f x =+的定义域为{0}．（2）由题意知(21)y f x =-中的[0,1]x ∈，∴1211x --≤≤． 又(21)y f x =-中21x -的取值范围与()y f x =中的x 的取值范围相同， ∴()y f x =的定义域为[1,1]-． 问题4：求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象，可得函数的值域为[2,6)．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. 作出下列函数的图象．(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)∵x∈Z且|x|≤2，∴x∈{－2，－1，0，1，2}．∴图象为一直线上的孤立点(如图(1))．(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5．所画函数图象如图．∵x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图(2))．反思与感悟：作函数y＝f(x)的图象分两种类型：(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则通过描出y＝f(x)的图象上的一些关键点画出y＝f(x)的图象；(2)若y＝f(x)不是已学过的基本初等函数，则需要通过列表，描点、连线，这些基本步骤作出y＝f(x)的图象．设计意图：明确函数的图象的画法．例2. 求下列函数的定义域：(1)y＝2(1)11xxx+-+；(2)y5x-.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足10,10,xx+≠⎧⎨-⎩≥解得x≤1且x≠－1，即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足50,||30.xx-⎧⎨-≠⎩≥解得x≤5且x≠±3，即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．设计意图：明确函数的定义域的求法．例3. 求下列函数的值域：(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；(3)y＝213xx+-．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象[如图(1)]，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分离常数法)y＝213xx+-＝2(3)73xx-+-＝2＋73x-，显然73x-≠0，所以y≠2．故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．设计意图：明确函数的值域的求法．【课堂小结】1．板书设计：5.1.1函数的概念和图象1. 函数的图象的画法例12. 求函数的定义域例23. 求函数的值域例32．总结概括：问题：1.求函数的定义域应关注哪些问题？2. 求函数值域的方法是什么？3.如何求复合函数定义域？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充． 预设的答案：1.求函数的定义域应关注四点：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0．(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2. 求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法： (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．3.（1）已知()f x 的定义域为[,]a b ，求(())f g x 的定义域：解不等式()a g x b ≤≤即可得解；（2）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求()f x 的定义域：求出()y g x =在[,]a b 上的值域即可得解；（3）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求(())f h x 的定义域：先用类型二求出()f x 的定义域，再用类型一求出(())f h x 的定义域．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确函数的概念与图象的有关知识． 布置作业： 【目标检测】1. 函数()1x f x 的定义域为（ ）A ．()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭设计意图：巩固函数的定义域的求法。
三次函数研究课教案
附录1：课前练习题1、若函数322()25f x x mx m =-+-在区间(9,0)-上单调递减，则m 的取值范围为 . 2、若函数322()f x x ax bx a =+++在x=1处有极值10，求a,b 的值.3、已知函数3()-3f x x x =，若()-0f x a =有三个不等的实根，求a 的取值范围.4、已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示，则b 的取值范围是（ ）．A ．(-∞,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,+∞)附录2：附录3：巩固练习题：判断下列三次函数32(0)y ax bx cx d a =+++≠各图象中的a,b,c,d 的符号： （1） （2） （3） （4）判别式系数a>0，0∆> a<0，0∆>a>0，0∆≤a<0，0∆≤图象导函数原函数性质单调性 增区间为12(,),(,)x x -∞+∞； 减区间为12(,)x x增区间为12(,)x x ；减区间为12(,),(,)x x -∞+∞ 增区间为(,)-∞+∞减区间为(,)-∞+∞极值点2个2个0个0个零点12()()0f x f x <：三个零点；12()()=0f x f x ：一个零点； 12()()0f x f x >：无零点.1个零点对称中心 ,())33b b f a a(-- 参数对函数图象的影响0a >：两边为增函数,0a <：两边为减函数；230b ac ->：为双峰函数,230b ac -≤为单调函数； b ：与a 共同影响函数的对称中心 c :0x =处的切线斜率 d :纵截距xx 1x 2x 1x 2xx 0xxxx 1 x 2xx 1x 2 xx（3）（4）A a<0,b>0,c>0,d<0B a>0,b<0,c>0,d=0C a>0,b<0,c<0,d>0D a<0,b<0,c<0,d<0。
高中数学人教B版必修2《三次函数的图象和性质》青年教师参赛教学设计
《三次函数》教学设计一．教学内容解析三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材.本节课是在复习了函数（二次函数）和导数的基础上的一节高三复习探究课.通过本节课的学习，有助于学生对导数知识的进一步理解和掌握.二．教学目标设置通过本节的学习，达到以下三个目标：1.知识与技能（1）用函数的观点系统梳理三次函数的概念、图象等有关性质。
