广东省2019年高考理科数学模拟试题及答案
广东省2019年高考理科数学模拟试题及答案(一)
广东省2019年高考理科数学模拟试题及答案（一）（试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i2．设集合{}{}{}20,1,2,3,4,5,1,2,3,|540U A B x Z x x ===∈-+≥，则()U A B = ðA ．{}1,2,3B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}23. 下列说法中正确的是A.命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B.命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题C.命题“存在000,1x x e x ∈≤+R ”的否定为：“对,1xx e x ∀∈>+R ”D.直线l 不在平面α内，则“l 上有两个不同的点到α的距离相等”是“//l α”的充要条件 4．设向量a 与b 的夹角为θ，且)1,2(-=a ，)3,2(2=+b a ，则θcos ＝A. 35-B.35C.55- 5．已知α是第四象限角，且1sin cos 5αα+=，则tan 2α=A ．13 B ．13- C ．12D ．12-6. 已知数列}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=⋅a a ，则101a a +的值为A. 7B.5C.7-D.5-7. 设不等式组-20+200x y x y x ≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为Ω.则A. 原点O 在Ω内B.Ω的面积是1C. Ω内的点到y 轴的距离有最大值D.若点P(x 0,y 0) ∈Ω，则x 0+y 0≠08．如右图是寻找“徽数”的程序框图．其中“S MOD 10”表示自然数 S 被10除所得的余数，“S \10”表示自然数S 被10除所得的商．则 根据上述程序框图，输出的“徽数”S 为 A ．18B ．16C ．14D ．129. 已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行翻折，使BDC ∠为直角，则过A B C D ，，，四点的球的表面积为A ．3πB ．4π C.5π D ．6π10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．根据需要安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是A ．2日和5日B ．5日和6日C ．6日和11日D ．2日和11日 12．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为12,F F ，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△12AF F 的周长为6A. 22143y x +=B. 22132y x +=C. 2212x y += D. 2214x y +=二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设集合{}22(,)|(3sin )(3cos )1,A x y x y R ααα=+++=∈，{}(,)|34100B x y x y =++=，记P A B = ，则点集P 所表示的轨迹长度为 。
2019年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)
2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝?B．A∪B＝R C．B?A D．A?B2．（5分）已知a为实数，若复数（a+i）（1﹣2i）为纯虚数，则a＝（）A．﹣2 B．C．D．23．（5分）已知双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．34．（5分）刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a 粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A．B．C．D．5．（5分）若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则＝（）A．B．2 C．D．36．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，S2m﹣1＝11，则m＝（）A．11 B．10 C．6 D．57．（5分）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A．5 B．10 C．15 D．209．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．210．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A．B．7πC．D．8π11．（5分）已知以F为焦点的抛物线C：y2＝4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A．2 B．C．D．412．（5分）已知函数，的图象上存在关于直线x＝1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A．（e2﹣1，+∞）B．（e2+1，+∞）C．（﹣∞，e2﹣1）D．（﹣∞，e2+1）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3＝6，S6＝54，则a1＝．14．（5分）若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a＝．15．（5分）已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，则m的取值范围是．16．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC＝60°，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，点H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M﹣C1O1H 的体积的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B＝（3a﹣b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b﹣a＝2，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P 是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD＝，且二面角A﹣BD﹣C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．19．（12分）某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为ξ 2 3 4P0.4 a b其中0＜a＜1，0＜b＜1（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．20．（12分）已知椭圆的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2＝1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B两点．求△ABF的面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝e2x﹣ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝?B．A∪B＝R C．B?A D．A?B【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【专题】11：计算题；5J：集合．【分析】首先化简集合，再求交集，并集即可．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，A、A∩B＝{x|0＜x＜2}，故本选项错误；B、A∪B＝{x|x＞0}，故本选项错误；C、A?B，故本选项错误；D、A?B，故本选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知a为实数，若复数（a+i）（1﹣2i）为纯虚数，则a＝（）A．﹣2 B．C．D．2【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．【解答】解：（a+i）（1﹣2i）＝a+2+（1﹣2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2＝0且1﹣2a≠0，得a＝﹣2且a≠，即a＝﹣2，故选：A．【点评】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．3【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出圆心坐标，代入渐近线方程没去成b，然后求解双曲线的离心率．【解答】解：圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心（2，﹣4），双曲线的一条渐近线为：y＝bx，双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，可得2b＝4，所以b＝2，a＝1，则c＝，则C的离心率为：．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a 粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：＝，所以＝，即π＝，得解【解答】解：由几何概型中的面积型可得：＝，所以＝，即π＝，故选：C．【点评】本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题5．（5分）若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则＝（）A．B．2 C．D．3【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；31：数形结合；5A：平面向量及应用．【分析】本题可根据平行四边形法则画出图形找到M点的位置，然后根据两个向量的数量积的性质进行计算．【解答】解：由题意，可根据平行四边形法则画出如下图形：由图可知：＝，∴＝＝＝1?2?+1?2?1＝3．故选：D．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的计算，属基础题．6．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，S2m﹣1＝11，则m＝（）A．11 B．10 C．6 D．5【考点】8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】直接利用等差数列的性质的应用和等差数列的前n项和公式的应用求出结果．【解答】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，则：，解得：a m＝1．S2m﹣1＝＝＝11，解得：m＝6故选：C．【点评】本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的性质的应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7．（5分）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．【解答】解：函数h＝f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．【点评】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．8．（5分）（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A．5 B．10 C．15 D．20【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】令x＝1，可得展开式的各项系数和，再根据展开式的各项系数和为32，求得a 的值，再利用通项公式可得该展开式中x4的系数．【解答】解：∵（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则（2﹣1）（1+a）5＝32，∴a＝1，该展开式中x4的系数是2??a﹣1??a4＝10a﹣5a4＝5，故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．9．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．2【考点】H5：正弦函数的单调性．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质．【分析】直接利用函数的奇偶性和单调性，建立不等式组，进一步求出最大值．【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ＝．所以：f（x）＝cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k＝0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：函数的奇偶性和单调性的应用，不等式组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A．B．7πC．D．8π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．【解答】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2＝7π．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11．（5分）已知以F为焦点的抛物线C：y2＝4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A．2 B．C．D．4【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|＝λ|BF|，∴x1+1＝λ（x2+1），∴x1＝λx2+λ﹣1∵|y1|＝λ|y2|，∴x1＝λ2x2，当λ＝1时，弦AB的中点到C的准线的距离2．当λ≠1时，x1＝λ，x2＝，|AB|＝（x1+1）+（x2+1）＝．∵，∴（λ++2）max＝．则弦AB的中点到C的准线的距离d＝，d最大值是．∵，∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是．故选：B．【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义得到中点到准线的距离，属于中档题．．12．（5分）已知函数，的图象上存在关于直线x＝1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A．（e2﹣1，+∞）B．（e2+1，+∞）C．（﹣∞，e2﹣1）D．（﹣∞，e2+1）【考点】5B：分段函数的应用．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】求出f（x）关于直线x＝1对称的函数g（x），则g（x）与f（x）在（﹣∞，1）上有公共解，根据两函数的单调性列出不等式即可得出a的范围．【解答】解：当x＞1时，f（x）＝＝x+，设f（x）在（1，+∞）上的图象关于x＝1的对称图象为g（x），则g（x）＝f（2﹣x）＝2﹣x+（x＜1），由题意可知f（x）与g（x）在（﹣∞，1）上有公共点．∵g′（x）＝﹣1+＜0，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递减，又f（x）＝ln（x+a）在（﹣∞，1）上单调递增，∴g（1）＜f（1），即2＜ln（1+a），解得a＞e2﹣1．故选：A．【点评】本题考查了函数零点与单调性的关系，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3＝6，S6＝54，则a1＝．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】先利用等比数列的求和公式分别表示出S3及S6，代入已知的等式，两者相除并利用平方差公式化简后，得到关于q的方程，求出方程的解得到q的值即可求出首项【解答】解：∵S3＝＝6，S6＝＝54，∴＝1+q3＝9，解得q3＝8，则q＝2，∴＝6，解得a1＝故答案为：【点评】此题考查了等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14．（5分）若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a＝ 2 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．【解答】解：函数的导数为：f′（x）＝a+，f′（1）＝a+3，而f（1）＝a﹣3，切线方程为：y﹣a+3＝（a+3）（x﹣1），因为切线方程经过（2，4），所以4﹣a+3＝（a+3）（2﹣1），解得a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．15．（5分）已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，则m的取值范围是（] ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＝2，则平面区域内必存在一个C点在直线x﹣2y＝2的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．【解答】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（﹣m，﹣2），直线x﹣2y＝2的斜率为，斜截式方程为y＝x﹣1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＝2，则点C（﹣m，﹣2）必在直线x﹣2y＝2的下方，即﹣2≤﹣m﹣1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（﹣m，1﹣2m），可得1﹣2m≥﹣1，解得m，故m的取值范围是：（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．16．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC＝60°，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，点H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M﹣C1O1H 的体积的最小值为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】当M与B重合时△O1HM的面积最小，故三棱锥M﹣C1O1H的体积最小，求出△O1BH 的面积，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：因为直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC＝60°，边长为1，∴O1C1⊥平面BB1D1D，且O1C1＝，O1B1＝，∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1＝，∵OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，∴当M在B处时△O1MH的面积取得最小值．连接O1B，则O1B＝OB1＝＝，∴B1到O1B的距离d＝＝＝，∵OH＝3HB1，∴H到直线O1B的距离为d＝．∴S＝＝＝，∴V＝S?O1C1＝＝．故答案为：．【点评】考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B＝（3a﹣b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b﹣a＝2，求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出cos C的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin C的值；（2）利用余弦定理及已知可求ab的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos B＝（3a﹣b）cos C，∴由正弦定理可知，sin C cos B＝3sin A cos C﹣sin B cos C，…1分即sin C cos B+cos C sin B＝3sin A cos C，∴sin（C+B）＝3sin A cos C，…2分∵A+B+C＝π，∴sin A＝3sin A cos C，…3分∵sin A≠0，∴cos C＝，…4分∵0＜C＜π，∴sin C＝＝；…6分（2）∵，cos C＝，∴由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得：24＝a2+b2﹣ab，…8分∴（a﹣b）2+ab＝24，…9分∵b﹣a＝2，∴解得：ab＝15，…10分∴S△ABC＝ab sin C＝＝5…12分【点评】此题考查正弦、余弦定理的综合应用，涉及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．18．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P 是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD＝，且二面角A﹣BD﹣C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】14：证明题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）推导出AD＝CD，PD⊥AC，PB⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面ACD ⊥平面BDP．（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，则AE⊥BD，AE＝CE，∠AEC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，由二面角A﹣BD﹣C为120°，得∠AEC＝120°，由余弦定理得AC＝，推导出BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO是直线AD与平面BCD所成角，由此能求出直线AD与平面BCD所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AD＝CD，∵点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，∵PD∩PB＝P，∴AC⊥平面PBD，∵AC?平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDP．解：（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，∵Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AE⊥BD，AE＝CE，∠AEC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，由已知二面角A﹣BD﹣C为120°，∴∠AEC＝120°，在等腰△AEC中，由余弦定理得AC＝，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∴AB＝，在Rt△ABD中，，∴BD＝，∵BD＝，∴AD＝，∵BD2＝AB2+AD2，∴AB＝2，∴AE＝，，由上述可知BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO是直线AD与平面BCD所成角，在Rt△AEO中，∠AEO＝60°，∴AO＝，AE＝1，sin，∴直线AD与平面BCD所成角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（12分）某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为ξ 2 3 4P0.4 a b其中0＜a＜1，0＜b＜1（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），由此能求出购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）P（X≤500）＝P（X＝400）+P（X＝450）+P（X＝500）＝0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b＝1，得b＝0.6﹣a，由P（X≤500）≥0.8，得a≥0.4，由b＞0，得a＜0.6，由此能求出X的数学期望E（X）的最大值．【解答】角：（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），则P（η＝2）＝，∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，P（X＝400）＝0.4×0.4＝0.16，P（X＝450）＝2×0.4a＝0.8a，P（X＝500）＝2×0.4b+a2＝0.8b+a2，P（X＝550）＝2ab，P（X＝600）＝b2，∴X的分布列为：X 400 450 500 550 600P 0.16 0.8a 0.8b+a2 2ab b2（2）P（X≤500）＝P（X＝400）+P（X＝450）+P（X＝500）＝0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b＝1，得a+b＝0.6，∴b＝0.6﹣a，∵P（X≤500）≥0.8，∴0.16+0.48+a2≥0.8，解得a≥0.4或a≤﹣0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，∵b＞0，∴0.6﹣a＞0，解得a＜0.6，∴a∈[0.4，0.6），E（X）＝400×0.16+450×0.8a+500（0.8b+a2）+1100ab+600b2＝520﹣100a，当a＝0.4时，E（X）的最大值为480，∴X的数学期望E（X）的最大值为480．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知椭圆的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2＝1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B两点．