高考数学(理)自由复习步步高系列07(解析版)
步步高高三复习用书 第七章 7.4 第2课时 精品
第2课时 数列的综合应用题型一 数列和解析几何的综合问题典例 (2004·浙江)已知△OBC 的三个顶点坐标分别为O (0,0)，B (1,0)，C (0,2)，设P 1为线段BC 的中点，P 2为线段CO 的中点，P 3为线段OP 1的中点，对于每一个正整数n ，P n ＋3为线段P n P n ＋1的中点，令P n 的坐标为(x n ，y n )，a n ＝12y n ＋y n ＋1＋y n ＋2.(1)求a 1，a 2，a 3及a n 的值； (2)求证：y n ＋4＝1－y n4，n ∈N *；(3)若记b n ＝y 4n ＋4－y 4n ，n ∈N *，求证：{b n }是等比数列. (1)解 因为y 1＝y 2＝y 4＝1，y 3＝12，y 5＝34，所以a 1＝a 2＝a 3＝2，又由题意可知y n ＋3＝y n ＋y n ＋12，所以a n ＋1＝12y n ＋1＋y n ＋2＋y n ＋3＝12y n ＋1＋y n ＋2＋y n ＋y n ＋12 ＝12y n ＋y n ＋1＋y n ＋2＝a n ， 所以{a n }为常数列，所以a n ＝a 1＝2，n ∈N *.(2)证明 将等式12y n ＋y n ＋1＋y n ＋2＝2两边除以2得14y n ＋y n ＋1＋y n ＋22＝1.又因为y n ＋4＝y n ＋1＋y n ＋22，所以y n ＋4＝1－y n4.(3)证明 因为b n ＋1＝y 4n ＋8－y 4n ＋4 ＝⎝⎛⎭⎫1－y 4n ＋44－⎝⎛⎭⎫1－y 4n 4＝－14(y 4n ＋4－y 4n )＝－14b n ，又因为b 1＝y 8－y 4＝－14≠0，所以{b n }是首项为－14，公比为－14的等比数列.思维升华 利用题目中曲线或直线上点的坐标之间的关系，得到数列的递推关系，然后利用数列的递推关系寻求数列通项，从而求解题目.跟踪训练 (2016·浙江)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合).若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( ) A.{S n }是等差数列 B.{S 2n }是等差数列 C.{d n }是等差数列 D.{d 2n }是等差数列答案 A解析 作A 1C 1，A 2C 2，A 3C 3，…，A n C n 垂直于直线B 1B n ，垂足分别为C 1，C 2，C 3，…，C n ， 则A 1C 1∥A 2C 2∥…∥A n C n .∵|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，∴|C n C n ＋1|＝|C n ＋1C n ＋2|. 设|A 1C 1|＝a ，|A 2C 2|＝b ，|B 1B 2|＝c ， 则|A 3C 3|＝2b －a ，…，|A n C n |＝(n －1)b －(n －2)a (n ≥3)，∴S n ＝12c [(n －1)b －(n －2)a ]＝12c [(b －a )n ＋(2a －b )]，∴S n ＋1－S n ＝12c [(b －a )(n ＋1)＋(2a －b )－(b －a )n －(2a －b )]＝12c (b －a )，∴数列{S n }是等差数列.题型二 利用放缩法求解数列问题典例 已知数列{}a n 满足1a n ＋1＝12a n ＋12且a 1＝4(n ∈N *). (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝a 2n －a n ，且S n 为{}b n 的前n 项和，证明：12≤S n <15. (1)解 由1a n ＋1＝12a n ＋12得， 1a n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎫1a n －1， 由a 1＝4得1a 1－1＝－34，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为－34，公比为12的等比数列.所以⎝⎛⎭⎫1a n －1＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1⎝⎛⎭⎫12n －1＝－34⎝⎛⎭⎫12n －1， 即a n ＝2n＋12n ＋1－3.(2)证明b n ＝a 2n －a n ＝3·2n ＋1(2n ＋1－3)2， 又S n ＋1－S n ＝b n ＋1＝3·2n ＋2(2n ＋2－3)2>0，故S n 是关于n 的递增数列，故S n ≥S 1＝b 1＝a 21－a 1＝12.当k ≥2时，b k ＝a 2k －a k ＝3·2k ＋1(2k ＋1－3)2<3·2k ＋1(2k ＋1－3)(2k ＋1－4)＝3·2k(2k ＋1－3)(2k －2) <3·2k (2k ＋1－3)(2k－3)＝3⎝⎛⎭⎫12k －3－12k ＋1－3， 故S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12＋b 2＋b 3＋…＋b n<12＋3⎝⎛⎭⎫122－3－123－3＋123－3－124－3＋…＋12n －3－12n ＋1－3＝15－32n ＋1－3<15.综上有12≤S n <15.思维升华 对于和不等式结合的数列问题，常利用适度放缩，对数列通项或递推式进行变形，从而达到式子的统一，进行求和或证明.跟踪训练 (2017·湖州调研)已知数列{a n }满足a 1＝25，a n ＋1＝2a n 3－a n ，n ∈N *.(1)求a 2；(2)求⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的通项公式；(3)设{a n }的前n 项的和为S n ，求证：65⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n ≤S n <2113. (1)解 由条件可知a 2＝2a 13－a 1＝413. (2)解 由a n ＋1＝2a n3－a n， 得1a n ＋1＝32·1a n －12， 即1a n ＋1－1＝32⎝⎛⎭⎫1a n －1，又1a 1－1＝32≠0， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为32，公比为32的等比数列，则1a n －1＝32×⎝⎛⎭⎫32n －1＝⎝⎛⎭⎫32n， 所以1a n ＝⎝⎛⎭⎫32n ＋1.(3)证明 由(2)可得 a n ＝1⎝⎛⎭⎫32n ＋1≥1⎝⎛⎭⎫32n ＋⎝⎛⎭⎫32n －1＝25·⎝⎛⎭⎫23n －1. 所以S n ≥25＋25·⎝⎛⎭⎫231＋…＋25·⎝⎛⎭⎫23n －1＝65⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n ， 故S n ≥65⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n 成立. 另一方面a n ＝1⎝⎛⎭⎫32n ＋1<1⎝⎛⎭⎫32n ＝⎝⎛⎭⎫23n ，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <25＋413＋⎝⎛⎭⎫233＋⎝⎛⎭⎫234＋…＋⎝⎛⎭⎫23n ＝4665＋89－89·⎝⎛⎫23n －2<4665＋89<2113，n ≥3， 又S 1＝25<2113，S 2＝4665<2113，因此S n <2113，n ∈N *.所以65⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n ≤S n <2113. 题型三 数列和绝对值不等式典例 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N *). (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪⎪⎪a n －12为递减数列； (2)记S n 为数列{|a n ＋1－a n |}的前n 项和，证明：S n <53(n ∈N *).证明 (1)由题意知a n >0，故⎪⎪⎪⎪a n ＋1－12⎪⎪⎪a n －12＝12a n ＋1<1， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪⎪⎪a n －12为递减数列.(2)因为a 1＝1，a 2＝13，所以当n ≥3时，⎪⎪⎪⎪a n －12<16，所以13<a n <23(n ≥3)，故13≤a n <23(n ≥2). 因为|a n ＋2－a n ＋1||a n ＋1－a n |＝22a n ＋3≤611(n ≥2)，当n ＝1时，也满足上式，故|a n ＋1－a n |≤|a 2－a 1|·⎝⎛⎭⎫611n －1， 所以S n ＝|a 2－a 1|＋|a 3－a 2|＋…＋|a n ＋1－a n | ≤|a 2－a 1|·1－⎝⎛⎭⎫611n1－611<2215<53(n ∈N *).思维升华 数列和绝对值不等式的综合问题，常利用绝对值的几何意义或绝对值三角不等式对数列通项求数列的和进行放缩.跟踪训练 (2016·浙江)设数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1，n ∈N *.(1)证明：|a n |≥2n －1(|a 1|－2)，n ∈N *；(2)若|a n |≤⎝⎛⎭⎫32n ，n ∈N *，证明：|a n|≤2，n ∈N *. 证明 (1)由⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1得|a n |－12|a n ＋1|≤1，故|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1≤12n ，n ∈N *， 所以|a 1|21－|a n |2n ＝⎝⎛⎭⎫|a 1|21－|a 2|22＋⎝⎛⎭⎫|a 2|22－|a 3|23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n －1|2n －1－|a n |2n ≤121＋122＋…＋12n －1＜1，n ≥2. 因此|a n |≥2n －1(|a 1|－2)，n ＝1时也成立.(2)任取n ∈N *，由(1)知，对于任意m ∈N *，m ＞n ，|a n |2n －|a m |2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n ＋1|2n ＋1－|a n ＋2|2n ＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a m －1|2m －1－|a m |2m ≤12n ＋12n ＋1＋…＋12m －1＜12n －1， 故|a n |＜⎝⎛⎭⎫12n －1＋|a m |2m ·2n ≤⎣⎡⎦⎤12n －1＋12m ·⎝⎛⎭⎫32m ·2n ＝2＋⎝⎛⎭⎫34m ·2n . 从而对于任意m ＞n ，均有|a n |＜2＋⎝⎛⎭⎫34m ·2n . ①由m 的任意性得|a n |≤2.否则，存在n 0∈N *，有|0n a |＞2，取正整数m 0＞00342log 2n n a -且m 0＞n 0，则0300402log 2332()2()2,44n n a n m nn a -⋅⋅=-＜与①式矛盾.综上，对于任意n ∈N *，均有|a n |≤2.四审结构定方案典例 (15分)(2018届浙江“七彩阳光”联盟联考)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋1n a n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2na n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，试求数列{S 2n －S n }的最小值；(3)求证：当n ≥2时，S 2n ≥7n ＋1112.(1)a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋1n a n ――――→确定方案构造数列a n ＋1n ＋1＝2·a n n {}n a n−−−−−→求等比列的通公式an n ＝2n ―→a n ＝n ·2n (2)b n ＝2n a n ＝1n ―→S 2n －S n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n――――――→确定解题方案利用数列单调性设c n ＝S 2n －S n ―――→作差法确定{c n }单调性并求最值(3)利用数列{c n }表示2n S ――――→结合(2)中结论放缩法证明结论 规范解答(1)解 由条件a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋1n a n ， 得a n ＋1n ＋1＝2·a nn ，又a 1＝2，所以a 11＝2，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 构成首项为2，公比为2的等比数列．[4分]a n n＝2·2n －1＝2n ，因此，a n ＝n ·2n . [6分](2)解 由(1)得b n ＝1n ，设c n ＝S 2n －S n ，则c n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，[8分]所以c n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，从而c n ＋1－c n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＞12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0，因此数列{c n }是递增数列，所以(c n )min ＝c 1＝12.[10分](3)证明 当n ≥2时，11221122222()()()n n n n n S S S S S S S S ---=-+-++-+… 1221122,n n c c c c S --=+++++…[13分]由(2)知12222,n n c c c --≥≥…≥ 又c 1＝12，S 1＝1，c 2＝712，所以2n S ≥(n －1)c 2＋c 1＋S 1 ＝712(n －1)＋12＋1＝7n ＋1112.[15分]1．(2017·浙江镇海中学模拟)如图，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )是曲线C ：y 2＝x (y >0)上的n 个点，点A i (a i,0)(i ＝1,2，…，n )在x 轴的正半轴上，△A i －1A i P i 满足A i －1P i ＝P i A i 且∠A i －1P i A i ＝π2(A 0是坐标原点)． (1)求a 1；(2)求证：数列{a n ＋1－a n }是等差数列．(1)解 ∵P 1⎝⎛⎭⎫a 12，a 12在曲线C 上，∴a 214＝a12，∴a 1＝2.(2)证明 ∵P i ⎝⎛⎭⎫a i ＋a i －12，a i －a i －12在曲线C 上，∴(a i －a i －1)24＝a i ＋a i －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a n ＋1－a n )2＝2(a n ＋1＋a n )，(a n ＋2－a n ＋1)2＝2(a n ＋2＋a n ＋1)， 两式相减得，a n ＋2＋a n －2a n ＋1＝2， 即(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2， ∴数列{a n ＋1－a n }是等差数列.2.已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项.(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列；(2)设a 1＝d ，T n ＝∑2nk ＝1 (－1)k b 2k ，n ∈N *，求证：∑nk ＝11T k <12d 2. 证明 (1)由题意得b 2n ＝a n a n ＋1，c n ＝b 2n ＋1－b 2n ＝a n ＋1a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1.因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2， 所以{c n }是等差数列.(2)T n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝2d ·n (a 2＋a 2n )2＝2d 2n (n ＋1).所以∑nk ＝1 1T k＝12d 2∑n k ＝1 1k (k ＋1)＝12d 2∑n k ＝1 ⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1 ＝12d 2·⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1<12d 2. 3.已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2nta n ＋2.(1)若t ＝0，求数列{a n }的通项公式；(2)若t ＝1，求证：23≤2a 1a 1＋2＋4a 2a 2＋2＋6a 3a 3＋2＋…＋2na n a n ＋2<32.(1)解 因为t ＝0，所以a n ＋1＝a 2n2.又a 1＝1，所以a n >0， 从而ln a n ＋1＝2ln a n －ln 2， 从而ln a n ＋1－ln 2＝2[ln a n －ln 2]，即ln a n ＋12＝2ln a n2， 又lna 12＝－ln 2≠0， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫ln a n 2是首项为－ln 2，公比为2的等比数列.所以lna n 2＝⎝⎛⎭⎫ln a 122n －1＝12ln 2,n -- 所以a n 2＝122n --，即a n ＝1122.n -- (2)证明 首先，由a 1＝1，a n ＋1＝a 2n a n ＋2，得a n >0， 有2a 1a 1＋2＋4a 2a 2＋2＋6a 3a 3＋2＋…＋2na n a n ＋2≥2a 1a 1＋2＝23. 因为a n ＋1－a n ＝－2a n a n ＋2<0，所以{a n }为递减数列.a n ＋1a n ＝a n a n ＋2＝1－2a n ＋2≤1－2a 1＋2＝13， 即a n ＋1≤13a n ，所以a n ≤a 1⎝⎛⎭⎫13n －1＝⎝⎛⎭⎫13n －1， 其次，由2a n a n ＋2＝a n －a n ＋1 (n ∈N *)，所以2a 1a 1＋2＋4a 2a 2＋2＋6a 3a 3＋2＋…＋2na na n ＋2＝(a 1－a 2)＋2(a 2－a 3)＋3(a 3－a 4)＋…＋n (a n －a n ＋1) ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －na n ＋1 <1＋13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －1 ＝1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13<32. 即23≤2a 1a 1＋2＋4a 2a 2＋2＋6a 3a 3＋2＋…＋2na n a n ＋2<32得证. 4.设正项数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ，m ∈N *，n >m ，均有a 2n ＋m ·a 2n －m ＝n 2－m 2成立.(1)求a 2，a 3的值，并求数列{a n }的通项公式； (2)①比较a 2n －1＋a 2n ＋1与2a 2n 的大小；②证明：a 2＋a 4＋…＋a 2n >nn ＋1(a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1).(1)解 令m ＝1，得a 2n ＋1a 2n －1＝n 2－1， 从而a 21a 23＝3，所以a 3＝ 3.令n ＝m ＋2，得a 22m ＋2·a 22＝4m ＋4， 从而a 4＝8a 2，a 6＝12a 2， 又a 4a 6＝52－1＝24， 所以a 22＝2，a 2＝2，从而a 2m ＋2＝2m ＋2，可知当n 为偶数时，a n ＝n ； 令n ＝m ＋1，得a 2m ＋1＝2m ＋1， 可知当n 为奇数时，a n ＝n . 综上可得a n ＝n (n ∈N *). (2)①解 因为a 2n －1＋a 2n ＋1－2a 2n ＝a 2n ＋1－a 2n ＋a 2n －1－a 2n＝(2n ＋1－2n )＋(2n －1－2n ) ＝12n ＋1＋2n －12n －1＋2n<0，所以a 2n －1＋a 2n ＋1<2a 2n .②证明 即证明2＋4＋…＋2n >n n ＋1(1＋3＋5＋…＋2n ＋1).由①得1＋3<22，3＋5<24，…，2n －1＋2n ＋1<22n ， 将上述的n 个式子相加得2(1＋3＋…＋2n －1＋2n ＋1)－(1＋2n ＋1) <2(2＋4＋…＋2n )，所以2＋4＋…＋2n >(1＋3＋5＋…＋2n ＋1)－1＋2n ＋12，所以只需证1＋3＋…＋2n ＋1－1＋2n ＋12≥nn ＋1(1＋3＋…＋2n ＋1)， 即1＋3＋…＋2n ＋1≥(n ＋1)(1＋2n ＋1)2.事实上，当k ＝0,1,2，…，n 时， 1＋2k ＋2n ＋1－2k －1－2n ＋1＝2k 1＋2k ＋1－2k 2n ＋1－2k ＋2n ＋1≥0 (因为1＋2k ≤1＋2n ，1≤2n ＋1－2k )， 所以1＋2k ＋2n ＋1－2k ≥1＋2n ＋1， 从而1＋3＋…＋2n ＋1 ＝12[(1＋2n ＋1)＋(3＋2n －1)＋…＋(2n －1＋3)＋(2n ＋1＋1)] ≥12(n ＋1)(1＋2n ＋1). 所以原式得证.5.已知正项数列{a n }满足a 1＝3，a 2n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.求证：(1)数列{a n }是单调递减数列；(2)|a n ＋1－2|<14|a n －2|，n ∈N *； (3)|a 1－2|＋2|a 2－2|＋3|a 3－2|＋…＋n |a n －2|<169，n ∈N *. 证明 (1)由a 2n ＋1＝a n ＋2，得a 2n ＋2＝a n ＋1＋2，两式相减，得a 2n ＋2－a 2n ＋1＝a n ＋1－a n ，即(a n ＋2－a n ＋1)(a n ＋2＋a n ＋1)＝a n ＋1－a n ，因为a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1>0，所以a n ＋2－a n ＋1与a n ＋1－a n 同号.由a 22＝a 1＋2＝5，得a 2＝5，a 2－a 1＝5－3<0，所以a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，故数列{a n }是递减数列.(2)由a 2n ＋1＝a n ＋2，得a 2n ＋1－4＝a n －2，即(a n ＋1＋2)(a n ＋1－2)＝a n －2，所以|a n ＋1－2|＝|a n －2|a n ＋1＋2， 由(a n ＋1＋2)(a n ＋1－2)＝a n －2，知a n ＋1－2与a n －2同号，由a 1－2＝3－2>0，知a n －2>0，即a n >2， 故a n ＋1＋2>4.所以1a n ＋1＋2<14， 所以|a n ＋1－2|<14|a n －2|，n ∈N *.(3)由(2)知，当n ≥2时，有|a n －2|＝|a 1－2|×|a 2－2||a 1－2|×|a 3－2||a 2－2|×…× |a n －2||a n －1－2|<14n －1|a 1－2|＝14n －1， 所以当n ≥2时，有|a 1－2|＋2|a 2－2|＋3|a 3－2|＋…＋n |a n －2|<1＋24＋342＋…＋n 4n －1， 令S n ＝1＋24＋342＋…＋n 4n 1， 则14S n ＝14＋242＋343＋…＋n 4n ， 所以34S n ＝1＋14＋142＋143＋…＋14n －1－n 4n ＝1－14n 1－14－n 4n ＝43－43×4n －n 4n <43， 所以S n <169， 故|a 1－2|＋2|a 2－2|＋3|a 3－2|＋…＋n |a n －2|<169，n ≥2.又当n ＝1时，|a 1－2|＝1<169. 综上，|a 1－2|＋2|a 2－2|＋3|a 3－2|＋…＋n |a n －2|<169，n ∈N *.6.(2017·金华十校调研)已知数列{x n }满足x n ∈(0,1)(n ∈N *)，函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x 在点(x n ，f (x n ))处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ＋1.(1)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )>2x ；(2)证明：x n ＋1<x 3n ；(3)若x 1∈(0，a )，a ∈(0,1)，求证：对任意的正整数m ，都有12*11log log log ()(N ).23n n n m n x x x a a a n ++-++⋅⋅⋅+<⋅∈ 证明 (1)设g (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )－2x ，则g ′(x )＝2x 21－x 2， 故当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，函数g (x )在(0,1)上单调递增， 所以g (x )>g (0)＝0，即f (x )>2x .(2)由f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝21－x 2， 知曲线在点(x n ，f (x n ))处的切线方程为y ＝21－x 2n(x －x n )＋f (x n ).令y ＝0，有x n ＋1＝x n ＋12f (x n )(x 2n －1)， 则x n ＋1＝12(x 2n －1)ln 1＋x n 1－x n＋x n .由(1)及x 2n －1<0知， x n ＋1<12(2x n )·(x 2n －1)＋x n ＝x 3n . (3)令log n k x a +＝b k (k ＝0,1，…，m ). 因为x n ＋k <x 3n ＋k －1，且a ∈(0,1)，x n ∈(0,1)， 所以log a x n ＋k >log a x 3n ＋k －1，从而有b k ＝31log log n k x n k a x a ++-<＝13b k －1<⎝⎛⎭⎫132b k －2<…<⎝⎛⎭⎫13k b 0， 所以1log log log n n n m x x x a a a ++++⋅⋅⋅+ ＝b 0＋b 1＋…＋b m<b 0⎣⎡⎦⎤1＋13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13m ＝32b 0⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m ＋1<32b 0. 要证1211log log log (),23n n n m n x x x a a a ++-++⋅⋅⋅+<⋅ 只需证32b 0<12·⎝⎛⎭⎫13n －2， 即证b 0<⎝⎛⎭⎫13n －1，即证11log (),3n n x a -< 即证13,n n x a -<由(2)及x 1∈(0，a )可得2113333121.n n n n n x x x x a ----<<<⋅⋅⋅<<综上即可证得.。
高考数学(文)自由复习步步高系列07(解析版).docx
【课本内容再回顾——查缺补漏】回顾一：统计与统计案例（1）随机抽样：①简单随机抽样：一般地，从元素个数为N的总体中__________地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．最常用的简单随机抽样的方法：____________和________________．简单随机抽样适用范围是：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小。
②系统抽样：假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，第一步，先将总体的N个个体________；第二步，确定____________，对编号进行________，当Nn(n是样本容量)是整数时，取k＝Nn；当Nn(n是样本容量)不是整数时，先用简单随机抽样剔除Nn-[Nn]个个体，取k＝[Nn]；第三步，在第1段用________________确定第一个个体编号l (l≤k)；第四步，按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号____________，再加k得到第3个个体编号__________，依次进行下去，直到获取整个样本．系统抽样的适用范围是：元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等。
③分层抽样：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样，将总体中各个个体按某种特征分成若干个______________的几部分，每一部分叫做______，在各层中按层在总体中所占比例进行____________抽样或________抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样的应用范围是：总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．（2）用样本估计总体：在研究总体时，常用样本的频率分布去估计总体分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。
