结构力学2第10章结构动力学资料.
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结构动力学
柔度系数
L
L
L
1
2l 3 3EI
M1图
1 m
1 2m 2l 3 EI
3
3 EI 4ml 3
4ml 3 T 2 3EI
2
第十章 结构动力学简介
二、单自由度体系的受迫振动
内 蒙 古 农 业 大 学
受迫振动指体系是在干扰力 FP (t )持续作用下的振动。 单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示:
3、自由振动和受迫振动
自由振动 结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的振动。 研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。
第十章 结构动力学简介
强迫振动 结构在动荷载作用下产生得振动。研究强迫振动，可得到结构的
内 蒙 古 农 业 大 学
动力反应。
§10-2 动力自由度
一、自由度的定义
内 蒙 古 农 业 大 学
一、多自由度体系的自由振动
1 多自由度体系振动方程的建立（以两个自由度为例来说明）
（1） 柔度法
在惯性力作用下的位移等于实际的动位移。(力法)
y2
m2 y
m1 y
21
11
P 1 1
22
P2 1
y1
12
M 1图
M 2图
第十章 结构动力学简介
t
无阻尼y- t曲线
第十章 结构动力学简介
②阻尼对振幅的影响.
内 蒙 古 农 业 大 学
振幅ae- ξω t 随时间衰减，相邻两个振幅的比
y k 1 e T 常数 yk
振幅按等比级数递减.
经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:
L
L
L
1
2l 3 3EI
M1图
1 m
1 2m 2l 3 EI
3
3 EI 4ml 3
4ml 3 T 2 3EI
2
第十章 结构动力学简介
二、单自由度体系的受迫振动
内 蒙 古 农 业 大 学
受迫振动指体系是在干扰力 FP (t )持续作用下的振动。 单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示:
3、自由振动和受迫振动
自由振动 结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的振动。 研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。
第十章 结构动力学简介
强迫振动 结构在动荷载作用下产生得振动。研究强迫振动，可得到结构的
内 蒙 古 农 业 大 学
动力反应。
§10-2 动力自由度
一、自由度的定义
内 蒙 古 农 业 大 学
一、多自由度体系的自由振动
1 多自由度体系振动方程的建立（以两个自由度为例来说明）
（1） 柔度法
在惯性力作用下的位移等于实际的动位移。(力法)
y2
m2 y
m1 y
21
11
P 1 1
22
P2 1
y1
12
M 1图
M 2图
第十章 结构动力学简介
t
无阻尼y- t曲线
第十章 结构动力学简介
②阻尼对振幅的影响.
内 蒙 古 农 业 大 学
振幅ae- ξω t 随时间衰减，相邻两个振幅的比
y k 1 e T 常数 yk
振幅按等比级数递减.
经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:
结构力学第10章动力学2
2、方程的解：
设解的形式： y1 (t ) = Y1 sin(ωt + α ) y2 (t ) = Y2 sin(ωt + α )
惯性力 − m1 &&1 (t ) = m1ω 2Y1 sin(ωt + α ) y 2 − m2 &&2 (t ) = m2ω Y2 sin(ωt + α ) y
k12 M kn2
L
k1n k2n M =0
k 22 − ω 2 m2 L
L k nn − ω 2 mn
n个ω 2的解对应n各ω：ω1 < ω2 < Lωn
ω1 − − − 第一频率或基本频率
3、振型
对应于ωi，其质点的振幅比值是常数，所以有n各振型： Y11 Y12 Y1n Y Y Y Y 1 = 21 ；Y 2 = 22 LY n = 2 n M M M Yn1 Yn 2 Ynn CY1i Y1i CY Y 2i 2i i i 则：CY = 若Y = L L Yni CYni 为方程(K − ω 2 M)Y = 0的解 也为方程的解
( K − ω12 M )Y 1 = 0 17.414Y11 − 5Y21 + 0 × Y31 = 0 − 5Y11 + 6.707Y21 − 3Y31 = 0 0 × Y11 − 3Y21 + 1.707Y31 = 0
令：Y31 = 1；求得： Y21 = 0.569；Y11 = 0.163 0.163 第一振型：Y 1 = 0.569 1
ω2 = (
1 k11 k 22 1 k k k k −k k + ) ± [ ( 11 + 22 )]2 − 11 22 12 21 2 m1 m2 2 m1 m2 m1m2
《结构力学》_龙驭球_第10章_动力学(1)
每个结点位移参数只在相邻两个单元内引起挠度。在图10-9 b 和 c中分别 给出结点位移参数 y1 和θ1 相应的形状函数φ1(x) 和φ2(x)。 梁的挠度可用八个广义坐标及其形状函数表示如下：
y( x) y1 1 ( x) 1 2 ( x) y4 7 ( x) 4 8 ( x)
⑵
1
k
1
m
EI
EI
1
k
12 EI h3
6EI h2
3EI h3
EI
h
EI h
6EI h2
12 EI h3
EI h
3EI h2
3EI h3
k
15EI h3
两端刚结的杆的 12EI 侧移刚度为： l3
一端铰结的杆的 3EI 侧移刚度为： l3
例10-4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质 量，试比较三者的自振频率。
频率和周期的讨论：
T 2
m st 2 k g
⑴ 只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关； ⑵ Ｔ 与m 的平方根成正比，与 k 成反比，据此可改变周期；
⑶ 是结构动力特性的重要数量标志。
例10-1、计算图示结构的频率和周期。 m
EI
l 2
1
l 2
1
2 EI
2 l l3 1 l l ( ) ( ) 3 4 48EI 2 4 2
第 10 章
结构动力计算基础
高耸结构
结构特点
•风荷载起控制作用； •无围护结构，构件的维护保养很重要； •施工技术： 对于钢结构，分段制作、高空吊装和拼接技术； 对于钢筋混凝土结构，模板提升、混凝土垂直运输技术； •与周围环境协调，比如可能需安装航空障碍标志； •主要承受的风荷载、地震荷载有动力性质，需考虑结构振动特性； •基础不同于一般结构，会出现拔力甚至起控制作用。
y( x) y1 1 ( x) 1 2 ( x) y4 7 ( x) 4 8 ( x)
⑵
1
k
1
m
EI
EI
1
k
12 EI h3
6EI h2
3EI h3
EI
h
EI h
6EI h2
12 EI h3
EI h
3EI h2
3EI h3
k
15EI h3
两端刚结的杆的 12EI 侧移刚度为： l3
一端铰结的杆的 3EI 侧移刚度为： l3
例10-4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质 量，试比较三者的自振频率。