求△ABF的面积的最大值．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据根据题意可得b＝c＝1，故a2＝b2+c2＝2，即可求出椭圆方程，（2）过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x＝ty+m，可得m2＝t2+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2＝0，根据韦达定理和三角形面积即可表示出S＝，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出面积的最大值【解答】解：（1）由椭圆可知焦点在x轴上，∵圆O：x2+y2＝1与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（1，0），与y轴的两个交点的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），根据题意可得b＝c＝1，故a2＝b2+c2＝2，故椭圆方程为+y2＝1（2）设过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x＝ty+m，则＝1，即m2＝t2+1设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2＝0，则△＝（2tm）2﹣4（t2+2）（m2﹣2）＝8＞0，∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，∴|y1﹣y2|＝＝＝，∴△ABF的面积S＝|PF|?|y1﹣y2|＝，令f（m）＝，m≥1∴f′（m）＝，当m≥1时，f′（m）≤0，∴f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴f（m）≤f（1）＝，故△ABF的面积的最大值为【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切的性质、韦达定理、三角形面积计算公式、导数和函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）＝e2x﹣ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求函数的导数，利用函数的单调性转化为f′（x）≥0恒成立进行求解．（2）求函数的导数，结合函数极大值的定义，讨论a范围，进行证明即可．【解答】解：（1）函数的导数f′（x）＝2e2x﹣2ax，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0恒成立，即2e2x﹣2ax≥0，得a≤在（0，+∞）上恒成立，设h（x）＝，则h′（x）＝＝，当0＜x＜时，h′（x）＜0，此时函数为减函数，由x＞时，h′（x）＞0，此时函数为增函数，即当x＝时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，h（）＝2e，则a≤2e，即实数a的取值范围是（﹣∞，2e]．（2）由（1）知，当a≤2e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不存在极大值，当a＞2e时，ln，lna＞ln，又f′（0）＝2＞0，f′（）＝2e﹣a＜0，f′（lna）＝2e2lna﹣2alna＝2a（a﹣lna）＞0，（易证明a﹣lna＞0），故存在x1∈（0，），使得f′（x1）＝＝0，存在x2∈（，lna），使得f′（x2）＝0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，即当x＝x1时，f（x）取得极大值，即M＝，由0＜x1＜时，得1﹣x1＞0，x1≠1﹣x1，由2﹣2ax1＝0，得＝ax1，故M＝＝ax1﹣ax12＝ax1（1﹣x1）＜a?（）2＝，即成立．【点评】本题主要考查导数的应用，结合函数单调性，极值和导数的关系转化为导数问题是解决本题的关键．考查学生的运算和推导能力，综合性较强，难度较大．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用平方关系消去参数t可得C1的普通方程，利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得C2的直角坐标方程；（2）根据直线的斜率可得．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为y＝1﹣x2（﹣1≤x≤1），把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入ρ（cosθ﹣a sinθ）＝，得直线C2的直角坐标方程为y﹣ax＝，即ax﹣y+＝0，（2）由直线C2：ax﹣y+＝0，知C2恒过点M（0，），由y＝1﹣x2（﹣1≤x≤1），当时，得x＝±1，所以曲线C1过点P（﹣1，0），Q（1，0），则直线MP的斜率为k1＝＝，直线MQ的斜率k2＝＝﹣，因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即﹣，所以a的取值范围为[﹣，]．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．【考点】6P：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．【专题】35：转化思想；48：分析法；57：三角函数的图象与性质．【分析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1＞f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x﹣1|，可得（x+1+2x﹣1）（x+1﹣2x+1）＞0，即3x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|＝|x+a|﹣|x﹣|﹣|x﹣|≤|x+a﹣x+|﹣0＝|a+|，可得f（x）的最大值为|a+|＝a+，（a＞0），则a+＜1，解得0＜a＜．【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。
2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题和参考答案
侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A ．16B ．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体D CB A 的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，FE D CBA a 图3重量/克0.0320.02452515O 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分） 如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分 （2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分 解得3BC =. ……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin AB A C BC ⨯⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分M O H F E D CB A （3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =……………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH == 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos ,nAE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列.∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n n n T n --=++++-⋅14414nnn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分专业资料word 完美格式 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分 （3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n --=+. ……………14分。
2019年广东省高考数学一模试卷(理科)(解析版)(精华版)
2019 年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题 .给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合 ， B ={ x | x ﹣ 1≥0} ，则 A ∩ B 为（ ）A ． [ 1， 3]B ． [ 1， 3）C ． [ ﹣3，∞）D ．（﹣ 3，3]2．已知复数 ，则 z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数 f （ x ）的定义域为 R ，M 为常数．若 p ：对? x ∈R ，都有 f （x ）≥ M ； q ：M 是函数 f （ x ）的最小值，则 p 是 q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件a 1，a 2， ，a 8 d ≠ 0，则 为各项都大于零的等差数列，公差 4．如果 （ ）A ． a 1a 8＞ a 4a 5B ． a 1a 8＜a 4a 5C ． a 1+a 8＞ a 4+a 5D ． a 1a 8=a 4a 55．已知 ，则 等于（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知集合 A={ 5} ，B={ 1，2} ，C={ 1，3，4} ，从这三个集合中各取 一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为 （ ）A ． 6B ．32C ． 33D ． 347．设，则对任意实数a、b，若a+b≥0 则（）A．f（a）+f（b）≤0 B．f（a）+f（b）≥0 C．f（a）﹣f（b）≤0D．f （a）﹣f（b）≥08．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x （吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：x 3456y 2.5 34ay 关于x 的线性回归方程为=0.7x+0.35，则表中若根据表中数据得出a 的值为（）A．3B．3.15 C．3.5 D．4.59．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f（x），则函数f（x）的单调递增区间（）A．B．C．D．a∈{ 0，1，2} ，b∈{ ﹣1，1，3，5} ，则函数f（x）=a x2﹣10．已知2bx 在区间（1，+∞）上为增函数的概率是（）A．B．C．D．11．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n，则记为N=n（mod m），例如10=2（mod 4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于（）A．20 B．21 C．22 D．23f（x）=e x（3x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若有且只有一个12．设函数整数x0 使得f（x0）≤0，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．一、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分20 分13．在边长为1 的正三角形ABC中，设，，则．=14．设实数x，y满足，则z=2x﹣y 的最小值为．15．已知一个多面体的三视图如图示：其中正视图与侧视图都是边长为 1 的等腰直角三角形，俯视图是边长为 1 的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为．16．设f'（x）是函数f（x）的导数，f'' （x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d （a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数g（x）=x3﹣3x2+4x+2，利用上述探究结果计算：．=二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，设边a，b，c 所对的角A，B，C，且A，B，C 都为不是直角，（b c﹣8）c osA+accosB=a2﹣b2．（Ⅰ）若b+c=5，求b，c 的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．18．为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80 位性别不同的2016 年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：与教育无合计与教育有关关男 30 10 40女 35 5 40合计 65 15 80“师范类毕业生 （ 1）能否在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为 ”？从事与教育有关的工作与性别有关 参考公式： （n=a +b +c +d ）．附表：P （K 2 ≥k 0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.023 6.635 （ 2）求这 80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；（ 3）以（ 2）中的频率作为概率．该校近几年毕业的 2000 名师范类 大学生中随机选取 4 名，记这 4 名毕业生从事与教育有关的人数为 X ， 求 X 的数学期望 E （ X ）．ABC ﹣ A 1B 1C 1 底边长为 2，E ，F 分别为 BB 1，AB 的中点． 19．正三棱柱 （ I ）已知 M 为线段 B 1A 1 上的点，且 B 1A 1=4B 1M ，求证：EM ∥面 A 1F C ； （ II ）若二面角 E ﹣ A 1C ﹣F 所成角的余弦值为 AA 1 的值．，求C 1： =1（ a ＞b ＞ 0）的离心率 ，且过点+ e= 20．已知椭圆 2 2 ，直线 l 1： y=kx +m （ m ＞ 0）与圆 C 2：（x ﹣1） +y =1 相切且与椭圆 C 1 交于 A ， B 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 1 的方程；（Ⅱ ）过原点 的平行线 l 2 交椭圆于 C ，D 两点，设 | AB | =λ| CD | ， O 作 l 1 求 λ的最小值．21．已知函数发 f （x ） =（ x+1）lnx ﹣ ax+2．（ 1）当 a=1 时，求在 x=1 处的切线方程；（ 2）若函数 f （x ）在定义域上具有单调性，求实数 a 的取值范围； ，n ∈ N * ．（ 3）求证： 四、选做题22．以平面直角坐标系的原点为极点， 以 x 轴的正半轴为极轴建立极 （α是参数），直线 l 的极坐标系．设曲线 C 的参数方程为 ρc o （s θ+ 坐标方程为 ）=2 ．（ 1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；（ 2）设点 P 为曲线 C 上任意一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值． 23．已知函数 f （ x ）=| x +a |+| x ﹣2|（ 1）当 a=﹣3 时，求不等式 f （ x ）≥ 3 的解集；（2）若f（x）≤| x﹣4| 的解集包含[ 1，2] ，求a 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，B={ x| x﹣1≥0} ，则A∩B为（）A．[ 1，3] B．[ 1，3）C．[﹣3，∞）D．（﹣3，3]【考点】交集及其运算．A 和B，由此能求出A∩B．【分析】分别求出集合【解答】解：∵集合={ x| ﹣3≤x＜3} ，B={ x| x﹣1≥0} ={ x| x≥1} ，∴A∩B={ x| 1≤x＜3} =[ 1，3）．故选：B．2．已知复数，则z在复平面内对应的点在）（A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵复数= +i= ，则z 在复平面内对应的点在第一象限．故选：A．3．已知函数 f （ x ）的定义域为 R ，M 为常数．若 p ：对? x ∈R ，都有 f （x ）≥ M ； q ：M 是函数 f （ x ）的最小值，则 p 是 q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】 根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】 解：由 p ：对? x ∈R ，都有 f （ x ）≥M ，推不出 M 是最小值， 比如 x 2≥﹣ 1，故充分性不成立；由 q ： M 是函数 f （x ）的最小值，推出 p ：对 ? x ∈R ，都有 f （ x ）≥ M ；必要性成立，故选： B ．a 1，a 2， ，a 8 d ≠ 0，则 为各项都大于零的等差数列，公差 4．如果 （ ）A ． a 1a 8＞ a 4a 5B ． a 1a 8＜a 4a 5C ． a 1+a 8＞ a 4+a 5D ． a 1a 8=a 4a 5【考点】 等差数列的性质．【分析】先根据等差中项的性质可排除 C ；然后可令 a n =n 一个具体的 数列进而可验证 D 、 A 不对，得到答案．【解答】 解：∵ 1+8=4+5∴ a 1+a 8=a 4+a 5∴排除 C ；若令 a n =n ，则 a 1a 8=1?8＜20=4?5=a 4a 5∴排除 D ，A ．故选 B5．已知，则等于（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得）的值，再利sin（α+用两角和差的三角公式求得cosα=cos[ （α+ ）﹣] 以及sinα=s[i（nα+ ）﹣] 的值，可得要求式子的值．【解答】解：∵，∴sin （α+）= = ，而）﹣）cos ）sin cosα=c o[（sα+] =c o（sα++sin（α+，=∴sinα=s[i（nα+ ）﹣] =sin（α+ ）cos ﹣co s（α+ ）sin ，==sin αcos +cosαsin +sinα=sinα+cosα=﹣则，故选：A．6．已知集合A={ 5} ，B={ 1，2} ，C={ 1，3，4} ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（）A．6B．32 C．33 D．34【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同点的个数，进而考虑集合B、C中的相同元素1，出现了 3 个重复的情况，进而计算可得答案．113【解答】解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为C3A3 =36，C2但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36﹣3=33 个，故选C．7．设，则对任意实数a、b，若a+b≥0 则（）A．f（a）+f（b）≤0 B．f（a）+f（b）≥0 C．f（a）﹣f（b）≤0 D．f （a）﹣f（b）≥0【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质．【分析】求解函数f（x）的定义域，判断其奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性可得答案．【解答】解：设，其定义域为R，=﹣f（x），=∴函数f（x）是奇函数．且在（0，+∞）上单调递增，故函数f（x）在R 上是单调递增，那么：a+b≥0，即a≥﹣b，∴f（a）≥f（﹣b），得f（a）≥﹣f（b），可得：f（a）+f（b）≥0．故选：B．8．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x （吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：x 3456y 2.5 34ay 关于x 的线性回归方程为=0.7x+0.35，则表中若根据表中数据得出a 的值为（）A．3B．3.15 C．3.5 D．4.5【考点】线性回归方程．【分析】由线性回归方程必过样本中心点（，），则=3.5，即=3.5，即可求得 a 的值．【解答】解：由题意可知：产量x 的平均值为= =4.5，由线性回归方程为=0.7x+0.35，过样本中心点（，），则=0.7 +0.35=0.7×4.5+0.35=3.5，解得：=3.5，由=3.5，解得：a=4.5，=表中 a 的值为 4.5，故选：D．9．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为 f （ x ），则函数 f （x ）的单调递增区间（ ）A ．B ．C ．D ．y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【考点】 函数 【分析】 由周期公式可求函数 的周期 =π，利用三 T= 角函数的图象变换规律可求函数 f （ x ）解析式，令 2k π﹣ ≤ 2x ﹣ ≤ 2k π+ ， k ∈Z ，可得函数 f （x ）的单调递增区间．=π，T= 【解答】 解：∵函数 的周期 ∴将函数 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的 函数为 f （x ） =2sin[ 2（ x ﹣ ）+ ] =2sin （2x ﹣ ），∴令 2k π﹣ ≤ 2x ﹣ ≤2k π+ ，k ∈Z ，可得： k π﹣ ≤x ≤k π+ k ∈ Z ，[ k π﹣ ，k π+ ∴函数 f （x ）的单调递增区间为： ] ，k ∈Z ． 故选： A ．10．已知 a ∈{ 0，1， 2} ， b ∈{ ﹣1， 1， 3，5} ，则函数 f （x ）=a x 2﹣ 2bx 在区间（ 1，+∞）上为增函数的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】 古典概型及其概率计算公式．n=3× 4=12，再求出函数 f （x ）=a x 2﹣ 【分析】 先求出基本事件总数 2bx 在区间（ 1，+∞）上为增函数满足条件的基本事件个数，由此能求出函数f（x）=ax2﹣2bx 在区间（1，+∞）上为增函数的概率．【解答】解：∵a∈{ 0，1，2} ，b∈{ ﹣1，1，3，5} ，∴基本事件总数n=3×4=12，函数f（x）=ax2﹣2bx 在区间（1，+∞）上为增函数，①当a=0时，f（x）=﹣2b x，符合条件的只有：（0，﹣1），即a=0，b=﹣1；②当a≠0 时，需要满足，符合条件的有：（1，﹣1），（1，1），（2，﹣1），（2，1），共4种，∴函数f（x）=ax2﹣2bx 在区间（1，+∞）上为增函数的概率是p= ．故选：A．11．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n，则记为N=n（mod m），例如10=2（mod 4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的n 等于（《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的）A．20 B．21 C．22 D．23【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被 3 除余2，②被 5 除余2，最小两位数，故输出的n 为22，故选：C．12．设函数f（x）=e x（3x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若有且只有一个整数x0 使得f（x0）≤0，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．g（x）=e x（3x﹣1），h（x）=a x﹣a，对【分析】设g（x）求导，将问题转化为存在唯一的整数x使得g（x0）在直线h（x）=ax﹣a的下﹣1方，求导数可得函数的极值，解g（﹣1）﹣h（﹣1）=﹣4e +2a≥0，求得 a 的取值范围．g（x）=e x（3x﹣1），h（x）=a x﹣a，【解答】解：设则g′（x）=e x（3x+2），∴x∈（﹣∞，﹣），g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（﹣，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴x=﹣，取最小值﹣3e﹣，∴g（0）=﹣1＜﹣a=h（0），g（1）﹣h（1）=2e＞0，直线h（x）=ax﹣a 恒过定点（1，0）且斜率为a，﹣1∴g（﹣1）﹣h（﹣1）=﹣4e +2a＞0，∴a＞，a＜1，∴a 的取值范围（，1）．故选：C．一、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分20 分13．在边长为 1 的正三角形ABC 中，设，，则= ﹣．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据，，确定点D，E在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．【解答】解：∵，∴D 为BC的中点，∴，∵，∴，∴）== =﹣，故答案为：﹣．14．设实数x，y满足，则z=2x﹣y 的最小值为2．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线平移即可求出目标函数的最小值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象知，当直线y=2x﹣z经过A 时，直线的截距最大，此时z 最小，经过点 B 时，直线的截距最小，此时z 最大，由得A（3，4），此时z 最小值为z=6﹣4=2，故答案为：215．已知一个多面体的三视图如图示：其中正视图与侧视图都是边长为 1 的等腰直角三角形，俯视图是边长为 1 的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为．3π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，将其扩充为正方体，对角线长为，可得外接球的直径，即可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面为边长为 1 的正方形，高为1，一条侧棱垂直底面，将其扩充为正方体，对角线长为，∴外接球的直径为，∴球的表面积为=3π．