线性代数是什么
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10
于 n-r,其中 n 是未知量的个数,而 r 是方程组 矩阵 A 的秩.如果 r<n,那么子空间 U 是非零 的 , 且它的基亦称为线性方程组 (2) 的基本解 组或基本解系 . 由此产生一系列研究矩阵的 巧妙且高效的方法 , 其中最简洁易懂且常考 者为: (1) 设 A,B 均为 n 阶矩阵,AB=0,则 r(A)+r(B)≤n. (2) r(ATA)=r(A); (3) 设 A 是 n 阶矩阵,则 r(An+1)=r(An). 其中包含的 ” 智慧 ” 乃是线性方程组 ( 特 别是齐次方程组)矩阵与线性空间之”三位一 体 ”, 代数与几何之融会贯通 .(2) 与 (3) 的证明 的关键在于认识到线性方程组 ATAx=0 与 Ax=0 同解以及 An+1x=0 与 Anx=0 同解.对前 者而言,Ax=0 的解显然是 ATAx=0 的解;反之, 若 y 是 ATAx=0 的 解 , 则 ATAy=0, 于 是 yTATAy=0;从而(Ay)T(Ay)=0,此即向量 Ay 的 长等于 0，ok.对于后者,由于 A=0 或 A 可逆 时结论显然成立,故可设 A 的秩介于 1 与 n1 之间,于是 A,A2,…,An 这 n 个矩阵必有两个 秩 相 等 ， 设 为 As,At, 其 中 s<t. 这
a 的好处是：易记)，即 a
1 2
b1 b2
，称此数为方程组
（ 3 ）的系数行列式。如此一来，上述解中 的分子也分别变为了 cc
1 2
b1 b2
a 以及 a
1 2
c1 c2
。
这样的结果当然非常美妙，足以令我们 心旷神怡。 高兴之余， 我们必然要问： m=n=3 时如何？m=n>3 时如何？ 容易计算（只是较麻烦，这是不可避免 的） ，当 m=n=3 时，如果方程组（1）有唯 一解，则解是
7
般形式(如用 Cramer 法则)用自由未知量表 达主未知量. 这些表达式称为通解, 自由未知 量在其中起着自由参数的作用.对于 r=n 的 情况 , 所有未知量均为主未知量,且不存在通 解 . 特别 , 当 r=n=m 时 , 我们又回到 Cramer 法则,所不同的是,代替系数行列式不等于零, 现在使用的是”系数矩阵可逆”这一更为重要 广泛的概念 ( 尽管可逆矩阵在此处作用并不 突出).此时我们再次感到 Cramer 法则中的 绝妙之处：
Er 0 ,其中 0
r=r(A). 于是
PAB=PAQQ-1B=(PAQ)Q-1B=C, 其中 C 的前 r 行为 Q-1B 的前 r 行，后 m-r 行均为零。注意 r(Q-1B)=r(B),故共有 p 行的
6
矩阵 Q-1B 的前 r 行的秩至少为 r(B)-(pr)=r(A)+r(B)-p,即 C 的秩至少为 r(A)+r(B)p,但 r(C)=r(AB),ok. 与线性方程组(1)相关联的有两个矩阵:系 数矩阵 A=(aij)以及由 A 加入自由项的列得 到的增广矩阵 B=(A,b)=(aij,bi). 线性方程组的主定理 (Kronecker-Capeli Theorem): 线性方程组 (1)是相容的 ⇔A 的秩=B 的 秩.进一步,线性方程组(1)有惟一解⇔ A 的秩 =B 的秩=n(=未知数的个数). 相容线性方程组的诸未知量可分为主未 知量(主元)与自由未知量(自由变量).对自由 未知量的任一组值 , 存在惟一确定的主未知 量的值 , 它们一起给出方程组的一个解. 主未 知量与自由未知量的分法通常不是惟一的 , 确切地说,如果 A 的秩等于 B 的秩,且等于 r, 则其系数可以组成一个行列式 D≠0 的任意 r 个未知量均可视为主未知量 , 其他的为自由 的.在这种情况下,行列式 D 称为方程组的主 子式(注意与行列式的主子式的差别).在计算 解中只须取含主子式 D 的 r 个方程,并按一
(2)
称为对应于(1)的齐次线性方程组. 方程组(2)
8
总是相容的(因为零解满足它).它有非零解的 必要充分条件是它的矩阵 A 的秩应该小于 未知量的个数 n.特别,当 m=n 时,齐次线性方 程组有非零解当且仅当它的行列式等于零. 相容的线性方程组(1)的解与对应的齐次 线性方程组(2)的解有如下联系:(1)的解与(2) 的解之和为(1)的解;(1)的两个解之差为(2)的 解.(1)的所有解可由(2)的每一个解加上(1)的 同一个特解得到.(请对照线性微分方程的解 的结构 , 那里的结果只是线性代数理论的简 单应用!) 上述作法与解析几何中一个线性方程组 表示一个几何体(在平面上是直线 ,在空间内 则是平面)的直观印象相去甚远,难以反映几 何代数一体化的客观实在.考察直线 L:x-y=0, 其 元 素 可 以 改 写 成 集 合 L={(x,y)|x=y} 或 L={(x,x)|x∈R}.于是,在向量的加法(该法则是 力 的 合 成 法 则 !) 下 , 我 们 有 : 若 α,β∈L, 则 α+β∈L;对任意实数 k,kα∈L.这表明,一旦引 入合理的运算 , 几何体也会具有相当好的代 数性质 ( 许多性质还是远远超出几何范畴或 几何想象的).于是,线性空间的概念横空出世.
