课题学习最短路径问题刘道祥
八年级上册 课题学习《最短路径问题》说课稿
课题学习《最短路径问题》说课稿各位领导、专家、同仁们大家好：今天我说课的的内容是：人教八年级上册第13章第四节课题学习最短路径问题。
下面我将从：教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法、学法、教学手段、教学过程、板书设计、反思十个方面展开我的说课。
一、教材分析：本节课的内容是在学习了轴对称图形及两点之间线段最短知识的基础上学习的最短路径问题。
同时为我们今后解决坐标系下线段和最短的问题打下基础。
所以本节课的学习既是对前面所学知识的应用又为今后学习新知识做了铺垫，起到了呈上起下的作用。
二、学情分析1、已有的知识与能力：八年级学生已经学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”这些关于距离最短问题的解决依据。
也初步接触了逻辑推理证明的方法。
2、未接触的知识能力：由于八年级学生首次遇到线段和最小，所以无从下手，另外证明两条线段和最小时要选取另外一点，学生想不到、不会用，所以利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，逻辑推理证明所求距离最短是本节课的难点。
3.综合能力方面：八年级学生这一阶段的学生思维能力发展较快,自我意识增强,有较强的求知欲和表现欲,在情感方面他们能进行自我教育。
经过一年多新课程理念的熏陶及实践,学生已有了初步的自主学习、合作探究的能力,但部分学生存在不自信,羞于表现等思想顾虑,但又希望能得到他人的肯定。
因此我的教学目标分了三层,照顾不同程度的学生。
在教学活动中尽量让他们参与到活动中来,减少他们的恐惧感,通过学生间的合作学习,降低他们的学习难度,使各层次的学生都有所收获,使他们体验到成功的喜悦。
通过以上教材与学情分析我制定了本节课教学目标：三、教学目标：1、知识与能力目标：（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题。
（2）能将实际问题中的“地点”、“河”抽象为数学中的“点”、“直线”，把实际问题抽象为数学问题。
2、过程与方法目标：（1）使学生经历提出问题——合作探究——动手操作——组间对比——理论证明——解决问题的过程。
《最短路径问题》示范教学方案
第十三章轴对称13.4课题学习《最短路径问题》一、教学目标让学生能够利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．二、教学重点及难点重点：利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．难点：如何利用轴对称、平移将最短路径问题转化为线段（或线段的和）最短问题．三、教学用具电脑、多媒体、课件、刻度尺、直尺四、相关资源微课，动画，图片.五、教学过程（一）引言导入前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节课我们将利用数学知识探究“将军饮马”和“造桥选址”两个极值问题．设计意图：直接通过引言导入新课，让学生明确本节课所要探究的内容和方向．（二）探究新知问题1如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？此图片是动画缩略图，本动画资源探索了将军饮马问题实际上就是最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入【数学探究】最短路径问题.1．将实际问题抽象为数学问题学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识．（1）把A，B两地抽象为两个点；（2）把河边l近似地看成一条直线，C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小．2．解决数学问题（1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于一点C，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点C即为所求．（2）现在要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离和最短？（3）如何能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使问题得到解决．（4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B′吗？学生独立思考后，尝试画图，完成问题．小组交流，师生共同补充得出：作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．3．证明“最短”师生共同分析，证明“AC＋BC”最短．证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′，由轴对称的性质知：BC＝B′C，BC′＝B′C′，∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴AC＋BC＜AC′＋BC′．即AC＋BC最短．思考：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC＋BC＜AC′＋BC′？这里“C′”的作用是什么？学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识．若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离都大于AC＋BC，就说明AC ＋BC最小．问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）此图片是动画缩略图，本动画资源探索了造桥选址问题，造桥选址问题实际上是最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入【数学探究】造桥选址问题.1．将实际问题抽象为数学问题把河的两岸看成两条平行线a和b（下图），N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？