3π．故答案为：16．设f'（x）是函数f（x）的导数，f'' （x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d （a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，g（x）=x3﹣3x2+4x+2，利用上述探究结果设函数计算：．= 76【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】根据函数g（x）的解析式求出g′（x）和g″（x），令g″（x）=0，求得x 的值，由此求得三次函数g（x）的对称中心．由于函数的对称中心为（1，4），可知g（x）+f（2﹣x）=8，由此能够求出所给的式子的值．【解答】解：由g（x）=x3﹣3x2+4x+2，得：g′（x）=3x2﹣6x+4，g″（x）=6x﹣6，令g″（x）=0，解得：x=1，∴函数g（x）的对称中心是（1，4），∴g（2﹣x）+g（x）=8，故设=m，则g（）+g（）+g（）+ +g（）=m，两式相加得：8×19=2m，解得：m=76，76．故答案为：二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）A，B，C，且A，B，C 都17．在△ABC中，设边a，b，c 所对的角为不是直角，（b c﹣8）c osA+accosB=a2﹣b2．（Ⅰ）若b+c=5，求b，c 的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理化简已知等式可得，又△ABC不是直角三角形，解bc=4，又得b+c=5，联立即可解得b，c 的值．（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得5=b2+c2 ﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8﹣8cosA，解得，可求，利用三角形面积公式即可得解三角形面积的最大值．【解答】（本题满分14 分）解：（Ⅰ）∵，∴，∴，∵△ABC不是直角三角形，∴bc=4，又∵b+c=5，∴解得或（Ⅱ）∵，由余弦定理可得5=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8 ﹣8cosA，∴，∴，所以．，当时取到∴△ABC面积的最大值是18．为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80 位性别不同的2016 年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：与教育无 合计与教育有 关 关男 30 10 4035 5 40女 合计 65 15 80（ 1）能否在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为 “师范类毕业生 从事与教育有关的工作与性别有关 ”？参考公式： （n=a +b +c+d ）．附表：P （K 2 ≥k 0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.023 6.635 （ 2）求这 80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；（ 3）以（ 2）中的频率作为概率．该校近几年毕业的 2000 名师范类 大学生中随机选取 4 名，记这 4 名毕业生从事与教育有关的人数为 X ， 求 X 的数学期望 E （ X ）．【考点】 离散型随机变量的期望与方差；独立性检验的应用；离散型 随机变量及其分布列．【分析】（1）利用 k 2 计算公式即可得出．（ 2）由图表知这 80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率． （ 3）由题意知 X 服从 ，即可得出 E （X ）．k 2= 【解答】 解：（1）由题意得 ＜3.841．=故不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”（2）由图表知这80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率．（3）由题意知X 服从，则．19．正三棱柱ABC﹣A1B1C1 底边长为2，E，F 分别为BB1，AB 的中点．（I）已知M 为线段BB1A1=4B1M，求证：EM∥面A1F C；1A1 上的点，且II）若二面角E﹣A1C﹣F 所成角的余弦值为（AA1 的值．，求【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）取B1A1 中点为N，连结BN，推导出BN∥A1F，从而EM ∥BN，进而EM∥A1F，由此能证明EM∥面A1F C．（I I）以F 为坐标原点建立空间直角坐标系，设AA1=a，利用向量法能求出结果．【解答】证明：（I）取B1A1 中点为N，连结BN，则BN∥A1F，又B1A1=4B1M，则EM∥B N，所以EM∥A1F，因为EM?面A1F C，A1F?面A1F C，故EM∥面A1FC．解：（II）如图，以 F 为坐标原点建立空间直角坐标系，设AA=a．1则，，设平面A1CF法向量，为设平面A1CE法向量．为则，取z=1，得，，取x=a，得；设二面角E﹣A1C﹣F的平面角为θ，∵二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，∴，整理，得，∴a= ，a2=故当二面角E﹣A1C﹣F 所成角的余弦值为时，AA1 的值为．C 1： =1（ a ＞b ＞ 0）的离心率 e= ，且过点+ 20．已知椭圆 2 2，直线 l 1： y=kx +m （ m ＞ 0）与圆 C 2：（x ﹣1） +y =1 相切且与椭圆 C 1 交于 A ， B 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 1 的方程；（Ⅱ ）过原点 O 作 l 1 的平行线 l 2 交椭圆于 C ，D 两点，设 | AB | =λ| CD | ， 求 λ的最小值．【考点】 椭圆的简单性质．【分析】（ Ⅰ）由题意列关于 a ，b ，c 的方程组，求解方程组得 a ，b ， c 的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线 l 1 的方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用弦长公式求得AB 的长度，联立直线l2的方程与椭圆方程，求出CD的长度，结合| AB| =λ| CD| 利用换元法求解λ的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a=4，b=2，故；（Ⅱ）联立，化简得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣4）=0，△＞0 恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，得，∴，把l2：y=kx代入，得，∴，∴= = ，，λ取最小当．值21．已知函数发f（x）=（x+1）lnx﹣ax+2．（1）当a=1 时，求在x=1 处的切线方程；（2）若函数f（x）在定义域上具有单调性，求实数 a 的取值范围；，n∈N* ．（3）求证：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f （′1），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论函数递减和函数递增，从而求出a 的范围即可；（3）令a=2，得：lnx＞在（1，+∞）上总成立，令，得x= ＞，化简得：ln（n+1）﹣lnn＞，对x 取值，累加ln即可．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+2，（x＞0），f ′（x）=ln x+ ，f′（1）=1，f（1）=1，所以求在x=1 处的切线方程为：y=x．（2）f ′（x）=ln x++1﹣a，（x＞0）．（i）函数f（x）在定义域上单调递减时，即a≥lnx+时，令g（x）=lnx+，当x＞e a时，g′（x）＞0，不成立；（ii）函数f（x）在定义域上单调递增时，a≤lnx+ ；令g（x）=lnx+ ，则g′（x）= ，x＞0；则函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；所以g（x）≥2，故a≤2．（3）由（ii）得当a=2 时f（x）在（1，+∞）上单调递增，由f（x）＞f（1），x＞1得（x+1）lnx﹣2x+2＞0，即lnx＞在（1，+∞）上总成立，令x= 得ln ＞，化简得：ln（n+1）﹣lnn＞，所以ln2﹣ln1＞，ln3﹣ln2＞，，ln（n+1）﹣lnn＞，累加得ln（n+1）﹣ln1＞，即ln（n+1），n∈N*命题得证．四、选做题22．以平面直角坐标系的原点为极点， 以 x 轴的正半轴为极轴建立极 （α是参数），直线 l 的极坐标系．设曲线 C 的参数方程为 ρc o （s θ+ 坐标方程为 ）=2 ．（ 1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；（ 2）设点 P 为曲线 C 上任意一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值．【考点】 简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式把直线 l 的极坐标方 α，把曲线 程化为直角坐标方程．利用同角三角函数的基本关系消去 C 的参数方程化为直角坐标方程．（ 2 ） 设 点 P （ 2cos α， sin α）， 求 得 点 P 到 直 线 l 的 距 离 ，tan β=，由此求得 d 的最大值．d= ρc o （s θ+ ρ 【解答】 解：（1）∵直线 的极坐标方程为 l ）=2 ，即 cos θ﹣ s in θ）=2 （ ，即 x ﹣ y ﹣ 4 =0．曲线 C 的参数方程为 （ α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去 α，可得 =1．+ （ 2）设点 P （ 2cos α， sin α）为曲线 C 上任意一点，则 点 到 直 线 的 距 离 P l d===，其中，cos β=，s inβ=，即tan β=，故当co s（α+β）=﹣1时，d取得最大值为．23．已知函数f（x）=| x+a|+| x﹣2|（1）当a=﹣3 时，求不等式f（x）≥3 的解集；（2）若f（x）≤| x﹣4| 的解集包含[ 1，2] ，求a 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[ 1，2] 上恒成立，由此求得求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即| x﹣3|+| x﹣2| ≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈?，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{ x| x≤1或x≥4} ．（2）原命题即f（x）≤| x﹣4| 在[ 1，2] 上恒成立，等价于| x+a|+ 2﹣x≤4﹣x在[ 1，2] 上恒成立，等价于| x+a| ≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[ 1，2] 上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a 的取值范围为[ ﹣3，0] ．第31 页（共31 页）精品资料精品学习资料第 31 页，共 31 页。
2019年高考数学(理)模拟试题(三)含答案及解析
2019年高考数学(理)模拟试题(三)含答案及解析2019年高考数学（理）模拟试题（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(1-i)z=2+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限2.设集合M={x|x<36}，N={2,4,6,8}，则M∩N=（）A。
{2,4}B。
{2,4,6}C。
{2,6}D。
{2,4,6,8}3.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A。
1/4B。
1/3C。
1/2D。
2/34.将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A。
42种B。
48种C。
54种D。
60种5.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A。
32π/3B。
64π/3C。
32πD。
64π/26.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，AC=BC，则△ABC的欧拉线方程为（）A。
2x+y-3=0B。
2x-y+3=0C。
x-2y-3=0D。
x-2y+3=07.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A。
2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案
试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式是,其中是锥体的底面积,是锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数满足i，其中i为虚数单位，则的虚部为A．B．C．i D．i 2．若函数是函数的反函数，则的值为A．B．C．D．3．命题“对任意R，都有”的否定是图1俯视图侧视图正视图3342222 A ．存在R ，使得 B ．不存在R ，使得 C ．存在R ，使得D ．对任意R ，都有4. 将函数R 的图象向左平移个单位长度后得到函数，则函数A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字与，另一张的正反面分别写着数字与，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ． B ． C ． D ． 6．设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为 A ． B ． C ．D ．7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体 的体积为A ．B ．C ．D ． 8．将正偶数按表的方式进行排列，记表示第行第列的数，若，则的值为A ．B ．C ．D ．表1第1列 第2列 第3列 第4列 第第1行第2行第3行第4行二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式的解集为 .10．已知的展开式的常数项是第项，则正整数的值为 .11．已知四边形是边长为的正方形，若，则的值为 .12．设满足约束条件若目标函数的最大值为，则的最大值为 .13．已知表示不超过的最大整数，例如.设函数，当N时，函数的值域为集合，则中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线为参数与圆为参数相切，切点在第一象限，则实数的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形中，点在线段上，且，连接，与相交于点，若△的面积为，则△的面积为.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）如图2，在△中，是边的中点，且，.(1) 求的值；a图3重量/克频率组距0.0320.020.018452515O （2）求的值.图 17．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为，，，， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图. （1）求的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值； （注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为.） （3）从盒子中随机抽取个小球，其中重量在内的小球个数为，求的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分） 如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，∥平面， ，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值.图 19．（本小题满分14分） 已知数列的前项和为，且，对任意N ，都有. （1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.20．（本小题满分14分）已知定点和直线，过点且与直线相切的动圆圆心为点，记点的轨迹为曲线.(1) 求曲线的方程;(2) 若点的坐标为, 直线R，且与曲线相交于两点，直线分别交直线于点. 试判断以线段为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数R在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：当N，且时，.2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题12345678号答A B C B C D A C案二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．10．11．12．13．14．15．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（1）解：在△中，，，∴. ……………4分（2）解：由（1）知，，且，∴. ……………6分∵是边的中点，∴.在△中，，………8分解得. ……………10分由正弦定理得，，……………11分∴. (12)分17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得， (1)分解得. ……………2分（2）解：个样本小球重量的平均值为（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，则.……………5分的取值为，……………6分，，，. ……………10分∴的分布列为：……………11分∴. ……………12分MOHFEDCBA（或者）18．（本小题满分14分）（1）证明：取的中点，连接，则， ∵∥平面，平面，平面平面， ∴∥，即∥. ……………1分 ∵ ∴四边形是平行四边形. ……………2分 ∴∥，. 在△中，，又，得. ∴. ……………3分在△中，，，， ∴， ∴. ……………4分 ∴，即. ∵四边形是正方形， ∴. ……………5分 ∵，平面，平面， ∴平面. ……………6分 （2）证法1：连接，与相交于点，则点是的中点， 取的中点，连接，， 则∥，.由（1）知∥，且，∴∥，且.zyx MO HF E DCB A∴四边形是平行四边形. ∴∥，且.……………7分由（1）知平面，又平面， ∴. ……………8分 ∵，平面，平面， ∴平面. ……………9分 ∴平面. ∵平面， ∴. ……………10分 ∵，平面，平面， ∴平面. ……………11分 ∴是直线与平面所成的角. ……………12分 在△中，. (13)分∴直线与平面所成角的正切值为. ……………14分证法2：连接，与相交于点，则点是的中点，取的中点，连接，， 则∥，.由（1）知∥，且，∴∥，且. ∴四边形是平行四边形.∴∥，且. ……………7分由（1）知平面，又平面，∴.∵，平面，平面，∴平面.∴平面. ……………8分以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，.∴，，. ……………9分设平面的法向量为，由，，得，，得.令，则平面的一个法向量为. ……………10分设直线与平面所成角为，则. (11)分∴，. ……………13分∴直线与平面所成角的正切值为. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当时，，，……1分两式相减得，……………3分即，得. ……………5分当时，，即. (6)分∴数列是以为首项，公差为的等差数列.∴. ……………7分解法2：由，得，……………1分整理得，，……………2分两边同除以得，. ……………3分∴数列是以为首项，公差为的等差数列.∴.∴. (4)分当时，. ……………5分又适合上式，……………6分∴数列的通项公式为. ……………7分（2）解法1：∵，∴. ……………9分∴，①，②……………11分①②得.……………13分∴. ……………14分解法2：∵，∴. (9)分∴.由，……………11分两边对取导数得，. ………12分令，得.……………13分∴. ……………14分20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点到点的距离等于它到直线的距离,故点的轨迹是以点为焦点, 为准线的抛物线. ……………1分∴曲线的方程为. ……………2分解法2：设点的坐标为,依题意, 得,即, ……………1分化简得.∴曲线的方程为. ……………2分(2) 解法1: 设点的坐标分别为，依题意得，.由消去得，解得.∴. ……………3分直线的斜率，故直线的方程为. ……………4分令，得，∴点的坐标为. ……………5分同理可得点的坐标为. ……………6分∴. ……………7分∴. ……………8分设线段的中点坐标为，则. ……………9分∴以线段为直径的圆的方程为.……………10分展开得. (11)分令，得，解得或. ……………12分∴以线段为直径的圆恒过两个定点. ……………14分解法2：由（1）得抛物线的方程为.设直线的方程为，点的坐标为，由解得∴点的坐标为. …………3分由消去，得，即，解得或. ……………4分∴，.∴点的坐标为. (5)分同理，设直线的方程为，则点的坐标为，点的坐标为. …………6分∵点在直线上，∴.∴. (7)分又，得，化简得. ……………8分设点是以线段为直径的圆上任意一点，则，……………9分得，……………10分整理得，. ...............11分令，得，解得或. (12)分∴以线段为直径的圆恒过两个定点. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵，∴.∵直线的斜率为，且过点，……………1分∴即解得. ……………3分（2）解法1：由（1）得.当时，恒成立，即，等价于.……………4分令，则. ……………5分令，则.当时，，函数在上单调递增，故.……………6分从而，当时，，即函数在上单调递增，故. ……………7分因此，当时，恒成立，则. ……………8分∴所求的取值范围是. ……………9分解法2：由（1）得.当时，恒成立，即恒成立. (4)分令，则.方程（﹡）的判别式.（ⅰ）当，即时，则时，，得，故函数在上单调递减.由于，则当时，，即，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当，即时，则时，.故函数在上单调递减，则，符合题意. (6)分(ⅲ)当，即时，方程（﹡）的两根为，则时，，时，.故函数在上单调递增，在上单调递减，从而，函数在上的最大值为. (7)分而，由（ⅱ）知，当时，，得，从而.故当时，，符合题意. ……………8分综上所述，的取值范围是. ……………9分（3）证明：由（2）得，当时，，可化为， (10)分又，从而，. ……………11分把分别代入上面不等式，并相加得，……………12分……………13分. ……………14分。
完整版2019年广东省高考数学一模试卷理科