（2）利用三次函数的导数(二次函数)进一步研究三次函数的图象特征,并准确记忆三次函数的图象及性质.（3）掌握与三次函数有关的常见问题及解决办法，以及在此过程中所渗透的转化,分类讨论,数形结合等数学思想.2.过程与方法利用导数及二次函数的知识去研究三次函数的图象，进一步利用导函数与原函数图象间的关系来解决函数单调性、极值、最值、方程根的个数（图象的交点个数）、和恒成立问题.3.情感态度价值观让学生经历从特殊到一般的认识事物和发现规律的过程，体会事物之间的内在联系. 三．学生学情分析本节课是在学生学习了二次函数以及导数的基础上进行的扩展探究，是对导数知识的拔高训练，虽有一定的知识储备，但是仍有一定的理解难度.四．教学策略分析利用学生已有的知识去探究其未了解的知识，一切以学生的认知结构为出发点，去设置问题和选题.层层递进，由浅入深，引导并鼓励学生自己发现并解决问题.五．教学过程1.知识梳理预设结果:① 在(,)a b 上,'()0f x >,则()f x 在(,)a b 上单调递增; '()0f x <,则()f x 在(,)a b 上单调递减;②当0∆≤时,原函数都是单调的且无极值点,而 0∆>时,原函数都是有三个单调区间且有两个极值点.设计意图: 是让学生更深刻的理解记忆二次导函数图象与原函数图象的关系. 2. 基本应用例1. 设函数32()21,f x x x x x R =-++∈. （1）求函数()f x 的单调区间和极值; （2）求函数()f x 在[]0,3上的最大值. 解:2'()341(1)(31)f x x x x x =-+=--由导数图知,1(,)3x ∈-∞或(1,)x ∈+∞,'()0f x >,()f x 单增,)+∞ 单增无极值1(,1)3x ∈,'()0f x <,()f x 单减,∴()f x 的单调递增区间为1(,)3-∞,(1,)+∞,单调递减区间为1(,1)3.又131()327f =,(1)1f =.∴()f x 的极大值为131()327f =,极小值为(1)1f =. (2)当1(0,)3x ∈,'()0f x >,()f x 单增,当1(,1)3x ∈,'()0f x <,()f x 单减,当(1,3)x ∈,'()0f x >,()f x 单增, 131()327f =,(3)13f =,max ()(3)13.f x f == 设计意图:利用基本问题,巩固基本方法. 变式(1)题干条件不变，分别讨论a 的取值范围,使得关于x 的方程()f x a = 有一个,两个，三个实根？(2)若关于x 的不等式()f x a ≤在[]0,3上恒成立,求a 的取值范围.解:(1)当3127a >或1a <时, 方程()f x a =有一个根; 当3127a =或1a =时, 方程()f x a =有两个根;当31127a <<时, 方程()f x a =有三个根;(2)max ()()a f x a f x ≥⇔≥,即13a ≥.问题2:（1）请同学们总结求函数单调区间，极值，最大（小）值的一般处理方法. ①求单调区间a.求'()f x (定义域)b.解不等式'()0,'()0f x f x ><c.对应的解集为单调增减区间.②求极值a. 求'()f x (定义域)b. 解方程'()0f x =c. 判断根两侧导数值符号 ③求函数最大(小)值 a. 求'()f x (定义域)b. 研究'()f x 在给定区间上图象情况,进而还原原函数图象c. 找到最大(小)值（2）总结求方程根的个数问题的一般处理方法.转化为直线与图象的交点问题. （3）总结恒成立问题的一般处理方法.转化为求最值问题.设计意图:通过变式进一步巩固基本方法,学生自己解决,获得成就感. 3.拓展升华例2.已知函数32()1,f x x ax x a R =+++∈.（1）讨论函数()f x 的单调区间；(2)设函数()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数，求a 的取值范围. 问题3: 该题目与例1有什么不同之处?如何转化求解?预设结果:例2系数中不含参数,本题含参,导致∆含参,使得()f x '图象与x 轴位置不确定,要通过讨论使之确定.而第(2)问则要去限制二次导函数的图象,用到一元二次方程根的分布.设计意图:鼓励学生对含参问题进行研究,深化学生的知识结构. 分析: (1)1)(23+++=x ax x x f ,则123)(2++='ax x x f ,∆=1242-a 中含参,则()f x '图象与x 轴位置不确定,则要对∆来分类讨论.（2）需要限制二次导函数的图象.解: ①当0≤∆，33≤≤-a ,'()0,()f x f x ≥单调增函数, 单调增区间为),(+∞-∞②当0>∆ 令()0f x '=,此时3321---=a a x 3322-+-=a a x 显然12x x >，由导函数图象知，得出三次函数单调性.所以函数)(x f 的单调递增区间为)33,(2----∞a a 和),33(2+∞-+-a a 单调递减区间为)33,33(22-+----a a a a(2)法一: ()f x 在区间21(,)33--内是减函数,'()0f x ∴≤在21(,)33--恒成立.由导函数图象知,27'()032412'()03f a a a f ⎧-≤⎧⎪≥⎪⎪⇒⇒≥⎨⎨⎪⎪≥-≤⎩⎪⎩, 2a ∴≥.法二:2'()3210f x x ax =++≤在21(,)33--上恒成立, 即23111(3)22x a x x x--≥=-+ 令1()3g x x x =+,由对勾函数图象得,27()32g -=-,1()43g -=-,(g =-4()g x ∴-<≤1()22g x ≤-<,2a ∴≥例3 已知函数323()1,2f x ax x x R =-+∈.0a >,若在区间112,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上, ()0f x >恒成立,求a 的取值范围.问题4: 函数()f x 在区间112,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调性如何?讨论的标准是什么? 预设结果:同样都是含参的问题,而此函数的导函数图象随着a 的确定基本可以确定,有两个不等实根,我们只需讨论区间端点与极值点的大小关系.亦或者使参数分离转而求函数的最值.设计意图:更深层的考查学生对知识的掌握情况,提高学生的转化问题应变能力.解:法一: 323()1,2f x ax x x R =-+∈,'2()33f x ax x =-, '10.()3()a f x ax x a>=-,如图.ⅰ)11,022a a ≥<≤即,'1,0,()0,()2x f x f x ⎛⎫∈-> ⎪⎝⎭单增,'10,,()0,()2x f x f x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭单减.1()02551()02f a f ⎧->⎪⎪∴⇒-<<⎨⎪>⎪⎩,02a ∴<≤. ⅱ) 11,22a a <>即,'1,0,()0,2x f x ⎛⎫∈-> ⎪⎝⎭ ()f x 单增,'10,,()0,x f x a ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭()f x 单减,'11,,()0,2x f x a ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭()f x 单增,1()0251()0f a f a⎧->⎪⎪∴⇒<<⎨⎪>⎪⎩,25a ∴<<.