高考数学(理)自由复习步步高系列07(解析版)

【课本内容再回顾——查缺补漏】

回顾一：排列组合与二项式定理

（1）基本计数原理：

①分类加法计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝________________种不同的方法．

②分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，完成第一个步骤有m1种不同的方法，完成第二个步骤有m2种不同的方法，……，完成第n个步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝__________________种不同的方法．

③两个基本计数原理的区别与联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同

方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以独立完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．

（2）排列与组合：

①排列与排列数：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中

取出m个元素的排列数，用符号A m n表示.

排列数公式：

!

(1)(2)(1)()

()!

m

n

n

A n n n n m m n

n m

=---+=≤

-

；!(1)(2)21

n

n

A n n n n

==--⋅.

规定0!=1。另外，

!

)!

1

(

!n

n

n

n -

+

=

⋅

；

1

1

1

-

-

+

+

=

⋅

+

=m

n

m

n

m

n

m

m

m

n

m

n

mA

A

C

A

A

A

；

1

1

-

-

=m

n

m

n

nA

A

，

!

1

)!

1

(

1

!

1

n

n

n

n

-

-

=

-

。

注意：相同排列：如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.

②组合与组合数：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，

任意取出m个元素的组合数，用符号m

n

C表示．

组合数公式：

()

(1)(1)!

()

(1)21!!

m

m n

n m

m

A n n n m n

C m n

A m m m n m

⋅-⋅⋅-+

===≤

⋅-⋅⋅⋅-

；m m

n n

A C m

=⋅！.规定1

0=

=n n

n

C

C。

组合数公式有两种形式：乘积形式和阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算．注意公式的逆用．即由()

!

!!

n

m n m

-写出

m

n

C.

另外，()

m n m

n n

C C m n

-

=≤；1

11

()

m m m

n n n

C C C m n

-

--

=+≤；1

1

k k

n n

kC nC-

-

=；1

1

2

1

+

+

+

+

=

+

+

+

+r

n

r

n

r

r

r

r

r

r

C

C

C

C

C .

程解（10

i i

x x

≥≥

或）的个数））；小集团问题先整体后局部；选排问题先选后排法；分组分配问题（先分组后分配的方法和意识要加强）；至多至少问题间接法（正难则反）；

特别的，含有可重元素

．．．．．．的排列问题，遵循的原则是重复元素都一样，只留位置无需排列：对含有相同

元素求排列个数的方法是用除法：设重集S有k个不同元素

12

,

n

a a a

，，其中各元素的重复数为12k

n n n

、，，且

12k

n n n n

=+++,则S的排列个数等于

!

!...

!

!

2

1k

n

n

n

n

n=。