频率和周期的讨论：
T 2
m st 2 k g
⑴ 只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关； ⑵ Ｔ 与m 的平方根成正比，与 k 成反比，据此可改变周期；
⑶ 是结构动力特性的重要数量标志。
例10-1、计算图示结构的频率和周期。 m
EI
l 2
1
l 2
1
2 EI
2 l l3 1 l l ( ) ( ) 3 4 48EI 2 4 2
第 10 章
结构动力计算基础
高耸结构
结构特点
•风荷载起控制作用； •无围护结构，构件的维护保养很重要； •施工技术： 对于钢结构，分段制作、高空吊装和拼接技术； 对于钢筋混凝土结构，模板提升、混凝土垂直运输技术； •与周围环境协调，比如可能需安装航空障碍标志； •主要承受的风荷载、地震荷载有动力性质，需考虑结构振动特性； •基础不同于一般结构，会出现拔力甚至起控制作用。
结构力学：第十章结构动力学2
9.8kN
2)ξ=1（临界阻尼）情况 l ( ± 2 1) l
y 2y 2 y 0(15.16) y (C1 C2t)et y [ y0 (1t)v0t]et
y tg0 v0
θ0
y0
这条曲线仍具有衰减性，
但不具有波动性。
t
临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）
c 2m cr 2m 2 mk c cr 阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。
P0 (cos(t u)cost) m 2
y
st
2sin
u
2
sin
(t
u 2
)
另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。 P(t)
y(t) yst (1cost)
P
t P(t)
y(t) yst (1cos(t u))
当0<t< u
P
P(t)
u
t
y(t) yst (1cost)
P
当t> u
t u
质点围绕静力平衡 位置作简谐振动
[ y(t)]max 2
yst
0
π
y(t)
2π
3π
ωt
2）短时荷载
0,
P(t)
P0
,
0,
t0 0tu
t u
P
P(t) t
u
阶段Ⅰ(0<t<u)：与突加荷载相同。 y(t) yst (1cost)
阶段Ⅱ(t>u)：无荷载，体系以t=u时刻的位移 y(u) yst (1cosu)
77613m86l El3I2l
5l3 )
32
71l 3
7m68E3I
结构力学第10章-结构动力计算基础
对于无阻尼自由振动，质点在惯性力FI和弹性恢复力FS作用下处于 动力平衡状态，则有 FI + Fs = 0 ,即m& y& (t)+k11y(t)=0，此式可改写为
&y&(t) + k11 y(t) = 0 m
此式为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，这种由力系平 衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。
1）运动微分方程的建立
利用动静法建立运动微分方程有两种方法：刚度法和柔度法。
(a) EI y(t)
l
(b)
(c)
EI FI
FS
FI
l
(a) 简支梁振动 (b) 力系平衡条件 (c) 变形协调条件
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
⑴刚度法：
设质点m在振动中任一时刻的位移为y(t)。取质点m为隔离体(图b)， 其受力情况为：弹性恢复力 Fs k11y(t) ，其中k11为结构刚度系数，FS与 质点位移y(t)的方向相反；惯性力FI =-m& y&t，它与质点加速度 &y&( t ) 的方 向相反。若将质点位移的计算始点取在质点静力平衡位置上，则质点 重量的影响不必考虑。
对单自由度体系，有 δ11
1 k11
，令 ω2 = k11 = 1 ，得到统一的运动方 m mδ11
程为
& y& t+ω2yt=0
其通解为 yt=c1 co sω t+c2sin ω t，式中的c1和c2为积分常数，由 初始条件确定。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
若当t=0时，yt = y0 ，y&t = y&0 ，则有
&y&(t) + k11 y(t) = 0 m
此式为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，这种由力系平 衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。
1）运动微分方程的建立
利用动静法建立运动微分方程有两种方法：刚度法和柔度法。
(a) EI y(t)
l
(b)
(c)
EI FI
FS
FI
l
(a) 简支梁振动 (b) 力系平衡条件 (c) 变形协调条件
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
⑴刚度法：
设质点m在振动中任一时刻的位移为y(t)。取质点m为隔离体(图b)， 其受力情况为：弹性恢复力 Fs k11y(t) ，其中k11为结构刚度系数，FS与 质点位移y(t)的方向相反；惯性力FI =-m& y&t，它与质点加速度 &y&( t ) 的方 向相反。若将质点位移的计算始点取在质点静力平衡位置上，则质点 重量的影响不必考虑。
对单自由度体系，有 δ11
1 k11
，令 ω2 = k11 = 1 ，得到统一的运动方 m mδ11
程为
& y& t+ω2yt=0
其通解为 yt=c1 co sω t+c2sin ω t，式中的c1和c2为积分常数，由 初始条件确定。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
若当t=0时，yt = y0 ，y&t = y&0 ，则有
结构力学——结构的动力计算
11
11[ P(t ) m(t )] y
P (t )
y(t ) 11[ P(t ) m(t )] y
l
l3 柔度系数 m(t ) 11 y 3EI 3EI (t ) 3 y (t ) P(t ) my l
二、刚度法
P (t )
l
EI
m m(t ) y y (t )
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
§1.2
结构动力学的研究内容和任务
结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。 一.结构动力学的研究内容 当前结构动力学的研究内容为: 第一类问题：结构动力荷载的确定
结构力学
傅向荣
第十章 结构的动力 计算
§1. 绪论
§1.1 动荷载及其分类
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力 与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作 静荷载。 静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
二.动荷载的分类
P (t )
EI
m
EI1
EI
l
1
24 EI k 3 l
11
1
k
EI1
1 11 k
12 EI / l 3 12 EI / l 3
l l
EI EI
k2
EI1
EI EI
k1 ?
k1
k2 ?