综上, 05a <<.法二: 323102ax x -+>对于任意的11[,]22x ∈-恒成立. 当0x =时, a R ∈;当1(0,]2x ∈时, 3312a x x >-; 当1[,0)2x ∈-时, 3312a x x <-; 令1,(,2][2,)t t x =∈-∝-+∝ ,33(),2t g t t =-+23'()3,2g t t =-+当[2,)t ∈+∝时,'()0,g t < ()g t 单调递减, max ()(2)5,5g t g a ==-∴>-;当(,2]t ∈-∝-时,'()0,g t < ()g t 单调递减, min ()(2)5,5g t g a =-=∴<;55a ∴-<<.又0,05a a >∴<<4.梳理总结问题5:本节课你的收获有哪些？请你从知识、经验、问题、方法等方面进行总结. 1、利用导数研究三次函数的图象和性质； 2、利用图象与性质解决三次函数的几类问题:①单调性、极值、最值问题； ②讨论三次方程根的问题； ③恒成立问题. 3、思想方法：数形结合,函数与方程，分类讨论，转化思想。
三次函数复习(教案)
三次函数复习(教案)三次函数复 (教案)1. 教学目标- 了解三次函数的定义和特点- 掌握三次函数的图像、性质和变化规律- 练应用三次函数解决实际问题2. 教学内容- 三次函数的定义和表示方法- 三次函数图像的绘制和性质分析- 三次函数的变化规律和图像的平移、伸缩操作- 三次函数的应用示例和问题解决方法3. 教学过程第一步：引入- 通过提问和简短讲解介绍三次函数的定义和基本性质- 引导学生思考三次函数与一次函数、二次函数的区别和联系第二步：图像绘制与性质分析- 按照给定的三次函数表达式，绘制对应的图像- 分析图像的对称性、拐点、零点等特点，引导学生发现规律第三步：变化规律和图像操作- 改变三次函数的系数和常数项，观察图像的变化规律- 引导学生总结不同系数对图像的影响，并解释其原因- 通过平移、伸缩等操作，展示学生如何调整图像位置和形态第四步：应用示例和问题解决方法- 给出一些实际问题，如求解方程、求极值、求最值等- 教授相关的问题解决方法和思路，引导学生独立思考和解决- 鼓励学生提出自己的问题和应用案例，进行讨论和分享第五步：总结和巩固- 对三次函数的定义、性质和变化规律进行简要总结- 提供复材料和练题，以巩固学生对三次函数的掌握程度4. 教学资源- 课件/幻灯片：包括三次函数的定义、性质及图像演示等内容- 白板或黑板：用于绘制三次函数的图像和解题过程- 课堂练题：用于巩固学生对三次函数的掌握程度5. 教学评估- 课堂参与度：观察学生在课堂中的积极参与程度和回答问题的准确性- 课堂练：通过布置的练题，检验学生对三次函数的理解和应用能力- 结果分析：评估学生的研究成果，统计掌握程度和需要重点关注的问题6. 教学延伸- 鼓励学生进一步研究三次函数的应用领域和相关概念- 提供相关参考资料和参考书目，拓宽学生的数学视野7. 参考资料- 数学教材：根据教材提供相关的教学内容和练题- 在线资源：如视频教程、数学网站、学术论文等，增加学生的研究资源。
三次函数教案范文
三次函数教案范文【教学目标】知识与能力：1.掌握三次函数的定义和性质；2.理解三次函数的图像特征；3.能够应用三次函数解决相关问题。
过程与方法：培养学生观察、分析、推理和解决问题的能力。
情感态度与价值观：培养学生多角度思考问题，善于发现问题的本质和创新解决问题的能力。
【教学重点】三次函数的定义和性质。
【教学难点】三次函数的图像特征。
【教学过程及设计】一、导入（10分钟）1.导入前，教师可以准备一些花类的图片，让学生观察并思考花的生长过程是怎样的。
2.引导学生讨论，探究花的生长过程中是否存在一定的规律。
二、新课呈现（30分钟）1. 定义三次函数：三次函数是指函数的定义域为全体实数，且函数的公式为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d（a ≠ 0）的函数。
2.引导学生观察三次函数的图像，并讨论函数的性质。
三、讲解三次函数的性质（30分钟）1.零点：f(x)=0的解为三次函数的零点，零点的个数最多为3个。
2.极值点：三次函数的顶点为极值点，极大值或极小值。
3.两三次函数的图像的特征：对称性、开口方向。
4.其他性质：函数的增减性、奇偶性等。
四、解决相关问题（40分钟）1.给定函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5，求解它的零点和极值点。
2.物质的表面积S随时间t的变化关系为S=2t^3-3t^2+2t，求此物质的变化趋势。
3.商品的价格p与其销量q的关系为p=0.02q^3-0.1q^2+100，求出销售这种商品的最佳销量。
【教学反思】通过本节课的学习，学生能够掌握三次函数的基本定义和性质，了解三次函数的图像特征，并能够应用三次函数解决实际问题。
同时，通过教学设计的合理安排，培养学生观察、分析、推理和解决问题的能力，提高学生的自主学习能力。
导数与三次函数(教案)
导数与三次函数（教案）教学目标（1）知识目标:以三次函数为载体，掌握用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题的方法。
（2）能力目标:深化数形结合、转化与化归、分类讨论、从特殊到一般等数学思想在解有关问题中的运用，培养学生探究问题的能力和综合分析、解决问题的能力。
（3）情感目标:以数形联系的观点看数学问题，体会由特殊到一般的方法探究数学问题的过程。
鼓励学生大胆猜想，敢于质疑，严密论证。
教学重点:导数应用。
教学难点:三次函数的单调性、极值点个数的探求。
教学模式:以问题为主线，运用探究式与变式教学相结合的教学模式。
教学过程一 回顾复习 引出本课课题叙述利用导数求可导函数单调区间的步骤。
二 再现陈题 掌握导数应用例1 已知函数3()3f x x x =-,R x ∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求()f x 在[0，3]上的最值；（3）过点A （2，2）作曲线y=f(x)的切线，求切线方程。
特别警示：求切线方程首先要判断该点是否在曲线上点评1 导数的主要应用：可导函数的单调性、极值、在闭区间上的最值，以及利用导数的几何意义研究切线问题。
变式一 若关于x 的不等式()f x a ≥在0≤x ≤3上恒成立，求实数a 的取值范围； 变式二 关于x 的方程f(x)=a 恰有3个不等的实根，求实数a的取值范围.(图象法)画3()3f x x x =-草图的方法：利用函数有关性质(1)确定极值点对应的点（简称关键点） (2)结合单调性 点评 2 数形结合，以形助数来解决问题。
二 改变命题 探求字母系数例 2 若函数32()331f x kx x x =+++(0k ≠)在R 上是增函数,求实数k 的取值范围。