2019年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．x，x∈A}，则A∩B＝（{y|y＝2）﹣1．（5分）已知集合A＝{x|x1＜2}，B＝A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，3）C．（0，8）D．（0，3）﹣i（i为虚数单位）的虚部为（．（5分）复数z＝）2．DAC．．B．22＝1的焦点坐标为（）5分）双曲线9x﹣16y3．（，）C．（±5，0）D．，（±0）B．（0（0，±5）A．4．（5分）记S为等差数列{a}的前n项和，若a+a＝34，S＝38，则a＝（）1n824n A．4B．5 C．6D．72xx）＝1]，时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2．5（5分）已知函数f（﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x＝17，x＝19，x＝20，x＝21，x＝23，则52341输出的S值及其统计意义分别是（）第1页（共26页）45个数据的方差为S＝4，即A．个数据的标准差为4＝4，即5B．S2020，即5个数据的方差为C．S＝，即5个数据的标准差为20D．S＝20﹣）3＝，则（﹣，8．（5分）已知AB，C三点不共线，且点O满足1612+3B﹣．12A3．＝12＝D．+312C．﹣＝﹣3＝﹣12n）*），则Sa+a＝2＝（（n∈N2n（9．5分）设数列{a}的前项和为S，且a＝，13nnnn1+1．．AD．B．C分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”（510．与另一段是全长ABCB，使得其中较长的一段AC分为两线段问题：将一线段ABAC，把点后人把这个数称为黄金分割数，≈的比例中项，0.618即满足．＝＝CB的两个黄金分割点，在BC，Q为线段称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点PC），则点M落在△APQ内的概率为（△ABC内任取一点M．．B﹣．2CDA．）0（mm＞＝是直线，，，点0ω）ωsin xf5．11（分）已知函数（）＝（x++（＞）PQRy262第页（共页））（＝，则ω+m＝与函数（fx）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|D．．3B．2AC．x的解集中恰有两个正整数，）＜0，若﹣3xf（12．5分）已知函数若f（x）＝（kx（+）ex）则k的取值范围为（[）B．A．（，，]）D．C．，（[，]小题，每小题45分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．二、填空题：本大题共426）13．（5分）（2x+y的展开式中，x y．的系数为14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．．若点D，15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝E分别在棱PB，PC上运动（都不含端点），则AD+DE+EA的最小值为．2＝2py（p＞0）的焦点，曲线C是以FF16．（5分）已知为抛物线C：x为圆心，为半1径的圆，直线2x﹣6y+3p＝0与曲线C，C从左至右依次相交于P，Q，R，S，则1＝题为必考题，证明过程或演算步骤．70分．解答应写出文字说明、第17~21共三、解答题：60必考题：共(一)每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．分．．aAc sin＝cos，的对边分别为，分）△17．（12ABC的内角AB，Ca，bc，已知cA+b+；）求C1（．＝10，，3BDD2（）若在边BC上，且＝DC cos B＝S，求AD ABC△18．（12分）已知五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，AB∥CD，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC＝2，且二面角F﹣AB﹣C的大小为30°．；ADE⊥平面AB）证明：1（页（共第326页）（2）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．：＝1（a＞b），（12分）已知点（1，＞（）都在椭圆C0）上．19．的方程；1）求椭圆C（轴y（异于顶点））的直线（2）过点M（0，1l与椭圆C交于不同两点P，Q，记椭圆与A的两个交点分别为A，，若直线AP与A4上．＝S，证明：点S恒在直线yQ交于点2112“驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人12分）随着小汽车的普及，20．（报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目次考试机5二为场地考试．在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这次都没有通过，则会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则以后每次参加22次参加科目二考试免费，若前，其中前需重新报名）次参加科目二考试的个学员第1科目二考试都需交200元的补考费，某驾校对以往2000通过情况进行了统计，得到如表：考试情况女学员男学员800第1次考科目二人数1200600960第1次通过科目二人数200次未通过科目二人数240第1若以如表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元，求X的分布列与数学期望．x（a∈R）））＝（xx﹣ae．（分）已知函数（21．12f（1）讨论f（x）的单调性；第4页（共26页））在（，x1）上的最大值为，记函数y＝F（x2时，F（x）＝f（x）﹣+lnx（2）当a＝m，证明：﹣4＜m＜﹣3．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)的参数方程为，（中，曲线xOyCθ为参数）22．（10分）在平面直角坐标系1已知点Q（4，0），点P是曲线?上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，l x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C的极坐标方程；23，求kB＝两点，若的值．交于）已知直线（2l：y＝kx与曲线CA，2]选修[4-5：不等式选讲）．（a＞0xx（23．已知函数fx）＝|+a|+2|﹣1|（x）的最小值；）求（1famn），的解集为（＜）﹣（）若不等式（2fx50mn，且﹣＝，求的值．第5页（共26页）2019年广东省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．x，x∈A}，则A∩y＝2B＝（）y51．（分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}，B＝{|A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，3）C．（0，8）D．（0，3）【考点】1E：交集及其运算．【分析】分别求出集合A，B，由此能求出集合A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣1＜2}＝{x|x＜3}，x，x∈A}＝[y|0＜y＜B＝{y|y＝28}，∴A∩B＝{x|0＜x＜3}＝（0，3）．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．＝﹣i（i为虚数单位）的虚部为（）2．（5分）复数z．DC．A．B．【考点】A5：复数的运算．【分析】化简复数z为a+bi的形式，即可写出z的虚部．﹣i＝﹣i，＝﹣i解：复数【解答】z＝﹣i﹣＝的虚部为﹣．则z故选：A．【点评】本题考查了复数的运算与化简问题，是基础题．22＝1的焦点坐标为（）x．（5分）双曲线9﹣16y3，）C．（±5，0）D．（0，±5）0．0．A（±，）B（【考点】KC：双曲线的性质．【分析】直接利用双曲线的方程求解a，b，c得到焦点坐标即可．第6页（共26页）22的标准方程为：，＝x1﹣16y【解答】解：双曲线9＝，＝b＝，可得ac＝，，0所以双曲线的焦点坐标为（±）．．故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）记S为等差数列{a}的前n项和，若a+a＝34，S＝38，则a＝（）1n284n A．4B．5 C．6D．7【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a}的公差为d，∵a+a＝34，S＝38，4n82∴2a+8d＝34，4a+6d＝38，11联立解得：a＝5，d＝3，1故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2x）＝f（x[﹣2，1]时，55．（分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】根据条件可得出f（﹣1）＝﹣1，根据f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，即可由f （x）＜﹣1得出f（x）＜f（﹣1），从而得到x＞﹣1，即得出原不等式的解集．2﹣2x﹣x4；）＝﹣x∈[2，1]时，f（x解：∵【解答】∴f（﹣1）＝﹣1；∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜﹣1得，f（x）＜f（﹣1）；∴x＞﹣1；∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1，+∞）．故选：D．第7页（共26页）【点评】考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：＝3π，A．故选：【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x＝17，x＝19，x＝20，x＝21，x＝23，则52341输出的S值及其统计意义分别是（）第8页（共26页）个数据的方差为4＝4，即5A．S44，即5个数据的标准差为B．S＝，即5个数据的方差为20C．S＝205个数据的标准差为20S D．＝20，即【考点】EF：程序框图．个数5＝23这，20x＝21，xS【分析】根据程序框图，输出的是x＝17，x＝19，x＝52431个数的均值，然后代入方差公式计算即可．据的方差，先求这55这＝23x＝21，x＝x＝17，x＝19，x20，【解答】解：根据程序框图，输出的S是51243个数据的方差，，）＝20＝（17+19+20+21+23∵2222）﹣20+（+（21﹣20）﹣20）19+（﹣20）﹣+（2020）23S∴由方差的公式（＝[172．]＝4．故选：A本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出【点评】这是一个求数据方差的问题，属于基础题．）12O满足316＝，则（﹣﹣CA．8（5分）已知，B，三点不共线，且点．3+3＝A．12＝12B﹣D．12＝﹣﹣+33＝﹣12C．9H：平面向量的基本定理．【考点】本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那【分析】项即为答案．269第页（共页）【解答】解：由题意，可知：＝，A＝：对于整理上式，可得：16﹣，12﹣＝3这与题干中条件相符合，故选：A．【点评】本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题．n（n∈N*），则S＝（）a}{a的前n项和为S，且a＝2，a+＝29．（5分）设数列13nnnn1+1．D．B．AC．【考点】8H：数列递推式．【分析】利用数列的递推关系式，逐步求出数列的相邻两项，然后求解数列的和即可．【解答】解：由题意，∵a＝2，12，a＝2＝2时，a+n324，＝24时，a+an＝546，＝2时，a+a ＝n6768，2a+a＝时，n＝89810，2a+a＝n＝10时，111012，a+＝2n＝12时，a131212681024＝．+2＝S2+22++2＝+2+2+213．故选：D本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．【点评】分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”10．（5与另一段AC是全长AB分为两线段问题：将一线段ABAC，CB，使得其中较长的一段把点后人把这个数称为黄金分割数，＝＝≈0.618CB的比例中项，即满足．C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）第10页（共26页）．．BD．﹣2AC．CF：几何概型．【考点】，＝，再结合几何概型中的面积型可得：BQ理解【分析】先阅读题意，“黄金分割”＝（：BC，S：S＝PQCP，所以＝PQ＝BQ+CP﹣BC）＝（a ABCAPQ△△﹣2，﹣2）a：a＝内的概率为落在△APQABC＝，得解．内任取一点M，则点M则在△，＝a解：设【解答】BC 的两个黄金分割点，为线段BC由点P，Q，BQ＝＝，CP所以＝（BCBQ+CP﹣所以）a，PQ＝＝（BC＝：﹣2）aaPQ＝﹣2，：S：S ABCAPQ△△由几何概型中的面积型可得：内的概率为，M，则点M落在△APQ＝在△ABC内任取一点．故选：B本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题．【点评】）0m＞m，R是直线y＝（Px）＝f（x sin（ω＞+）+（ω0），点，Q分）已知函数（11．5＝|＝QR||2|的图象自左至右的某三个相邻交点，x（（mω，则+＝）与函数f）且PQ2611第页（共页）．D C．A．B．32【考点】H2：正弦函数的图象．＝，得到周期T，然后计算ω，利用P，PQ|＝|QR|Q的对称性，求出【分析】根据|P点的横坐标，代入求解即可．＝，＝|QR|【解答】解：∵2|PQ|QR|，|PQ|＝＝，|∴＝|PQ+|QR则T+＝||＝π，即＝π，即ω＝2，+x sin（2即f（x）＝）+，＝，PQ|∵|，＝∴x﹣x12＝+π，2x++2x21+2xm＝sin（＝＝1．得x）+＝0sin，此时+＝11即ω+m＝1+2＝3，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数图象和性质的应用，根据条件求出函数的周期以及利用对称性求出P的坐标是解决本题的关键．x﹣3x，若f（x）＜0）＝（．（5分）已知函数若f（xkx的解集中恰有两个正整数，+）e12则k的取值范围为（），）[A．B（，]．）]，D．[C．（，【考点】52：函数零点的判定定理．）＝，求函数的导数，x）＜，构造函数h（kx0xf【分析】根据由（）＜得（+研究函数的图象，利用数形结合进行求解即可．第12页（共26页）x﹣3x＜e0，得f（x）＝（kx+）【解答】解：由f（x）＜0x＜3x）e，即（kx+）＜的解集中恰有两个正整数，即（kx+＝，′（x h（x）＝）＝，则h设由h′（x）＞0得3﹣3x＞0得x＜1，由h′（x）＜0得3﹣3x＜0得x＞1，）＝，（1时函数h（x）取得极大值h即当x＝1+，）＝kx设函数g（x作出函数h（x）的图象如图，）＜的解集中有很多整数解，不满足条件．+0，（kx由图象知当k≤的解集中有两个整数解，kx）＜+则当k＞0时，要使，（，＝2＝则这两个整数解为x1和xB（3，，）h（2（）＝，h3））＝，∴A（2，∵，）时，对应的斜率满足2（x）过A（当直线（）B3g，＝，＝＝，得k，3k+，＝2k+k BABA）＜的解集中有两个整数解，+要使，（kx≤，k＜≤k则＜kk，即AB的取值范围是（k，]，即实数故选：A．第13页（共26页）本题主要考查函数与方程的应用，利用不等式转化为两个函数的关系，构造函【点评】数，利用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键．分．把答案填在答题卡中的横线上．5分，共204二、填空题：本大题共小题，每小题462y+）．的展开式中，x60y的系数为．13（5分）（2x：二项式定理．【考点】DA42y【分析】根据二项展开式的通项公式，求出含x的项，可得结论．4226244?60＝x，2+（2xy）（的展开式中，故含xxy的项为）y?y解：【解答】60．故答案为：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，【点评】属于基础题．．+y，（14．5分）设xy满足约束条件的最大值为7，则z＝2x【考点】7C：简单线性规划．z的最大值．【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出满足约束条件表示的平面区域，x，y【解答】解：画出如图所示，，1，解得点A（3，）由时，A＝0过点zx结合图形知，直线2+y﹣．3+1×＝72yx＝z2+取得最大值为2614第页（共页）故答案为：7．【点评】本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题．．若点D＝AC，＝，中，APAB，AC两两垂直，且AP＝AB（15．5分）在三棱锥P﹣ABC的最小值为AD+DE+EA．PCE分别在棱PB，上运动（都不含端点），则：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【考点】LH【分析】由题意画出图形，可得PB＝PC＝BC＝2，∠APB ＝∠APC＝45°，沿PA剪开，向两侧展开到平面PBC上，连接A′A″，再由余弦定理求解得答案．【解答】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，＝45°，APB＝BC＝2，∠＝∠APCPB得＝PC A″，剪开，向两侧展开到平面PBC上，连接A′P沿A＝′A″＝的最小值为+则ADDE+EAA．故答案为：．【点评】本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．第15页（共26页）2为半为圆心，（p＞0）的焦点，曲线C是以F16．（5分）已知F为抛物线C：xpy＝21则S，从左至右依次相交于P，Q，R径的圆，直线2，与曲线x﹣6y+3p＝0C，C1＝【考点】K8：抛物线的性质．【分析】联立直线与抛物线方程求得点P，S的坐标，利用焦半径公式即可求解．2＝2py（xp＞0）的焦轴交点是抛物线﹣6【解答】解：可得直线2y+3p＝0与yC：x F，点22＝＝，x．?由得，xx﹣﹣pxp0＝，?SP+＝p，|PQ|＝|PF|﹣＝yRS||+＝|SF|﹣＝﹣y＝p．PS．＝∴则故答案为：..【点评】本题考查了抛物线与直线的位置关系，焦半径公式，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos A+c sin A＝b+a．C；（1）求＝10，B，3BDBCD2（）若在边上，且＝DC cos＝S．，求AD ABC△第16页（共26页）：正弦定理．【考点】HP）＝（C﹣【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin，进而可），可求C，π），可得C∈﹣＝（﹣﹣，，结合范围C∈（0得C的值．，＝的值，利用三角形的面积公式可求a（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin B24ACD，在△＝5＝8，ba﹣19208＝0，解得c＝，又由余弦定理可得3c7+245cb＝，的值．中，由余弦定理可得AD分）（本题满分为12【解答】a，+sin A＝1）∵c cos Ab+c解：（+A∴由正弦定理可得：sin C cos A＝sin B+sin A，sin C sinA，sin C+sin＝sin A cos C+cos A sin+sin CA＝sin（A+C）+sin AC∴sincos A∴，C+sin A cos C sin A＝sin A sin，A≠0∵sin，cos C+1∴sin C＝﹣C∴解得：）＝，sin（﹣，可得：C0，π）∵C∈∈，（﹣），（＝﹣C＝．∴C，可得：＝，可得：sin＝，B（2）∵cos B＝＝可得：a4056，ab＝，ac＝sin B，＝ab＝∴由S sin10C可得：ac＝b，＝，ABC△2222240+ba，+bab﹣＝a﹣又∵由余弦定理可得：c＝224220，c﹣19208）＝（＝+（）40﹣，整理可得：3c+245c∴2，b，＝58a7c49解得：c＝，可得：＝，＝2617第页（共页）＝＝＝∴在△ACD中，由余弦定理可得：AD．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，计算量较大，属于中档题．18．（12分）已知五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，AB∥CD，CD＝2DE＝2AD＝2，且二面角F﹣AB﹣AC＝C的大小为30°．，2AB＝4（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【分析】（1）推导出DE⊥AD，AD⊥CD，从而CD⊥平面ADE，由此利用AB∥CD能证明AB⊥平面ADE．（2）由AB⊥平面ADE，得∠DAE是二面角F﹣AB﹣C的平面角，即∠DAE＝30°．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用量法能求出二面角E﹣BC﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）∵五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB2，AC＝＝4，222，∴AD⊥CD＝AC，，∴DE⊥ADAD+CD∵AD∩DE＝D，∴CD⊥平面ADE，∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．解：（2）由（1）得AB⊥平面ADE，∴∠DAE是二面角F﹣AB﹣C的平面角，即∠DAE＝30°．∵DA＝DE＝2，∴∠ADE＝120°，第18页（共26页）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，，），，4）4，0，F（﹣1B，），（2，2，0），C（0（﹣E1，0，，）2，02），），＝（﹣3，2，，＝（﹣，＝（﹣3，﹣2的法向量＝（x，yBCF，z），设平面，得＝（1，1，0），则，取x＝1的法向量＝（x，y，z），设平面BCE，），＝（1，则，取x＝11，得设二面角E﹣BC﹣F的平面角为θ，＝，＝θ则cos＝的余弦值为．BC﹣F∴二面角E﹣【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．：＝1（a＞b，＞C，）（）都在椭圆0）上．1219．（分）已知点（1（1）求椭圆的方程；C轴y，记椭圆与PCl0（，1）的直线与椭圆交于不同两点，Q（异于顶点）M2（）过点QAPA，若直线，A的两个交点分别为A与交于点4ySS，证明：点恒在直线＝上．2121：直线与椭圆的综合．KL【考点】第19页（共26页）22＝2得椭圆方程，4，1b）由题意可得，解得a＝【分析】（（2）先设出直线l的方程，再分别求出直线AP的方程，直线AQ的方程，联立，消x21＝，根据韦达定理化简整理可得直线y＝4整理可得y22＝2b，，解得a＝4，【解答】解：（1）由题意可得+＝1．故椭圆C的方程为证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y＝kx+1，（k≠0），P（x，y），Q（x，y），211222+2kx﹣3＝0可得（k，+2）x y由，消＝﹣，xx∴x+x，＝﹣2211∵A（0，2），A（0，﹣2），21﹣）x+2，x+2x＝?+2＝（yA∴直线P的方程为k＝1+）﹣2，2＝（k yA则直线Q的方程为﹣＝x2＝，可得，消由x＝y得＝＝可整理第20页（共26页）4，＝+4+4＝上y＝4Q交于点S，则点S恒在直线P直线A与A21本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程的求法，考查【点评】了运算求解能力，属于中档题“驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人分）随着小汽车的普及，（1220．报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目次考试机55次参加科目二考试的机会（这二为场地考试．在一次报名中，每个学员有次都没有通过，则会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则以后每次参加次参加科目二考试免费，若前2需重新报名），其中前2次参加科目二考试的个学员第1元的补考费，某驾校对以往2000科目二考试都需交200通过情况进行了统计，得到如表：女学员男学员考试情况1200800次考科目二人数第1第1600960次通过科目二人数200240次未通过科目二人数第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每若以如表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．2621第页（共页）（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元，求X的分布列与数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】根据题意，设A表示男学员在第i次参加科目2考试中通过，B表示女学员在ii第i 次参加科目2考试中通过，（1）设事件M是这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费，分析可得PB）A+AB（）＝P AB+A，由互斥事件和相互独立事件的概率公+B（M21211212式计算可得答案；，依次求出对应的概率，即1200可取的值为（2）根据题意，X400、600、800、1000、的分布列，由期望公式计算可得答案．可得X表示女学解：根据题意，设【解答】A表示男学员在第i次参加科目2考试中通过，B ii员在第i次参加科目2考试中通过，＝1P＝，（A）＝1﹣则P（A﹣）＝＝，P（B）＝）＝＝，P（A2112，是这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费，）根据题意，设事件M（1+M则P（）＝P×＝+×+×××+BB+AB（A+AAB）22111212＝××；×（2）根据题意，X可取的值为400、600、800、1000、1200，＝，）＝×（PX＝400＝，×××+600P（X＝×）＝＝800）＝××××+×+××X P（＝＝×××+×＝P（X1000×）＝×＝××1200P（X＝；）＝×则X的分布列为12001000800400X600 第22页（共26页）P×××+600×故EX＝400+1000+1200＝×510.5（元）+800【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．x（a∈R）ax﹣）e．21．（12分）已知函数f（x）＝（（1）讨论f（x）的单调性；）在（，x1）上的最大值为，记函数y＝F（x时，F（x）＝f（）﹣x+lnx（2）当a＝2m，证明：﹣4＜m＜﹣3．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．x，x∈R）]e．即可出单调性．f′（x）＝[x﹣（a﹣1（【分析】1）x（，1）．F′（x﹣x+lnx，x∈）x2时，F（）＝f（x）﹣x+lnx＝（x﹣2）e2（）当a＝x），进而得出极大值点．＝（x﹣1）e﹣﹣11+＝（x x，x∈R．1x﹣（a﹣）]e【解答】（1）解：f′（x）＝[可得函数f（x）在（﹣∞，a﹣1）内单调递减，在（a﹣1，+∞）内单调递增．x（，1）．lnx，x∈2+lnx＝（x﹣）e﹣x+x2（2）证明：当a＝时，F（x）＝f（）﹣xx），11+＝（x′（x）＝（x﹣1）e﹣﹣F（，1∈），＝，即x＝﹣lnxx令F′（）＝0，，解得：x000x（，1∈）＝e）上单调递增，﹣在x令g（x）＝﹣2＜0，g（1）＝ge（﹣1＞0．（，1）x∈，∴0可知：x＝x，函数g（x）取得极大值即最大值，0．）3，﹣x21＝2﹣x﹣（4（﹣∈）+﹣x）＝（（Fx2）00003．＜﹣m＜∴﹣4本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数零点及其应用，考查【点评】23第26页（共页）了推理能力与计算能力，属于难题．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)的参数方程为，（θ为参数）10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C22．（1已知点Q（4，0），点P是曲线?上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，l x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C的极坐标方程；23，求k的值．两点，若＝y＝kx与曲线C交于A，B（2）已知直线l：2【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．22＝4；设出+yM1）消去θ得曲线C的普通方程为：x的坐标后利用中点公式（【分析】1得到P 的坐标后代入C德轨迹C的直角坐标方程，再化成极坐标方程；21（2）如图：取AB的中点M，连CM，CA，在两个直角三角形中，根据勾股定理解得CM，OM后可得斜率．22＝4，+yθ得曲线C的普通方程为：x【解答】解：（1）消去122＝4，即（xy）﹣2）上，所以（2x﹣4）+（24，设M（xy）则P（2x﹣，2y）在曲线C12222﹣4x+3＝0，+y＝1，即x+y2﹣4ρcosθ+3＝C轨迹的极坐标方程为：ρ0．2（2）当k＞0时，如图：取AB的中点M，连CM，CA，2222，①AB）＝在直角三角形CMA中，CM1＝CA﹣﹣（AB22222，②AB﹣＝4﹣（AB）＝中，在直角三角形CMOCMOC＝4﹣OM，，CM＝由①②得AB＝，∴OM＝＝．＝＝k＝﹣．k＜当k0时，同理可得k＝±．综上得第24页（共26页）【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．：不等式选讲][选修4-5．＞0）﹣a|+2|x1|（a23．已知函数f（x）＝|x+）的最小值；f（x（1）求的值．，求n﹣ma＝，且（x）﹣5＜0的解集为（m，n）（2）若不等式f：绝对值不等式的解法．【考点】R5）去绝对值变成分段函数可求得最小；（1【分析】）结合分段函数的图象，按照两种情况讨论可得．（2+1．）的最小值为a∴x＝1时，f（x解：【解答】（1）f（x）＝，2）如图所示：（﹣，，∴﹣）3x时，f（）﹣5＜0的解集为（a﹣﹣42+1当a＜5＜a+2即＜a＜3符合，＝，∴a+3a＝﹣＝＝1﹣+，﹣）+1，∴﹣xfa05+22当a≤即＜≤时，（）的解集为（﹣≠．．a综上可得＝32625第页（共页）本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．【点评】2626第页（共页）。
