(完整版)平面向量的综合应用

平面向量

1.D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →

等于( )

A ．－BC →＋12BA →

B ．－B

C →－12BA → C.BC →－12BA → D.BC →＋12BA →

2.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →

，则λ＝________.

3.(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →

，则( )

A.AD →＝－13AB →＋43AC →

B.AD →＝13AB →－43AC →

C.AD →＝43AB →＋13AC →

D.AD →＝43AB →－13AC →

5.(2016·南京模拟)已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →

＝

0，AP →＝λPD →

，则实数λ的值为________．

6.(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →

＋FC →

＝( )

A.BC →

B.12AD →

C.AD →

D.12BC →

7.(2016·苏州模拟)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝1

2AB ，BE ＝2

3BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 8.设两个非零向量a 与b 不共线．

①若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →

＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； ②试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．

9.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →

，则m ＋n 的值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

10.已知在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →

，则λ

＝________.

11.设M 是△ABC 所在平面上一点，且MB →＋32MA →＋32MC →

＝0，D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|

的值为( ) A.13 B.12 C ．1 D ．2 12.O 是△ABC 所在平面内的一定点，动点P 满足

OA OP +=λ，

λ∈[0，＋∞)，则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

13.(2015·北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB

→

＋yAC →

，则x ＝________；y ＝________.

14.(2016·南京模拟)如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M

为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →

，则λ＋μ＝________.

（14题图）

（16题图）

15.(2014·陕西高考)设0<θ<π

2

，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，

则tan θ＝________.

16.(2016·长春模拟)如图所示，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD

→

＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →

＝________(用向量a 和b 表示)．

17.直线y ＝1

2ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a 等于________．

18.(2016·济南模拟)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →

＋yAC →

，则x ＝________，y ＝________.

19.如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．

(1)设PG →＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →

表示；

(2)设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，证明：1x ＋1

y 是定值．

（18题图）

（19题图） 20.(2015·山东高考)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →

＝( )

A ．－32a 2

B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 2

21.(2015·四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →

|＝4.若点M ，N

满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →

＝( )

A ．20

B ．15

C ．9

D ．6 22.(2015·湖北高考)已知向量O A →⊥A B →，|O A →|＝3，则O A →·O B →

＝________. 23.已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.

(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；

(3)若AB →＝a ，BC →

＝b ，求△ABC 的面积． 24.△ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →

|，则向量BA →在BC →

方向上的投影等于( )

A ．－32 B.32 C.3

2 D ．3

25.在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝22，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →

的值是________．

26.(2016·银川模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________．

27.(2016·桂林模拟)如图，在等腰三角形ABC 中，底边BC ＝2，AD →＝DC →，AE →

＝

12EB →，若BD →·AC →＝－1

2

，则CE →·AB →＝( ) （27题图）

（29题图）

A ．－43 B.43 C ．－32 D.32

28.在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →

＝1，则AB 的长为________．