分析 '()f x =2363kx x ++，0k ≠，'()f x ∴图象是一条过（0，3）的抛物线，由于f(x)在R 上是增函数，则 1）300k >⎧⎨∆<⎩，即01k <<，这时'()0f x >在R 上恒成立，f(x)在R 上是增函数；2）300k >⎧⎨∆=⎩，即1k =，323()331(1)f x x x x x =+++=+,显然f(x)在R 上是增函数；3）300k >⎧⎨∆<⎩，不符合题意。
全国高中数学 优秀教案 三次函数的图象和性质教学设计
“三次函数的图象与性质”教学设计一、教学内容解析：三次函数是高中数学人教版选修2-2第一章第三节的内容。
三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，有着重要的地位，围绕三次函数命制的试题，近几年来在全国各地高考及模拟试题中频繁出现，已成为高考数学的一大亮点，特别是文科数学。
因此学习和掌握三次函数的基本性质很有必要。
但教材也没提及三次函数的这一概念，题型也局限在只是解决系数为常数的极值和单调区间问题，各种教辅资料中也往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索，而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。
本节课是高三复习探究课，具体内容是：借助信息技术、通过几何画板的操作生成关于三次函数的动态效果，从而以三次函数的图像的形状特征为主线，探究三次函数的单调性和极值问题，加强学生对三次函数图像与性质的感性认识、引发学生的理性思考，形成经验。
同时在此过程中体会数形结合、分类讨论、化归与类比等思想方法。
基于对教材的认识和分析，本节课的教学重点和难点分别确定为：重点：（1）探究系数a,b,c,d 的大小的变化与三次函数图像之间的变化规律； （2）根据图像探究三次函数的性质：单调性和极值。
难点：根据图像分析出三次函数的性质：单调性和极值。
二、教学目标设置：根据本节课的内容和地位，让学生通过这节课的教学达到下列三个目标： 1、知识与能力：①加深对三次函数图像和性质的认识，学会利用三次函数解决问题；增强分析问题，解决问题的能力。
②培养自主学习的能力和利用计算机软件《几何画板》探求新知识的能力。
③掌握一定的多媒体环境下研究性学习的方法和手段，提高现代教育技术素养。
2、过程与方法：通过对函数)0(,)(23≠+++=a d cx bx ax x f 性质的研究，引导学生建立讨论函数性质的基本框架，知道函数性质的基本内容及其作用，掌握研究函数性质的基本过程和方法。
3、情感态度与价值观：通过直观的图形和抽象的函数性质的统一，培养学生的辨证唯物主义思想观；在研究的过程中，通过同学之间的讨论与协作，培养合作精神。
立足生本课堂培养数学素养——“三次函数的图象和性质”教学设计
立足生本课堂培养数学素养——“三次函数的图象和性质”教学设计“人在课中央”是对人与课的辩证关系形象而又准确的描述，充分体现了新课标所倡导的“以人为本”的教育理念。
课堂是教学的主阵地，追寻课堂教学的本意和灵魂，就应该以学生为整个教学的中心，服务于学生的学习和发展。
教师需要从课堂的主宰者转变为学习资源的整合者、学习方法的指导者、学习效果的评价者，在预设的教案中及时做加减法，使教学的深度、广度适合学生的知识水平和接受能力，同时又根据学生的个性特点和个别差异，贯彻因材施教原则，为不同层次的学生搭建支架，以满足学生的需要，促进学生主动学习和深度学习。
笔者有幸参加了第12届“杏坛杯”课堂教学展评活动，并尝试在“三次函数的图象和性质”一课的教学中让学生始终置身于课堂的中央、教学的中心。
本课的学习是以导数研究函数的方法为主线,探索三次函数的图象特征和相关性质。
通过问题驱动，学生自主建构导数研究函数的方法；通过小组探究、汇报交流,学生经历知识的形成过程；通过自主命题、提出问题，学生实现知识和方法的自我反思和内化等。
这样的教学设计和安排有效地突出了教育教学活动的学生主体性，培养了学生的逻辑思维能力，自主探究、乐于探索的品质以及提出问题、解决问题的意识与能力，服务于学生的生命成长和终身发展。
本课主要的教学过程如下。
一、教学过程1.问题引入，明确作图方法。
问题1：画出函数f（x）=x2+2x-3的大致图象。
请学生上黑板作图，根据学生的回答归纳出3种作图思路：描点作图，根据性质作图和借助一次函数研究二次函数，从而得到图象。
（设计意图：在学生已经掌握二次函数的基础上通过对一个二次函数大致图象作图方法的讨论，明晰作图的常用方法，为下一步研究做了知识和方法上的铺垫，激活学生思维。
）2.引出课题，构建探究方法。
问题2：借助二次函数f（x）=x2+2x-3，可以研究哪类函数的性质呢？请画出的大致图象。
（学生上黑板作图）师：请说说作图过程。
三次函数与一元三次方程 优秀教学设计(教案)
三次函数与一元三次方程优秀教学设计
(教案)
简介
这份教案旨在教授学生有关三次函数和一元三次方程的知识。
通过合理的教学设计和教学活动，帮助学生理解和掌握这些数学概念。
教学目标
- 了解三次函数和一元三次方程的定义和特点
- 掌握求解三次函数和一元三次方程的方法
- 运用所学的知识解决实际问题
教学内容
1. 三次函数的定义和性质
2. 一元三次方程的定义和特点
3. 求解三次函数和一元三次方程的方法
教学步骤
1. 引入三次函数和一元三次方程的概念，让学生了解它们在数学中的重要性和应用领域。
2. 介绍三次函数的基本形式和特点，并通过例题讲解如何确定三次函数的图像和性质。
3. 解释一元三次方程的定义和解的意义，并通过例题演示如何求解一元三次方程。
4. 通过实例让学生练求解三次函数和一元三次方程的方法，加深他们对理论知识的理解和掌握。
5. 设计一些实际问题，让学生运用所学知识解决，培养他们分析和解决问题的能力。
6. 总结本节课的内容，并与学生讨论他们对三次函数和一元三次方程的认识和体会。
教学资源
- 教科书或教学参考资料
- 写有例题和练题的课件或黑板
- 实际问题的案例素材
教学评估
- 在课堂上观察学生的研究态度和参与度
- 给学生布置一些作业和小测验，检验他们对所学知识的掌握情况
- 鼓励学生提问和解答问题，评估他们对三次函数和一元三次方程的理解程度
参考资料
- 数学教科书或教学参考书
- 互联网上的相关教学资源
- 数学学术论文和研究文章中有关三次函数和一元三次方程的内容。
三次函数的图像与性质
三次函数的图像与性质形如f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的函数叫做三次函数。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题已经成为高考命题的一个新的热点和亮点，尤其是文科数学更是如此。
我们可以采用类比的方法，利用几何画板，较为深入地研究三次函数的图像与性质以及三次方程的解的个数的问题。
１三次函数的图像与性质设三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），其导函数f’（x）=3ax2+2bx+c，其判别式△=4b2-12ac=4（b2-3ac）。
当a>0时，若△>0，方程f’（x）=0有两个不相等的实数根，记作x1，x2，不妨令x1f（x2）。