24 EI k1 k 2 3 l
层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度. l l
结构力学第10章 结构的动力计算
F k
1
2 1 2
yst sin t
A yst
F F yst F 2 m k
动荷载幅值当作静载 作用时质体的位移
1
2 1 2
A yst
动力系数
§10-3
单自由度体系的强迫振动
动力系数的讨论
0， 1
荷载变化比较慢，可按静载处理。
解
对于竖向振动，柔度系数为
l3 48 EI
ml 3 T 2 m 2 48 EI
1 48 EI ml 3 m
§10-2
单自由度体系的自由振动
例题10-2 求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期
解 （1）水平振动
当杆顶作用水平力W时，杆 顶的水平位移为
Wl 3 st 3EI
杜哈梅积分(Duhamel)
1 t y (t ) 0 FP sin t d m
零初始条件下，单自由度体系在任意荷载下的动位移公式
若 则
y0 0
v0 0 v0
1 y y0 cos t sin t m
t
0
FP ( ) sin t d
y t C1 sin t C2 cos t
F y t y t y * t C1 sin t C2 cos t sin t 2 2 m
§10-3
单自由度体系的强迫振动
代入初始条件
y 0 0 C2 0; F y 0 0 C1 m 2 2
（2）竖向振动
Wl 3 T 2 3EIg
当杆顶作用竖向力W时，杆顶的 竖向位移为
结构力学课后答案第10章结构动力学
对于CD杆件，相当于在中点作用一集中力
10-34试说明用振型分解法求解多自由度体系动力响应的基本思想，这一方法是利用了振动体系的何种特性
10-35试用振型分解法计算题10-32。
解：
刚度矩阵 质量矩阵
其中
由刚度矩阵和质量矩阵可得：
则 应满足方程
其稳态响应为：
同理：
显然最大位移
10-36试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时，质量处的最大位移响应。已知阻尼比ξ1＝ξ2＝。
得振型方程：
)
，令
，由频率方程D=0
解得： ，
，
(c)
解：
图 图
（1） ， ，
（2）振型方程
。
令 ，频率方程为：
（3）当 时，设
当 时，设
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
(d)
解：
#
图 图
频率方程为：
取 代入整理得：
其中
~
振型方程为：
将 代入（a）式中的第一个方程中，得：
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
\
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
设 ，
；
使 ，则
（2）
设
如果使速度响应最大，则 最大，设 ，显然要求 最小。使： 得 。
（3）
令 显然要求 最小。
则 解的：
10-34试说明用振型分解法求解多自由度体系动力响应的基本思想，这一方法是利用了振动体系的何种特性
10-35试用振型分解法计算题10-32。
解：
刚度矩阵 质量矩阵
其中
由刚度矩阵和质量矩阵可得：
则 应满足方程
其稳态响应为：
同理：
显然最大位移
10-36试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时，质量处的最大位移响应。已知阻尼比ξ1＝ξ2＝。
得振型方程：
)
，令
，由频率方程D=0
解得： ，
，
(c)
解：
图 图
（1） ， ，
（2）振型方程
。
令 ，频率方程为：
（3）当 时，设
当 时，设
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
(d)
解：
#
图 图
频率方程为：
取 代入整理得：
其中
~
振型方程为：
将 代入（a）式中的第一个方程中，得：
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
\
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
设 ，
；
使 ，则
（2）
设
如果使速度响应最大，则 最大，设 ，显然要求 最小。使： 得 。
（3）
令 显然要求 最小。
则 解的：
结构力学Ⅱ课件：结构动力学(一)
• 结构的动力计算不但要考虑动力荷载的性质，还要 考虑结构本身的动力特性：刚度分布、质量分布、 阻尼特性分布的影响；
一、动力计算的特点 • 动力计算与静力计算的本质区别：不能忽略惯性力
（1） 计算中考虑惯性力 FI ma my （2）利用达朗伯原理原理，把惯性力视为外力参与
瞬时的平衡，将动力问题转化为静力问题来处理。 （3）动力方程是二阶微分方程，方程求解复杂困难。
F (t )
动荷载：F (t) 干扰力、受迫力、激励
阻尼力： FD cy 和速度方向相反
16
刚度法建立动力方程
y (t )
FD
FI
F(t) y，y, y
FS
质点平衡方程： FI FD FS F (t )
惯性力： FI my
阻尼力： FD cy
约束力（恢复力)： FS ky
刚度法的运动方程： my cy ky F(t) （2-1）
三、动力计算中体系的自由度 • 集中质量法——
假定忽略杆的轴向变形和质点的转动。 平面内每个质点最多有两个线位移。
• 质点体系的振动自由度确定方法—附加链杆法
使每个质点不发生线位移所施加的附加链杆数，即为体 系动力计算的自由度。
11
三、动力计算中体系的自由度
2个自由度
1个自由度
2个自由度 单自由度
研究对象
• 求解杆系结构在动荷载 作用下的变形和内力。
本章重点
• 单自由度体系的自振频 率及在简谐荷载作用下
的动力响应。
§10.1 概述
一、动力计算的特点
• 动力计算研究结构在动力荷载作用下的变形和内力，即 研究结构的动力反应。
• 动力荷载：大小、方向、作用点随时间变化的荷载。 • 结构的动力反应不但与动力荷载的性质有关，还与结构
一、动力计算的特点 • 动力计算与静力计算的本质区别：不能忽略惯性力
（1） 计算中考虑惯性力 FI ma my （2）利用达朗伯原理原理，把惯性力视为外力参与
瞬时的平衡，将动力问题转化为静力问题来处理。 （3）动力方程是二阶微分方程，方程求解复杂困难。
F (t )
动荷载：F (t) 干扰力、受迫力、激励
阻尼力： FD cy 和速度方向相反
16
刚度法建立动力方程
y (t )
FD
FI
F(t) y，y, y
FS
