线段和最短问题马饮水

线段和最短问题马饮水 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020

专题一两条线段和最短问题（一）

一．知识点：①轴对称的性质及应用（菱形、正方形都关于对角线成轴对称）

②两个固定点之间的距离线段最短

③两条平行线之间的距离垂线段最短、勾股定理

基础模型（马饮水）：相传古希腊亚历山大亚里城有一位著名学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个令他百思不得其解的问题：“如图，我每天策马往返于两个边防站A与B之间，途中都要到小河l边为坐骑饮水.怎样走路程最近呢”你能解答这个问题吗能画出最近的路线吗

二．解题步骤①定（找定点）②对（画对称点）③点共线找最短

最后求最短距离时①三个点中只要有定点求连线段最短（题1、2、4、5）

②如果全是动点，此时最短线段为两条平行线之间垂线段的长度（题3）三．典型练习

1.如图1，菱形ABCD的周长为16cm，∠ABC=60°，E是AB的中点，点P是BD上的一动点，那么AP+PE 的最小值等于_______cm.

图3

2.如图2，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________．

3.如图3，菱形ABCD中，AB=2, ∠BAD=60°，点E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，则PE+PF的最小值为___________

4．如图4，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE=1，若点P在对角线BD上移动，则PA+PE 的最小值是．

图2

D

A

B

C

P

M N

图 4 图 5

5.如图5所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ）

A ．23

B ．26

C ．3

D ．6

三 拔高练习

1.如图1，已知菱形ABCD 的两条对角线长分别是6和8，点M 、N 分别是边BC 、AB 上的动点，在对角线AC 上找一点P ，使PM +PN 有最小值，其最小值是 ．

2.如图2，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上的一点，BE=1，F 为AB 上的一点，AF=2，P 为AC 上一个动点，则PF +PE 的最小值为 ． 图1 图2 图10

3.（苏州中考题）如图3,在锐角△ABC 中，AB=42，∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是___________.

图3 图4 图5 4.如图4，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．

A

D

E P B C A D E P B C A D E P B C A D E P B C A D E P B C

5.如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为__________

6.如图6，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是__________

7．如图7，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是_________

图6 图7 图8 图9

6．如图8，在△ABC中，AB=，∠CAB=15°，M、N分别是AC、AB上的动点，则BM+MN的最小值是7．如图9，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．

（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由．

（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．

8.如图10已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=45，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）

A．（0，0）B．（1，1

2

）C．（

6

5

，

3

5

）D．（

10

7

，

5

7

）

9.四川省中考题如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是．