2．解决数学问题（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？（2）如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N ＋NB最小？（3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求．3．证明“最小”为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．你能完成这个证明吗？证明：如图，在△A′N′B中，∵A′B＜A′N′＋BN′，∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．即AM＋MN＋BN最小．设计意图：通过“将军饮马问题”和“造桥选址问题”的解决，增强学生探究问题的信心，让学生通过轴对称、平移变换把复杂问题进行转化，有效突破难点，感悟转化思想的重要价值．六、课堂小结1．运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．2．利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值．本图片资源总结归纳了两点在直线同侧的最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】最短路径问题-两点在直线同侧.本图片资源总结归纳了两点在直线异侧的最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】最短路径问题-两点在直线异侧.七、板书设计13.4 最短路径问题运用轴对称解决距离最短问题利用平移确定最短路径选址。
《13.4 课题学习 最短路径问题》教学设计(湖北省县级优课)
最短路径问题【教学目标】（1）知识与技能：能利用轴对称，两点之间线段最短等知识解决简单的最短路径问题。
（2）过程与方法：在将实际问题抽象成数学问题的过程中,提高学生分析问题、解决问题的能力。
（3）情感与价值观：通过有趣的实际问题提高学生学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性。
【教学重难点】重点：利用轴对称将最短路径问题转化为两点之间,线段最短问题。
难点：（1）如何将实际问题中的最短路径转化为数学问题，进而利用轴对称将同侧点转化为异侧点，并利用两点之间，线段最短知识解决数学问题，最终解决实际问题。
（2）如何证明点C即为所求。
【教学过程】一创设情景引出课题三道复习题，师生共同完成并复习前面所学最短路径知识，之后引出课题。
二引导探究合作交流1、出示实际问题：老师简述“将军饮马”这个经典故事，引出实际问题。
2、转为数学问题：（1）解决实际问题先要干什么？（2）你能将它转成一个什么数学问题呢？（3）小组讨论将实际问题用数学语言描述（4）老师课件展示，强调将最短路径问题转化为线段和最小问题。
3、解决数学问题：（1）老师引导学生将实际问题转化为数学问题，课件出示数学问题。
（2）设问：怎么解决呢？解决问题之前老师先在黑板上出示直线异侧两点的最短路径问题，和学生共同解决问题。
通过对这个问题的探讨，思考怎么解决今天遇到的这个问题呢？如果能将点B“移”到直线的另一侧B′，并使直线l上的任意一点C,都有CB=CB′，那么问题是不是就简化呢？结合问题师生共同探究完成。
（3）学生分组讨论，得出解决方案：利用轴对称知识将同侧点转化为异侧点。
（4）老师展示动态图，说明动点C在直线l上运动AC+BC的长度变化。
4、证明最短路径问题：（1）你能证明为什么在点C时AC+BC最短？学生分组讨论，老师提示：若不在C点，就应该在直线l的另一点C′，老师给出一个C′的位置，学生指出这时的线段和为AC′+BC′。
（2）学生在草稿本上画出线段AC 、BC、 AC′、BC′。
同课异构省一等奖 《课题学习 最短路线问题》教案
本节课是本单元中，对知识的理解和贯彻最重要的一堂课。
在高效课堂模式中，一堂课的紧凑性和教师活动的多少，决定着课堂容量的高低。
但在实际教学中，教师应尽可能少地利用讲授法进行教学，多与学生进行交流，增加学生的实际操练和练习时间，对于一堂课来讲，是至关重要的。
对于课堂环节的布置，应该力求简练，语言应用尽量通俗易懂。
对于一名教师而言，教学质量的高低，与备课的充足与否有很大关系。
而教案作为这一行为的载体，巨大作用是不言而喻的。
本节课的准备环节，就充分地说明了这个道理。
最短路线问题课时第 1 课时课型新课教具三角板、刻度尺、圆规教学目标知识与能力通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短。
过程与方法让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力。
态度与情感激发学生学习的兴趣，让学生感受到数学与现实生活的密切联系。
重点应用所学知识解决最短路径问题难点选择合理的方法去解决问题教学手段方法动手操作，讲练结合多媒体教学教学过程教师活动学生活动说明或设计意图情境导入复习巩固轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称的图形叫做轴对称变换。
轴对称变换不会改变图形的形状和大小，只改变位置。
1、如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？学生回答：两点之间线段最短利用轴对称变换以及变换后的一些特征，我们可以解决许多实际问题。
F EDCB A新知教学探究1：如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？所以泵站建点P可使输气管线最短。
探究2：将军饮马问题古希腊一位将军要从A地出发到河边去饮马，然后再回到驻地B．问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？思考？？？为什么在C点的位置饮马，能使路程最短？探究1与探究2的区别与联系？直线异侧两点到直线上一点的距离和最小问题学生作答作法（1）作点A关于直线l 的对称点 A′；（2）连结A′B，交l于点 C；∴点C就是所求的点．从实际问题出发，激发学生学习的兴趣PBAAB直线同侧两点到直线上一点的距离和最小问总结经验实际上是通过轴对称变换，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”加以解决。