①频率分布直方图：在频率分布直方图中，纵轴表示________，数据落在各小组内的频率用___________表示，各小长方形的面积总和等于______．连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着__________的增加，作图时所分的________增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为____________，它能够更加精细的反映出_______________________________________________________．作频率分布直方图的步骤如下：(ⅰ)求极差；(ⅱ)确定组距和组数；(ⅲ)将数据分组；(ⅳ)列频率分布表；(ⅴ)画频率分布直方图．频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状． ②茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始信息，而且可以随时记录，给记录和表示都带来方便．③用样本的数字特征估计总体的数字特征：(ⅰ)平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝______________________________.(ⅱ)样本方差、标准差：标准差s ＝ 1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．回顾二：概率、离散型随机变量及其分布列（1）概率的有关概念：件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n.从集合的角度去看待古典概型，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故P (A )＝card(A )card(I )＝m n. （3）几何概型：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型．在几何概型中，事件A 的概率定义为：P (A )＝μA μΩ，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA 表示子区域A 的几何度量．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；②等可能性：每个结果的发生具有等可能性。
2015步步高高中数学理科文档第七章 7.4
§7.4 合情推理与演绎推理1.推理根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理.推理一般分为合情推理与演绎推理两类. 2.合情推理3.(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理； (2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；(3)模式：三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确. ( × ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( √ ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( × )(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.( √ ) (5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n ＝n (n ∈N ＋).( × ) (6)2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…， 6＋b a ＝6ba (a ，b 均为实数)，则可以推测a ＝35，b ＝6. ( √ ) 2.数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( )A.28B.32C.33D.27答案 B解析 5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9， 推出x －20＝12，所以x ＝32.3.观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的后四位数字为 ( ) A.3 125 B.5 625 C.0 625 D.8 125答案 D解析 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m＋4k与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 011＝4×501＋7，所以52 011与57后四位数字相同为8125，故选D. 4.(2013·陕西)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________.答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{a n }，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列.类比以上结论有设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列.答案T 8T 4 T 12T 8解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ， 则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12， T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列.题型一 归纳推理例1 设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.思维启迪 解题的关键是由f (x )计算各式，利用归纳推理得出结论并证明. 解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均为f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1， ∵f (x 1)＋f (x 2)＝131x ＋3＋132x ＋3＝(31x ＋3)＋(32x ＋3)(31x ＋3)(32x ＋3)＝31x ＋32x ＋23321x x +＋3(31x ＋32x )＋3＝31x ＋32x ＋233(31x ＋32x )＋2×3＝31x ＋32x ＋233(31x ＋32x ＋23)＝33. 思维升华 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的. (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用.(1)观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应为________________________.(2)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则有______.答案 (1)5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 (2)f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *) 解析 (1)由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81. (2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22.故填f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *).题型二 类比推理例2 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.思维启迪 等差数列{a n }和等比数列{b n }类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算. 答案 n －m d nc m解析 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1，a m ＋n ＝nb －ma n －m ，所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.(3)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.(1)给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r ＝a 2＋b 22(其中a ，b 为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a ，b ，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径R ＝________. 答案 (1)B (2)a 2＋b 2＋c 22解析 (1)①②错误，③正确.(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径. 题型三 演绎推理例3 已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a >0，且a ≠1).(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值.思维启迪 证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数y ＝f (x )的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上.小前提是f (x )＝－a a x ＋a (a >0且a ≠1)的图象关于点(12，－12)对称.(1)证明 函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )， 它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x ，－1－y ).由已知得y ＝－a a x ＋a ，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a ，f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x ＋a ＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a ，∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称.(2)解 由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )，即f (x )＋f (1－x )＝－1. ∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1. 则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.已知函数y ＝f (x )，满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数. 证明 设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1). 所以y ＝f (x )为R 上的单调增函数.高考中的合情推理问题典例：(1)(5分)(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.思维启迪 从已知的部分k 边形数观察一般规律写出N (n ，k )，然后求N (10,24).解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000. 答案 1 000(2)(5分)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________. 思维启迪 直接类比可得. 解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 则P 1，P 2的切线方程分别是 x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上， 故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1， 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb2＝1.答案x 0x a 2－y 0y b 2＝1 (3)(5分)在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项： k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…，n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)].相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)·(n ＋2).类比上述方法，请你计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)·(n ＋2)”，其结果为________. 思维启迪 根据两个数积的和规律猜想，可以利用前几个式子验证.解析 类比已知条件得k (k ＋1)(k ＋2)＝14[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]，由此得1×2×3＝14(1×2×3×4－0×1×2×3)，2×3×4＝14(2×3×4×5－1×2×3×4)，3×4×5＝14(3×4×5×6－2×3×4×5)，…，n (n ＋1)(n ＋2)＝14[n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)－(n －1)n (n ＋1)(n ＋2)].以上几个式子相加得：1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2) ＝14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3). 答案 14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)温馨提醒 (1)合情推理可以考查学生的抽象思维能力和创新能力，在每年的高考中经常会考到；(2)合情推理的结论要通过演绎推理来判断是否正确.方法与技巧1.合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.失误与防范1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于() A.28 B.76 C.123 D.199答案 C解析观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.2.定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(1)1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于()A.nB.n＋1C.n－1D.n2答案 A解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝ (1)3.下列推理是归纳推理的是()A.A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆B.由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 B解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B.4.已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证：a <b . 证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B . ∴a <b ，其中，画线部分是演绎推理的( )A.大前提B.小前提C.结论D.三段论答案 B解析 由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提.5.若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n )也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A.d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB.d n ＝c 1·c 2·…·c nnC.d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD.d n ＝n c 1·c 2·…·c n答案 D解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ， ∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝(1)21n n n c q-，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝121n c q-，即{d n }为等比数列，故选D.二、填空题6.仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________. 答案 14解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……， 则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n (n ＋3)2， 易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14.7．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a ，b ∈S ，对于有序元素对(a ，b )，在S 中有唯一确定的元素a *b 与之对应)，若对任意的a ，b ∈S ，有a *(b *a )＝b ，则对任意的a ，b ∈S ，下列等式中不恒成立的是________．(填序号) ①[a *(b *a )]*(a *b )＝a ②b *(b *b )＝b ③(a *b )*a ＝a ④(a *b )*[b *(a *b )]＝b答案 ③解析 根据新定义[a *(b *a )]*(a *b )＝b *(a *b )＝a ，①正确；b *(b *b )＝b ，②也正确；a *(b *a )＝b ，③错误；(a *b )*[b *(a *b )]＝(a *b )*a ＝b ，④也正确，故填③.8.在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于点E ，则类比得到的结论是________.答案BE EA ＝S △BCDS △ACD解析 易知点E 到平面BCD 与平面ACD 的距离相等， 故V E －BCD V E －ACD ＝BE EA ＝S △BCD S △ACD . 三、解答题9.已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律.解 (1)由于a 1＝5，d ＝2， ∴S n ＝5n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋4).(2)∵T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n . ∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39， T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21， S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45. 由此可知S 1＝T 1，当n ≥2时，S n <T n .归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n .10.在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由. 解 如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ， ∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ， 则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD . ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2，∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1.给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③若“a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”.其中类比结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案 C解析 ①②正确，③错误.因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小. 2.设是R 的一个运算，A 是R 的非空子集.若对于任意a ，b ∈A ，有ab ∈A ，则称A 对运算封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( ) A.自然数集 B.整数集 C.有理数集D.无理数集答案 C解析 A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭. 3.平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为________. 答案 n 2＋n ＋22解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域.4.数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *).证明：(1)数列{S nn }是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，(小前提) 故{S nn }是以2为公比，1为首项的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2).(小前提) 又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1， (小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)5.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现，(1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心；(2)计算f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013).解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1， 由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12.f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1).(2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)，所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2.故f (12 013)＋f (2 0122 013)＝2，f (22 013)＋f (2 0112 013)＝2， f (32 013)＋f (2 0102 013)＝2， …f (2 0122 013)＋f (12 013)＝2. 所以f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013)＝12×2×2 012＝2 012.。
高考数学(理)自由复习步步高系列01(解析版).docx
【热点知识再梳理——胸有成竹】第一块 集合与简易逻辑考点一 集合的概念及运算[1]集合概念,元素与集合的属于关系1.设集合{}0,1,2A =,则集合{},B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是()A .1B .3C .5D .92.已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是( )A .(－∞，1]B .[1，＋∞)C .[0，＋∞)D .(－∞，1)[2]集合间的关系(相等与包含)3.已知集合220{|}A x x x =<－－，11{|}B x x =<<－，则( )A .AB Ø B .B A ØC .A B =D .A B =∅I4.已知集合{}3,2,21A m =--,集合{}22,B m=.若B A B =I,则实数m ＝ .5.已知集合{}0,1,2,3,4M =,{}1,3,5N =,P M N =⋂,则P 的子集共有( )A .2个B .4个C .6个D .8个6.已知集合{}2/320A x x x =-+=,{}/05,B x x x N =<<∈,则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为( )A .1B . 2C .3D .4[3]集合间的运算7.已知集合{}{}0,1,2,3,4,|2,A B x x ==<则A B =I ( )A .{}0B .{}0,1C .{}0,2D .{}0,1,28.设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则()R S T =U ð( )A .(2,1]-B .(,4]-∞-C .(,1]-∞D .[1,)+∞9.已知集合(){,|A x y x y =、为实数，且}221xy +=，(){,|B x y x y =、为实数，且}1x y +=，则A BI 的元素个数为( )A .4B .3C .2D .1[4]韦恩图10.设全集()2{|}{|()}211x x U R A x B x y ln x <－＝，＝，＝＝－，则如图中阴影部分表示的集合为( )A .{x |x ≥1}B .{x |1≤x <2}C .{x |0<x ≤1}D .{x |x ≤1}[5]新概念11.已知集合M ＝{1,2,3,4}，A ⊆M .集合A 中所有元素的乘积称为集合A 的“累积值”，且规定：当集合A 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.当集合A 的累积值是奇数时，这样的集合A 共有________个.考点二 命题[6]命题的真假判断与四种命题(原命题,否命题,逆命题,逆否命题)12.下列有关命题的说法正确的是( )A .命题“若1,12==x x 则”的否命题为:“若1,12≠=x x 则”B .“1x =-”是“0652=--x x ”的必要不充分条件C .命题“01,2<++∈∃x x R x 使得”的否定是：“2,10x R x x ∀∈++>都有”D .命题“若y x y x sin sin ,==则”的逆否命题为真命题13.下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题： {}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为()A .12,p pB .34,p pC .23,p pD .14,p p14.命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是( )A .若α ≠4π，则tan α≠1 B . 若α=4π，则tan α≠1C . 若tan α≠1，则α≠4π D . 若tan α≠1，则α=4π15.命题“∃x ∈R ,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________. 【答案】22,22⎡⎤-⎣⎦【解析】“∃x ∈R ,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R ,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，因此294290a ∆=-⨯⨯≤2222a ⇒-≤≤,故填22,22⎡⎤-⎣⎦.[7]简单的逻辑连接词(真值表,否定) 16.设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是( )A .p 为真B .q ⌝为假C .p q ∧为假D .p q ∨为真17.命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是( )A .所有能被2整除的整数都是奇数B .