2019年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)-解析版
2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x＜0}，B={x|2x＞1}，则（）A. B. C. D.2.已知a为实数，若复数（a+i）（1-2i）为纯虚数，则a=（）A. B. C. D. 23.已知双曲线：的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，则C的离心率为（）A. B. C. D. 34.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A. B. C. D.5.若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则=（）A. B. 2 C. D. 36.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，S2m-1=11，则m=（）A. 11B. 10C. 6D. 57.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h=f（t）的图象大致是（）A.B.C.D.8.（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A. 5B. 10C. 15D. 209.已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在，上单调递减，则ω的最大值是（）A. B. C. D. 210.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.11.已知以F为焦点的抛物线C：y2=4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A. 2B.C.D. 412.已知函数，＞，，的图象上存在关于直线x=1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3=6，S6=54，则a1=______．14.若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a=______．15.已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0-2y0=2，则m的取值范围是______．16.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC=60°，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，点H在线段OB1上，OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M-C1O1H的体积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B=（3a-b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b-a=2，求△ABC的面积．18.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD=，且二面角A-BD-C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．19.某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．20.已知椭圆：＞＞的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2=1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B两点．求△ABF 的面积的最大值．21.已知函数f（x）=e2x-ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：＜．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．23.已知函数f（x）=|x+a|-|2x-1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，集合B={x|2x＞1}={x|x＞0}，A、A∩B={x|0＜x＜2}，故本选项错误；B、A B={x|x＞0}，故本选项错误；C、A B，故本选项错误；D、A B，故本选项正确；故选：D．首先化简集合，再求交集，并集即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】A【解析】解：（a+i）（1-2i）=a+2+（1-2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2=0且1-2a≠0，得a=-2且a≠，即a=-2，故选：A．根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心（2，-4），双曲线的一条渐近线为：y=bx，双曲线的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，可得2b=4，所以b=2，a=1，则c=，则C的离心率为：．故选：C．求出圆心坐标，代入渐近线方程没去成b，然后求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：由几何概型中的面积型可得：=，所以=，即π=，故选：C．由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：=，所以=，即π=，得解本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题5.【答案】D【解析】解：由题意，可根据平行四边形法则画出如下图形：由图可知：=，∴===1•2•+1•2•1=3．故选：D．本题可根据平行四边形法则画出图形找到M点的位置，然后根据两个向量的数量积的性质进行计算．本题主要考查两个向量的数量积的计算，属基础题．6.【答案】C【解析】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，则：，解得：a m=1．S2m-1===11，解得：m=6故选：C．直接利用等差数列的性质的应用和等差数列的前n项和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的性质的应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】B【解析】解：函数h=f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则（2-1）（1+a）5=32，∴a=1，该展开式中x4的系数是2••a-1••a4=10a-5a4=5，故选：A．令x=1，可得展开式的各项系数和，再根据展开式的各项系数和为32，求得a的值，再利用通项公式可得该展开式中x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ=．所以：f（x）=cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k=0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．直接利用函数的奇偶性和单调性，建立不等式组，进一步求出最大值．本题考查的知识要点：函数的奇偶性和单调性的应用，不等式组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2=7π．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=λ|BF|，∴x1+1=λ（x2+1），∴x1=λx2+λ-1∵|y1|=λ|y2|，∴x1=λ2x2，当λ=1时，弦AB的中点到C的准线的距离2．当λ≠1时，x1=λ，x2=，|AB|=（x1+1）+（x2+1）=．∵，∴（λ++2）max=．则弦AB的中点到C的准线的距离d=，d最大值是．∵，∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是．故选：B．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义得到中点到准线的距离，属于中档题．．12.【答案】A【解析】解：当x＞1时，f（x）==x+，设f（x）在（1，+∞）上的图象关于x=1的对称图象为g（x），则g（x）=f（2-x）=2-x+（x＜1），由题意可知f（x）与g（x）在（-∞，1）上有公共点．∵g′（x）=-1+＜0，∴g（x）在（-∞，1）上单调递减，又f（x）=ln（x+a）在（-∞，1）上单调递增，∴g（1）＜f（1），即2＜ln（1+a），解得a＞e2-1．故选：A．求出f（x）关于直线x=1对称的函数g（x），则g（x）与f（x）在（-∞，1）上有公共解，根据两函数的单调性列出不等式即可得出a的范围．本题考查了函数零点与单调性的关系，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵S3==6，S6==54，∴=1+q3=9，解得q3=8，则q=2，∴=6，解得a1=故答案为：先利用等比数列的求和公式分别表示出S3及S6，代入已知的等式，两者相除并利用平方差公式化简后，得到关于q的方程，求出方程的解得到q的值即可求出首项此题考查了等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14.【答案】2【解析】解：函数的导数为：f′（x）=a+，f′（1）=a+3，而f（1）=a-3，切线方程为：y-a+3=（a+3）（x-1），因为切线方程经过（2，4），所以4-a+3=（a+3）（2-1），解得a=2．故答案为：2．求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．15.【答案】（ ，]【解析】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（-m，-2），直线x-2y=2的斜率为，斜截式方程为y=x-1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则点C（-m，-2）必在直线x-2y=2的下方，即-2≤-m-1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（-m，1-2m），可得1-2m≥-1，解得m，故m的取值范围是：（-∞，]．故答案为：（-∞，]．作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则平面区域内必存在一个C点在直线x-2y=2的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．16.【答案】【解析】解：因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC=60°，边长为1，∴O1C1⊥平面BB1D1D，且O1C1=，O1B1=，∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1=，∵OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，∴当M在B处时△O1MH的面积取得最小值．连接O1B，则O1B=OB1==，∴B1到O1B的距离d===，∵OH=3HB1，∴H到直线O1B的距离为d=．∴S ===，∴V =S•O1C1==．故答案为：．当M与B重合时△O1HM的面积最小，故三棱锥M-C1O1H的体积最小，求出△O1BH的面积，代入棱锥的体积公式计算即可．考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos B=（3a-b）cos C，∴由正弦定理可知，sin C cos B=3sin A cos C-sin B cos C，…1分即sin C cos B+cos C sin B=3sin A cos C，∴sin（C+B）=3sin A cos C，…2分∵A+B+C=π，∴sin A=3sin A cos C，…3分∵sin A≠0，∴cos C=，…4分∵0＜C＜π，∴sin C==；…6分（2）∵，cos C=，∴由余弦定理：c2=a2+b2-2ab cos C，可得：24=a2+b2-ab，…8分∴（a-b）2+ab=24，…9分∵b-a=2，∴解得：ab=15，…10分∴S△ABC=ab sin C==5…12分【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出cosC的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值；（2）利用余弦定理及已知可求ab的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．此题考查正弦、余弦定理的综合应用，涉及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．18.【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，∴Rt△ABD=Rt△BCD，∴AD=CD，∵点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，∵PD∩PB=P，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDP．解：（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，∵Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由已知二面角A-BD-C为120°，∴∠AEC=120°，在等腰△AEC中，由余弦定理得AC=，∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∴AB=，在Rt△ABD中，，∴BD=，∵BD=，∴AD=，∵BD2=AB2+AD2，∴AB=2，∴AE=，，由上述可知BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO是直线AD与平面BCD所成角，在Rt△AEO中，∠AEO=60°，∴AO=，AE=1，sin，∴直线AD与平面BCD所成角的正弦值为．【解析】（1）推导出AD=CD，PD⊥AC，PB⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面ACD⊥平面BDP．（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，则AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由二面角A-BD-C为120°，得∠AEC=120°，由余弦定理得AC=，推导出BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO 是直线AD与平面BCD所成角，由此能求出直线AD与平面BCD所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】角：（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），则P（η=2）=，∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，P（X=400）=0.4×0.4=0.16，P（X=450）=2×0.4a=0.8a，P（X=500）=2×0.4b+a2=0.8b+a2，P（X=550）=2ab，P（X=600）=b2，（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得a+b=0.6，∴b=0.6-a，∵P（X≤500）≥0.8，∴0.16+0.48+a2≥0.8，解得a≥0.4或a≤-0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，∵b＞0，∴0.6-a＞0，解得a＜0.6，∴a∈[0.4，0.6），E（X）=400×0.16+450×0.8a+500（0.8b+a2）+1100ab+600b2=520-100a，当a=0.4时，E（X）的最大值为480，∴X的数学期望E（X）的最大值为480．【解析】（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），由此能求出购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得b=0.6-a，由P（X≤500）≥0.8，得a≥0.4，由b＞0，得a＜0.6，由此能求出X的数学期望E（X）的最大值．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）由椭圆：＞＞可知焦点在x轴上，∵圆O：x2+y2=1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0），与y轴的两个交点的坐标分别为（0，1），（0，-1），根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，故椭圆方程为+y2=1（2）设过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，则=1，即m2=t2+1设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，则△=（2tm）2-4（t2+2）（m2-2）=8＞0，∴y1+y2=-，y1y2=，∴|y1-y2|===，∴△ABF的面积S=|PF|•|y1-y2|=，令f（m）=，m≥1∴f′（m）=，当m≥1时，f′（m）≤0，∴f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴f（m）≤f（1）=，故△ABF的面积的最大值为【解析】（1）根据根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，即可求出椭圆方程，（2）过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，可得m2=t2+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，根据韦达定理和三角形面积即可表示出S=，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出面积的最大值本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切的性质、韦达定理、三角形面积计算公式、导数和函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）函数的导数f′（x）=2e2x-2ax，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0恒成立，即2e2x-2ax≥0，得a≤在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，当0＜x＜时，h′（x）＜0，此时函数为减函数，由x＞时，h′（x）＞0，此时函数为增函数，即当x=时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，h（）=2e，则a≤2e，即实数a的取值范围是（-∞，2e]．（2）由（1）知，当a≤2e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不存在极大值，当a＞2e时，＜ln，ln a＞ln，又f′（0）=2＞0，f′（）=2e-a＜0，f′（ln a）=2e2ln a-2a lna=2a（a-ln a）＞0，（易证明a-ln a＞0），故存在x1∈（0，），使得f′（x1）==0，存在x2∈（，ln a），使得f′（x2）=0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，即当x=x1时，f（x）取得极大值，即M=，由0＜x1＜时，得1-x1＞0，x1≠1-x1，由2-2ax1=0，得=ax1，故M==ax1-ax12=ax1（1-x1）＜a•（）2=，即＜成立．【解析】（1）求函数的导数，利用函数的单调性转化为f′（x）≥0恒成立进行求解．（2）求函数的导数，结合函数极大值的定义，讨论a范围，进行证明即可．本题主要考查导数的应用，结合函数单调性，极值和导数的关系转化为导数问题是解决本题的关键．考查学生的运算和推导能力，综合性较强，难度较大．22.【答案】解：（1）曲线C1的普通方程为y=1-x2（-1≤x≤1），把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρ（cosθ-a sinθ）=，得直线C2的直角坐标方程为y-ax=，即ax-y+=0，（2）由直线C2：ax-y+=0，知C2恒过点M（0，），由y=1-x2（-1≤x≤1），当时，得x =±1，所以曲线C1过点P（-1，0），Q（1，0），则直线MP的斜率为k1==，直线MQ的斜率k2==-，因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即-，所以a的取值范围为[-，]．【解析】（1）利用平方关系消去参数t可得C1的普通方程，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的直角坐标方程；（2）根据直线的斜率可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x+1|-|2x-1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x-1|，可得（x+1+2x-1）（x+1-2x+1）＞0，即3x（x-2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）=|x+a|-|2x-1|=|x+a|-|x-|-|x-|≤|x+a-x+|-0=|a+|，可得f（x）的最大值为|a+|=a+，（a＞0），则a+＜1，解得0＜a＜．【解析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1＞f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。
2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)
2019年高考数学(理科)模拟试卷(一) 2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|y=lg(3-2x)}，B={x|x²≤4}，则A∪B=（）A。
{x|-2≤x<2}B。
{x|x<2}C。
{x|-2<x<2}D。
{x|x≤2}2.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A。
(-∞,1)B。
(-∞,-1)C。
(1,+∞)D。
(-1,+∞)3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A。
6斤B。
9斤C。
9.5斤D。
12斤4.某三棱锥的三视图如图M1-1，则该三棱锥的体积为（）A。
60B。
30C。
20D。
105.设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数。
若存在实数t，使得[t]=1，[t²]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A。
3B。
4C。
5D。
66.执行两次如图M1-2所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（）A。
0,0B。
1,1C。
0,1D。
1,07.某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A。
10B。
11C。
12D。
138.若x，y满足约束条件x+y-3≥0，x-2y≤0，则x≥（）A。
[0,6]B。
[0,4]C。
[6,+∞)D。
[4,+∞)13.首先求出向量a和b的夹角，由向量点乘公式可得cosθ = (a·b)/(|a||b|) = 9/√20，其中θ为夹角。
