数学分析教学大纲

《数学分析》教学大纲

第一部分说明

一、本课程的目的、任务。

本课程是数学与应用数学和信息与计算科学两个专业的一门主要基础课，通过本课程的教学，一方面为后续课程，如：实变函数、复变函数、泛函分析，微分方程、微分方程的数值解、微分几何、概率论、理论力学等课程及有关的选修课等提供必要的基础知识，另一方面为培养学生的独立工作能力提供必要的训练，为学生进一步深造以及指导中学数学的教学打下良好基础。

本课程的任务是使学生获得有关函数、极限、函数的连续性、一元函数微积分、多元函数微积分、级数理论及其应用等方面的基本概念、基本理论与基本方法，从而能用更高的观点深入理解和分析处理中学数学教材的能力和解决实际问题的能力。并通过大量习题的训练，培养学生的运算技能和对数学问题的思维、论证能力。

二、本课程的教学要求。

通过本课程的学习，使学生掌握极限理论、级数理论、微分理论及积分理论的基本概念和基本理论，熟练的掌握本课程所要求的基本计算方法和能力，基本的推理论证能力，抽象思维能力，逻辑思维能力，增强运用数学手段解决实际问题的能力。

教学重点：准确掌握极限、连续、微分和积分的概念、性质及计算；熟练掌握微分理论、积分理论和级数理论中的基本定理（实数完备性定理、中值定理、微积分基本定理、函数项级数的收敛理论、隐函数定理、曲面及曲线的积分定理）；正确地应用这些基本定理解决数学、物理及其他方面的实际问题。

教学难点：主要集中在极限论和级数论的内容中。

训练设计方案：

（1）布置课后作业注重锻炼学生的解题能力，适当布置思考题培养学生分析问题的能力和创新能力。

（2）指定问题课后讨论。

自学指导方案：

（1）对下节课所讲内容作课前预习；

（2）对部分章节的了解性的内容提出问题让学生自学并课上讨论；

（3）指定课外参考书让学生阅读或让学生上网查阅相关资料加深对课程理解。

与其它课程的联系：为后续课程常微分方程，概率论与数理统计，偏微分方程，复变函数，计算方法，实变函数与泛函分析等提供理论基础和工具。

教学方法与手段：

主要应用教育学理论，采取讲授法，讲练结合法，问题提出法，课堂讨论法，多媒体辅助法。

教学配置条件：

有相应与本课程有关的课外参考书及相应的教学软件，多媒体教室。

考试考核方式：考试成绩由平时考核和期末考试组成。平时考核：平时作业、每章测试、课堂讨论与回答问题的表现等，占10%，期末考试：卷面成绩占90%，包括选择题、填空题、计算题、证明题及发散思维题。

实践环节与教学安排：

本课程总学时为306，分四个学期授课。其中习题课不宜少于60学时。

第一学期讲授教学内容中第一章到第五章；第二学期讲授教学内容中第六章到第十一章；第三学期讲授教学内容中第十二章到第十六章；第四学期讲授教学内容中第十七章到第二十二章。

教材：

《数学分析》（上册、下册）华东师范大学数学系编(第三版)，高等教育出版社。该教材是面向21世纪课程教材，该教材第二版获全国第一届高等学校优秀教材优秀奖。

参考书：

[1] 刘玉琏编，《数学分析》（上册、下册）高等教育出版社

[2] 北京大学数学系编，《数学分析析题集》北京大学出版社

[3] 宋国柱任福贤许绍溥姜东平编著，《数学分析教程》（上、下册）

南京大学出版社

[4] 菲赫金哥尔茨著，《微积分学教程》，人民教育出版社，1957年4月第1版（1980年1月北京第3次印刷）

[5] 陈传璋金福临朱学炎欧阳光中编，《数学分析》，高等教育出版社，1990年第二版．

[6] 孙本旺、汪浩主编《数学分析中的典型例题和解题方法》

[7] 吉米多维奇著《数学分析习题集》

[8] 徐利治、王兴华著《数学分析的方法及例题选讲》

[9] 裴礼文著《数学分析的典型问题与方法》

三、教学时数分配：

第二部分讲授大纲

第一章实数集与函数

教学要求：1.了解数学的发展史与实数的概念，理解绝对值不等式的性质，会解绝对值不等式，弄清区间和邻域的概念；

2.掌握函数的定义及函数的表示法，了解函数的运算；

3.理解和掌握一些特殊类型的函数。

重点：区间和邻域的概念。

难点：确界原理。

第一节 实数

一 实数及其性质(深度C) 实数的概念，实数的性质； 二 绝对值与不等式(深度C) 绝对值性质，常用不等式； 第二节 数集、确界原理 一 区间与邻域(深度A) 区间与邻域概念；

二 有界集、确界原理(深度A) 有界集概念，确界概念，确界原理； 第三节 函数概念 一 函数的定义(深度B) 函数的定义；

二 函数的表示法(深度C)

函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数； 三 函数的运算(深度A) 四则运算，复合函数，反函数； 四 初等函数(深度A)

基本初等函数概念，初等函数概念。 第三节 具有某些特性的函数(深度A)

有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。 作业：P4 3，P9 2,5，6,7，P15 6，P16 12，P21 1，

第二章 数列极限

教学要求：1.理解和掌握数列极限，无穷小量与无穷大量的概念； 2.掌握并能运用

N -ε语言证明极限问题；

3.掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件(单调有界函数和迫敛性定

理)，并能运用；

4.了解数列极限柯西准则。 重点：数列极限的概念 难点：数列极限的概念

第一节 数列极限的概念(深度A) 数列极限的概念，无穷小数列概念 第二节 收敛数列的性质(深度A)

性质(唯一性，有界性，保号性)，迫敛性法则，及四则运算； 第三节 数列极限的存在条件(深度A) 单调有界准则，柯西准则。

作业：P27 2,3，4,7，8， P33 1,3，4,5，6,7，P39 1,3，5,6，7,11，P40 3

第三章 函数极限

教学要求：1.理解和掌握函数极限的概念；

2.掌握并能应用δε-语言处理极限问题；

3.了解函数的单侧极限，函数极限的柯西准则；

4.掌握函数极限的性质和归结原则；

5.熟练掌握两个重要极限来处理极限问题。

6.无穷大量与无穷小量概念及阶的比较。 重点：函数极限的概念

难点：两个重要极限，归结原则，柯西准则 第一节 函数极限的概念 一 ∞→x 时函数极限(深度A)