所有不能被2整除的整数都不是奇数C .存在一个能被2整除的整数是奇数D .存在一个不能被2整除的整数不是奇数[8]全称与特称命题(命题真假与否定)18.命题"存在实数x ,使得1"x >的否定( )A .对任意实数x ,都有1x >B .不存在实数x ,使得1x ≤C .对任意实数x ,都有1x ≤D .存在实数x ,使得1x ≤19.已知命题:p x R ∀∈，23xx<；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是( )A .p q ∧B .p q ⌝∧C .p q ∧⌝D .p q ⌝∧⌝20.若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 .考点三 充要条件的判断[9]充要条件的判断(大范围小范围)21.“2320x x -+->”是“1x >”成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件22.已知函数lg(4)y x =-的定义域为A ,集合{|}B x x a =<,若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围 .【答案】()4,+∞[10] 充要条件的判断(递推关系,命题真假)23.设,R a b ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数iba +为纯虚数”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件24.已知,αβ表示两个不同的平面，m 是一条直线且m ⊂α，则“⊥αβ”是“m ⊥β”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件25.设a R ∈，则“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2:140l x a y +++=平行”的A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件[11]已知条件关系求条件26.双曲线221y x m-=的离心率大于2的充分必要条件是( ) A .12m >B .1m ≥C .1m >D .2m >27.若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是23x ≤≤,则实数m 的取值范围 是______.第二块 基本初等函数 函数与方程及函数的应用考点一 基本初等函数的图像与性质 [1]基本初等函数图像1.函数()0,1xy a a a a =->≠的图像可能是( )【答案】C【解析】当x ＝1时,10y a a =-=,所以xy a a =-过定点()1,0,结合选项可知选C .[2]基本初等函数性质4.下列函数中,在区间()0,+∞上为增函数的是( )A.()ln2y x=+B.1y x=-+C.12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭D.1y xx=+5.若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数,则a =____.6.函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________[3]指对数运算(求值)7.已知函数()lg f x x =,若()1f ab =,则22()()f a f b +=_________.8.方程91331x x+=-的实数解为 .9.lg 5lg 20+的值是____________.10.已知y x ,为正实数,则( )A .y x y x lg lg lg lg 222+=+B . lg()lg lg 222x y x y +=gC .y x y x lg lg lg lg 222+=•D . lg()lg lg 222xy x y =g11.23log 9log 4⨯=( )A .14B .12C .2D .4[4]指对数大小比较12.设3522,2,3,a log b log c log ＝＝＝则( )A .a >c >bB .b >c >aC .c >b >aD .c >a >b【答案】D()ln 1,1xc e x e -==∈,0ln 11111ln ln ln11ln 0222xe x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⇒-<<⇒<< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则b >c >a .故选B . [5]幂函数概念14.已知幂函数()y f x =的图象过点12()22，,则4log (2)f 的值为( ) A .14 B .－14C .2D .－2[6]反函数16.设函数()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2),则函数1()y f x x-=-的图象一定过点 .考点二 函数零点[7]零点存在性定理(正向用 逆向用)17.函数()23xf x x ＝＋的零点所在的一个区间是( )A .(－2,－1)B .(－1,0)C .(0,1)D .(1,2)18.已知函数()2f x x x a =++在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________．[8]二次函数零点问题19.已知a 是实数,函数()21f x ax x =--,如果函数()y f x =在区间()0,1上有零点,求实数a 的取值范围______.[9]分段函数的零点问题 20.已知函数()21,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数是( ) A .2 B .3 C .4D.521.若函数()2,0ln ,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩有两个不同的零点,则实数a 的取值范围是________.[11]图像交点(数形结合)22.函数121()()2xf x x =-的零点个数为( )A .0B .1C .2D .323.设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则( )A .0a b <<B .0b a <<C .0a b <<D .0b a <<24.对实数a 和b ,定义运算“⊗”: a b ⊗=,1,1a ab b a b -≤⎧⎨->⎩,设函数2()(2)(1)f x x x =-⊗-,x R ∈.若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是( )A .(1,1](2,)-⋃+∞B .(2,1](1,2]--⋃C . (,2)(1,2]-∞-⋃D .[2,1]--[11]二分法25.用二分法研究函数()331f x x x =+-的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________．考点三 函数的实际应用 [12]二次,三次等多项式函数模型26.某集团为了获得更大的利润,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t (百万元)可增加销售额约为25t t -+(百万元)(0≤t ≤3).(1)若该集团将当年的广告费控制在三百万元以内,则应投入多少广告费,才能使集团由广告费而产生的收益最大？(2)现在该集团准备投入三百万元,分别用于广告促销和技术改造.经预算,每投入技术改造费x (百万元),可增加的销售额约为32133x x x -++(百万元).请设计一个资金分配方案,使该集团由这两项共同产生的收益最大.即当集团投入两百万元广告费时,才能使集团由广告费而产生的收益最大.【综合模拟练兵——保持手感】1.若函数()21f x x ax =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A .()2,2-B .()(),22,-∞-+∞UC .(][),22,-∞-+∞UD .[]2,2-2.已知集合32A x x Z Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭且，则集合A 中的元素个数为（ ） A .2 B .3 C .4 D .53.定义在R 上的偶函数f (x )在（0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式()0xf x >的解集是( ) A ．(0，13) B ．(13 ，＋∞) C ．(-13，0)∪(13，＋∞) D ．(-∞，-13)∪(0，13)4.下列命题中的假命题是A .1,20x x R -∀∈>B .2,(1)0x N x *∀∈->C .,ln 1x R x ∃∈<D .,tan 2x R x ∃∈=5.函数1,0()2,0x x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，则f (f (0))的值为_________.6.已知函数f (x )=x -[x ],其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数，若关于x 的方程f (x )=kx +k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是__________. 【答案】1111,,243⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭7.若0.5222,log 3,log 2a b c π===，则有（ ）. A .a b c >> B .b a c >> C .c a b >> D .b c a >>8.“1ω=”是“ 函数()cos f x x ω=在区间[]0,π上单调递减”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9.已知12)(-=x x f ，21)(x x g -=，规定：当)(|)(|x g x f ≥时, |)(|)(x f x h =；当)(|)(|x g x f <时, )()(x g x h -=，则)(x h （ ）A ． 有最小值1-,最大值1B ． 有最大值1,无最小值C ． 有最小值1-,无最大值D ． 有最大值1-,无最小值10.对非零实数,,x y z ,定义运算""⊕满足:(1)1x x ⊕=; (2)()()x y z x y z ⊕⊕=⊕g .若()22x x x x f x e e e e =⊕-⊕,则下列判断正确的是A .()f x 是增函数又是奇函数B ()f x 是减函数又是奇函数C .()f x 是增函数又是偶函数D .()f x 是减函数又是偶函数。
步步高高三复习用书 第七章 7.2 精品
§7.2等差数列及其前n项和1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d.3.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n.(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{a n}，{b n}是等差数列，则{pa n＋qb n}也是等差数列.(5)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(6)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…构成等差数列.5.等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数). 7.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值. 知识拓展等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列. (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列. (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( × )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ ) (5)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列.( √ )题组二 教材改编2.[P46A 组T2]设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A.31 B.32 C.33 D.34答案 B解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎨⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.3.[P39T5]在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 答案 180解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 题组三 易错自纠4.一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A.d >875B.d <325C.875<d <325D.875<d ≤325答案 D解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1，a 9≤1，即⎩⎨⎧125＋9d >1，125＋8d ≤1，所以875<d ≤325.故选D.5.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大. 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大.6.已知数列{a n }中，a 3＝3，a n ＋1＝a n ＋2，则a 2＋a 4＝________，a n ＝________. 答案 6 2n －3解析 由已知得a n ＋1－a n ＝2， 所以{a n }为公差为2的等差数列， 由a 1＋2d ＝3，得a 1＝－1，所以a n ＝－1＋(n －1)×2＝2n －3，a 2＋a 4＝2a 3＝6.题型一 等差数列基本量的运算1.已知等差数列{a n }的前9项和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A.100 B.99 C.98 D.97答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.2.在等差数列{a n }中a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A.45 B.42 C.21 D.84答案 A解析 由题意得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝21，a 2＝7， 故d ＝a 2－a 1＝4，a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 2＋a 3)＋6d ＝21＋24＝45.3.(2017·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案 C解析 设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.思维升华 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题. 题型二 等差数列的判定与证明典例 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *).(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由. (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝⎛⎭⎫2－1a n －1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列.(2)解 由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上为减函数. 所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式.解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数.(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列.(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列.跟踪训练 (2017·舟山质检)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2且n ∈N *)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1).当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2，n ∈N *.题型三 等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质典例 (1)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________. 答案 21解析 因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21.(2)数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝12，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A.9 B.10 C.11 D.12 答案 D解析 数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则数列{a n }是等差数列，利用等差数列的性质可知，a 3＋a 4＋a 5＝a 2＋a 4＋a 6＝12.故选D. 命题点2 等差数列前n 项和的性质典例 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63 B.45 C.36 D.27 答案 B解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B.(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 018＝________.答案 6 054解析 由等差数列的性质，可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0182 018＝S 11＋2 017d ＝－2 014＋2 017＝3， ∴S 2 018＝3×2 018＝6 054. 思维升华 等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差. (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .跟踪训练 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项的和S 11等于( ) A.58 B.88 C.143 D.176答案 B解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. (2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，n ∈N *，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43 答案 A解析 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.等差数列的前n 项和及其最值考点分析 公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大.典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( ) A.45 B.60 C.75D.90(2)(2012·浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A.若d <0，则数列{S n }有最大项B.若数列{S n }有最大项，则d <0C.若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D.若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 (3)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________. 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45.(2)设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 由二次函数性质知当S n 有最大值时，d <0，故A ，B 正确；因为{S n }为递增数列，所以d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确. (3)方法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二 因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2， 所以S 110＝(a 1＋a 110)×11022答案 (1)A (2)C (3)－110典例2 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，n ∈N *，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值. 规范解答解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653， 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值， 且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53 ＝－56n 2＋1256n＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1.(2017·宁波北仑中学期中考试)等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝16，则{a n }的前9项和为( ) A.56 B.96 C.80 D.72答案 D解析 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 由等差数列的性质得a 2＋a 8＝a 1＋a 9＝16，9222.由公差为d 的等差数列a 1，a 2，a 3，…组成的新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…，是( ) A.公差为d 的等差数列 B.公差为2d 的等差数列 C.公差为3d 的等差数列 D.非等差数列 答案 B解析 设新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…的第n 项是b n ，则b n ＝a n ＋a n ＋3＝2a 1＋(n －1)d ＋(n ＋2)d ＝2a 1＋(2n ＋1)d ，∴b n ＋1－b n ＝2d ，∴新数列是以2d 为公差的等差数列，故选B. 3.已知等差数列的前3项依次为a ，a ＋2,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110，则k 的值为( ) A.9 B.11 C.10 D.12答案 C解析 由a ，a ＋2,3a 成等差数列，得2(a ＋2)＝a ＋3a ，解得a ＝2，所以d ＝4－2＝2，所以S k ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k ＝110，解得k ＝10，故选C.4.已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则{a n }的前6项和为( ) A.－20 B.－18 C.－16 D.－14答案 B解析 等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 23＝a 1a 4，即(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8，S 6＝6×(－8)＋6×52×2＝－18，故选B.5.(2017·舟山模拟)在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10等于( )A.0B.－9C.10D.－10答案 A解析 设公差为d ，∵S 99－S 77＝2，∴9－12d －7－12d ＝2，∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0，故选A.6.若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A.2 016B.2 017C.4 032D.4 033 答案 C解析 因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0，所以S 4 032＝4 032(a 1＋a 4 032)2＝4 032(a 2 016＋a 2 017)2>0，S 4 033＝4 033(a 1＋a 4 033)2＝4 033a 2 017<0，所以使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032，故选C.7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－15，则正整数k ＝________.答案 17解析 ∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－15，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1， ∴S k ＋1＝k ＋12⎝⎛⎭⎫－3＋32＝－15＋32，解得k ＝17. 8.等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则110104log a ＝________.答案 －12解析 因为a 4和a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，所以a 4＋a 2 016＝4.又a 4，a 1 010，a 2 016成等差数列，所以2a 1 010＝a 4＋a 2 016，即a 1 010＝2， 所以110104log a ＝－12. 9.《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月日织九匹三丈.”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布.若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布.答案 21解析 由题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，其中a 1＝5，前30项和为390，于是有30(5＋a 30)2＝390，解得a 30＝21，即该织女最后一天织21尺布. 10.设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案 130解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.11.数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2.又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列.(2)解 由(1)得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑nk ＝1 (a k ＋1－a k )＝∑n k ＝1 (2k －1)， 所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.12.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *).(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去).当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，亦即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列.(2)解 由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2， 即a n ＝n ＋2，n ∈N *.13.设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，n ∈N *，则a 20的值是______.答案 245解析 ∵2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，∴数列{na n }是以a 1＝1为首项，2a 2－a 1＝5为公差的等差数列， ∴20a 20＝1＋5×19＝96，解得a 20＝9620＝245. 14.已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析 ∵1a n ＋1＝1a n ＋13， ∴1a n ＋1－1a n ＝13， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，13为公差的等差数列. 由已知得1a 10＝1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， 故a 10＝14.15.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 答案 5解析 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. ∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5，经检验符合题意.16.设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是________. 答案 121解析 设数列{a n }的公差为d ，由题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2， 所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12 ＝14⎝⎛⎭⎫1＋212n －12， 因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫1＋212n －12为单调递减数列， 所以S n ＋10a 2n ≤S 11a 21＝112＝121.。