2019年广东省高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513-（2）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ） A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= （5）设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） AB ．2C．D ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件（10）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ） A ．4B．C．D ．8（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作AB1B1A1D1C CD答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答） （14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ． （16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分） 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． （18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．（19）（本小题满分12分） 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．DBCAS（20）（本小题满分12分） 设函数()e e xxf x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．（22）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D （11）C （12）A二、填空题： （13）36（14）3()xx ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭．3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭OD BCAS所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的32()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥， 故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =AO =1SO =，SD =．SAB △的面积211122S ABSA ⎛=-= ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =，解得h =设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin11h SD α===．所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -，0)A ，，(0B ，(0C -，，(001)S ，，，(21)SA =-，，，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，0E ⎫⎪⎪⎝⎭，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，．1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =．22cos 11OG DS OG DSα==，sin 11β=，所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin11．（20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x xf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+2212221(1)()4BD x x kx x x x⎡=-=++-=⎣；因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为1k-，所以，2211132kACk⎫+⎪⎝⎭==⨯+四边形ABCD的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k kS BD ACk k k k+24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k=时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=或斜率不存在时，四边形ABCD的面积4S=．综上，四边形ABCD的面积的最小值为9625．（22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n naa+=+1)(1)(2na=+1)(na=11)(n na a+=．所以，数列{n a是首项为21的等比数列，1)nna=，即na的通项公式为1)1nna⎤=+⎦，123n=，，，…．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n=2<，112b a==，所以11b a<≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k=43k kb a-<≤，也即43k kb a-<．当1n k =+时，13423k k k b b b ++-=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(32)2)23k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．。
2019年高考数学模拟考试题含答案解析
FDCBA 2019年高考数学模拟试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ⋂)(=A ．}3,2{B ．}4,3,2{C ．}2{D ．φ2．已知i 是虚数单位，iz +=31，则z z ⋅= A ．5B ．10C ．101D ．51 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为A ．3B ．4C ．5D ．6（第3题） （第4题）4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若13DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=A ．10B ．12C ．16D ．205．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+012y x y y x ，则yx z 82⋅=的最大值是A ．4B ．8C ．16D ．326.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+C ．32216+D ．32216516++7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ．101 B ．51 C ．103 D ．548．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++⋅=n n n S S a ，则5a = A ．301 B ．031- C ．021 D ．201- 9. 函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥ABCD P -的外接球体积最小值是A ．π625 B ．π125 C ．π6251 D ．π25 11. 已知抛物线()220y px p =>,过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B 两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3，则抛物线的准线方程为A ．1x =-B ．2x =-C ．3x =- D ．x =12. 已知函数x x x f ln )(2-=（22≥x ），函数21)(-=x x g ，直线t y =分别与两函数交于B A ,两点，则AB 的最小值为A ．21B ．1C ．23D ．2二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设样本数据1x ，2x ，...，2018x 的方差是5，若13+=i i x y （2018,...,2,1=i ），则1y ，2y ，...，2018y 的方差是________14. 已知函数x x x f ωωcos 3sin )(-=（0>ω），若3=ω，则方程1)(-=x f 在),0(π的实数根个数是_____15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯ 的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…， 2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则5N =_______16.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c =，π3C =．若sin sin()sin 2C A B B +-=，则ABC ∆的面积为三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分． 17.(本小题满分12分)设数列}{n a 是公差为d 的等差数列. (Ⅰ) 推导数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ) 设0≠d ，证明数列}1{+n a 不是等比数列.18．(本小题满分12分)某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)写出女生组频率分布直方图中a 的值；(Ⅱ)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用X 表示随机抽取的2人中男生的人数，求X 的分布列和数学期望．19.(本小题满分12分)在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA AC AB ，CA BA ⊥。
2019年广东省高考理科数学模拟试题(三)答案
2019年广东高考全真模拟试卷理科数学（三）答案本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．一.选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分50分．1．B 2．A 3．A 4．C 5．C 6．A 7．B 8．D1.选B.提示：1,0,11==∴=-+b a i ii. 2.选A.提示：[]()3,2:,3,5:q p -. 3.选A.提示：4111534,11,55534335=-=--==∴==a a k a a S . 4.选C.提示：3,3,2)0(,0)2(-==-==b a f f 得根据. 5.选C.提示：l 与m 可能异面. 6.选A.提示：362323=⨯A A . 7.选B.21sin ,23432cos ,2=-=-===θθ. 8.选D.提示： 21444421=⨯⨯⨯=P .二.填空题：本大题考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，其中9～13题是必做题，14～15题是选做题．每小题5分，满分30分．其中第11题中的第一个空为2分，第二个空为3分．9．15- 10．29 11．16)5(22=-+y x 12．2 13．41 14．1- 15．8π9.15-.提示：31535)(x C C --. 10.29.提示：29)2(S 302⎰=--=dx x x x 面积.11.16)5(22=-+y x .提示：根据圆心到直线的距离等于半径求出r=4 12.2提示：2)1()2()5()8(==-=-=-f f f f . 13.41 .提示：351,62=-==a t a . 14.1-.提示：化为普通方程求解.15.8π.提示：22,90,OA 0===∴=∠OB OA r BOA OB ，连接.三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明.演算步骤或推证过程． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系.余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） 解：（Ⅰ）221cos 413()1sin 21cos 4222x g x b x x -==+=+=-+ …………2分 ∴函数)(x g 的最小周期242ππ==T ……………4分（Ⅱ）()f x a b =⋅2(2cos (1,sin 2)x x =⋅22cos 2x x =cos 212x x =++2sin(2)16x π=++ ……………6分31)62sin(2)(=++=πC C f∴1)62s i n (=+πC ………………7分C 是三角形内角， ∴)613,6(62πππ∈+C ， ∴262ππ=+C 即：6π=C …………8分∴232cos 222=-+=ab c a b C即：722=+b a …………………10分将32=ab 可得：71222=+aa 解之得：432或=a ， ∴23或=a所以当a =2b =；当2a =，b =b a > ∴2=a ，3=b ． …………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布直方图.随机变量的分布列.二项分布等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力.运算求解能力和应用意识） 解：（1）根据频率分步直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.010.05)5]4012+⨯⨯=（件）．………… 4分（2）Y 的可能取值为0，1，2． ………… 5分22824063(0)130C P Y C ===．11281224056(1)130C C P Y C ===． 21224011(2)130C P Y C ===．………… 8分 Y 的分布列为 ………… 9分（3）利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0．3．令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量， 则(5,0.3)B ξ，故所求概率为：2235(2)(0.3)(0.7)0.3087P C ξ===．………… 12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系.空间距离.空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合.化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力.推理论证能力和运算求解能力）解：(1) 证明：连结OC ，,,BO DO AB AD ==AO BD ∴⊥ ………… 1分,BO DO BC CD==，CO BD ⊥． ……… 2分 在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO == …………3分而2AC =， ∴222,AO CO AC += ……… 4分 ∴90,oAOC ∠=即.AO OC ⊥ ………………… 5分,BD OC O = ∴AO ⊥平面BCD ． …………… 6分(2) 解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),B D -1(0,0,1),(2C A E(1,0,1),(1,BA CD =-=-∴2cos ,BA CD BA CD BA CD⋅<>==⋅，…………… 9分CE∴ 异面直线AB 与CD．…… 10分 (3) 解：设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =则(,,)(1,0,1)0(,,)1)0n AD x y z n AC x y z ⎧⋅=⋅--=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩，∴0x z z +=⎧⎪-=， 令1,y =得(3,1,n =-是平面ACD 的一个法向量．又1(2EC =-∴点E 到平面ACD 的距离377EC n h n⋅===．……… 14分 (3) （法二）解：设点E 到平面ACD 的距离为h ．E ACD A CDE V V --=， ∴1133ACD CDE h S AO S ∆∆⋅=⋅⋅ …………………………12分在ACD ∆中，2,CA CD AD ===∴122ACDS ∆==, 而1AO =，212242CDE S ∆=⨯=．∴1CDE ACDAO S h S∆∆⋅===∴点E 到平面ACD 的距离为7…………… 14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆.椭圆等知识，考查数形结合.化归与转化.函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）当2e =时，∵1a =，∴2c =， ∴22231144b a c =-=-=，b =12， 点1(0,)2B,(2F -，(1,0)C …………………… 2分 设P 的方程为222()()x m y n r -+-=， 由P 过点F,B,C 得∴2221()2m n r +-= ①222(2m n r ++= ② 222(1)m n r -+= ③ …………………… 5分由①②③联立解得：m =n =，254r = …………………… -7分 ∴所求的P 的方程为22215((444x y --+-=………………… 8分 （2）∵P 过点F,B,C 三点，∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上， 也在BC 的垂直平分线上， FC 的垂直平分线方程为12cx -=④ ………… 9分∵BC 的中点为1(,)22b ，BC k b =- ∴BC 的垂直平分线方程为11()22b y x b -=- ⑤ ……… 10分 由④⑤得21,22c b cx y b--==， 即21,22c b c m n b--== …………………… 11分 ∵ P (,)m n 在直线0x y +=上，∴21022c b c b--+=⇒(1)()0b b c +-= ∵ 10b +> ∴b c =，由221b c =- 得212b =…………………… 13分 ∴ 椭圆的方程为2221x y += …………………… 14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）当||2x <时，由a b ⊥得2(3)0a b x x y ⋅=--=，33y x x =-；（||2x <且0x ≠）------------------------------------2分当||2x ≥时，由//a b . 得23xy x =-- --------------------------------------4分∴ 323,(220)().(22)3x x x x y f x x x x x⎧--<<≠⎪==⎨≥≤-⎪-⎩且或---------------------5分（2）当||2x <且0x ≠时，由2'33y x =-<0, 解得(1,0)(0,1)x ∈-，----------------6分当||2x ≥时，222222(3)(2)3'0(3)(3)x x x x y x x ---+==>-- ------------------------------8分∴函数()f x 的单调减区间为（－1，０）和（０，1） -------------9分 （3）对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞，都有230mx x m +-≥ 即2(3)m x x -≥-， 也就是23xm x≥- 对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞恒成立，----------------------------------11分 由（2）知当||2x ≥时，222222(3)(2)3'()0(3)(3)x x x x f x x x ---+==>-- ∴ 函数()f x 在(,2]-∞-和[2,+)∞都单调递增----------------------12分又2(2)234f --==-，2(2)234f ==-- 当2x ≤-时2()03xf x x =>-， ∴当(,2]x ∈-∞-时，0()2f x <≤同理可得，当2x ≥时， 有2()0f x -≤<， 综上所述得，对(,2]x ∈-∞-[2,)+∞，()f x 取得最大值2；∴ 实数m 的取值范围为2m ≥.----------------------14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查数列.不等式.数学归纳法等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力.运算求解能力和创新意识）解：（Ⅰ）分别令1=n ，2，3，得⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=3)(22)(212233212221211a a a a a a a a a∵0>n a ，∴11=a ，22=a ，33=a …………………3分（Ⅱ）证法一：猜想：n a n =， ……………………4分由 n a S n n +=22 ①可知，当n ≥2时，)1(2211-+=--n a S n n ②①－②，得 12212+-=-n n n a a a ，即12212-+=-n n n a a a . ………………6分1）当2=n 时，1122222-+=a a ，∵02>a ，∴22=a ； ……………7分2）假设当k n =（k ≥2）时，k a k =.那么当1+=k n 时，122121-+=++k k k a a a 1221-+=+k a k0)]1()][1([11=-++-⇒++k a k a k k ，∵01>+k a ，k ≥2， ∴0)1(1>-++k a k ，∴11+=+k a k .这就是说，当1+=k n 时也成立，∴n a n =（n ≥2）.显然1=n 时，也适合.故对于n ∈N*，均有n a n =. ……………………9分 证法二：猜想：n a n =， ……………………………4分 1）当1=n 时，11=a 成立； ……………………………5分 2）假设当k n =时，k a k =. …………………………6分那么当1+=k n 时，12211++=++k a S k k .∴1)(2211++=+++k a S a k k k ，∴)1(22121+-+=++k S a a k k k)1()(221+-++=+k k k a k)1(221-+=+k a k（以下同证法一） ………………9分 （Ⅲ）证法一：要证11+++ny nx ≤)2(2+n ， 只要证1)1)(1(21++++++ny ny nx nx ≤)2(2+n ，…………10分 即+++2)(y x n 1)(22+++y x n xy n ≤)2(2+n ，…………11分将1=+y x 代入，得122++n xy n ≤2+n ，即要证)1(42++n xy n ≤2)2(+n ，即xy 4≤1. …………………………12分∵0>x ，0>y ，且1=+y x ， ∴xy ≤212=+y x , 即xy ≤41，故xy 4≤1成立， 所以原不等式成立. ………………………14分证法二：∵0>x ，0>y ，且1=+y x ，∴121+⋅+n nx ≤2121+++n nx ①当且仅当21=x 时取“=”号. ………………………11分 ∴121+⋅+n ny ≤2121+++n ny ② 当且仅当21=y 时取“=”号. ……………………12分①+②， 得（++1nx 1+ny ）12+n ≤24)(n y x n +++2+=n ， 当且仅当21==y x 时取“=”号. ………………………13分 ∴11+++ny nx ≤)2(2+n . ……………………14分证法三：可先证b a +≤)(2b a +. ……………………10分∵ab b a b a 2)(2++=+， b a b a 22))(2(2+=+，b a +≥ab 2，……………………………11分∴b a 22+≥ab b a 2++， ∴)(2b a +≥b a +，当且仅当b a =时取等号. ………………12分令1+=nx a ，1+=ny b ， 即得：11+++ny nx ≤)11(2+++ny nx )2(2+=n ， 当且仅当1+nx 1+=ny 即21==y x 时取等号. ………………………14分。
2019年广东省高考一模数学试卷含参考答案(理科)
2019年广东省高考一模数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}, B＝{y|y＝2x, x∈A}, 则A∩B＝（）A．（﹣∞, 8）B．（﹣∞, 3）C．（0, 8）D．（0, 3）2．（5分）复数z＝﹣i（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（±, 0）B．（0, ）C．（±5, 0）D．（0, ±5）4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和, 若a2+a8＝34, S4＝38, 则a1＝（）A．4B．5C．6D．75．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞, +∞）上单调递减, 且当x∈[﹣2, 1]时, f（x）＝x2﹣2x﹣4, 则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞, ﹣1）B．（﹣∞, 3）C．（﹣1, 3）D．（﹣1, +∞）6．（5分）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π7．（5分）执行如图的程序框图, 依次输入x1＝17, x2＝19, x3＝20, x4＝21, x5＝23, 则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4, 即5个数据的方差为4B．S＝4, 即5个数据的标准差为4C．S＝20, 即5个数据的方差为20D．S＝20, 即5个数据的标准差为208．（5分）已知A, B, C三点不共线, 且点O满足16﹣12﹣3＝, 则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣39．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n, 且a1＝2, a n+a n+1＝2n（n∈N*）, 则S13＝（）A．B．C．D．10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时, 提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC, CB, 使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项, 即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数, 把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中, 若点P, Q为线段BC的两个黄金分割点, 在△ABC内任取一点M, 则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0）, 点P, Q, R是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点, 且2|PQ|＝|QR|＝, 则ω+m ＝（）A．B．2C．3D．12．（5分）已知函数若f（x）＝（kx+）e x﹣3x, 若f（x）＜0的解集中恰有两个正整数, 则k的取值范围为（）A．（, ]B．[, ）C．（, ]D．[, ）二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）（2x+y）6的展开式中, x2y4的系数为．14．（5分）设x, y满足约束条件, 则z＝2x+y的最大值为．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中, AP, AB, AC两两垂直, 且AP＝AB＝AC＝．若点D, E分别在棱PB, PC上运动（都不含端点）, 则AD+DE+EA的最小值为．16．（5分）已知F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点, 曲线C1是以F为圆心, 为半径的圆, 直线2x﹣6y+3p＝0与曲线C, C1从左至右依次相交于P, Q, R, S, 则＝三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题, 每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知c cos A+c sin A＝b+a．（1）求C；（2）若D在边BC上, 且BD＝3DC, cos B＝, S△ABC＝10, 求AD．18．