结论1：f（x1）·f（x2）>0时，函数f（x）的图像与x轴有且仅有一个公共点；f（x1）·f（x2）=0时，函数f（x）的图像与x轴有且仅有两个公共点；f （x1）·f（x2）０，f（x2）0为例）：当a>0时，f（x）的四种图象３推论设三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a>0），其导函数f’（x）=3ax2+2bx+c 的判别式△=4b2-12ac=4（b2-3ac）>0。
方程f’（x）=0有两个不相等的实数根，记作x1，x2，不妨令x1<x2，则函数f（x）在x=x1处取得极大值f（x1），函数f（x）在x=x2处取得极小值f（x2）。
类似可知a<0的情形（其余条件同前）：函数在x=x1处取得极小值f（x1），函数f（x）在x=x2处取得极大值f（x2）。
４例题例1.（湖南卷）用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为x（m），则长为2x（m），高为h==4.5-3x（m）（0<x<），故长方体的体积为V（x）=2x2（4.5-3x）＝９x2－６x３（m３）（0<x<），从而V’（x）=18x-18x2（4.5-3x）=18x（１－x）。
2016高中数学人教B版必修2三次函数的图象和性质青年教师参赛教学设计.docx
文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.《三次函数》教学设计一．教学内容解析三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材 . 本节课是在复习了函数（二次函数）和导数的基础上的一节高三复习探究课. 通过本节课的学习，有助于学生对导数知识的进一步理解和掌握.二．教学目标设置通过本节的学习，达到以下三个目标：1. 知识与技能（1）用函数的观点系统梳理三次函数的概念、图象等有关性质。
（2）利用三次函数的导数 ( 二次函数 ) 进一步研究三次函数的图象特征, 并准确记忆三次函数的图象及性质 .（3）掌握与三次函数有关的常见问题及解决办法，以及在此过程中所渗透的转化,分类讨论,数形结合等数学思想.2.过程与方法利用导数及二次函数的知识去研究三次函数的图象，进一步利用导函数与原函数图象间的关系来解决函数单调性、极值、最值、方程根的个数（图象的交点个数）、和恒成立问题.3. 情感态度价值观让学生经历从特殊到一般的认识事物和发现规律的过程，体会事物之间的内在联系.三．学生学情分析本节课是在学生学习了二次函数以及导数的基础上进行的扩展探究，是对导数知识的拔高训练，虽有一定的知识储备，但是仍有一定的理解难度.四．教学策略分析利用学生已有的知识去探究其未了解的知识，一切以学生的认知结构为出发点，去设置问题和选题 . 层层递进，由浅入深，引导并鼓励学生自己发现并解决问题.五．教学过程1.知识梳理定义 :形如 f ( x)ax 3bx 2cx d( a0) 的函数叫做三次函数.定义域R,值域 R.f '( x)3ax22bx c ,其中4(b23ac)a 000y y导函数图x1 Ox2 x O x0x yO x0x1原函 数图 象单调( , x 1 ),( x 2 ,) 单增区间(, )单增( x 1 , x 2 )单减极大值 f ( x 1 )极值无极值极小值 f ( x 2 )问题 1: 三次函数的导数与原函数图象特征的对应关系是什么 ?预设结果 :① 在 (a,b) 上 , f '( x)0 , 则 f ( x) 在 ( a, b) 上单调递增 ;f '( x) 0, 则 f ( x) 在 (a,b) 上单调递减 ;②当0 时 , 原函数都是单调的且无极值点 , 而 0 时 , 原函数都是有三个单调区间且有两个极值点 . 设计意图 : 是让学生更深刻的理解记忆二次导函数图象与原函数图象的关系.2. 基本应用例 1. 设函数 f ( x)x 3 2x 2 x 1, x R .（ 1）求函数 f ( x) 的单调区间和极值 ;（ 2）求函数 f ( x) 在 0,3 上的最大值 .解: f '( x) 3x 2 4x 1 ( x 1)(3x 1) 由导数图知 , x( , 1(1,) , f '(x) 0 , f ( x) 单增 ,) 或 x(13x ,1) , f '( x)0 , f ( x) 单减 ,3f ( x) 的单调递增区间为 (,1) , (1,) , 单调递减区间为 ( 1,1) .3 3又 f (1) 31 , f (1) 1.327131f ( x) 的极大值为f (f (1) 1 .), 极小值为3 27(2) 当 x(0, 1) , f '( x) 0 , f (x) 单增 ,3当 x(1,1) , f '( x) 0 , f ( x) 单减 ,3当 x(1,3) , f '( x)0 , f (x) 单增 ,f ( 1) 31 , f (3) 13 , f ( x)max f (3) 13.3 27设计意图 : 利用基本问题 , 巩固基本方法 .变式(1) 题干条件不变，分别讨论a 的取值范围 , 使得关于 x 的方程 f ( x) a有一个 , 两个，三个实根？(2) 若关于 x 的不等式 f ( x) a 在 0,3 上恒成立 , 求 a 的取值范围 .解:(1) 当 a 311 时 , 方程 f ( x)a 有一个根 ;或 a27当 a 31或 a 1 时 , 方程 f ( x) a 有两个根 ;27 31当 1 a方程 f ( x) a 有三个根 ;时 ,27(2)a f ( x)af ( x)max , 即 a 13 .问题 2:（1）请同学们总结求函数单调区间，极值，最大（小）值的一般处理方法 .①求单调区间a. 求 f '( x) ( 定义域 )b. 解不等式 f '( x)0, f '( x)c. 对应的解集为单调增减区间.②求极值a. 求 f '(x) ( 定义域 )b. 解方程 f '( x) 0c. 判断根两侧导数值符号 ③求函数最大 ( 小 ) 值 a. 求 f '(x) ( 定义域 )b.研究 f '( x) 在给定区间上图象情况,进而还原原函数图象c.找到最大 (小 ) 值（2）总结求方程根的个数问题的一般处理方法. 转化为直线与图象的交点问题 .（3）总结恒成立问题的一般处理方法.转化为求最值问题.设计意图 : 通过变式进一步巩固基本方法, 学生自己解决, 获得成就感 .3.拓展升华例 2. 已知函数 f ( x) x3ax2x 1,a R .（ 1）讨论函数 f ( x) 的单调区间；(2)设函数 f ( x) 在区间 2 ,1内是减函数，求 a 的取值范围.33问题 3: 该题目与例 1 有什么不同之处 ?如何转化求解 ?预设结果 : 例 2 系数中不含参数 , 本题含参 , 导致含参 , 使得f( x) 图象与 x 轴位置不确定 , 要通过讨论使之确定. 而第 (2) 问则要去限制二次导函数的图象, 用到一元二次方程根的分布 .设计意图 : 鼓励学生对含参问题进行研究, 深化学生的知识结构 .分析 : (1) f ( x)x 3ax 2x 1 ,则 f( x)3x 22ax 1 ,= 4a212中含参,则f(x) 图象与 x 轴位置不确定,则要对来分类讨论 .（ 2）需要限制二次导函数的图象 .解:①当0 ，3a 3 , f ' (x)0, f ( x) 单调增函数,单调增区间为 (,)②当0 令f ( x)0 ,此时x1a a 23x2a a 23显然 x2x1，由33导函数图象知，得出三次函数单调性.