质点平衡方程： FI FD FS F (t )
惯性力： FI my
阻尼力： FD cy
约束力（恢复力)： FS ky
刚度法的运动方程： my cy ky F(t) （2-1）
三、动力计算中体系的自由度 • 集中质量法——
假定忽略杆的轴向变形和质点的转动。 平面内每个质点最多有两个线位移。
• 质点体系的振动自由度确定方法—附加链杆法
使每个质点不发生线位移所施加的附加链杆数，即为体 系动力计算的自由度。
11
三、动力计算中体系的自由度
2个自由度
1个自由度
2个自由度 单自由度
研究对象
• 求解杆系结构在动荷载 作用下的变形和内力。
本章重点
• 单自由度体系的自振频 率及在简谐荷载作用下
的动力响应。
§10.1 概述
一、动力计算的特点
• 动力计算研究结构在动力荷载作用下的变形和内力，即 研究结构的动力反应。
• 动力荷载：大小、方向、作用点随时间变化的荷载。 • 结构的动力反应不但与动力荷载的性质有关，还与结构
《结构力学》_龙驭球_第10章_动力学(4)解析
§10-4 阻尼对自由振动的影响
忽略阻尼影响时所得结果 能大不体能上 反映实际结构的振动规律。
忽略阻尼的振动规律
考虑阻尼的振动规律
结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。
简谐荷载作用下有可能出现共振。
自由振动的振幅永不衰减。
自由振动的振幅逐渐衰减。
共振时的振幅趋于无穷大。
共振时的振幅较大但为有限值。
τ
d
t
t
可视为以 v0 = FP dt / m，y0= 0 为初始条件的自
由振动：
y
e-t
FP dt
mr
sin rt
③ 将荷载FP (t) 的加载过程 看作 一系列瞬时冲量：
dy
FP ( )d mr
e- (t - )
sin r (t
- )
④ 总反应
y(t)
t 0
FP ( )e-(t- ) mr
sin r (t
- )d
e -
t
y0
cos r t
v0
y0 r
sin r t
⑴ 突加荷载FP0
y(t)
FP 0
m 2
[1 -
e-t
(cos
r
t
-
r
sin
r
t
)]
ys
t
0π
具有阻尼的体系在 突加荷载作用下，最初 所引起的最大位移接近 于静位移 yst =FP0 / mω2 的两倍， 然后逐渐衰 减，最后停留在静力平 衡位置。
设 yk 和 yk+n 是相隔 n 个周期的两个振幅则:
1 ln yk 2n ykn
工程中常用此方法测定阻尼
一般钢混结构 0.05，钢结构 (0.02~0.03)。
忽略阻尼影响时所得结果 能大不体能上 反映实际结构的振动规律。
忽略阻尼的振动规律
考虑阻尼的振动规律
结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。
简谐荷载作用下有可能出现共振。
自由振动的振幅永不衰减。
自由振动的振幅逐渐衰减。
共振时的振幅趋于无穷大。
共振时的振幅较大但为有限值。
τ
d
t
t
可视为以 v0 = FP dt / m，y0= 0 为初始条件的自
由振动：
y
e-t
FP dt
mr
sin rt
③ 将荷载FP (t) 的加载过程 看作 一系列瞬时冲量：
dy
FP ( )d mr
e- (t - )
sin r (t
- )
④ 总反应
y(t)
t 0
FP ( )e-(t- ) mr
sin r (t
- )d
e -
t
y0
cos r t
v0
y0 r
sin r t
⑴ 突加荷载FP0
y(t)
FP 0
m 2
[1 -
e-t
(cos
r
t
-
r
sin
r
t
)]
ys
t
0π
具有阻尼的体系在 突加荷载作用下，最初 所引起的最大位移接近 于静位移 yst =FP0 / mω2 的两倍， 然后逐渐衰 减，最后停留在静力平 衡位置。
设 yk 和 yk+n 是相隔 n 个周期的两个振幅则:
1 ln yk 2n ykn
工程中常用此方法测定阻尼
一般钢混结构 0.05，钢结构 (0.02~0.03)。
结构力学教学课件-10-2结构动力响应
t 0 单自由度体系的自由振动 0 1
无阻尼体系 0 （1）当初速度和初位移均不为零
y (t ) y0 cos t
0 y
sin t
其中
或 y(t ) C sin(t )
C y ( ) 1 y0 arctan y0
• 变分法（variation method）
振动方程的建立
10.2.1单自由度体系的力学模型
• 任何振动系统一般都含有三个组成部分：质量系统、弹性 系统和阻尼系统。
1)质量体系
(t ) 惯性力FI m y 1 2 (t ) T my 2 2)弹性体系
FS ky(t )
振动方程的建立
• 在结构动力分析中，首先需要建立描述体 系所有质量运动的方程即体系质量运动的 数学方程，称为体系的运动方程 （ equation of motion ）。该方程的解答给 出了各自由度方向位移随时间的变化规律。
振动方程的建立
• 直接平衡法（direct equilibrium method）：该法根据达朗 伯尔原理（d'Alembert principle）和所采用的阻尼理论， 将惯性力、阻尼力假想地作用于质量上，再考虑作用于结 构上的动荷载，结果使动力问题转化成任一时刻都动平衡 的静力问题，此即理论力学中的动静法。利用动静法，建 立体系的运动方程与静力学中建立平衡方程相似，即作用 于质量上的所有力保持平衡；另外，当要进行体系在动荷 载、惯性力和阻尼力作用下的位移和内力等响应计算时， 按动平衡概念，仍采用结构静力学方法计算。 • 虚功法（virtual work method）
10.3 单自由度体系的自由振动
10.3.2低阻尼和无阻尼体系 初始时刻只有初速度而无初位移
无阻尼体系 0 （1）当初速度和初位移均不为零
y (t ) y0 cos t
0 y
sin t
其中
或 y(t ) C sin(t )
C y ( ) 1 y0 arctan y0
• 变分法（variation method）
振动方程的建立
10.2.1单自由度体系的力学模型
• 任何振动系统一般都含有三个组成部分：质量系统、弹性 系统和阻尼系统。
1)质量体系
(t ) 惯性力FI m y 1 2 (t ) T my 2 2)弹性体系
FS ky(t )
振动方程的建立
• 在结构动力分析中，首先需要建立描述体 系所有质量运动的方程即体系质量运动的 数学方程，称为体系的运动方程 （ equation of motion ）。该方程的解答给 出了各自由度方向位移随时间的变化规律。
振动方程的建立
