第36讲 数列求和(讲)(原卷版)

第36讲 数列求和（讲）

思维导图

知识梳理1．公式法

(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d

2.

推导方法：倒序相加法．

(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.

推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)

2；

②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法

(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．

(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．

(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．

(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．

[常用结论]

常见的裂项技巧 ①1n (n ＋1)＝1n －1

n ＋1.

②1n (n ＋2)＝12⎝

⎛⎭⎫1

n －1n ＋2.

③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1

2n －1－12n ＋1.

④1

n ＋n ＋1

＝n ＋1－n .

⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝1

2⎝

⎛⎭⎫1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).

题型归纳题型1 分组转化求和

【例1-1】（2020春•昆明期末）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设2n a n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

【跟踪训练1-1】（2020春•保定期末）已知数列{}n a 、{}n b 满足：1n n n a a b +=+，{2}n b +为等比数列，且12b =，24a =，310a =．

（1）试判断数列{}n b 是否为等差数列，并说明理由；

（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．

【跟踪训练1-2】（2020春•永州期末）已知等差数列{}n a ，等比数列{}n b 满足：113a b ==，4212a b ==． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．

【名师指导】

1．分组转化求和

数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n 项和的数列求和．

2．分组转化法求和的常见类型

题型2 裂项相消法求和

【例2-1】（2020春•黔南州期末）已知等差数列{}

n

a满足

3

10

a=，

14

17

a a

+=．

（1）求{}

n

a的通项公式；

（2）设

1

3

n

n n

b

a a

+

=，求数列{}

n

b的前n项和

n

S．

【跟踪训练2-1】（2020•安宁区校级模拟）已知21

n

S n n a

=+++是一个等差数列的前n项和，对于函数2

()

f x x ax

=-，若数列

1

()

f n

⎧⎫

⎨⎬

⎩⎭

的前n项和为

n

T，则

2020

T的值为()

A．

2021

2022

B．

2018

2019

C．

2019

2020

D．

2020

2021

【跟踪训练2-2】（2020春•成都期末）数列{}

n

a的前n项和为

n

S，若

1

(1)

n

a

n n

=

+

，则

99

(

S=) A．1B．

1

100

C．

98

99

D．

99

100

【名师指导】

1.基本步骤

2.裂项原则

一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.

3.消项规律

消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

题型3 错位相减法求和

【例3-1】（2020春•柳林县期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，41

(*)3

n n S n N -=∈．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设2log n b =1{}n n b a +的前n 项和n T ．

【跟踪训练3-1】（2020春•黄冈期末）已知数列{}n a 满足24a =，12(2)n n a a n -=+，已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足1n n S b =-．

（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅰ）求数列{}n n a b 的前n 项和．