人教版八年级数学上册《课题学习 最短路径问题(第2课时)》示范教学设计
课题学习最短路径问题（第2课时）教学目标1．利用平移、轴对称解决最短路径的问题，进一步感悟化归思想．2．将实际问题抽象成几何图形的过程中，培养学生用符号语言和图形语言表达数学问题的能力．教学重点利用平移、轴对称解决最短路径的问题．教学难点体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟化归思想．教学过程知识回顾上节课我们研究了两类最短路径问题：1．点A，B在直线l异侧：2．点A，B在直线l同侧：【师生活动】教师提出问题，学生作答．【设计意图】通过复习已研究过的最短路径问题，为引出本节课的课题“造桥选址问题”作铺垫．新知探究一、探究学习【问题】（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）【师生活动】教师提问：1．这是一个实际问题，想一想可以把它抽象为怎样的数学问题？学生思考并回答：可以把河的两岸看成两条平行线a和b（如图），N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M．当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？教师提问：2．问题是否可以转化？学生回答：由于河岸宽度是固定的（MN长度固定），当AM＋NB最小时，AM＋MN ＋NB最小．所以问题可以转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM +NB最小．教师提问：3．能否通过图形的变化将问题转化为之前研究过的问题呢？教师提示：可以考虑将问题转化为两点在直线异侧，连接A，B两点，与直线的交点即为N．依据：两点之间，线段最短．根据提示，学生思考并回答：将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．所以问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？教师提问：4．这是我们上节课讲的哪种类型？问题应该怎样解决？学生回答：这是我们研究的两点在直线异侧时求最短路径问题．在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的．教师提问：5．试着说一下作图过程．学生独立思考后，尝试画图，寻求符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，师生共同补充．作法：（1）将A沿与河岸垂直的方向平移到A′，使AA′的长度等于桥长；（2）连接A′B，交直线b于点N，点N即为所求；（3）过N作NM⊥a于M，线段MN即为桥的位置．此时从A到B的路径AMNB最短．教师提问：6．你能试着证明一下吗？师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师板书．证明：在直线b上任取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，连接AM′，A′N′，N′B，由平移性质可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′．所以AM＋NB＝A′N＋NB＝A′B，AM′＋N′B＝A′N′＋N′B．由“两点之间，线段最短”可知：A′B＜A′N′＋N′B，即AM＋NB＜AM′＋N′B，即AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．【归纳】在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．【设计意图】通过证明得出新知，让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．二、典例精讲【例题】已知线段a，点A，B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q（点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四边形APQB的周长最小．【师生活动】教师分析：先在直线l上取PQ＝a（如图），连接AP，QB，AB，此时在四边形APQB中，线段PQ和线段AB的长度是固定的，所以当AP＋QB最小时，四边形APQB的周长最小．学生根据分析尝试说出作图过程，教师板书．【答案】作法：（1）将点A沿直线l的方向平移到A′，使得AA′＝a；（2）作A′关于直线l的对称点A′′；（3）连接A′′B，与直线l交于一点Q，Q即为所求点；（4）在点Q左侧取点P，使得PQ＝a，P即为所求点．连接AP，AB，所得四边形APQB的周长最小．【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法．课堂小结板书设计一、将军饮马问题（复习）二、造桥选址问题。
人教版初中数学八年级上册 13.4 课题学习 最短路径问题 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思
标题（第一课时）课题13.4课题学习：最短路径问题课型新授课主讲陶绍俊班级804班时间2016年10月27日教学目标知识与技能能利用轴对称解决简单的最短路径问题，将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；过程与方法在探索最短路径的过程中体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.情感态度与价值观在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题，体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值．教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题教学难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题教法采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。