• 直接平衡法（direct equilibrium method）：该法根据达朗 伯尔原理（d'Alembert principle）和所采用的阻尼理论， 将惯性力、阻尼力假想地作用于质量上，再考虑作用于结 构上的动荷载，结果使动力问题转化成任一时刻都动平衡 的静力问题，此即理论力学中的动静法。利用动静法，建 立体系的运动方程与静力学中建立平衡方程相似，即作用 于质量上的所有力保持平衡；另外，当要进行体系在动荷 载、惯性力和阻尼力作用下的位移和内力等响应计算时， 按动平衡概念，仍采用结构静力学方法计算。 • 虚功法（virtual work method）
10.3 单自由度体系的自由振动
10.3.2低阻尼和无阻尼体系 初始时刻只有初速度而无初位移
河南城建学院结构力学结构动力学
第十章结构动力学分J\析学习内密• *结构动力计算概念，动力计算自由度，建立体系的运动方程。
单自由度体系的自由振动(频率.周期和掘幅的计算)• 单自由度体系在简谐荷载作用下的的强迫振动(动内力.动位移让算)-阻尼对振动的影响。
多自由度体系的自由振动(频率■振型及振型正交性)• 多自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动(动内力.动位移计算)e频率、振型的近似计算方法.学习目的和要求在动荷载作用下，结构发生振动，结构的内力、位移等将随时间变化.确定它们的变化规律.从而得到这些直值的最大值，以便做出合理的动力设计是本章的学习目的。
本章基本要求；掌握动力&由度的判别方法。
掌握单自由度、多自由度体系运动方程的建立方法.熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系动力特性的计算。
熟练拿握单自由度体系、两个自由度体系在简谐荷裁作用下动内力.动位移的计算。
掌握阻尼对振动的影响.了解自振频率的近似计算方法。
§ 10-1概述1・结构动力计算的特点(1)荷载、约東力、内力.位移等随吋间变化，都是时间的函数。
(2)建立平衡方程时要考虑质量的惯性力.2.动荷载分类(1)周期荷载(2)冲击荷载(3)随机荷裁2.连续质•的3.结构动力计算的内容 °・(計确定结构的动力特性即结构本身的自撮频率、振型和阻尼参数。
(2)计算结构的动力反应即结构在动荷载作用下产生的动内力、动位移等.§ 10-2结构振动的自由度1•结构振动的自由度确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参数的 数目称为体系的振动自虫度。
(1) 单自由度结构：具有1个自由度的结构.(2) 多自由度结构：自由度大于1的结构•结构中各杆件保留弹性，而质量 按规则分布到杆件某些位置(2)广义坐标法3・振动自由度的确定基本假定；<i)不考虑集中质it 的转动；<2)受弯直杆任两点之间的距离保持不变.对于具有集中质量的体系，可通过加支杆限制质最运动的办法 确定体系的自由度.自由度数目即等于所加入链杆的数目(如 图10-1 > fS10-1振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和超粋定次数无关.如图10・2所示的体系.------- o <>----------- p 1 ----- 0亠个用•邑湎不& dj M 个b A JL 两*毎足一十▼§ 10-3单自由度结构的自由振动自由振动是指结构在初始干扰(初位移或初速度)下开始振动, 而在振动过程中不受外部干扰力作用的那种振动。
结构动力学2PPT课件
可见质量 mi 的惯性力幅值为
Ii mi Ai 2 (i 1,2,n)
3.动内力幅值计算
位移、惯性力、动荷载频率相同，对于无阻尼体系三者同时达到幅值。故，可 将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力学方法体系的最大动内力和最大 动位移。
例1 试求图示体系质量的最大动位移，并绘制结构的最大动力弯矩图。已知＝
3
EI 。 m l3
A m1 m
l2
EI
q sin t
B
C m2 2m EI
l2
l2
2021/5/25
第10页/共32页
10
解 本例静定结构，选择柔度法求解。
1 A m1 m
l2
EI
q sin t
B
C m2 2m EI
l/2
l2
l2
M1图
M图21源自l/4M图
P
q
ql2/8
用图乘法求得，11
l3 8E
小到大排列，称为频率谱。
➢将求得的 1 2 回代入(2)，由于系数行列式等于零，n个方程是相关的，只
能由其中的n-1个方程解得各自由度动位移之间的比值。可见，体系按某一频
率振动的形状是不变的，称之为振型。
✓ 振型向量 Ai A1i A2i
Ani T
✓ 振型向量常用表述方法一：令某自由度位移为1，例 Ai 1 2i
k 是对称矩阵，k k T
M 也是对称矩阵，同理，有 A jT M Ai AiT M A j
(3)-(4)，有
i2
2 j
AiT M A j 0
因为 i j ，所以 AiT M A j 0 i j
振型第一正交性：多自由度体系任意两个不同振型关于质量矩阵正交。
Ii mi Ai 2 (i 1,2,n)
3.动内力幅值计算
位移、惯性力、动荷载频率相同，对于无阻尼体系三者同时达到幅值。故，可 将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力学方法体系的最大动内力和最大 动位移。
例1 试求图示体系质量的最大动位移，并绘制结构的最大动力弯矩图。已知＝
3
EI 。 m l3
A m1 m
l2
EI
q sin t
B
C m2 2m EI
l2
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解 本例静定结构，选择柔度法求解。
1 A m1 m
l2
EI
q sin t
B
C m2 2m EI
l/2
l2
l2
M1图
M图21源自l/4M图
P
q
ql2/8
用图乘法求得，11
l3 8E
小到大排列，称为频率谱。
➢将求得的 1 2 回代入(2)，由于系数行列式等于零，n个方程是相关的，只
能由其中的n-1个方程解得各自由度动位移之间的比值。可见，体系按某一频
率振动的形状是不变的，称之为振型。
✓ 振型向量 Ai A1i A2i
Ani T
✓ 振型向量常用表述方法一：令某自由度位移为1，例 Ai 1 2i
k 是对称矩阵，k k T
M 也是对称矩阵，同理，有 A jT M Ai AiT M A j
(3)-(4)，有
i2
2 j
AiT M A j 0
因为 i j ，所以 AiT M A j 0 i j
振型第一正交性：多自由度体系任意两个不同振型关于质量矩阵正交。
同济大学朱慈勉-结构力学第10章-结构动力学
机动力荷载).