步步高高三复习用书 第七章 7.1 精品
§7.1数列的概念与简单表示法1.数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 知识拓展1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，n ∈N *. 2.在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3.数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( × ) (2)所有数列的第n 项都能使用公式表达.( × ) (3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列.( × )(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( × )(5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 题组二 教材改编2.[P33A 组T4]在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23 答案 D解析 a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12，a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23.3.[P33A 组T5]根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.答案 5n －4 题组三 易错自纠4.在数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n ，n ∈N *，则此数列最大项的值是________. 答案 30解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1122＋1214， ∵n ∈N *，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30.5.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，n ∈N *，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.6.已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________. 答案 (－3，＋∞)解析 因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1).(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式1.(2017·宁波北仑中学期中考试)数列32，－54，78，－916，…的一个通项公式为( )A.a n ＝(－1)n·2n ＋12nB.a n ＝(－1)n ·2n ＋12nC.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n D.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n答案 D解析 数列各项的分母为等比数列{2n }，分子为2n ＋1，可用(－1)n＋1来控制各项的符号，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n .2.数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________.答案 (－1)n 1n (n ＋1)解析 这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n1n (n ＋1).思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理.(3)如果是选择题，可采用代入验证的方法. 题型二 由a n 与S n 的关系求通项公式典例 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，n ∈N *，则其通项公式为________________.答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式.故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，n ∈N *，则{a n }的通项公式a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1， 又当n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列， 故a n ＝(－2)n －1.(3)(2016·浙江)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________. 答案 1 121解析 ∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1， ∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎫S n ＋12， 由S 2＝4可得，S n ＋12≠0，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝⎛⎭⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432， ∴S 5＝121.思维升华 已知S n ，求a n 的步骤 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1. (2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式.跟踪训练 (1)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，n ∈N *，则数列的通项公式a n ＝________. 答案 －2n －1解析 由题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1， 两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ， 即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，n ∈N *，则数列的通项公式a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2，n ∈N *解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1.显然当n ＝1时，不满足上式.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2，n ∈N *. 题型三 由数列的递推关系求通项公式典例 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式. (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. 解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n －a n －1＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n －1＝ln nn －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lnn n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2＝2＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·2＝2＋ln n (n ≥2).又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *). (2)∵a n ＋1＝2n a n ，∴a n a n －1＝2n －1 (n ≥2)，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)22.n n -又a 1＝1适合上式，故a n ＝(1)22n n -(n ∈N *).(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，故a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *).引申探究在本例(2)中，若a n ＝n －1n ·a n －1(n ≥2，且n ∈N *)，其他条件不变，则a n ＝________.答案 1n解析 ∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2且n ∈N *)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n.思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列. (2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列. (3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解. (4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解.跟踪训练 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝______________. 答案 3×2n －1－2解析 由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0， 得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加，得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)，∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足).(2)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，n ∈N *，则通项公式a n ＝________.答案 4－1n解析 原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，逐项相加得a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n .题型四 数列的性质命题点1 数列的单调性典例 已知a n ＝n －1n ＋1，n ∈N *，那么数列{a n }是( )A.递减数列B.递增数列C.常数列D.摆动数列答案 B解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N *，易知{a n }是递增数列.命题点2 数列的周期性典例 (2017·宁波北仑中学期中考试)数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －254a n －2，则a 2 018等于( )A.0B.43 C.1 D.2答案 C解析 ∵数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －254a n－2，∴a 2＝－2－2＝1，a 3＝1－254×1－2＝43，a 4＝2，a 5＝0，…，∴a n ＋4＝a n ，则a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝1.命题点3 数列的最值典例 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，n ∈N *，则数列{a n }中的最大项的值是( )A.310B.19C.119D.1060答案 C解析 令f (x )＝x ＋90x (x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立. 因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现，当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大.思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列； ②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断；③结合相应函数的图象直观判断. (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值. (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.跟踪训练 (1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n＜1，n ∈N *，a 1＝35，则数列的第2 018项为________.答案 15解析 由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝15.(2)已知数列{a n }的首项为2，且数列{a n }满足a n ＋1＝a n －1a n ＋1，n ∈N *，数列{a n }的前n 项的和为S n ，则S 2 016等于( )A.504B.588C.－588D.－504 答案 C解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n －1a n ＋1，∴a 2＝13，a 3＝－12，a 4＝－3，a 5＝2，…，∴数列{a n }的周期为4，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－76，∵2 016÷4＝504，∴S 2 016＝504×⎝⎛⎭⎫－76＝－588， 故选C.解决数列问题的函数思想典例 (1)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫1011n ，n ∈N *，则此数列的最大项是第_______项. (2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是__________. 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析.解析 (1)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， ∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项. (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列， 又∵通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， ∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4， 即k >－1－2n ，又n ∈N *， ∴k >－3.答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞)1.现有这么一列数：2，32，54，78，( )，1332，1764，…，按照规律，( )中的数应为( )A.916 B.1116 C.12 D.1118答案 B解析 分母为2n ，n ∈N ，分子为连续的质数，所以( )中的数应为1116，故选B.2.(2017·杭州二中模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N *)，设T n ＝a 1a 2…a n ，则T 2017的值是()A.－4B.2C.3D.1答案 B解析 因为a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，所以a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，…，所以数列{a n }是周期数列，且a 1a 2a 3a 4＝1， 所以T 2 017＝T 4×504＋1＝a 1＝2.3.已知在正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2且n ∈N *)，则a 6等于( )A.16B.4C.2 2D.45答案 B解析 由题意得a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n －a 2n －1＝…＝a 22－a 21＝3，故{a 2n }是以3为公差的等差数列，即a 2n ＝3n －2.所以a 26＝3×6－2＝16.又a n >0，所以a 6＝4.故选B.4.若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2 018等于( )A.3B.2C.12D.23答案 A解析 由已知a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12，a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23，a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6＝3，∴数列{a n }具有周期性，且T ＝6， ∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.5.设a n ＝－3n 2＋15n －18，n ∈N *，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133 C.4 D.0答案 D解析 ∵a n ＝－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0. 6.已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(5－a )n －11，n ≤5，n ∈N *，a n －4，n >5，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.(1,5) B.⎝⎛⎭⎫73，5 C.⎣⎡⎭⎫73，5 D.(2,5)答案 D解析 ∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(5－a )n －11，n ≤5，a n －4，n >5，且{a n }是递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，a >1，5(5－a )－11<a 2，解得2<a <5，故选D.7.若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，n ∈N *，a 8＝3421，则a 5＝________.答案 85解析 借助递推关系，由a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85.8.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.9.已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n ，n ∈N *，则数列{a n }的项取最大值时，n ＝____________. 答案 4或5解析 假设第n 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n ≥(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫67n －1，(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n≥(n ＋3)·⎝⎛⎭⎫67n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5，又n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5，故在数列{a n }中，a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574.10.(2017·湖州模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝__________. 答案2n 2－n ＋2解析 由a n －a n ＋1＝na n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝n ，则由累加法得1a n －1a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n 2，又因为a 1＝1，所以1a n ＝n 2－n2＋1＝n 2－n ＋22，所以a n ＝2n 2－n ＋2(n ∈N *).11.已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *). (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式.解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2， 同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，① 当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n (n ∈N *). 12.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0).(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围. 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *). 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4， a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *).∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5＜2－a2＜6，即－10＜a ＜－8.即a 的取值范围是(－10，－8).13.整数列{a n }满足a n ＋1－a n －1<3n ＋12，a n ＋2－a n >3n ＋1－12，n ∈N *，a 2＝3，则a 2 018等于( )A.32 010－38B.32 009－38C.32 019－38D.32 018－38答案 C解析 由a n ＋1－a n －1<3n ＋12，可得a n ＋2－a n <3n ＋1＋12，又a n ＋2－a n >3n ＋1－12，且{a n }为整数列，所以a n ＋2－a n ＝3n ＋1，a 2 018＝(a 2 018－a 2 016)＋(a 2 016－a 2 014)＋…＋(a 4－a 2)＋a 2＝32 017＋32 015＋…＋33＋3 ＝3(1－32 018)1－9＝32 019－38.故选C.14.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n ，n ∈N *，中的最大项是第k 项，则k ＝________. 答案 4解析 设数列为{a n }，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)(n ＋5)·⎝⎛⎭⎫23n ＋1－n (n ＋4)·⎝⎛⎭⎫23n ＝⎝⎛⎭⎫23n ⎣⎡⎦⎤23(n 2＋6n ＋5)－n 2－4n ＝2n3n ＋1(10－n 2). 所以当n ≤3时，a n ＋1>a n ； 当n ≥4时，a n ＋1<a n .因此，a 1<a 2<a 3<a 4，a 4>a 5>a 6>…， 故a 4最大，所以k ＝4.15.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，若a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，n ∈N *，则a n 等于( ) A.15n 2－25n ＋65 B.n 3－5n 2＋9n －4 C.n 2－2n ＋2 D.2n 2－5n ＋4答案 C解析 由题意得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2，因此数列{a n ＋1－a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，a n ＋1－a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋3＋…＋(2n －3)＝1＋(1＋2n －3)(n －1)2＝(n －1)2＋1＝n 2－2n ＋2，又a 1＝1＝12－2×1＋2，因此a n ＝n 2－2n ＋2(n ∈N *)，故选C.16.(2017·金华模拟)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________. 答案 1n(n ∈N *)解析 因为数列{a n }是首项为1的正项数列， 所以a n ·a n ＋1≠0，所以(n ＋1)a n ＋1a n －na n a n ＋1＋1＝0.令a n ＋1a n＝t (t >0)，则(n ＋1)t 2＋t －n ＝0， 分解因式，得[(n ＋1)t －n ](t ＋1)＝0， 所以t ＝n n ＋1或t ＝－1(舍去)，即a n ＋1a n ＝nn ＋1.方法一 (累乘法) 因为a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a na n －1＝12·23·34·45·…·n －1n ， 所以a n ＝1n (n ∈N *).方法二 (迭代法) 因为a n ＋1＝nn ＋1a n，所以a n ＝n －1n a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n .n －2n －1.n －3n －2.a n －3＝...＝n －1n .n －2n －1.n －3n －2.. (12)a 1， 所以a n ＝1n (n ∈N *).方法三 (特殊数列法)因为a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以(n ＋1)a n ＋1na n＝1.所以数列{na n }是以a 1为首项，1为公比的等比数列. 所以na n ＝1×1n －1＝1.所以a n ＝1n(n ∈N *).。