教学过程主要教学过程个人修改一、创设情景引入课题前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．二、自主探究合作交流建构新知追问1：观察思考，抽象为数学问题这是一个实际问题，你打算首先做什么？活动1：思考画图、得出数学问题将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动2：尝试解决数学问题问题1 ：现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？问题2 ：如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？B。
Al师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充如果学生有困难，教师可作如下提示作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B ′；（2）连接AB ′，与直线l 相交于点C ，则点C 即为所问题3 你能用所学的知识证明AC +BC 最短吗？方法提炼：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.问题4 造桥选址问题如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）思维分析：1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A 到B 的路径是AM+MN+BN ，那么怎样确定什么情况下最短呢？2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？思维点拨：改变AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？（估计有以下方法）1、把A 平移到岸边.2、把B 平移到岸边.3、把桥平移到和A 相连.4、把桥平移到和B 相连.教师：上述方法都能做到使AM+MN+BN 不变呢？请检验.1、2两种方法改变了.怎样调整呢？把A 或B 分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?方法提炼：将最短路径问题转化为“线段和最小问题”三、巩固训练：四、反思小结 布置作业小结反思（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？你还有哪些收获？作业布置、课后延伸必做题：课本P93-15题；选做题：生活中，你发现那些需要用到本课知识解决的最短路径问题板书设计BA B A Ｍ Ｎ。
课题学习 最短路径问题教案(教学设计)
课题学习最短路径问题【教学目标】1．亲历最短路径问题的探索过程，体验分析归纳得出最短路径问题的解决方法，进一步发展学生的探究、交流能力。
2．熟练运用轴对称、平移等变化解决最短路径问题。
【教学重难点】重点：理解最短路径问题。
难点：运用轴对称、平移等变化解决最短路径问题。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习最短路径问题，这节课的主要内容有最短路径问题，如何运用所学知识选择最短路径，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解最短路径问题内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习最短路径问题，它的具体内容是：“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂直线最短”等的问题，我们称为最短路径问题。
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。
牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？如果把河边近似地看出一条直线，C为直线l上的一个动点，那么上面的问题就可以转化为：当C在直线l上的什么位置时，AC与CB的和最小。
'=。
在连接,A B'两点如图，作B关于l的对称点B'，利用轴对称的性质，可以得到CB CB的线中，线段AB'最短。
因此，线段AB'与直线l的交点C的位置即为所求。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：如图，A B，在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA PB+最小。
解：连接AB，线段AB与直线L的交点P，就是所求。
（根据：两点之间线段最短）三、课堂总结1．这节课我们主要讲了（1）“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂直线最短”等的问题，我们称为最短路径问题。
八年级数学人教版上册13.4课题学习最短路径问题(第一课时)优秀教学案例
（五）作业小结
1.作业布置：布置一些有关最短路径问题的课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。
2.作业反馈：对学生的作业进行及时批改和反馈，指出其中的错误和不足，给予肯定和建议。
3.课后拓展：鼓励学生参加数学竞赛、研究性学习等活动，拓宽视野，培养创新精神。同时，关注学生在学习过程中的情感态度和价值观的培养，引导他们关爱他人、乐于助人，形成良好的品德素养。
2.利用多媒体展示典型实例，让学生更好地理解和掌握最短路径问题的解决方法。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的合作精神和团队意识。
4.注重个体差异，给予学生个性化的指导，帮助他们在原有基础上得到提高。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，让他们感受到数学在生活中的实际应用，提高学生学习数学的积极性。
4.反思与评价：引导学生进行自我反思和同伴评价，培养学生的批判性思维和自我改进的能力。同时，教师对学生的学习过程和结果进行评价，注重鼓励性评价，激发学生的学习兴趣和自信心。