分析过程：
第1阶段:位移时间历史 y y(x)
第2阶段: 应力、应变及内力 （如何求？）
已知荷载的类型
周期荷载: 简谐荷载
复杂荷载
F
t
F
t
建筑物上的偏心电机
内燃机连杆
任意复杂周期荷载可以用傅里叶级数展开为简谐荷载
非周期荷载:
F
t
F
t
爆破
地震
§10-2 体系振动的自由度
（动力）自由度：确定体系上全部质量位置所需的独立参 数的数目
确定体系阻尼比的一种方法
▪ 阻尼体系动力反应：
y(t) et sin(dt )
▪ 体系的阻尼比可以通过测试体 系运动的衰减规律得到：
▪ 体系从任一时刻经几个周期后 的振幅比为：
y (t)
e tk
e (tk nT )
t
0 tk
t k + nT
e t
T 2/d
y e tk
tk
n T
2nπ d
my cy ky 0
（3-2）
▪ 特征方程：
s c
c
2
2
2m 2m
▪ 如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有c/2m< ，这时，特 征方程根式中的值必然为负值，则s 值成为：
s c i 2 c 2
2m
2m
▪ 引入符号： c c cc 2m
c 2m
▪ 其中 表示体系阻尼与临界阻尼的比值，称为阻尼比，则：
y3 y2
y1
忽略楼板变形
3个自由度
y1 y2
2个自由度
1个自由度
y1
忽略杆件轴向变形
4个自由度
y1
分析过程：
第1阶段:位移时间历史 y y(x)
第2阶段: 应力、应变及内力 （如何求？）
已知荷载的类型
周期荷载: 简谐荷载
复杂荷载
F
t
F
t
建筑物上的偏心电机
内燃机连杆
任意复杂周期荷载可以用傅里叶级数展开为简谐荷载
非周期荷载:
F
t
F
t
爆破
地震
§10-2 体系振动的自由度
（动力）自由度：确定体系上全部质量位置所需的独立参 数的数目
确定体系阻尼比的一种方法
▪ 阻尼体系动力反应：
y(t) et sin(dt )
▪ 体系的阻尼比可以通过测试体 系运动的衰减规律得到：
▪ 体系从任一时刻经几个周期后 的振幅比为：
y (t)
e tk
e (tk nT )
t
0 tk
t k + nT
e t
T 2/d
y e tk
tk
n T
2nπ d
my cy ky 0
（3-2）
▪ 特征方程：
s c
c
2
2
2m 2m
▪ 如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有c/2m< ，这时，特 征方程根式中的值必然为负值，则s 值成为：
s c i 2 c 2
2m
2m
▪ 引入符号： c c cc 2m
c 2m
▪ 其中 表示体系阻尼与临界阻尼的比值，称为阻尼比，则：
y3 y2
y1
忽略楼板变形
3个自由度
y1 y2
2个自由度
1个自由度
y1
忽略杆件轴向变形
4个自由度
y1
10结构动力学概论
当 FP (t)为简谐荷载时，其解的形式为
第十章 结构动力学简介
y(t)
y0
cos ωt
ν0 ω
sin ωt
F
θ sin ωt
F
sin θt
m(ω2 θ 2 ) ω
m(ω2 θ 2 )
前两项为初始条件引起的自由振动;第三项为荷载（干扰力）引起的自由振 动，称为伴生自由振动。实际上，由于阻尼的存在，自由振动部分都很快 衰减掉。自由振动消失前的振动阶段称为过渡阶段。第四项为按荷载频率 进行的振动，此阶段为振动的平稳阶段，称为纯受迫振动或稳态振动。
2、平衡方程的建立
平衡方程的建立有两种方法：一是刚度法；一是柔度法。
my
y k
k
m
刚度法：根据达兰贝尔原理，沿位移正向，在质点上加上惯性力，列动态平 衡方程
ky my
k y ——总是与位移方向相反，指向平衡位置
平m衡y 方—程—与加速m度y方向相k反y 0
第十章 结构动力学简介
柔度法：在惯性力作用下，质点的位移等于实际位移
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
第十章 结构动力学简介
§10-1 概述
一、动力计算的内容
动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。 涉及到内外两方面的因素： 1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）； 2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和 阻尼等等），类似静力学中的I、S等； 计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。
纯受迫振动解的讨论请同学们课下自学完成！
第十章 结构动力学简介
三、阻尼对振动的影响
§10-3 单自由度体系的振动分析
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考虑惯性力的作用是结构动力计算的最主要特征。
3. 结构动力计算可分为两大类：
自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外 部干扰力作用。
强迫振动：如果结构在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则称为强迫 振动。
4. 结构动力计算的任务：
(1) 分析计算自由振动，得到的结构的动力特性(自振频率、振型和阻尼参数)；
aθ m3
EI=∞ θ a
θ EI=∞ m1
m2
θ
aθ
a
a
a
确定绝对刚性杆件上三个质点
的位置只需杆件转角(t)便可，
故为单自由度结构。
§10-2 结构振动的自由度
x
虽然只有一个集中质点，但其位置需
y
由水平位移x和竖向位移y两个独立参数
才能确定，因此振动自由度等于2，为
多自由度体系。
y1( t ) y (t)
第十章 结构动力学
§10-1 概述 §10-2 结构的振动自由度 §10-3 单自由度结构的自由振动 §10-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §10-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 §10-6 多自由度结构的自由振动