所以函数 f ( x) 的单调递增区间为(,aa23) 和(a a23 ,)单33调递减区间为 (a a 23,a a2 3 )33 (2)法一 :Q f ( x) 在区间 ( 2 ,1) 内是减函数,33文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持 .f '( x)0 在 ( 2 ,1) 恒成立 .3 3由导函数图象知 ,f '( 2 ) 0a734 a2,1f '( 0a2)3a 2 .法二 : f '( x) 3x22ax 10 在 ( 2 ,1) 上恒成立 ,33即 a3x 21 1(3 x 1 )令 g( x) 3x1 , 由对勾函数图象2x2xx得 ,g ( 2)7 , g( 1)4 , g(3)23,4 g( x) 2 3 ,323331g( x) 2 ,a 22例 3已知函数 f ( x)ax 33 x 21, x R . a0 , 若在区间11 上,22, 2f ( x) 0 恒成立 , 求 a 的取值范围 .问题 4: 函数 f ( x) 在区间1 1 上单调性如何 ?讨论的标准是什么 ?2, 2预设结果 : 同样都是含参的问题, 而此函数的导函数图象随着a 的确定基本可以确定 ,有两个不等实根 , 我们只需讨论区间端点与极值点的大小关系. 亦或者使参数分离转而求函数的最值 .设计意图 : 更深层的考查学生对知识的掌握情况 , 提高学生的转化问题应变能力 .解:法一:f ( x) ax 33x 21,x R , f ' ( x) 3ax 23x ,2a0. f '( x) 3ax( x1), 如图.11aⅰ ),即0 a 2 ,a2x1,0 , f ' ( x) 0, f ( x)单增 ,2x0, 1, f ' ( x) 0, f ( x)单减 .2f ( 1 ) 025 a 5,0 a 2 .f ( 1)2ⅱ )1 1,即 a 2 ,a 2x1,0 , f ' ( x)0, f ( x)单增 ,2x0,1, f ' ( x)0, f ( x)单减 ,ax1 , 1, f ' ( x) 0, f ( x)单增 ,a 2f ( 1 ) 021 2a5 ,2 a5 .2) 0f (a综上 , 0 a 5 .法二 :ax33 x 2 1 0 对于任意的 x [ 1,1]恒成立 .2 2 2当 x 0 时 , a R ;当 x (0, 1 ] 时 , a 3 1 ;2 2x x 3当 x [ 1 时 , a 3 1,0) 2x x 3 ;1 23t令 t , t ( , 2] U [2, ) , g(t )t 3 ,x3 , 2g '(t)3t 22当 t [2, ) 时 , g '( t) 0, g(t ) 单调递减 ,g (t )max g(2) 5, a 5 ;当 t (, 2] 时, g '( t) 0, g(t) 单调递减 ,g(t )ming( 2) 5, a5 ;5 a 5 . 又 Q a 0, 0 a 54. 梳理总结问题 5: 本节课你的收获有哪些？请你从知识、经验、问题、方法等方面进行总结.1、利用导数研究三次函数的图象和性质；2、利用图象与性质解决三次函数的几类问题:①单调性、极值、最值问题；②讨论三次方程根的问题；③恒成立问题.3、思想方法：数形结合 , 函数与方程，分类讨论，转化思想。
高二年级数学 《三次函数的图象与性质》教学设计
五、布置作业
1、已知函数 f (x) x3 bx2 cx d （ b,c, d 为常数），当 k (,0) (5, ) 时， f (x) k 0 只 有一个实数根；当 k (0,5) 时， f (x) k 0有 3 个相异实根，现给出下列 4 个命题：
a0
a0
0
图象 =0
0
三次函数的单调性、极值、最值
函
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0；a,b, c, d是常数)
数
b2 3ac 0
b2 3ac 0
f (x)
f (x)
图
象
x1
x2
极 值
极大值f (x1)，极小值f (x2 )
单 调
增区间：, x1 和 x2, +
人民教育出版社高中数学选修1-1第三章导数及其应用
三次函数的图象和性质
高二 文数 专题课
一、问题情景、引入课题
问题：请你画出下列函数的大致图像
1、f (x) x3 3x 2、f (x) 2x3 5 x2 x 1
2 3、f (x) 2x3 5 x2 x 3
2 4、f (x) x3 3x2 3x 1
二、自主探索，总结规律
1.类比二次函数，三次函数一般式是怎样？
形如：y ax3 bx2 cx d (a 0)
2.我们如何研究三次函数的图象和性质？
f (x) 3ax2 2bx c 4b2 12ac 4(b2 3ac)
二、自主探索，总结规律
函数
二次函数 y ax2 bx c(a 0；a,b,c是常数)
【变 1】已知函数 f x x3 3x ⑴求函数 f x 的单调区间及极值；⑵求 f x 在0,3 上的最值.
“三次函数的图象与性质”教学设计与实践
支持你的观点，确认结果； （２）用技术的方法来解决问题，再用传统的方 法来论证、计算你的结果； （３）在传统的方式不能解决问题的情况下，用 技术的方式来解决问题． ３．３数学的思考要说出来 在用技术解决问题的过程中，有些问题学生 可以利用参数的改变，通过直观来获取结果，但有 些活动是有意识的，有些是凑巧获得的结果．要 让活动真正有价值，需要让学生叙述思考问题的 方法，在说的过程中将一些无序、凌乱的活动变得 有序起来，使学生在活动中获取的经验能固化下 来，并迁移到其他的活动中． 要做好这一点，在课时安排上要留有一定的 空间，内容安排太紧不利于学生说出自己的一些 想法，如前面提到的课堂上的一个开放性问题，学 生处理的方式一定是多样的，在这背后有着数学 的原理和方法，仅仅呈现一个结果远远不能将这 个问题的教学功能反映出来．用技术解决了问题
～／。！
的描论
．’ｉ’主’３＼’４一
ｌ …卜，
已知ａ．ｂ．ｃ馥．函 Ｉｔ！Ａｘ）－．ｘ２＋６ ｘ＋一ａ・ｏ 昀圉摹如图所示． 试写出这个函数的 解折式，并捷文你
Ｏ可在此处运算
象有什么特点？函数解析式又有什么特征？用导 数加以推证，你能得出各系数具有怎样的等量关 系吗？ （２）类似的，你能写出函数，（ｚ）恰有两个零 点、三个零点的条件吗？ （３）你还发现了什么？你是否尝试过将函数 的解析式因式分解？对不同零点的情形，你能猜 测一下将，（ｚ）因式分解的结果吗？ 设计意图 引导学生将零点个数的研究转化 为函数的极值或解析式结构形式的研究，并在尝
万方数据
２０１２年
第５１卷
第９期
数学通报
Ｙ
４３
式的各项系数，观察它们是怎样影响函数性质的， 并根据条件修正函数解析式，得到“最优”的解析 式．
“三次函数的图象和性质”教学设计
“三次函数的图象和性质”教学设计1、设计意图与学情分析三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材。
本节课是在复习“二次函数”基础上的一节高三复习探究课，学生已初步搭建起研究函数的基本平台，借助导数的工具来研究三次函数的图象和性质，符合学生的认知规律。
通过本节内容的教学，既可以整合函数图象和性质、不等式、方程、函数极限、导数等相关知识，完善学生的知识结构，体会其中蕴涵的数学思想方法，同时也有利于扩展学生的数学视野，体验再发现和再创造的过程，发展学生独立获取数学知识的能力，提高学生应用所学知识解决问题的能力。