（12分）已知五面体ABCDEF中, 四边形CDEF为矩形, AB∥CD, CD＝2DE＝2AD ＝2AB＝4, AC＝2, 且二面角F﹣AB﹣C的大小为30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．19．（12分）已知点（1, ）, （）都在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0, 1）的直线l与椭圆C交于不同两点P, Q（异于顶点）, 记椭圆与y 轴的两个交点分别为A1, A2, 若直线A1P与A2Q交于点S, 证明：点S恒在直线y＝4上．20．（12分）随着小汽车的普及, “驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试, 要顺利地拿到驾驶证, 他需要通过四个科目的考试, 其中科目二为场地考试．在一次报名中, 每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试, 就算顺利通过, 即进入下一科目考试；若5次都没有通过, 则需重新报名）, 其中前2次参加科目二考试免费, 若前2次都没有通过, 则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费, 某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试的通过情况进行了统计, 得到如表：考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以如表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率, 且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试, 在本次报名中, 若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过, 记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元, 求X的分布列与数学期望．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣a）e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝2时, F（x）＝f（x）﹣x+lnx, 记函数y＝F（x）在（, 1）上的最大值为m, 证明：﹣4＜m＜﹣3．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C1的参数方程为, （θ为参数）已知点Q（4, 0）, 点P是曲线∁l上任意一点, 点M为PQ的中点, 以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A, B两点, 若＝3, 求k的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）﹣5＜0的解集为（m, n）, 且n﹣m＝, 求a的值．2019年广东省高考一模数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}, B＝{y|y＝2x, x∈A}, 则A∩B＝（）A．（﹣∞, 8）B．（﹣∞, 3）C．（0, 8）D．（0, 3）【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣1＜2}＝{x|x＜3},B＝{y|y＝2x, x∈A}＝[y|0＜y＜8},∴A∩B＝{x|0＜x＜3}＝（0, 3）．故选：D．2．（5分）复数z＝﹣i（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：复数z＝﹣i＝﹣i＝﹣i＝﹣﹣i,则z的虚部为﹣．故选：A．3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（±, 0）B．（0, ）C．（±5, 0）D．（0, ±5）【解答】解：双曲线9x2﹣16y2＝1的标准方程为：,可得a＝, b＝, c＝＝,所以双曲线的焦点坐标为（±, 0）．故选：A．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和, 若a2+a8＝34, S4＝38, 则a1＝（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d, ∵a2+a8＝34, S4＝38,∴2a1+8d＝34, 4a1+6d＝38,联立解得：a1＝5, d＝3,故选：B．5．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞, +∞）上单调递减, 且当x∈[﹣2, 1]时, f（x）＝x2﹣2x﹣4, 则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞, ﹣1）B．（﹣∞, 3）C．（﹣1, 3）D．（﹣1, +∞）【解答】解：∵x∈[﹣2, 1]时, f（x）＝x2﹣2x﹣4；∴f（﹣1）＝﹣1；∵f（x）在（﹣∞, +∞）上单调递减；∴由f（x）＜﹣1得, f（x）＜f（﹣1）；∴x＞﹣1；∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1, +∞）．故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π【解答】解：由三视图知, 几何体是一个简单组合体, 左侧是一个半圆柱, 底面的半径是1, 高为：4,右侧是一个半圆柱, 底面半径为1, 高是2,∴组合体的体积是：＝3π,故选：A．7．（5分）执行如图的程序框图, 依次输入x1＝17, x2＝19, x3＝20, x4＝21, x5＝23, 则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4, 即5个数据的方差为4B．S＝4, 即5个数据的标准差为4C．S＝20, 即5个数据的方差为20D．S＝20, 即5个数据的标准差为20【解答】解：根据程序框图, 输出的S是x1＝17, x2＝19, x3＝20, x4＝21, x5＝23这5个数据的方差,∵＝（17+19+20+21+23）＝20,∴由方差的公式S＝[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．故选：A．8．（5分）已知A, B, C三点不共线, 且点O满足16﹣12﹣3＝, 则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣3【解答】解：由题意, 可知：对于A：＝＝,整理上式, 可得：16﹣12﹣3＝,这与题干中条件相符合,故选：A．9．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n, 且a1＝2, a n+a n+1＝2n（n∈N*）, 则S13＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意, ∵a1＝2,n＝2时, a2+a3＝22,n＝4时, a4+a5＝24,n＝6时, a6+a7＝26,n＝8时, a8+a9＝28,n＝10时, a10+a11＝210,n＝12时, a12+a13＝212,S13＝2+22+24+26+28+210+212＝2+＝．故选：D．10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时, 提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC, CB, 使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项, 即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数, 把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中, 若点P, Q为线段BC的两个黄金分割点, 在△ABC内任取一点M, 则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．【解答】解：设BC＝a,由点P, Q为线段BC的两个黄金分割点,所以BQ＝, CP＝,所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a,S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2,由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M, 则点M落在△APQ内的概率为＝,故选：B．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0）, 点P, Q, R是直线y＝m（m ＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点, 且2|PQ|＝|QR|＝, 则ω+m ＝（）A．B．2C．3D．【解答】解：∵2|PQ|＝|QR|＝,∴|PQ|＝, |QR|＝,则T＝||PQ+|QR|＝+＝π,即＝π, 即ω＝2,即f（x）＝sin（2x+）+,∵|PQ|＝,∴x2﹣x1＝,2x1++2x2+＝π,得x1＝0, 此时m＝sin（2x1+）+＝sin+＝＝1．即ω+m＝1+2＝3,故选：A．12．（5分）已知函数若f（x）＝（kx+）e x﹣3x, 若f（x）＜0的解集中恰有两个正整数, 则k的取值范围为（）A．（, ]B．[, ）C．（, ]D．[, ）【解答】解：由f（x）＜0得f（x）＝（kx+）e x﹣3x＜0,即（kx+）e x＜3x,即（kx+）＜的解集中恰有两个正整数,设h（x）＝, 则h′（x）＝＝,由h′（x）＞0得3﹣3x＞0得x＜1, 由h′（x）＜0得3﹣3x＜0得x＞1,即当x＝1时函数h（x）取得极大值h（1）＝,设函数g（x）＝kx+,作出函数h（x）的图象如图,由图象知当k≤0, （kx+）＜的解集中有很多整数解, 不满足条件．则当k＞0时, 要使, （kx+）＜的解集中有两个整数解,则这两个整数解为x＝1和x＝2,∵h（2）＝, h（3）＝, ∴A（2, ）B（3, ）,当直线g（x）过A（2, ）B（3, ）时, 对应的斜率满足2k A+＝, 3k B+＝, 得k A＝, k B＝,要使, （kx+）＜的解集中有两个整数解,则k B＜k≤k A, 即＜k≤,即实数k的取值范围是（, ],故选：A．二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）（2x+y）6的展开式中, x2y4的系数为60．【解答】解：（2x+y）6的展开式中, 故含x2y4的项为•（2x）2•y4＝60x2y4,故答案为：60．14．（5分）设x, y满足约束条件, 则z＝2x+y的最大值为7．【解答】解：画出x, y满足约束条件表示的平面区域,如图所示,由, 解得点A（3, 1）,结合图形知, 直线2x+y﹣z＝0过点A时,z＝2x+y取得最大值为2×3+1＝7．故答案为：7．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中, AP, AB, AC两两垂直, 且AP＝AB＝AC＝．若点D, E分别在棱PB, PC上运动（都不含端点）, 则AD+DE+EA的最小值为．【解答】解：如图,由AP, AB, AC两两垂直, 且AP＝AB＝AC＝,得PB＝PC＝BC＝2, ∠APB＝∠APC＝45°,沿P A剪开, 向两侧展开到平面PBC上, 连接A′A″,则AD+DE+EA的最小值为A′A″＝＝＝．故答案为：．16．（5分）已知F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点, 曲线C1是以F为圆心, 为半径的圆, 直线2x﹣6y+3p＝0与曲线C, C1从左至右依次相交于P, Q, R, S, 则＝【解答】解：可得直线2x﹣6y+3p＝0与y轴交点是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F,由得x2﹣px﹣p2＝0, ⇒x P＝, x S＝．⇒,|RS|＝|SF|﹣＝y S+＝p, |PQ|＝|PF|﹣＝y P+﹣＝p．∴则＝．故答案为：..三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题, 每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知c cos A+c sin A＝b+a．（1）求C；（2）若D在边BC上, 且BD＝3DC, cos B＝, S△ABC＝10, 求AD．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos A+c sin A＝b+a,∴由正弦定理可得：sin C cos A+sin C sin A＝sin B+sin A,∴sin C cos A+sin C sin A＝sin（A+C）+sin A＝sin A cos C+cos A sin C+sin A,∴sin C sin A＝sin A cos C+sin A,∵sin A≠0,∴sin C＝cos C+1,∴解得：sin（C﹣）＝,∵C∈（0, π）, 可得：C﹣∈（﹣, ）,∴C﹣＝, 可得：C＝．（2）∵cos B＝, 可得：sin B＝＝,∴由S△ABC＝10＝ac sin B＝ab sin C, 可得：ac＝56, ab＝40, 可得：a＝, b ＝,又∵由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣ab＝a2+b2﹣40,∴c2＝（）2+（）2﹣40, 整理可得：3c4+245c2﹣19208＝0,解得：c2＝49, 可得：c＝7, a＝8, b＝5,∴在△ACD中, 由余弦定理可得：AD＝＝＝．18．（12分）已知五面体ABCDEF中, 四边形CDEF为矩形, AB∥CD, CD＝2DE＝2AD ＝2AB＝4, AC＝2, 且二面角F﹣AB﹣C的大小为30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）∵五面体ABCDEF中, 四边形CDEF为矩形, CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4, AC＝2,∴DE⊥AD, AD2+CD2＝AC2, ∴AD⊥CD,∵AD∩DE＝D, ∴CD⊥平面ADE,∵AB∥CD, ∴AB⊥平面ADE．解：（2）由（1）得AB⊥平面ADE,∴∠DAE是二面角F﹣AB﹣C的平面角, 即∠DAE＝30°．∵DA＝DE＝2, ∴∠ADE＝120°,以D为原点, DA为x轴, DC为y轴, 过D作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,E（﹣1, 0, ）, B（2, 2, 0）, C（0, 4, 0）, F（0, 4, ）, ＝（﹣2, 2, 0）, ＝（﹣3, ﹣2, ）, ＝（﹣2, 2, ）, 设平面BCF的法向量＝（x, y, z）,则, 取x＝1, 得＝（1, 1, 0）,设平面BCE的法向量＝（x, y, z）,则, 取x＝1, 得＝（1, 1, ）,设二面角E﹣BC﹣F的平面角为θ,则cosθ＝＝＝,∴二面角E﹣BC﹣F的余弦值为．19．（12分）已知点（1, ）, （）都在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0, 1）的直线l与椭圆C交于不同两点P, Q（异于顶点）, 记椭圆与y轴的两个交点分别为A1, A2, 若直线A1P与A2Q交于点S, 证明：点S恒在直线y＝4上．【解答】解：（1）由题意可得, 解得a2＝4, b2＝2,故椭圆C的方程为+＝1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0, 设过点M（0, 1）的直线l方程为y＝kx+1, （k≠0）, P（x1, y1）, Q（x2, y2）,由, 消y可得（k2+2）x2+2kx﹣3＝0,∴x1+x2＝﹣, x1x2＝﹣,∵A1（0, 2）, A2（0, ﹣2）,∴直线A1P的方程为y＝x+2＝•x+2＝（k﹣）x+2,则直线A2Q的方程为y＝x﹣2＝（k+）﹣2,由, 消x可得＝,整理可得y＝＝＝+4＝+4＝4,直线A1P与A2Q交于点S, 则点S恒在直线y＝4上20．（12分）随着小汽车的普及, “驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试, 要顺利地拿到驾驶证, 他需要通过四个科目的考试, 其中科目二为场地考试．在一次报名中, 每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试, 就算顺利通过, 即进入下一科目考试；若5次都没有通过, 则需重新报名）, 其中前2次参加科目二考试免费, 若前2次都没有通过, 则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费, 某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试的通过情况进行了统计, 得到如表：考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以如表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率, 且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试, 在本次报名中, 若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过, 记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元, 求X的分布列与数学期望．【解答】解：根据题意, 设A i表示男学员在第i次参加科目2考试中通过, B i表示女学员在第i次参加科目2考试中通过,则P（A1）＝＝, P（A2）＝1﹣＝, P（B1）＝＝, P（A2）＝1﹣＝,（1）根据题意, 设事件M是这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费, 则P（M）＝P（A1B1+A1B2+A2B1+A2B2）＝×+××+××+×××＝；（2）根据题意, X可取的值为400、600、800、1000、1200,P（X＝400）＝×＝,P（X＝600）＝××+××＝,P（X＝800）＝×××+××+××＝P（X＝1000）＝×××+×××＝P（X＝1200）＝×××＝；则X的分布列为X40060080010001200P故EX＝400×+600×+800×+1000×+1200×＝510.5（元）21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣a）e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝2时, F（x）＝f（x）﹣x+lnx, 记函数y＝F（x）在（, 1）上的最大值为m, 证明：﹣4＜m＜﹣3．【解答】（1）解：f′（x）＝[x﹣（a﹣1）]e x, x∈R．可得函数f（x）在（﹣∞, a﹣1）内单调递减, 在（a﹣1, +∞）内单调递增．（2）证明：当a＝2时, F（x）＝f（x）﹣x+lnx＝（x﹣2）e x﹣x+lnx, x∈（, 1）．F′（x）＝（x﹣1）e x﹣1+＝（x﹣1）,令F′（x）＝0, 解得：＝, 即x0＝﹣lnx0, x0∈（, 1）,令g（x）＝e x﹣在x∈（, 1）上单调递增,g（）＝﹣2＜0, g（1）＝e﹣1＞0．∴x0∈（, 1）,可知：x＝x0, 函数g（x）取得极大值即最大值,F（x0）＝（x0﹣2）﹣2x0＝1﹣2（x0+）∈（﹣4, ﹣3）．∴﹣4＜m＜﹣3．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C1的参数方程为, （θ为参数）已知点Q（4, 0）, 点P是曲线∁l上任意一点, 点M为PQ的中点, 以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A, B两点, 若＝3, 求k的值．【解答】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2＝4,设M（x, y）则P（2x﹣4, 2y）在曲线C1上, 所以（2x﹣4）2+（2y）2＝4, 即（x ﹣2）2+y2＝1, 即x2+y2﹣4x+3＝0,C2轨迹的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（2）当k＞0时, 如图：取AB的中点M, 连CM, CA,在直角三角形CMA中, CM2＝CA2﹣（AB）2＝1﹣AB2, ①在直角三角形CMO中, CM2＝OC2﹣OM2＝4﹣（AB）2＝4﹣AB2, ②由①②得AB＝, ∴OM＝, CM＝,k＝＝＝．当k＜0时, 同理可得k＝﹣．综上得k＝±．第页（共22页）21[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +a |+2|x ﹣1|（a ＞0）．（1）求f （x ）的最小值；（2）若不等式f （x ）﹣5＜0的解集为（m , n ）, 且n ﹣m ＝, 求a 的值．【解答】解：（1）f （x ）＝, ∴x ＝1时, f （x ） 的最小值为a +1．（2）如图所示：当a +1＜5＜2a +2即＜a ＜4时, f （x ）﹣5＜0的解集为（a ﹣3, ﹣）, ∴﹣﹣a +3＝﹣＝, ∴a ＝3符合,当2a +2≤5即0＜a ≤时, f （x ）的解集 为 （﹣﹣1, ﹣）, ∴﹣++1＝≠．综上可得a ＝3．第页（共22页）22 注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上。
2019年广东省广州市高考数学一模试卷和答案(理科)
2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）已知a为实数，若复数（a+i）（1﹣2i）为纯虚数，则a＝（）A．﹣2B．C．D．23．（5分）已知双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．34．（5分）刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A．B．C．D．5．（5分）若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则＝（）A．B．2C．D．36．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，S2m﹣1＝11，则m＝（）A．11B．10C．6D．57．（5分）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A．5B．10C．15D．209．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．210．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A．B．7πC．D．8π11．（5分）已知以F为焦点的抛物线C：y2＝4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A．2B．C．D．412．（5分）已知函数，的图象上存在关于直线x＝1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A．（e2﹣1，+∞）B．（e2+1，+∞）C．（﹣∞，e2﹣1）D．（﹣∞，e2+1）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3＝6，S6＝54，则a1＝．14．（5分）若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a＝．15．（5分）已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，则m的取值范围是．16．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC＝60°，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，点H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M﹣C1O1H的体积的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B＝（3a﹣b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b﹣a＝2，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD＝，且二面角A﹣BD﹣C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．19．（12分）某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为其中0＜a＜1，0＜b＜1（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．20．（12分）已知椭圆的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2＝1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B 两点．求△ABF的面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝e2x﹣ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，A、A∩B＝{x|0＜x＜2}，故本选项错误；B、A∪B＝{x|x＞0}，故本选项错误；C、A⊆B，故本选项错误；D、A⊆B，故本选项正确；故选：D．2．（5分）已知a为实数，若复数（a+i）（1﹣2i）为纯虚数，则a＝（）A．﹣2B．C．D．2【解答】解：（a+i）（1﹣2i）＝a+2+（1﹣2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2＝0且1﹣2a≠0，得a＝﹣2且a≠，即a＝﹣2，故选：A．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．3【解答】解：圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心（2，﹣4），双曲线的一条渐近线为：y＝bx，双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，可得2b＝4，所以b＝2，a＝1，则c＝，则C的离心率为：．故选：C．4．（5分）刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A．B．C．D．【解答】解：由几何概型中的面积型可得：＝，所以＝，即π＝，故选：C．5．（5分）若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则＝（）A．B．2C．D．