5.课后拓展与情感态度培养：布置相关的课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。同时，关注学生在学习过程中的情感态度和价值观的培养，引导他们关爱他人、乐于助人，形成良好的品德素养。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过生活情境导入新课，使学生能够直观地感受到最短路径问题的实际意义，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.多媒体辅助教学：利用多媒体展示典型的最短路径问题实例，使抽象的问题具体化、形象化，有助于学生更好地理解和掌握知识。
3.问题导向与小组合作：提出具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
人教版八年级数学上册教案13 4第2课时课题学习最短路径问题(2)
人教版八年级数学上册教案13 4第2课时课题学习最短路径问题(2)人教版八年级数学上册教案13-4第2课时课题学习最短路径问题(2)人民教育版八年级数学第一册教案13-4第二课主题学习最短路径问题（2）第2课主题学习的最短路径问题（2）【教学目标】1.理解并掌握如何选址造桥能使路径最短的问题.2.能利用轴对称和平移的相关知识解决实际问题中路径最短的问题.3.在运用轴对称和平移知识解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力.【重点难点】重点：利用轴对称和平移将造桥选址问题转化为“两点之间，线段最短”问题.难点：最短路径问题的解决思路及证明方法.人教版八年级数学上册教案13-4第2课时课题学习最短路径问题（2）教学过程1。
如图所示，创造条件并引入新路线。
在天然气管道l上修建一座泵站，分别向a镇和B镇供气。
泵站在哪里维修，以使用最短的输气管道？设计意图问题：（1）将该问题转化为数学问题：_________________？（3）为什么最短的输气管道可以通过在P点修建泵站来使用？2、教师和学生互动，探索新知识。
根据以上分析和问题1：如图所示，a和B位于河流的两侧。
现在我们需要看一下图纸，建造一座桥梁Mn，桥梁是在哪里建造的，这样从a到B的路径amnb可以巧妙地缩短桥梁的固定长度？（假设河流两岸为平行直线，桥梁应与河流垂直），“am+BN”的最短距离为A1N+BN（即从A1点到B点的最短线段），以解决教师在小组思考和讨论后提问的问题，转化后的数学学生不难发现他们同时在河里思考，问题的两边分别选择两个点m和N来最小化am+Mn+Nb之和，通过具体问题的介绍，有很好的实用性，用问题激发学生的探索兴趣复习最后一节的知识，为新课程的探索铺平道路同时，Mn垂直于河岸，如图所示场景接近真实生活让学生更确信证明中的正确映射，然后老师提出：“如何找到m和N是我们的性别，让学生意识到要研究的问题？”因此，我们不妨先看看桥的宽度。
人教版八年级数学(上)13.4课题学习最短路径问题 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
教师姓名冯佩兰单位名称乌苏市第六中学填写时间2020/7/17 学科数学年级/册八年级（上）教材版本人教版课题名称13．4课题学习最短路径问题难点名称利用图形变换解决最短路径问题难点分析从知识角度分析为什么难方法难：利用轴对称或平移变换把两条线段和或三条线段和问题转化成一条线段。
思路难：转化思想从学生角度分析为什么难学生缺乏数学转化思想运用的能力，几何图形性质的灵活运用。
难点教学方法由浅入深，循序渐进直观展示，总结方法教学环节教学过程导入前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题. 同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最短路径.通常，我们会遇到以下两种情况：(1)如图1，在直线l外有两点A、B，请在l上找一点C，使得AC＋BC最短．(2)如图2，在定直线l外有两定点A、B（异侧），请在l上找两动点M、N，且MN定长，使得AM＋MN+BN最短．知识讲解（难点突破）思路：定点到定点⇒连线段点C在直线l上，AC+ BC何时最小？问题升级：在定直线l外有两定点A、B（同侧），点C在直线l上，AC+ BC何时最小？思路：通常是作轴对称，再利用两点之间线段最短这一性质(1)如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l的交点即为点C．(2)问题：在定直线l外有两定点A、B（直线两侧），请在l上找两动点M、N，且MN定长，使得AM＋MN+BN最短．思路：通常是作平移，再利用两点之间线段最短这一性质．如图，将点B向左平移MN的长度到点B'，连接AB'，与直线l的交点即为点M，点M向右平移MN的长度到点N，点M、N即为所求．课堂练习（难点巩固）挑战自我：1.如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，求△PMN的周长最小值根据实际教学设计需要增行2.如图2，在定直线l外有两定点A、B（同侧），请在直线l上找两动点M、N，且MN定长，使得AM＋BN最短．思路：解决这类问题，通常是作对称，或先作平移，再作对称．如图，作点A关于直线l的对称点A'，将点B向左平移MN的长度到点B'，连接A'B'，与直线l的交点即为点M，点M向右平移MN的长度到点N，点M、N即为所求．小结在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
人教版初中数学八年级上册 13.4 课题学习 最短路径问题 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思
【学生反思】：第 1 种 作法是利用“垂线段最 短”，得到 AC 最短，利 用“两点之间线段最 短”，得到 BC 最短，但 不能确定 AC+BC 是最短 的。
第 2 种作法只能说明在 河 l 上取一点，到 A、B 两地的距离相等，也就 是 AC＝BC。不能说明 AC+BC 最短
第 3 种作法应该是正确 的。
先，我们要将实际问题变成一 之后通过证明，验证猜
