高数第五章空间解析几何

【分析】与向量 同方向的单位向量就是以向量 的方向余弦为坐标的向量．故问题求解的关键在于求出向量 的方向余弦．
解设向量 与 轴正向、 轴正向的夹角为 ，则它与 轴的正向夹角为 ，那么，
的方向余弦分别是 ， ， ．故
即
由此得到
或
又 ， 或 ，
则 ， ， 或 ， ，
，
因此，所求的单位向量为 或 ．
2.设 ， ，求 对应的单位向量 及 的方向余弦．
9.一平面与原点的距离为 ，且在三坐标轴上的截距之比 ，求该平面方程．
解因为截距之比为 ，故可设截距 ， ， ，则平面方：
即
10.设直线 过点 ，并且与直线 ： 相交，与直线 ： 垂直，试求直线 的方程
解直线 的方向向量为 ，过 以 为法向量的平面方程为：
：
由题意知，所求直线 在平面 上．因直线 与直线 相交，故 与平面 也相交，我们可求出 与 的交点．
将 转化为参数式 ，代入平面方程，得 ．
故交点 的坐标为 ．
由于直线 过 和 两点，其方向向量 与 平行，可选择 ．
所以，直线 的方程为
11.判定下列各组平面与直线间的位置关系：
（1） ： 与 ：
（2） ： 与 ：
该方程表示单叶双曲面，其草图如图5-1；
图5-1
(2)方程可写成如下的标准形式：
该方程表示双叶双曲面，其草图如图5-2；
图5-2
(3)方程可写成如下的标准形式：
该方程表示椭圆抛物面，其草图如图5-3；
图5-3
(4)方程可写成如下的标准形式：
该方程表示椭圆锥面，它是由标准椭圆锥面 的图形平移到使锥面的顶点为 时得到的．其草图如图5-４；
解与 对应的单位向量 是与 方向相同的单位向量．因此
同上，可求出与 方向相同的单位向量 ：
从而， 的方向余弦为：
， ， ．
3.设未知向量 与 共线，且满足 ，求 ．
解（方法1）
由于 与 共线，故设
故 ．
(方法2)
由于 与 共线，故可设 ,则
故 ．
4.已知向量 ， ， 满足 ,证明： .
证 ，
5.已知三角形三个顶点坐标是 ， ， ，求 的面积．
8.求二次曲面 与三个坐标平面的交线．
解求解空间曲面与坐标平面的交线，只须将已知曲面方程与坐标平面方程联立．
此二次曲面为双曲抛物面，它与 面的交线为
，即 ．
这是 面上的抛物线 ．
曲面与 面的交线为 ，即 ．
这说明曲面与 面的交线是 面上的两条相交直线 和 ．
曲面与 面的交线为 ，即 ．
这是 面上的抛物线．
设 ， ，
则 ， .
9.两向量垂直、平行的条件及判定：
（1）两向量 与 的对应坐标成比例 ；
（2）两向量 .
10.方向余弦、向量投影的坐标表达式及有关计算：设 ，
则向量 的方向余弦：
， ，
且 .
投影公式： .
11.空间曲线的一般方程： .
12.空间曲线的参数方程： （ 为参数）.
13.空间曲线在坐标平面内的投影： --①
第五章 空间解析几何
一、学习要点：
1.理解空间向量的有关概念，掌握空间向量的坐标表示，单位向量，方向余弦；
2.熟练掌握空间向量的线性运算，数量积、向量积的坐标运算法；
3.熟练掌握空间向量平行、垂直的充要条件及判定；
4.掌握平面的点法式方程、一般式方程、截距式方程；
5.知道空间一点到平面的距离公式；
6.掌握直线的对称式、参数式、一般式方程及其求方程的方法
的法向量 和 的法向量 则有： .
18.直线的一般式、对称式、参数式方程及其求方程的方法.
一般式 ，
对称式 ，
参数式 （ 为参数），
三种方程形式的相互转化.
19.两直线垂直、平行的充分条件及其夹角公式：
设直线 和直线 的方向向量依次
为： ， ，
若两直线垂直有： ；
若两直线平行有： ；
若两直线相交有： ， .
7.会判定直线和平面的位置关系(垂直、平行、直线在平面上)；
8.了解母线平行于坐标轴的柱面，旋转抛物面，圆锥面，椭球面方程及图形.
二、相关知识总结：
1.空间直角坐标系的建立及其空间点的直角坐标.
2.空间直角坐标系中任意两点 间的距离公式：
.
3.空间向量的有关概念及向量的坐标表示.
4.空间向量的线性运算及利用坐标进行向量的线性运算.
20.空间直线与平面的位置关系：
设直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，
直线 与平面 垂直有： ；
直线 与平面 平行有： ；
直线 与平面 的夹角 （ ）由下列公式给出：
.
三、重点例题剖析
（一）基础题
1.一向量 与 轴正向， 轴正向的夹角相等．与 轴正向的夹角是前者的两倍，求与向量 同方向的单位向量．
图5-４
7.一动点 到平面 的距离等于它与 轴距离的两倍，又点 到 的距离为 ，求动点 的轨迹方程．
解设点 的坐标为 ，则 到平面 的距离为 ．到 轴的距离为 ，由题设条件，有 ，即 ，又 到 的距离为l，即
动点 的轨迹方程满足：
注此类问题常用到距离公式及向量代数的工具．由所给条件确定动点的坐标所满足的约束方程，如方程是一个，则轨迹为曲面；如方程有两个，则轨迹为曲线．另外，也可以设定参数求动点的轨迹方程．若参数有两个，则轨迹为曲面；若参数只有一个，则轨迹是曲线．
【分析】以向量 ， 为邻边的三角形的面积 ．
解由向量积的定义，可知 的面积为：
由于 ， ，因此
．
6.指出下列二次曲面的名称，并作草图．
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【分析】对已给出的二次曲面方程，要求判断曲面性质的题型，应先进行简化运算将方程转化成常见的曲面方程形式，然后再进行判断．
解(1)可以将方程写成如下的标准形式：
5.空间向量模的坐标表示：
设向量 ，其模 ，
向量 的单位向量： .
6.向量的数量积：对于给定的向量 ， ，数 称为向量 和 的数量积，记作 .
7.向量的向量积：两个向量 和 的向量积是一个向量，记作 ，
它的模和方向分别定义为：
（1） ；
（2） 垂直于 和 ，且 ， ， 成右手系.
8.数量积、向量积的坐标运算法：
①消去 得 ，则 是曲线①在坐标面 面上投影.
同理， 和 是曲线①分别在 面和 面上的投影.
14.平面的点法式方程： 是平面的一点， 是该平面的法向量,则此平面的方程为: .
15.平面的一般式方程： （ ， ， 不能同时为 ）.
16.平面外一点 到平面 的距离 的公式：则有： .
17.平面 和平面 的夹角为 ： （ ）