3【解答】解：由题意，可根据平行四边形法则画出如下图形：由图可知：＝，∴＝＝＝1•2•+1•2•1＝3．故选：D．6．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，S2m﹣1＝11，则m＝（）A．11B．10C．6D．5【解答】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，则：，解得：a m＝1．S2m﹣1＝＝＝11，解得：m＝6故选：C．7．（5分）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数h＝f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．8．（5分）（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A．5B．10C．15D．20【解答】解：∵（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则（2﹣1）（1+a）5＝32，∴a＝1，该展开式中x4的系数是2••a﹣1••a4＝10a﹣5a4＝5，故选：A．9．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．2【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ＝．所以：f（x）＝cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k＝0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A．B．7πC．D．8π【解答】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2＝7π．故选：B．11．（5分）已知以F为焦点的抛物线C：y2＝4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A．2B．C．D．4【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|＝λ|BF|，∴x1+1＝λ（x2+1），∴x1＝λx2+λ﹣1∵|y1|＝λ|y2|，∴x1＝λ2x2，当λ＝1时，弦AB的中点到C的准线的距离2．当λ≠1时，x1＝λ，x2＝，|AB|＝（x1+1）+（x2+1）＝．∵，∴（λ++2）max＝．则弦AB的中点到C的准线的距离d＝，d最大值是．∵，∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是．故选：B．12．（5分）已知函数，的图象上存在关于直线x＝1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A．（e2﹣1，+∞）B．（e2+1，+∞）C．（﹣∞，e2﹣1）D．（﹣∞，e2+1）【解答】解：当x＞1时，f（x）＝＝x+，设f（x）在（1，+∞）上的图象关于x＝1的对称图象为g（x），则g（x）＝f（2﹣x）＝2﹣x+（x＜1），由题意可知f（x）与g（x）在（﹣∞，1）上有公共点．∵g′（x）＝﹣1+＜0，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递减，又f（x）＝ln（x+a）在（﹣∞，1）上单调递增，∴g（1）＜f（1），即2＜ln（1+a），解得a＞e2﹣1．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3＝6，S6＝54，则a1＝．【解答】解：∵S3＝＝6，S6＝＝54，∴＝1+q3＝9，解得q3＝8，则q＝2，∴＝6，解得a1＝故答案为：14．（5分）若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a＝2．【解答】解：函数的导数为：f′（x）＝a+，f′（1）＝a+3，而f（1）＝a﹣3，切线方程为：y﹣a+3＝（a+3）（x﹣1），因为切线方程经过（2，4），所以4﹣a+3＝（a+3）（2﹣1），解得a＝2．故答案为：2．15．（5分）已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，则m的取值范围是（]．【解答】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（﹣m，﹣2），直线x﹣2y＝2的斜率为，斜截式方程为y＝x﹣1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＝2，则点C（﹣m，﹣2）必在直线x﹣2y＝2的下方，即﹣2≤﹣m﹣1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（﹣m，1﹣2m），可得1﹣2m≥﹣1，解得m，故m的取值范围是：（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．16．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC＝60°，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，点H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M﹣C1O1H的体积的最小值为．【解答】解：因为直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC＝60°，边长为1，∴O1C1⊥平面BB1D1D，且O1C1＝，O1B1＝，∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1＝，∵OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，∴当M在B处时△O1MH的面积取得最小值．连接O1B，则O1B＝OB1＝＝，∴B1到O1B的距离d＝＝＝，∵OH＝3HB1，∴H到直线O1B的距离为d＝．∴S＝＝＝，∴V＝S•O1C1＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B＝（3a﹣b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b﹣a＝2，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos B＝（3a﹣b）cos C，∴由正弦定理可知，sin C cos B＝3sin A cos C﹣sin B cos C，…1分即sin C cos B+cos C sin B＝3sin A cos C，∴sin（C+B）＝3sin A cos C，…2分∵A+B+C＝π，∴sin A＝3sin A cos C，…3分∵sin A≠0，∴cos C＝，…4分∵0＜C＜π，∴sin C＝＝；…6分（2）∵，cos C＝，∴由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得：24＝a2+b2﹣ab，…8分∴（a﹣b）2+ab＝24，…9分∵b﹣a＝2，∴解得：ab＝15，…10分∴S△ABC＝ab sin C＝＝5…12分18．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD＝，且二面角A﹣BD﹣C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AD＝CD，∵点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，∵PD∩PB＝P，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDP．解：（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，∵Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AE⊥BD，AE＝CE，∠AEC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，由已知二面角A﹣BD﹣C为120°，∴∠AEC＝120°，在等腰△AEC中，由余弦定理得AC＝，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∴AB＝，在Rt△ABD中，，∴BD＝，∵BD＝，∴AD＝，∵BD2＝AB2+AD2，∴AB＝2，∴AE＝，，由上述可知BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO是直线AD与平面BCD所成角，在Rt△AEO中，∠AEO＝60°，∴AO＝，AE＝1，sin，∴直线AD与平面BCD所成角的正弦值为．19．（12分）某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为其中0＜a＜1，0＜b＜1（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．【解答】角：（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），则P（η＝2）＝，∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，P（X＝400）＝0.4×0.4＝0.16，P（X＝450）＝2×0.4a＝0.8a，P（X＝500）＝2×0.4b+a2＝0.8b+a2，P（X＝550）＝2ab，P（X＝600）＝b2，∴X的分布列为：（2）P（X≤500）＝P（X＝400）+P（X＝450）+P（X＝500）＝0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b＝1，得a+b＝0.6，∴b＝0.6﹣a，∵P（X≤500）≥0.8，∴0.16+0.48+a2≥0.8，解得a≥0.4或a≤﹣0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，∵b＞0，∴0.6﹣a＞0，解得a＜0.6，∴a∈[0.4，0.6），E（X）＝400×0.16+450×0.8a+500（0.8b+a2）+1100ab+600b2＝520﹣100a，当a＝0.4时，E（X）的最大值为480，∴X的数学期望E（X）的最大值为480．20．（12分）已知椭圆的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2＝1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B 两点．求△ABF的面积的最大值．【解答】解：（1）由椭圆可知焦点在x轴上，∵圆O：x2+y2＝1与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（1，0），与y轴的两个交点的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），根据题意可得b＝c＝1，故a2＝b2+c2＝2，故椭圆方程为+y2＝1（2）设过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x＝ty+m，则＝1，即m2＝t2+1设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2＝0，则△＝（2tm）2﹣4（t2+2）（m2﹣2）＝8＞0，∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，∴|y 1﹣y2|＝＝＝，∴△ABF的面积S＝|PF|•|y1﹣y2|＝，令f（m）＝，m≥1∴f′（m）＝，当m≥1时，f′（m）≤0，∴f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴f（m）≤f（1）＝，故△ABF的面积的最大值为21．（12分）已知函数f（x）＝e2x﹣ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：．【解答】解：（1）函数的导数f′（x）＝2e2x﹣2ax，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0恒成立，即2e2x﹣2ax≥0，得a≤在（0，+∞）上恒成立，设h（x）＝，则h′（x）＝＝，当0＜x＜时，h′（x）＜0，此时函数为减函数，由x＞时，h′（x）＞0，此时函数为增函数，即当x＝时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，h（）＝2e，则a≤2e，即实数a的取值范围是（﹣∞，2e]．（2）由（1）知，当a≤2e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不存在极大值，当a＞2e时，ln，lna＞ln，又f′（0）＝2＞0，f′（）＝2e﹣a＜0，f′（lna）＝2e2lna﹣2alna＝2a（a﹣lna）＞0，（易证明a﹣lna＞0），故存在x1∈（0，），使得f′（x1）＝＝0，存在x2∈（，lna），使得f′（x2）＝0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，即当x＝x1时，f（x）取得极大值，即M＝，由0＜x1＜时，得1﹣x1＞0，x1≠1﹣x1，由2﹣2ax1＝0，得＝ax1，故M＝＝ax1﹣ax12＝ax1（1﹣x1）＜a•（）2＝，即成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为y＝1﹣x2（﹣1≤x≤1），把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入ρ（cosθ﹣a sinθ）＝，得直线C2的直角坐标方程为y﹣ax＝，即ax﹣y+＝0，（2）由直线C2：ax﹣y+＝0，知C2恒过点M（0，），由y＝1﹣x2（﹣1≤x≤1），当时，得x＝±1，所以曲线C1过点P（﹣1，0），Q（1，0），则直线MP的斜率为k1＝＝，直线MQ的斜率k2＝＝﹣，因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即﹣，所以a的取值范围为[﹣，]．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x﹣1|，可得（x+1+2x﹣1）（x+1﹣2x+1）＞0，即3x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|＝|x+a|﹣|x﹣|﹣|x﹣|≤|x+a﹣x +|﹣0＝|a+|，可得f（x）的最大值为|a +|＝a +，（a＞0），则a +＜1，解得0＜a ＜．第21页（共21页）。
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广东省2019年高考理科数学模拟试题及答案（试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}{}23,,40xA y y x RB x x ==∈=-≤,则 A.AB R = B.}2|{->=x x B AC.}22|{≤≤-=x x B AD.}20|{≤<=x x B A2．已知复数z 满足3(1)()2i z i i --= (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为A ．1i -B ．12i +C ．1i -D ．12i - 3．已知1tan 2α=-，且(0,)απ∈，则sin 2α= A ．45 B ．45-C ．35D ．35-4. 已知,a b 为非零向量,则“0⋅>a b ”是“a 与b 夹角为锐角”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5．直线40x y m ++=交椭圆2116x y +=于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为l ，则，m= A.－2B.－1C. 1D.26．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是侧视图俯视图正视图2211A ． 2B ．4C ．6D ．87．三棱锥P ABC PA -⊥中，面ABC ，1,3AC BC AC BC PA ⊥===，，则该三棱锥外接球的表面积为 A ．2πB ．72πC ．5πD ．20π8．如果执行如右图所示的程序框图，输入正整数N (N ≥2) 和实数 a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则 A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和B. 12(A ＋B )为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数 C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中的最小数和最大数 D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中的最大数和最小数 9. 已知某8个数的期望为5，方差为3，现又加入一个新数据5， 此时这9个数的期望记为()E X ，方差记为()D X ，则A.()5,()3E X D X =>B. ()5,()3E X D X =<C.()5,()3E X D X <>D. ()5,()3E X D X <<10．已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y -+=垂直，则双曲线C的离心率为 A ．2B. 2C ．3D ．511.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是A.甲B.乙C.丙D.丁12. 设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图像可以为二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若向量,a b 满足||||2a b ==,且()2a a b ⋅-=,则向量a 与b 的夹角为14．设双曲线()2222100x y a ,b a b-=>>的左、右顶点分别为A ,B ，点P 在双曲线上且异于A ,B 两点，O 为坐标原点．若直线PA 与PB 的斜率之积为79，则双曲线的离心率为________．15. 若变量,x y 满足2,239,0,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____________.16．函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos2x （π4≤x ≤π2）的值域为 . 三、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, （一）必考题：共60分。
17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22()(23)a b c bc --=-．（1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，且1sin 1=A a ，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男生选考方案确定的有8人884211选考方案待确定的有6人 4 3 0 1 0 0 女生选考方案确定的有10人896331选考方案待确定的有6人5411（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人， 从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量221,2,ξ⎧=⎨⎩名男生选考方案相同名男生选考方案不同，，求ξ的分布列及数学期望E ξ．20．（本小题满分12分）已知直线:1l y kx =+与抛物线2:4C y x =相切于点P ．（Ⅰ）求直线l 的方程及点P 的坐标；（Ⅱ）设Q 在抛物线C 上，A 为PQ 的中点．过A 作y 轴的垂线，分别交抛物线C 和直线l 于M ，N ．记△PMN 的面积为1S ，△QAM 的面积为2S ，证明：12S S =．21．（本小题满分12分） 已知函数()f x 2221xax x e +-=,()()211xg x f x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性;（Ⅱ）当0a =时,函数()g x 在(0,)+∞是否存在零点?如果存在，求出；如果不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线C 交于M ，N两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线的普通方程; （2）若P(-2,-4)，求｜PM ｜+｜PN ｜的值. 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()ln(|21||23|)f x x x =+--. （1）求不等死()0f x ≤的解集； （2）当m 取何值时，()f x m <恒成立.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.D2.B3.B4.B5.A6.C7.C8.D9.B 10.D 11.B 12.C 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.3π14. 15.10 16. [2，3] 三、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, （一）必考题：共60分。
17.（本小题满分12分）（1）由22()(23)a b c bc --=-，2223a b c bc --=-，所以2223cos 22b c a A bc +-==6A π∴=（2）设{}n a 的公差为d ，由得21=a ，且2428a a a =，∴2111(3)()(7)a d a d a d +=++．又0d ≠，∴2d =，∴2n a n =．∴14111(1)1n n a a n n n n +==-++， ∴11111111(1)()()()122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++… 18. 解：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD . （2）作PH ⊥EF ，垂足为H .由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，||BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz .由（1）可得，DE ⊥PE .又DP =2，DE =1，所以PE 3.又PF =1，EF =2，故PE ⊥PF .可得32PH EH ==.则33(0,0,0),(0,0,(1,,0),(1,,),2222H P D DP --=(0,0,2HP =为平面ABFD 的法向量.设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则34sin ||4||||3HP DPHP DP θ⋅===⋅.所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为4. 19. （本小题满分12分）（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有1018420=1401830⨯⨯人． ….2分 （Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为21=84； ….3分 选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为310． ….4分所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为13341040⨯=． ….5分 （Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治．由已知得ξ的取值为1,2． …6分2242281(1)4C C P C ξ+===， …8分 1111422228()213(2)4C C C C P C ξ++⨯+===，或3(2)1(1)4P P ξξ==-== …10分 所以ξ的分布列为ξ 1 2P14 34…….11分 所以13712444E ξ=⨯+⨯=． …….12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由 21,4y kx y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩ 得 22(24)10k x k x +-+=． ① ……………… 2分依题意，有0k ≠，且22(24)40k k ∆=--=．解得 1k =．所以直线l 的方程为1y x =+． ……………… 3分 将 1k = 代入①，解得 1x =，所以点P 的坐标为(1,2)． ……………… 4分 （Ⅱ）设 (,)Q m n ， 则 24n m =，所以 12(,)22m n A ++． ……………… 6分 依题意，将直线 22n y +=分别代入抛物线C 与直线l ， 得 2(2)2(,)162n n M ++，2(,)22n n N +． ……………… 7分因为 22(2)444441||16216164n n n n m n m n MN +-+-+-+=-===， ……… 8分 221(2)(88)(44)||21616m n m n n AM +++-++=-=(88)(444)1164m m n m n +-++-+==， ………………9分 所以 ||||AM MN =． ………………10分 又 A 为PQ 中点，所以P Q ，两点到直线AN 的距离相等，所以 12S S =． ………………12分21．（本小题满分12分） 解: （Ⅰ）函数的定义域为,．………………1分①当时，，1+ 0 -极大值的单调递增区间为，单调递减区间为．………………2分②当时，令，得或显然1- 0 + 0 -极小值极大值的单调递增区间为，单调递减区间为，；……3分③当时，令，得或(i)当时,时恒成立, 上单调递增; …………4分（ⅱ）当时,1+ 0 - 0 +极小值极大值的单调递增区间为，单调递减区间为；………5分（ⅲ）当时，1-+ 0 - 0 +极小值极大值的单调递增区间为，单调递减区间为………6分综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时, 上单调递增；当时,的单调递增区间为，单调递减区间为；当时的单调递增区间为，单调递减区间为．………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，的单调递增区间为，单调递减区间为,在处取得极大值也是最大值………8分等价于，，令得，所以，所以先增后减，在处取最大值0，所以．………10分所以进而,所以即,………11分又所以函数在不存在零点．…………12分（二）选考题：共10分。