点直线平面之间的位置关系知识点总结

点直线平面之间的位置关系知识点总结

Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

点、直线、平面之间的位置关系

一、线、面之间的平行、垂直关系的证明

书中所涉及的定理和性质可分为以下三类： 1、平行关系与平行关系互推；

2、垂直关系与垂直关系互推； 线面垂直判定定线面垂直的定面面垂直性质定理（需加线线

两平面的法线

垂 面面垂直判定定垂直的两平面的法线互相线面平行判定定线面平行性质定面面平行定义（交线面平行转面面平行判定定

面面平行性质定

两平面内分别垂直于交线的直线互相

两平面内分别垂直于交线的直线互相垂直，则两

面面垂直定

3、平行关系与垂直关系互推。

以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。

线线平行传递性：b c c a b a //////⇒⎭

⎬⎫； 面面平行传递性：γαβγβα//////⇒⎭

⎬⎫； 线面垂直、线面垂直⇒线面平行：

ααββα//a a a ⇒⎪⎭

⎪⎬⎫⊄⊥⊥； 线面垂直⇒线线平行（线面垂直性质定理）：b a b a //⇒⎭

⎬⎫⊥⊥αα； 线面垂直⇒面面平行：βαβα//⇒⎭

⎬⎫⊥⊥a a ； 线面垂直、面面平行⇒线面垂直：βαβα⊥⇒⎭

⎬⎫⊥a a //； 线线平行、线面垂直⇒线面垂直：αα⊥⇒⎭

⎬⎫⊥b a b a //； 线面垂直、线面平行⇒面面垂直：βααβ⊥⇒⎭

⎬⎫⊥a a //。 备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。

符号化语言一览表

①线面平行ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂；αββα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂；ααββα//a a a ⇒⎪⎭

⎪⎬⎫⊄⊥⊥；

②线线平行:////a a a b b α

βαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭；b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα；////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭

；b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫； ③面面平行:,////,//a b a b O a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭

；βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ；γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫； ④线线垂直:b a b a ⊥⇒⎭

⎬⎫⊂⊥αα； ⑤线面垂直:,,a b a b O l l a l b ααα⊂⊂⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊥⊥⎭

；,l a a a l αβαββα⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭；

βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //；αα⊥⇒⎭

⎬⎫⊥b a b a //； ⑥面面垂直：二面角900

; βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a ；βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //；

二、立体几何中的重要方法

1、求角：（步骤-------Ⅰ找或作角；Ⅱ求角）

⑴异面直线所成角的求法：

①平移法：平移直线，构造三角形；

②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系．

注：还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角．

⑵直线与平面所成的角：①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h ，与斜线段长度作比，得sin θ；③三线三角公式

12cos cos cos θθθ=．

注：还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角．

⑶二面角的求法：①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平

面角，再求解；

②垂面法：作面与二面角的棱垂直；③投影法（三垂线定理）；④面积摄影法．

注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；

还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角．

2、求距离：（步骤-------Ⅰ找或作垂线段；Ⅱ求距离）

⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；或转化为线

面距离、点面距离；

⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；

⑶点到平面的距离：①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知

面的垂面是关键），再求解；②等体积法；还可用向量法：d=．

3、证明平行、垂直的理论途径：

①证明直线与直线的平行的思考途径：

（1）转化为判定共面二直线无交点（定义）；

（2）转化为两直线同与第三条直线平行；

（3）转化为线面平行；

（4）转化为线面垂直；

（5）转化为面面平行．

②证明直线与平面的平行的思考途径：

（1）转化为直线与平面无公共点（定义）；

（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行．

③证明平面与平面平行的思考途径：

（1）转化为判定两平面无公共点（定义）；

（2）转化为线面平行；

（3）转化为线面垂直．

④证明直线与直线的垂直的思考途径：

（1）转化为相交垂直；

（2）转化为线面垂直．

⑤证明直线与平面垂直的思考途径：

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直（定义）；（2）转化为该直线与平面内相交的两条直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；

（5）转化为该直线与两个垂直平面交线垂直．

⑥证明平面与平面的垂直的思考途径：

（1）转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面垂直．