§10-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §10-8 振型分解法 §10-9 无限自由度结构的振动 §10-10 计算频率的近似方法
x
m
水塔的质量大部分集中在塔顶上，可简化成
以x(t)为位移参数的单自由度结构。
§10-2 结构振动的自由度
x dx
凡属需要考虑杆件本身质量（称为质(c量) 杆）m的l /4结构都m是l无/2限自m由l /度4 体系。
(a)
m 例：用集中l 质量法将连
续分(a)
m
ll/ 2
l/ 2
(b)布 由度质体量系的。简支m梁d简x 化为有限自((bd))
x dx
m dmx
x dx y( t )
(c) ml /4
ml /2 ml /4
((ce))
ml /m4 l/ 6
mml/l
/2 3
mlm/ l3/4ml/ 6
l/ 2
l/ 2
l/ 2 l/ 3
l/
l/ 2 3
l/ 3
(d)
m
(d()f)
m
y(t)
y1y( t ) y2
(e)
将中m梁质l/二量6 等，m分单l/3，自m集由l中度/3 成体m三 系l/6个 。集(e)
振动自由度。
刚性链杆法：在结构上施加最少数量的刚性链杆以限制刚架上所 有质点的位置， 则该刚架的自由度数即等于所加链杆数目。
具有两个集中质量，加入三根链杆即能 使各质量固定不动其振动自由度为3。
注意：体系振动自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与体系是否静定或超 静定无关。体系的自由度数目与计算假定和计算精度有关。如果考虑质点的转动 惯性，还应增加控制转动的约束，才能确定结构的振动自由度数目。
单自由度结构
m
y(t)
多自由度结构（自由度大于1的结构）
y1( t ) y (t)
2
y (t) 3
(a) (a)
(b) (b)
(c)
§10-2 结构振动的自由度
由质点竖向挠度为独立参数的单自由度结构
m
l
m
y(t) m
y(t)
当梁本身的质量远小于电动机的质量时，可以不计梁本身的质量，同时不考虑 梁的轴向变形和质点的转动，则梁上质点的位置只需由挠度y(t)就可确定。
§10-1 概述
一、结构动力计算的特点和任务
1. 动力荷载与静力荷载的区别： 静力荷载：大小、方向和作用位置不随时间变化，或变化
非常缓慢，不会促使结构产生显著的运动状态的变化，结构 将处于平衡状态。计算平衡状态下结构的内力和变形问题称 为静力计算。
动力荷载（干扰力）：随时间迅速变化的荷载 随时间变化的结构的位移和内力，称为动位移和动内力，并 称为动力反应。计算动力荷载作用下结构的动力反应问题，称 为动力计算。
(2) 分析计算动力荷载作用下结构的动力反应，确定动力荷载作用下结构的位 移、内力等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计的依据。
§10-1 概述
二、动力荷载的分类
1. 周期荷载
周期荷载—— 随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是
简谐荷载(按弦或余弦函数规律变化)。
F (t)
r
m
F θt
F
t
o
l/ 2
l/ 2
简谐荷载
非简谐性周期荷载 例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。
F (t)
t
o
周期撞击荷载
§10-1 概述
2. 冲击荷载
在很短的时间内，荷载值急剧减小(或增加)，如爆炸时所产生的荷载。
F (t)
F (t)
F
F
3. 突加常o 量荷tr载
t
o tr
t
突然作用于结构上、荷载值在较长时间内保持不变。例：起重机起吊重 物时所产生的荷载。
§10-2 结构振动的自由度
实际结构中，除有较大的集中质量外，还有连续分布的质量。对此， 需要采用一定的简化措施，把无限多自由度的问题简化为单自由度或者 有限多自由度的问题进行计算
简化方法有多种，如集中质量法、广义坐标法和有限元法等。本章重点讨 论集中质量法。
集中质量法：把体系的连续分布质量集中为有限个集中质量(实际上是质 点)，把原来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题。
注意：区分静力荷载与动力荷载，不是单纯从荷载本身性 质来看，要看其对结构产生的影响。
§10-1 概述
2. 结构动力计算的特点
结构静力计算的特点：结构的位移和内力只取决于静力荷载的大小及其分布 规律，与时间无关。
结构动力计算的特点：在动力荷载作用下，结构将产生振动，其位移和内力都 是随时间变化的。在运动过程中，结构的质量具有加速 度，必须考虑惯性力的作用。
2
y3( t )
三层平面刚架横梁的刚度可看作无穷 大，结构振动时横梁不能竖向移动和 转动而只能作水平移动，故振动自由 度等于3，多自由度体系。
(a)Байду номын сангаас(a)
(b) (b)
(c)
§10-2 结构振动的自由度
分析刚架的振动自由度时，仍可引用受弯直杆任意两点之间的距离保持不变
的假定，即略去杆件的轴向变形。因此，可采用施加刚性链杆法来确定结构的
F(t)
F
上述荷载是时间的确定函数，称之为
确定性动力荷载。
t
o
§10-1 概述
4. 随机荷载
随机荷载（非确定性荷载）——荷载的变化极不规则，在任—时刻的数 值无法预测。地震荷载和风荷载都是随机荷载。
F (t)
t
o
随机荷载（非确定性荷载）
§10-2 结构振动的自由度
结构振动的自由度:结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立 参数的数目
3. 结构动力计算可分为两大类：
自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外 部干扰力作用。
强迫振动：如果结构在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则称为强迫 振动。
4. 结构动力计算的任务：
(1) 分析计算自由振动，得到的结构的动力特性(自振频率、振型和阻尼参数)；
aθ m3
EI=∞ θ a
θ EI=∞ m1
m2
θ
aθ
a
a
a
确定绝对刚性杆件上三个质点
的位置只需杆件转角(t)便可，
故为单自由度结构。