5
行秩=列秩=该矩阵非零子式的最高阶数. 关于矩阵秩的最著名的结果是 (Sylvester,1814-1897): 设 Am × p, Bp × n , 则 r(A)+r(B)-p ≤ r(AB)≤min{r(A),r(B)}. 其证明具有相当的启发性.先看第二个不 等式 : 矩阵的乘法具有什么样的性质 ?” 左行 右列”.更进一步,乘积矩阵的行等于右边矩阵 的行的线性组合 , 组合系数是左边矩阵相应 的行 ; 乘积矩阵的列等于左边矩阵的列的线 性组合,组合系数是右边矩阵相应的列. (插入例子:二阶矩阵的乘积.) 于是,AB 的列均可由 A 的列线性表示,而 其行可由 B 的行线性表示,从而其列秩不超 过 A 的列秩,其行秩不超过 B 的行秩,因此该 不等式成立.再来看第一个不等式 :回忆可逆 矩阵不改变矩阵的秩 , 而且存在可逆矩阵 P 与 Q 使得 PAQ = 0
9
所以线性空间的原型就是(过原点的)直线与 平面,尽管很多教材都未反映出此点. 所谓的线性空间是一个非空集合 V,其元 素称为向量, 向量之间有“加法”运算,另有 一个称为数乘的运算联系 V 中的向量与一 个数域 F 中的数,满足两组条件,第一组条件 保证该集合是一个加群 ( 近世代数的基本概 念,加法运算下的整数集合是原型),第二组条 件保证加法与数乘运算是和谐的 ( 复数或实 数的加法与乘法的关系是原型). n 维向量的核心概念(也是较困难的概念) 是一组向量的线性相关性(与无关性).两个向 量的线性相关实际上就是成比例或共线 , 三 个向量时该概念便是共面 . 由此产生向量组 的秩的概念 , 进而导致向量空间的几个最重 要的概念:子空间,基,维数和坐标. 关于线性空间最重要的事实之一就是,任 何有限维线性空间均同构于数域 F 上的 n 维线性空间 Fn(即 n 元数组按通常加法与数 乘构成的线性空间). 线性方程组解的几何解释： 齐次方程组(2) 的所有解组成 Fn 的一个子空间 U,其维数等
3
序组成的 m×1 矩阵） 。不仅如此，历史的进 程表明，矩阵几乎是无所不包的工具和概 念，因此矩阵本身也是极其值得研究的对 象。这就构成了线性代数的第二条主线。 简单地说，线性代数是利用矩阵研究线性 方程组和利用线性方程组研究矩阵的学问。 一个线性方程组可以表达为三种不同的 形式，即 z 开放形式(初等形式:多个方程并列); z 矩阵形式 Ax=b； z 向量形式α1x1+α2x2+…+αnxn=b 了解了三种形式之间的关系即了解了线 性代数之大部。 我们知道 , 一个线性方程组可能出现下述 几种情况: 1. 相容方程组(compatible system):即至少 有一个解的线性方程组; 2. 矛盾方程组(incompatible system):没有
a1 1 a 21 a 31 a1 2 a 22 a32 a1 3 a 23 a 33
，
也称为方程组（1 ）的系数行列式（此时为 三阶行列式） 。 三阶行列式已经较为复杂了，可以想 象,m=n=4 以及更大的数所对应的情形---即 n 阶行列式---将会更加复杂. 所以需要专门 研究. 一般情况下(比如 m≠n 时)的线性方程组 其解如何？回答这个问题，实际上就构成了 线性代数的基本框架（第一条主线） 。此时， 行列式不再是有效的工具，取而代之的是更 为重要有效的概念 ---- 矩阵，即按照线性方 程组的系数的顺序排列成的矩形数表或阵 列。 矩阵的引入大大简化了符号系统（比如， 一个 m×n 的线性方程组可以简单地写成 Ax=b,其中 A 是 m×n 的系数矩阵，x 是所有 未知数按照原有顺序组成的 n×1 矩阵（即 列矩阵） ，b 是由自由项（或常数项）按顺
线性代数总览 线性代数（－）线性方程组 线性代数是解一次方程的学问。 线性 = 一次 = 简单 由于一个未知数的线性方程 ax=b 的解 的状况在小学时即已被大家完全掌握，所以 本课程面临的问题将是解两个以上未知数即 下面形式的线性方程组：
a 11 x 1 + a 12 x 2 + " + a 1 n x n = b 1 a x + a x + " + a 21 1 22 2 2n x n = b 2 " " " " " " " " " " " " a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + " + a mn x n = b m