高考数学(理)自由复习步步高系列04(原卷版)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作【课本内容再回顾——查缺补漏】回顾一：三角函数的图象与性质1． 三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(3)诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2． 三角函数的图象及常用性质函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象单调性在[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上单调递增；在[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上单调递减 在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝π2＋k π(k ∈Z )对称中心：(π2＋k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝k π(k ∈Z )对称中心：(k π2，0)(k ∈Z )3． 三角函数的两种常见变换回顾二：三角变换与解三角形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明．4．正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5． 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 6． 面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7． 解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解.回顾三：平面向量1． 平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为a|a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)向量的投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影． 2． 平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． 3． 平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则： (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4． 平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.【热点知识再梳理——胸有成竹】热点一：三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及解析式【典例】将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A.1sin2y x = B.1sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C.1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【跟踪练习】函数)2||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的部分图象如图所示，则该函数的解析式是（ ）A ．)652sin(2π-=x yB ．)652sin(2π+=x yC ．)62sin(2π-=x yD ．)62sin(2π+=x y【考点定位】三角函数的解析式．热点二：三角函数的性质【典例】已知函数)2sin()4cos()4sin(32)(πππ+-++=x x x x f ．(1)求)(x f 的最小正周期； (2)若将)(x f 的图象向右平移3π个单位，得到函数)(x g 的图象，求函数)(x g 在区间)2,0[π上的最大值和最小值，并求出相应的x 的值．【跟踪练习】已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求()f x 的最大值．【考点定位】正弦的二倍角公式和降幂公式、三角函数的值域.热点三：三角函数与三角形问题的结合【典例】已知函数f(x)＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x(1)求函数f(x)的单调递减区间及最小正周期；(2)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝6，cosB ＝13，f(C 2)＝－14，求b.的.【跟踪练习】21()cos 3sin cos (0)2f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π． （I ）求ω值及()f x 的单调递增区间；（II ）在△ABC 中，a b c 、、分别是三个内角C B A 、、所对边，若1a =，2b =，322A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求B的大小．【考点定位】1．三角恒等变换（倍角公式）；2．三角函数的周期和单调性；3．正弦定理．热点四：三角变换、向量、三角形问题的综合【典例】已知a ，b ，c 分别为∆ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m =(sinA ，1)，n =(cosA ，3)，且m //n ． (I)求角A 的大小；(II)若a=2，b=22，求∆ABC 的面积．【考点定位】平面向量的坐标运算，两角和差的三角函数，正弦定理的应用，三角形面积公式.【跟踪练习】在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知m ()A A sin 3,cos 2=，n ()A A cos 2,cos -=，m·n 1-=．（1）求A ∠的大小；（2）若32=a ，2=c ，求△ABC 的面积．【考点定位】数量积的坐标运算、正弦定理和余弦定理、三角恒等变换.【综合模拟练兵——保持手感】1．在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积，若向量()2224,p a b c =+-，()1,q S =满足//p q ，则C ∠= .A ．045 B.030 C.060 D.0120【考点定位】向量的坐标运算、三角形面积公式、余弦定理．2．ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边分别,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，则角B 等于（ ）A .030B. 060C. 090D. 0120【考点定位】等差中项、正弦定理.3．在ABC ∆中，已知B C B C cos )sin(2sin +=，那么ABC ∆一定是( )。
步步高高三复习用书 第七章 7.3 精品
§7.3 等比数列及其前n 项和1.等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0). 2.等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1(a 1≠0，q ≠0).3.等比中项如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a ＝bG ，G 2＝ab ，G ＝±ab ，称G 为a ，b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列.5.等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .6.等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 知识拓展等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列. (2)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列.(4)当q <0时，{a n }为摆动数列.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列.( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列.( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )(6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( × ) 题组二 教材改编2.[P51例3]已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.答案 12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.3.[P54A 组T8]在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________. 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ，由题意知，243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. 题组三 易错自纠4.(2015·浙江)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A.a 1d ＞0，dS 4＞0 B.a 1d ＜0，dS 4＜0 C.a 1d ＞0，dS 4＜0 D.a 1d ＜0，dS 4＞0答案 B解析 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，整理得a 1＝－53d ，∴a 1d ＝－53d 2＜0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d3，∴dS 4＝－2d 23＜0，故选B.5.若1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________.答案 －12解析 ∵1，a 1，a 2,4成等差数列， ∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－12. 6.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.答案 －11解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0.∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q ·1－qa 1(1－q 2)＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4＝－11. 7.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB.(1 MB ＝210 KB) 答案 48解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n }，且a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ，则2n ＝64×210＝216，∴n ＝16.即病毒共复制了16次. ∴所需时间为16×3＝48(分钟).题型一 等比数列基本量的运算1.已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A.2B.1C.12D.18答案 C解析 由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24，又a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)， 解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ， 则由a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.故选C.2.设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且a n ＋1a n<1，若a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，则S 4等于( ) A.63或120 B.256 C.120 D.63答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝16，a 5＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝4，a 5＝16.又a n ＋1a n <1，所以数列{a n }为递减数列，故⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 5＝4. 设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2＝a 5a 3＝14，因为数列为正项数列，故q ＝12，从而a 1＝64，所以S 4＝64×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1241－12＝120.故选C.3.(2012·浙江)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________. 答案 32解析 方法一 S 4＝S 2＋a 3＋a 4＝3a 2＋2＋a 3＋a 4 ＝3a 4＋2，将a 3＝a 2q ，a 4＝a 2q 2代入得，3a 2＋2＋a 2q ＋a 2q 2＝3a 2q 2＋2，化简得2q 2－q －3＝0， 解得q ＝32(q ＝－1不合题意，舍去).方法二 设等比数列{a n }的首项为a 1，由S 2＝3a 2＋2，得 a 1(1＋q )＝3a 1q ＋2.① 由S 4＝3a 4＋2，得a 1(1＋q )(1＋q 2)＝3a 1q 3＋2. ②由②－①得a 1q 2(1＋q )＝3a 1q (q 2－1). ∵q >0，∴q ＝32.思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解. 题型二 等比数列的判定与证明典例 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2，n ∈N *. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)， ② 由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2). ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列.∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 故a n ＝(3n －1)·2n －2.引申探究若将本例中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式. 解 由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n . ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1， ∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ≥2，(*)又a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋2，即a 2＋1＝2(a 1＋1)， ∴当n ＝1时(*)式也成立，故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. (2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证. 跟踪训练 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0， 所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)解 由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n . 由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.题型三 等比数列性质的应用1.已知数列{a n }为等比数列，n ∈N *，且a 2a 3a 4＝－a 27＝－64，则tan ⎝⎛⎭⎫a 4a 63·π等于( ) A. 3 B.－ 3 C.－33D.±3 答案 B解析 由等比数列的性质可得a 2a 3a 4＝a 33＝－64，∴a 3＝－4，a 7＝a 3q 4<0，结合a 27＝64可得a 7＝－8， 结合等比数列的性质可得a 4a 6＝a 3a 7＝32， 即tan ⎝⎛⎭⎫a 4a 63·π＝tan 323π ＝tan ⎝⎛⎭⎫10π＋23π＝tan 23π＝－ 3.故选B. 2.已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A.40B.60C.32D.50 答案 B解析 由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60，故选B.3.(2017·镇海中学期中)已知数列{a n }是等比数列，若a 2a 5a 8＝8，则1a 1a 5＋4a 1a 9＋9a 5a 9的最小值是________. 答案 52解析 由a 2a 5a 8＝8，得a 5＝2，则1a 1a 5＋4a 1a 9＋9a 5a 9＝1a 23＋9a 27＋1.∵1a 23＋9a 27≥6a 23a 27＝6a 25＝32(当且仅当9a 23＝a 27时，取等号). 且a 5>0，∴a 3>0，a 7>0，从而有a 7＝3a 3，又a 3a 7＝a 25＝4，所以a 3＝233，a 7＝2 3.故当a 3＝233，a 7＝23时，1a 1a 5＋4a 1a 9＋9a 5a 9取最小值52.思维升华 等比数列性质的三类应用 (1)通项公式的变形. (2)等比中项的变形. (3)前n 项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (15分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3，4S 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *).思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明. 规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[3分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n ，n ∈N *. [5分] (2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n ＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.[9分]当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝32＋23＝136.[11分]当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝34＋43＝2512.[13分] 故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.[15分]1.已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于( ) A.7 B.5 C.－5 D.－7 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4.若a 4＝4，a 7＝－2，则a 1＝－8，a 10＝1， 此时a 1＋a 10＝－7；若a 4＝－2，a 7＝4，则a 1＝1，a 10＝－8， 此时a 1＋a 10＝－7，故选D.2.设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( ) A.－2 B.－1 C.12 D.23答案 B解析 由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍去)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.3.在等比数列{a n }中，a 2，a 16是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A.－2＋22B.－ 2C. 2D.－2或 2 答案 D解析 由a 2，a 16是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，可得a 2＋a 16＝－6，a 2×a 16＝2，显然两根同为负值，a 21q 16＝2，即有a 29＝2，则a 2a 16a 9的值为a 9＝±2.故选D. 4.(2017·台州模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( ) A.5 B.9 C.log 345D.10答案 D解析 由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9， 则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( ) A.S n ＝2T n B.T n ＝2b n ＋1 C.T n >a n D.T n <b n ＋1答案 D解析 由题意可得S n ＋3＝3×2n ，S n ＝3×2n －3，由等比数列前n 项和的特点可得数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式a n ＝3×2n －1，设b n ＝b 1q n －1，则b 1q n －1＋b 1q n ＝3×2n －1，当n ＝1时，b 1＋b 1q ＝3， 当n ＝2时，b 1q ＋b 1q 2＝6， 解得b 1＝1，q ＝2，数列{b n }的通项公式b n ＝2n －1，由等比数列求和公式有：T n ＝2n －1，观察所给的选项： S n ＝3T n ，T n ＝2b n －1，T n <a n ，T n <b n ＋1.6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 答案 B解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，由题意得a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96里，故选B.7.已知{a n }是各项都为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且S 2＝3，S 4＝15，则a 3＝________. 答案 4解析 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝12，S 2＝a 1＋a 2＝3，∴a 3＋a 4a 1＋a 2＝q 2＝123＝4，q ＝2或q ＝－2(舍去)， ∴a 3＋a 4＝a 3(1＋q )＝3a 3＝12，a 3＝4.8.在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________. 答案 4解析 因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4，得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，q 2＝－1(舍去)，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.9.已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和为________. 答案 2n －1解析 设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2， ∴数列{a n }的前n 项和为1－2n1－2＝2n －1，n ∈N *. 10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 答案 12n解析 ∵a n ＋S n ＝1，① ∴a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，② 由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)， 又a 1＝12， ∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列， 则a n ＝12×⎝⎛⎭⎫12n －1＝12n .11.已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，n ∈N *.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式.解 (1)由题意，得a 2＝12，a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1).因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1≠0，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列， 因此a n ＝12n －1，n ∈N *. 12.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12，∴b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列. ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n ，n ∈N *. (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝3－32n，n∈N*.13.若数列{a n＋1－a n}是等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，则a n＝________.答案3n－1＋12解析∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3，∴a n＋1－a n＝3n－1，∴a n－a1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋a n－1－a n－2＋a n－a n－1＝1＋3＋…＋3n－2＝1－3n－11－3，∵a1＝1，∴a n＝3n－1＋12(n∈N*).14.设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n＋a n＋1＝12n(n＝1,2,3，…)，则S2n＋3＝____________. 答案43⎝⎛⎭⎫1－14n＋2解析由题意，得S2n＋3＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2n＋2＋a2n＋3)＝1＋14＋116＋…＋14n＋1＝43⎝⎛⎭⎫1－14n＋2(n∈N*).15.设{a n}是等比数列，公比q＝2，S n为{a n}的前n项和，记T n＝17S n－S2na n＋1，n∈N*，设Tn0为数列{T n}的最大项，则n0＝________.答案 4解析由等比数列的前n项和公式得S n＝a1(1－q n)1－q，则T n＝17S n－S2na n＋1＝17×a1(1－q n)1－q－a1(1－q2n)1－qa1q n＝17－17(2)n－[1－(2)2n](1－2)(2)n，令(2)n＝t，则T n＝11－2⎝⎛⎭⎫t＋16t－17≤11－2⎝⎛⎭⎫2t ·16t －17， 当且仅当t ＝16t，即t ＝4时等号成立， 即(2)n ＝4，n ＝4时，T n 取得最大值.16.已知数列{a n }满足a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *). (1)求证：数列{b n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在互不相等的正整数m ，k ，n ，使得m ，k ，n 成等差数列，且a m －1，a k －1，a n －1成等比数列？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由.解 (1)∵b n ＝1a n－1， ∴a n ＝1b n ＋1，∴1b n ＋1＋1＝3b n ＋12b n ＋1＋1＝3b n ＋3， 得b n ＋1＝13b n ， ∵b 1＝1a 1－1＝23≠0， ∴b n ≠0，故数列{b n }为等比数列，∵b n ＝23·⎝⎛⎭⎫13n －1＝23n ＝1a n－1， ∴a n ＝3n3n ＋2. (2)不存在.理由如下：假设存在满足题意的m ，k ，n ，则m ＋n ＝2k ，(a k －1)2＝(a m －1)(a n －1).∵a n ＝3n3n ＋2， ∴⎝⎛⎭⎫3k 3k ＋2－12＝⎝⎛⎭⎫3m 3m ＋2－1⎝⎛⎭⎫3n3n ＋2－1. 得(3k ＋2)2＝(3m ＋2)(3n ＋2)，故32k ＋4·3k ＝3m ＋n ＋2·3m ＋2·3n ， ∵m ＋n ＝2k ，∴2·3k ＝3m ＋3n ，∵3m ＋3n ≥23m ·3n ＝2·3k ，当且仅当m ＝n 时，等号成立，但m ，k ，n 互不相等，∴不存在满足题意的m ，k ，n .。
高考数学(理)自由复习步步高系列03(解析版).docx
