九年级同步第18讲：二次函数解析式的确定(教案教学设计导学案)

二次函数的学习必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环．本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法，重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确的确定二次函数的解析式．

1、一般式（）

（1）任何二次函数都可以整理成一般式（）的形式；

（2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式．

【例1】已知二次函数的图像经过点A（，）、B（0，）和C（1，1）．求这个二次函数的解析式．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例2】已知二次函数图像经过点（0，3）、（3，0）、（，）．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求这个二次函数的最值．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例3】已知抛物线经过点A（2，3）、B（0，3）、C（4，）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当x为何值时，？

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例4】已知二次函数的图像经过点（0，3）、（，0）、（2，），且与x轴交于A、B两点．

（1）试确定该二次函数的解析式；

（2）判定点P（，3）是否在这个图像上，并说明理由；

（3）求的面积．

【难度】★★

【答案】

【解析】

1、顶点式（）

（1）任何二次函数经过配方都可以整理成（）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（，k）为抛物线的顶点坐标；

（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；

（3）对于任意的二次函数，都可以配方为：的形式．

【例5】抛物线的顶点坐标是（1，），则b = ______，c = ______．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例6】已知抛物线的顶点坐标为（4，），与y轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例7】如果，，，，那么抛物线经过第__________象限．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例8】已知二次函数的图像过点（1，5），且当x= 2时，函数有最小值3，求该二次函数的解析式．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例9】已知二次函数的图像的顶点坐标为A（2，1）且图像与x轴的两个交点为B、C（点B在点C的左侧），若是等腰直角三角形，求这个二次函数的解析式．【难度】★★

【答案】

【解析】

【例10】已知抛物线过点（3，2）、（0，5）两点，且以直线x = 2为对称轴，求此抛物线的解析式．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

1、交点式（）

（1）交点式：（），其中x1，x2为二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标；

（2）已知二次函数与x轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式；

（3）已知二次函数与x轴的交点坐标（x1，0）、（x2，0），可知其对称轴为；（4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x1，a）、（x2，a），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为；

（5）对于任意二次函数，当时，即，根据一元二次方程的求根公式可得：、；

（6）对称式：（），当抛物线经过点（x1，k）、（x2，k）时，可以用对称式来求解二次函数的解析式．

【例11】已知二次函数的图像经过点（，0）、（1，0），且与y轴的交点的纵坐标为3，求这个二次函数的解析式．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例12】已知二次函数的图像经过点M（，0）、N（4，0）、P（1，）三点，求这个二次函数的解析式．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例13】已知二次函数的图形与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0），且函数有最小值，求二次函数的解析式．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例14】已知抛物线，当x = 3时，抛物线有最高点，最高点的纵坐标为1，且图像与x 轴的两个交点之间的距离为2，求这个抛物线的解析式．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例15】抛物线经过（0，3）、（12，3），其顶点的纵坐标为6，求这个抛物线的解析式．【难度】★★

【答案】

【解析】

【例16】已知二次函数的图像与x轴交于点A（，0）、B（4，0），与y轴交于点C，且，求二次函数的解析式．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

1、几种特殊的二次函数解析式之间的平移关系：

2、二次函数的平移

（1）将二次函数左右平移：

向左平移m个单位，函数解析式变为；

向右平移m个单位，函数解析式变为．

（2）将二次函数上下平移：

向上平移n个单位，函数解析式变为；

向下平移n个单位，函数解析式变为．

（3）通常，在平移前，将二次函数化成的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．

【例17】把抛物线向右平移4个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式为，求原来抛物线的解析式．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例18】怎样平移抛物线，才能使它经过点M（，2）和N（1，）两点？

【难度】★★

【答案】

【解析】