D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a in A in ( i = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n ); D = a 1 j A1
j
+ a2 j A2
i2
j
+ ⋅ ⋅ ⋅ + a nj A nj ( j = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n ).
in
(1)
这是一个含有 n 个未知数 m 个方程的线性 方程组，是线性代数的基本研究对象。 当 m=n=2 时，方程组（1）就是我们非 常熟悉的
Βιβλιοθήκη Baidu
1
a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2
(2) (3)
或者
a a
1 2
x1 = b1a22 a33 + a12 a23b3 + a13b2 a32 − a13a22b3 − a12b2 a33 − b1a23a32 a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a13a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23a32
2
其余两个未知数的表达式类似。自然地，由 m=n=2 时 的 记 号 ， 可 以 记 此 分 母 为
x + x +
b b
1 2
y y
= =
c
1
c
2
当
x=
a1b2 − a2b1 ≠ 0
时 ， 方 程 组 (3) 有 唯 一 解 ： 。
c1b2 − c2 b1 a c − a 2 c1 ,y= 1 2 a1b2 − a 2 b1 a1b2 − a 2 b1
注意上述解中的分母相等，均为 ab 1 2 − a2b 1 ，且 该数与方程组（3 ）的系数关系密切，我们 愿意用一个特殊的符号表示它 ( 这样做最大
4
解的线性方程组; 3. 确定方程组 (determinate system): 有惟 一解的线性方程组; 4. 不定方程组(indeterminate system):有多 于一解的线性方程组. 值得注意的是,每一个不定线性方程组有 无穷多个解.这与次数超过 1 的方程组形成 鲜明对照. 在 m=n 时, 线性方程组(1)是确定的 ⇔ 系 数行列式非零 . 在这种情况下 , 方程组的惟一 解可按 Cramer 法则(Cramer rule,1750)求 出. 当系数行列式等于零或 m≠n 时,上述方 法失效.这时,要确定线性方程组的类型,须使 用关于矩阵的核心概念-秩(Frobenius,1877). 一个矩阵的秩表达了其所代表的线性方程组 所含独立方程的个数 ( 或使用线性代数的术 语,该矩阵的线性无关的行或列的最大个数). 矩阵的线性无关的行的最大个数称为矩阵的 行秩 ; 矩阵的线性无关的列的最大个数称为 矩阵的列秩. 关于矩阵的秩有下述结论:
a
i1
A
j1
+ a
A
j 2
+ ⋅⋅⋅ + a
A
jn
D = 0
i = i ≠
j j
理论上一次性消去了 n-1 个未知数! 从(1)用零代替自由项得出的线性方程组
a 11 x 1 + a x + 21 1 " " " a m 1 x1 + a 12 x 2 + " + a 1 n x n = 0 a 22 x 2 + " + a 2 n x n = 0 " " " " " " " " " a m 2 x 2 + " + a mn x n = 0
于 n-r,其中 n 是未知量的个数,而 r 是方程组 矩阵 A 的秩.如果 r<n,那么子空间 U 是非零 的 , 且它的基亦称为线性方程组 (2) 的基本解 组或基本解系 . 由此产生一系列研究矩阵的 巧妙且高效的方法 , 其中最简洁易懂且常考 者为: (1) 设 A,B 均为 n 阶矩阵,AB=0,则 r(A)+r(B)≤n. (2) r(ATA)=r(A); (3) 设 A 是 n 阶矩阵,则 r(An+1)=r(An). 其中包含的 ” 智慧 ” 乃是线性方程组 ( 特 别是齐次方程组)矩阵与线性空间之”三位一 体 ”, 代数与几何之融会贯通 .(2) 与 (3) 的证明 的关键在于认识到线性方程组 ATAx=0 与 Ax=0 同解以及 An+1x=0 与 Anx=0 同解.对前 者而言,Ax=0 的解显然是 ATAx=0 的解;反之, 若 y 是 ATAx=0 的 解 , 则 ATAy=0, 于 是 yTATAy=0;从而(Ay)T(Ay)=0,此即向量 Ay 的 长等于 0，ok.对于后者,由于 A=0 或 A 可逆 时结论显然成立,故可设 A 的秩介于 1 与 n1 之间,于是 A,A2,…,An 这 n 个矩阵必有两个 秩 相 等 ， 设 为 As,At, 其 中 s<t. 这