【热点知识再梳理——胸有成竹】[1]等差数列五个量()1,,,,n n a n d a S1.已知数列{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若1231,2a S a ==,则2a =______,n S =______.2.设数列{}n a 为等差数列,公差2d =-,n S 为其前n 项和,若1011S S =,则1a =( )A .18B .20C .22D .243.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若112,0,3m m m S S S -+=-==,则m =( )A .3B .4C .5D .6所以325m m -=-⇒=,故选C .[2]等比数列五个量()1,,,,n n a n q a S4.已知{}n a 是递增等比数列,2432,4a a a =-=，则此数列的公比q = .5.若等比数列{}n a 满足116nn n a a +=,则公比为( )A .2B .4C .8D .166.若等比数列{}n a 满足243520,40,a a a a +=+=则公比q =______,前n 项和n S =______.7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知3215=10,9,S a a a +=则1a =( )A .13B .13-C .19D .19-8.设首项为1,公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( ) A .21n n S a =- B .32n n S a =- C .43n n S a =- D .32n n S a =-[3]等差数列证明(定义)9.已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量1(,)n n n a a +=c ，(,1)n n n =+b ，*n N ∈.下列命题中为真命题的是( )A . 若*n N ∀∈总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B . 若*n N ∀∈总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C . 若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列D . 若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列[3]等差数列证明(定义) [15]利用n S 定义(,n n S a 关系)10.已知数列{}n a 的首项为13,a =通项n a 与前n 项和n S 之间满足()122n n n a S S n -=≥g (1)求证:1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,并求其公差; (2)求数列{}n a 的通项公式.[5]等比数列证明(定义) [15]利用n S 定义(,n n S a 关系) 11.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*21nn n S a n N =+-∈(1)求数列{}n a 的前三项123,,a a a ; (2)求证:数列()213n n a ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭为等比数列,并求出{}n a 的通项公式.[7]等差数列性质12.已知,,x y z R ∈,若1,,,,3x y z --成等差数列,则x y z ++的值为( )A .2-B .4-C .6-D .8-[13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,24,a a 是方程220x x --=的两个根,5S =( )A .52 B .5 C .52- D .5-14.若数列{}n a 为等差数列且35791120a a a a a ++++=,则8912a a -=( ) A .1 B .2 C .3D .4[8]等差数列前n 项和最值15.设数列{a n }是公差d <0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝( )A .5B .6C .5或6D .6或7大.故选C[9]等比数列性质16.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116a a =,则5a =( )A .1B .2C .4D .817.已知数列{}n a 为等比数列,下面结论正确的是( )A .1322a a a +≥B .2221322a a a +≥C .若13a a =,则12a a =D .若31a a >,则42a a >18.若等比数列{}n a 满足2412a a =,则2135a a a =_______.[10]数列周期性19.数列{}n a 的通项公式为cos2n n a n π=,其前n 项和为n S ,则2013=S ( ) A .1006 B .2012 C .503 D.0【答案】A[13]叠加叠乘数列通项公式 20.如果数列321121,,n n a a a a a a a -L L 是首项为1,公比为2-的等比数列,则5a =( ) A .32B .64C .32-D .64-[14]可构造等比数列通项公式 [15]利用n S 定义(,n n Sa 关系)21.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n S 的前n 项和为n T ,满足()22*n n T S n n N =-∈(1)求1a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式.[15]利用n S 定义(,n n S a 关系) [19]裂项求和(分式)22.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()21441*n n S a n n N +=--∈且2514,,a a a 构成等比数列. (1)证明:2145aa =+; (2)求数列{}n a 的通项公式;(3)证明：对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++<L .[17]分组求和23.设{}n a 为等差数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知7157,75S S ==.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设82n an b =⋅，n T 为数列{}n n b +的前n 项和,求n T .[18]错位相减 [15]利用n S 定义(,n n S a 关系)24.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()22*n S n n n N =+∈,数列{}n b满足()24log 3*n n a b n N =+∈(1)求,n n a b ; (2)求数列{}n n a b g 的前n 项和n T .[19]裂项求和(间隔分式)25.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足350, 5.S S ==- (1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列21231n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和[19]裂项求和(指数分式) [3]等比数列证明(定义) [13]叠加叠乘数列通项公式26.已知数列{}n a 中122,4,2a a x ===是函数()()()3113312n n n f x a x a a x n -+=--+≥的一个极值点.(1)证明:数列{}1n n a a +-是等比数列; (2)求数列n a 的通项公式; (3)设1n n b a =-,1212231n n n n a a a S b b b b b b +=++L ,求证:23n S ≥.27.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12a =,28a =,()11452n n n S S S n +-+=≥,n T 是数列{}2na log 的前n 项和.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求n T ； (3)求满足2311110101112013n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的最大正整数n 的值.[20]分段数列前n 项和29.在公差为d 的等差数列{}n a 中,已知110a =,且123,22,5a a a +成等比数列. (1)求,n d a ; (2)若0d <,求123||||||||n a a a a ++++L .综上,当111n ≤≤时, 12(21)||||||2n n n a a a -+++=L 当12n ≥时, 12||||||n a a a ++=L 2212202n n -+.【综合模拟练兵——保持手感】1.在数列{}n a 中，已知11a =，111n n a a +=-+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S = .2..右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥.3.在数列{}n a 中，已知24a =， 315a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a = ．4.已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则5a=________.5.已知等差数列}{n a 中，79119916,2a a S +==, 则12a 的值是( ) A ． 15 B ．30 C ．31 D ．646.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *++=+∈．（1）求1a ，2a 的值； （2）求n a ； （3）设1n n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 【答案】（1）128,27a a == （2）3=(1)n a n +．即：211(12)4(1)11kkk aSk+++++=++，………………………①7.已知{}n a 为公差不为零的等差数列，首项1a a =，{}n a 的部分项1k a 、2k a 、…、n k a 恰为等比数列，且11=k ，52=k ，173=k .（1）求数列{}n a 的通项公式n a （用a 表示）； （2）设数列{}n k 的前n 项和为n S , 求证：1211132n S S S +++<L （n 是正整数）法二∵当3n ≥时，0122113(12)2222n n n n n nn n n n n C C C C C --=+=+⨯+⨯++⨯+⨯L8.设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a n+1=2S n +2(n N *∈) （1）求数列{a n }的通项公式；（2）在a n 与a n +1之间插入n 个数，使这n +2个数组成一个公差为d n 的等差数列，（Ⅰ）在数列{d n }中是否存在三项d m ，d k ，d p （其中m ,k ,p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项，若不存在，说明理由； （Ⅱ）求证：123111115()16n n N d d d d *++++<∈L .9.已知各项均为正数的数列{}n a 满足12212+++=n n n n a a a a , 且42342+=+a a a ,其中*n N ∈.(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 设数列}{n b 满足nn n n na b 2)12(⋅+=,是否存在正整数, (1)m n m n <<，使得n m b b b ,,1成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由。
【步步高】高三数学大一轮复习 7
易错警示
9.忽视最值取得的条件致误
典例：(14 分)已知 a、b 均为正实数，且 a＋b＝1，求 y＝a＋1ab＋1b的最 小值．
易错分析
审题视角
规范解答
温馨提醒
(1)求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等 式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件．(2)可以考 虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围．
＝4－322＝245.
规范解答
温馨提醒
2分 6分 8分 10分
题型分类·深度剖析
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
3．算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均
2．运用公式解题时，既要掌 握公式的正用，也要注意 公 式 的 逆 用 ， 例如 a2＋
a＋b 数为 2 ，几何平均数为 ab ，
b2≥2ab 逆 用 就 是
ab≤
a2＋b2 2
；
a＋b 2
利用基本不等式证明不等式是综 合法证明不等式的一种情况，证明
思路是从已证不等式和问题的已
知条件出发，借助不等式的性质和
有关定理，经过逐步的逻辑推理最
后转化为需证问题．
题型分类·深度剖析
变式训练 1 已知 a>0，b>0，c>0，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明 ∵a>0，b>0，c>0，且 a＋b＋c＝1，
易错分析
审题视角
规范解答
温馨提醒
题型分类·深度剖析
易错警示
9.忽视最值取得的条件致误
典例：(14 分)已知 a、b 均为正实数，且 a＋b＝1，求 y＝a＋1ab＋1b的最 小值．
2019年高考数学(理)自由复习步步高系列 第七天 计数原理与概率与统计(解析版)
2019年高考备考之考前十天自主复习第七天计数原理与概率与统计(理科)热点一：排列组合问题[1]求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体地说，解排列、组合的应用题，注意应用解题策略——相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果．常用解题途径有：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．[2]在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定；②Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r 项；③公式中，a，b 的指数和为n 且a，b 不能随便颠倒位置；④对二项式()n a b －展开式的通项公式要特别注意符号问题．[3]在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．1．【河南省郑州市2018届高三毕业年级第二次质量预测】《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（）A.240种B.188种C.156种D.120种【答案】D【解析】当E,F 排在前三位时，()2231223N A A A ==24,当E,F 排后三位时，()()122223322N C A A A ==72，当E,F 排3，4位时，()112232322N C A A A ==24，N=120种，选D.2．【北京市海淀区2019届】学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为()A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A【解析】先排好1、2，数字3、4插空，排除相邻学号，只有2种排法：3142、2413。
步步高高三复习用书 第七章 7.1 课件
【知识拓展】
1.若数列{an}的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an，
S1，n＝1， 则 a n＝ * S － S ， n ≥ 2 ， n ∈ N . n －1 n an≥an－1， 2.在数列{an}中，若 an 最大，则 an≥an＋1. an≤an－1， 若 an 最小，则 an≤an＋1.
得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1).
因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.
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题型分类
深度剖析
题型一
由数列的前几项求数列的通项公式
自主演练
3 5 7 9 1.(2017· 宁波北仑中学期中考试)数列2，－4，8，－16，…的一个通项公 式为
n 2 ＋1 n A.an＝(－1) · 2n n 2 ＋1 n＋1 C.an＝(－1) · 2n
n
解析
这个数列前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数， 且奇
n
1 数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为 an＝(－1) . nn＋1
思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为 特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. (2) 具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆 项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还 可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于 符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理. (3)如果是选择题，可采用代入验证的方法.
高考数学(理)自由复习步步高系列08(解析版)
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）1.已知函数2()()ln f x ax x x x =+-在[1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ;2.关于x 的实系数方程的一个根在区间[0，1]上，另一个根在区间[1，2]上，则2a+3b 的最大值为 。
3.已知函数1()()e xaf x ax=-∈R．若存在实数m，n，使得()0f x≥的解集恰为[],m n，则a的取值范围是．5.已知ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，60,2,B b a x ∠=︒==，若c 有两组解，则x 的取值范围是 ．边432,23x x >∴<<． 6.设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.7.如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量(,AP mAB nAF m n =+为实数），则m n +的最大值为____________．8.如图ABC ∆是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，14AM AB m AC =+⋅，向量AM 的终点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ．9.对任意x ∈R ，函数()f x 满足21(1)()[()]2f x f x f x +=-+，设)()]([2n f n f a n -=，数列}{n a 的前15项的和为3116-，则(15)f = ．10.已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2132n n S S n n -+=….若对任意的*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是 . 【答案】915,44⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【错因】不少学生不会处理213(2)n n S S n n -+=≥这个条件，部分学生得到了361+=++n a a n n ，不能想11.已知函数12()416mx f x x =+，21()()2x m f x -=，其中m ∈R ． （1）若0<m≤2，试判断函数f (x)=f 1 (x)+f 2 (x)()[2,)x ∈+∞的单调性，并证明你的结论；（2）设函数12(),2,()(), 2.f x x g x f x x ⎧=⎨<⎩≥ 若对任意大于等于2的实数x 1，总存在唯一的小于2的实数x 2，使得g (x 1) = g (x 2) 成立，试确定实数m 的取值范围．【答案】（1）单调减函数，（2）（0，4）.数．）所以g(x)在(,]m -∞上单调递增，在[,2)m 上单调递减．12.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B p C A sin sin sin ⋅=+（R ∈p ），且241b ac =． （1）当45=p ，1=b 时，求a ，c 的值； （2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围．13.已知向量1(cos ,1),(3sin ,)2m x n x =-=-,设函数()()f x m n m =+⋅.(1).求函数f(x)的最小正周期;(2).已知a,b,c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长,A 为锐角,a=1,3c =，且()f A 恰是函数f(x)在[0,]2π上的最大值,求A,b 和三角形ABC 的面积.14.已知函数23()3x f x x+=， 数列{}n a 满足1111,(),n n a a f n N a *+==∈． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令11211(2),3,n n n n n b n b S b b b a a -=≥==++⋅⋅⋅+，若20042n m S -<对一切n N *∈成立，求最小正整数m ．【答案】（1）2133n a n ∴=+；（2）2013m =最小． 【错因】第一问中学生代入后无法灵活运用等差数列的定义，使得问题无法进行下去了，也有出现不作任15.设()x f x e ax a =--.(Ⅰ)若()0f x ≥对一切1x ≥-恒成立,求a 的取值范围; (Ⅱ)设()()x a g x f x e=+,且112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是曲线()y g x =上任意两点,若对任意的1a ≤-,直线AB 的斜率恒大于常数m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)求证:*13(21)(2)()1n n n n e n n n N e +++-<∈-.令函数mx x g x F -=)()(,则由以上不等式知：()F x 在(,)-∞+∞上单调递增,即22()2i n n i e n--< 累加得。
【步步高】高考数学总复习 第七章 7.6数学归纳法强化训练 理 北师大版
§7.6 数学归纳法数学归纳法证明某些与正整数n 有关的命题，它的基本步骤是： (1)验证：当n 取第一个值n 0(如n 0＝1或2等)时，命题成立；(2)在假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立的前提下，推出当n ＝k ＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n 0开始的正整数n 都成立．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立． ( × ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明． ( × ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( × )(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( × )(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ ) (6)用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n 0＝3.( √ )2．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 C解析 凸n 边形的边最少有三条，故第一个值n 0取3. 3．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N ＋)，则f (1)为( )A ．1 B.15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案 答案 C解析 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n －1，则当n ＝1时，最大分母为5，故选C.4．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n，n ∈N ＋，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.答案12n ＋1－12n ＋2解析 f (n ＋1)－f (n )＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n ＋1n ＋1＋n ＋1n ＋1＋n ＋1－(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 5．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成立，推理n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________． 答案 2k解析 当n ＝k 时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1<k ；当n ＝k ＋1时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1.左边增加了2k 项.题型一 用数学归纳法证明等式例1 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N ＋)．思维启迪 证明时注意等式两边从n ＝k 到n ＝k ＋1时的变化． 证明 ①当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； ②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k ＋1) ＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)·2 ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)，这就是说当n ＝k ＋1时等式也成立． 由①②可知，对所有n ∈N ＋等式成立． 思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时等式成立．(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．用数学归纳法证明：对任意的n ∈N ＋，11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n2n ＋1. 证明 (1)当n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即有 11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (2k ＋3)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋等式都成立． 题型二 用数学归纳法证明不等式例2 已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈[14，12]时，f (x )≥18.(1)求a 的值；(2)设0<a 1<12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋，证明：a n <1n ＋1.思维启迪 (1)利用题中条件分别确定a 的范围，进而求a ； (2)利用数学归纳法证明．(1)解 由题意，知f (x )＝ax －32x 2＝－32(x －a 3)2＋a 26.又f (x )max ≤16，所以f (a 3)＝a 26≤16.所以a 2≤1.又x ∈[14，12]时，f (x )≥18，所以⎩⎨⎧f (12)≥18，f (14)≥18，即⎩⎨⎧a 2－38≥18，a 4－332≥18，解得a ≥1.