另外，作为高三复习教学，力求想走出简单重复与承袭过去的怪圈，三次函数在近几年全国各地高考及模拟试题中频繁出现，但教材和各种资料中往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索，而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。
2、教学目标与重点难点通过这节课的教学想达到下列三个目标：1）知识目标：让学生了解三次函数的概念、定义域、值域；能利用导数和二次函数等知识讨论三次函数的单调性，发现三次函数图象的对称性，进一步理解函数的单调性、对称性、极值，能利用图象来讨论三次方程实根的个数，体会分类讨论、数形结合、函数方程的数学思想方法。
2）能力目标：培养学生识图能力、探究能力和创新意识，提高运用所学知识解决问题的能力。
3）情感目标：让学生经历从特殊到一般的认识事物和发现规律的过程，鼓励学生勇于探索、设法寻到解决问题的方案，体验“再创造”的乐趣。
这节课的教学重点是讨论三次函数的单调性和相应三次方程实根的个数，发现三次函数图象的对称性，其中发现并验证三次函数图象的对称性是本节课的教学难点。
3、设计思想与教学方法这节课的设计强调学生主动探究式的学习方式，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验，注重培养学生的终生学习能力。
按建构主义观点，知识需要经过学习者自身体验，才能被有效地同化和顺应。
高中数学新湘教版精品学案《三次函数的性质：单调区间和极值》
三次函数的性质：单调区间和极值
【学习目标】
1．了解三次函数的图象和简单性质，三次函数与二次函数的联系。
2．会用导数研究三次函数的单调性，并且求解出三次函数的单调区间，认识它们之间的内在联系，进一步培养运算能力。
3．会用导数研究三次函数的极值，并且学会求解，认识事物之间的相互联系，培养辨证思维能力
【学习重难点】
重点：理解并掌握三次函数的单调区间和极值。
难点：理解并掌握求解三次函数的单调区间和极值的步骤，会运用到解决实际问题当中。
【学习过程】
一、新课学习。
知识点一：三次函数的单调区间和极值。
三次函数的导数是二次函数，二次函数的零点是容易求出的。
所以，用导数方法可以彻底了解三次函数的增减变化和极大极小，这个增减区间，就是三次函数的单调区间，列出表格，对函数的极大极小值点就可以一目了然。
根据前面的知识做一做：
练习：
1．指出函数3234y x x =+-的单调递增区间。
2．指出函数32454y x x x =+-的单调递减区间。
3．若函数()323321y x ax a x =++++有极大值和极小值，求a 的取值范围。
4．函数326y x x a =-+的极值是什么？
二、课程总结。
1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．它们在解题中具体怎么应用？
三、习题检测。
1．求下列函数在指定闭区间上的最大值和最小值。
（1）()[]32241,2,1f x x x x =+-+-；（2）()()[]2e 43,3,2x f x x x =-+-。
2．求解函数322611y x x =-+的单调减区间及极值。
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“三次函数的图象与性质”教学设计一、教学内容解析：三次函数是高中数学人教版选修2-2第一章第三节的内容。
三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，有着重要的地位，围绕三次函数命制的试题，近几年来在全国各地高考及模拟试题中频繁出现，已成为高考数学的一大亮点，特别是文科数学。
因此学习和掌握三次函数的基本性质很有必要。
但教材也没提及三次函数的这一概念，题型也局限在只是解决系数为常数的极值和单调区间问题，各种教辅资料中也往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索，而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。
本节课是高三复习探究课，具体内容是：借助信息技术、通过几何画板的操作生成关于三次函数的动态效果，从而以三次函数的图像的形状特征为主线，探究三次函数的单调性和极值问题，加强学生对三次函数图像与性质的感性认识、引发学生的理性思考，形成经验。
同时在此过程中体会数形结合、分类讨论、化归与类比等思想方法。
基于对教材的认识和分析，本节课的教学重点和难点分别确定为：重点：（1）探究系数a,b,c,d 的大小的变化与三次函数图像之间的变化规律； （2）根据图像探究三次函数的性质：单调性和极值。
难点：根据图像分析出三次函数的性质：单调性和极值。
二、教学目标设置：根据本节课的内容和地位，让学生通过这节课的教学达到下列三个目标： 1、知识与能力：①加深对三次函数图像和性质的认识，学会利用三次函数解决问题；增强分析问题，解决问题的能力。
②培养自主学习的能力和利用计算机软件《几何画板》探求新知识的能力。
③掌握一定的多媒体环境下研究性学习的方法和手段，提高现代教育技术素养。
2、过程与方法：通过对函数)0(,)(23≠+++=a d cx bx ax x f 性质的研究，引导学生建立讨论函数性质的基本框架，知道函数性质的基本内容及其作用，掌握研究函数性质的基本过程和方法。
3、情感态度与价值观：通过直观的图形和抽象的函数性质的统一，培养学生的辨证唯物主义思想观；在研究的过程中，通过同学之间的讨论与协作，培养合作精神。
三、学生学情分析：本节课，学生已初步搭建起研究函数的基本平台，借助导数的工具和图形技术（几何画板）来研究三次函数的图象和性质，符合学生的认知规律。
三次函数的导数是二次函数，二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数，学生对此已有较为全面、系统、深刻的认识，并在某些方面具备了把握规律的能力。
三次函数虽同样是初等函数，学生能通过导数解决一些三次函数性质相关的题型，但利用几何画板探究三次函数的性质仍显力不从心。
首先学生对《几何画板》不够熟悉。
其次三次函数的图像与性质本身就有一定的难度。
对于观察图像探究系数的变化对图像的影响，学生通过自己的努力基本能够解决。
但由此归纳总结性质就存在问题，因为函数的图像与性质本身就很复杂，对学生能力方面的要求较高，不仅需要调动广泛的知识，而且需要有比较清晰的思路。
因此这方面教师要通过设置问题、追问、恰当提示等方法加强引导，从而达到突破教学难点。
四、教学策略分析：根据这节课内容的特点，本节课设计强调学生主动探究式的学习方式，这也是新课程所倡导的教学理念。
为突破难点，紧紧围绕教学重点，结合学生已有的基础：会用导数研究三次函数的性质，通过创设问题情境，搭设台阶，并以追问或问题串的形式引导学生积极参与教学。
利用多媒体呈现和结合几何画板动态演示，让学生凭借图象的直觉去发现、去探索，逐步加深对三次函数图象和性质的认识，实现从具体到抽象，从感性到理性。
对于基础较弱的学生，让他们回答较为基础的问题，若如需要，适时给予点拨、提示、鼓励，并给他们充分思考的时间和空间。