a 的好处是：易记)，即 a
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b1 b2
，称此数为方程组
（ 3 ）的系数行列式。如此一来，上述解中 的分子也分别变为了 cc
1 2
b1 b2
a 以及 a
1 2
c1 c2
。
这样的结果当然非常美妙，足以令我们 心旷神怡。 高兴之余， 我们必然要问： m=n=3 时如何？m=n>3 时如何？ 容易计算（只是较麻烦，这是不可避免 的） ，当 m=n=3 时，如果方程组（1）有唯 一解，则解是
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般形式(如用 Cramer 法则)用自由未知量表 达主未知量. 这些表达式称为通解, 自由未知 量在其中起着自由参数的作用.对于 r=n 的 情况 , 所有未知量均为主未知量,且不存在通 解 . 特别 , 当 r=n=m 时 , 我们又回到 Cramer 法则,所不同的是,代替系数行列式不等于零, 现在使用的是”系数矩阵可逆”这一更为重要 广泛的概念 ( 尽管可逆矩阵在此处作用并不 突出).此时我们再次感到 Cramer 法则中的 绝妙之处：
Er 0 ,其中 0
r=r(A). 于是
PAB=PAQQ-1B=(PAQ)Q-1B=C, 其中 C 的前 r 行为 Q-1B 的前 r 行，后 m-r 行均为零。注意 r(Q-1B)=r(B),故共有 p 行的
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矩阵 Q-1B 的前 r 行的秩至少为 r(B)-(pr)=r(A)+r(B)-p,即 C 的秩至少为 r(A)+r(B)p,但 r(C)=r(AB),ok. 与线性方程组(1)相关联的有两个矩阵:系 数矩阵 A=(aij)以及由 A 加入自由项的列得 到的增广矩阵 B=(A,b)=(aij,bi). 线性方程组的主定理 (Kronecker-Capeli Theorem): 线性方程组 (1)是相容的 ⇔A 的秩=B 的 秩.进一步,线性方程组(1)有惟一解⇔ A 的秩 =B 的秩=n(=未知数的个数). 相容线性方程组的诸未知量可分为主未 知量(主元)与自由未知量(自由变量).对自由 未知量的任一组值 , 存在惟一确定的主未知 量的值 , 它们一起给出方程组的一个解. 主未 知量与自由未知量的分法通常不是惟一的 , 确切地说,如果 A 的秩等于 B 的秩,且等于 r, 则其系数可以组成一个行列式 D≠0 的任意 r 个未知量均可视为主未知量 , 其他的为自由 的.在这种情况下,行列式 D 称为方程组的主 子式(注意与行列式的主子式的差别).在计算 解中只须取含主子式 D 的 r 个方程,并按一
(2)
称为对应于(1)的齐次线性方程组. 方程组(2)
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总是相容的(因为零解满足它).它有非零解的 必要充分条件是它的矩阵 A 的秩应该小于 未知量的个数 n.特别,当 m=n 时,齐次线性方 程组有非零解当且仅当它的行列式等于零. 相容的线性方程组(1)的解与对应的齐次 线性方程组(2)的解有如下联系:(1)的解与(2) 的解之和为(1)的解;(1)的两个解之差为(2)的 解.(1)的所有解可由(2)的每一个解加上(1)的 同一个特解得到.(请对照线性微分方程的解 的结构 , 那里的结果只是线性代数理论的简 单应用!) 上述作法与解析几何中一个线性方程组 表示一个几何体(在平面上是直线 ,在空间内 则是平面)的直观印象相去甚远,难以反映几 何代数一体化的客观实在.考察直线 L:x-y=0, 其 元 素 可 以 改 写 成 集 合 L={(x,y)|x=y} 或 L={(x,x)|x∈R}.于是,在向量的加法(该法则是 力 的 合 成 法 则 !) 下 , 我 们 有 : 若 α,β∈L, 则 α+β∈L;对任意实数 k,kα∈L.这表明,一旦引 入合理的运算 , 几何体也会具有相当好的代 数性质 ( 许多性质还是远远超出几何范畴或 几何想象的).于是,线性空间的概念横空出世.