个数学问题（群答），也就是 想，从而得出结论，最
抽象成一个数学模型，这样可 后再将结论运用到实际
以帮助我们进行实验观察，进 问题里。
课 而运用合情推理得到一个猜
堂 想，然后我们可以通过严谨的
小 逻辑证明，验证猜想，从而得 结 出结论，最后再将结论运用到
课题名称 课时
13.4 最短路径问题教案
13.4 最短路径问题
类型
第一课时
授课教师
新授课 张琪
知识与 技能目 能利用所学轴对称的知识解决简单的最短路径问题 教标
学 过程与 在探索最短路径的过程中，培养学生的探究能力、数学归纳能 方法目 力，分析问题、解决问题的能力
目标
标 情感态 在探索最短路径的过程中，让学生感悟转化的思想，获得成功的 度与价 体验 值观
发 除了作点 B 关于直线 l 的对称 还可以作点 A 关于直线 散 点以外，还有没有别的作法？ l 的对称点。 思
维
先将实际问题转化为数
得 【问题】：我们是如何解决将 学问题。然后作其中一
出 军饮马问题的？
个点关于直线 l 的对称
结
点，连接对称点和另一
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
论
点与直线的交点就是满
足最短距离的点的位
初中数学_13.4课题学习最短路径问题教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计单元（章节）轴对称课题课题学习：最短路径课时 1课型新授课教具三角板、圆规PPT主备人课时教学目标1．能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题.（重点）2．体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想（难点）板书设计最短路径问题教学流程环节设计教与学（以教导学，以学为主）随记一、复习导入二、授课过程（例1自主-学生代表回答）例2（小组讨论-教师点拨-师生合作共同证明）1.轴对称的性质2.如何画轴对称图形.探究点一：饮马问题【类型一】两点同侧例1如图，有一位将军骑着马从A点的军营出发返回河对岸的B点的家中，途中要经过河L，让马去河里喝水。
该如何选择路线，让将军回家的路线最短.你能将这个问题抽象为数学问题吗？【类型二】两点异侧例2现在将军把家的位置搬到了河的对岸，和自己的军营同侧，这次如何选择路线呢？此题首先抽象成数学模型：一线两点模式.接着利用两点之间线段最短即可得出结论.BAlBA例3（师生合作-小组讨论-教师点拨）三、课堂达标解析：可以将例2转化成例1的模式，此时需要找到其中一点的对称点，连接对称点和另一点即可作答.探究点二：造桥选址问题例3如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解析：将两条线合并成一条，转化成例2的模式，方可解答1.如图，正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则作点P使△PBQ的周长最小.2.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）、（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标___．A．(0，0) B．(0，1) C．(0，2) D．(0，3)此题先要明确两条河之间的距离是不变的，将两条河岸压缩成一条即可转化成例2的模式.BA学情分析1、认知基础学生已学过“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”、“三角形两边之和大于第三边”等最短路径问题，以及有关平移的基本知识，在本章学生也初步掌握关于某条直线作对称点的作法，所有这些内容构成了本节课的认知基础.2、活动经验学生进入初中已有一段时间，通过初中学段一年多的学习，学生已经有了图形变换以及数学模型构建的意识，获得了初步数学转化思想活动的技能，具备了一定的主动参与、合作交流、分析归纳、猜想验证的能力，因此教学的设计以学生的认知为前提，尊重学生主体知识的生成.效果分析最短路径问题一直是一个难点，学生在解决此类问题时常常无法建立数学模型，找不到切入口，通过本节课的学习，大部分学生掌握最短路径的两点同侧的变化原理，可以仿照例题的过程做一些简单的，直白的最短路径问题.对于稍微复杂抽象的例题，学生仍需加以练习.教材分析1.教学内容利用轴对称变换解决“将军饮马”问题；利用图形平移变换解决造桥选址问题2.地位作用本课是在学生学习了轴对称之后，进一步对“两点之间，线段最短”、“三角形两边之和大于第三边”的应用，通过实际生活中问题的引入，让学生从实际问题抽象成数学问题体会数学的应用价值，初步了解数学转化的方法，为以后学习更多的最短路径问题，打下坚实的基础。
人教版八年级上册数学说课稿《13.4课题学习最短路径问题》
人教版八年级上册数学说课稿《13.4 课题学习最短路径问题》一. 教材分析《13.4 课题学习最短路径问题》是人教版八年级上册数学的一章内容。
本章主要介绍了最短路径问题的相关知识和方法。
通过本章的学习，学生能够理解最短路径问题的意义，掌握解决最短路径问题的方法，并能够应用到实际问题中。
在教材中，首先介绍了最短路径问题的定义和意义，然后通过图的表示方法引出最短路径问题的解决方法。
接着，教材介绍了两种常用的最短路径算法：迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法。
最后，教材通过一些实际问题，让学生应用所学的知识解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经学习了图的概念和相关性质，对图的基本操作有一定的了解。
同时，学生也学习了算法的基本概念和方法，具备一定的编程能力。
然而，学生对于最短路径问题的理解和应用可能还存在一些困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生理解最短路径问题的意义，并通过实际问题激发学生的学习兴趣。
此外，学生需要通过实践活动，掌握解决最短路径问题的方法，并能够应用到实际问题中。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解最短路径问题的定义和意义，掌握解决最短路径问题的方法，并能够应用到实际问题中。