§10-2 结构振动的自由度
x
虽然只有一个集中质点，但其位置需
y
由水平位移x和竖向位移y两个独立参数
才能确定，因此振动自由度等于2，为
多自由度体系。
y1( t ) y (t)
第十章 结构动力学
§10-1 概述 §10-2 结构的振动自由度 §10-3 单自由度结构的自由振动 §10-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §10-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 §10-6 多自由度结构的自由振动
§10-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §10-8 振型分解法 §10-9 无限自由度结构的振动 §10-10 计算频率的近似方法
x
m
水塔的质量大部分集中在塔顶上，可简化成
以x(t)为位移参数的单自由度结构。
§10-2 结构振动的自由度
x dx
凡属需要考虑杆件本身质量（称为质(c量) 杆）m的l /4结构都m是l无/2限自m由l /度4 体系。
(a)
m 例：用集中l 质量法将连
续分(a)
m
ll/ 2
l/ 2
(b)布 由度质体量系的。简支m梁d简x 化为有限自((bd))
x dx
m dmx
x dx y( t )
(c) ml /4
ml /2 ml /4
((ce))
ml /m4 l/ 6
mml/l
/2 3
mlm/ l3/4ml/ 6
l/ 2
l/ 2
l/ 2 l/ 3
l/
l/ 2 3
l/ 3
(d)
m
(d()f)
m
y(t)
y1y( t ) y2
(e)
将中m梁质l/二量6 等，m分单l/3，自m集由l中度/3 成体m三 系l/6个 。集(e)
振动自由度。
刚性链杆法：在结构上施加最少数量的刚性链杆以限制刚架上所 有质点的位置， 则该刚架的自由度数即等于所加链杆数目。
具有两个集中质量，加入三根链杆即能 使各质量固定不动其振动自由度为3。
注意：体系振动自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与体系是否静定或超 静定无关。体系的自由度数目与计算假定和计算精度有关。如果考虑质点的转动 惯性，还应增加控制转动的约束，才能确定结构的振动自由度数目。
单自由度结构
m
y(t)
多自由度结构（自由度大于1的结构）
y1( t ) y (t)
2
y (t) 3
(a) (a)
(b) (b)
(c)
§10-2 结构振动的自由度
由质点竖向挠度为独立参数的单自由度结构
m
l
m
y(t) m
y(t)
当梁本身的质量远小于电动机的质量时，可以不计梁本身的质量，同时不考虑 梁的轴向变形和质点的转动，则梁上质点的位置只需由挠度y(t)就可确定。
§10-1 概述
一、结构动力计算的特点和任务
1. 动力荷载与静力荷载的区别： 静力荷载：大小、方向和作用位置不随时间变化，或变化
非常缓慢，不会促使结构产生显著的运动状态的变化，结构 将处于平衡状态。计算平衡状态下结构的内力和变形问题称 为静力计算。
动力荷载（干扰力）：随时间迅速变化的荷载 随时间变化的结构的位移和内力，称为动位移和动内力，并 称为动力反应。计算动力荷载作用下结构的动力反应问题，称 为动力计算。
(2) 分析计算动力荷载作用下结构的动力反应，确定动力荷载作用下结构的位 移、内力等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计的依据。
§10-1 概述
二、动力荷载的分类
1. 周期荷载
周期荷载—— 随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是
简谐荷载(按弦或余弦函数规律变化)。
F (t)
r
m
F θt
F
t
o
l/ 2
l/ 2
简谐荷载
非简谐性周期荷载 例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。
F (t)
t
o
周期撞击荷载
§10-1 概述
2. 冲击荷载
在很短的时间内，荷载值急剧减小(或增加)，如爆炸时所产生的荷载。
F (t)
F (t)
F
F
3. 突加常o 量荷tr载
t
o tr
t
突然作用于结构上、荷载值在较长时间内保持不变。例：起重机起吊重 物时所产生的荷载。
§10-2 结构振动的自由度
实际结构中，除有较大的集中质量外，还有连续分布的质量。对此， 需要采用一定的简化措施，把无限多自由度的问题简化为单自由度或者 有限多自由度的问题进行计算
简化方法有多种，如集中质量法、广义坐标法和有限元法等。本章重点讨 论集中质量法。
集中质量法：把体系的连续分布质量集中为有限个集中质量(实际上是质 点)，把原来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题。
注意：区分静力荷载与动力荷载，不是单纯从荷载本身性 质来看，要看其对结构产生的影响。
§10-1 概述
2. 结构动力计算的特点
结构静力计算的特点：结构的位移和内力只取决于静力荷载的大小及其分布 规律，与时间无关。
结构动力计算的特点：在动力荷载作用下，结构将产生振动，其位移和内力都 是随时间变化的。在运动过程中，结构的质量具有加速 度，必须考虑惯性力的作用。
2
y3( t )
三层平面刚架横梁的刚度可看作无穷 大，结构振动时横梁不能竖向移动和 转动而只能作水平移动，故振动自由 度等于3，多自由度体系。
(a)Байду номын сангаас(a)
(b) (b)
(c)
§10-2 结构振动的自由度
分析刚架的振动自由度时，仍可引用受弯直杆任意两点之间的距离保持不变
的假定，即略去杆件的轴向变形。因此，可采用施加刚性链杆法来确定结构的
F(t)
F
上述荷载是时间的确定函数，称之为
确定性动力荷载。
t
o
§10-1 概述
4. 随机荷载
随机荷载（非确定性荷载）——荷载的变化极不规则，在任—时刻的数 值无法预测。地震荷载和风荷载都是随机荷载。
F (t)
t
o
随机荷载（非确定性荷载）
§10-2 结构振动的自由度
结构振动的自由度:结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立 参数的数目