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行秩=列秩=该矩阵非零子式的最高阶数. 关于矩阵秩的最著名的结果是 (Sylvester,1814-1897): 设 Am × p, Bp × n , 则 r(A)+r(B)-p ≤ r(AB)≤min{r(A),r(B)}. 其证明具有相当的启发性.先看第二个不 等式 : 矩阵的乘法具有什么样的性质 ?” 左行 右列”.更进一步,乘积矩阵的行等于右边矩阵 的行的线性组合 , 组合系数是左边矩阵相应 的行 ; 乘积矩阵的列等于左边矩阵的列的线 性组合,组合系数是右边矩阵相应的列. (插入例子:二阶矩阵的乘积.) 于是,AB 的列均可由 A 的列线性表示,而 其行可由 B 的行线性表示,从而其列秩不超 过 A 的列秩,其行秩不超过 B 的行秩,因此该 不等式成立.再来看第一个不等式 :回忆可逆 矩阵不改变矩阵的秩 , 而且存在可逆矩阵 P 与 Q 使得 PAQ = 0
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所以线性空间的原型就是(过原点的)直线与 平面,尽管很多教材都未反映出此点. 所谓的线性空间是一个非空集合 V,其元 素称为向量, 向量之间有“加法”运算,另有 一个称为数乘的运算联系 V 中的向量与一 个数域 F 中的数,满足两组条件,第一组条件 保证该集合是一个加群 ( 近世代数的基本概 念,加法运算下的整数集合是原型),第二组条 件保证加法与数乘运算是和谐的 ( 复数或实 数的加法与乘法的关系是原型). n 维向量的核心概念(也是较困难的概念) 是一组向量的线性相关性(与无关性).两个向 量的线性相关实际上就是成比例或共线 , 三 个向量时该概念便是共面 . 由此产生向量组 的秩的概念 , 进而导致向量空间的几个最重 要的概念:子空间,基,维数和坐标. 关于线性空间最重要的事实之一就是,任 何有限维线性空间均同构于数域 F 上的 n 维线性空间 Fn(即 n 元数组按通常加法与数 乘构成的线性空间). 线性方程组解的几何解释： 齐次方程组(2) 的所有解组成 Fn 的一个子空间 U,其维数等
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序组成的 m×1 矩阵） 。不仅如此，历史的进 程表明，矩阵几乎是无所不包的工具和概 念，因此矩阵本身也是极其值得研究的对 象。这就构成了线性代数的第二条主线。 简单地说，线性代数是利用矩阵研究线性 方程组和利用线性方程组研究矩阵的学问。 一个线性方程组可以表达为三种不同的 形式，即 z 开放形式(初等形式:多个方程并列); z 矩阵形式 Ax=b； z 向量形式α1x1+α2x2+…+αnxn=b 了解了三种形式之间的关系即了解了线 性代数之大部。 我们知道 , 一个线性方程组可能出现下述 几种情况: 1. 相容方程组(compatible system):即至少 有一个解的线性方程组; 2. 矛盾方程组(incompatible system):没有
a1 1 a 21 a 31 a1 2 a 22 a32 a1 3 a 23 a 33
，
也称为方程组（1 ）的系数行列式（此时为 三阶行列式） 。 三阶行列式已经较为复杂了，可以想 象,m=n=4 以及更大的数所对应的情形---即 n 阶行列式---将会更加复杂. 所以需要专门 研究. 一般情况下(比如 m≠n 时)的线性方程组 其解如何？回答这个问题，实际上就构成了 线性代数的基本框架（第一条主线） 。此时， 行列式不再是有效的工具，取而代之的是更 为重要有效的概念 ---- 矩阵，即按照线性方 程组的系数的顺序排列成的矩形数表或阵 列。 矩阵的引入大大简化了符号系统（比如， 一个 m×n 的线性方程组可以简单地写成 Ax=b,其中 A 是 m×n 的系数矩阵，x 是所有 未知数按照原有顺序组成的 n×1 矩阵（即 列矩阵） ，b 是由自由项（或常数项）按顺
线性代数总览 线性代数（－）线性方程组 线性代数是解一次方程的学问。 线性 = 一次 = 简单 由于一个未知数的线性方程 ax=b 的解 的状况在小学时即已被大家完全掌握，所以 本课程面临的问题将是解两个以上未知数即 下面形式的线性方程组：