2.过程与方法目标：学生能够通过实践活动，培养解决问题的能力和团队合作的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够培养对数学的兴趣和好奇心，培养积极的学习态度和团队合作的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解最短路径问题的定义和意义，掌握解决最短路径问题的方法。
2.教学难点：学生能够理解和应用迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，通过实际问题引导学生学习最短路径问题的解决方法。
2.教学手段：利用多媒体课件和网络资源，展示实际问题和算法流程，帮助学生理解和应用知识。
六. 说教学过程1.引入新课：通过一个实际问题，引出最短路径问题的定义和意义。
最短路径教学设计-A8技术支持的方法指导教学设计
13.4课题学习《最短路径问题》教学设计一、教学目标：1.能利用轴对称、平移解决实际问题中路径最短的问题。
2.能够将实际生活中的最短路径问题转化为数学中的线段和最小问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。
二、教学重难点：重点：利用轴对称、平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
难点：将实际问题抽象为数学问题，将同侧两点转化为异侧两点。
三、教学过程：教学内容和教师活动学生活动设计意图创设情景引入新课热身小游戏：老师手中有一个立方体的盒子，一只小蚂蚁从这一端沿着盒子的表面爬行到另一端，有三条路径，哪条是最短的呢？你知道这其中蕴含的数学道理吗？在实际生活中，我们尽量会选择最短的路径，既省时，又省力。
下面我们一起来回顾与本节课内容有关的知识。
学生思考教师展示的问题，回答问题，公布结果，回顾旧知从身边生活中的问题出发激起学生的学习兴趣。
回顾旧知，为本节课的学习做好铺垫。
自主探究问题：如图，A，B在直线l的两侧。
（1）在l上求一点P，使得这个点到点A、B的距离和最短，即PA+PB最小。
作法：连接AB两点，与直线l交于点P，点P即为所求。
（2）为什么这样做就能得到最短距离呢？独立思考动手画图学生口答经历画图说理等活动，培养逻辑思考能力。
构建新知学生回答：两点之间，线段最短。
结论：两点在直线的异侧，直接连接两点找到与直线的交点即为所求。
培养学生语言组织能力和表达能力合作交流解决问题将军饮马问题：让我们穿越时空，回归到遥远的古希腊，来探究数学史上著名的“将军饮马问题”。
相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。
有一天，一位将军专程来拜访海伦，求教一个他百思不得其解的问题：从图中的A城堡出发，到一条笔直的河边l饮马，然后回到B城堡，问到河边的什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？思考：这是一个实际问题，你打算首先怎么做？把实际问题转化成数学问题：把两个城堡抽象成点A和点B ，河抽象成直线l问题转化成：点P是直线上一动点，当点P在什么位置时，PA+PB和最小？（将最短路径问题抽象成求线段和最小问题）小组讨论：（1）利用轴对称知识，不改变距离的情况下，如何将直线同侧的两点转化成异侧的两点？（2）如何验证路径最短？作法：(1)作点A关于直线的对称点A’(2)；连接A’B,与直线交于点P，点P即为所求。
人教版初中数学课标版八年级上册第十三章13.4 课题学习 最短路径问题教学设计
人教版初中数学课标版八年级上册第十三章13.4 课题学习最短路径问题教学设计13.4.课题学习《最短路径》教学设计一、教材分析1、地位作用：数学来源于生活并服务于生活，更着眼于解决生活中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。
这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，使学生在不断地质疑中主动地获取知识，初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。
2、目标和目标解析：（1）目标：能利用直线位于两点之间结合轴对称地知识，转移到两点位于直线同侧的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；（2）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.3、教学重、难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题突破难点的方法：质疑和解决是不是所有的两点位于直线同侧的问题都可以用轴对称来解决二、教学准备：多媒体课件、导学案三、教学过程到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什A么位置时，AC与CB 的和最小（如图）强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”探究问题是不是所有的两点位于直线同侧的问题都可以用对称来解决，得到最短路径呢？如图，你能猜想在图中的直线L上有几个点距离A,B两点的距离之和是最短的？探究问题是不是所有的两点位于直线同侧的问题都可以用对称来解决，得到最短路径呢？如图，你能猜想在图中的直线L 上有几个点距离A,B 两点的距离之和是最短的？LA BA’C ED a bc a+22()c b a +-方案一：S=AE+BE=方案二：S’=AC+AB=设a=300，b=500，c=600设a=300，b=500，c =1000 最后得到我们选取的最短路径与C 的取值有关，不一定我们由轴对称得到的路径就是最短的，在这里就可以培养学生勇于质疑和敢于探索取得真理的学习品质。
探析长方体表面的最短路程问题
探析长方体表面的最短路程问题
刘道祥;韩惠丽
【期刊名称】《理科考试研究（初中版）》
【年(卷),期】2018(025)004
【摘要】长方体(包含正方体)的表面最短路程问题是在义务教育阶段八年级下册数学第十七章勾股定理内容中的一个典型问题.本文探析了长方体表面最短路程问题,并通过对长方体表面最短路程问题的分析与研究,为学生及教师提供了一个有关此类问题的快速解题技巧,解释了其可行性.