又因为a 2≤1，所以a ＝1. (2)证明 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，0<a 1<12，显然结论成立．因为当x ∈(0，12)时，0<f (x )≤16，所以0<a 2＝f (a 1)≤16<13.故n ＝2时，原不等式也成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，不等式0<a k <1k ＋1成立． 因为f (x )＝ax －32x 2的对称轴为直线x ＝13，所以当x ∈(0，13]时，f (x )为增函数．所以由0<a k <1k ＋1≤13，得0<f (a k )<f (1k ＋1)．于是，0<a k ＋1＝f (a k )<1k ＋1－32·1(k ＋1)2＋1k ＋2－1k ＋2＝1k ＋2－k ＋42(k ＋1)2(k ＋2)<1k ＋2. 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．根据①②，知对任何n ∈N ＋，不等式a n <1n ＋1成立．思维升华 用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时命题成立证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式(1＋13)(1＋15) (1)12n －1)>2n ＋12均成立．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52. ∵左边>右边，∴不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，且k ∈N ＋)时不等式成立，即(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k －1)>2k ＋12.则当n ＝k ＋1时，(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k －1)[1＋12(k ＋1)－1]>2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12.∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n ，不等式都成立． 题型三 归纳—猜想—证明例3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N ＋.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．思维启迪 通过计算a 1，a 2，a 3寻求规律猜想{a n }的通项公式，然后用数学归纳法证明． (1)解 当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0. ∴a 1＝3－1(a 1>0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a 2>0)． 同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N ＋)．(2)证明 ①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N ＋)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1.由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k ，将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理得 a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，解得：a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1(a n >0)．即当n ＝k ＋1时，通项公式也成立．由①和②，可知对所有n ∈N ＋，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．思维升华 (1)猜想{a n }的通项公式是一个由特殊到一般的过程，注意两点：①准确计算a 1，a 2，a 3发现规律(必要时可多计算几项)；②证明a k ＋1时，a k ＋1的求解过程与a 2、a 3的求解过程相似，注意体会特殊性与一般性的辩证关系．(2)“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． 解 ∵f ′(x )＝x 2－1，且a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1，∵函数g (x )＝(x ＋1)2－1在[1，＋∞)上单调递增． 于是由a 1≥1得a 2≥(a 1＋1)2－1≥22－1， 进而a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1， 由此猜想：a n ≥2n －1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时结论成立，即a k ≥2k －1.当n ＝k ＋1时，由g (x )＝(x ＋1)2－1在区间[1，＋∞)上单调递增知a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k －1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，对任意n ∈N ＋，都有a n ≥2n －1， 即1＋a n ≥2n ，∴11＋a n ≤12n ，∴11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－(12)n <1.归纳—猜想—证明问题典例：(12分)设a >0，f (x )＝axa ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．思维启迪 通过计算a 2，a 3，a 4观察规律猜想a n ，然后用数学归纳法证明． 规范解答(1)解 ∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a ；a 3＝f (a 2)＝a 2＋a ；a 4＝f (a 3)＝a 3＋a . [2分] 猜想a n ＝a(n －1)＋a(n ∈N ＋)．[4分] (2)证明 ①易知，n ＝1时，猜想正确．[6分] ②假设n ＝k 时猜想正确，即a k ＝a(k －1)＋a ，[8分]则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a ka ＋a k＝a ·a (k －1)＋a a ＋a (k －1)＋a＝a (k －1)＋a ＋1＝a[(k ＋1)－1]＋a.这说明，n ＝k ＋1时猜想正确．[11分] 由①②知，对于任何n ∈N ＋，都有a n ＝a(n －1)＋a .[12分]归纳—猜想—证明问题的一般步骤：第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论； 第二步：验证一般结论对第一个值n 0(n 0∈N ＋)成立．第三步：假设n ＝k (k ≥n 0)时结论成立，证明当n ＝k ＋1时结论也成立． 第四步：下结论，由上可知结论对任意n ≥n 0，n ∈N ＋成立．温馨提醒 解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难．(2)证明n ＝k 到n ＝k ＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法．(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证．另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.方法与技巧1．数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础． 2．归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n ＝k ＋1时，必须用上归纳假设． 3．利用归纳假设的技巧在推证n ＝k ＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n ＝k 与n ＝k ＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用． 失误与防范1．数学归纳法证题时初始值n 0不一定是1；2．推证n ＝k ＋1时一定要用上n ＝k 时的假设，否则不是数学归纳法．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．用数学归纳法证明2n >2n ＋1，n 的第一个取值应是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ∵n ＝1时，21＝1,2×1＋1＝3,2n >2n ＋1不成立； n ＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n >2n ＋1不成立； n ＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n >2n ＋1成立． ∴n 的第一个取值应是3.2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)”，在验证n ＝1时，左端计算所得的项为 ( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3答案 C3．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·2·…·(2n －1)(n ∈N ＋)”时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应增添的式子是( )A ．2k ＋1B ．2k ＋3C ．2(2k ＋1)D ．2(2k ＋3)答案 C解析 左边应增添的式子等于 (k ＋2)(k ＋3)·…·[(k ＋1)＋(k ＋1)](k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(2k )(2k ＋1)(2k ＋2)(k ＋1)(k ＋2)·…·(2k )＝2(2k ＋1)．4．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N ＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．5．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1(n －1)(n ＋1) B.12n (2n ＋1) C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)答案 C解析 当n ＝2时，13＋a 2＝(2×3)a 2，∴a 2＝13×5.当n ＝3时，13＋115＋a 3＝(3×5)a 3，∴a 3＝15×7.故猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).二、填空题6．设S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，则S n ＋1－S n ＝________.答案12n＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n解析 ∵S n ＋1＝1＋12＋…＋12n ＋12n ＋1＋…＋12n ＋2n ，S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，∴S n ＋1－S n ＝12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n.7．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真． 答案 2k ＋1解析 因为n 为正奇数，所以与2k －1相邻的下一个奇数是2k ＋1.8．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )＝________(用 n 表示)．答案 5 12(n ＋1)(n －2)解析 f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，f (n )＝f (3)＋3＋4＋…＋(n －1)＝2＋3＋4＋…＋(n －1) ＝12(n ＋1)(n －2)． 三、解答题9．用数学归纳法证明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n－1n (n ＋1)2. 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0·1×(1＋1)2＝1，∴原等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k －1k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k －1k (k ＋1)2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k ·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)k (k ＋1)(k ＋2)2. ∴n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意n ∈N ＋有12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n (n ＋1)2. 10．已知数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n .求证：当n ∈N ＋时，a n <a n ＋1.证明 (1)当n ＝1时，因为a 2是方程a 22＋a 2－1＝0的正根，所以a 1<a 2.(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，0≤a k <a k ＋1，则由a 2k ＋1－a 2k ＝(a 2k ＋2＋a k ＋2－1)－(a 2k ＋1＋a k ＋1－1)＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)>0，得a k ＋1<a k ＋2，即当n ＝k ＋1时，a n <a n ＋1也成立，根据(1)和(2)，可知a n <a n ＋1对任何n ∈N ＋都成立．B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上 ( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2答案 D解析 等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n 2.故n ＝k ＋1时，最后一项是(k ＋1)2，而n ＝k 时，最后一项是k 2，应加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.2．下列代数式(其中k ∈N ＋)能被9整除的是( )A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k )答案 D解析 (1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．(2)假设当k ＝n (n ∈N ＋)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么当k ＝n ＋1时有3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36. 这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．由(1)(2)知，命题对k ∈N ＋成立．3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N ＋)，通过计算a 1，a 2，a 3，a 4，可猜想a n ＝_____. 答案 2n －12n －1 解析 ∵a 1＝1，∴a 2＝12a 1＋1＝32， a 3＝12a 2＋1＝74，a 4＝12a 3＋1＝158. 猜想a n ＝2n －12n －1. 4．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N ＋. (1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小；(2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．解 (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)； 当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)． (2)由(1)，猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立，②假设当n ＝k (k ≥3)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2. 那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3<32－12k 2＋1(k ＋1)3. 因为12(k ＋1)2－[12k 2－1(k ＋1)3] ＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2<0，所以f (k ＋1)<32－12(k ＋1)2＝g (k ＋1)． 由①②可知，对一切n ∈N ＋，都有f (n )≤g (n )成立．5．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a 24， 即2624>a 24，所以a <26. 而a 是正整数，所以取a ＝25，下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. (1)当n ＝1时，已证得不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524. 则当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1 ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1>2524＋[13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)]． 因为13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)＝6(k ＋1)(3k ＋2)(3k ＋4)－23(k ＋1)＝18(k ＋1)2－2(9k 2＋18k ＋8)(3k ＋2)(3k ＋4)(3k ＋3)＝2(3k ＋2)(3k ＋4)(3k ＋3)>0， 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)知，对一切正整数n ，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524，所以a 的最大值等于25.。
高考数学(理)自由复习步步高系列02(解析版)
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）【热点知识再梳理——胸有成竹】考点一 导数的几何意义 [1]导数的概念与计算1.设函数在1x =处存在导数，则()()011lim3x f x f x ∆→+∆-=∆( ) A .()'1f B ()3'1f C .()1'13f D .()'3f[2]切线问题(已知切点)3.曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A .12-B .12C .22-D .22[3]切线问题(切点未知)5.曲线3ln 2y x x =++在点0P 处的切线方程为410x y --=，则点0P 的坐标是( )A .(0,1)B .(1,1)-C .(1,3)D .(1,0)6.过点A (0,16)作曲线()33f x x x =-的切线，则此切线的方程为_______.考点二 利用导数研究单调性[4]求单调区间(不含参数)7.设()()256f x a x lnx -=+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6.(1)确定a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间．[5]求单调区间(含参数) [8]求极值或者最值(含参数)8.已知函数()3113f x x ax =-+ (1)当1x =时,()f x 取得极值,求a 的值. (2)求()f x 在[]0,1上的最小值.[6]已知单调区间求参数范围9.已知函数()322131,3f x x mx m x m R =+-+∈ (1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若f (x )在区间(－2,3)上是减函数，求m 的取值范围．【答案】(1)153250x y --= (2) (,2][3,)-∞-+∞[7]求极值或者最值(不含参数) [9]已知极值或者最值求参数范围10.已知函数()23ln f x ax x x=--,其中a 为常数. (1)当函数()f x 的图像在点22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为1时,求()f x 在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值; (2)若函数()f x 在区间()0,+∞上既有极大值又有极小值,求a 的取值范围.11.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是( )[9]已知极值或者最值求参数 [10]恒成立问题(分离参数)12.设函数()322338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =处取得极值,(1)求,a b 的值; (2)若对于任意的[]0,3x ∈都有()2f x c <成立,求c 的取值范围.[10]恒成立问题(分离参数) [11]恒成立问题(数形结合)13.已知函数()()ln 10f x a x a =+>(1)当0x >时,求证()111f x a x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭; (2)在区间()1,e 上()f x x >恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)详见解析 (2) [)1,e -+∞[13]零点问题14.已知函数a ax x a x x f ---+=232131)((),0x R a ∈> . (1)求函数)(x f 的单调区间;(2)若函数)(x f 在区间()2,0-内恰有两个零点，求a 的取值范围;[14]存在性问题16.已知函数()()324f x x ax x R =-+-∈,()'f x 是()f x 的导函数.(1)当2a =时,对任意的[][]1,1,1,1m n ∈-∈-,求()()'f m f n +的最小值;(2)若存在()00,x ∈+∞,使()00f x >,求a 的取值范围.【综合模拟练兵——保持手感】1.已知函数()4ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为___________.2.若函数()()b f x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在下列区间单调递增的是( ) A ．(2,0)- B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．(,2)-∞-3.已知21()ln(1),()(,)2f x xg x ax bx a b R =+=+∈． （Ⅰ）若2()(1)()bh x f x g x ==--且存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若0,1a b ==,求证：当(1,)x ∈-+∞时，()()0f x g x -≤恒成立；（Ⅲ）设0,0x y >>，证明：ln ln ()ln 2x y x x y y x y ++>+. 【答案】（Ⅰ）()1,-+∞；（Ⅱ）证明过程详见试题解析；（Ⅲ）证明过程详见试题解析.（Ⅲ）证明：∵0,0x y >>，4.已知函数2901x f x a ax =>+()() ． （1）求f x ()在122[,]上的最大值； （2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．∴当1[,2]2x∈时，()(4)0f x x--≤，即()4f x x≤-．5.已知函数()f x 3233(0)ax x x a =-+>（1）当1a ≥时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在[1,3]的最大值为8，求a 的值.6.已知函数f (x )=ax 2+ln (x +1).（1）当a =14-时，求函数f (x )的单调区间；（2）当[0,)x ∈+∞时，函数y =f (x )图像上的点都在0,0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围；（3）求证：12482(1)(1)(1)(1)233558(21)(21)n n n e -++++<⨯⨯⨯++（其中n N *∈,e 是自然数对数的底数）7.已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ，(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l ， 并且1l 与2l 平行.（1）求(2)f 的值；（2）已知实数t ∈R ，求[]ln ,1,u x x x e =∈的取值范围及函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；（3）令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设.8.已知函数()()221x f x x x e =-+（其中e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）定义：若函数()h x 在区间[](),s t s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”.试问函数()f x 在()1,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由.因此函数()h x 在区间()1,+∞上单调递增，()110h =-<，()22310h e =->，。