对于有良好数学基础的同学通过提问和追问的形式满足他们的求知欲望，激励他们进行深入学习，并适时给他们提供展示的平台。
在探究图像和性质的过程中为充分调动每个学生的积极性，让同学们在小组内通过自主、合作探究达到教学目标。
教学中通过学生对问题的回答和练习的情况、以及学生的精神状态的观察来了解学生学习对知识的理解和掌握情况并判断其原因、及时调控教学进度或采取有针对性的补救教学。
同时为学生提供反思学习过程的机会、引导学生检查学习效果。
五、教学流程： （一）、设置情景、导入新课同学们，我们已经学习了二次函数的一般形式？那么你能类比二次函数给出三次函数的定义吗？学生回答，教师根据学生回答归纳：形如)0(23≠+++=a d cx bx ax y 的函数叫做三次函数。
定义域：R ； 思考：三次函数的导函数是什么？答：导数是：,23)(2c bx ax x f ++=)0(≠a ，是二次函数。
思考：判别式是ac b 42-=∆吗？答：不是，是)3(434)2(22ac b c a b -=⨯⨯-=∆追问：二次函数的系数会对函数的图像与性质有怎样的影响？请同学们回想一下、然后思考并回答以下问题（同学们虽说对二次函数较熟悉，但提高到理论层面仍有点难度：所以通过以下问题串引导。
）（1）系数a 是如何影响图像的？答：开口：a 为正时开口向上，a 为负时开口向下大小：a 的绝对值越大，开口越小。
a 的绝对值越小，开口越大。
（2）系数a 和b 的变化是如何影响图像的？答：对称轴的左右平移变化（3）系数c 对图像的影响是怎样的？对函数的单调性影响吗？答：（上下平移、不影响）（4）图像与x 轴的交点个数由谁来确定？（由判别式ac b 42-=∆来确定，这里∆是个综合参量）学生思考回答，教师因势利导：由刚才的复习，我们知道，三次函数的导数是二次函数，而二次函数的图像与性质和系数的变化有关，不难看出，三次函数)0(,)(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图像与性质和系数a,b,c,d 的变化有直接的影响。
那么系数是如何影响函数的图像与性质呢？就让我们带着这个问题一同进入今天的学习探究中。
（引入课题）设计意图：旨在引导学生从熟知的二次函数的情形出发，类比联想，发散、拓展学生思维。
为接下来探究三次函数的图像与性质作铺垫。
并由此导入新课。
（二）、借助工具、尝试探究：1、探究一：初识系数a,b,c,d 的变化将怎样影响三次函数的图像与性质 例：利用几何画板画出三次函数 的图像，观察图像并思考一下问题。
思考：①你能猜想哪个系数对函数的单调性没有影响？让学生类比二次函数做出猜想，之后几何画板演示验证 结论：系数d 不影响函数的单调性②观察系数a 变化时函数图像有何特征？（教师通过几何画板演示让学生观察，教师适时提示引导学生思考、归纳图像的特征）③当系数a >0时，系数b 和c 分别变化时，图像有何特征？ 追问：（1）当系数a >0时，系数b 和c 都变化呢？（2）那么当系数a >0时，系数a,b,c 三个都变化时，图像特征会变化吗？ 引导学生分析得出结论：分析函数的图像时只要看两个量：系数a 和导函数的判别式∆。
（3）那么当系数a<0时，请同学们类比a>0猜想一下图像变化的规律？（学生类比 a>0猜想，教师通过几何画板演示验证） （4）根据系数a 和导函数的判别式∆的不同情况，完成下表。
（鉴于学生的不同认知程度，教师在通过几何画板演示，让学生认真观察，自主探究或同桌或前后讨论交流、合作研究。
教师适时加以点拨、归纳总结）归纳总结：三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠图象)0(,)(23≠+++=a d cx bx ax x f设计意图：本题探究系数对单调性的影响，让学生观察图像有多种情形下引导学生明确探究思路和方向，并正确进行分类。
2、探究二：三次函数的单调性、极值问题：由探究一不难发现，三次函数)0(,)(23≠+++=a d cx bx ax x f 单调性和极值。
其中：o a o a ≤∆<≤∆>且和且00两种情形下三次函数在R 上是单调函数，另外两种不是单调函数。
那么它在R 上一定有几个单调区间，如何来确定单调区间？答：利用导函数来确定。
（教师根据学生回答情况引导学生思考三次函数与导函数的图像间的关系）追问：①观察下面图像，你能说出它们的单调区间吗？追问：图中的21x x 和的值如何来确定呢？直观感知。
明确21x x 和的实际意义和求法）注：)(x f ' =232ax bx c ++，记∆=224124(3)b ac b ac -=-，（其中x 1,x 2是方程)(x f '=0的根，且x 1<x 2，用求根公式不难求得：a ac b b x 3321-+-=，aacb b x 3322---=） ②根据上图能说三次函数的极值情况吗？学生回答，教师引导归纳、并完成下表。
归纳总结：函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图像与性质（单调性、极值）。
设计意图：利用多媒体呈现三次函数的图象，从感性到理性，凭借图象的直觉去发现、去探索，从数形结合层面进行思考逐步加深对三次函数图象与性质的认识。
3、探究应用、加深理解：例1、已知三次函数f(x) ＝ax 3+bx 2+cx+d 的导函数)(x f '的图象如右图所示,则y =f (x )的图象最有可能的是 （ C ）设计意图：直接给出导函数图像，然后设计了四个选项，意在通过对图像的观察，问题的判断，直接考查三次函数的性质。
同时也培养学生的数形结合意识和能力。
例2、（2010北京卷） 设定函数)0(,3)(23>+++=a d cx bx x a x f ，且方程'()90f x x -=的两个根分别为1，4。
（Ⅰ）当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式；（Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围。
解：由d cx bx x a x f +++=233)(，得： c bx ax x f ++='2)(2因为0929)(2=-++=-'x c bx ax x x f 的两根分别是1，4所以：⎩⎨⎧=-++=-++036816092c b a c b a ------ ⑴（Ⅰ）当3=a 时，由（1）式得：⎩⎨⎧=++=-+0128062c b c b解得：12,3=-=c b 又因为0=d所以：x x x x f 123)(23+-=（Ⅱ）由于0>a ，所以若)(x f 在(,)-∞+∞无极值点等价于02)(2≥++='c bx ax x f 在xyO1 2yO 12xyyxyx1 2O1212xO O),(+∞-∞内恒成立。
也即：04)2(2≤-=∆ac b ------（2） 又由（1）式得：a c a b 4,592=-= 所以：0)9)(1(9≤--=∆a a ，解得：91≤≤a4、深化练习、巩固提升：（2010江西卷）设函数32()63(2)2f x x a x ax =+++.（1）若()f x 的两个极值点为12,x x ，且121x x =，求实数a 的值；（2）是否存在实数a ，使得()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数？若存在,求出a 的值；若不存在，说明理由。