【总页数】3页(P25-27)
【作者】刘道祥;韩惠丽
【作者单位】宁夏大学数学统计学院 750000;宁夏隆湖扶贫经济开发区一站学校753000;宁夏大学数学统计学院 750000
【正文语种】中文
【相关文献】
1.初中数学几何课中模型思想的发展教学策略--以《最短路程问题》教学片断设计为例
2.长方体的最短路程的求值
3.由一道求路程最短的问题引起的研究和反思
4.勾股定理的应用——立体图形中的最短路程问题
5.例谈快速求解长方体表面的最短路径问题
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你能利用轴对称的有关 知识，找到上问中符合条件的 点B′吗？
·
A
·
B
l
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个 动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求．
平移
勇攀高峰
练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径． C 山
Q
P
河岸
A
大桥
B
基本思路： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为 一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到 C 一点R，使PR与QR 的和最 Q 山 小”． 河岸 P A B 大桥
轴对称
·
A
·
C′ C
l
B′
（造桥选址问题）如图，A.B两地在一条河的两岸， 现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B 的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线， 桥要与河垂直）
A
M
N
B
我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b,N 为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b,交 直线a于点M，这样，上面的问题可以转化 为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时， AM+MN+NB最小？
A M b
a
N B
பைடு நூலகம்
由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最 小时，AM+MN+NB最小。这样问题可转化 为：当点N在直线b的什么位置时， AM+NB最小。
A M
a
b N B
作法：1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AB交河对岸于点N, 则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 AM∥A'N 且AM=A'N, MN=M'N', 所以A.B两地的距离:AM+MN+BN=A'N+MN+NB=A'B+MN, 若桥的位置建在N'处，过N'作N'M'⊥a,垂足为M',连接AM'.A'N'.BN', 则AB两地的距离为： AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B, 在△A'N'B中，∵A'N'+N'B＞A'B, ∴A'N'+N'B+MN＞A'B+MN, 即AM'+M'N'+N'B ＞AM+MN+BN 所以在点N的位置建桥MN，AB两地的路径AMNB最短。
l
证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
·
A
·
B
C′ C
l
B′
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借 助什么解决问题的？ B
M 当AB、BC和AC三条边的长度 恰好能够体现在一条直线上时， 三角形的周长最小
B A
O C
N
布置作业
（1）学习之友 13.4课题学习（1） 第1、2题（38页） 13.4课题学习（2）第3题（39页） （2）学习之友38-39页 （3）课时夺冠52-53页。 （4）课本93页15题画书上。明天检查，不画的人站15 分钟。
B
A l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B
A
l
A，B 两地抽象为————，将河l 抽象为——————
这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线． · A· l
B
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和； B ·
A· l
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）． B
A
C l
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一 个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
如何将B“移”到l 的另一 侧B′处，满足直线l 上的任意 一点C，都保持CB 与CB′的长 度相等？
·
A
·
B
l
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一 个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？
小结
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称和平移在所研究问题中起什么作用？ 能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题，体 会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化 思想． 利用轴对称和平移将最短路径问题转化为“两点之 间，线段最短”问题．
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
八年级
上册
13.4 课题学习 最短路径问题
隆湖一站学校
刘道祥
温故知新
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选 走哪条路最近？你的理由是什么？
C A
①D ②
E B
③
两点之间,线段最短
F
要在河边修建一个泵站向张村引水，在何 处修建才能使所用引水管道最短？为什么？
张村
泵站
河流
垂线段最短
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问 题”．
知识准备 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上 求一点P，使得PA+PB最小。
A
为什么？
P B
l
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
·
A
·
B
C
l
B′
问题3
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
·
A
·
B
C
l
B′
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知， B · BC =B′C，BC′=B′C′． A · ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′， C′ C AC′+BC′ = AC′+B′C′． 在△AB′C′中， B′ AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
A M A' M' N'
a
b B
N
将AM沿与河岸方向垂直的方向平移，点M移动 到点N，点A移动到点A'，则 AA'=MN,AM+NB=A'N+NB,这样问题就转化为： 当点N在直线b的什么位置时，A'N+NB最小？
A M A'
a
b
N B
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借 助什么解决问题的？