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高中数学学习材料唐玲出品【热点知识再梳理——胸有成竹】第一块 集合与简易逻辑考点一 集合的概念及运算[1]集合概念,元素与集合的属于关系1.设集合{}0,1,2A =,则集合{},B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是( )A .1B .3C .5D .92.已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是( ) A .(－∞，1] B .[1，＋∞) C .[0，＋∞) D .(－∞，1)[2]集合间的关系(相等与包含)3.已知集合220{|}A x x x =<－－，11{|}B x x =<<－，则( ) A .A B Ø B .B A Ø C .A B = D .AB =∅4.已知集合{}3,2,21A m =--,集合{}22,B m =.若BA B =,则实数m ＝ .5.已知集合{}0,1,2,3,4M =,{}1,3,5N =,P M N =⋂,则P 的子集共有( ) A .2个 B .4个 C .6个 D .8个6.已知集合{}2/320A x x x =-+=,{}/05,B x x x N =<<∈,则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为( )A .1B . 2C .3D .4[3]集合间的运算7.已知集合{}{}0,1,2,3,4,|2,A B x x ==<则AB =( )A .{}0B .{}0,1C .{}0,2D .{}0,1,28.设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则()R ST =ð( )A .(2,1]-B .(,4]-∞-C .(,1]-∞D .[1,)+∞9.已知集合(){,|A x y x y =、为实数，且}221xy +=，(){,|B x y x y =、为实数，且}1x y +=，则A B的元素个数为( ) A .4B .3C .2D .1[4]韦恩图10.设全集()2{|}{|()}211x x U R A x B x y ln x <－＝，＝，＝＝－，则如图中阴影部分表示的集合为( )A .{x |x ≥1}B .{x |1≤x <2}C .{x |0<x ≤1}D .{x |x ≤1}[5]新概念11.已知集合M ＝{1,2,3,4}，A ⊆M .集合A 中所有元素的乘积称为集合A 的“累积值”，且规定：当集合A 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.当集合A 的累积值是奇数时，这样的集合A 共有________个.考点二 命题[6]命题的真假判断与四种命题(原命题,否命题,逆命题,逆否命题) 12.下列有关命题的说法正确的是( )A .命题“若1,12==x x 则”的否命题为:“若1,12≠=x x 则”B .“1x =-”是“0652=--x x ”的必要不充分条件C .命题“01,2<++∈∃x x R x 使得”的否定是：“2,10x R x x ∀∈++>都有”D .命题“若y x y x sin sin ,==则”的逆否命题为真命题13.下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题： {}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为( )A .12,p pB .34,p pC .23,p pD .14,p p14.命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是( )A .若α ≠4π，则tan α≠1 B . 若α=4π，则tan α≠1 C . 若tan α≠1，则α≠4π D . 若tan α≠1，则α=4π15.命题“∃x ∈R ,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________. 【答案】22,22⎡⎤-⎣⎦【解析】“∃x ∈R ,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R ,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，因此294290a ∆=-⨯⨯≤2222a ⇒-≤≤,故填22,22⎡⎤-⎣⎦.[7]简单的逻辑连接词(真值表,否定) 16.设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是( )A .p 为真B .q ⌝为假C .p q ∧为假D .p q ∨为真17.命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是( )A .所有能被2整除的整数都是奇数B .所有不能被2整除的整数都不是奇数C .存在一个能被2整除的整数是奇数D .存在一个不能被2整除的整数不是奇数[8]全称与特称命题(命题真假与否定)18.命题"存在实数x ,使得1"x >的否定( )A .对任意实数x ,都有1x >B .不存在实数x ,使得1x ≤C .对任意实数x ,都有1x ≤D .存在实数x ,使得1x ≤19.已知命题:p x R ∀∈，23xx<；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是( ) A .p q ∧B .p q ⌝∧C .p q ∧⌝D .p q ⌝∧⌝20.若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 .考点三 充要条件的判断[9]充要条件的判断(大范围小范围)21.“2320x x -+->”是“1x >”成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件22.已知函数lg(4)y x =-的定义域为A ,集合{|}B x x a =<,若P ：“x A ∈”是 Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围 . 【答案】()4,+∞[10] 充要条件的判断(递推关系,命题真假)23.设,R a b ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数iba +为纯虚数”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件24.已知,αβ表示两个不同的平面，m 是一条直线且m ⊂α，则“⊥αβ”是“m ⊥β”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件25.设a R ∈，则“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2:140l x a y +++=平行”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件[11]已知条件关系求条件26.双曲线221y x m-=的离心率大于2的充分必要条件是( ) A .12m >B .1m ≥C .1m >D .2m >27.若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是23x ≤≤,则实数m 的取值范围 是______.第二块 基本初等函数 函数与方程及函数的应用考点一 基本初等函数的图像与性质 [1]基本初等函数图像1.函数()0,1x y a a a a =->≠的图像可能是( )【答案】C【解析】当x ＝1时,10y a a =-=,所以xy a a =-过定点()1,0,结合选项可知选C .[2]基本初等函数性质4.下列函数中,在区间()0,+∞上为增函数的是( ) A .()ln 2y x =+B .1y x =-+C .12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .1y x x=+5.若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数,则a =____.6.函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________[3]指对数运算(求值)7.已知函数()lg f x x =,若()1f ab =,则22()()f a f b +=_________.8.方程91331x x+=-的实数解为 .9.lg 5lg 20+的值是____________.10.已知y x ,为正实数,则( ) A .y x yx lg lg lg lg 222+=+ B . lg()lg lg 222x y x y += C .y x y x lg lg lg lg 222+=∙ D . lg()lg lg 222xy x y =11.23log 9log 4⨯=( ) A .14B .12C .2D .4[4]指对数大小比较12.设3522,2,3,a log b log c log ＝＝＝则( ) A .a >c >b B .b >c >a C .c >b >a D .c >a >b【答案】D()ln 1,1xc ex e -==∈,0ln 11111ln ln ln11ln 0222xe x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⇒-<<⇒<< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则b >c >a .故选B .[5]幂函数概念14.已知幂函数()y f x =的图象过点12()22，,则4log (2)f 的值为( ) A .14 B .－14C .2D .－2[6]反函数16.设函数()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2),则函数1()y f x x-=-的图象一定过点 .考点二 函数零点[7]零点存在性定理(正向用 逆向用)17.函数()23xf x x ＝＋的零点所在的一个区间是( )A .(－2,－1)B .(－1,0)C .(0,1)D .(1,2)18.已知函数()2f x x x a =++在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________．[8]二次函数零点问题19.已知a 是实数,函数()21f x ax x =--,如果函数()y f x =在区间()0,1上有零点,求实数a 的取值范围______.[9]分段函数的零点问题 20.已知函数()21,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数是( ) A .2 B .3 C .4D.521.若函数()2,0ln ,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩有两个不同的零点,则实数a 的取值范围是________.[11]图像交点(数形结合)22.函数121()()2xf x x =-的零点个数为( ) A .0B .1C .2D .323.设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则( ) A .0a b <<B .0b a <<C .0a b <<D .0b a <<24.对实数a 和b ,定义运算“⊗”: a b ⊗=,1,1a ab b a b -≤⎧⎨->⎩,设函数2()(2)(1)f x x x =-⊗-,x R ∈.若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是( )A .(1,1](2,)-⋃+∞B .(2,1](1,2]--⋃C . (,2)(1,2]-∞-⋃D .[2,1]--[11]二分法25.用二分法研究函数()331f x x x =+-的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________．考点三 函数的实际应用 [12]二次,三次等多项式函数模型26.某集团为了获得更大的利润,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t (百万元)可增加销售额约为25t t -+(百万元)(0≤t ≤3).(1)若该集团将当年的广告费控制在三百万元以内,则应投入多少广告费,才能使集团由广告费而产生的收益最大？(2)现在该集团准备投入三百万元,分别用于广告促销和技术改造.经预算,每投入技术改造费x (百万元),可增加的销售额约为32133x x x -++(百万元).请设计一个资金分配方案,使该集团由这两项共同产生的收益最大.即当集团投入两百万元广告费时,才能使集团由广告费而产生的收益最大.【综合模拟练兵——保持手感】1.若函数()21f x x ax =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A .()2,2-B .()(),22,-∞-+∞C .(][),22,-∞-+∞D .[]2,2-2.已知集合32A x x Z Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭且，则集合A 中的元素个数为（ ） A .2 B .3 C .4 D .53.定义在R 上的偶函数f (x )在（0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式()0xf x >的解集是( )A ．(0，13) B ．(13 ，＋∞) C ．(-13，0)∪(13，＋∞) D ．(-∞，-13)∪(0，13)4.下列命题中的假命题是 A .1,20x x R -∀∈> B .2,(1)0x N x *∀∈-> C .,ln 1x R x ∃∈< D .,tan 2x R x ∃∈=5.函数1,0()2,0x x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，则f (f (0))的值为_________.6.已知函数f (x )=x -[x ],其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数，若关于x 的方程f (x )=kx +k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是__________. 【答案】1111,,243⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭7.若0.5222,log 3,log 2a b c π===，则有（ ）. A .a b c >> B .b a c >> C .c a b >> D .b c a >>8.“1ω=”是“ 函数()cos f x x ω=在区间[]0,π上单调递减”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9.已知12)(-=x x f ，21)(x x g -=，规定：当)(|)(|x g x f ≥时, |)(|)(x f x h =；当)(|)(|x g x f <时, )()(x g x h -=，则)(x h （ ）A ． 有最小值1-,最大值1B ． 有最大值1,无最小值C ． 有最小值1-,无最大值D ． 有最大值1-,无最小值10.对非零实数,,x y z ,定义运算""⊕满足:(1)1x x ⊕=; (2)()()x y z x y z ⊕⊕=⊕.若()22x x x x f x e e e e =⊕-⊕,则下列判断正确的是A .()f x 是增函数又是奇函数B ()f x 是减函数又是奇函数C .()f x 是增函数又是偶函数D .()f x 是减函数又是偶函数。
高考数学(理)自由复习步步高系列05(解析版)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作【课本内容再回顾——查缺补漏】一．基础知识整合１．椭圆及其标准方程：椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+bx a y （a ＞b ＞0）. 椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知椭圆过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为221(0,0)Ax By A B +=>>或221(0,0)x y A B A B +=>>；椭圆的参数方程： 椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan ab =；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+by a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.２．椭圆的简单几何性质,椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里.对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）. 线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ac e =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆.椭圆的第二定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数a c e =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.准线：根据椭圆的对称性，12222=+by a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为c a x 2±=.对于椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即ca y 2±=.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M （x ，y ）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为ex a MF +=1，ex a MF -=2，椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2a =2b +2c 、ac e =两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点12,F F ，另一个顶点P 在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形12F PF 的周长为定值等于22a c +，面积等于212tan2F PF b ∠，其中b 是短半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为2b 2a３．双曲线及其标准方程：双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为221(0)Ax By AB +=<或221(0)x y AB A B +=< ４．双曲线的简单几何性质,双曲线12222=-by a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c e =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=或表示为02222=-by a x .若已知双曲线的渐近线方程是x nm y ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-by a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c a x 2-=和ca x 2=.在双曲线中，a 、b 、c 、e 四个元素间有a c e =与222b a c +=的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点12,F F ，另一个顶点P 在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则面积等于212tan 2b F PF ∠，其中b 是虚半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为22b a ． ５．抛物线的标准方程和几何性质,抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
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【课本内容再回顾——查缺补漏】回顾一：排列组合与二项式定理（1）基本计数原理：①分类加法计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝________________种不同的方法．②分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，完成第一个步骤有m1种不同的方法，完成第二个步骤有m2种不同的方法，……，完成第n个步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝__________________种不同的方法．③两个基本计数原理的区别与联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以独立完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．（2）排列与组合：①排列与排列数：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示.排列数公式：!(1)(2)(1)()()!mnnA n n n n m m nn m=---+=≤-；!(1)(2)21nnA n n n n==--⋅.规定0!=1。
另外，!)!1(!nnnn -+=⋅；111--++=⋅+=mnmnmnmmmnmnmAACAAA；11--=mnmnnAA，!1)!1(1!1nnnn--=-。
注意：相同排列：如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.②组合与组合数：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号mnC表示．组合数公式：()(1)(1)!()(1)21!!mm nn mmA n n n m nC m nA m m m n m⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅-；m mn nA C m=⋅！.规定10==n nnCC。
组合数公式有两种形式：乘积形式和阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算．注意公式的逆用．即由()!!!nm n m-写出mnC.另外，()m n mn nC C m n-=≤；111()m m mn n nC C C m n---=+≤；11k kn nkC nC--=；1121++++=++++rnrnrrrrrrCCCCC .程解（10i ix x≥≥或）的个数））；小集团问题先整体后局部；选排问题先选后排法；分组分配问题（先分组后分配的方法和意识要加强）；至多至少问题间接法（正难则反）；特别的，含有可重元素．．．．．．的排列问题，遵循的原则是重复元素都一样，只留位置无需排列：对含有相同元素求排列个数的方法是用除法：设重集S有k个不同元素12,na a a，，其中各元素的重复数为12kn n n、，，且12kn n n n=+++,则S的排列个数等于!!...!!21knnnnn=。
（3）二项式定理：①二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- (r ＝0,1,2，…，n )。
二项展开式的通项为n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.②二项式系数的性质：（ⅰ）对称性：在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；（ⅱ）增减性与最大值：二项式系数C r n ，当r <21+n 时，二项式系数是递增的；当r >21+n 时，二项式系数是递减的．二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大：当n 是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2n n C 最大；当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C 相等且同时取得最大值.（ⅲ）各二项式系数的和：01r n n n C C C +++2n nn C ++=；02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=。
③三项式的处理方法：对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性．如何来求n c b a )(++展开式中含r q p c b a （其中,,,N r q p ∈且n r q p =++）的系数呢？方法一：把n n c b a c b a ])[()(++=++视为二项式，先找出含有r C 的项r r n r n C b a C -+)(;另一方面在r n b a -+)(中含有q b 的项为q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=，故在nc b a )(++中含r q p c b a 的项为r q p q r n r n c b a C C -.其系数为r r q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --==---⋅-=!!!!)!(!)!()!(!!。
方法二：把()n a b c ++看成n 个式子n 个式子()a b c ++相乘，其展开式中含r q p c b a 的系数分三步：第一步，从n 个式子()a b c ++中选p 个式子，从每个式子中均选取a 得到p a ，共有pn C 种选法；第二步，从剩下的n p -个式子()a b c ++中选q 个式子，从每个式子中均选取b 得到q b ，共有qn p C -种选法；第三步，从剩下的n p q --（即r ）个式子中均选取c 得到r c ，共有rr C 种选法；根据分步乘法计数原理，含r q p c b a 的系数为p n C q n p C -r r C 。
④求系数最大的项或最小的项：一般来说b a by ax n ,()(+为常数）在求系数最大的项或最小的项时，当11a b ==或时可直接根据二项式系数的性质（ⅱ）求解；当11≠≠b a 或时，一般采用解不等式组11111(,+-+-+⎩⎨⎧≤≤⎩⎨⎧≥≥k k k kk k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解。
⑤近似计算的处理方法：当a 的绝对值与1相比很小且n 不大时，常用近似公式na a n +≈+1)1(，因为这时展开式的后面部分n n n n na C a C a C +++ 3322很小，可以忽略不计。
类似地，有na a n -≈-1)1(但使用这两个公式时应注意a 的条件，以及对计算精确度的要求，据此可以应用其首尾几项进行放缩。
⑥整除性：利用二项式定理解决整除问题时，基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”、添减项结合有关整除知识来处理．⑦赋值法：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a 、b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)；奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2；偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2。
回顾二：统计与统计案例（1）随机抽样：①简单随机抽样：一般地，从元素个数为N 的总体中__________地抽取容量为n 的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．最常用的简单随机抽样的方法：____________和________________．简单随机抽样适用范围是：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小。
各层中按层在总体中所占比例进行____________抽样或________抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样的应用范围是：总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．（2）用样本估计总体：在研究总体时，常用样本的频率分布去估计总体分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。
①频率分布直方图：在频率分布直方图中，纵轴表示________，数据落在各小组内的频率用___________表示，各小长方形的面积总和等于______．连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着__________的增加，作图时所分的________增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为____________，它能够更加精细的反映出_______________________________________________________．作频率分布直方图的步骤如下：(ⅰ)求极差；(ⅱ)确定组距和组数；(ⅲ)将数据分组；(ⅳ)列频率分布表；(ⅴ)画频率分布直方图．频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状．②茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始信息，而且可以随时记录，给记录和表示都带来方便．③用样本的数字特征估计总体的数字特征：(ⅰ)平均数：样本数据的算术平均数，即x＝______________________________.(ⅱ)样本方差、标准差：标准差s＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．（3）两个变量间的相关关系：①有关概念：相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由小变大，这种相关称为正相关；如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关；如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系．②回归方程：求回归直线，使“离差平方和为最小”的方法叫做最小二乘法，用最小二乘法求得回归方程y bx a =+是两个具有线性相关关系的变量的一组数据1122()()()n n x y x y x y ，，，，，，的回归方程，其中a b 、是待定参数．从a b 、与r 的计算公式1122211()()()()n n i i i i i i n n ii i i x x y y x y nx y b x x x n x a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑与()()nn i i i i x x y y x y nxy r ---==∑∑可以看出：(ⅰ)回归直线必过点(),x y ；(ⅱ)b 与r 符号相同。