a 11 x 1 + a 12 x 2 + " + a 1 n x n = b 1 a x + a x + " + a 21 1 22 2 2n x n = b 2 " " " " " " " " " " " " a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + " + a mn x n = b m
D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a in A in ( i = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n ); D = a 1 j A1
j
+ a2 j A2
i2
j
+ ⋅ ⋅ ⋅ + a nj A nj ( j = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n ).
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(1)
这是一个含有 n 个未知数 m 个方程的线性 方程组，是线性代数的基本研究对象。 当 m=n=2 时，方程组（1）就是我们非 常熟悉的
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1
a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2
(2) (3)
或者
a a
1 2
x1 = b1a22 a33 + a12 a23b3 + a13b2 a32 − a13a22b3 − a12b2 a33 − b1a23a32 a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a13a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23a32
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其余两个未知数的表达式类似。自然地，由 m=n=2 时 的 记 号 ， 可 以 记 此 分 母 为
x + x +
b b
1 2
y y
= =
c
1
c
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当
x=
a1b2 − a2b1 ≠ 0
时 ， 方 程 组 (3) 有 唯 一 解 ： 。
c1b2 − c2 b1 a c − a 2 c1 ,y= 1 2 a1b2 − a 2 b1 a1b2 − a 2 b1
注意上述解中的分母相等，均为 ab 1 2 − a2b 1 ，且 该数与方程组（3 ）的系数关系密切，我们 愿意用一个特殊的符号表示它 ( 这样做最大
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解的线性方程组; 3. 确定方程组 (determinate system): 有惟 一解的线性方程组; 4. 不定方程组(indeterminate system):有多 于一解的线性方程组. 值得注意的是,每一个不定线性方程组有 无穷多个解.这与次数超过 1 的方程组形成 鲜明对照. 在 m=n 时, 线性方程组(1)是确定的 ⇔ 系 数行列式非零 . 在这种情况下 , 方程组的惟一 解可按 Cramer 法则(Cramer rule,1750)求 出. 当系数行列式等于零或 m≠n 时,上述方 法失效.这时,要确定线性方程组的类型,须使 用关于矩阵的核心概念-秩(Frobenius,1877). 一个矩阵的秩表达了其所代表的线性方程组 所含独立方程的个数 ( 或使用线性代数的术 语,该矩阵的线性无关的行或列的最大个数). 矩阵的线性无关的行的最大个数称为矩阵的 行秩 ; 矩阵的线性无关的列的最大个数称为 矩阵的列秩. 关于矩阵的秩有下述结论:
a
i1
A
j1
+ a
A
j 2
+ ⋅⋅⋅ + a
A
jn
D = 0
i = i ≠
j j
理论上一次性消去了 n-1 个未知数! 从(1)用零代替自由项得出的线性方程组
a 11 x 1 + a x + 21 1 " " " a m 1 x1 + a 12 x 2 + " + a 1 n x n = 0 a 22 x 2 + " + a 2 n x n = 0 " " " " " " " " " a m 2 x 2 + " + a mn x n = 0